文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
专题04 立体几何非建系综合大题培优归类
题型1 非建系：“虚”交线型
如果两个平面相交，则满足以下性质：
1.两点确定一条直线，只需确定两平面的两个公共点即可
2.由于两平面有一个公共点A，再找一个公共点即可确定交线
3.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，在平面内，过两
平面的公共点作直线与已知直线平行，则此直线即为两平面的交线
1．如图，在平行四边形
中，
，
，
为
的中点，以
为折痕将
折起，使点
到达点
的位置，且
，
，
分别为
，
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)若平面
与平面
的交线为，求直线与平面
所成角的正弦值.
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2．如图，在直三棱柱
中，
，
.
(1)设平面
与平面ABC 的交线为l，判断l 与AC 的位置关系，并证明；
(2)求证：
；
(3)若
与平面
所成的角为30°，求三棱锥
内切球的表面积S.
3．如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
侧面
平面
．
(1)求证：
；
(2)设平面
与平面
的交线为，
、
的中点分别为
、
，证明：
平面
．
题型2 非建系：探索性线面平行
平行的常用构造方法
①三角形中位线法；
②平行四边形线法；
③比例线段法.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角；
②平行关系的判定.
1．（24-25 高三·江西·阶段练习）如图1，已知等边三角形
的边长为
，
，
分别是
，
上的点，且
，将
沿
折起到
的位置，得到如图2 所示的四棱锥
．
(1)证明：
．
(2)在棱
上是否存在点
满足
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说出理由．
(3)已知二面角
的大小是
，点
在四边形
内（包括边界），且
，当直线
与直线
的夹角的余弦值最大时，求
的值．
2．（23-24 高一下·吉林通化·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
分
别为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，指出点
位置，并证明你的结论；若不
存在，说明理由.
3．（24-25 高三·甘肃兰州·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，侧棱
垂
直于底面，E 是
的中点．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)求证：
；
(2)设
与
交于O 点，是否存在
上一点F，使得平面
平面
，若存在请指出F 点的位置，
并说明理由．
题型3 非建系：探索性面面平行
证明平行
(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)线面平行：设直线l 的方向向量为v，平面α 的法向量为u，则l∥α 或l⊂α⇔v⊥u.
(3)面面平行：设平面α 和β 的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.
1．（21-22 高三·湖北·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面四边形
是平行四边形，
分别为棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点
，使得平面
平面
？如果存在求点
的位置，
并求
的最大值，如果不存在请说明理由.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2．（21-22 高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥
中，底面四边形ABCD 是平行四边形，
，
，
分别为棱
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)点
为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面
平面
，求
的最大值．
3．（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱
中，底面
为正方形，
为棱
的中点，
．
(1)求三棱锥
的体积．
(2)在
上是否存在一点
，使得平面
平面
.如果存在，请说明
点位置并证明.如果不存在，
请说明理由.
题型4 非建系：探索性线面垂直
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
垂直的常见构造：
①等腰三角形三线合一法；
②勾股定理法；
③投影法.
④菱形的对角线互相垂直
1．（24-25 高三·北京·阶段练习）如图，在四棱锥S－ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC
＝60°，△SAD 为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱AD，SB 的中点．
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB 上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
2．（21-22 高一下·江西景德镇·期末）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
为棱
上靠近
的三等分点，
为棱
上靠近
的三等分点.
(1)证明：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点D，使得
面
?若存在，求出
的大小并证明；若不存在，说明理由.
3．（22-23 高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱
中，
，点M 为
的
中点.
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)证明：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点Q，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
题型5 非建系：探索性面面垂直
面面垂直探索性：
面面垂直主要思维，即一个平面经过另外一个平面的垂线
1．（22-23 高一下·北京西城·期末）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，四边形
为正方形，
为
的中点，
为
上一点，
为
上一点，且平面
平面
．
(1)求证：
；
(2)求证：
为线段
中点，并直接写出
到平面
的距离；
(3)在棱
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求
；若不存在，说明理由．
2．（23-24 高三·北京怀柔·阶段练习）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，四边形
为正方形，
为
的中点，
为
上一点，
为
上一点，且平面
平面
.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)求证：
为线段
中点；
(2)求证：平面
平面
；
(3)在棱
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求
；若不存在，说明理由.
3．（22-23 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，三角形
为正三角形，且侧面
底面
.
分别为线段
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，请求出
的值；若不存在，请说
明理由.
题型6 非建系三大角1：异面直线
异面直线所成的角：
简称“平移角”，以平移一条直线或者两条直线同时平移，平移到一个平面（三角形或者四边形）内计
算求解。
1．（23-24 高三·湖南长沙·阶段练习试）如图，在直三棱柱
中，
，D 是AC 的中点，
．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)求证：
平面
；
(2)若异面直线AC 和
所成角的余弦值为
，求四棱锥
的体积．
2．（24-25 高三·重庆坝·阶段练习）如图，四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
平面ABCD.
（1）证明：平面
平面PAC；
（2）若异面直线PD 与AB 所成角的余弦值为
，且
，求四棱锥
的体积.
3．（20-21 高一下·重庆九龙坡·期中）如图甲是由正方形
，等边
和等边
组成的一个
平面图形，其中
，将其沿
，
，
折起得三棱锥
，如图乙.
（1）若O 为AC 中点，求证：
平面
；
（2）过棱
作平面
交棱
于点
，且三棱锥
和
的体积比为1:2，异面直线AM
和BC 所成角的余弦值.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
题型7 非建系三大角2：线面角
直线与平面所成的角：
直线与平面所成的角，简称“射影角”，非建系的核心做法就是适当选取直线上合适的点，向平面做垂
线，连接垂足与斜足，直线与射影所成的角即为线面角。特殊情况下，也可以采取“虚做垂线法”，即
采取等体积转化法来求直线上一点到平面的距离。
1．（2021·全国·模拟预测）如图所示的几何体是由三棱柱
和四棱锥
组合而成的，
已知
，线段
与
交于点
，
，
分别为线段
，
的中点，平面
平面
，
平面
．
（1）求证：四边形
为平行四边形；
（2）若
是边长为2 的等边三角形，
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
2．（2024·江苏宿迁·三模）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，
为半个圆
柱上底面的直径，
，
，点
，
分别为
，
的中点，点
为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
是线段
上一个动点，当
时，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
3．（24-25 高三安徽阶段练习）如图，在四棱锥
中，已知四边形ABCD 是边长为2 的菱形，
，AC 与BD 的交点为O，且
平面ABCD，
是等边三角形，点E 是线段AD 上的动点．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)证明：
；
(2)求二面角
的平面角的正切值；
(3)求直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值，并指出点E 此时所在的位置．
题型8 非建系三大角3：二面角
二面角的平面角：
二面角，简称“垂面角”，非建系思维，有以下几种方法
1. 定义法：在二面角棱上，选择合适一点，分别在两个半平面内做棱的垂线即可。
2. 垂面法：过棱上一点，做垂直于棱的平面，与两个半平面相交，所成角即为二面角的平面角。
3. 垂线法：寻找两个半平面其中一个半平面的垂线，与另外一个半平面相交，从“垂足”（或者“斜
足”）向棱做垂线，再连接另外一“足”，即是二面角的平面角。
1．（23-24 高二下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥
中，平面
平面
，
是边
长为2 的等边三角形，底面
是矩形，且
.
(1)若点
是
的中点，
（i）求证：
平面
；
（ii）求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)在线段
上是否存在一点
，使二面角
的大小为
.若存在，求
的值；若不存在，请
说明理由.
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2．（24-25 高三·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正三棱柱
中，
，点
为
的中点.
(1)证明：平面
平面
(2)在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
(3)求二面角
平面角的正切值.
3．（22-23 高一下·福建福州·期末）如图，四棱锥
的侧面
是边长为2 的正三角形，底面
为正方形，且平面
平面
，
，
分别为
，
的中点.
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在一点
使得
平面
，存在指出位置，不存在请说明理由.
(3)求二面角
的正弦值．
题型9 特殊证明与计算：四点共面型
1．（21-22 高三上·河南·阶段练习）如图所示，在四棱锥
中，底面
为正方形，
为侧
棱
上靠近
的三等分点，
底面
，且
.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)在侧棱
上是否存在点
，使得点
四点共面？若存在，指出点
的位置，并证明；若不存
在，请说明理由；
(2)求二面角
的余弦值.
2．（23-24 高三·河南·阶段练习）如图，四棱锥
，侧面
是边长为的正三角形，且与底
面垂直，底面
是
的菱形，
为
的中点．
（Ⅰ）求证:
；
（Ⅱ）在棱
上是否存在一点
，使得
四点共面？若存在，指出点
的位置并证明；若不存在，
请说明理由；
（Ⅲ）求点
到平面
的距离．
3．（24-25 高一下·云南昭通·期末）图1 是由正方形
和等边
组成的平面图形，将
沿
折起．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)折起时点
与点
重合，且平面
平面
，如图2，
、
分别是
、
的中点．
①证明：
四点共面；
②证明：平面
平面
；
(2)折起时点
与点重合，且
，如图3，求点
到平面
的距离．
题型10 特殊证明与计算：外接球型
外接球证明与计算；
主要借助于球的定义来证明。球的计算，则可以借助截面与垂径勾股三角形来计算。
1．（24-25 高三福建福州·阶段练习）如图所示的四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，F 为PC 的中点；
(1)求证：
平面
(2)求证：
平面
(3)若P，B，C，D 在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD 上
2．（24-25 高三上·河南开封·阶段练习）如图，四棱锥
中，
底面
，
，
，
.
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
；
(3)当
，
时，四棱锥
的外接球表面积与（2）中四棱锥
的外接球表
面积相等么？若相等，请求出四棱锥
的外接球表面积；若不相等，请说明理由.
3．（24-25 高一下·安徽安庆·期末）如图所示，已知正方体
的体积为64，点M 为线段
的中点，过点A，M 的平面
与直线
平行.
(1)求平面
与正方体
的表面形成的截面图形的面积；
(2)求证：平面
平面
；
(3)点E 是侧面
内的动点，满足
平面
，当线段
最短时，求四面体
的外接球的表
面积.
题型11 特殊证明与计算：特殊几何体体积
1．（25-26 高二上·山东潍坊·阶段练习）如图，四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，且侧面
底面
，
是
的中点，
．
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)已知
是
的中点，求证：平面
平面
(2)求证：
平面
；
(3)当
时，在棱
上是否存在一点
，使得三棱锥
的体积为
，若存在，请求出
的
值，若不存在，请说明理由．
2．（25-26 高三·湖北·阶段练习）如图是一块正四棱台
的工艺石料，该四棱台的上、
下底面的边长分别为2dm 和4dm，高为3dm．
(1)求四棱台
的表面积；
(2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台
的体积．
3．（25-26 高二上·北京·开学考试）如图，在多面体
中，平面
平面
，四边形
为正方形，四边形
为梯形，且
.
(1)求证：
；
(2)线段
上是否存在
，使得
平面
？若存在，求出
值；若不存在，请说明理由.
(3)求多面体
的体积.
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
题型12 特殊证明与计算：角度最值范围
角度最值范围型：
遵循角度概念与定义，适当的设变量，建立关于角度的三角函数式，在对应的自变量取值范围内求解最
值。
1．（25-26 高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，平面
平面
，且
．
(1)求证：
；
(2)当
时，求点
到平面
的距离；
(3)当
时，求二面角
的正切值的取值范围．
2．（25-26 高三安徽马鞍山·开学考试）如图1，在矩形
中，
为
的中点．
将
沿
向上翻折，进而得到多面体
（如图2）．
(1)当平面
平面
时，求直线
与平面
所成角的正切值；
(2)在翻折过程中，求直线
与平面
所成角的最大值；
(3)在翻折过程中，求二面角
的最大值．
3．（2025 高三·全国·专题练习）将边长为的等边
沿平行于
的线段
折起，使平面
平面
（如图）．设点
到
的距离为
的长为
．
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)当
为何值时，
取得最小值？最小值是多少？
(2)设
，试求
的最小值．
题型13 特殊证明与计算：几个角度恒等式
1．（23-24 高三·全国专题练习）在三棱锥
中，
，点
在平面
上的投影
为
，连接
.
(1)如图1，证明：
；
(2)如图2，记
，
，直线
与平面
所成角为
，求证：
，比
较
与
的大小并说明理由；
(3)如图3，已知
，
，
，
为平面
内一点，且
.记异面直线
与
所成角为
，求
的最大值.
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥
的侧棱
两两垂直，长度分别为
，高
，设侧面与底面所成的二面角分别为
，
，
，证明：
．
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥
的侧棱
两两垂直，长度分别为
，高
，设侧面与底面所成的二面角分别为
，
，
，证明：
．
题型14 第19 题题型综合应用
1．（24-25 高三全国 专题练习）设
为多面体
的一个顶点，
是多面体
上所有与
点
相邻的顶点，定义多面体
在点
处的离散曲率为
，其中所有角均采用弧度制表示．如图，在直
四棱柱
中，底面
为菱形，
．
(1)求四棱柱
在点
和点
处的离散曲率之和；
(2)若
与平面
所成角的正弦值为
，求四棱柱
在点
处的离散曲率；
(3)若四面体
在点
处的离散曲率为
，求二面角
的余弦值．
2．（24-25 高三全国 专题练习））离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设
为多面体Γ 的一个顶点，
定义多面体
在点
处的离散曲率为
，其中
为多面体
的所有与点
相邻的点，且平面
，平面
，平面
，
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
平面
为多面体
的所有以
为公共点的面．已知平面多边形
的外接圆圆心
为
与
的交
点，如图①，且
，将
沿
翻折到
如图②，连接
．
(1)求四棱锥
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)已知直线
与直线
所成角的余弦值为
．
①求四棱锥
在顶点
处的离散曲率；
②设
为线段
上的动点（不包括端点），
与平面
所成角为
，二面角
的平面角为
，其中
，求
的最大值．
3．（2025·河北·模拟预测）在空间中，过点
作平面
的垂线，垂足为
，记
.设
为两个
不同的平面，
为平面
外的三点.
.
(1)若
，判断直线
与平面
的位置关系；
(2)平面
与平面
夹角为锐角且交于直线，直线
，求证：
；
(3)若对于任意点
，恒有
成立，求平面
与平面
夹角的大小.
20
