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专题05 概率与分布列培优归类
题型1 条件概率：丢书与取球模型
对于条件概率，要通过数图与框架图，来理清概率原理与概括计算公式
1．（22-23 高二下·黑龙江七台河·期中）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10 个纸箱，其中5 箱英语书、
2 箱数学书、3 箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9 箱中任意打开两箱，
结果都是英语书的概率为( )
1
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A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·山西·期末）甲箱中有2 个红球和3 个白球，乙箱中有2 个红球和2 个白球（两箱中所
有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设
“从甲箱中取
出的球是红球”，
“从乙箱中取出的两球都是红球”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高二下·辽宁·阶段练习）某货车为某书店运送书籍，共
箱，其中箱语文书、箱数学书、
箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的箱书中随机打开
箱，结果是
箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）（21-22 高二下·福建南平·期末）甲、乙两个袋子中各装有
个大小相同的小球，其中甲袋
中有个红球，
个白球和个黑球，乙袋中有
个红球，个白球和个黑球，先从甲袋中随机取出一球
放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件
、
和
分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑
球，用事件
表示从乙袋中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．事件
与事件
相互独立
D．
、
、
是两两互斥的事件
题型2 条件概率：三门问题
三门问题实质是分类讨论，所以把三门问题涉及到的条件概率原理，通过分类讨论来理解。
1．（多选题）（24-25 高二下·四川内江·阶段练习）1990 年9 月，Craig F·Whitaker 给《Parade》杂志“Ask
Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后
放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其
中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了
一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参
赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1 号门，接着主持人会从2，3 号门中打开一道后
面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ）
A．如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为
B．主持人打开3 号门的概率为
C．在主持人打开3 号门的条件下，2 号门有豪车的概率为
D．在主持人打开3 号门的条件下，改选2 号门比保持原选择获得豪车的概率更大
2．（多选题）（22-23 高二下·贵州安顺·期末）在某电视台举办的猜奖娱乐节目中，事先在编号为1，2，
3 的三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖
品，游戏参与者知道其中一扇门背后是笔记本电脑，其余两扇门背后是水杯，作为游戏参与者当然希望选
中并赢得笔记本电脑，主持人知道笔记本电脑在哪扇门后面，假定你参与了该娱乐节目并初次选择的是1
2
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号门，接着主持人会从2、3 号门中打开一道后面是水杯的门，则以下说法正确的是（ ）
A．主持人打开3 号门的概率为
B．在主持人打开3 号门的条件下，1 号门有笔记本电脑的概率为
C．你获得笔记本电脑的概率为
D．在主持人打开3 号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2 号门与保持原选择获得笔
记本电脑的概率一样大．
3．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著
名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4 扇编号为1，2，
3，4 的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门
后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人
是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2 号门，用
表示号门后有奖品，用
表示
主持人打开号门，则
；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 .
4．（2022·河北邯郸·一模）在一次活动课上，老师准备了4 个大小完全相同的红包，其中只有一个红包里
面有100 元，其余三个里面都是白纸.老师邀请甲上台随机抽取一个红包，但不打开红包，然后老师从剩下
的三个红包中拿走一个装有白纸的红包，甲此时可以选择将自己选中的红包与剩下的两个红包中的一个进
行置换.
(1)若以获得有100 元的红包概率的大小作为评判的依据，甲是否需要选择置换？请说明理由.
(2)以（1）中的结果作为置换的依据，记
表示甲获得的金额，求
的分布列与期望.
题型3 分布列基础型
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，
如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．
1．（2025·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺
繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环
节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作
三幅不同的湘绣作品，已知
三幅作品通过设计图案环节的概率依次为
，通过刺绣环节的概率依次为
.
(1)求
三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；
(2)若已知
三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为
的概率；
(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，
三幅作品成为成品作品的件数为
.求随机变量
的分布列及
数学期望
.
2．（2025·浙江嘉兴·一模）2025 年7 月6 日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市
篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球足球排
､
､
球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球足球排球三类相关知识题量
､
､
3
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占比分别为
.甲同学回答篮球足球排球这三类问题中每个题的正确率分别为
､
､
.
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3 分，回答错误得-1 分.设该同学回答三题
后的总得分为
分，求
的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取
道题目，答对题目数不少于
道，即可获得奖励.现以获得奖励的
概率大小为依据，若甲同学在
和
之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.
3．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列，信号的传输相互独立.由于随
机因素的干扰，发送的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0.发送0 时，收到1 的概率为
，
收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的概率为
.假设发送信号0 和1
是等可能的.
(1)若
，
，求接收的信号为0 的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输是指每个信号
重复发送3 次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收
到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
（i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1 的概率；
（ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由.
题型4 分布列模型：射击模型
射击模型，要从这几方面考虑：
1. 一共打了几枪？
2. 为啥要结束？是否符合题中的结束条件？如果有多个结束条件，符合那一条？
3. 是否有子弹限制？
4.最终结束，是因为子弹打完，还是因为“完成任务”
5.有没有限制：如是“连续两枪击中”（或脱靶）还是“累计两枪击中”（或脱靶）
1．（22-23 高二下·浙江宁波·期中）对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，
Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击
落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是
，命中Ⅱ部分的概率是
，命中Ⅲ部分的概率是
，射击进行到击落飞
机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.
(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；
(2)求击落飞机的命中次数
的分布列、数学期望和方差.
2．（2022·湖南长沙·模拟预测）某靶场有
，
两种型号的步枪可供选用，其中甲使用
两种型号的
步枪的命中率分别为
,
；，
(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3 次，则可以获得
一份精美礼品，若甲使用
型号的步枪，并装填5 发子弹，求甲获得精美礼品的概率；
(2)现在
两把步枪中各装填3 发子弹，甲打算轮流使用
两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续
使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用
种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶
或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记
为射击的次数，求
的分布列与数学期
望．
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）某猎人发现在距离他100 米处的位置有一只猎物，如果直接射击，则只射
击一次就击中猎物的概率为
，为了有更大的概率击中猎物，猎人准备多次射击.假设每次射击结果之间相
4
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互独立，猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比.
(1)如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受到惊吓奔跑，使
得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了50 米；如果第二次射击仍然没有击中猎物，则第三次射击时
猎物和他之间的距离又增加了50 米，如此进行下去，每次射击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他
之间的距离都会增加50 米，当猎人击中猎物或发现某次射击击中的概率小于
时就停止射击，求猎人停
止射击时射击次数的概率分布列与数学期望.
(2)如果猎人直接连续射击，由于射击速度很快，可以认为在射击期间猎物和猎人之间的距离保持不变，如
果希望至少击中猎物一次的概率超过98%，至少要连续射击多少次?
附:
.
题型5 分布列模型：比赛模型
比赛模式，要从以下几个方面来考虑：
1. 一共比赛了几局？
2. 最终是“谁赢了”。
3. 比赛规则有没有平局，如果有平局，概率是多少？
4. 是否符合这个规则：赢了的必赢最后一局；
4. 比赛为啥结束？是否符合题中的结束比赛条件？如果有多个比赛结束的条件规则，符合那一条规
则？
5. 在比赛前有没有设施“抽签” 环节，如果设置了抽签环节，抽签的概率是多少？
1．（2025·广西·模拟预测）2025 年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦孙颖莎以
､
战胜日本队
组合吉村真晴大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军
､
.假设2026 年的一次乒乓球比赛中，S 组合与
组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛
组合获胜的概率为
，每局比赛胜负结果相互独立，规
定先达到净胜3 局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜
局指的是一方比另一方多胜
局）.
(1)分别求恰好3 局比赛结束时
组合获得比赛胜利的概率
，恰好5 局比赛结束时
组合获得比赛胜
利的概率
；
(2)若规定比赛总局数达到7 局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数
的
分布列；
(3)若比赛局数不限，求
组合获得比赛胜利的概率.
2．（25-26 高二上·浙江·开学考试）2025 年6 月23 日雷霆队以大比分
战胜步行者队捧起奥布莱恩杯.众
所周知，
总决赛采取7 场4 胜制，当两队大比分战成
，第5 场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲
乙两支队伍闯入
总决赛，首战甲获胜的概率为
，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为
，
每场比赛结果相互独立.
(1)求两场后双方战成
的概率；
(2)若首战乙胜，求再战三场双方战至
后甲在“天王山之战”中获胜的概率；
(3)求甲乙不需要进行第七场比赛的概率.
3．（2025·广西南宁·三模）甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由
抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂
失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主〈不包含初始擂主）时，比赛立即结束，
5
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该选手获得胜利．
(1)若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
(2)已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率；
(3)求甲成为最终获胜者的概率．
题型6 分布列模型：取球模型
取球模式，包含以下思维：
1. 一次取几个球，取球取的是那些颜色（形式）的。
2. 球，是一次性取出，还是一个一个取。
3. 取球，是有放回的取球，还是不放回的取球。
4. 取球为啥停止，是球取完了，还是触发了题中规定的停止取球规则，停止条件是什么。
1．（23-24 高三·山东济南·阶段练习）一个袋中装有形状大小完全相同的球9 个，其中红球3 个，白球6
个，每次随机取1 个，直到取出3 次红球即停止．
(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4 次停止的概率P1；
(2)从袋中有放回地取球．
①求恰好取5 次停止的概率P2；
②记5 次之内(含5 次)取到红球的个数为
，求随机变量
的分布列及数学期望．
2．（21-22 高三下·重庆渝中·阶段练习）甲、乙两名同学参加某个比赛，比赛开始前
箱子中装有3 个红
球3 个白球，
箱子中装有1 个红球2 个白球．比赛规则是：先由甲同学从
箱子中每次取一个球放入
箱子中，若从
箱子中放入
箱子中的球是红球则停止取球，若是白球则继续取球放球过程，直到第一次
取到红球并放入
箱子中为止．然后再由乙同学从
箱子中任取一个球，若取出的是红球则乙同学获胜，
否则甲同学获胜．
(1)用
表示甲同学从
箱子中取出放入
箱子中球的个数，求
的分布列及数学期望；
(2)求甲同学获胜的概率．
3．（2024·辽宁大连·一模）一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7 个小球，其中4 个白球，3 个黑
球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．
(1)求停止取球时盒中恰好剩3 个白球的概率；
(2)停止取球时，记总的抽取次数为
，求
的分布列与数学期望：
(3)现对方案进行调整：将这7 个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3 个小球，其中2 个白球，1 个黑球：
乙盒装4 个小球，其中2 个白球，2 个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒
中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或
者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y
的数学期望的大小关系．
题型7 马尔科夫链模型
马尔可夫链：若
，即未来状态
只受当
前状态
6
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马尔科夫不等式
设
为一个非负随机变量，其数学期望为
，则对任意
，均有
，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学
期望间的关系．
证明：当
为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设
的分布列为
其中
，则对任意
，
，其中符号
∑
xi≥ε
Ai
表示对所有满足
的指标i 所对应的
求和．的影响，与之前的
无关.
1．（2025·辽宁·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄
国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第
次状态的概率分布只跟第n 次的
状态有关，与第
，
，
，…次状态无关．已知有A，B 两个盒子，各装有1 个黑球、1 个黄球和
1 个红球，现从A，B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行
次这样的操作后，
记A 盒子中红球的个数为
，恰有1 个红球的概率为
，恰有2 个红球的概率为
．
(1)求
，
的值；
(2)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(3)求
的数学期望．
2．（2025·广东湛江·一模）甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的
类问
题以及难度系数较高的
类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问
题的概率均为
，甲遇到
类问题时回答正确的概率为
，回答正确记1 分，否则记0 分；甲遇到
类问
题时回答正确的概率为
，回答正确记2 分，否则记0 分，总得分记为X 分，甲回答每个问题相互独立．
(1)当进行完2 轮游戏时，求甲的总分X 的分布列与数学期望．
(2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n 分的概率为
．
（ⅰ）证明：
为等比数列．
（ⅱ）求
的最大值以及对应n 的值．
3．（2025·重庆·一模）在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为
10:10，接下来比赛规则如下: 两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 1 分，直到有一方得分超过对方
2 分时即可获得该局的胜利. 已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 . 比赛既是实力的较量，也是心态
的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在
下一球比赛中获胜的概率为
.
(1)求甲以
的比分赢得比赛的概率;
(2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 0.6，求
的范围;
(3)若
，设甲运动员在第
球比赛中获胜的概率为
，数列
满足
，求
7
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证:
.
（参考知识: 当
时，若
，则
.）
题型8 传球模型
传球模型，大多数是属于“马尔科夫链”。传球模式要理清以下几个情况：
1.如果没有特殊要求特殊规定，则n 个人传球，每个人接到球的概率是
。
2.起始阶段，球在谁手里，也就是第一次传球，球是从谁手里传出。
3.
1．（24-25 高二下·湖南·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，增强团队协作能力和沟通能力，促进身心
健康发展，某校将举行一次篮球赛.某班准备组建一支5 人的篮球队参加比赛，其中甲、乙2 人已入选，现
要从含丙、丁、戊的另外5 人中再选3 人参赛.
(1)求丙、丁、戊3 人中入选的人数
的分布列及期望；
(2)现甲、乙、丙、丁、戊5 人进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球
传给另外4 个人中的任何1 人，求
次传球后球在甲手中的概率.
2．（2025·四川凉山·三模）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部
相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行
动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2 小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起
来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．
(1)为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100 名进行调查，得
到
列联表如下：
喜爱排球运动
不喜爱排球运动
合计
男性
60
40
100
女性
45
55
100
合计
105
95
200
依据小概率值
的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？
(2)某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3 人中的1 人，乙也等
可能地随机传向另外3 人中的1 人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1 人，第1 次由甲将球传出，
如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n 次传球之后球在丙或丁手上的概率为
．
（ⅰ）计算
，
，并求
的通项公式；
（ⅱ）记第n 次传球之后球在乙手上的概率为
，求
的通项公式．
附：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
3．（23-24 高三上·山东威海·期末）甲、乙、丙人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等
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可能地传给其余
人之一，设
表示经过
次传递后球传到乙手中的概率.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等比数列，并求
；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，
则
．记前
次（即从第次到第
次传球）中球传到乙手中的次数为
，求
．
题型9 多人比赛模式
多人比赛模式，要考虑以下各种情况：
1.第一局比赛双方是谁？怎么确定的。是规定，还是抽签定下来，有没有“选择权”。
2.比赛进行了几局？输赢双方怎么进入下一局比赛？淘汰规则是什么？
3.最终“谁赢了”？赢的规则，是累计，还是连续？
4.比赛规则规定，有没有平局？如果有平局，概率是多少？
5.是否符合“赢了的必赢最后一局”；
6.比赛为啥结束？结束规则是什么？
1．（2023·河南信阳·模拟预测）某地乒乓球协会在年55 岁
65 岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐
兵兵”比赛，3 人一组先进行预赛，选出1 名参赛人员进入正式比赛.已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第
一轮比赛次序为：甲对乙、甲对丙、乙对丙，先累计获胜2 场的选手，进入正式比赛.若前三场比赛甲、乙、
丙各胜负一场，则根据抽签确定由甲、乙加赛一场、胜者参加正式比赛.已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概
率分别为
，各场比赛互不影响且无平局.
(1)求甲进入正式比赛的概率；
(2)若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为
，求
的分布列与数学期望.
2．（24-25 高三上·山西晋城·期末）甲、乙、丙人进行跳棋比赛，人两两各进行局，共进行局，赢
的局数多者获胜，且这人只有人可获胜，若没有获胜者，则这人两两再各进行局，若还没有获胜者，
则比赛结束.假设甲、乙、丙每人每局赢的概率均为
，每局是平局的概率均为
，每人每局的结果相互独
立.设每赢局得
分，平局得分，输局得
分.
(1)求该跳棋比赛前局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率；
(2)已知前局中甲、乙、丙各赢局，这人两两再各进行局，记甲在这
局中获得的总分为
，求
的
分布列与数学期望.
3．（23-24 高三·湖南阶段练习）为了纪念五四运动100 周年和建团97 周年,某校团委开展“青春心向党,建
功新时代”知识问答竞赛.在小组赛中,甲､乙､丙3 人进行擂台赛,每局2 人进行比赛,另1 人当裁判,每一局的输
方担任下局的裁判,由原来裁判向胜者挑战,甲､乙､丙3 人实力相当.
(1)若第1 局是由甲担任裁判,求第4 局仍是甲担任裁判的概率;
(2)甲､乙､丙3 人进行的擂台赛结束后,经统计,甲共参赛了6 局,乙共参赛了5 局而丙共担任了2 局裁判.则甲､
乙､丙3 人进行的擂台赛共进行了多少局?若从小组赛中,甲､乙､丙比赛的所有场次中任取2 场,则均是由甲担
任裁判的概率是多少.
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题型10 双盒子换球模式
双盒子换球模式：
1. 换过去的球是啥颜色球。
2. 返回来是啥颜色球。
3. 是同时换，还是A 到B 先放，然后再从B 到A 取
4. 换了几次，结束原因是什么。
1．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处
理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是
，
，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
，即
.已知甲盒子中装有2 个黄球和1 个黑球，乙盒子中装有1 个黄球
和2 个黑球(6 个球的大小形状完全相同).记操作
:从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子
中.在重复
次
操作后，记甲盒子中黄球个数为
，恰有3 个黄球的概率为
，恰有2 个黄球的概率为
，并记
的数学期望为
.
(1)求
;
(2)求
;
(3)证明:
.
2．（2024·湖南衡阳·三模）现有A，B 两个不透明盒子，都装有m 个红球和m 个白球，这些球的大小、形
状、质地完全相同．
(1)若
，甲、乙、丙依次从A 盒中不放回的摸出一球，设X 表示三人摸出的白球个数之和，求X 的分
布列与数学期望；
(2)若
，从A、B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，
次这样的操作后，记A
盒子中红球的个数为
，求：
（i）
的概率；
（ii）
的分布列．
3．（24-25 高三上·江西·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性
质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1 次状态的概率分布只与第n 次的状态有关，与第
，…次的状态无关，即
．已知甲盒中装有1 个白球和
2 个黑球，乙盒中装有2 个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1 个球交换放入对方的盒中，重复n 次（
）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为
，甲盒中恰有2 个白球的概率为
，恰有1 个白球
的概率为
．
(1)求
和
．
(2)证明：
为等比数列．
(3)求
的数学期望（用n 表示）．
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题型11 多线程模式
多线程模式，类似于复杂条件比赛模式，可从从多图分类，多重条件分流型等入手，采用分类讨论。注
意
讨论时要按照统一的标准，不多讨论，也不遗漏讨论
1．（25-26 高二上·陕西西安·开学考试）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛
事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败
了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们
四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，
胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进
入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后
总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者
只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来
拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下
两个赛制：假设四支队伍分别为
其中
对阵其他三个队伍时获胜的概率均为
，另外
三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为
，最初分组时，
同组，
同组.
(1)若
，在淘汰赛赛制下，
获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下
获得冠军的概率（用
表示），比较其与
的大小；
(3)据（2）简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
2．（2025·四川成都·模拟预测）小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1 分，输球不得分．每
局先得2 分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为
，小勇胜小勤的概
率为
（其中
是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时
）．
小忠与小勇打一局，小忠得1 分而下场的概率为
．
(1)求
；
(2)若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分
的分布列和数学期望；
(3)若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30 秒，小勇可以主动认输，认输也会用
时30 秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为
，其它两人不能主动认输．小
勇要在接下来的6 分钟时间（含第6 分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说
明其状态并求出最大概率．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的不透明盒子，盒子中的球分
为三种颜色：红色蓝色和绿色，各球除颜色可能不同外，其余均相同
､
.每次游戏，参与者需要从盒子中随
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机取球.已知盒子中红色球蓝色球和绿色球的数量分别为
､
个､
个和个，且总球数为
个
.
(1)若规定每次取一个球，取球后不将球放回盒子中，且连续取两次.求取出一个红色球和一个蓝色球的概率；
(2)若规定每次取一个球，取球后将球放回盒子中，且连续取三次.设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的
概率为
，当
时，求
；
(3)在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时.参与者获胜；
否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由.
题型12 药物检验方案选优模型
1．（2020·安徽合肥·模拟预测）某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为
阳性，现有
份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k 次；方案
二：混合检验，将k 份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k 份血液样本均为
阴性，若检验结果为阳性，为了确定k 份血液中的阳性血液样本，则对k 份血液样本再逐一检验.逐份检验
和混合检验中的每一次检验费用都是
元，且k 份血液样本混合检验一次需要额外收
元的材料费
和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳
性的概率为
.
（1）若
份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X 分布列及数学期望；
（2）①若
，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若
，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k 的最大值.
参考数据：
，
，
，
，
2．（21-22 高二下·山东济南·期末）在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结
果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有n（
，
）个人，每人一份血
液待检验，有如下两种方案：
方案一：逐份检验，需要检验n 次；
方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾
病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验n＋1 次．
(1)若
，且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3 次就能确定患病两人的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为
．
（ⅰ）若两种方案检验总次数的期望值相同，求p 关于n 的函数解析式
；
（ⅱ）若
，且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由．
3．（22-23 高三上·河南·期末）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核
酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行
化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于
份样本，有以下两种检
验方式：一是逐份检验，则需要检验n 次；二是混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起，若检验结果
为阴性，那么这k 份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份究竟哪些为阳性，
需要对它们再次取样逐份检验，则k 份检验的次数共为
次，若每份样本没有病毒的概率为
，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．
(1)若取得8 份样本，采用逐个检测，发现恰有2 个样本检测结果为阳性的概率为
，求
的最大值
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点
；
(2)若对取得的8 份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用逐份检验；方案二：平均分成两组，每组
4 份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的
取值范围（精确到0.01）．
题型13 机器人游走模型
机器人游走模型
一维随机游走模型：
设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻
时，位于点
，下一个时刻，它
将以概率
或者
（
）向左或者向右平移一个单位.若记状态
表示：在时刻该
点位于位置
，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于
，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在
与
处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不
再游走.于是，
.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为
，原地不动，其概率为
，向
右平移一个单位，其概率为
，那么根据全概率公式可得：
1．（2019·湖南永州·一模）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检
测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标
来衡量产品的质量.当
时，产品为优等品；当
时，产品为一等品；当
时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500 件，
绘制了这500 件产品的质量指标
的条形图.用随机抽取的500 件产品作为样本，估计该企业生产该产品的
质量情况，并用频率估计概率.
（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1 件，求该产品为优等品的概率；
（2）现某人决定购买80 件该产品.已知每件成本1000 元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80 件
产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80 件产品中随机抽出4 件
产品进行检测，若检测出3 件或4 件为优等品，则按每件1600 元购买，否则按每件1500 元购买，每件产
品的检测费用250 元由企业承担.记企业的收益为
元，求
的分布列与数学期望；
（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控
机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是
，方格图上标有第0 格、第1 格、第2 格、……、
第50 格.机器人开始在第0 格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动
一格（从
到
），若掷出反面，机器人向前移动两格（从
到
），直到机器人移到第49 格（胜
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利大本营）或第50 格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器
人移到第
格的概率为
，试证明
是等比数列，并解释此方
案能否吸引顾客购买该款产品.
2．（24-25 高三上·四川成都·期中）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖
也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.
市教育主管部门为
掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了
人，并将这
人在本月的
网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过
元）：
消费金额（单位：百元）
频数
20
35
25
10
5
5
(1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额
（单位：元）近似服从正态分布
，其
中
近似为样本平均数
（每组数据取区间的中点值，
）．现从该市任取
名大学生，记其中网
络外卖消费金额恰在
元至
元之间的人数为
，求
的数学期望；
(2)
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值
元的
饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第
格、第格、第
格、…、
第
格共
个方格．棋子开始在第
格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是
，
其中
），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从
到
），若掷出反面，则将棋子向前移动两格
（从
到
）．重复多次，若这枚棋子最终停在第
格，则认为“闯关成功”，并赠送
元充值饭卡；
若这枚棋子最终停在第
格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束．
①设棋子移到第
格的概率为
，求P2的值，并证明：当
时，
是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由．
参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．
3．（23-24 高三上·江西南昌·阶段练习）某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让
利于民，更要保证品质兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100 辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．
现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．
(2)根据大量的测试数据，可以认为该款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布
，经计算
第（1）问中样本标准差s 的近似值为50，用样本平均数
作为
的近似值，用样本标准差s 作为
的估计
值，现从该款汽车的生产线任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250 千米到400 千米之间的概率．
(3)某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指
挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8 万元；若最终停在“赠送
车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0 格，客户每掷
一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到
移到第4 格（幸运之神）或第5 格（赠送车模）时游戏结束．若有6 人玩游戏，每人参与一次，求这6 人
获得优惠券总金额的期望值．
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参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
题型14 分布列压轴19 题
1．（2025·山东济南·三模）甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多
者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是
（
），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局.
(1)
，若两人共进行5 局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为
，求
的分布列和数学期望；
(2)
时，若两人共进行
（
且
）局比赛，记事件
表示“在前
局比赛中甲赢了
局”.事件
表示“甲最终获胜”.请写出
，
，
，
的值（直接写出结果即可）；
(3)若两人共进行了
局比赛，甲获胜的概率记为
.证明：
时，
.
2．（25-26 高三上·重庆南岸·期中）有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂次，每次分裂生成个细胞的概
率为
，生成
个细胞的概率为
，生成个细胞的概率为
，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下
一秒继续分裂且各个细胞间相互独立.假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞.
记个细胞分裂
次后共有
个细胞的概率为
.
(1)求
、
；
(2)求
；
(3)已知：若
和
均为离散型随机变量，则
.证明：
.
3．（2025·浙江·模拟预测）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相
互独立．
(1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3 分，负者获得1 分；②连续2 局获胜或积分率先达到11 分者
可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为
．求甲乙决出冠军时比赛局数
的分
布列与数学期望
；
(2)若每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
．已知甲乙进行了
局比赛且甲胜了11 局，
试给出
的估计值
表示
局比赛中甲胜的局数，以使得
最大的
的值作为
的估计值）．
(3)随着比赛的进行，对于高手而言，越到后面，在单局比赛中获胜的概率越大．设比赛共进行
局，若甲
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在第
局比赛中获胜的概率为
，同时主办方决定最终奖金的计算根据每一局的胜负情况，
第
局的胜者得奖金
元，负者0 元．记随机变量
为比赛结束时甲获得的总奖金数，求
（用
表
示）
参考公式：对任意随机变量
，有
．
结束
16
