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重庆市2026 年初中学业水平考试
数学试题
（全卷共三个大题，满分150 分，考试时间120 分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡
．．．上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡
．．．上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色
．．2B
．．铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡
．．．一并收回．
参考公式：抛物线
的顶点坐标为
，对称轴为直线
．
一、选择题：（本大题10 个小题，每小题4 分，共40 分）在每个小题的下面，都给出了代号
为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡
．．．上题号右侧正确答案所对
应的方框涂黑．
1. 3 的倒数是（ ）
A.
B.
C.
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果．
【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，
，
的倒数是
．
2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】从正面看到的视图有三列，从左到右正方形的个数依次是2，1，1，据此判断即可．
【详解】解：观察几何体，从正面看： 第一列（左）有2 层，看到2 个正方形， 第二列（中）有1 层，
看到1 个正方形， 第三列（右）有1 层，看到1 个正方形，
从正面看到的视图如下
3. 2026 重庆马拉松于今年1 月18 日举行，赛事总规模为
人．数据
用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：
用科学记数法表示为
．
4. 如图，点A，B，C 在
上．若
，则
的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2 倍求解即可．
【详解】 解：∵
与
是同弧所对的圆周角与圆心角，
∵
，
∴
．
5. 下列事件中，一定会发生的是（ ）
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A. 从只有白球的袋中摸出白球
B. 明天一定会下雨
C. 随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数
D. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项，选出一定会发生的事件．
【详解】解：A 选项中袋中只有白球，因此从袋中摸球一定只能摸出白球，该事件一定会发生．
B 选项明天是否下雨是不确定的，属于随机事件，不一定发生．
C 选项随意翻页得到的页码可能是奇数也可能是偶数，属于随机事件，不一定发生．
D 选项正方体骰子向上一面的点数最大为
，不可能得到点数
，属于不可能事件，一定不会发生．
6. 醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中
，
，
分
别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4 个氢原子，第②个图中有6 个氢原子，第③个图中有8
个氢原子，第④个图中有10 个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（ ）
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第
个图形中氢原子个数的公式，将
代入计算
即可．
【详解】解：
第①个图中有
个氢原子，
；
第②个图中有
个氢原子，
；
第③个图中有
个氢原子，
；
第④个图中有
个氢原子，
第
个图中氢原子的个数为
，
∴当
时，氢原子的个数为
．
7. 在反比例函数
中，若
，则
的取值范围为（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数系数的符号判断
时
的增减性，再代入
的端点值得到
的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数
中，
，
∴当
时，
随
的增大而减小，
当
时，
，
当
时，
，
∴当
时，
的取值范围为
．
8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器
各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5 个大容器和1 个小容器的总容量为3 斛（斛是过去的一种量
器），1 个大容器和5 个小容器的总容量为2 斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1 个大容器的容量为
斛，1 个小容器的容量为
斛，则可列方程组为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】设1 个大容器的容量为
斛，1 个小容器的容量为
斛，根据“5 个大容器和1 个小容器的总容量
为3 斛”和“1 个大容器和5 个小容器的总容量为2 斛”建立方程组．
【详解】解：设1 个大容器的容量为
斛，1 个小容器的容量为
斛，
∵5 个大容器和1 个小容器的总容量为3 斛，
∴
，
∵1 个大容器和5 个小容器的总容量为2 斛，
∴
，
因此可得方程组
．
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9. 如图，在正方形
中，
为
上一点，且
，连接
．过点
作
，垂足为
，连接
并延长交
于点
，连接
，则
与
的面积之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设
，则
，
，
，先得出
，
则可得
的长，再过点
作
于点
，作
于点
，得出
，
，求出
的长，进而求出
与
的面积即可．
【详解】解：设
，
∵
，
∴
，
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，即
，
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解得
，
如图，过点
作
于点
，作
于点
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴
，即
，
解得
，
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
，
解得
，
∴
，
，
∴
与
的面积之比为
．
【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形．
10. 已知整式
：
，其中
，
为正整数，
，
，
，
，
为整数，
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，且
．下列说法：
①当
时，满足条件的所有整式
的和为
；
②当
时，若函数
的图象关于
轴对称，则满足条件的整式
有且仅有1 个；
③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式
共有2 个．
其中正确的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和
的取值，分别确定相应
的值，进而可得
的值，然后计算整式的加减、因
式分解逐个判断即可．
【详解】解：①当
时，
，即
，
∵
，
为正整数，
∴
，
当
时，则
，解得
或
（舍去），此时
；
当
时，则
，解得
或
（舍去），此时
；
当
时，则
，解得
或
，此时
或
；
当
时，则
，解得
或
，此时
或
；
当
时，则
，解得
，此时
，
则满足条件的所有整式
的和为
，说法①正确；
②当
时，
，
，即
，
由题意可知，
为正整数，
，
为整数，且
，
∴
，
∵函数
的图象关于
轴对称，
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∴
，即
，
∴
，
解得
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，解得
，
又∵
为正整数，
∴
，
，
∴
或
（舍去），
∴满足条件的整式
，有且仅有1 个；说法②正确；
③∵整式
是二次二项式，
∴
，且
只有两个非零项，
同②可得：
，
为正整数，
∴在这个二次二项式中，
或
，
（Ⅰ）当
时，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
，不能在有理数范围因式分解，舍去；
当
时，
，能在有理数范围因式分解；
当
时，
，不能在有理数范围因式分解，舍去；
（Ⅱ）当
时，
，
，
，
∴
，
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∴只有
符合，此时
，能在有理数范围因式分解；
综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式
共有2 个；说法③正确；
所以说法正确的个数是3 个．
二、填空题：（本大题6 个小题，每小题4 分，共24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡
．．．中
对应的横线上．
11. 某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E 中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A 的概率
为____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意可知，从五个备选节目中随机抽取1 个，共有
种等可能的结果，其中抽到节目A 的
结果只有种，
∴抽到节目A 的概率为
．
12. 如图，直线
，
被直线
所截．若
，
，则
的度数是___．
【答案】
##58 度
【解析】
【详解】解：∵
，
∴
．
13. 满足
的整数
的值可以是_____（写一个即可）．
【答案】
（答案不唯一，
，
，
任选其一即可）
【解析】
【分析】先估算无理数
和
的取值范围，再确定范围内的整数
，任选一个整数即可作答．
【详解】解：∵
，
∴
，
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∵
，且n 是整数，
∴n 的值可以是3 或4 或5，
∴满足题意的n 的值可以是3．
14. 若实数
，
同时满足
，
，则
的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据
得到
，由绝对值的非负性推出
，则可推出
，进而
得到
，解方程求出y 的值，进而求出x 的值，最后代入求值即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
或
，
当
时，
，此时不满足题意；
当
时，
，此时满足题意；
∴
．
15. 自然数
与
均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且
与
的乘积为三位
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数．
的最小值为_____；当
时，存在正整数
，使得
，则满足条件的所有
的值之
和为____．
【答案】 ①.
②.
【解析】
【分析】设两个自然数的十位上的数字为
（
，且
为整数），自然数
的个位上的数字为
（
，且
为整数），则自然数
的个位上的数字为
，表示出
，根据
的化简结果确
定其和
的关系，结合乘积为三位数的条件求出
的最小值，再利用平方差公式变形
，根据
完全平方数的性质枚举所有可能，计算所有
的和即可．
【详解】解：设两个自然数的十位上的数字为
（
，且
为整数），自然数
的个位上的数字为
（
，且
为整数），则自然数
的个位上的数字为
，
∴
，
，
∴
，
，
要使
最小，需
最小，
则当
时，
的最小值为
，
此时
，
由二次函数的性质可知，当
或
时，
的值最大，最大值为
或
，符合题意．
当
时，
，
解得
，
∴
，且
为整数，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
为奇数，且
，
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∴
所有可能的取值为
，
①当
，即
时，
，
，
∵
，且
为整数，
∴当
时，
，
此时正整数
，
，符合题意；
当
时，
，
此时正整数
，
，不符合题意，舍去；
②当
，即
时，
，
，
同理可得：没有符合条件的
，使得正整数
满足
；
③当
，即
时，
，
，
同理可得：没有符合条件的
，使得正整数
满足
；
④当
，即
时，
，
，
同理可得：没有符合条件的
，使得正整数
满足
；
⑤当
，即
时，
，
，
当
时，
，
此时正整数
，
，符合题意；
当
时，
，
此时正整数
，
，不符合题意，舍去；
综上，满足条件的所有
的值为7 和21，它们的和为
．
【点睛】本题的难点在于列出代数式，正确分类讨论．
16. 如图，四边形
是平行四边形，点
，
在
上，
，
经过圆心
，且
，
垂足为
，
．连接
交
于点
，连接
并延长交
于点
，
，则
的长度为
____，
的长度为____．
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【答案】 ①.
②.
【解析】
【分析】先得出
，再在
中，利用勾股定理求解可得
的长度；过点
作
于点
，过点
作
于点
，连接
，先求出
的长，再求出
的长，然后
解直角三角形可得
的长，进而可得
的长，最后根据
求解即可．
【详解】解：∵四边形
是平行四边形，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
设
，
∵
，
∴
，
在
中，
，即
，
解得
，
∴
，
．
如图，过点
作
于点
，过点
作
于点
，连接
，
∵
经过圆心
，且
，
∴
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
在
中，
，
又∵
，
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形．
三、解答题：（本大题9 个小题，第17 题、第18 题各8 分，其余每题10 分，共86 分）解答
时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过
程书写在答题卡
．．．中对应的位置上．
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【详解】解：
解不等式①得
，
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解不等式②得
，
将①和②的解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解集为
．
18. 先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
化简结果为
，值为
【解析】
【详解】 解：
，且
时分式有意义
当
时，原式
．
19. 早在2005 年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，
某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20 名学生的竞赛成绩
（满分为100 分，成绩均不低于60 分），对七年级抽取20 名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了统计图：
A 组：
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B 组：
C 组：
D 组：
（其中
表示竞赛成绩）
七年级抽取20 名学生的竞赛成绩在C 组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89．
八年级抽取20 名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，
93，93，93，95，97，100．
经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、
八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请你直接写出条形统计图中m 的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞
赛成绩的众数；
（2）该学校七年级有学生320 人，八年级有学生300 人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低
于90 分的学生人数共是多少？
（3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理
由即可）．
【答案】（1）6，86，93
（2）154 人 （3）八年级此次竞赛成绩较好，理由如下：
∵八年级的众数
大于七年级的众数
∴八年级此次竞赛成绩较好
或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下：
∵七年级的中位数
大于八年级的中位数
∴七年级此次竞赛成绩较好
【解析】
【分析】（1）用总人数减去其他组的人数即可求出B 组人数，然后根据中位数和众数的定义求解；
（2）利用样本估计总体的方法求解；
（3）根据中位数、众数分析判断即可．
【小问1 详解】
解：七年级抽取20 名学生的竞赛成绩中B 组人数
；
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∵共有20 个数据
∴中位数为第10 个数据和第11 个数据的平均数
∴七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数为
；
∵八年级抽取20 名学生的竞赛成绩中93 出现的次数最多
∴八年级抽取学生的竞赛成绩的众数为93；
【小问2 详解】
解：
（人），
∴估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90 分的学生人数共是154 人；
【小问3 详解】
略
20. 综合与实践
在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究．
【动手操作】
如图，在
中，
．用尺规完成基本作图：作出
的平分线，交
于点
．
【问题提出】
他们猜想
，
，
之间存在以下数量关系：
．
【问题解决】
任务：
（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明．
【答案】（1）解：作图如下：
（2）证明：由作图知，
是
的平分线，
∴
，
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∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【解析】
【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可；
（2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得
，从而可证明猜想．
【小问1 详解】
解：略；
【小问2 详解】
证明：略．
21. 列方程解下列问题：
某企业承担了一款智能机器人的A，B 两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A 型配件的数量比每
天生产B 型配件的数量少
个，且
天生产的A 型配件的数量与天生产的B 型配件的数量相等．
（1）求该企业每天生产A，B 型配件的数量分别是多少个？
（2）如果该企业每天生产A，B 型配件的数量分别减少
个和
个，那么生产
个A 型配件的天数与
生产
个B 型配件的天数相同，求
的值．
【答案】（1）该企业每天生产A 型配件的数量为15 个，每天生产B 型配件的数量为45 个
（2）
．
【解析】
【分析】（1）设该企业每天生产A 型配件的数量为x 个，则每天生产B 型配件的数量为
个，根据
天生产的A 型配件的数量与天生产的B 型配件的数量相等建立方程求解即可；
（2）根据生产
个A 型配件的天数与生产
个B 型配件的天数相同建立方程求解即可．
【小问1 详解】
解：设该企业每天生产A 型配件的数量为x 个，则每天生产B 型配件的数量为
个，
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由题意得，
，
解得
，
∴
，
答：该企业每天生产A 型配件的数量为15 个，每天生产B 型配件的数量为45 个；
【小问2 详解】
解：由题意得，
，
解得
，
检验，当
时，
，
∴
是原方程的解，且符合题意．
22. 如图，四边形
是矩形，
，
．点
以每秒
的速度沿
方向运动，
点
在直线
上运动，且满足
．点
与点
同时出发，以每秒
的速度沿折线
方向运动．设运动时间为
秒
，点
与点
的距离为
，点
与点
的距离为
．
（1）请直接写出
，
关于
的函数表达式，并分别写出自变量
的取值范围；
（2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数
，
的图象；结合函数图象，直接写出
时
的取值
范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过
）．
【答案】（1）
（
）；
（2）
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或
【解析】
【分析】（1）求
的函数表达式：先根据点E 的运动速度得到
，再根据
，将直角边
和
代入三角形面积公式，可得出
即
的表达式；根据点
沿
运动，
速度为
，当
时，
，当
时，
，分两种情况解答．
（2）根据
、
的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象．
【小问1 详解】
解：∵四边形
是矩形，
，
．
∴
，
∴
（
），
∵点
以每秒
的速度沿
方向运动，点
在直线
上运动，且满足
．运动时
间
秒，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
（
）；
∵点
沿
运动，
速度为
，
，
∴当
时，
，
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当
时，
，
综上，
．
【小问2 详解】
解：列表：
x
0
1
2
3
4
5
6
8
8
4
2
1
6
5
4
2
0
2
4
6
10
以表中每对x、
的值和x、
的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，
得到
和
的图象．
由图象看出当
时，
或
．
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23. 重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如
图，大门
，猴山
，古塔
，游乐场
为景区内在同一平面内的四个景点．
位于
的正东方向
千米
处，
位于
的正南方向且位于
的南偏西
方向，
位于
的南偏东
方向且位于
的南偏东
方向．
（1）求
的长度（参考数据：
，
，
，
，结果保留小数点后
一位）；
（2）现甲从
出发沿
方向前往
，乙从
出发沿
方向前往
，两人同时出发，乙的速度是甲的
速度的
倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为
千米，求此时甲离
处多少千米？
【答案】（1）7.4 千米
（2）
千米或4 千米
【解析】
【分析】（1）过点B 作
于点E，由含30 度直角三角形的性质求得
，
，由勾股定理求得
，再由勾股定理即可求得
；
（2）假设甲走到F 处，乙走到G 处时，两人的直线距离为4 千米，过点F 作
于点H，由速度关
系得路程关系，设
千米，则
千米，利用含30 度直角三角形的性质及勾股定理求得
，再由勾股定理建立方程即可求解．
【小问1 详解】
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解：如图，过点B 作
于点E，
由题意得
，
∴
千米，
∵
，
，
∴
，
∴
千米，
由勾股定理得
千米，
∵
，
∴
，
∴
千米，
由勾股定理得
（千米）．
答：
的长度为7.4 千米．
【小问2 详解】
解：假设甲走到F 处，乙走到G 处时，两人的直线距离为4 千米，即
千米，
如图，过点F 作
于点H，
∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的2 倍，
∴乙的路程是甲的路程的2 倍，
即
，
设
千米，则
千米，
千米，
∵
，
，
∴
千米，
由勾股定理得
千米，
千米，
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在
中，由勾股定理得
，
整理得
，
解得
，
则
（千米），或
（千米）．
答：甲离
处
千米或4 千米．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x 轴交于点A，
，与y 轴交于点
，连接
，
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）P 是线段
上方抛物线上的一动点，过点P 作
，垂足为D，E 是x 轴上一动点，连接
．当
的长度取得最大值时，求点P 的坐标及
的最小值；
（3）将抛物线沿射线
方向平移
个单位长度得到抛物线
，点B 的对应点为F，M 是平移后抛物线
上一点，直线
交直线
于点N，且
．请直接写出所有符合条件的点M 的坐
标，并写出求解点M 的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
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（2）
，
（3）点M 的坐标为
或
，
过程如下：
∵
，将抛物线沿射线
方向平移
个单位长度得到抛物线
，
∴平移方式为将抛物线
向左平移1 个单位，向下平移1 个单位，
∴
，
∵
，点B 的对应点为F，
∴
，即
，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴直线
的表达式为
，
∵直线
在一三象限的角平分线上，与x 轴的夹角为
，
∴直线
与直线
与x 轴所成的夹角相等，
∴
，
∴
，
情况1：
如图，取点
，当点N 在x 轴上方时，
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∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵点N 在直线
上，
∴设
，
∴
，
解得
，
∴
，
∵
，
∴可得直线
的表达式为
，
∴将
和
联立得，
，
解得
，
（舍去），
∴
；
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情况2：
如图，当点N 在x 轴下方时，
过点C 作
交直线
于点L，
与x 轴交点K，过点A 作
交直线
于点N，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
此时直线
与抛物线
的交点即为所求的M，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，即
，
设直线
的解析式为
，
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将点C，K 分别代入得：
，解得：
，
∴直线
的解析式为
，
∵
，
∴
，
设直线
的解析式为
，
将点
代入，
，
∴直线
的解析式为
，
将
和
联立得，
解得
，
（舍去），
∴
，
综上所述，点M 的坐标为
或
．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）首先求出
所在直线表达式为
，设过点P 与
平行的直线的表达式为
，当直线
与抛物线
只有一个交点时，
的长度取得最大
值，联立后利用判别式求出
，得到
；在x 轴下方作射线
，使
，过点E 作
于点F，连接
，表示出
，判断出当点P，E，F 三点共线，
且
时，
取得最小值，即
的长度，如图，过点P 作
轴于点I，然后利用勾
股定理求解即可；
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（3）首先求出
，然后分当点N 在x 轴上方时和当点N 在x 轴下方时两种情况求解即
可．
【小问1 详解】
解：将
，
代入
得，
解得
∴抛物线的表达式为
．
【小问2 详解】
解：∵
，
设
所在直线表达式为
，
∴
∴
∴
所在直线表达式为
，
∵P 是线段
上方抛物线上的一动点，
，
设过点P 与
平行的直线的表达式为
，
∴当直线
与抛物线
只有一个交点时，
的长度取得最大值，
联立直线
与抛物线
，
得：
，
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∴
整理得，
∴
解得
，
代入
得，
解得
，
将
代入
∴此时
；
如图，在x 轴下方作射线
，使
，过点E 作
于点F，连接
，
∴
，
∴
，
∴当点P，E，F 三点共线，且
时，
取得最小值，即
的长度，如图，过点P 作
轴于点I，
∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
，
∵
轴，
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∴
是等腰直角三角形，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵抛物线
，
∴当
时，
，
解得
，
，
∴
，
∴
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为
．
【小问3 详解】
略
25. 如图，在
中，
，
，以
为斜边在
上方作等腰直角三角形
．
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（1）如图1，若
，
，求
的长度；
（2）如图2，连接
，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，延长
交
于点
，连
接
．点
，
分别是
，
的中点，连接
，
．求证：
；
（3）如图3，
，
，点
在直线
上，连接
，将线段
绕点
逆时针旋转
得
到线段
，连接
，点
在直线
上，连接
，
，将
沿直线
翻折至
所在平面内得到
，连接
．当
取得最小值时，连接
，
，请直接写出
面积的最大值．
【答案】（1）
（2）证明：如图所示，连接
，
∵线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
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∴
，
∴
，
∵点
，
分别是
，
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，解得
；
∵
，
∴
，即
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
又
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
是线段
的中点，
又点
是线段
的中点，
∴
，
∵
，
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∴
，即
，
∵
，
∴
．
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理和解直角三角形求解即可；
（2）结合“手拉手”模型，证得
，利用全等证得
是等腰直角三角形，所以得到
，再利用得到新条件证明
，得到
是
的中位线，利用等量代换
证出最终结果；
（3）先利用“手拉手”模型确定点
的运动轨迹，再利用将军饮马确定点
的具体位置；
接着利用对称性得出
，从而确定点
是在以点
为圆心，
为半径的圆上运动，根据圆上
的点到直线的最大距离需过圆心进行解答．
【小问1 详解】
解：∵三角形
是等腰直角三角形，
∴
，
，
又∵
，
，
∴
，即
，
解得
；
【小问2 详解】
证明：略
【小问3 详解】
解：如图所示，连接
，
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∵线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，
是等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
在与
垂直且垂足为点
的直线上，
∴作点
关于直线的对称点
，连接
交直线为点
，
此时
最短，如下图所示，
，
连接
交直线于点
，过点
作
垂直直线，交直线于点
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
在等腰直角三角形
中，
，
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∴
，解得
，
在直角三角形
中，
，解得
，
则
，
由对称性可知
，
由题意知
，
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴在
中，
；
∵
沿直线
翻折至
所在平面内得到
，
∴点
是关于直线
的对称点，
∴点
在线段
的垂直平分线上，
∴
，
∴点
实在以
为圆心，
长为半径的圆上运动，
过点
作
交
于点
，
∴
，
∴欲
面积的最大，则需要
最大，
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过圆心时取得最大值，如下图所示，
，
在
和
中，
，
即
，解得
，
，
∴
，
∴
，
∴
面积的最大值为
．
