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⾼三冲刺笔记-⽴体⼏何（三）
考点归纳：平⾏关系与证明
⼀
… 线⾯平⾏证明的三种类型
:
1
.
平⾏于边线
:
观察要还明的直线是否直接和所要证明的平⾯的边沿线平⾏
D
c
A
;
B
诞
:
AB , 11 ⾯AD , 4
求
eg
;
D
I近
:
∵
A
, B
, /
D
,
C
.
,
D
、C
. C⾯AD
, C
.
AB,
¢ ⾯AD .
C ,
*
B
,
G
∴
A
, B
, / ⾯
AD
,
CG
2
. 平⾏于内线
:
观察要之证明的直线是否与所要证明的平⾯内的直线平⾏
,
以利⽤平⾏四边形证明
eg
: 在四棱锥P
- ABCD 中
,
ABCD 为等腰梯形
. BCYAD
P
且BC
= 2AD
. E 为
PB 中点
, 求诞
: A[
N⾯PCD,
场
了
延
: 过近作EOBC 交PC 于O
. 则O 为PC 中点连接OD
…
…
B
A
则IO
≤⽂BC
=
AD
,
四边开形EAOD 为平⾏四边形
B
c
i
EAOD ,
ODC ⾯PCD
OD 4 ⾯PCD
:
AE ⾯PCD
0
( 2 ) 利⽤中位线近⽇明
:
eg
:
在四棱EA
- DBC区中
, σ 为底⾯正☆F 形
DBCE 对⻆
A
线的交点
F 为AF 的中点
, 求延
: AB 11 平⾯DCT
。
延: 连接F 0 . 则FO 1 / AB . 且FOC ⾯DCF
. AB ¢ ⾯DCF
☆
。
.
AB 11 ⾯
DCF ,
3
. 利⽤⾯⾯平⾏
:
若前两种⽅法⾏不通
, 则⼀定为第3 种⽅法! 通过将要延明的直线构建在另⼀个
平⾯内通过该平⾯与所要证明的被平⾏的平⾯平⾏
、
从⽽证明线⾯平⾏
。
eg
:
在四棱锥
P
- ABCD 的底⾯ABCB 是平⾏四边形
,
Ʃ
. F 分别是棱A 1
D .PC 的中点诞明:EF⾯PAB
,
延
:
过下作
FM /
PB
交BC 于M
,
则M 为
BC 中点连EM
述
则
FM 1 " PB
, PB
C ⾯RBA
, FM ¢ ⾯RBA
A
:
FM 11
⾯PBAx 同理ME 1
⾯PBA
⼜:FMMME =
M
⾯FME
⼋⾯PBA
且EFC ⾯FMF
.
EF
⾯PBA
⼆
、线⾯平⾏性质证明线线平⾏。
1
.
能看⻅交线
eg
: 在四棱俊P - AB( 1)
中
.
底⾯ABCD 为菱形
.
点
E
是棱PC 上的点⾯ABE 与棱
PD 交于点下
。
P⇌
且
AB ) ⾯
PCD
.
求延
AB / IF 。
证:
∵
AB 11 ⾯RCD
.
且⾯
PCDM
⾯ABEF
= EF
.
∴
AB
1 I
下
B
A
2
. 看不⻅交线
eg
:
P 为平⾏四边开形ABCD 所在平⾯外⼀点
, MN 分
l
别为AB
.
PC 中点
, 平⾯PAD Λ 平⾯PBC
= l
.
求诞:
BC "
1
.
÷
%
↑
i ∴∵
pc ""
, ↓
C ⾯( A )
↓( ¢ ⾯(AD
:
BC / ⾯
PAD
⼜: ⾯PAD Λ
⾯PBC
=
(
. BCC
⾯PBC
. BC / /
L
.
三
. 利⽤垂直关系⽂证明线线平⾏,
D
,
,
G
eg
:
在正⽅体ABCD
- A
, B
、C
.
D
, 中
,
EF 与异⾯直线
AC
.
A
、D 都垂直
. 相交
.
求证:
FF
" BD
、
主
延∵
DD 、上⾯ABCD , ADC ⾯ABC
)
DD
, + AC
⼜:
BD + AC
,
DD
, ABB
= D
,
:
AC 上⾯BDD
, B
,
∴AC -
BD
,
同理
BD
, + BC
⼜
AC Λ BC
=
C
BD
,
上⾯AB
、C
,
两条直线垂直于同⼀个⾯
”
∵
EF +
A
1 D, ⼜: AD11
B .
C EF
上B
, C
: IF + AC
, ACMB ,
C
=
C EF 上⾯AB
1 C
则两直线平⾏
”
.
:
EF // BD
,
2
,
A
eg
;
多⾯体ABCDE 中
,
DBCD 与⼈CDE 均为边⻓为
2
的等边三⻆形
. ΔABC 为等腰三⻆形。⾯CBEL ⾯BCD
∠
⾯ABC 上⾯
BCD
.
为BC 中点求证从⾯
FCDANM
F
B
诞: 取C ) 中点
F
.
连接
EF
D
则IF
+
CD
.
AM -
BE
下
: ⾯CDE
←⾯
BCD
, 且⾯CDE Λ ⾯
BCD
=
C 1 D
,
两条直线垂直于同⼀个⾯
”
.
:
EF
上⾯BCD
,
则两直线平⾏
”
⼜: ⾯ABC + ⾯B(
D
. 且⾯ABC Λ
⾯BC
》
= BC
:
AM 上⾯
BCD
.
:
EF / AM
, 且
EFC ⾯
ECD
AM 4 ⾯ECD
:
AM ) ⾯ECD
📍
题型训练：线线平⾏证明
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📍
题型训练：线⾯平⾏证明
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📍
题型训练：⾯⾯平⾏证明
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