干万册畅销书作者最新力作
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东
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黄东坡。著
亨站在沿ELT放在
黄东坡
智慧大讲堂
带你足现Jt专￡扎
宏大的叙事，细致的分析，
把理性思维与人文情怀、诗意表达结合，
在广阔文化背景下叙述，展现数学方法之美、思维之美、应用之美，
与学习同步，与发展同步，
巅覆人的对数学、数学教育、数学学习的认识!
黄东坡，国家骨干教师，数学教育学硕士，中
国数学会会员，中国数学奥林匹克高级教练。多年
来，关注数学和数学教育的进展，致力于中考数学
和奥林匹克数学的研究，在《数学通报》、《数学
教师》等教育类核心期刊上发表文章三十余篇，出
版专著二十余部。《新方法》、《新思维》、《大
视野》等代表作畅销15年，因其独特视角和使用
价值，受干万读者赞誉，成为全国近200所重点中
学首选或必备书目，多本被评为湖北省"最有影响
的十本书"、全国优秀畅销书!
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定价:
58 .00元
黄东坡智慧大讲堂
带你发现数学之美
七年级
黄东坡著
亨茄注买马百放在
启迪与智慧，数学之美的激发
2013 年9 月，十多万网友参加新浪网的一项调查，有70% 网友坦言"在求学
期间，曾经被数学伤害过"
没有哪门学科如数学这样，能引发学习者爱与恨的火热情感.
抽象的符号，繁难的计算，枯燥的推理;浩瀚的题海，重复的训练，八股化的考
试，数学正日益被"妖魔化
简洁的语言，精巧的构造，严谨的结构;川斗代飞数的优雅，几何的神韵，清澈的理
性，无数数学大师、科学巨匠因数学之美的牵引，而热爱数学赞美数学.
著名物理学家狄拉克曾说"上帝创造世界时用了美的数学"
哲学家、数学家罗素己言"数学，如果正确地看，不但拥有具，而且具有至高
的美"
数学之美突出地表现为: 方法之美、思维之美、应用之美.
数学思想方法是数学知识的高度概括，对数学知识有巨大的凝聚作用，是联
系知识的纽带，是实现由知识到能力的桥梁.数学发展的历史始终贯穿着两条主
线:数学知识的发展和思想方法的创新.
思维
数学是思维的学科，是锻炼忠维的体操.数学存在与发展依据忠忠、维，而精湛的
思维艺术又常借助数学彰显力量，数学在训练人的思维深度、广度、完整度方面
无与伦比，数学能使人们的思维综合为一种科学系统.
数学具有广泛的应用性，数学正昂首阔步地挺进、渗透一切领域.
哥白尼的日心说、牛顿的万有引力定律、爱因斯坦的相对论、无线电波的发
时@……(叫
现、DNA 双螺旋结构的打开;图像压缩、信息加密、CT 扫描、谷歌大海捞针、人工
智能、云计算、大数据，人类历史上每一项重大事件的背后都看得见数学的身影.
大美不言，大音无声.
著名画家吴冠中说"今天的中国文盲不多了，但美盲却很多"
我们不缺少应试的技巧与高分，但缺乏以美启真的引领，缺少对"美是真理
的光辉"的感悟.
与学习同步，与知识能力的发展同步，本书力求在广阔的数学文化背景中，
展现数学之美，带你发现数学之美.
2
青风出袖，明月入怀.
如醉如痴，令人流连学习和探索的数学之路有别样的美景.
愿你在学习中能感受体悟到数学的和谐与秩序、美妙与美好、哲理与诗意.
愿数学之美能带给你启迪与智慧.
黄东坡
2 01 7 年元月于武汉
在多彩的世界深情地抒写
在这个春光灿烂和风吹拂的下午，我们十几个黄东坡的铁杆粉丝聚在黄东
坡的身边，一起翻阅他正在做校正的《带你发现数学之美》书稿，厚厚的书稿用智
慧铺底，字字凝聚着心血，笔笔渗透了对数学文化充满激情的热爱，大家在发自内
心的认同和敬佩中一起举杯庆祝黄东坡在著书立说、数学教学及羽毛球运动中
齐头并进取得的成就，气氛热烈而欢乐，黄东坡在大家的心里，不只是朋友，已然
变成一个偶像，伟岸地挺立着.
十几年来，目睹黄东坡前行的每一步，从"云中漫步"开始，到"绿杨芳草数学
路"，再写"心行山) 1 1 ，笔耕沃野"，我用文字描述我眼睛看见的黄东坡，但是现在我
发现，我的文字已经无法描述这住在中国的数学教育中占有重要地位的偶像，虽
然他每次见到我们仍然满满地铺张着他那乐吁吁的招牌式笑容，激情飞扬地用
最美的文字描述在他眼里万千色彩瑰丽奇美的数学，总是"未出庭院三五步，额
头已到数学前"，每句话都在尽情表达他发自内心对数学的热爱，这种热爱的深
刻已经不是我的文字能描摹的了.
黄东坡在他的数学文化的传播中，把理想与现实，数学与跨学科，理论与课堂
结合得相得益彰，开创了一个数学传播的新时代，完美表达数学世界的人文关怀.
走进黄东坡的数学世界，就能感受到黄东坡在广阔的文化背景下，用肆意挥洒的
文字展现的是数学思维之美、方法之美、应用之美，他用这些"举手可近月、前行
若无山"的文字带领读者上通数学，下达课堂，把艰涩高冷的数学变成了孩子们
的热爱. 他的生命因数学而变得有意义，因着数学，他的内心深处始终春暖花开，
始终豪情万丈，始终笑容满面;而数学也因为他成为更多孩子的热爱，启迪了更
多孩子的心灵. 我发现，我和偶像之间，隔着一块厚重的带着密码的门，即使给我
钥匙，我也尚未找到开启的密码，但是这不影响我对偶像的敬重和崇拜，我敬重梵
3
黄东坡@ 带你发现… (七年级)
高开启了用画笔表达奔放的感情的时代，我也敬重黄东坡深情地抒写出是容易
让孩子们热爱的数学文化.
莫愁前路无知己，天下谁人不识君!
我们期待黄东坡老师赋予深情的更多更好的作品能够来到大家的面前.
魏红
2017 年于北京
4
目录
1 质数的孤独
2
斐波那契数列
……….......….....................….......…..........
8
3
神圣的数
……........…...........................…..................….
15
4
气势如"阵"
…………………………………………………………
23
5
猜想，绕不过的弯
........….........….................….........…..
29
6
数的扩充
…….........……................….............................
35
7
数与形的碰撞
.................….........…...............................
41
8
秘密就在身后
........……...............….......…................…..
47
9
数字建模
…….......…...........................….......................
55
10
从高斯求和谈起
................…......................................
62
11
裂顶牛目泊中的类比
..................................................….
69
12
乘万之趣
........…................…................................….
78
13
以符代数
…….................…...............…......................
85
14
横看成岭侧成峰
.........................................................
92
15
算术头脑与代数智慧
….................….........…................
100
16
设元的技巧
………...........….........….................…........
107
17
金融与数学
.................…........….. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
113
18
从多面体到7)\立万
........…...............….........................
才21
黄东坡@…… (七年级)
19
眼见未必为实
.......................…..................................
132
20
点线的乐章
.......................….........….....................….
138
21
墓本图形分析法
…………………………………………………
146
22
架桥选址
..........................…·….......….......................
152
23 寻找12
…..………………………………………………………· 悯
24
笛卡尔之梦
..............…..................….........................
167
25
整体思考
…..................................................…..........
176
26
奇妙的幻万
…................................…..................…….
183
27 相等与不等
………………………………………………………
190
28
数学的眼光
..............…..............................................
197
29 面积法
……………………………………………………………
203
30
心中有数
.........................................…..................….
212
31
无言的图形
.................….......................................….
219
32
杨辉三角
….................…..............................…..........
225
33 喜形于色
…………………………………………………………
231
34
爱因斯坦的启示
.......……………................…................
238
35
微软选秀中的数学思维
.................….........…................
246
36
图形生长的奥秘
..............…....................................….
252
.2
j 质数的孤独
-………….
。数学文化巡礼
质数只能被1 和自己整除，它在所有数字中是最迷惑人心，也是最"孤独的"
它的同伴在哪里? 而它的同伴除了同样是"孤独的"之外，和它之间没有任
何共同之处.
质数，令人如此着这. 它那独特的性质和无穷的魅力，展现出魔幻般的奇异
现象，并演绎出许多貌似简单却又至难探究的猜想，千百年来吸引着无数数学英
才不懈探索和苦苦追寻.
古希腊数学家欧几里得、"数学英雄"欧拉、"业余数学家之王"费马、"数学王
子"高斯……都曾痴迷于质数的无穷魅力.
费马猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想、孪生质数猜想等印证着人们探索质数
神秘表象背后潜藏的奥秘的坚持和寻找通往未知道路的努力.
质数神出鬼没，分布得极不规则，而且无穷无尽，怎样从自然数中把质数找
出来?
公元前3 世纪，古希腊数学家兼哲学家埃拉托色尼提出了一种筛选法，是针
对自然数列中的自然数而实施的，用于求一定范围内的质数.
步骤如下:
( 1 )先把
l 删除;
( 2 )读取数列中当前最小的数2 ，再把2 的倍数删除;
( 3 )读取数列中当前最小的数3 ，再把3 的倍数删除;
( 4)依次进行下去，直到把所求范围内的数均读取完.
这种造质数表的方法被称为"埃拉托色尼筛选法"
ttr
E
亨
黄东坡@ …… (七年级)
2
3
5
7
11
13
17
23
31
37
41
43
47
53
61
67
71
73
83
97
埠与质数
在北美洲的森林里，栖息着一
种生命周期十分古怪的埠类，这些
埠藏于地下长达
17 年，保持质数
生命周期的埠类遭遇天敌的机会
要远远小于非质数生命周期的埠
类.
如图，100 年内，生命周期为7
年的蝉类和生命周期为6 年的虫学
类遭遇天敌的情况.
2
19
29
59
79
89
2
3
4
5 , 眷
8
9
10
11 , 13
相k
15
16
17 , 19 20
A萨
22 23 , 25 26 27
i萨
29 ,
31
32 33 34 带, 37 38 39 40
41 ú 43 44 45 46 47 , 相t
50
51
52 53 , 55
带
57 58 59 ,
61
62
号
64 65 , 67 68
69
李
71 , 73
74 75
76 ,. , 79 80
81
82 83 也
85
86
87 88 89 ,
,. 92 93
94 95 , 97
事
99 100
意大利著名作家保罗·乔尔达诺曾写过畅销
书《质数的孤独~ ，这是一本关于童年经历、爱与孤
独的小说小说的男女主人公就像两个孪生质数，
彼此相近却永远无法靠近，该书有力地表现了人
性的孤独，并深刻剖析了造成这种孤独的原因
第1 讲
l 质数的孤独6·
数学智慧讲堂
钮1)
菲尔兹奖被誉为"数学界的诺贝尔奖"，只奖励40 岁以下的数学家.华人数学
家丘成桐、陶哲轩分别于1982 年、2006 年荣获此奖.我们知道正整数中有元穷多个
质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理:对任何正整数k ，
存在无穷多组含有k 个等间隔质数(素数)的数组. 例如当k=3 时，3 ，5 ，7 是间隔为
2 的3 个质数;5 ，11 ，17 是间隔为6 的3 个质数;而
,
,
是间隔为
12 的3 个质数.(由小到大排列，只写一组3 个质数即可)
(~ 时代学习报》数学文化节试题)
·
分析与解
从简单的质数入手，可写两组: 5 ，17 ，29 或29 ，41 ，53.
与本例相关的著名孪生质数猜想:
是否存在无限多个质数P ，使得P+2 也是质数?如3 ，5;5 ，7;1 1 ，13; 17 , 19; ….
陶哲轩，2008 年
11 月
20 日美国《探索》杂志上，20 位
40 岁以下的科学家被冠以"最具智慧的头脑"称号，华裔澳
大利亚人陶哲轩名列第一.他13 岁获得国际数学奥林匹克
竞赛的金牌，24 岁被许为终身教授，2006 年获得菲尔兹桨，
时年3 1 岁.广泛的兴趣、丰富的知识储备、深刻的洞察力以
及能敏锐地发现那些陌生的问题同自己最擅长领域的本质
关系，是他最大的特色
证明:质数有无穷多个.
'@~ 2
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
·
分析与解
古希腊著名数学家欧几里得
( 公元前330 年一公元前275 年)
在其不朽名著《几何原本》中汇总了几何学及数论，并证明了"质数有无穷多个"
欧几里得认为
: 假设质数是有限的，只有孔，P2 ，… ，Pn 这n 个，那么，其余所有自
然数都是这n 个质数的乘积，都为合数，即其他的所有自然数都能被P 1 或P2…或Pn
整除.
但P1
• P2
• P3
• ••• • Pn + 1 无法被P 1 或P2…或Pn 整除，与上述假设矛盾
故原假设不成立，从而证明了质数有无穷多个.
3
黄东坡@…… (叫
伊IJ 3
梅森质数
1644 年，法国数学家马林·梅森在其著作中断言: 当n ~三257 时，只有n = 2,3,
5 ，7 ，13 ，17 ，19 ，31 ，67 ，127 ，257 时，2n -
1 才是质数.
2016 年l 月7 日，美国人柯蒂斯·库王自用"互联网梅森质数大搜索"的分布式计
算方法发现了第49 个梅森质数: 2 7420728 1 一
1 ，这是已知的最大质数，有22338618 位.
1903 年，在纽约一次学术会议上，大家要求著名数学家科尔教授作报告科尔走
上讲台后，在黑板上计算了267 -
1 ，然后又计算了193707721 X 761838257287 ，两
式计算结果完全相同科尔一个字也没说，微笑着回到座位上.顿时，全场响起了热
烈的掌声.
科尔虽然一字未说，但他将2 67 一
l 表示成了两个大于
1 的自然数之积，清楚地
证明了267 -
1 不是质数这一问题，澄清了200 多年来人们认为267 一
1 是质数这个
错误的结论.
也许，这是有史以来最简短的一次学术报告了
马林
· 梅森( 1588一1648) ，法国天主教会修道
士，在哲学、数学等领域造诣颇深，曾与费马、伽利
略、帕斯卡、笛卡尔等人频繁通信交流，交往广泛的
梅森成为欧洲科学家之间的桥梁和"信息交换革\
鲤~
最多能找到多少个两两不相等的正整数，使其中任意三个数的和为质数? 说
明你的理由.
(北京大学自主招生试题)
，
分析与解
因要求使其中任意三个数的和都是质数，故可将正整数按模3
分类:劲，对+ 1 ,3k + 2 ，k 为正整数，由此展开讨论.
若三类数各取一个:3α ，3b + 1, 3c + 2 ，则3α + 3b + 1 + 3c + 2 = 3( a +
b+c+l) ，这三个数的和不是质数，故三类数中至多可以取到两类.
另外，若某一类数3k + i( i = 0 ，1
，2 ) 至少取到3 个:3a + i ,3b + i ,3c + i(i =
0, 1, 2) ，则3α + i + 3b + i + 3c + i = 3( a + b + c + i)( i = 0 ，
1
，2) ，这三个数
的和不是质数，故每类数中至多只能取2 个.
综上所述，至多有2 X 2=4 个两两不等的正整数使得任意三个数的和都是
质数，例如
1
，3 ，7 ，9.
4
第1 讲
l 质数的孤独C?
质数为何与众不同?为什么要研究质数?
寻找最大质数，犹如物理学家寻找更小的基本粒子，天文学家不断追寻不为人
知的星体.这种单纯为满足求知欲的好奇心，正是人类突破知识领域的动力.
今天，人们已认识到:互联网交易的安全性是建立在"分解出大整数的约数(质
数)是极其困难的问题"这一基础上的
素数是人类追寻知识过程中最无奈的谜
题.怎样才能预测下一个素数?有何公式可
以生成素数?在素数表面的噪音之下潜藏着
意料之外的和谐. 1859 年，德国数学家黎曼提
出一个关于这首"神秘乐曲"的大胆预言，这
个预言的答案将在电子商务、量子力学和计
算机科学等领域产生革命性的影响.
质数并不孤独.
2013 年4 月
17 日，张益唐在《数学年刊》上投稿证明了"存在无数多个质数对
(p ,q )，其中每一对中的质数之差，即p 和q 的距离不超过七千万"
令人遗憾的是，尽管人类早在2500 多年前就发现了质数，但时至今日仍未能完全
揭开笼罩在质数上的神秘面纱.欧拉曾感叹".世界上有许多人类智慧无法解释的奥
秘，看一眼质数表就会发现，它是如此毫无秩序，毫无规则可言"
f长益房，1955 年生于上海，1978 年考入北京大学数学系
他的证明在推动解决孪生素数猜想的道路上迈出了一大步，
分别获得瑞典2014 年度罗夫
· 肖克奖、美国麦克阿瑟天才
奖"我的心很平静，我不大关心金钱和荣誉，我喜欢静下来做
自己想做，的事情"
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
5
黄东坡
'11，你友剧数字之.x
( 七年级)
向
1.截尾质数
73939133 这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是质数，还
因为把最末位数字依序"截尾"后余下的数仍是质数.如: 73939133 , 7393913 ,
739391
，73939 ，7393
，739 ，73 ，7. 具有这样性质的数叫"截尾质数"
更巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83 个数具有这样的性质.
在100 以内的质数中，最大的截尾质数是
( { 时代学习报》数学文化节试题)
2. 若两位自然数。b 是质数，且交换数字后的两位数ba 也是质数，则称ab 为"绝
对质数"于是两位数中的所有"绝对质数"的乘积的个位数字是(
)
A.l
B.3
C. 7
D. 9
( "希望杯"邀请赛试题)
3. 埃拉托色尼筛选法是世界上最古老的一种求质数的方法.在以后的几千年中，
数学家又发明了一些找质数的方法.
1934 年，也就是埃拉托色尼筛选法问世两千多
年后，一位年轻的印度学生辛答拉姆创造了如图所示的一个数表.这种找质数的方
法被称为"辛答拉姆筛法"
你能发现其中质数的排列规律吗?
4
7
10
13
16
19…
7
12
17
22
27
32…
10
17
24
31
38
45…
13
22
31
40
49
58…
16
27
38
49
60
71 …
4. 若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个"绝对质数"
例如2 ，3 ，5 ，7 ，11
，13(31) ，17(71) ，37 ( 73) ，79 ( 97) ，113(131
，311) ，199(919 ，991) ，
337( 373 ，733) ，…都是绝对质数.求证:绝对质数的各位数码不能同时出现数码
1
，3 ，
7 与9.
(青少年国际城市邀请赛试题)
6
第1 讲
! 质数的孤独d
参弩-爸案
也
l. 79.
2. B
两位数中的绝对质数有
11
，13 ，17 ，31
，37 ，71 ，73 ，79 ，97. 要求乘积的个位
数字，就是求lX3X7 X IX7XIX3X9X7 的个位数字-
3 显然，第一行(最上边一行)和第一列(最左边一列)中的数是相同的，在这一
行(列)中，从第2 个数起，每一个数与前面相邻的一个数相差3 ，例如7 -
4 = 10-
7 = 13 -
10 = 16 -
13 =…= 3; 第二行(列)中，从第2 个数起，每一个数与前面
相邻的一个数相差5; 第三行(列)相差7 ; 第四行(列)相差9; 第五行(列)相差
1 l.
在这个数表中，随便找一个自然数M，那么2M+
1 一定不是质数.例如，M=
4 ,2M+ 1 = 2 X 4 + 1 = 9 ，9 不是质数; M = 17 , 2 X 17 + 1 = 35 ，35 也不是质
数.而这个数表中没有的自然数M ，则2M+
1 一定是质数.比如，M=
5 不在数表
中，2 X 5 + 1 二
11 ，11 是质数，M=8 ，2X8+1=17 ，17 也是质数.
4 . 正难则反.假设一个绝对质数同时含有数字
1
，3 ，7 ，9 ，由此导出矛盾，这是解
题的关键.
一个绝对质数如果同时含有数字
1
，3 ，7 ，9 ，则在这个质数的十进制表示中，不可
能含有数字0 ，2 ，4 ，5 ，6 ，8 ，否则，通过适当排列后，这个数能被2 或5 整除
设N 是一个同时含有数字
1
，3 ，7 ，9 的绝对质数.
因为ko = 7931 ,k, = 1793 ,k2 = 9137 ，儿=79 日，仇= 7193 ，儿= 1937 ，仇= 7139 ,
被7 除所得的余数分别是0 ，1
，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，所以，如下7 个正整数:
No= C1".Cn - .793 1 = L . 10' +仇，
N, =C,…Cn - .1793 = L . 10' +儿，
凡二c … Cn - . 7139 = L . 10' + k6 ,
其中一定有一个能被7 整除，这个数就不是质数，矛盾.
故原假设不成立，即绝对质数的各位数码不能同时出现数码
1
，3 ，7 ，9.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
7
; 斐波那契数列
、
，
、
------------------.
。医蚊花草草手L
斐波那契( 11 70- 1 250 )是欧洲数学复兴的先驱，是13 世纪最著名的意大利
数学家. 他在青少年时期游历许多国家，学习了许多国家的数学知识并在回国后
整理研究，于1202 年写成名著《算盘书~.此书把阿拉伯数字介绍到欧洲，为阿拉
伯数字在欧洲的流行起到了重要作用，是欧洲数学在经历漫长黑夜之后走向复
兴的号角
斐波那契在122 8 年的修订版中记载着有趣且后来成为著名问题的"兔子繁
殖问题"
兔子在出生两个月后就具有生殖能力，设有一对兔子每个月都生一对兔子，
生出来的兔子在出生两个月之后，每个月也可以生一对兔子.那么，从一对小兔开
始，满一年可繁殖多少对兔子?
按这种规律，可得每个月的兔子对数构成一个数列:1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，
34,55,89 , 144…
这是《算盘书》中最著名的一道趣题，随后广泛流传于世界各地.
后人发现斐波那契数列揭示了自然界中的增长模式，广泛存在于动植物中，
许多花朵的花瓣数、部分植物叶序等都与这一数列存在着关联.这一数列被称为
斐波那契数列，容易看出斐波那契数列{瓦}满足f己+ 2 =瓦+ 1 十瓦.
斐波那契数列从第3 项开始，每一项都等于前两项之和.
所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联
系
，更容易发现规律或证明通过归纳所猜测的规律的正确性
8
《算盘书》改变了欧洲数学的整个面貌，
成为欧洲各民族通用的"百科全书"，被作为
教材使用了
2 00 多年.
第2 讲
| 斐j皮那契数列C;
-戴学商麟童
飞//fýf!ý
(江苏省初中数学竞赛题)
分析与解
解法一(枚举法)
将问题转化如下:
从第
l 格进入第6 格，走了
5 格，把数字5 表示成若干个
l 或2 的和，
1 和2 的
不同顺序表示不同的方法(如5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ). 为方便，把式子缩略为5=
11111 ，则可以对5 进行分解，有如下的方法:
5 = 11111 = 1112 = 1121 = 1211 = 2111 = 122 = 221 = 212
共有8 种方法
解法二(递推法)
考虑进入第n 格的方法数孔，易知Fl = 1 ,F2 = 1 ( 注意: 人从
格外只能进入第一格) . 对n 二月，进入第n 格的方法数瓦可以分为两类:从第n-l
格走一步;从第n -2 格走2 步- 如此，
瓦= Fn- l + Fn - 2,
这是一个斐波那契数列，从中取出瓦= 8 ，即为本题的答案.
方
法
、
应
用
之
美
恒'
维
9
2006 年4 月
. 幽敦的史密斯法官在
达
· 芬奇密码案判决书中故意设直的
窑码，应用的也是斐波那契数Frl 用斐波
那契数列破译后为
: ""}ackie Fisher. who
are _rou? Dreadnaught. ( 杰基
· 费希尔，
你是怎样一个人呢? 一个大无畏的人.r
黄东坡. ，:叫数以(七年级)
例2
给n 个自上而下相连的正方形涂上黑色或白色，当n廷4 时，在所有不同的涂
色方案中，黑色正方形互不相邻的涂色方案如下图所示:
n =1 口口
=叩HHHHHH
由此推断，当n=6 时，黑色正方形互不相邻的涂色方案共有
种，(结果用
数值表示)
(湖北省高考数学试题)
·
分析与解
问题表面上是一道"涂色问题"，实质上是通过创设一个斐波那
契数列的情境，考查归纳猜想和合情推理意识，通过增加新的元素，进行整合与创新.
研究n = 1 ，2 ，3 ，4 ，… 时符合题意的涂色方案，易得al = 2 ，仇= 3 ，向= 5 ，仇=
8 ，观察这个数列，从中发现该数列是著名的斐波那契数列的前几项，向=al+ α2 ，a4
二a2 + a3 . 由此提出猜想: 从第三项起后面一项等于前面两项之和，即αn
αn -
l +
αn - in > 2 且n 巳N') ，
所以当n=5 时，仇=α3 + 仇=
13 ，α6 - 仇十α5 = 21.
例3
在贝那勒斯(佛教圣地，位于印
度北部)的圣庙里，安放着一块黄铜
板，板上插着三根金刚石针(如图)
传说开天辟地的神一一梵天( 印度教
主神)在创造世界的时候，在其中的
一根针上从下到上放置了由大到小
「
的64 片金片，这就是所谓的汉诺塔.
晶:1
A
3 2
1 1
B
C
不论白天黑夜，都有一名值班的僧侣根据梵天的旨意，按照规定的方法，把这些金片
在三根针上移来移去:一次只能移一片，并且要求不论在哪-根针上，小片永远在大
10
第2 讲
1 斐波那契数列U
片的上面.当所有的64 片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针'
上时，"世界末日"即到来.假设每次移动需要l 秒的时间，"世界末日"何时到来?
的问题或涉及操作次数较多的问题时，通过寻找递
‘是、严种从有般认识无限的重要方法.
·
分析与解
设an 表示当金片数为n 时移动的最少次数，即求向的值，
怎样求。剧?如果n = 1, 9!U 1 次就可把金片由A 移到B ，因此，α l 二1.如果n > 1,
我们这样想:要把n 片金片由A 移到B 那么首先应把它上面( n 一
1 )片金片移开( 移
到C 上，用了仇- 1 次) ，然后把金片n 移到B 上(用了
l 次) ，最后再把前( n 一
1 )片
金片由C 移到B( 又用了。n -
I 次). 这时，就完成了n 片金片由A 到B 的移动，于是
有2αn -
I + 1 二仇，加上a l 二
1 ，得:
l向=1
①
。" 二2αn 一
i 十
lCn = 2,3,…)
-
这样，我们就把一个n 金片问题(计算。n)转化成了一个(n 一
1 )金片问题(计算
an -
1). 事实上，我们做得比较充分:不仅把64 金片问题转化成了
63 金片问题，又把
63 金片问题转化成了62 金片问题…… 只要反复应用①，实际上转化成了
l 个金片
问题，①叫做数列{a.} 的递推公式
我们先用归纳法猜猜看:
al = 1,
α2= 2Xl+1=3 ，
仇二2X3+1 = 7 ，
仇= 2X7+1 =
15 ，
民二2XI5+1=31
，
了解2 的方罪数2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，…的人，不难猜想:
αn = 2n 一
l
②.
我们作一简明推导(反复用①) :
an 二2 . an -
1 + 1 = 2( 2αn - 2 + 1)+ 1
= 22 . an - 2 + 2 十
1 = 22( 2an _ 3 + 1) + 22 一
l
二23
•
an - 3 十22 十22 一
1 = 23( 2an _ 4 + 1) + 23 一
1
= 24 .αn - 4 十23 十23 一
1 = 24 .αn-4 + 24 一
l
方
法
、
应
用
之
美
ru
维
= 2n -
1 • al + 2n -
1 -
1 二2n 一
1
• 1 + 2" -
1 一
l
= 2" -
1.
α制=2刷一
1 = 18446744073709551615 ( 次).
如果移动
l 次用一秒钟，则共用了ω 秒
如一年按
365.2422 天算，
则共
31556926 秒那么移完64 片金片要用约
11
黄东坡@ …
。制-7- 3 1 556926;:;::: 5844( 亿年) ,
而太阳系的寿命是
1 00 亿~
1 50 亿年，等到那时宇宙早已毁灭
自然界的许多现象都与斐波那契数列有关.如
图所示，树技的排序也是斐波那契数列. 向日葵的
花盘上，种子的排列组成了两组嵌在一起的螺旋
线，它们一般是34 根、55 根、89 根、144 根.
自然界的奇妙从来逃不过科学家的眼睛.
数学家发现: 向日葵中心种子的排列图案，树木随年期长出的分枝的规律等都
遵循斐波那契数列.
斐波那契数列矗立在雄伟的建筑上，辉映于葱笼葳藉的草木间，盛开在婿红妞
紫的花丛中.
20 世纪60 年代，斐波那契学会成立，创办了《斐波那契季刊~，专门发表与斐波
那契数列相关的研究成果.
斐波那契还著有许多关于数论与方程的书籍，在以后的数个世纪里，这些书一
直都是欧洲数学重要的知识宝库.
仔细观察: 1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，1 3 ，2 1 ，…可以发现:
每3 个连续的数中只有一个能被2 整除;
每4 个连续的数中只有一个能被3 整除;
亏接近黄金分割比;
你还能发现什么奇妙的性质?
命l数学之美探寻
l. 如图，是一个树形图的生长过程，依据
图中所示的生长规律，第15 行的实心圆点的
个数为
个
( 江苏省竞赛题
12
第
l 行
第2 行
第3 行
第4 行
第5 行
第6 行
第2 讲
| 斐波那契数列C
2. 斐搜那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数:
1, 1,2,3,5,8, 13 ,'
其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个
数作为正方形的边长构造如图①所示正方形:
口口口口
图①
再分别依次从左到右取2 个、3 个、4 个、5 个正方形拼成如图②所示矩形并记为
矶，Q2 ，仇，仇，相应矩形的周长如下:
2
r--r-
2
E
IEl
3
1
1
1
α
。2
a]
图②
序号
a1
α2
α3
周长
6
10
16
若按此规律继续作矩形，则序号为a10 的矩形周长是
5
a4
α4
26
(温州市中考题)
3. 一楼梯共有n 级台阶，规定每步可以迈
l 级或2 级或3 级.设从地面到台阶
的第n 级，不同的迈法为an 种，当n = 8 时，求仇的值.
(河南省竞赛题)
13
灯
沾
、
思
维
、
山
川
川
之
美
时@…… (七年级)
4. 由于斐波那契的数学才能受到当时罗马帝国皇帝弗里德里希二世的垂青，因
此他常被邀请到宫廷组织数学竞赛. 大约公元1225 年，久负盛名的斐波那契应召入
在宫廷举办的数学竞赛中，斐波那契曾提出过如下的
七道门进人苹果园，摘了许多苹果.离开果园时，给第一个守门人一半苹果加
1 个;
给第二个守门人余下的一半苹果加
1 个;对其他五个守门人也是如此这般，最后他
带1 个苹果离开果园. 请问他当初一共摘了多少苹果?
。翻塞
l. 377.
2.466.
3 . 当n=
1 时，a ，二
1 ; 当n 二2 时，a2 二2; 当n = 3 时，仇= 4 ，则当n = 4 时，
若第一步为l 级，则其余3 级有。3 种方法; 若第一步为2 级，则其余2 级有a2 种方
法;若第一步为3 级，则其余l 级有α1 种方法. 故α4 二α3 +α2 +α ，= 7 ，类似可得n
二5 时，仇二仙+α3 +α2 -
13 ; 当n = 6 时，仇= 仇+α'4 + a3 = 24 ; 当n =7 时，α7
= 仇十。5+ α'4 = 44; 当n = 8 时，仇= a7 + 仇+ α5 = 8l.
4. 运用逆推法: 如果把第七个守门人的苹果拿回来l 个，此时摘苹果的人有2 个
苹果，而这2 个苹果恰恰是给第七个守门人之前的一半，因而给第七个守门人之前
有( 1+I ) X2= 4( 个)苹果;同样，把给第六个守门人的苹果拿回来1 个，此时摘苹
果的人有( 4 + 1 )个苹果，而这5 个苹果恰恰是给第六个守门人之前的一半，因而给
第六个守门人之前有( 4 + 1) X 2 =
1 0( 个)苹果……依次类推，给第一个守门人之
前有( 190 + 1) X 2 = 382( 个)苹果，这正是他当初摘的苹果数.
14
神圣的数
----------------.
G 数学文化巡礼
0.618、光速c、圆周率π、亲和数、魔鬼数666……数具有魔术般的魅力，与数字的
邂逅，简单而美丽.
《老子》中"道生一，一生二，二生三，三生万物"，既蕴含着对周易八卦的诠
释，又是对数乃至整个世界的看法.
自然数是数学研究的永恒主题，自从数的概念诞生以来，它不仅具有计算的
功能，还被赋予神秘的色彩，体现了人类对数字的崇拜与禁忌.
自然数、整数、有理数… …数的王国随着计算理论的进步、生产与现实的需
要，版图在不断扩张，应用日益增强.今天，数正变成现代社会一切事物的主宰，
标号化、量化、数字化，让世界变得统一而有序.
20 世纪90 年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝曾写出一本畅销全球
的书一一《数字化生存~.他说"在广大浩瀚的宇宙中，数字化生存能使每个人变
得更容易接近，让弱小的孤寂者也能发出他们的心声"
英国著名物理学家狄拉克曾说"在数学家的
游戏中，数学家自己发明规则，而在物理学家的游
戏中，规则都是自然界提供的. 但随着时间的流
逝，这种情况就变得更明显了:数学家感到有趣的
规则正好就是自然界所选择的规则"
15
黄东坡@ 帮你发现数以(七年级)
数字智慧讲堂
探究数字"黑洞"
"黑洞"原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，
任何物体进入"黑洞" 后都别想再"爬"出来.无独有偶，数字中也有类似的"黑洞"，满
足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，比如:
任意找一个3 的倍数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新
数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和·…..重复运算下去，就能得
到一个固定的数T ，我们称之为数字"黑洞"你能找到数T 吗? T=
(青岛市中考题)
·
分析与解
如333 ，3 3 +3 3 +3 3 =81
，8 3 + 13=513 , 53+
1 3 十3 3 = 153 ,
13 +53 +33 = 153 ,T = 153.
•
问题拓展
153 ，也许你曾与它偶然相遇，但你可知道它是一个奇妙的数，有丰富的性质?
( 1 ) 西方把
153 称为"圣经数"，这个名称出自《圣经
· 新约全书》约翰福音第21
章.
(2)153 = 1 + 2 + 3 +…+ 17.
(3 )153 被称为"水仙花数"( 或" 自恋数" ).
所谓水仙花数，是指一个n 位数(n ~ 3) ，它的每个数位上的数字的n 次幕之和
等于它本身
，而153 = P + 5 3 十3 3 ，可以证明
，在所有三位数中，水仙花数还有370 ，
371 ,407.
Amazing Math Fact!
370 = 3 3 十7 3 + 03,
13+ 53+ 33= 153
371 = 33 + 73 + 13,
163+ 503+ 333= 165033
407 二43 + 03 + 73.
1663+ 5003+ 3333= 166500333
水仙花数为有限多个，最大的水仙花数不超
1666 3+ 50003+ 33333= 166650003333
过34 位，在计算机的辅助下，可以求出所有水仙
and so on and on and on and on!
花数.
让人吃惊的数学
16
毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家他创建了著
名的宗教、政治、学术合一的毕达哥拉斯学派，该学派
信奉"万物皆数"
，!!r 相信世界是可知的，它有某种固有
的结构与秩序，而这种结构和秩序又服从数的规律.
第3 讲
l 神圣的时;r
例2
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来研究数.比如:他们研究过图①
中的
1 ，3 ，6 ，10 ，"'，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为"三角形数"类似地，
称图②中的
1 ，4 ，9 ，16 ，…这样的数称为"正方形数"下列数中，既是"三角形数"，又
是"正方形数"的是(
)
A. 289
B. 1024
0
o
00
00
000 '"
000 0000
6
10
D.1378
0000
0000
0000 '"
0000
16
000
000
9
000
C.1225
00
000
1
4
。
∞
3
。
图②
图①
分析与解
解法一
图①中第n 个图表示的数是
1 +2 +3+"'+n=血俨，图②中
第n 个图表示的数是n2 .
49 x 50 .~~~
~~ ，
: 1225 =一丁~，1225 = 35",
•
. . 选C.
解法二
设d 是正整数，且d 不是完全平方数，形如x2 -dý=::!::1 的不定方程
被称为佩尔方程- 由数论知识可知:若正整数p ，q 是满足方程x2 -dý=
1 的最小
解，则其通解为:
(p + q,./d)"+ (p -
q.Jd)"
2
( 其中n 为整数) ,
( p + q.J d)"- (p -
q.Jd)"
2Jd
若某数是三角平方数，不妨设其是"三角形数" 的第n 个，是"正方形数" 的第m 个，
(n + 1 、
则有ι丁一=mz ，即(2n 十
1 ? -
8m2 = 1.
x
y
令x = 2μn + l ,y =
尸=
(σ3 + 2J2匀)"+(σ3 一2J2
马)"
~
2
( 3 + 2J2)"一(3 -
2J2)"
2j2
x
λ 通解为
y
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
当n=I ，2 ，3 ，4 ，… 时，
导lx=3 吨=
1 7 或~x = :9 或(x =
Y 二2 ，
' ly = )2,
'[y 二70 ，
ly =.'
1m = 1.
, 1m = 6.
, 1m = 35.
., 1m =
相应得{
或{
或{
旦、{
ln = 1,
'ln = 8,
'ln = 49,
ln = 288,
由此得三角平方数的前4 个数是
1 ，36 ，1225 ，41616.
17
黄东坡@ …
时1事教"'，.佩尔方程"是初等数论中最经典的内容之一，倒2 蕴涵浓郁的数学
文化气息，主要考查观察、归纳能力和综合运用数学知识方法进行论证推理的
能力，把合情推理与演绎推理有机结合，将数学知识方法与数学文化融为一体.
-遁-貌似!f凡的试题蕴涵着深刻的数论知识.唯有充足的知识方法储备，才
能商屋建辑地解决问题.
曹例4们3
已知丰←=0ω3
α仇.. .. ，(其中川
小数点后连续n 个数字之和为α矶I+a仇2 +α仇3+ '…
.….十α仇n = 2却01口3 ，求G仇n ，n 的值.
( 世界数学团体锦标赛试题)
·
分析与解
丰为无限循环小数，利用周期性解决问题
·牛二0.i42857 ，循环小数中的一个循环节中的6 个数字和是27 ，而2013 = 27
X 74 + 15.
18
又γ1+4+2+8 =
15 ，
:.an = 8;n = 6 X 74 + 4 = 448.
142857 是一个奇妙的数，这个奇妙的数以如下的方式与"7" 相约:
142857 X 2 二285714 ，
142857 X 4 = 571428,
142857 X 6 = 857142 ,
←。阳川2857
142857 X 3 = 428571 ,
142857 X 5 = 714285 ,
142857 x 7 = 999999.
在东西方文化中，"7" 是具有神秘色彩的数字，一个星期7 天、七色霞光、
纯水的pH 值、七巧板、哥尼斯堡七桥问题…… 都关联着"7"
七巧板激发了意大利家具设计师丹尼尔
· 拉格的设计灵感，他将七巧板用
于组合书架的设计，创作出极其特色的作品-
第3 讲
| 神圣的数u
伊H
魔鬼数666
"六六大)1顶"，在中国传统观念中，"飞666" 是个吉祥的数字，但在西方"飞666" 被称为
"魔鬼数"因为"γ7" 代表着完全、神圣，而"飞666" 是七缺一后重复三次，表示极不完全.
下面的故事从一个侧面说明西方人很忌讳这个
美国前总统里根在任时本想想、移居洛杉矶贝莱尔市的劳德大街，当他知道未来居
住的别墅门牌号是"666" 时，万分惊讶，动用总统权力让贝莱尔市政府改动寓所号.
但"666" 有许多奇妙的性质:
( 1)1 + 2 + 3 +…+ 36 = 666 ，它是一个三角形数;
(2)22+32+52+72+ lF+ 132+
17 2 =666 ，它是前7 个质数的平方和;
(3)1 6 + 26 + 36 = 666 ，它是最小的3 个自然数组合;
( 4 )( 6 + 6 + 6) + (6 + 6 + 6)2 + ( 6 + 6 + 6)2 = 666;
(6 + 6 + 6) + ( 63 + 63 + 63) = 666;
13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13 = 666.
下面的算式有音乐般的旋律、诗歌般的韵味.
1 + 2 = 3,
Y+42 =52,
33 + 43 + 53 = 63,
81 二(8+1 )2，
25
•
92 二2592 ，
135 二
1
1 + Y + 53,
2427 = t + 42 + 23 + 7"
1634 = 14 + 64 + 34 + 44 •
是-二;二;平早早平在二.黑白盟国l
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
19
《数学还是这么有趣》融方法于故事，寓知识于趣味，
在探索中深入问题，在介绍中剖析思路，在评述中展示
前人艰难跋涉的足迹，揭示数学的奥私、及对人类的影响，
帮助读者在最想象不到的地方去发现数学的奇妙.
黄东坡@…数以(叫
向
1
"七巧板"在19 世纪初从中国传到西方，它是由正方形按图①所示方法分割
而制成.用"七巧板"拼成图②中的
"狐狸"，它的头部面积是尾部面积的
倍.
( "希望杯"邀请赛试题)
图①
图②
2. 如图，当小石子的数目是1 ，5 ，12 ，22 ，…时，小石子能摆成五边形，故将其称为
"五边形数"，则第n 个"五边形数"是
( 孝感市中考题)
.ú
3. 12345679 是一个缺8 的数，12345679 x(
)=?你喜欢哪个数字，在括号
中填入这个数与9 的乘积，就可以使得乘积全是由这个数字组成的.
12345679 X 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 X 81 = 999999999
这是为什么?
20
第3 讲
l 棉圣的数C3
4. 在两位数中，18 是一个十分特殊的数，它分别乘2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 时，所得乘
积各位上的数之和却不变.
18 x 8 = 144
18 x 5 = 90
18 X 2 = 36
18 X 9 = 162
18 X 6 = 108
18 X 3 = 54
18 X 7 = 126
求所有这样的两位数，当它乘2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 之后，所得的乘积各位上的数
之和都不变.
18 X 4 = 72
5. 割尾法
当我们熟悉了常用的整除特征后
一个自然的问题是，怎样迅速判断一个正整
数能否被7 整除?
判断一个正整数能否被7 整除，可采用"割尾法"如对2527 割掉末位数字7 得
到252 ，再从252 中减去被割掉的末位数字7 的2 倍得到238 ，这称为一次"割尾"，
对238 再进行一次"割尾"得到7. 显然7 是7 的倍数，从而2527 可被7 整除
试证明: 一个正整数被7 整除的充分必要条件是对该数有限次"割尾"所得到的
(河北省竞赛题)
数能被7 整除.
方
法
、
思
维
·
应
用
之
美
21
黄东坡@常叫… (七年级)
也
1. 2.
3
7
1
2. ::: n2 一-;:;-n
. 2"
2
第n 个"五边形数"为1 +4+7+... +(3n-2)=护(3n 一
1 )
3. 因为12345679 X 9 = 11111111 1.
4. 设。b 是所要求的两位数，ab = lOa + b ，它的数字之和为( a+b) ，因为9 X
ab 的数码和也等于(α + b ) ，故91(α + b).
因此，只要在下面的10 个数之中寻找所要求的两位数:
18.27.36.45.54.63.72.81.90.99.
经检验得所有这样的两位数为18 ，45 ，90 ，99.
5. 证明:设正整数为A =an ←lan ~ 2…仇，即
A = lOn- 'an _' + lOn - 2αn - 2 +… + 10a, + 仇，
经过一次"割尾"后，A 变为
A'=( lOn- 2an_, + lOn- 3an_2 +…+ 10a2 十al) - 2仇，
显然有10A'= A -
21ao.
因为10 与7 互质，可知若A 被7 整除，则A'也被7 整除，反之亦然.所以一个正
整数被7 整除的充分必要条件是对该数进行有限次"割尾"所得到的数能被7 整除
22
j 气势如"阵"
--- -._- -一----.
G ~数学文化巡礼
公元前2600 年就耸立在苏格兰外赫布里底群岛刘易斯西海岸的卡拉尼什巨
石阵，像是由整数按一定规则顺序排列的数阵.
乌拉姆( 1909-1984 ) ，杰出的美籍数学家. 四岁时，他就对家中东方地毯上
的复杂图形着迷.十一岁时，当他阅读父亲书房内瑞士数学家欧拉的《代数》一书
时，那"神秘的感觉" 油然而生.他是一位极具原创力的科学先驱，他那闻名于世
的
150 页《数学问题集~ ，源源不断地给科学研究者与数学爱好者以启迪. 1963
年，在参加一次国际学术研讨会期间，乌拉姆把
1 ，2 ，3 ，4 ，…按逆时针方向螺旋
方式排列，他惊奇地发现:质数都集中在直的或斜的线上，这就是著名的质数分
布的乌拉姆现象.
他想知道这种现象在100 以后的数是否出现，便和几个朋友运用阿拉莫斯
的电子计算机打印出从1 到65000 的螺旋图，令人惊讶的是，依然出现这种现象.
3; li i叫忡||=lj
jiL;工;二:-j;
il 比二」
43 - 44 - 45 - 46 - 47 - 48 - 49"
43
47 --一
乌拉姆螺旋图
.r.f........9I1C.
111:"-__""
._-_...
1'''('-.:''''1
! 2122232425 I
三角形、正方形、梯形等形态各异的数阵，规律隐含阵中，而发现数阵规律，
需要有细致的洞察力和敏锐的判断力.
23
黄东坡
f管你发现数字之美{七年级)
数学鲁塞进重
例1)
将自然数按以下规律排列:
第一列第二列第=列第四列第五列
第一行
4
5
16
17
第二行
2
3
6
15
第三行
9
8
7
14
第四行
10
11
12
13
第五行
表中数2 在第二行第一列，与有序数对(2 ，1 )对应; 数5 与( 1 ，3)对应;数14 与
(3 ，4)对应;根据这一规律，数2014 对应的有序数对为
( 东营市中考题)
·
分析与解
要确定数2014 对应的有序数对，应先确定数2014 所在的行或
列观察数阵发现: 第2n-
1 行的前2n-
1 个数从(2n 一
1 )2开始按从大到小的顺序
排列;第2n 行的前2n 个数从( 2n-l )2 +1 开始按从小到大的顺序排列
.: 442 = 1936,452 = 2025 ，且2014 更接近2025 ，
二数2014 所在的行是第45 行，且这行第一个数是2025.
又.:2025 -
2014 = 11 ,
二2014 所在的列是第
12 列，
故数2014 对应的有序数对为( 45 ，12 ).
解决.11障问题的关键是: 通过观察发现排序后的数阵中的规律，如行或列中
数的规律九特殊位置上数的规律等.
24
乌泣姆( 190弘一1984 ) ，美国数学家，他和冯
· 诺依曼一
起提出了蒙特卡罗方法，另一个为人称道的工作是参与研制
了氢弹
第4i井
气势如"阵11 J,.:
例2
下面是一个按某种规律排列的数阵:
234
56789
10
11
12
13
14
15
16
根据规律，自然数2000 应该排在从上向下数的第m 行，是该行中从左向右数的
第n 个数，那么m+n 的值是(
)
A. 110
B.I09
C.I08
D. I07
(德阳市中考题)
分析与解
观察数阵发现，从上向下数每行中最右边的数等于行数的平方.
要确定m ，n 的值，关键在于确定2000 所在行的上一行最右边的数是几.
':442 = 1936 ,452 = 20万，
:.2000 所在行的上一行是第44 行，该行最右边的数是1936.
':2000 -
1936 = 64 ，2000 排在第45 行从左向右数的第64 个数，
人m 二45
，n = 64 ,m + n = 109 ,
故选B.
例3
将自然数按如下表所示的顺序排列，在这样的排列下，数字3 排在第二行第一
列，13 排在第三行第三列.问: 1993 排在第几行第几列?
1
2
6
7
15 16
3
5
8 14 17
4
9
13
10 12
11
( "华罗庚杯"邀请赛试题)
}j
分析与解
从斜行方向上看，奇数斜行中的数由左下向右上单调递增，偶
数斜行中的数由右上向左下单调递增-
n(n + 1)
第n 斜行中共有n 个连续的自然数，其中最大的数是一2"一一，第62 斜行中的
'"
，也、
纠t
L
M
川
之
五
25
时@ 川剧数字以(七年级
62 X (62 + 1)
• M"
I<Ir r" h ,J ~ -
..J,., J.l. '"
J "'L Fl 63 X (63 + 1)
最大数是
'2- , "
=
1953 ，第63 斜行中的最大数是
2
>/ = 2016. 因
此，1993 位于第63 斜行
又第63 斜行中的数是由左下向右上单调递增的，左边第一个数是1954 ，则
1993
是位于第63 斜行由下向上数第1993 -
1954 + 1 = 40 个位置的数，换算成原图中行
和列是第63 -
40 + 1 = 24 行，第40 列.
巴拿赫是乌拉姆的导师之一，他放在苏格兰咖啡店内供乌拉姆、肖德等使用的
笔记本记录了波兰的数学精英集体思维的结晶一一非同寻常的数学问题.现已成为
著名的"苏格兰笔记"
当年被用于核物理研究的"蒙特卡罗方法"现已被广泛运用到许多领域. <<一位
数学家的经历》是乌拉姆的自传，乌拉姆把他的科学、哲学与数学思想穿插于往事的
叙述中，记录了他的一生经历和科学生涯.
"关于数学与科学的随想"是自传的一章，记述了
这位科学哲学家关于数学、物理、生物学新应用的真知
灼见.
。数学之美探寻
26
1.观察下面数表:
234
34567
4 5 6 7 8 9
10
按此规律，则第6 行最后一个数字是
; 第
行最后一个数字是2014.
(湘潭市中考题)
第4 讲
! 气势如"阵心
2. 将连续正整数按以下规律排列，则位于第7 行、第7 列的数x 是
28
21
15
n
υ
l
6
3
27
20
14
9
5
2
26
19
13
8
4
25
18
12
7
24
17
11
23
16
x
(湖州市中考题)
3 . 把所有正奇数从小到大排列，并按以下规律分组: ( 1 ) ，( 3 ，5 ，7 ) ，( 9 ，11 ，口，15 ，
17) ，( 19 ，21 ，23 ，25 ，27 ，29 ，31 ) ，…，现有等式Am = ( i ，j )表示正奇数m 是第i 组第j
个数( 从左往右数) ，如A 7 = ( 2 ，3 ) ，则A川的值为(
)
A.( 31 ,50 )
B.( 32,47 )
C.( 33 ,46 )
22
D. (34,42)
( 荆门市中考题)
4 . 如下数表是由
1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题.
(1 )表中第8 行的最后一个数是
，它是自然数
的平方，第8 行共有
个数;
(2 )用含n 的代数式表示: 第n 行的第一个数是
，最后一个数是
，第n
行共有
个数;
( 3 )求第n 行各数之和.
2
3 4
56789
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
27
黄东坡'冒~ 何?你发现董史学之X ( 七年级)
5 . 将正整数从1 开始按如困所示的规律排成一个数
阵，其中，2 在第一个拐弯处，3 在第二个拐弯处，5 在第三
个拐弯处，7 在第四个拐弯处……问:在第2007 个拐弯处
的数是多少?
(北京市竞赛题)
也参警备案
1. 16;672.
…22-
21
10- 9 -
8 -7
20
I
11
2 -
1
6
19
I
I
12
3 -
4 -
5
18
13-14-15-16一17
每一行的最后一个数字为
1 ，
4 ，
7 ，
10 ，…，则第n 行的最后一个数字为1+
3( n 一1)= 3n _ 2.
2.85
因为第7 行的七个数从左到右依次相差8 ，9 ，10 ，11 ，12 ，13 ，故x = 22 +
(8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13)= 85.
3. B
由排列规律可知，每组正奇数的个数分别为:1=2 X
l 一
1 ，3=2 X2
1 ，5=2X3 一
1 ，7=2X4 一
1 ,… , 2n _
1 ，设2015 在第
n 组，则
÷(川+ 1)泊X
1 一1) +(2 X 2 一1)+ ( 2 X 3 一
1 ) + ( 2 X 4 一
1 )+"
，+
(2n _
1) ，即n2运1008 . 因为n 为整数，所以n 时= 3 1.由于旷= 312 = 961 ，所以
1008 _ 961 = 47 ，因此A 2015 = (32 ,47).
4. (1 )64;8; 15.
( 2 )n2 _ 2n + 2; n2 ; 2n 一1.
(3 )设第n 行各数之和为S ，则S = (n2 -
2n + 2)+(n2 -
2n + 3) 十… + n2二
(2n ←
1)咱
(n2 -
2n + 2 +旷)(2n 一
l)
'""
1
"'"
2
2 .. / ,_..
• /
2矿_ 3n' + 3n 一
1.
5.1008017
设第i 个拐角处的数为矶，则。1 = 2 ，也二α2i-1 + i ，仇i +
l -仇i +(i
+ 1). 因为2007 = 2 X 1003 +
1 ，故α阳=1+2X(I+2+3+ …+ 1003 ) +
1004 = 10042 +
1 二
1008017.
28
j 猜想，绕不过的弯
心数学文化巡礼
生活离不开猜想，解决数学问题需要猜想，科学研究建立在猜想之上....
猜想，绕不过的弯.
好的猜想犹如引路石，引导我们向前，从猜想走向发现.
著名物理学家牛顿说"没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现"
•
当代著名科学哲学家波普尔说"我们的科学知识，是利用未经证明的和不
可证明的预言，进行猜测，通过对问题的尝试性解决，最终猜想而进步的"
观察、实验、猜想是科学研究的重要方法，通过观察和实验提出问题，再进行
猜想和假设，最后通过推理去证明猜想和假设.
20 世纪60 年代，日本数学家角谷静夫发现了一个非常有趣的现象:对于任
何一个大于
1 的自然数，女口呆它是偶数，就用它除2; 如果它是奇数，则把它来以
3 后再加
1 ;就这样经过有限次的运算，最后得到的结果必然是1.可将其表示为:
设n 为大于
l 的自然数，
.
I 号(n 为偶数) ,
专:-n l =l
今
l3n+l(n 为奇数) ,
则从n 到n l 的变换过程就叫做"角谷猜想"下面请看几例:
以奇数3 为例，按照"角谷猜想"有:3→10→5→16→8→4→2→1 ;
再以奇数23 为例，按照"角谷猜想"有:23→70→35→106→53→160→80
•
40•
20•
10•
5•
16•
8• 4•
2•1.
以偶数18 为例，按照"角谷猜想"有:18→9→28→14→7→22→11 →34→
17•
52•
26•
13•
40•
20•
10•
5•
16•
8• 4•
2 •
1 ;
再以偶数100 为例，按照"角谷猜想"有: 100•
50•
25•
76•
38•
19•
58
•
29•
88•
44•
22•
11•
34•
17•
52•
26•
13• 40 •
20•
10• 5•
16•
8•
4•
2•1.
当"角谷猜想"传到美国，它曾风靡一时.
29
时@…… (七年级)
美国一位数学家说"有一个时期，在美国大学里，"角谷猜想"几乎成了最热
门的话题，数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它"
如
川
'
自
H
H
H
叶
川
M
.
、
tn-
U
局
K
山
'
1
咄
刷
刷
刷
即
位
朋
m
从某种意义上说，数学史就是猜想与验证猜想的
历史.四色猜想和费马大精想是20 世纪数学发展中
的巨大成果，而孪生素数猜想和哥德巴赫猜想历经几
个世纪的探索，尚未被人类证实猜想的正确性.
数学智慧讲堂
例"
任意大于
l 的正整数m 的三次幕均可"分裂"成m 个连续奇数的和.如: 23 二
3 + 5 ，3 3 二7 + 9 +
11
，43 二
13 + 15 + 17 +凹，…，按此规律，若旷分裂后其中
有一个奇数是2015 ，则m 的值是(
)
A. 46
B. 45
C.44
D. 43
(张家界市中考题)
·
分析与解
m 3 分裂的规律是
: [ m(m 一1)+ 1 J+ [ m( m 一1)+ 1 + 2J+
[ m(m 一
1 )十
1 + 4 J + … + [ m(m 一1)+ 1 + 2(m 一
1)].
': 45 X(45 -
1)+ 1 = 1981 ,46 X(46 一1)+ 1 = 2071 ,
λ m = 45
故选B.
30
第5 讲
l 猜想，绕不过的弯j
例2
化简:99… 9X99… 9+199… 9.
·
分析与解
先考察n=1
，2 ，3 时的简单情形，然后作出猜想，这样化简的
目标更加明确.
当n=1 时，原式= 9 X 9 + 19 = 100 = 102,
当n=2 时，原式= 99 X 99 + 199 二
10000 = 104,
猜想，原式= 102"
这一猜想正确吗?下面给出证明.
原式= 99… 9X ( 10" 一
1 )+ 10" +99… 9
n 个
n 个
=99… 9X 10" + 10"
、…----'
n 个
=(99… 9+1) X 10"
n 个
= 10" X 10" 二
102" ,
提出猜想的目的在于要解决它，但猜想可能被证明，也可能被否定.
例3
费马猜想
法国数学家费马是一个善于观察，也是提出猜想最多的数学家，他观察了2 2" +
l 的值.
当n=O 时，22' + 1 = 21 + 1 = 3;
当n 二
l 时，22
' + 1 = 22 + 1 = 5;
当n=2 时，22 ' + 1 = 24 + 1 = 17;
当n=3 时，22 ' +
1 二2 8 + 1 = 257;
当n=4 时，2卫十
1 = 216 + 1 = 65537.
其结果都是质数，于是费马在1640 年提出猜想:对一切自然数n ，22" +
1 都是质
数，其中第n 个数为瓦= 22"+ 1 ，简称为"费马数"
时间过去近100 年，到了1732 年，瑞士数学家欧拉指出: 当n = 5 时，只= 22' +
1 = 641 X 6700417 不是质数，一个实例否定了一个猜想.
后续数学家们的工作表明了费马在这个问题上犯了以偏概全的错误.现在已知对
从5 至16 的所有的n 值瓦皆是合数，对其他许多n 的值也是这样.目前猜测对所有大
于4 的n 值，瓦全是合数.
随着新的质数检验方法的出现和计算机技术日新月异的发展，人们已能非常有
效地检验一个费马数是否为质数，但要想、将已知为合数的费马数进行因数分解却是
异常困难.由于大整数的因数分解的计算量非常之大，即使借助于当今世界上最先
进、最高速的计算机，也只能分解100 位以下的大整数，所以至今数学家们能分解的
31
方
法
、
思
维
内
用
之
k
u
亢
黄东坡. ':i~f~;:&:
费马数也只是很有限的几个. 让我们来看看继欧拉之后分解费马数的艰难历程吧:
1880 年，兰德里( Landry ) ìiE明了凡是合数，并找到了它的一个较小的质因数:
274177;
1909 年，莫尔黑德( Morehead) 和韦斯顿( Westem)证明了F7 是一个合数，可迟
至1971 年才由布里尔哈特( Brillhart)和莫里森(Morrison)利用IBM360-91 型计算机
找到了它的一个较小的质因数:59649589127497217;
至于瓦(即2512 + 1 ，它可是一个由
155 位数字构成的大整数!
)，人们早已知道
它是合数，可是直到今天世界上根本就无人能够成功分解!
费马( 1601一1665 )，主职为律师，业余从事数
学研究，被称为"业余数学之王..他依靠深邃的洞
察力、敏锐的直觉和灵感、独特的方法，给后世留
下极其美妙的定理和猜想
费马在"费马数"问题中"想当然"所导致的错误给我们的启示是: 从特殊情形出
发猜想一般的结论有可能是错误的.我们既要勇于"大胆猜想"，又必须"小心求证"
"证明"是数学中最重要的事情，"证明"赋予数学其他学科无法比拟的严密性.
32
第5 讲
| 猜想，绕不过的弯d
举世瞩目的"数学皇冠上的明珠"一一哥
德巴赫(德国数学家)猜想，就是从下面这些等
式:6=3+3
，8 二3+5 ，10=3+7 ，12=
5 +7 ，14 =3+ 门归纳得出"任何不小于6
的偶数均可以表示成两个奇质数的和.，
我国数学家陈景润于
1 973 年证明了
"
1 +
2" ，离解决哥德巴赫猜想问题，J'!p ''[十
1" 仅一
步之遥
向数学之美探寻
1.观察下列等式
1 = 1
2+3+4=9
3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25
4+5 十6 + 7 + 8 + 9 + 1 0 = 49
照此规律，第五个等式应为
4 9
16
2 . 观察下列各数:
1 一一一-
…，按你发现的规律计算这列数的第6 个数
, 3 ' 7 ' 15 '
D62
一
. 63
( 包头市中考题)
3 . 设n 为自然数，具有形式11 … 155 … 55 的数是不是两个连续奇数的积?请说
n 个
I
n 个5
4
一7
C
ro
-qJ
吨
，
‘
J
-
鸣
，
‘
J
RU
P
、
，
ν
-
1
1
、
}
/
气
'
』
一
句
、
d
A
为(
方
法
明理由
思
封t
、
应
用
之
美
33
黄东坡@ …数以( 七年级)
4 . 质数高产田
质数，令人如此着迷，它那独特的性质和元穷的魅力，展现出魔幻般的奇异现象.
@
42 @ 44
45
46
@J
48
49
50
51
52
(
54
55
56
57
58
59
60
@D
62
63
64
65
66
67
68
69
70
QD
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
(
84
85
86
87
88
89
上述数表中轴线上的数都是质数，它的奥秘在于多项式n2 -
n + 4l. 1772 年，
欧拉写信给丹尼尔·伯努利，说他发现多项式n2 -
n + p (p 为质数) 可以连续取得
质数值.当多项式n2 -
n + 41 表示的数不为质数时，求正整数n 的值.
…
一
川
们
们
-
l
+
=
2
n
一
一
矿
、
、
d
一
《
1
4
1
1
l
为
×
+
数
，
丁
)
个
卜
π
十
n
l
」
6
在
=
+
i
式
5
C
厉
-
A
7
"
斗
J
= 11 …l X( 10n +5 )
、-----
n 个
1
= 11 …1 X 3 X 33…35
、…·、，-'
、-、，-'
n 个
I
( n -
1
)个3
= 33…3 X 33…35 ,
、~一~
、--.-'
n 个3
( n -
1 )个3
为两个连续奇数的积.
4. 当n = 41 时，原式= 41 2 -
41 + 41 二41 X 41 = 1681 不为质数.
34
j 数的扩充
….
6? 数学文化巡礼
我们的生活离不开数.
远古的猎人在结束一天的捕猎后，需要清点他们的猎物，可见人类早就开始
把数字作为认识世界的重要工具.
石头、骨头、贝壳、结绳、手指等，都曾是人类用来计数及运算的工具.
人类花费数千年的时间将"量"变成"数字"，从任何具体的事物中剥离而升
华的"数" 是人类认识世界的一个重要方式.伴随着时光流转，数逐渐脱去计数的
外衣，穿上计算的服饰，踏上从算术通往代数的道路.
直到公元5 世纪左右，在印度发明"0" 后，列计算式用数字进行运算才完全
成为可能，O ~ 9 这十个符号能表达所有数字，从此数字活跃在科学的舞台上.
从自然数到整数，从整数到有理数，数的概念的每一次扩充，都为数学提供
新的理论，带来新的方法，也开辟新的研究方向
英国著名物理学家麦克斯韦说"可以说是
数统治着整个量的世界，而算术的四则运算可
以看作数学家的全部装备"
35
黄东坡@ 川剧… (七年级)
、〕数字智慧讲堂
例
l
为什么把整数和分数统称为"有理数" ?
曾经一个初一学生问数学老师
"老师，您在课上讲，有理数是整数和分数的总
称，
‘ 有理' 是有道理的意思，我不明白，整数和分数这两种数有什么道理呢? "老师
回答"这是数学上的规定，没有为什么"
面对学生的追问、求知的欲望，我们应该追本溯源，而不是敷衍搪塞.
"有理数"是翻译上的一个失误.
有理数在英语中是"rational number" ，而"rational" 通常的意思是"理性的" ，中国
近代译著者在翻译西方科学著作时，参考了日本的翻译方法，把"rational number" 翻
译成了"有理数"
而rational 这个词的词根ratio 源于古希腊，是"比率"的意思，这个词的意义就是
整数的"比"
分数本身就是两个整数之比，而整数可以写成这个数与
l 之比的形式.
所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数.
37 =-= ...Þ--rr/ __þ. ~
，
1
例2
分数l3 可写成形式2 +-一「一，其中( x ，y ，z)等于(
X 寸-一一一一一了一
y+言
A. (1 1,2,5)
B. ( 1 ,5,2)
C. (5,2, 11 )
D. ( 1,2,5)
E. ( 13 , 11 , 12)
36
(美国中学生数学竞赛试题)
•
.I\. ~C: t-Þ."
J.m J\ ~L 37
分析与解
把分数一一写成连分数的形式，逆推分析.
13
37
_, 11
_
,
1
一一二2+一一二2+一一一= 2 +一一一一= 2 +一一一一一= 2 +一一一一一一，
13
-
, 13
-, 13
一一
1 +一一
1 + -一一一
1 +一一一一
11
.
, 11
.
,
11
三二
5+τ
与给定的分数比较得( x ，y ，z)= (1, 5 ,2 ).
故选B
第6 讲
| 数的扩充d
连分数在天文、历法等方面有广泛的应用.
人类的日常生活离不开日历，但是人们对于历
法的制定过程与原理并不清楚，甚至存在误解《连
分数与历法》一书运用简单的数学工具(连分数)逐
一解释了一些疑问
iIJ3
整数与分数统称为有理数，那么下面两例中的小数是不是有理数?
(1 )0.75;
( 2)0.3.
一
75 _ 3 = 3
目
对于(1 ) ，因为0.75 一
一一而-定有理数，故0.75 是有理
100
4 ' ,.., 4
数对于(2 ) ，无限循环小数能化为分数吗?
解法一
倒过来看，÷=033
=03 ，则0 .3 为有理数
解法二
设0.3 二X ，则
10 x 0.3 = 10x ,
故3 + 0.333… = 10x ,
即3 + x = 10x ,
解得x =÷
由此得: 无限循环小数也是有理数.
分析与解
方
法
例4
若自然数n 使得n+ ( n+
1 ) + ( n+2)作竖式加法时均不产生进位现象，则
称n 为"可连数"，例如32 是"可连数"，因为32 + 33 + 34 不产生进位现象;23 不是
"可连数"，因为23 + 24 + 25 产生了进位现象，那么小于200 的"可连数" 有多少个?
( 黄冈市中考题)
、
思
维
、
应
用
之
美
分析与解
当"可连数" 为一位数时，n+ ( n 十
1 ) + ( n 十2 )ζ 9 ，解得n '"二2 ，
由于n 为自然数，所以n=O 或n =
1 或n = 2 ，即一位数的"可连数" 有3 个.
当"可连数" 为两位数时，设它的个位数字为α ，十位数字为b ，则α 十( α+ 1)+
(α+ 2 )运9 ，解得α运2 ，由于个位数字相加时"不产生进位现象"，所以十位上的数字
37
时@…… ( 七年级)
b 必须满足b + b + b运9 ，解得b ::S;. 3 . b工0 ，从而两位数的"可连数" 有
10 ，11
，12 ，20 ，
21
，22 ，30 ，31
，32 ，共9 个
当"可连数" 为三位数时，由于我们只求小于200 的"可连数"，所以它的百位数字
为
1
，设它的个位数字为此则α+(α+ 1 )+(α+ 2)运9 ，解得。运2 . 由于个位数字
相加时"不产生进位现象"，所以十位上的数字b 必须满足b + b + b ~三9 ，解得b ~三3
从而三位数的"可连数"有100 ，101
，102 ，110 ，111 ，112 ，120 ，121
，122 ，130 ，131 ，132 ，
共
12 个.
综上所述，小于200 的"可连数" 的个数为3+9 十
12 = 24( 个).
倒4 取材于我们熟悉的自然数加法运算，定义了新概念"可连数"，解题的关
键是深割理解阅读材料提供的"可连数"中"均不产生进位"的含义，并能灵活运用
数学思想方法(如分类讨论).
毕达哥拉斯曾说"万物皆数"
数的历史并不是具体的历史，而是抽象的历
史，是创造思想、发现模式的历史.
若干世纪以来，整数的简单构成一直是使数
学获得新生的源泉.
~~，. (I
古四'f
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日
、1
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矿，
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c
J
且
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11
A
H
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3
4
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ti
..,
H
妒
谁能想到两千多年前抽象出的"数"，在信息叫(，
、4 川叫户川川'户
社会有广泛的应用，当今世界最著名的、应用最广
数字演变
泛的RSA 密码体制的安全性就是建立在质因数分解的难解性之上的，发明该密码
体制的三位麻省理工学院的计算机科学家于2003 年获得享有计算机科学诺贝尔奖
之誉的"图灵奖"
38
R.柯朗( 1888-1972) ，美国著名数学家，在名著《什么
是数学》一书中写道"数学作为人类智慧的一种表达形式，
反映生动活泼的意志、深入细致的思考以及完美和谐的愿
望，它的基础是逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性"
第6 讲
! 数的扩充U
向咳学乏美探寻
是
数
的
一
原
表
n
旧
贝
川
一
刀
(世界数学团体锦标赛试题)
3. 阅读材料:
无限循环小数可转化为分数，如将2 .l 45145145 …转化为分数，
2 把芸展开为连分数
设。= 2.145145145…,
两边同乘以1000 得1000a = 2145.l45145145…,
2143
则1000a - a = 999a = 2145 -
2 二2143 ，故有α= 2.145145145 …=一一
999 .
( 1 )依照以上方法，请你将4 .1 41414...化为分数;
(2)依照以上方法，请你将0.1454545 …化为分数.
( { 时代学习报》数学文化节试题)
方
法
33
4. 已知无限循环小数O.ab 与O.abc 满足O.ab + O.abc =一一，其中。，b ，c( 有可
37
能相同)是0~9 的数字，求三位数αbc 的值.
Ul
维
、
应
用
之
美
(美国中学生邀请赛试题)
39
黄东坡@川即以(七年级)
也参害窑案
40
1. 6.
29
2 一一=1+一一一一一
.24
4+一一一?
1+言
410
3. ( 1 )4.141414...=一-
99.
( 2)设。= 0.1454545…,
则
10a 二
1 .454545… ，
1000a = 145.4545…,
1000a 一
10a = 990α= 145 -
1 = 144,
144
8
故α= 0.1454545…=一一=
990
55.
，
αb I abc _ 33
4. 因为o.~b =豆豆o .~b~ =豆豆，所以
+
一
99 ，~.~~ ~
999 "
/
1 ' _" 99 ' 999
37'
即l11ab + 11abc = 992•
即221ab + ll c = 992,
因为0运c~三9 ，所以992 -
99 三三221ab 三三992 ，得ab = 44 ,
则11c=77 ，c=7 ，所以abc = 447.
j 数与形的碰撞
-------.
心》数学文化巡礼
古希腊哲学家柏拉图曾言"倘若你曾在生者当中像晨星那样耀辉，那么在
死者群像里会似晚星问烁"
自学成才的中国当代数学家华罗庚就是这样的人:只有初中文化程度，自修
与勤奋使其成为清华大学教授、中国科学院数学研究所所长.
华罗庚说过"数缺形时少直观，形少数时难入微"
数学是研究数量关系及图形结构的一门学科.数与形，从古希腊时期起，人
们就已试图把它们统一起来.
1+3+5 十… + ( 2n -
1 )=?
如图，毕达哥拉斯早已利用图形给出了几何解释.
口
l
量1}2
数与形有着密切的联系，我们常用代数的方式研究图形问题;另一方面，也
运用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想一一数
形结合思想.
华罗庚(
1 9 山- 1985 ) ，江苏金坛人，初中毕业后刻
苦自学，从事解析数论、矩阵几何学等领域的研究并
取得突出成就
41
时@ 川剧数字以(七年级)
飞) 数学智慧讲堂
例l 如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M ，P ，N ，Q.
M
P
N Q
若点M，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是(
A. 点M
B . 点N
c. 点P
D. 点Q
( 开泽市中考题)
分析与解
图中表示绝对值最小的数的点，也是到原点的距离最小的点
M
0 P N Q
.. 点M，N 表示的有理数互为相反数，
.. 原点的位置大约在图中0 点处.
二表示绝对值最小的数的点是点P.
故选c.
数轴是联系数与形的工具之一. 运用数轴解题的优点主要体现在: 运用数
轴可直观地表示有理数，形象地解释相反数，准确地比较有理数的大小，恰当地
解决与绝对值相关联的问题.
例2
如图，在数轴上，点A 表示数1 ，现将点A 沿数轴作如下移动: 第
l 次点A 向左
移动3 个单位长度到达点儿第2 次从点A ，向右移动6 个单位长度到达点马，第3
次从点A 2 向左移动9 个单位长度到达点A 3 …按照这种移动规律进行下去，第n 次
移动到达点An. 如果点An 与原点的距离为20 ，那么n 的最小值为
AJ
A,
A
A,
- 5
- 4 - 3
- 2 - (
0
2
3
4
5
( 南宁市中考题)
分析与解
有理数都可以用数轴上的点表示，探寻点对应数的变化规律是
解题的关键.
序号为奇数的点在点A 的左边，A
" A J ，A 5 ，… ，An 对应的数分别为一2 ，- 5 ，一8 ，
3n + 1
，一
2一; 序号为偶数的点在点A 的右边，A2 ，A4 ，A6 ，... ，An对应的数分别为4 ，7 ，10 ，
3n + 2 , ),
3n + 1
~^ M L
/.EI
• ~ ", 3n + 2
~^ M)
38
·一一
当一
= 20 时，得n =
13; 当一一一= 20 时，n=τ〈舍去) . 故n 的
2
最小值为
13.
42
第7 讲
l 数与形的碰撞。
例3
李老师从拉面的制作过程中受到启发，设计了一个数学问题. 如图，在数轴上
截取从原点到
l 的对应点的线段AB ，对折后(点A 与点B 重合) ，固定左端向右均匀
地拉成
l 个单位长度的线段，这一过程称为一次操作( 例如，在第一次操作后，原线
段础上的土，主均变成上L变成l 等等). 那么在线段础上(除点A 、点B 外)的
2'2
点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与
l 重合的点所对应的数之和.
A
B
fγ产
土
l
2
•
12
Anu
-
8
L......J.......
2
( 绍兴市中考题)
·
分析
捕捉问题所蕴含的信息，理解"一次操作"的意义: 将线段沿中点翻
折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分
点变为两个等分点
A
原图d
B
」
l
工
8
3
4
二i
i-
2
l-2
3
-
8
战
四
十
二8
3
-
8
一
-
4
山
川
二
l
z
d
叩
l
-
4
一
l
-8
叮
f
-
0
6
-
l
-
8
ι
l
飞
4
l
-
8
l
-
8
一
O( 1 )
对折后
。
解
l-2Jl
言(专)
主
土
士( 专)
。( 1 )
拉长后
d
3-
4
l
-
2
/
飞
'
I
-
A
U『
土
4
t(t ,i ,i)
i
4
。(1，土)
对折后d
i
t (言，言，i)
士(t )
。( 1 ，专)
拉长后
d
一
i
1 , 3
故在第二次操作后，恰好被拉到与
l 重合的点所对应的数之和是+
二
l
4 ' 4
1î
rt
例3 以拉商制作过程为背景，将线段的"等分点、对称、平移"等知识融入其中，
有效考查了阅读哩解、分析转化、数形结合等思想方法.
m
维
、
应
用
之
美
例4
(1 )2008 年冬季，我国湖南省遭受雪灾，在一段笔直的高速公路上依次停着100
辆受阻的汽车，救援部队要设置一个临时食品供应站P ，使这100 辆汽车到供应站P
的距离总和最小，供应站P 应设在何处? (写出解答过程)
43
时@…
(2 )利用上述问题的解题规律求~
Ix 一
1
1 + lx -
21+lx -
3 1 + … +Ix 一
19 1+lx -
201的最小值.( 写出解答过程)
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
·
分析与解
从数轴上看，1α-bl 的意义是表示数。，b 对应的两点间的距离
对于( 2 ) ，即在数轴上求出表示x 的点.使它到表示数
1 ，2 ，3 ，… ，20 对应的点的距离
最小.
( 1 )通过对2 辆车、3 辆车、4 辆车试验可以发现:
当车辆数n 为偶数时，P 应设在第旦辆与旦+1 辆之间的任何地方，此时，这n
2 -,.., " 2
n+l
辆车到供应站P 的距离总和最小; 当车辆数n 为奇数时，P 应设在正中间的第一7一
辆车处，此时，这n 辆车到供应站P 的距离总和最小故当车辆数为
100 时，P 应设
在50 至51 之间的任何地方-
( 2 )lx -
11+lx -
21+ lx -
31+ … +Ix 一
191 十Ix -
201可以看成x 所对应的点到
1 至20 这20 个点的距离之和所以当
10 < x < 11 时，比如x =
10.5 时，Ix -
11+
Ix -
2 1 十Ix - 31+ … + Ix 一191+lx -
20 1 的最小值为:
9.5 + 8.5 + 7.5 +…+ 0.5 + 0.5 + 1.5 +…+ 7.5 + 8.5 + 9.5 = 100
华罗庚不但是才华横溢的数学大师，而且是学贯中西的教育家.他在长期的数学
研究生涯中，形成一套成功而独特的治学方法和教育思想，这是我国教育宝库中的
瑰宝
"厚薄学" 读书法.
如何打好数学基础? 华罗庚给出了一个非常有效的学习公式: 薄一一厚一一薄.
首先是由薄到厚.比如学一本书，每个生字都查字典，每个不懂的句子都进行分析，不
懂的环节加上注释，经过这一番功夫以后，觉得懂多了，同时也觉得书变"厚"了. 有
人认为这样就算完全读懂了，其实不然，每一章、每一节、每一句、每一字都懂了，这
还不是懂的最终形式，最后还有一个由厚到薄的过程:必须把学得的知识进行咀嚼
反思、组织整理、反复推敲、融会贯通，提炼出关键性的问题，看出来龙去脉，抓住要
点，再和以往学过的知识比较，弄清楚究竟增加了些什么新内容、
新方法.这样，你又会觉得书变"薄"了由薄变厚是学习、接受的
过程，由厚变薄是消化、吸收的过程.华罗庚说"经过这样消化
过的东西，就容易记忆，就能够得心应手地应用"
菲尔兹奖得主塞尔伯格这样评价华罗庚:
‘很难想象，如果
他不曾回国，中国数学会怎样? "
1946 年，华罗庚赴苏美研学，后留在美国工作. 1950 年，他
毅然回国，参与中国科学院数学研究所的筹建工作.
44
第7 讲
| 数与形的碰撞Ct
当代著名数学家丘成桐曾说"中同近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的领
域主要有-个，一个是陈省身在示'性类方面的工作; 一个是华罗庚在多复变函数方
面的工作; 一个是冯康在有限元计算方面的工作"
向数学之美探寻
1. 数轴上，A ，B ，C 三点所代表的数分别是α ，1 ，C ，且Ic-
1 1-1α 一
1 1=1α-c l ，若
下列选项中，有一个表示A ，B ，C 气点在数轴上的位置关系，则此选项是(
)
A.
B
A
c.
A
C
C
A
B.
C
B
D.
~ ç
B
A
2 . 已知α ，b 为有理数，且α > O,b < O,a + b < 0 ，将四个数α ，b ，-a ，-b 按
由小到大的顺序排列是
( << 时代学习报》数学文化节试题)
3 . 如图，动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B 也从原点出发向数
轴正方向运动，2 秒后，两点相距
1 6 个单位长度. 已知动点A ，B 的速度比为
1 : 3.( 速
度单位: 1 个单位长度/秒)
( 1 )求两个动点运动的速度;
(2)在数轴上标出A ，B 两点从原点出发运动2 秒时的位置;
(3)若表示数0 的点记为O ，A ，B 两点分别从( 2)中标出的位置同时向数轴负方
向运动，再经过多长时间OB = 20A?
一
1 6
- 12
- 8
- 4
0
4
8
12
16
4. "兰州拉面" 是非常有名的一种地方小吃.你肯定见过面点师傅拉面的过程吧.
假设拉面师傅左右于分别拿着初始长度为
1 米的面条，对折后再均匀地拉开使得面
条长度变为原来的2 倍……如此不断重复.为了方便，我们将每一次"对折、拉长"的
。
1 ,', 2
过程称为一次操作(例如: 在第一次操作兀成后，距离左端百米、了米的两个点距离
1 ,', ~_ 2
左端分别变为一米和一米)请问:
2 / '''' H 3
( 1 )距离左端牛米的点经过川次操作后，距离左端变为多少米?
(2)一般地，距离左端1米(规定:p ，q 均为正整数且两数互质，p > q)的点经过
p
多次操作，一定能出现周期规律吗?为什么?
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
45
H
沾
、
川
心
维
L
M
川
之
元
黄东坡@ 锵你发现… (七年级)
。参辖案
1.A.
2. b < -
a < α < -b
3. ( 1 )设点A 的速度为X ，则点B 的速度为3x. 由题意得:
2(x + 3x)= 16 ，得'x = 2 ,3x = 6.
即点A 的速度是2 个单位长度/秒，点B 的速度是6 个单位长度/秒.
(2)A ，B 点的位置如图:
A
B
一16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
(3 )设x 秒时，OB = 20A ,
当点B 在原点的右边时，根据题意，得12 一位= 2(4 + 2x),
解得x = 0.4;
当点B 在原点的左边时，根据题意，得6x 一12 = 2( 4 + 2x),
解得x 二
10.
所以再经过0.4秒和10 秒时，OB 二20A .
4. ( 1 )号
( 2 )一定能原因有两个要点:①当丘ζ土时，经过一次操作变为距离左端2年米;
p
~ 2
当立>÷时，经过一次操作变为距离左端2(1- .!L)二缸卫
\
P /
P
②由于q < p ，经过至多p 次操作，曾经出现的分子就会再次出现，从而产生了
周期性
46
j 秘密就在身后
--.
65 数学文化巡礼
码"
现代社会中，从个人生活到企业管理，从日常通信到国家安全都离不开"密
古罗马凯撒大帝被认为是最早使用数学知识来对信息进行加密的人之一.
为了确保信息安全，信息需要加密传输.
发送方由明文』膛，密文，接收方由密文且盔，明文.
明文:不希望被未经允许的人看到的信息，可以是文字、符号、图形、图像、数
据等任何表现形式.
加密:对明文的信息或搭载信息的信号进行处理，使其变得难以判读的操作
过程，在现代技术条件下大多数就是某种算法.
密文:明文经过加密后所呈现的信息.
解密:持有密钥的人将已被加密的信息进行还原的形式和步骤.
从控制论到通信理论，从计算机到人工智能，从电气时代迈入信息时代，一
群才华横溢的数学家以深邃的洞察力奠定了信息化社会的技术基础.
20 世纪40 年代后期，人们从长期的通信实践中总结出一门学科一一信息
论.其标志是著名数学家、美国科学院院士香农于
1 948 年发表的具有里程碑性
质的论文《通信的数学原理~ ，该文首次为通信过程建立了数学模型，用充满天才
直觉的新概念和23 个定理，精确计算出通信的理论极限和数据压缩的理论极限，
用数学勾画出一项技术的构架.
47
黄东坡
#iiif:尔友剧数字之五(七年级)
在《通信的数学原理》中，香农( 1916-2 001 )
开创性地定义了"信息"，这个定义与语义无关，而
是反映了将"信息，.编码成由简单的0 和
l 表示的
语言能力，香农作为信息论的奠基者，跻身于2 0
世纪最杰出的科学家之列，被称为"信息论之义"
飞) r数学智慧讲堂
例。
计算机使用的是二进制数，它共有两个数码。和1.将一个十进制数转化为二
进制数，只需把该数写成若干个T 的和，依次写出
l 或0 即可.如19(
1 0 ) = 16 + 2 +
1 = 1 X 24 + 0 X 23 + 0 X 22 + 1 X 2' + 1 =
10011 ( 2 )为二进制下的5 位数，则十
进制数2004 是二进制下的(
)
A.l0 位数
C.12 位数
B. 11 位数
D.13 位数
(荆门市中考题)
·
分析与解
本例渗透了计算机的基本知识一一"二进制计算"，无论何种进
制的数都可表示为与数位上的数字及进制值有关联的和的形式
γ2004 = 1024 + 980 = 1 X 210 + 980 ,
二2004 是二进制下的
11 位数
故选B.
48
第8 讲
| 秘密就在身后。
ilJ 2
按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输州的结果为656 ，则满
足条件的x 的不同值最多有多少个?
匾~I 计算5x+
1 的值
臼
> 500>-三旦+ 输出结果
否
( 义乌市中考题)
·
分析与解
读懂程序框图，运用循环运算，建立方程是解决问题的关键
由
5x + 1 = 656 ，得x = 13 1 ; 由5x + 1 =
1 3 1 ，得x = 26;
由5缸x+
l =
由5缸x+
l仨=ιι，得扣x 二一土，与题设不符
5 ' " ,.
25
故满足条件的x 的不同值最多有4 个，
程扉斗医圈是斗种用规定、指向线及文字说明i最准费严直观埠衰乖算法前图形.
它能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结柑喷i 踊序结楠、条样擂梅、循环
结鞠;
当代著名计算机专家沃斯说过"程序=算法十逻辑结构Y
例3
先阅读下面的材料，再解答后面各题.
现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分.有一种密码的
明文(真实文)按计算机键盘字母从左到右排列分布，其中Q 、W 、E 、… 、N 、M 这26 个字
母依次对应
l 、2 、1 …、25 、26 这26 个正整数( 见下表) :
Q
W
E
R
T
Y
U
I
。
P
A
S
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
F
G
H
J
K
L
Z
X
C
V
B
N
岛f
14
15
16
17
18
19
20
2 1
22
23
24
25
26
给出一个变换公式:
x '=亏(x 是正整数，1 :::;x运抵x 能被3 整除) ,
x 十2
x '=3一+
1 7(x 是正整数，1 '"三x '"三26 ，x 被3 除余1 ),
卜
刀
洁
、
也
纷
山
川
之
美
49
黄东坡@俯…
x'=斗1+ 8( x 是正整数，l ~x钮，巾; 3 除余2 )
将明文转换成密文，如:
4+2
4→
3 一十17 = 19 ，即R 变为L;
11 + 1
11一←
3 一+ 8 = 12 ，即A 变为3
将密文转换成明文，如:
21• 3 X(21 - 17)- 2 = 10 ，即X 变为P;
13→3X(13-8)一
1 = 14 ，即D 变为F;
( 1 )按上述方法将明文NET 译为密文;
(2)若按上述方法将明文译成的密文为DWN ，请找出它的明文.
·
分析与解
对于( 1 ) ，由明文选择变换公式，求得相应整数，推出密文;对于
(2) ，逆用变换公式，即由x '导出x 的值，推出明文，解题的关键是确定变换公式中x '
的取值范围
(1)将明文NET 转换成密文.
2扫5+2
N→2刃5一←一7一+
17 二2却6→M ，
H→斗÷←二刊
5 + 1
T→5一←
3 一+ 8 = 10• P,
即明文NET 的密文为MQP .
(2)逆变换公式为
[3x' (x 是正整数，
1 运x'运8) ,
x =j3 位'-
8) 一
1 (x 是正整数，9运x'运1 7) ,
13 (x'一
17) - 2 (x 是正整数，18三三x '运26) .
将密文DWN 转换成明文:
D→13→3X (1 3 - 8)一
l 二
14→F ，
W• 2• 3 X2= 6• Y,
N• 25• 3 X (25 -
17 )- 2 = 22• C ,
即密文DWN 的明文为FYC.
图灵( 1912一1954 )，英国
著名数学家、逻辑学家.
1936
年，图灵发表《论可计算数及其
在判定问题中的应用》构造尚
在想象中的计算机，数学家称
为"图灵中几..
能破译密蜻问题的关键是: 读懂明文与密文的变换公式与逆变换公式，确定
字母的取值范围，并恰当选择公式.
50
第8 讲
! 秘密就在身后ι
f9IJ 4 你觉得手机很神奇吗?它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信息，据说
以后还能发送味道、触觉等信息呢!这都是于机中芯片的功劳.其实，这些信号在芯
片中都是以二进制数的形式给出的.每个二进制数都由0 和
l 构成，芯片上电子元
件的"开" 、"关"分别代表"1" 和‘旷. 一组电子元件的"开" "关"状态就表示相应的二
进制数，例如"开" "开" "关"表示"110"
如图，芯片的某段电路上分布着一组电子
n
元件(假设它们首尾不相连) ，且相邻的两个元
I
I
件不能同时是关的(以下各小题要求写出解答过程)
( 1 )若此电路上有4 个元件，则这4 个元件所有不同的"开" "关"状态共有多少
种? (请一一列出)
(2)若用仇表示电路上k( k二三1 )只电子元件所有不同的"开" "关"状态数，试探索
仇，仇+ 1 ，a' + 2 之间的关系式; (不要求论证)
(3)试用(2) 中探索出的递推关系式，计算。10 的值.
( << 时代学习报》数学文化节试题)
口
口
口
'
分析与解
纳出相应关系式
(1)用" 1" 表示"开"，"0" 表示"关"，则所有不同的"开""关"的状态共8 种，可表示
对于( 1 )，通过穷举，得出相应的结果;对于(2) ，从特例入手，归
(全开)
(三开一关)
(两开两关)
为
:
1111
1110 , 1101 , 1011 ,0111
1010,0101 ,0110
(2) 由化= 2 ，仇= 3,a3 = 5 ，仇=8 归纳出a，+ 2 - α>+ 1+ 仇.
( 3 )as = a4 + a3 = 8 十5 =
13 ，仇=仇+仇= 13 + 8 = 21 ,
α7 二仇+ as = 21 + 13 = 34 ,as =α，+α6=34+21=55
，
仇= as + a, = 55 + 34 = 89 ,a10 = 仇+仇= 89 + 55 = 144.
)1
1!
、
应
用
之
美
!止l
~f~
第二次世界大战期间，波兰、英国和美国的一批数
学家破译德国和日本的密码，改变了战争的进程，为赢
得这场战争作出重要贡献.
51
时每善m即以(七年级)
破译密码，让我们看到数学与情界经历着同样的历科一一战争与和平. 调苓与
繁华，隐秘的数学英雄以数学为武器守卫着世界，并印证了数学在抽象华美的外衣
下，蕴含的是能将智慧发挥到极致的伟大力量.
1949 年美国数学家香农发表的《保密系统的通信理论》论文，建立了保密通信的
数学原理，加密与解密成为了一种科学一一密码学和密码分析学.
向放学之美探寻
l 在计数制中，通常我们使用的是十进制，即"逢十进一"而计数制方法有很多，
如60 进制:60 秒化为
l 分钟，60 分化为
l 小时;24 进制
: 24 小时化为
l 天;7 进制:
7 天化为
l 周等，而二进制是计算机处理数据的依据.已知二进制与十进制的对应数
值如下表:
十进制
二进制
请将二进制数10101010(2 )写成十进制数为
(黄石市中考题)
2. 一条信息可通过如图所示的网络线由上(A 点)往下向各站点传送.例如信息
到b2 点可由经01 的站点送达，也可由经02 的站点送达，共有两条途径传送，那么信
息由A 点到达4 的不同途径共有
条.
d l
d2
d3
d.
d5
( "希望杯"邀请赛试题)
52
第8 讲
| 秘密就在身后C3
3. 在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法如罔，一层二叉树的结
点总数为
1 ，两层二叉树的结点总数为3 ，三层二叉树的结点总数为7……照此规律，
七层二叉树的结点总数为(
)
o
人
一层二叉树
两层二叉树
A. 63
B.64
C.127
三层二叉树
D.128
(呼和浩特市中考题)
4. 在如罔所示的运算程序中，若开始输入x 的值为48 ，我们发现第一次输出的
结果为24 ，第二次输出的结果为12……则第2010 次输出的结果为(
)
A. 6
B. 3
，、
C. ~~
一
句2006
D ZL
(淄博市中考题)
5 . 在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种加密处理后得
到的内容为密码.对于英文，人们将26 个字母按顺序分别对应整数为0 到25 ，现有
4 个字母构成的密码单词，记4 个字母对应的数字分别为XI ,X2 ,X3 ，X4 . 已知整数X I +
2元，3元，X3 十2x4 ，3x4 ，除以26 的余数分别是9 ，16 ，23 ，1 2. 请你通过推理计算破译此
密码，写出这个单词，并写归此单词的汉语词意.
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
方
法
思
维
应
用
之
美
53
黄东坡
何?你及月4数字之夫(七年级)
也!参一苦奋案
1. 170
10101010ω = 1 X 27 + 1 X 25 + 1 X 23 + 1 X 2 = 170.
2. 6 画出路线图:
_,bl /
c2 -
d3
,QI <
_" C2 -
d3
/
"' b2 <'
元
/
" c口3 - d3
A代飞
/川
C白2 一品
\ 2< b&2
'\ ~ /
"' c凸3 - d33
b 3 、"- C3 - d3
故有6 条不同途径.
3. C
27 一
1 = 127.
4. B
经若干次输出后结果出现循环.
5 . 在o ~
25 的整数中，只有14 满足3 X 14 = 42 = 26 + 16 ，得X2 = 14 ，又XI
+ 2 X 14 除以26 的余数为9 ，而28 除以26 的余数为2 ，得X I 二7 ，类似地，X4 = 4,
又X3 + 2 X 4 除以26 的余数为23 ，而8 除以26 的余数为8 ，得X3 =
1 5. 对应7 ，14 ，
15 ，4 的字母分别是h ，o ，p ，e ，故密码单词为hope( 希望) .
54
数学建模
--.
心数学文化巡礼
士
1 是最简单的相反数，它们有特别的性质:十
1 Xα=α ，( -
l)Xα =-a ，
( + 1 )+(一1)=0 ，(+ 1)X(-1)=-1 ，(十
1 )7( 一
1 )=一
l 等.
电灯的亮与灭，开关的开与关，朝南与朝北，向上与向下……这些都是现实
世界中最简单、最基本的运算状态，这类具有两种状态的量都有相反的意义，人
们自然想到运用数学中的正数、负数来描述.
模型是指研究客体相关性质的一种模拟物，数学模型即运用数学语言、知识
方法来模拟对象的模型.
所谓数学模型，就是在解决生活、生产、科研等现实问题时，通过字母化、抽象
化等过程把问题中的关系用数学形式构建出来，然后用数学知识、方法最终解决
问题的模型.
返回解释
(检验)
学
数
/
i
是
W
VM
...."......
数学是什么? 什么是数学? 如同哲学的基本问
题"我是谁?我从哪里来? 将向何处去? "一一一影响
与决定着教与学的高度.
55
时@ 川脚予以(七年级)
数学智慧讲堂
r伊0\
供应站的最佳位置的确定
先阅读下面的材料，然后解决问题:
n(n> 1) 台机床依次排列在一条直线上，我们要设置一个零件供应站P ，使这n
台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先"退"到比较简单的情形:
如图①，直线上有2 台机床时，很明显设在A ，和A2
4l
P
42
之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于
甲
乙
A ，到A 2 的距离.
图①
如图②，直线上有3 台机床时，不难判断，供应站设在
41 4
D
f3
中间一台机床A 2 处最合适.因为如果P 放在4 处，甲和
甲
乙
-
丙
丙所走的距离之和恰好为A ，到A 的距离，而如果把P 放
罔②
在别处，例如D 处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A ，到A 的距离，可是乙还得走
从A 2 到D 的这一段，这是多出来的.因此P 放在A 2 处是最佳选择.
不难知道，如果直线上有4 台机床，P 应设在第2 台与第3 台之间的任何地方;
有5 台机床，P 应设在第3 台位置.
问题( 1 ):有n 台机床时，P 应设在何处?
问题(2) :根据问题( 1 )的结论，求Ix 一11+lx -
21 十Ix- 31+…+Ix -
6171 的最
小值
怎样用数学的语言、知识、方法来描述这一问题情境?由直线、距离联想到数
丛主革牟
'建立模型:
如图，n 个供应站是在数轴上的n 个点，这些点表示的有理
数分别为矶，a2 ，Q3 ，… ，an •
Q.Q.. Q
1...... :1 ...... :1
α
n
问题( 1 )转化为:在数轴上找一点P ，其表示的有理数为x，当x 取何值时，y=
Ix-ad+lx
α21+ … +Ix-anl取得最小值?由上面的讨论或绝对值的几何意义可得:
当n 为偶数时，若αf:::二x运a--f +
1时，则y 的值最小;
当n 为奇数时，若x 二。斗1时，则y 的值最小.
问题(2 )即在数轴上找出表示x 的点，使它到表示
1
，2 ，…，617 各点距离之和最
小.当x= 309 时，原式的值最小，最小值是: 1309 -
11+1309 -
21+ …+1309 -
3081
+ 0 +1309 -
3101+1309 -
3111+ …+ 1309 -
6161+1309 -
6171= 308 + 307 +
… +1+1 十2 十…+ 308 = 95172
56
第9 讲
| 数学建模ι·
'拓展应用
( 1 )求Ix 一
11+ 21x -
31+ 31x -
41 的最小值
(2)求j(x)=lx -
11+ 12x -
11+ … + 12011x 一
11 的最小值.
(北京大学自主招生试题)
·
分析与解
在这个问题的基础上，探讨一般规律.
( 1 )当3 运x :O三4 时，原式的最小值为5
一般情形是:设j(x)=lx -
ad+lx- α21+ … +Ix -
anl. 其中。lz三α2 三三…运仇
若n 二扯，则当αKZ三x :o三al +
1 时，j (x)取得最小值;
若n = 2k + 1
，则当x = al+1 时，j(x)取得最小值.
(2 )当x=古时，j(x)取得最小值为臼2铝
回茹到l 原题J川川
(xω
干川)问÷→l叫
|
+.…….…'+lx 一一L一斗1+'….川.+忱
一L一斗|
广
20111 '
, r-
20111 '
+1+卡一
2011 个
2012 X 2011
共有1+2+ …+ 2011
...v.... ' ,..,' ...vu
2023066( 个)点，
2
设
i9:. a1
α矶1 -
1
二斗1 , 仇…二刊
α仇俨
3 = ÷扫
，a.
α仇…
4
2023066
因为一
2 一= 1011533 ，现在求。l…和α1 011534 的值
设α10115卢↓，则1+2+3+...+ 启1011饥1 + 2 十十t- 1 < 10115凡
可得t= 1422 ，且a1011533 - αl011534=-L
1422'
#:.x=古时，j(x) 的值最小
j( }"'l )= 1 一-L+12 × -L+ … +l
l422 × - L+l423 × - L
\ 1422 J
1422"
_ . . 1422 '
,.
• ,__ . . 1422' • ，_~ .. 1422
491
1+…+ 2011 X 一一- 1 = 832一一
1422
•
~~-711
方
U;
例
l 的拓展应用，命题形式简单，用最基本的数学元素构造出蕴意深刻的
数学思想的命题，为探究性学习提供了绝好的素材，在探究过程中可感悟思考
过程、思维方法、逻辑推理的魅力所在.
思
维
、
耐
用
之
美
57
黄东坡曹曾帽
'm;1~，:t之现数字之五(七年级)
例2
( 1 )桌面上放着6 只茶杯，全部都杯口朝上，每次翻转4 只，能否经过若干次翻
转，把它们全部翻成杯口朝下?
( 2 )若桌上有7 只茶杯，其他条件不变，能否把它们全部翻成杯口朝下?
分析与解
用+1 与一
l 表示两种状态，以( -
l )n表示这两种状态之间变
化的n 次操作-
用+1 表示杯口朝上，
1 表示杯口朝下.
( 1 )能全部翻成杯口朝下，翻转过程如下
初始状态:+ 1,+ 1, + 1,+ 1,+ 1,+ 1;
第一次翻转: 一
1 ，一
1 ，一
1 ，-1 ，+1 ，十
1 ;
第二次翻转: 一
1 ，+ 1,+ 1,+ 1 ，一
1 ，+ 1;
第三次翻转: 一
1 ，一
1 ，一
1 ，一
1 ，一
1 ，一
l
(2)不能把它们全部翻转成杯口朝下，理由如下.
杯口朝上状态标记为+
1 ，杯口朝下状态标记为→
l
初始状态: 标记量为(+ 1)' =+ 1,
最终状态: 标记量为( 一
1 )' =一
1.
每次翻动4 只杯子的操作相当于乘( -
1)4,
n 次翻转的操作相当于乘( 一1) 4 x ( 一1) 4 x ( 一1) 4 x … x (-
1) 4=( 一
1 )4n.
于是由初始状态经过n 次翻转变为( + 1)' X ( -
1 )4n = + 1.
无论n 为何值，都不可能变为标记量一
1 ，故永远不能按题设的操作使七只杯子
杯口全部朝下
58
数学思想方法、数学思维方式渗透于生活和社会的方方面面，有意无意地
影响人们的思维和决策.
例题通过赋值，把实际问题转化为数学问题，将抽象的推理转化为具体的
计算.
第9 讲
[ 数学建模过
数学是科学的皇后，是推动生产发展的知识
杠杆，是促进艺术的文化激素，是人类思想革命
的有力武器数学推动着人类文明的进步，其理
性之尤照亮整个人类文明的进程.
• 拿.
、. • .飞
.. r …·
, … ‘ ‘. .
吨
.
e -
数学就是常识的精微化.
著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔曾说"与其说是学数学，还不如说是学数
学化"
引入字母、适当画图、恰当赋值、抽象建模是数学化的常用方法.
数学建模的常见方式有建立数式模型、建立方程模型、建立不等式模型、建立目
标函数模型、建立几何模型、建立统计推断模型等.
储备模型、识别模型、创造模型、运用模型，是学好数学的关键.
英国著名数学家、哲学家怀特海( 1861-1947 )
说"数学是关于模式的学科"建立数学模型是用数
学描述世界、沟通世界的主要方式、是解决实际问题
的关键.
怀特海与罗素在合著《数学原理》这一巨著中对
"数学本质是逻辑规则的具体体现"这一论断进行了
论证
方
法
ul
维
、
由
用
之
走
59
黄东坡曹蜻惕，;;?你发现数字之夫(七年级)
1. (1)代数式Ix + 111+lx 一
12 1 + lx + 131 的最小值为一一一·
(2)当Ix - 21+lx -
31 的值最小时，Ix - 21+lx -
31 一Ix 一
11 的值最大是
,
最小是
2.
当x 满足什么条件时，
I 1. 5x - 0.51+12.5x - 0.51+13.5x - 0.51+14.5x - 0.51
+15.5x - 0.51+16.5x -
0.51取得最小值? (
)
1
~~
1
~1
~~
1
~1~~1 ~
1
~~
1
A. ~~x~~ B. ~o::三x O::三
c
~O::三x~~
D.~~x ~
. 11 -";::A-";:: 9
1..J. 9 -";:: A
-";:: 7
'-'. 7 -";:: A
-";:: 5
JJ. 13 -";:: A
-";:: 11
( "五羊杯"竞赛题)
3. 求Ix - 21+lx - 41+lx - 61+ … + Ix -
20001 的最小值.
4. 如图，一条公路两边有六个村庄，现要建一个车站，使得车站沿公路和小路到
六个村庄的距离和最小，应该建在哪里最合适?如果公路两边有七个村庄，那么车
站应建在哪里?
(浙江大学自主招生试题)
5. 男女若干人围坐在一圆桌旁，在相邻两人间插上一朵花:同性者中间插一朵
红花，异性者中间插一朵蓝花.证明:若所插红花与蓝花一样多，则男女人数总和是4
的倍数.
60
第-9 i井
l 数学建模U
飞怠结窑案
l. ( 1 )25
当X = →
11 时，原式取最小值.
(2 )0; 一
l
当2 运X::':三3 时，原式= 2 -x.
2. A
原式二1. 5 X IX 一+[+ 2.5 X[x
士|十3.5 X Ix 一+1+ 4.5 X
Ix
去1+ 5.5 X IX - *1+ 6.5 斗
斗，该式子可看成数轴上的某点到÷，
1 ' _.- . -r'
111 '
~.- . -1"
131
1
1
一… →各个点的距离乘以相应系数后积的和.因为
1.5 + 2.5 + 3.5 + 4.5 = 5.5
5'
'13
1 -r~ 1
十6.5 ，故该点在
和之间时，和最小.
11
1 M 9
3. 500000
当1000 ~x::':二1002 时，原式有最小值，这个最小值为(1 002 -
2) +
( 1004 -
4)+ … + ( 2000 一
1000 )= 500000.
4. 设A ，B ，C ，D ，E 在数轴上表示数为Xl ，X2 ，机，泊，机，车站站点表示数为x ，车站
到各村庄(沿公路、小路走)的距离总和记为S ，则s =Ix - xd+ 21x - x,l+lx - x31+
Ix - x41+lx - x51
当车站建在第三个与第四个村庄之间时，S 最小.
若有七个村庄，应在第四个村庄建车站.
5. 设男女总人数为n ，并将他们看作圆周上的点矶，也…，仇，然后对这些点赋
值，当α/i=
1
，2 ，… ，n)表示男性时，赋值为+
1 ，当αι 表示女性时，赋值为一l
又记b ，二0 ，0" b2 = 02仇，…，b n -
，二an - lQn, bn ==α.0， ，显然当相邻两点同号时，
b,= +
1
，当相邻两点异号时，b，=-
1
，这样b ，就对应着花的颜色:十
l 是红花，一
l
是蓝花.
因为红花数与蓝花数相等，故n 应为偶数，设n = 2k ，于是在b ，,b" … , bn 这n 个
数中，有k 个是+
1 ，有k 个是
1 ,
故有b ，• b2 … . . bn =(一
1 )' ,
又b ，• b2 … . . bn = ( 0 ,0 ,)( 0 ,03)… (OnO, )=(0,02"'On)'= 1,
:.(- 1)'= 1 ，从而k 是偶数，故n 是4 的倍数.
61
1î
ì.l
aI tE品I、
~fì~
},í;_
汗i
.L
j~
陆斯求和谈起-- ------------------- ----------.
心数学文化巡礼
高斯，德国著名数学家，被誉为"数学王子"，高斯被公认为是19 世纪最伟大
的数学家，与阿基米德、牛顿并称为历史上三个最伟大的数学家.人们曾形容高
斯为"能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才"
据说高斯2 岁时就发现父亲账簿上的一处错误，9 岁时用对称的方法快速
计算出
l 到
100 的整数的和.高斯在晚年常幽默地宣称:在他会说话之前就会计
算.
1796 年是高斯的奇迹年. 3 月
30 日，离
19 岁还差一个月的高斯给出了正十
七边形可以用尺规作图的证明，发现了它与费马素数之间的联系，这一问题的证
明不仅震撼了数学界，也震撼了高斯自己的心灵，从此他决心献身数学.
"你，大自然，
我的女神，
我要为你的规律而献身"
形如乓( n ) = F+ 2P+ 3P+…+ n P(p 为正整数)的和称为自然数革和，也称
为p 阶自然数军和.探究低阶自然数革和的公式，历史上的数学家的智慧为我们
提供了很好的借鉴.
62
飞
"钊
高斯( 1777一1855) ，不仅是最伟大的数学家之
一，而且还是那个时代最伟大的物理学家和天文学
家之一. 1843 年，高斯的光学巨著《光的折射研究》出
版，书中首次提出了光的;焦距、焦面和焦点等概念
第10 讲
! 从高斯求和谈起J
飞) 数学智慧讲堂
例
l
计算:1+2+3+ … + n.
分析与解
思路
1
: 就n 的奇偶性讨论，可利用高斯求和的对称思想计算
思路2: 设S 二1+2+3+ … + n ，又S=n+n-1+ …+ 1,
两式相加得:2S = (n + 1)十( n + 1)+…+(n + 1),
n 个
S=血户，
f!IJ 1 +十
n(n + 1)
Pl +2+3+ … +n= 一一τ一一
思路3: 借助"图"的直观性求和，如下图
1
O\O...OOO n
2
0 0
3
0 0 0\0 0 0
00
nO 0 0
… 0\0
3
2
(n -l唱\
由图得1+2+3+ …十n=ι2 一一
思路3 借助图形的直观性，形象而直观.
数学一开始就是研究"数"和"形"的，从古希腊时期起，人们就试图把它们统
一起来.
我国著名数学家华罗庚曾说"数缺形时少直观，形少数时难入微"
1801 年，年仅2 4 岁的高斯出版了《算术探
索p ，开启了现代数论研纪的新纪元，被誉为"数
论的宪章"
七
川
法
、
也
就
向
川
之
足
63
黄东坡
fif 你发现数字之美(七年级)
例2
计算;
64
( 1)2 + 4 + 6 +…十2n;
( 2)1 + 3 + 5 +…+ 2n 一
1 ;
(3 )1 3 + 23 + 33 +…+ n3,
'
分析与解
例
l 的解决为例2 提供借鉴与帮助.
( 1 )思路一:从特殊情形入手
2+4=6=2X3;
2 + 4 + 6 = 12 = 3 X 4;
2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 X 5;
猜想
: 2 + 4 + 6 +…十2n = n( n + 1)
思路二: 转化为例
l 中的模式，
原式= 2 X( 1 + 2 + 3" ,+ n )= 2 X血产主= n(n + 1)
思路三: 构造图形求和.
。1010
0101
二|二|
-1-1
01010
o 0
0101
士.J " 1
斗J
二
1
0 010
o 01
一-一二」
二--二J
0
0
0
在( 1 )的基础上，可以用不同的方法求出(2) 、(3) 的和.
旦;l:::::::::
::::l:|:|:
…… 1-
- ---- - -
由图得1+3+5+ … + 2n -
1 二矿，
1 3 十2 3 + 3 3 + …+矿=( 1 + 2 + 3 +…十n t
第10 讲
l 从高斯求和谈起U?
通过问题的解决，我们感受到多层次、多角度对问题的思维方法:从特殊到
一般，从抽象到具体，从数到形. 我们经历了提出问题并解决问题的过程: 从连
续自然数之和到连续偶数( 奇数)之和，从低次到高次.
例3
已知α= 12_ 22+32-42+52-62+ …+ (n-1 )2 -
n2, b= 1 十2 + 3
+… +(n 一
1 )+ n ，n 为不小于2 的偶数.
求20 x (引~14 × ( tf16的值
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
把a ，b 分别用n 的式子表示.对于α ，由特殊到一般，归纳猜想.
2 X (l + 2)
当n=2 时，a = 12 -
22 = 1 -
4 = -
3 -
"-" , 2
4 X (l + 4)
当n=4 时，α= 12 -
22 十3 2 -
42 二
3-7= 一10=-~
当
n =
6 时，
α
= 12 -
22 + Y -
42 + 52 -
62 = -
3 -
7 一
11 =- 21 =
6 X (1 + 6)
2
n(l + n )
猜测
: α= 12 -
22 + 32 -
42 + 52 -
62 十… + (n 一
1 )2 -
n2 二一一
2一一，
而b=1+2+3 + … +( n 一
1 )+ n
(
,
b = n +(n 一
1 )+(n - 2)+ … +2+1
(
,
n( 1 十的
由①+②得2b = n( n + 1) , b 二一
2 一
所以专= l=2,
,
，~
、
20 1 5
、
2016
故20 X r 丘1
+ 14 X r 丘1
= 20 X ( 一
1 )2015 + 14 x( 一
1 )川=- 20 + 14
飞。J
''' ''\ bJ
分析与解
4''LL5
4
j
引
"
= -6
个别的看、重复的看、想象的看、一般的看ι数学归纳推理是通过观察和组
合特殊事例来发现普遍规律的过程.
数学的许多结果是"看"出来的，所谓看就是一种直观判断.
到1，
、
内
用
之
美
65
黄东坡
带w :t主观数字之夫( 七年级)
卓越的计算能力、严密的逻辑推理、完美的实验、有创造力的直觉，这正是高斯
出类拔萃的原因.
高斯与韦伯( Wilhelm Eduard
Weber ，1804一1891 ) 塑像
高斯曾说:
高斯在物理学方面最引人注目的成绩就
是在1833 年与物理学家韦伯一起发明了有线
电报
"数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后
"
"数论提供给我们一座用之不竭的宝库，储满了有趣的真理，这些真理不是孤立
的，而是最紧密地相互联系着"
"任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热"
"物质的满足是多余的，灵魂的满足是一种更高的境界.至于我把数学应用到几
块泥巴组成的星球，或应用到纯粹数学的问题上，这一点并不重要，但后者常常带给
我更大的满足"
F 克莱因曾评价高斯说
"如果我们把18 世纪的数学家想象为一系列的高山峻
岭，那么最后一个使人肃然起敬的巅峰便是高斯;如果把19 世纪的数学家想象为一
条条江河，那么其源头就是高斯"
向「蜘乏美嗣
1.奇数宝塔
东方传统建筑中的塔，千姿百态，造型各异.数学中的宝塔更是千变万化、不计
其数
从
l 开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔:
第几行
行中各数的和
3 5
2
23
7
9
11
3
33
13
15
17
19
4
43
21 23
25
27 29
5
53
31
33
35
37
39
41
6
63
... ... ... ... ... ... ...
66
如O 讲
| 从高斯求和谈起世
观察行中各数的规律:
前2 行的各数之和= 1 + 3 + 5 = 13 + 23 = 32;
前3 行的各数之和= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 13 + 23 + 3 3 二62 ;
前4 行的各数之和=1+3+5+ …+ 19 = 13 + 23 + 33 + 43 = 102;
前5 行的各数之和=1+3+5+ …+ 29 = 13 + 23 + Y + 4 3 十
5 3 = 152;
因此，可推知前6 行的各数之和二1+3+5+ …+ 41 二
1 3 十2 3 十
3 3 + 43+
53 + 63 =
根据以上规律，猜想:1 3 + 23 +…+矿=
( ~ 时代学习报》数学文化节试题)
2. 阅读材料:高斯在上学读书时曾经研究过这样→个问题，1+2+3+ …+
100 = ? 经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+"'+n=卡(n+ 1) ，其
中n 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题:1X2+2X3+ … + n(n+ 1 )=?
观察下面三个特殊的等式:
1 X 2 =i-( 1 X 2 X 3 -
0 X 1 X 刀，
2 X 3 =i-( 2 X 3 X 4 一lX2X3) ，
3 X 4 =i-( 3 X 4 X 5 -
2 X 3 X 4)
将这三个等式的两边相加，则得到1X2+2X3+3X4= i- X3X4X5
= 20.
读完这段材料，请你计算:
( 1)1 X 2 + 2 X 3 +…+ 100 X 101;
(2)1X2+2X3+ … + n( n + 1);
(3)1 X 2 X 3 + 2 X 3 X 4 +…+ n( n + 1)( n + 2).
(内江市中考题)
3 计算:1 2 +2 2 +3 2 + …+ 1002.
67
方
法
、
思
维
-
M
闲
之
美
时@ …
l. 21';
(1 + 2 + 3 +…+n?
2. ( 1 )3434叫2)卡(n + 1 )( n + 2);
(3 )原式=士(1 X 2 X 3 X 4 -
0 X 1 X 2 X 3)+土(2 X 3 X 4 X 5 一
1 X
4
2 X 3 X 4)+...+士[ 们十
1 )( n + 2)( n + 3 ) - (n -
1)们十
1 )( n + 2) ]
68
=卡(n 十
1 )( n + 2)( n + 3 )
3. 解法
1 :
由(n 十
1)3 =矿+ 3n' + 3n + 11导(n + IY
旷= 3n' + 3n + 1,
于是有:2 3 一
1 3 二3 X l' + 3 X 1 + 1,
33 -
23 = 3 X 2' + 3 X 2 + 1,
43 -
33 = 3 X 3' + 3 X 3 十
1 ,
10F 一
1003 二3 X 100' + 3 X 100 + l.
把它们全部相加，得
1013 -
13 = 3 X ( l' + 2' + 3' +…+ 100')+ 3 X ( 1 + 2 + 3 十…+ 100)+ 100 ,
即101 3 -
1 3 二3 X ( l' + 2' + 3' +…十
100') + 3 X 5050 + 100 ,
1013-
13-
3 X 5050 -
100
二
l ' + 2' 十3 ' +…十
100' =吨= 338350
解法2:
运用。X 1 + 1 X 2 + 2 X 3 +...+(n 一I)X n =卡(n + 1 )( n 一
1 )
... l' + 2' = ( 1 + 0) X 1 + (1 + 1) X 2
=1+0Xl+2+1X2
=( 1 十2)+(0 X 1 + 1 X 2) ,
F 十2' +3'=(1 +O)X 1 +(1 + I)X 2+(1 +2)X 3
=1+0Xl+2+1X2+3+2X3
=( 1 + 2 + 3 )+( 0 X 1 + 1 X 2 + 2 X 3) ,
:.1 ' +2' 十3 ' + …十
100'
=( 1 + 2 + 3 +…+ 100) + (0 X 1 + 1 X 2 + 2 X 3 十…+ 99 X 100)
二5050 +i- X 1附加
l 川0 一
1 )
= 338350 ,
(n + 1) (2n + 1)
更一般的规律是:
1'+ 2' +3' + … +nz=
6
、
----、
。[孵却随笔L
类比是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，得出它们在其
他特征上也可能有相似的结论
触类旁通，即用类比的方法借鉴提出问题及解决问题中所使用的途径和
方法.
光和声，这两种物质具有许多相同的性质，如它们都是沿直线传播，都有折
射与反射现象等. 根据声的波动性质，荷兰著名科学家惠更斯得出"光可能有波
动的性质"的猜想.后来，光的波动性质通过实验得到了证实.
开普勒曾说"我珍视类比胜过任何东西，它是我最可信赖的老师，它能
揭示自然界的秘密
"
观察下列的计算过程:
币2+技3+技z+村三=(十一+)+(~一切+(t 一士)+
(士一士)= 1 一←4
从上面解法中，可以发现:
1
1
2
•
1
1
1
1
(n + 1)- n
1
1
2 一1 X 2 一1 X 2' n
n + 1- n(n + 1) - n(n + 1)"
这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其
中部分数相互抵消，简化计算
用类比的方法能提出更多的问题.
从连续自然数到连续偶数、奇数;从2 个到3 个或4 个;从分数到整数，类比
可提出许多计算问题
69
黄东坡@ …
开普勒( 1571一1630 )是德国天文学家、物理学家和数学
家，行星三大定律的发现者，近代光学的奠基人，分别出版了
《宇宙的奥秘》、《宇宙和谐论》等著作，介绍了宇宙和谐的思
想，为牛顿发现万有引力奠定了基础
1
1
1
例
1
( 1) ，
，'/ ，，+一一一+ … + 1""\1"\ 11
，~
1 X3'3X5'
'2011X2013'
1
1
(2)一一一+一一一+…十
2 X 4 ' 4 X 6 '
, 2012 X 2014'
( 3 )一一
1 一一十一一
1 一一+ …+
l
1 X 2 X 3 ' 2 X 3 X 4 '
, 2012 X 2013
( 4 )1 X 2 + 2 X 3 + 3 X 4 +…+n( n+1 );
(5)f+ 22 十3 2 + … + n2•
·
分析与解
类比解决问题:
1 (
1
1
\
( 1 ).: t "'\ __
1 \1..(,,__
1
1 \一( 一一一一一一一)
. (2n 一1) (2n + 1)
2 \2n 一
1
2n + 1/
( .
1 \
1006
· 原式==+ { 1 -
"'\f\ "" )==
2 飞
2013/
2013
1
1 / 1
1
\
(2)··
=l 一一
)
. 2n(2n + 2)
2
飞2n
2n + 2/ '
1 1 1
1 \
503
· 原式二
(
一
)二
2 \ 2
2014/
2014.
1 I
1
1
丁
(3).:
,
，，'
一| 一一一一一
|
(n + 1) (n + 2)
2 Ln (n 十1)
(n 十1) (n + 2) J'
1 (
1
1
\
1013545
. 原式=~ (
一
) 二
2
飞1 X 2
2013 X 2014/
4054182 .
(忏
4 )川.飞γ汕.
. 原式二÷卡扫
n叭(ωn +
1 )( n+2 )
( 5 ).: n2 = n [( n + 1 ) 一
1] = n (n+ 1)-n,
原式=卡( n +
1 )( n +2)一卡( n + 1)
二tn(n+ l ) (2n+l)
70
有艾丽三-"岳;叩.引.:".~抽描a目四--、
，，:~.!!.'.川，...，t 飞:_~.!啊，佳男盹即严
·剧院
.. "医
第11 讲
| 裂项相消中的类比J
这是开普勒《宇宙的奥秘》中的行星运行模型
1 5 95 年7 月
9 日的天文课上，开普勃发现一个正三
角形内切困半径与外接圆半径之比，大致等同于哥
白尼《天体运行论》中木星与土星均轮半径之比，顿
悟到其中"奥秘和天意..
他提出的开普勒行星运动
定律，使得千古之谜得以真相大白，人类理性文明交
飞猛进.
胃""..
例2
为了求l 十3 十Y+3 3 + …十3 川的值，可令M = 1 + 3 + 32 + 33 +…+
3 100 ，则3M = 3 + 32+ 3) + Y+…+ 3 10 1 ，因此，3M- M= 3 101 一
1 ，所以M =
3
1 01 一
1
Rn 1 I .., I ..,2 I ..,3 I
I ..,100 _ 3101_ 1
一一一，即
1 + 3 + 32 + 33 +… +3
一一一. 仿照以上推理，计算: 1 + 5 + 5' +
2
53+…+ 5 '0 阳的值.
分析与解
相邻加数的比为定值是这类式子的特点
，整体设元，错位相减，
用类比方法求值
设S = 1 + 5 + 5' + 5) +…+ 5 2川①，
:.5S = 5 + 52 + 53 +…十5 20 1 6
②，
由②①得4S= 俨16 -
1.
S =5 '0 1 6 一
l
4
')
I
....':1川
5 20 1 6 一
l
即
1 + 5 + 5' + 53 +…+ 5 'U I 5 二一
4 一.
，.
，..，_画
第三种再学方法
科学计算己和理论计算、实验并列为三大科学方
法，人类的计算能力等于计算工具的效率与计算方法
的效率的来积. 尼葛洛庞帝曾言"计算不再只和计算
有关，它决定我们的生存..
方
法
l 日
~c."
维
L
M
闲
之
美
71
黄东坡@ :if…以(七年级)
哩lJ，
自行车轮胎安装在后轮上，只能行驶3000km 就要报废，安装在前轮上，则行
驶5000km 才报废.为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路后才报废，在自行车行驶一
定路程时，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千
米?
•
分析与解
解法一
列方程求解.
设自行车行驶了x(km)后，互换前后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废.因此，
前轮还可行驶( 5000 -
x )km ，后轮还可行驶( 3000 -
x )km. 当前后轮胎互换后，还
可行驶，井材有(仔50删
O
( 5
3 \
解此方程，有(
~
-
~)x = 2000 ，解得x = 1875.
\ 3
5 /
这就是说，当自行车行驶了
1875km 后，互换前后轮胎，这样共可行驶( 5000 -
1875) X号+ 1875 = 3750( km) ，所以最多可行驶3750km
解法二
类比工程问题解法.
设安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶x (km).
根据题意，自行车每行驶lkm ，前轮将磨朽-L ，后轮将磨柯
1
二
5000' JO '1'(, 1'T l$ l Y{ 3000'
当两个轮胎磨损之和为单位"1" 时，前后轮胎互换，当两个轮胎磨损之和为"2"
时，两个轮胎同时报废，即行驶路最多，
由此可得方程-L+-L=2 ，解得x = 3750. 即自行车最多可行驶3750km .
5000 ' 3000
解法二把行程问题转化为一个工程问题，通俗而简沽，并得到自行车的最大行程为'
立一一，这个式子称为两数的调和平均数.
1
,
1
一-一
侃邸'3侃"
异形同构，看透本质.
许多数学问题表面上看来完全不同，但经过探索后会发现其实质相同.要善于
联想，勤于思考，努力把一些外表形式迥异而内涵相同的实质问题揭示出来，就能
使问题得到本质的解决.
72
第才才讲
| 裂项相消中的类比Cr
'‘、·
钊‘组.
..
山
椒1(:‘巴拉
__.. ..e !S~- "电.，
数学学习中，类比思想的运用有下列几种常见情形
:
概念的类比;
方法的类比;
结构模型的类比;
简羊问题的类比;
低维与高维的类比;
从特殊到一般的类比推广等
人们从海豚、鲸鱼的外形和沉浮的原理研究设计了流线型外形的汽车和潜水艇;
奥地利医生奥恩、布鲁格将积有脏水的胸腔和盛了酒的酒桶进行类比，从而发明了"叩
诊法"，地质学家李四光通过发现我国和中东地区地质结构有相似之处，作出我国也
存在大油田的正确推断.
类比是通向伟大发现的引路人.
德国哲学家康德说"每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往可以指
导我们前进"
对日、月、星、辰周而复始长期的运行进行观察与记录，人类试图用恰当的几何模
型解释世界
开普勒的墓碑上刻着他自己写的墓志铭:
"我曾观测天空，今又度量大地.
灵魂邀游太空，身躯化为尘埃"
向数学之美探寻
1.观察下列等式:
3
1
1
第
1 个等式:al 二
二
1 X 2 X 22-1 X 2
2 X 22 '
1
1
第2 个等式:a2 二王文τ灭于二王文子
3 交子'
1
1
第3 个等式:仇
一
3 X 4 X 24
3 X 23
4 X 24 '
1
1
第4 个等式:仇=正灭王灭三百二Z灭2:-5灭子'
按上述规律，回答以下问题:
( 1 )用含n 的代数式表示第n 个等式:Qn ==
73
1j
~t
,ltzL1 、
维
!位
用
.<.ζ
夹
黄东坡@ m
( 2 )式子S = a ，+ α2 + a3 + … +α20 -
( 黄石市中考题)
2. 为了求
1 + 2 + 22 + 23 +…+ 2 '00 的值，可令S = 1 + 2 + 22 + 23 +…+
2100 ，则2S = 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 2' 0 ' ，因此2S -
S = 2 '0' 一
1 ，所以S = 2 '0 ' 一
1 ，即
1 + 2 + 22+ 23 +… + 2'00 = 2'0' -
1.仿照以上推理，计算
1 + 3 + 32 + 33 +
… 十3 20 '4 的值.
( 兰州市中考题)
3.
当自然数n 无穷地增大时，求一
1 一一+一
1 一一+一
1 一一+…+
l X 2 X 3'2 X 3X4'3 X 4 X 5
l
l u 的值.
(世界数学团体锦标赛试题)
1 , 1 , 1
,
,
1
4. 数学问题:计算
+寸+-=':J+… +寸(其中m ，n 都是正整数，且m泣，
m'
m'
m
n注1 ).
探究问题:为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地
分割一个面积为l 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般
问题特殊化的策略来进行探究.
探究一:计算:土十斗+4+
+土
2" ' 2"
'2n •
第l 次分割，把正方形的面积两等分，其中阴影部分的面积为÷ ;
第2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续两等分，阴影部分的面积之
1 , 1
和为王+ 2
2 ;
第3 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续两等分……
第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后两等分，所有阴影部分的面
积之和为斗+JT十-L+
+上，最后空白部分的面积是去
2 ' 2" ' 2"
' 2n
74
第1 才讲
l 裂项相消中的类比J
l-r
l
~ I
i
~2 I I
|
~
I
||
1 1
2" 2"
根据第n 次分割图可得等式-l+17+」了+...+ τJr= 1-JZ
. 2 ' 2' ' 2j
'
'2"
•
2
1 , 1 , 1
探究二:计算一+ -;~，+ 一了十…十
3
I 32
I 3
第
1 次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为号;
第2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之
和为子+专;
第3 次分割，把上次分割团中空白部分的面积继续三等分…
第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有的阴影部分的面
2
积之和为
+丁+寸+…+一最后空白部分的面积是斗" .
3 ' 3' ' 3j
'
'3" ,
||
||
2
?
2
?
}î
i!
内
用
之
史
统:
75
2 , 2
, 2
根据第n 次分割图可得等式· 一+寸+ 一了+… +τ=1
. 3 ' 3' ' 3
1
,
1
,
1
,
, 11
1
两边同时除以2 ，得一++，+一了+…+一二二一
3 ' 3' ' 3j
'
'3"
2
2 X 3""
1 , 1
, 1
探究三:计算
+-+，-+一了+ …+
4
吨叶
(仿照上述方法，只画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面
积，并写出探究过程. )
1 , 1 , 1
解决问题:计算百十万+可+...十万·
(只需画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以
黄东坡
fif 伪;:&月4数字之夫(七年级)
下填空. )
根据第n 次分割图可得等式:
1 , 1 , 1
所以，百十万T十玩了+ …+百"
5 一
1 , 5' -
1 , 5 3 一
1
，
, 5 "一
l
拓展应用:计算一一一十一寸一+一寸一+… 十一C "
5
5"
'5'
5
g 参誓窑案
n +2
1. ( 1)
í
1'" 1 1"
""-'
I"'\n + I ; 一一一一一
(n + 1) • 2" + 1 'n • 2"
(n + 1 、
竹n + I ,
1
1
( 2 )一二一二一-
2
21 X 22 1 •
320 1 5 一
l
2 . 原式--2一.
3 百长3=÷(dE 一才3)
五七"4=+(才3 一才动，
双耘5=+(才可技τ) ,
向+ 1衬布=τ[百七广
将以上n 个等式相加得，
原式=土r 1 ,1/ '"'0
-
f ..
1
1 \ l f ..
1
'"'0 \ l
2 L1 X 2
( n + 1) (n + 2)J
(青岛市中考题)
随着
n 的无限递增，f l11
1 们无限趋近于
0，所以最后的结果是
÷(dE 一件=士
76
第11 讲
| 裂项相消中的类比世
第n 次分割
3
4
3
42
4 . 探究三:
第
1 次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分
的面积对;
第2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四
等分，阴影部分的面积之和为卡去;
第3 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四
等分... ...
第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四
3 , 3
, 3
等分，所有阴影部分的面积之和为I十五T十五了+..+可，,
最后的空白部分的面积是去，
'-F< "''''_c. 3 , 3
, 3
根据第n 次分割图可得寺式· 一十一τ+丁+…+丁= 1 - 4" ,
. 4 ' 4
1 , 1 , 1
两边同除以3 ，得
+ ---i2+ 一了+…+一=一一一一一
4
吨叶
4"
3
3 X 4'"
m 一l
m
解决问题:
m 一
1 , m 一
1 , m 一
1
，
, m 一
l
-7百一+-a「+-a「+…+一再-;;- - 1 万
1 , 1
,
,
1
1
所以一+一一+…十一一=一一一一
m
I m2
I
I mn
m 一
1
( m 一
1 ) X m'"
拓广应用:
厅
沾
m 一l
一一~ 3 一
1ft
m-l
一-丁二
1ft
原式=1 一÷十l 一去+1 一卡
+1 去
11
1
1
1 \
= n -
( 一++，-++，-+…十二;;- )
\ 5
5"
5"
'5" /
=n 一(士一才子)
1
,
1
1 _p. 4n 一
1
，
1
\
-n-~+~( B)Z 一一一一十一一一一)
4 '4 X 5 " 飞
4
'4 X 5"/
jι
纠ì~
向
川
之
芫
77
,
,
、
、
,
心数学文化巡礼
来方是一种特殊的乘法.
古印度国玉的奖赏、狄摩根的
年龄、富兰克林的遗嘱、拿破仑的
诺言等，这些饶有趣味的故事和问
题都与来方有关.
1797 年3 月，拿破仑在卢森堡
第一国立小学演讲时说了这样一
番话
"为了答谢贵校对我，尤其是
对我夫人约瑟芬的盛情款待，我不
仅今天会呈上一束玫瑰花，并且在
未来的日子里，只要我们法兰西存
在一天，每年的今天我将亲自派人
送给贵校一束价值相等的玫瑰花，
作为法兰西与卢森堡友谊的象征"
1894 年底，卢森堡旧事重提，
主二L 二
豆歹d
.~阿二·
圄细
..1"
E
且匮暨暨雪'
国
法国大革命尤其是拿破仑使得
法国成就了一批精通理论和应用的数
学家，也娓生了巴黎辖合工科学校、巴
黎高等师范学校商所世界级名校. 拿
破仑曾吉:";数学教育决定着国家的繁
荣昌盛f
向法国提出违背"玫瑰花诺言' 案的索赔，要求从
1 797 年起，用3 路易作为一束玫瑰花的本金，以
5 厘复利( 即利滚利)计息全部清偿这笔玫瑰债，
而这是一个巨大的天文数字.
法国政府斟词酌句的答复是
"以后，无论在
精神上还是物质上，法国将始终不渝地对卢森堡
大公国的中小学教育事业予以支持与赞助，来兑
现我们的拿破仑将军那一诺千金的玫瑰花信
誉. " 1977 年4 月
22 日，时任法国总统德斯坦访
78
第12 讲
| 乘方之趣d
问卢森堡，将一张象征巨额财富的支票，交给了卢森堡，以此了却持续180 年的
"玫瑰花诺言"案.
求n 个相同因数的积的运算，叫作来方，乘方是一种特殊的来法，具有以下
基本性质:
1. d' 与α 的奇偶性相同;
2. a2n 二三0;
3. 当自然数n 的个位数字分别为0 ，1 ，2 ，…，9 时，矿，旷，旷，旷的个位数字如
下表所示:
n 的个位数
。
2
3
4
5
6
7
8
9
旷的个位数
。
4
9
6
5
6
9
4
旷的个位数
。
8
7
4
5
6
3
2
9
旷的个位数
。
6
6
5
6
6
旷的个位数
。
2
3
4
5
6
7
8
9
由此可发现，个位数字出现周期现象，并且周期是4 于是得:在川+ r 中( k ,r
为非负整数，n 笋0 ，0 :'0三r< 4) ，当r 并0 时，俨+ r 的个位数字与nr 的个位数字相同.
G∞gle 公司的发家之宝是搜寻引擎，
其创始人之一布林曾在大学里读数学专业，
他的父亲、祖父都是数学教授.
G∞g1e 一词漂于Googol ，而G∞go) 的意思是"数字1 的后面跟着100 个
旷，即
10100= 100...0.
1嗣+
或许公司创始人意在运用这个天文数字，体现其整合网上海量信息的远
大目标.
79
)î
,I 巳E，I、
t~
).注
)11
」乙
矢'
黄东坡@ 川
也j)
( 1)假设能将一张普通的纸对折50 次，估算有多厚?
( 2)一张纸可以重复对折多少次?
分析与解
通过测量可知一张普通的纸厚度约为O.1mm
( 1 )将一张普通的纸对折50 次，其厚度为250 X 0.1 = 1.1259 X 1014mm ,
其厚度将达到
11259 万千米，接近地球到太阳的距离.
( 2 )将一张纸对折一次，也许很多人觉得容易，下表直观解释提升纸重复对折的
次数是如此困难.
对折次数
纸的厚度
纸的面积
。(未对折前)
t
A
2t( = 21. t)
土A
2
2
4t( = 22. t )
土A
4
3
8t( = 2 3 • t )
--l-A
8
4
16t( = 24. t)
16A
...
...
...
8
256t( = 28 • t )
256A
由表可见，纸的厚度随着对折次数以等比数列增加，而其面积相应地以同样的比
例减少，加上纸本身的拉力
，将纸对折第9 次无疑比一次将51 2 张纸对折要更困难.
例1 表明: 任何量若按指数规律增长，则随着时间的推移就会达到天文数
字，进而趋向无穷大(或者无穷小)，这就是神奇的"指数效应"
80
分析与解
解法一
分步计算，得出规律:
土+↓=土+土二三.
2 '2"
2
1 , 1 , 1
τ+22 +Ý二τ+τ+8=8;
÷+去+去+古=÷+士+÷+忐=tt ;
土+JT+4+Jr+J于二土+~+土+土+土=旦
8 ' 16 ' 32
32
由此可发现，
原式=
1 一去=于
解法二
设S=÷+去+去+. .. +古，
则2S = 1 寸+去+.. . +户，
两式相减得S=l
去=平
解法三
以形助数
即运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为
l 的正方形，把数量关
系和几何图形巧妙地结合起来.
第
l 次分割
第2 次分割
|
~. 1 I
~
; I I
~ I
|
I
I 升
I
I 汁斗会
例2)
日取其半
"判天地之美，析万物之理"，这是出自《庄子
· 天下
篇}.在中国古代圣贤中，庄子是最独特的，最富于想象力
的一位.
《庄子
· 天下篇》中写道"一尺之捶，日取其半，万世
不竭"意思是:一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一
半，永远也取不完.
请计算÷+去+去十
+古
第3 次分割
第刊
[ 乘方之趣。
第n 次分割
?
一J
陆
、
思
维
1 1
2n 2n
，因
1
，
1
，
1
，
, 1.1
根据第n 次分割图可何等式:++ :7 +寸+ … +τ=1 一一
. 2
I 22
I 2
山
川
川
之
先
81
黄东坡@…
例3
( 1 )数N = 1'2 X 59 是(
A. 10 位数
B. 11 位数
C.12 位数
(2)求证: 3 2阳+ 42酬是5 的倍数.
·
分析与解
对于( 1 )，应用乘方意义计算;
对于(2) ，证明原数的个位数字为0 或5 即可
( 1 ) ': N 二23 X (2 X 5 )9 二23 X 109 = 8 X 109,
二数N 是10 位数. 故选A.
(2) ':32阳= 34 X 500 川，42002 = 44 X 500 + 2 ,
D.13 位数
二]2002 与42阳的个位数字分别与了，42 的个位数字相同，即9 ，6 ，从而3 2阳+ 42阳
的个位数字为
5 ，故3 2002 + 42阳是5 的倍数.
数学是人类心灵最独特的创作，是一种唯美的艺术，与文学艺术相连相通.
请看下面曾在网上很火爆的式子:
1.01 365 二(1 + 0.01 )365=37.8;
0.99365 = ( 1 -
0.01 )365 白0.03.
进一步，
1.02365 二(1 + 0.02 )365=1377;
0.98365 =( 1 -
0.02 )365=0.0006.
365 次方代表一年的365 天，
1 代表每一天的努力，+ 0.01 表示每天多做一点，
-
0.01 表示每天少做一点.
365 天后，一个增长到37.8 ，一个减少到0 .03 ，这个
式子被网友解读为:
"每天进步一点点，原丝一年变富帅;
每天退步一点点，富美一年变挫矮"
早在千年前，我国田园诗人陶渊明曾写下:
"勤学如春起之苗，不见其增，日有所长;
辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏
"
这样看来一个与乘方相关的数学式子与一个文学
诗句不就有了相同的意境吗?
82
第12 讲
l 乘方之趣J·
L 观察下列等式:
[2 = 1
[ 2 一22 =- 3
[ 2 _
22 + 32 = 6
['- 2'+ 3' -4' =-[0
则第n 个等式是
2 . 观察下列等式:3
1 = 3,3' = 9,33 = 27 ,3' = 81 ,35 = 243 ,36 = 729 ,3' = 2187 ,
…，则3 + 3' + Y + 34 +… + 3川的末位数字是(
)
A. O
8. 1
C.3
D.7
( 泰安市中考题)
3 . 计算.
( 1 )2 - 22 -
23 -
24 -
25 一… - 218 -
219 + 2飞
1 , 1 , 1
(2)~+~+一了十… 十
3
I 32
I 3
4 设字母。表示
1 ~ 9 的某个数字，用3 个相同的字母α 能写出的数最大是多
少?
5. 著名数学家诺伯特·维纳是控制论的奠基人，他从小智力超常，14 岁大学毕
业，几年后成为美国哈佛大学的科学博士. 在博士学位的授予仪式上，执行主席询问
他的年龄，他的回答十分巧妙"我今年的岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是
个六位数，这两个数刚好把十个数字0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 全部用完，不重不漏
能知道他当时的年龄吗?
83
方
法
、
也
推
山
川
川
之
夫
黄东坡@ …
也参绕案
,n(n + 1 、
1. r - 22 + 32 -
42 +…+(一
1 Y - 'n2 =( -
l)nι丁一一
2.C 所得结果的末位数字依次为3 ，9 ，7 ，1 ，3 ，9 ，7 ，1 ，…，每4 个为一组循环，每
组中的末位数字之和为3 + 9 + 7 + 1 = 20 ，和的末位数字为O.
84
': 2013 -;- 4 = 503…… l
"原式的末位数字即为3 20日的末位数字，为3 ，故选C.
3. (1 )':2n+ ,- 2n= 2n ,
λ 原式= 2 + 22 = 6.
1
1
(2 )原式=一一一一一
2
2 X 3n '
4. 由三个α 可写出的数分别为aaα ，( aa )a ，。阳，旷.
通过举例说明，可得如下结论:
当α=1 时，aaa = 111 最大;
当。=2 或3 时，aaa 最大;
当。二~ 4 时，矿最大.
5. 当年维纳的年龄为18 岁
•
数学符号是数学语言的细胞，每一个数学符号都是数学家们意境深邃而形
象简明的创造力的展现，而"符号常常比发明它们的数学家更难推理"
我们通过做数学试题知道，判定一个自然数是否能被3 整除，只要看这个自
然数的各位数字之和是否能被3 整除现在学了用字母表示数，就可以明白其中
的道理啦!以三位数为例，用。bc 表示个位数字是c ，十位数字是b ，百位数字是
α 的任意三位数，则。bc = 100α + 10b + c =(α + b + c)+ 99a 十9b. 如果。
+ b +c 能被3 整除，设a + b + c = 3n(n 为自然数)，那么。bc = 3(n + 33a
+ 3b ) ，所以abc 能被3 整除.
用字母表示数是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一件大事，是
人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别.
字母表示数使得数学具有更简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，它在列
代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用.
符号比语言和文字更简练、更直观、更具
一般性.通过"数学符号"来思考数学，是一件
格外有趣并令人充满期待的事
85
时@…… (七年级)
数学智慧讲堂
~IJ 1 有这样的两位数，交换该数的数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平
方数. 例如，29 就是这样的两位数，因为29+92= 121 = 11 2 ，请你找出所有这样的
两位数.
( 江苏省竞赛题)
·
分析与解
设原数为础，则新数为切，发现ab + ba 的特点是解本例的关
键-
( 10a + b)+( 10b + α)= 11(α + b) ，因而(α + b)是11 的倍数，
即α + b = 11 . k ，且k 是完全平方数，由于α运9 ，bζ 9 ，得。+b 三三18 ，从而k
=l ，a+b=ll ，推得这样的两位数有8 个:29 ，38 ，47 ，56 ，65 ，74 ，83 ，92 .
例2
如图①，有9 个方格，要求在每个方格里填入不同的数，使得每行、每列、每条
对角线上三个数之和都相等，问: 图中左上角的数是多少?
| ? 1
1
1
|1
1 叫
|
113 1
1
图①
图②
(北京市"迎春杯"竞赛题)
·
分析与解
虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的
数相关，故为了充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数( 如图②) .
由已知条件得:X + X I + X2 二X +X3 十X4 = XI + X3 + 13 = X2 + 19 +泊，
这样前面两个式子之和等于后面两个式子之和，
即2x + XI + X2 + X3 + X4 = 13 + 19 + X I + X2 + X3 十X4 ，
二2x= 13 + 19 ，得X = 16.
用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的
相依关系或相等、不等关系.具有设元意识，会用代数式表示数量关系，是由算术向
代数祺盼辑用，是突破算术方法的关键.
86
第才3 讲
| 以符代数J
。-bb-c
( 1 )若有理数。，b ，c 两两不寺，则τ一一，
- 一-，-一-f中负数的个数是(
。-cc-aa-o
A.3 个
B.2 个
C .
l 个
D.O
( "希望杯"邀请赛试题)
4
、
bx -
5
(2 )己知。
b = 7 ，且即十2 共0 ，右不论x 取何值，代数式
的值都相等，
αx+2
求。，b 的值.
例3
(浙江省湖州市竞赛题)
•
分析与解
对于( 1 ):
。
b_
^ b -
c _ ^ c -
a
解法一:设。> b > c ，则一一一一> 0 ，一一一< 0 ，一一一< 0;
b-c-
~'c-a-~'a-b
a-b
1 b-c
3 c-a
解法二:令α =O ，b=
l
，c=-2 ，则一一一=一一一一一=一一一一←=2
b-c
3'c-a
2'a-b
故选B
对于(2) :
;l'1 b -
5
5
咀一
分别令x = 0, 1 q.导一一一
一一解何2b + 5α= O. 又α - b = 7 ，即α =b+
。十2
2 '
7 ，代入上面方程得2b + 5(b + 7)= 0 ，解得b 二- 5 ，进一步得α=2
赋予相应字母以具体的特殊值，化抽象为具体.
字母表示数是代数的特点，但字母具有抽象性，所以在条件允许的范围
内赋予字母以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为其体，这就是
我们常说的"赋值法" ，但这种方法不能作为规范的解题过程.
在世界著名水都威尼斯有个马尔克广场，广场上有一个雄伟的教堂，教堂的前
面是一片开阔的平地，这里常吸引许多游客来此做一种奇特的游戏:人们把眼睛蒙
上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面!奇怪的是，尽
管这段距离只有175 米，但却没有一位游客能幸运地做到这一点.后来，挪威生理学
家古德贝对这个"闭眼打转"的问题进行了研究.
ñ
i主
、
应
用
之
美
'
l
、
二
三
、
H
也
钳
叩
以符代数，即以字母代数，韦达
在《分析引论:x 1591 年出版)中使用
字母来表示未知数以及已知数，实
现了历史的突破从此，从算术到代
数，代数学告别了旧时代，插上了飞
速发展的翅膀.
87
·教堂
37
出发点
黄东坡@ f叫
1二l，
1896 年，挪威生理学家古德贝通过研究得出结论: 人的两条腿在走路时的步
长存在差异，导致我们在没有参照物修正方向时，人沿直线行走时总是偏右或偏左，
不可能走成直线，最终形成一个圆，试分析说明.
·
分析与解
引入字母，从圆的周长公式寻找圆的半径与步长差的关系.
不妨假定左步比右步长
l 毫米，两腿交
替行走1000 步后，左腿将比右腿多走1000
毫米，即
1 米，这样，人的两条腿就不可能走
出两条平行直线，而只能走出两个同心圆.
假设一个人的步长平均为0 . 7 米，走路
的时候左右两腿的踏脚线间的距离大约是
10 厘米，右腿行走的圆圈半径为R ，左腿比
右腿每步多迈出x 米(如图) ，那么R 是多少
呢?他走完一圈后，他的右腿走的路程是
2πR ，左腿走的路程是2π( R + 0.1 )，所以在
一圈中，左腿比右腿多迈出了[2π( R+O.l )
2πR]米.
2πR
右脚的步数为一一，左脚也一样，又因为左腿比右腿每步多迈出x 米，所以在一
0.7
圈中左腿比右腿多迈出2旦旦x 米.
0.7
2πR
': 2π(R + 0.1)-
2πR=一一:;-X
0.7
R 二0 .07
一
x
可见，这个圆圈半径R 是与左右两腿的步差有关的，假设一个人的左腿比右腿
0.07
每步多迈出
l 毫米，那么他所走形成的圆圈半径是R -
(\V~V;， -
70( 米) .
0.001
88
韦达( 1540-1603 ) ，法国著名数学家，被誉为"西
方代数学之父.，在法固和西班牙的战争中，韦达利用
他精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密码，为
他的祖国赢得了战争的主动权.
如3 讲
| 以符代数J
真理是相对的，对称也只是近似的，数学源于生活，又高于生活，这就是事例给
我们的启示.
在广阔无垠的沙漠上，在无边元际的草原上，如果没有任何指示方向的路标，那
么人们是元法走出的.
清代著名数学家李善兰和伟烈亚力翻译《代数学》所创"代数"一词，正是取"用
字母代替数"之义，而历史上用字母表示数却经历了异常漫长的过程
M. 克莱因亦曾指出"从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡尔之前，没
有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数"
纵观历史，数学的发展创造了数学符号新的数学符号的使用又反过来促进了
数学的发展历史上的数学是这样一步步走过来的，并且需要这样一步步地继续走
下去，而它的每一个进步都必将伴随着新的数学符号的产生.
向数学之美探寻
l.如图是一个3 x 3 的幻方，当空格中填上适当的数后，每行、每列以及对角线
上的数的和都是相等的，求k 的值
|
1 k 1 1
|1 111 1
|1211
1 1
2. 一条公交线路从起点到终点有8 个站，一辆公交车从起点站出发，前6 站上
车100 人，前7 站下车80 人，问从前6 站上车而在终点站下车的乘客有多少人?
( "希望杯"邀请赛试题)
3 老师报出一个5 位数，同学们将它的顺序倒排后得到新的5 位数再减去原数，
学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567 ，34056 ，23456 ，34956 . 老师判定4 个结果中只
有
l 个正确，请问答对的是哪位同学?
}í
U;
，也、
山
川
之
五
89
黄东坡田曾汽男·:i?你农现数字之兵( 七年级)
4. 如果把一个自然数各个数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，
与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为"和
谐数"例如自然数12321 ，从最高位到个位依次排出的一串数字是
1
，2 ，3 ，2 ，1 ，从个
位到最高位依次排出的一串数字仍是
1 ，2 ，3 ，2 ，1 ，因此12321 是一个"和谐数"，再如
22 ，545 ，3883 ，34543 等都是"和谐数"
( 1 )请你直接写出3 个四位"和谐数";猜想任意一个四位"和谐数"能否被11 整
除?并说明理由;
(2) 已知一个能被11 整除的三位"和谐数"，设其个位上的数字为x (1~三x运4 ，x
为自然数) ，十位上的数字为y(O运y~三9 ，y 为自然数) ，求y 与x 的关系式.
(重庆市中考题)
也参警备案
1.231
如图，由。+k+b= α+ c + 121 及c+d+ll=b
+ d + 121 ，得k+b=c+ 121 ,c= 110 十b ，从而k = 110 + 121
1121
= 23 1.
2 . 设前7 站上车的乘客数量依次为矶，仇，仇，仇，仇，仇，a7 人，从第2 站到第8 站
下车的乘客数量依次为b2 ，仇，仇，仇，仇，b7 ，bs 人，则al+α2 十。3 + 仇+a5 + 仇+a7
= b2 + bJ +仇+ b5 + b6 + b7 + 仇，又al +α2 +α3 + 仇+仇+α6 二
100 ，b2 + b3
+ b. 十b5 + b6 + b 7 二80 ，1导100 +α7 = 80+ 仇，即b s -
a7 = 100 -
80 = 20 ，表
明前6 站上车而在终点站下车的乘客共20 人.
3 . 答对的是乙同学.
设原数为m= αbcde ，则edcba -
m = 11 X [ 909 (e -
a) + 90 ( d -
b) ]是
11
的倍数.
4. ( 1 )设四位"和谐数"个位上的数字为。(1 ~三α运9 且α 为自然数) ，十位上的数
字可为b(O运b ~三9 且b 为自然数) ，则四位"和谐数"可表示为1000a + 100b + 10b
+ a.
0: 1000a + 100b + 10b +
α
= 1001a + 110b = 11 X 91a + 11 X 10b =
90
第叫
| 以符代数u
方
i1;
11( 91a + 10b) ,
λ 1000a + 100b + 10b + α 能被11 整除，
即任意一个四位"和谐数"能被
11 整除
( 2 )，:这个三位"和谐数"的个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，
"这个兰位"和谐数"可表示为100x + 10y + x.
': 100x + 10y + x = 99x + 11 y + 2x - y
= 11( 9x + y )+(2x - y) ,
又"这个三位"和谐数"能被11 整除，且x ，y 是自然数，
二2x -
y 能被11 整除.
γ1 :<:三x:<:二4 ，0 ::三y 三三9 ，二2x - y = O.
λy 与x 的关系式为y = 2x.( 1 运x:<:三4 且x 为自然数)
维
、
应
用
之
美
91
) 横看成岭侧脚
•
心!数学文化巡礼
下图是世界上著名的菜布尼茨三角形，你能发现其中规律吗?
1
1
2
2
1
1
1
363
1
1
1
1
4
12
12
4
1
1
1
1
1
5
20
30
20
5
1
1
1
1
1
1
6
30
60
60
30
6
1
1
1
1
1
42
105
140
105
42
-
i
一
月
，
/
1
1
一
寸
，
观察是解决问题的先导，发现往往是从观察开始的.著名生理学家巴甫洛夫
说"观察，观察，再观察"
莱布尼茨( 1 646-1716 ) ，杰出的
数学家、哲学家、法学家、历史学家，被
称为德国百科全书式的天才. 他在数学
上最重要的贡献是创建微积分，预见到
了"组合数学"，对二进制的发展做出了
贡献.
92
第忡
l 横看成岭侧成峰J
观察下面两幅图，你看到了什么?
图①图②
图①是心理学中"鲁宾双关图形"，图②的画名为"我的妻子与我的岳母"
"横看成岭侧成峰"，启示我们调整观察的角度，从点到面，由局部到整体，多
角度的观察和分析，会更加细致全面地认识事物.
数学活动中的观察常从以下两方面进行:
( 1 )数与式的特征观察;
(2) 图形的结构观察
z飞数学智慧讲堂
曾IJ
11
已知一数列的前3 项依次为2 ，4 ，16 ，根据你的观察，请写出该数列的第4 项，
并写出你的判断理由
·
分析与解
从指数的变化规律、前后相邻两项的联系观察切入.
( 1 ) 128 ; 规律为:2 ，22 ，24 ，2 7 = 128 ，其2 的幕的指数依次多
1 ，多2 ，多3 等等;
(2)256 ; 规律为
: 2, 22, 2\ 28 = 256 ，其2 的罪的指数依次翻倍，依次为
1 ，2 ，4 ，8
等等;
(3 )96; 规律为
: 后项依次为前项乘2 ，4 ，6 ，8 等等，其各项依次为2 ，2 X 2 = 4,4
X 4 = 16, 16 X 6 = 96 ,96 X 8 = 768 等等;
( 4 )36 ; 规律为:2 =
1 +
I X
l ，4 =
1 十
1 X 3, 16 = 1 + 3 X 5, 36 =
1 十5
X7 等等;
( 5 ) 106; 规律为
: 2 = 1 + 1 X 1, 4 = 1 + 1 X 3, 16 = 1 + 1 X 3 X 5, 106 =
)î
1 +
I X3X5X7 等等
rL
111
.c山
向
川
之
先
93
时@…数以(七年级)
数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要
求我们进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题.
开放题的条件常常是不完备的，答案是不确定的且具
有层次性，解决策略则具有非常规性、发散性和创新性
例2
如图是用棋子摆成的图案，摆第
l 个图案需要7 枚棋子，摆第2 个图案需要19
枚棋子，摆第3 个图案需要37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6 个图案需
要
枚棋子，摆第n 个图案需要
枚棋子
••
•••
••
•••
••••
•••••
••••
•••
••••
•••••
••••••
•••••••
••••••
•••••
••••
(青岛市中考题)
·
分析与解
列表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想
图形序号
棋子总数
α1 = 7 = 1 + 6 = 1 + 1 X 6;
。2 = 19 = 1 + 6 十12= 1 + ( 1 +2 )X 6;
a3 = 37 二
1 + 6 + 12 + 18 = 1 +( 1 + 2 + 3) X 6;
猜想、仇=1+ (1 +2+3+4+ … +n )X 6=3旷十3n +
1 ，再将n=6 代
入该代数式得127
问题中"按照这样的方式摆下去"，但以何种方式
并没有明确的界定，我们可以有不同的理解，如从平行
四边形角度看，把图形分成三个平行四边形.
94
如图，图形的序列号
: 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，…;
对应的棋子数目
: 7 ，19 ，37 ，61
，91 ，…;
α 1 = 7 二
1 +( 1 X 2 )X 3;
α2 =19=1+(2 X 3)X3;
第14 讲
| 横看成岭侧成峰J
Q 3 = 37 = 1 + ( 3 X 4) X 3;
仇=61=1+ ( 4 X
5 )X 匀
。5 = 91 = 1 + ( 5 X 6 ) X 3;
猜想Qn 二
1 + [n( n + 1)] X 3 = 3矿+ 3n + 1.
例2 表明: 从一个简单的基本图形开始，按照一定的规律，经过相同的程序逐
渐演变成复杂而有趣的图形，不但从形象上来看，其线条自然流畅，形式新颖优美，
而且其周长、面积、个数等都呈现出一定的规律性.
对于例2 ，如图，变换视角，将原图分割为三角形、六边形、菱形、梯形等，会导出
怎样的结论?
-F
·
·
、
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4
·
·
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·
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4
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M
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，
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,-
20
2 5 一-
24 一-23 一- 22 一- 21
( 1 )求第10 行第13 列的数;
( 2 )数127 应在第几行、第几列?
将自然数接下表的规律排列:
19IJ 3
)j
U;
，也、
维
山
川
之
先
( 北京市"迎春杯" 竞赛题)
分析与解
经观察可得这个自然数表的排列特点:
①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n
行的第
l 个数为n2 ;
②第一行第n 个数是( n 一
1 Y 十
1 ;
95
时@ 带你发现数以(七年级)
③第n 行中从第一个数至第n 个数依次递减
1 j
④第n 列中从第一个数至第n 个数依次递增
l.
这样可求
: ( 1 ) 第
10 行第
13 列的数应是第
13 列的第
10 个数，即[ (1 3 -
1 )2 +
1J+ 9 = 154.
(2 ) 数127 满足关系式127 = 112 + 6 = [ ( 12 一
1 )2 +1 J +5 ，即
127 在第
12
列
，第6 行的位置
爱因斯坦曾说"你能观察到眼前的什么现象，不仅取决于你的肉眼，还取决于
你运用什么样的思维，思维决定了你能观察到什么"
观察思维，即观察选取的角度和方式.
莱布尼茨的著作
: ~中国近事一一为了照亮我们这个时代的历史》
莱布尼茨有着深深的" 中国情结"，他孜孜不倦地研究中国，阅读了几乎
当时在欧洲出版的所有关于中国的书籍.
1 799 年莱布尼茨出版了《中国近事
一一为了照亮我们这个时代的历史》一书，在前论中他写道"全人类最伟大
的文化和最发达的文明汇集在大陆的两端，即欧洲和地球的东方一一中国"
《易经》是中国文化的源头和核心，被称为"经典中的经典、学问中的学问、
哲学中的哲学"，莱布尼茨研究《易经》并产生了突破性的惊奇发现，人们普遍
认为二进制的思考和发表过程与此发现有关.
向l龄二5美探寻」
96
l.观察下列关于自然数的等式:
32 -4 X 12 =5
( ,
52 -
4 X 2 2 二9
②，
72 -
4 X 32 = 13 (,
第14 讲
| 横看成岭侧成峰心
根据上述规律解决下列问题:
( 1 )完成第四个等式: 92 -
4 X (
)2 = (
) ;
(2 )写出你猜想的第n 个等式
:
.(用含n 的式子表示)
2 . 小明在做数学题时，发现下面有趣的结果:
3 -
2 二
l
8 + 7 -
6 -
5 = 4;
15 + 14 + 13 -
12 -
11 一
10 = 9;
24 + 23 + 22 + 21 -
20 一
19 一
18 一
17 = 16;
根据以上规律可知第100 行的第一个数是
( 西宁市中考题)
3 . 女1] 图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5 个图形中所有正气角
形的个数有
个.
I1 AA
(深圳市中考题)
4. 观察下列一组图形中点的个数，其中第
l 个图中共有4 个点，第2 个图中共
有
10 个点，第3 个图中共有
19 个点，
γ
图①图②
按此规律第5 个图中共有点的个数是(
图③
A.31 个
B.46 个
D.66 个
(武汉市中考题)
C.51 个
97
一J
沾
、
也
纷
L
M
山
之
夹
黄东坡
带你发现数学之美(七年级)
5. 如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:第
l 个图案需7
根火柴，第2 个图案需13 根火柴……依此规律，第11 个图案需火柴(
)
门
亡口| I I I
第
1 个
第2 个
第3 个
第4 个
A. 156 根
B. 157 根
C . 158 根
D. 159 根
( 呼和浩特市中考题)
6. 把数字按如图所示排列起来，从上往下依次为第一行、第二行、第三行... ...中
间用虚线围成一列，从上到下依次为
1
，5 ，1 3 ，25 ，…，则在中间这列数中，第几行的数
是761 ? 写出推算过程.
rl
21 G
7
6 15 1 4
8: : 9
10
15
14
1131
12
11
16
17
18 1 1 19
20
21
28
27
26
出
24
23
22
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
7 . 观察按下列规则排成的一列数:
1
1 2
1 23 123 4
1 2
3 451
一一一一-
一一一一一一一，… ( ※)
1 '2' 1 '3'2' 1 '4'3'2' 1 '5'4'3'2' 1 '6
( 1 )在(※)中，从左起第m 个数记为F( 时，当贝m )=-L时，求m 的值和这m
2001
个数的积.
(2)在(※)中，未经约分且分母为2 的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存
在这样的两个数c 和d ，使cd = 2001000 ? 如果存在，求出c 和d; 如果不存在，请说
明理由.
(湖北省竞赛题)
98
第14 讲
1 横看成刷刷u
参警备案
C
l. (1)4 , 17.
( 2 )( 2n + 1? -
4n2 = 4n + l.
2. 10200
第n 个等式等号右边的数为n2 •
3. 485.
4. B
第n 个图有1+1X3+2X3+3X3+ … + 3n 个点.
5. B.
6 . 设αl 二
1 ,a2 = 5, a, = 13 , a4 = 25 ，…，我们发现:
α，- a, = 1 X 4 ,
a, - a, = 8 = 2 X 4 ,
α4
仇= 12 = 3 X 4 ,
方
法
、
应
用
之
美
~I!.\
维
猜想。n -
an - , = 4( n -
1)( n 为正整数) ,
将以上各等式两边相加得:
a2 -
a, + a, - a, + 仇-a，+ … + an -
an -
，二4( 1 + 2 + 3 +… +n 一
1 )二
2n(n 一
1 ),
得an = a, + 2n(n 一1)= 1 + 2n ( n 一
1 )= 761 ,
即n(n 一1)= 380 ，解得n = 20.
故在中间这列数中，第20 行的数是76 l.
11\/12\/123\/1234\
7. (1) (※)可以分组为1 +- 1. 1 一+)，1 一一一
)，1 一一-
l
'飞
1
/'飞
2 ' 1 /'飞
3 ' 2 ' 1 /'飞4'3'2'1/
), ... ，可知各组数的个数依次为
1 ，2 ，3 ，"'，按其规律土应在第
(+, ~ , ~ , i '-t
5' 4' 3' 2' 1)'
，
"'
/'H~-....u...)\A. H -.J' /\.^ly....V"- /
..J ....,.....,_.,
'J_;，;o..~//\.J'-r 2001
f 1
2
3
2002 \
2002 组l
…
|中，该组前面共有1+2+3+4+ …+ 2001
\ 2002 ' 2001 '2000'
, 1
J I , ',^-
2
= 2003001 个数，故当贝m) 二
时，m = 2003001 + 2 = 2003003 ，又因为各组数
2001
1 . . 2
1
的积为
1 ，故这2003003 个数的积为一一×一一=一一一一
2002" 2001
200300 1"
2000
,
2001
(2 )存在满足条件的c 和d ，c=-z一，d=一厂
依题意，c 为每组倒数第2 个数，d 为每组最后一个数，设它们在第n 组，则c=
n -
1
,
n
2
，~
l'
M 一1)
. . 一
2 一一= 2001000 ，即以n -
1)= 4002000 = 2001 X 2000 ,
2001 一
1
2000
. ~~~
,
2001
'. n = 2001 ，得c=一一一一一=一一一= 1000 ,d =~V/. = 200l.
2
2
99
、电__-、，
、
，
心数学文化巡礼
小学算术与中学代数的区别是什么?
算术是指有关数的概念的运算方法和计算技巧.
而代数简单地说即以符代数，通过引进未知数，并对未知数加以运算.
从算术头脑到代数智慧，突出地表现为:从列算式解应用题转变为列方程解
应用题的思维升级;从综合性的算术思维到分析性的代数思维的心理转换;从生
活语言到形式化、符号化语言的信息转译.
含有未知数的等式叫方程.
设未知数，就赋予了未知数与己知数相同的权利，消融了已知数与未知数的
矛盾，使捉摸不定的未知数有一个确定的、看得见的形式
等号表示相等及其派生的一系列的性质与操作功能.
方程是刻画观察问题的有效模型之一.一部代数史，从一个角度看就是研究
方程、探讨方程解的历史.
与代数打交道一定会遇到x 这个未知量，它是第一
个闯入人类思维的符号，一旦建立起这样的符号饨系
，代
数的研究就进入到更禹的抽象层次.
100
』ι-
1 飞和占~1'
.一
华川t
J特司
呐:'iJJ守主与P 苦
、
「
第1 5 讲
l 算术头脑与代数智慧J
理J
从卫生纸的外包装上可以得到以下信息: 两层300 格，每格
11.4cm X llcm . 怎样计算出卫生纸的厚度?
分析与解
失意的人常叹息"人情比纸薄"，
但人情虽难度，薄纸却可测设x 为每两层卫生纸的
厚度，如何去列方程?试从不同角度计算卫生纸的体
积
如图①，
体积=拉出来的卫生纸总面积×厚度= 11.4 X
11 X 300 X x.
如图②，
体积=整卷卫生纸体积一纸筒及内部的体积
= π( R2
乒) X 11.
经测量知R 二5.8cm ，r = 2.3cm.
二11 .4 X 11 X 300 X x = π(5 . 82 -
2.32 ) X 11 ,
解得x句0.026cm.
申
'
4
x
图①
图②
不同品牌的卫生纸厚度相差多少?冰箱用的保鲜纸是否比卫生纸更薄?
家居用品中还有哪些的厚度可用这种方法计算出来?
许多人误以为学习数学等同于了解定理与其证明、背
诵与套用公式、熟读例题与做练习题其实，数学既是一门
抽象的学科，亦与生活息息相关;它既是理性的追求，又是
充满惑性之美的.
101
行
叶
上
阳
、
H
h
M仕
仕
fy
tdt'
内
用
之
美
黄东坡@…… (七年级)
理!_2)
中国现行的个人所得税法自2011 年9 月
l 日起施行，其中规定个人所得税纳
税办法大意如下:
一、以个人每月工资收入额减去3500 元后的余额作为其每月应纳税所得额;
二、个人所得税纳税税率如下表:
纳税级数
个人每月应纳税所得额
纳税税率
不超过1500 元的部分
3%
2
超过1500 元至4500 元的部分
10%
3
超过4500 元至9000 元的部分
20%
4
超过9000 元至35000 元的部分
25%
5
超过35000 元至55000 元的部分
30%
6
超过55000 元至80000 元的部分
35%
7
超过80000 元的部分
45%
( 1 )若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000 元和6000 元，i青分别求出甲、
乙两人每月应缴纳的个人所得税;
(2 )若丙每月缴纳的个人所得税为95 元，则丙每月工资收入额应为多少?
(永州市中考题)
·
分析与解
读懂材料，所得税纳税是累进计算的，对于(2) ，应先估算丙的
纳税级数.
1 102
( 1 )甲每月应纳税所得额:4000 -
3500 二500( 元) ,
甲每月应缴纳的个人所得税为:500 X 3%= 15 ( 元) ;
乙每月应纳税所得额为:6000 -
3500 = 2500( 元)，
乙每月应缴纳的个人所得税为
1500 X 3% 十(2500 -
1500) X 10%= 145 ( 元) ;
( 2)(5000 -
3500 )X 3% 二45 ( 元)< 95 元，
3000 X 10%+ 1500 X 3%= 345( 元) ,
45 元< 95 元< 345 元，所以丙的纳税级数为
2.
设丙每月工资收入额应为x 元，
则
1500 X 3%+(x -
3500 一
1500 )X 10%= 95 ,
解得x = 5500.
第15 讲
| 算术头脑与代数智慧u'·
花才立子米(约78 0一约85 0 )是乌兹别克最著名的数学家，
《印度计算法H 对消与还原》是他的两本专著. 其中，"还原"
是指使方程平衡而进行的移项，在拉丁文中被译成"代数
例3
为充分利用雨水资源，幸福村的小明和相邻爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收
集雨水的做法.已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水面积、蓄水池的容积和蓄水池已
有水的容量如下表:
小明家
爷爷家
屋顶收集雨水面积( m2 )
160
120
蓄水池的容积( ml )
50
13
蓄水池已有水量( m l )
34
11.5
气象预报显示即将会下雨.为了尽可能多地收集雨水，下雨前需从爷爷家的蓄
水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池?
方
法
、
应
用
之
美
、
思
维
·
分析与解
仔细阅读，深入理解题意，充分运用收集雨水面积的量，构建不
同的数学模型解决问题
解法一
建立数式模型
小明家蓄水池剩余容积: 50 -
34 = 16( m汀，爷爷家蓄水池剩余容积
: 13 一
1 1. 5
=
1.5 (ml ) ，小明家和爷爷家总共最多可收集雨水:
16 + 1.5 -
17.5 ( m3 ) .
小明家可收集雨水
-一，小明家可收集雨水:一X 17.5 = 10 ( m汀，爷爷家可收
'"
l.......一收集雨水
集雨水:丰X 17.5=7 州)下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取: 16 一10 二制) ,
或7.5 -
1.5 = 6(m3 ).
解法二
建立方程模型
设下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x 立方米的水注入小明家的蓄水池，根据
160
50 - (34 + x)
题意得·一一=
解得x = 6 ，经检验，x = 6 是原方程的根
. 120
13 一(11. 5 - x)'
解法三
建立方程组模型
设屋顶每平方米收集雨水GII13 ，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x 立方米的
水注入小明家的蓄水池，根据题意得:
|即川+ 16…
0,
,_._ la =土
解得r - 16'
(11. 5 -x) 十
120a = 13 ,
- Ix = 6
(淄博市中考题)
103
黄东坡@ :叫… (七年级)
数学是关于模式的学科. 数学模型是数学描述世界、沟通世界的桥梁，是
解决实际问题的关键.
例3 中构建模型的不同方法，展现了算术思维与代数智慧的不同特点.
代数智慧的关键是: 信息转换，分析数据; 恰当设元，布列方程.
3∞多年前法国著名哲学家、数学家笛卡尔曾在《指导思维的法则》一书
中提出过一个设想: 把所有的数学问题转化为代数问题，再把所有代数问题
转化为方程问题. 虽然笛卡尔的设想未能实现，但也充分说明了方程的重要
性
向阳乏郑事
l 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫
塔装灯"，内容为"远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增;共灯三百八十一，请问顶层几
盏灯? "( "，倍加增"指从塔的顶层到底层) ，请你算出塔的顶层有
盏灯.
2. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入
水后，一根露出水面的长度是它的土，另一根露出水面的长度
3
是它的÷两根铁棒长度之和为220cm ，此时木桶中水的深度
是
cm.
(鞍山市中考题)
3. 为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制，具体执
行方案如下:
档次
每户每月用电数(度)
执行电价(元/度)
第一档
小于等于200
0.55
第二档
大于200 小于400
0.6
第三档
大于等于400
0.85
( 济宁市中考题)
( 第2 题)
例如: 一户居民七月份用电420 度，则需缴电费420 x 0.85 = 357( 元) .
某户居民五、六月份共用电500 度，缴电费290 . 5 元.已知该用户六月份用电量
大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400 度.问该户居民五、六月份各用电多少
度?
(淄博市中考题)
104
如5 讲
| 算术头脑与代数智慧d
4. 根据图中给出的信息，解答下面的问题:
(1)放人一个小球水面升高
cm ，放人一个大球水面升高
cm:
(2)如果放人10 个球并使水面上升到50cm ，应放入大球、小球各多少个?
5 密码的使用在现代社会是极其重要的.现有一种密码的明文( 真实文) ，其中
的字母是按计算机键盘顺序分别与26 个自然数
1
，2 ，3 ，…，25 ，26 对应(见下表) ，设
明文的任一字母所对应的自然数为x ，且通过某种规定的对应运算把x 转化成对应
的自然数x' ，x咐应的字母为密文.
D
13
M
Q
F
方
法
26
例如，有一种译码方法按照以下变换实现:
x→x'，其中x'是(3x 十2)被26 除所得的余数与
l 之和(
1 :::三x:::三26 ) . 贝IJX = 1 时，
x'= 6 ，即明文Q 译为密文Y;x = 10 时，x'二7 ，即明文P 译为密文u.
现有某种变换，将明文字母对应的自然数x 变换为密文字母对应的自然数x'.
x→x' ，X'为(3x + m)被26 除所得余数与
l 之和( 1 运x :::三26 ，1 :::三m:::三26 ).
已知运用此变换，明文H 译为密文T ，求密文QI( "启"的汉语拼音)的明文.
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
14
!丛
封Ij
、
内
用
之
芙
105
黄东坡@ :叫… (七年级)
1. 3
设顶层有x 盏灯，则x + 2x 十4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381 ，解得
x = 3.
3
, 5
2. 80
设水深为xcm ，则~x + +x = 220 ，解得x = 80
2 ~ , 4
3. 经分析知五月份用电量在第一档，六月份用电量在第二档，设五月份用电x
度，则0.55x + 0.6( 500 - x)= 290.瓦解得x = 190,500 -
190 = 310.
4. ( 1)2 3
(2)应放入4 个大球，6 个小球.
5. 由于H 和T 对应的数字分别为16 和5 ，按照明密文变换的规则可知: (3 X
16 + m)被26 除所得余数与
l 之和为5 ，所以3 X 16 + m = 52 + 4 , m 二52 + 4
-
48 二
8. 因此该变换将明文字母对应的自然数x 变换为密文字母对应的自然数x'
的规则是:x'为(3x + 8)被26 除所得余数与
l 之和.
因为密文Q 对应于x'=
1 ，设其明文对应的数字为x ，91U x 满足(3x + 8)被26 除
所得余数为O ，x = 6 ，对应的字母为Y.
因为密文I 对应于x '= 8 ，设其明文对应的数字为x ，91U x 满足(3x + 8)被26 除
所得余数为7 ，即(3x + 1)被26 整除，得x = 17 ，对应的字母为1
因此，密文QI 对应的明文是YJ.
106
___-、，
笔》数学文化巡礼
=…·
tlìe6relltEquù1ω阳
历史I最伟大的
'"町.，<>- •
‘.. •
~号.
20 世纪美国著名哲学家卡尔纳曾说"自然可以
用相对低次的数学方程解释，这真是件惊奇和幸运的
事"
人类在认识世界的过程中，学会用抽象、简洁的
方程式来高度归纳科学规律，从亚里士多德、牛顿、爱
因斯坦的时代直到今天，无数的方程展现了人们破解
物质运动、光电问耀、时空变幻等自然现象的曲折经
历，彰显了人类百折不挠的探索精神.
方程是刻画现实世界的一个重要模型. 在运用方
程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节在设未知数时需有所选择，不
同的设元方法列出的方程有的简单、有的复杂.
直接设元、间接设元、辅助琉元、整体设元是设元技巧的常见表现形式.
数学智慧讲堂
例
1
10 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是:每个人心里都想好
10 1 2
一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人
9
3
将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.
若报出来的数如图
8
4
所示，则报"3" 的人心里想的数是
76
5
( 呼和浩特市中考题)
107
黄东坡@叫附之夫(七年级)
·
分析与解
直接设元，把其他的人心里想的数用设元表示.
设报"3" 的人心里想的数是x ，报"5" 的人心里想的数应是8 -
x ，于是，报"7" 的
人心里想的数是12 一(8 -x )= 4+x 报"9" 的人心里想的数是16 -(4 十x ) = 12
-x ，报" 1" 的人心里想的数是20 一( 12 -x) 二8 + x ，报"3" 的人心里想的数是4 一
(8 十x) =-4-x ，由x=- 4- x ，得x 二- 2.
:19tJ i) 小光家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的一组
自然数，电话号码的8 个数字之和等于它的最后两位数.那么，这个电话号码是
( "希望杯"邀请赛试题)
·
分析与解
求此电话号码需知八位数的每位数字，第四位数字与第五位数
字大小关系不确定，故解题关键是分类讨论.
依题意，设第一位数字为。，则此电话号码应有两种情况(如下表) :
在情况(l ) ，得到加+ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 X (a + 3 ) + ( α+ 4 ) ，解得α =
-
8( 舍去)
在情况( 2 ) ，得到8a -
1 -
2 -
3 -
4 二
10 X(α -3 ) + (a- 4 ) ，解得。=8
从而知这个电话号码是88887654
间接设元，即所设的不是所求的量，需要将所求的量以外的其他量设为未
知数，便于得出符合题意的等量关系.
例3
有一片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等) ，如果放牧24
头牛，则6 天吃完牧草; 如果放牧2 1 头牛，则8 天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量
是相同的，问:
( 1 )如果放牧16 头牛，几天后将会元牧草?
(2)要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛?
(全国通讯赛试题)
·
分析
需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量
之间的关系，故需增设一些辅助未知数，便于把这些关系表示出来.
解
( 1 )设牧场原有草量为。，每天生长出的草量为b ，每头牛每天吃草量为C ，
108
第16 讲
| 设元的技巧令
16 头牛x 天吃完草，由题意得:
|α + … 6c
①
α + 8b 二21 X 8c
(
,
α + bx = 16cx
(
,
由②①得b = 12c
(
,
由③一②得(x -
8)b = ( 16x 一
168 )c
( .
将④代入⑤，得(x - 8 )'
12c=( 16x - 168 元，解得x = 18
( 2 )设至多可以放牧y 头牛，牧草才永远吃不完，则有cy"二b ，即每天吃的草不能
多于生长出的草乒:=l2
本例涉及的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些未知数辅
助建立方程t '辅助未知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座"桥
梁".对于这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消戎相约，这就
是我们常说的"设而不求"
例4
实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高) ，底面半径之
比为
1 : 2 : 1 ，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通( 即管子底端离容器底
5cm ) ，现三个容器中，只有甲中有水，水位高lcm ，如图所示.若每分钟同时向乙和丙
注人相同量的水，开始注水l 分钟，乙的水位上升主cm ，则开始注水
分钟后，
6
一一一一
甲与乙的水位高度之差是0 元m.
( 绍兴市中考题)
·
分析与解
本例涉及底面积、注水速度、注水时间，而解题的关键是在理解
题意的基础上分类讨论.
可设甲、乙、丙的底面积分别为S ，4S ，S ，向乙、丙注水的时间为
t 分钟. 因为每分
钟同时向乙和丙注入相同量的水，所以当注水
l 分钟时可求出丙的水位上升高度:
一
10
~....
.\ I
_..,!...
t.
1
I\
.L.L
-r":" l..L
1 . J..!-
I
..<1 10
4S xτ= S X h flj ，解得h 丙一丁一，所以汪水1 分钟，丙的水位上升丁-cm
设开始注水f 分钟后，甲与乙的水位高度之差是O .5cm ，而甲与乙的水位高度之
}í
ìt
111
，也、
维
内
闲
之
芙
109
时建言…数以(七年级)
差是0 . 5cm 时有三种情形:
( 1 )如图①，当乙的水位低于甲的水位，且乙、丙中的水均未至连通处时，此时
tt=05 ，解得t=?;
( 2 )女口图②，当甲的水位低于乙的水位，而丙中水至连通处，水溢出到乙中，且甲
5
，
~" 10 . h.>1 /.'"
33
的水位不变时，此时4S X 1.5 + S X 5 = 4S X ~ t + S x 一-t ，解得t=一一
20 '
甲乙
/
丙/
甲乙/丙/
甲
乙
/丙
图①图②图③
( 3 )如图③，当甲的水位低于乙的水位，而乙、丙中水至连通处，并溢出至甲中，此
10
时甲的水位高为4 .5cm ，即S X 3.5 + 4S X 5 + S X 5 = 4S X τt+ S X 丁=-t ，解得
t 一171
40 '
3 _". 33 _". 171
综上所述，开始注水戎
戎
分钟后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm
5 /Ao 20 /Ao 40 / .J >, 1'-' , , -
右因是2005 年国际物理年一个纪念会会场的
入口标志，该设计的灵感源于爱因斯坦的质能方程.
1905 年，当时在城士专利局担任普通职员的一
位26 岁的青年得到了一个关系式，那就是世界上最
有名的方程:E = mc2•
该方程以简洁的语言揭示了一个令人难以直信
的事实"一块普通石头，其中竟然蕴藏着足以毁灭
一座城市的巨大能量"
英国著名物理学家麦克斯韦用方程组统一了电、磁和光学，构建了统一的经典
电动力学，这是一个宏伟的数学表达，其深奥、美妙、简洁，正如诗人所赞美的:
110
是哪位神明写出了这些符号?
灵魂的渴望平静下来.
让大自然的秘密向我敞开.
我们欣赏方程.
欣赏方程中的数学本质一一方程是基于"式"的运算;
第16 讲
l 设元的技巧d
欣赏方程中的理性精神→一方程是探寻"未知"的绝佳思维模式;
欣赏方程中深刻的数学模型一一方程是‘好数学"的典范;
欣赏方程中思维内在的和谐一一方程是还原与对消中寻找不变量.
向f重学乏美露寻
1.古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个
问题:有4 个数，把其中任意3 个相加，和分别为22 ，24 ，27 ，20 ，则这四个数分别是
2. 右边算式中，每个汉字代表1 个数字，不同的汉字代表
不同的数字，已知"神"== 3 ，那么被乘数是
( "五羊杯"竞赛题)
×
神舟五号飞天
神
飞天神舟五号
3. 瑞士数学家欧拉( L.Euler , 1707一1783 )是历史上最多产
的数学家，据统计他一共写了886 本(篇)书籍和论文.著名数学家拉普拉斯说过"读
读欧拉，他是我们所有人的导师"是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初
等数学中也到处可见他的身影.下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问
题
有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产:第一个儿子分得100 克朗
和剩下财产的十分之一;第二个儿子分得200 克朗和剩下财产的十分之一; 第三个
儿子分得300 克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个
儿子所得财产一样多问这位父亲共有几个儿子?每个儿子分得多少财产?这位父
亲共留下多少财产?
({ 时代学习报》数学文化节试题)
4. 在车站开始检票时，有α(α > 0 )名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开
始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票
的速度也是固定的.若开放一个检票口，则需要30 分钟才可将排队等候检票的旅客
全部检票完毕;若开放两个检票口，则需要10 分钟才能将排队等候的旅客全部检票
完毕;现在要求在6 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的
)j
1t
(广州市中考题)
111
.c凶
封t
旅客能随到随检，问需要同时开放几个检票口?
-
M
川
之
肌
U
U
K
l
l
l
黄东坡@…… (七年级)
C 参警备案
1. 9 ,7 ,4 , 11
2.307692
设"神舟五号"==A ，"飞天"=B ，则3 X (1 00A + B ) = 10000B + A ,
23A 二769B ，(23 ，769)=
1
，故B = 23n ,A = 769n ，n 为自然数，2运n"'-三4 ，得n = 4 ,
从而A = 3076 ,B = 92.
3. 根据设未知数和思路的不同，可得多种解法，下面解法供参考
设有x 个儿子，则最后一个儿子分得100x 克朗，倒数第二个儿子先得到100(x
1 )克朗，又得到"余下的击"，即留给最后一个儿子的是余下的击，故这个"余下
的土"也是最后一个儿子钱数的土由最后两个儿子分得钱数相等，得方程
10
\.!..:.I.AJ-.l-tA. / I- 1
I
/
U
.J
1o'/\j_)'I,.A H .J 9 .
100x
lOO(x -
1)+ "9v一= lOOx ,
解得x = 9.
所以这位父亲共有9 个儿子，每人分得财产100x = 900 ( 克朗) ，父亲共留下900
X 9 = 8100( 克朗)财产.
4. 设需要开放x 个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是C ，每分钟来排队的人数
是b ，则
112
lG+Mb 二30c
①
α + 10b = 2 X 10c
(
,
。+ 6b = 6cx
(
,
由①，②得α = 30b ,c = 2b.
将α = 30b ,c = 2b 代入③，得x = 3.
心数学文化巡礼
随着市场经济的蓬勃发展，储蓄利息、商品利润、
股票交易、个人理财、住房按才岛、投资决策、风险坪估等
经济活动与我们的生活愈发地息息相关.
随着时代的变迁，人们的理财观念被深深打上了
时代的烙印.
20 世纪50 年代:节约光荣，消费可耻;
60 年代: 商品短缺，凭票购买;
7 0 年代: 填饱肚子，钱存银行;
80 年代: 能挣会花，告别贫困;
90 年代: 花明天的钱办今天的事;
21 世纪: 你不理财，财不理你.
中年时期的伊藤清
2007 ~ 2008 年发生的全球金融危机使得投资组合、金融衍生品、次生贷款
等专业词汇一时间成为流行语，而作为推动这一系列金融投资行为的理论基础
之一的金融数学，也吸引了人们更多的关注.
所谓"金融"
，即"资金融通"，通俗而言，即"钱的流通"
日本著名数学家伊藤清并不是任何意义上的商人，而是一位地地道道的一
流数学家，他的名字出现在商业版的原因是他的工作极大地影响了人们对一切
随机现象的理解，这其中当然也包括了金融现象. 199 7 年，伊藤清获得诺贝尔经
济学奖，被称为"华尔街最有名的数学家"
进价、售价、利润、利润率、打折销售等概念及它们之间的关系是解商品
利润问题的基础
11 3
黄东坡@ …
数学智慧讲堂
例l
长沙红星大市场销售某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售，则每件
可获纯利润500 元，其利润率为20%. 现如果按同一标价打九折销售，那么每件获得
的纯利润为
·
分析与解
分步计算，先求出标价
设该高端品牌家用电器的标价为x 元，
则主x 二( 1 + 20%)主x -
500) ,
10
飞
10~
~VV J
8
解得x = 3750 ，进价为
x -
500 二2500( 元) .
10
(长沙市中考题)
9
故按标价打九折销售，每件电器获得的利润为
X 3750 -
2500 二875( 元).
10
例2
某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10% 假设不计超
市其他费用，如果超市想要获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至
少提高(
)
114
A. 40%
B.33.4%
C.33.3%
D.30%
(恩施自治州中考题)
·
分析与解
因为利润率二嚣，为建立方程需增设辅助未知数
设水果质量为m ，进价为。，售价在进价的基础上至少提高x ，
1,
10 \
! 1 一一:，，_VA )0 + x)a -
ma
20
"'\
100 J
则而百二
、
,
解得x=3 3 .4% .
故选B.
2006 年9 月，国际数学联盟主席鲍尔
爵士前往日本将首届高斯奖颁给伊藤清.
第17 讲
[ 金融与数学U
例3
某超市对顾客实行优惠购物，规定如下:
( 1 )若一次购物少于200 元，则不予优惠;
(2 )若一次购物满200 元，但不超过500 元，按标价给予九折优惠;
(3 )若一次购物超过500 元，其中500 元给予九折优惠，超过500 元的部分给予
八折优惠.
小明两次去该超市购物，分别付款198 元和554 元，现在小亮决定一次去购买
小明分两次购买的同样多的东西，他需付款多少元?
(江苏省竞赛题)
分析与解
第一次付款198 元，可能是所购物品的实价，未享受优惠; 也可
能是按九折优惠后所付的钱，故应分两种情况加以讨论.
情形
l
当
198 元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为
198 元，又554 =
450 + 104 ，其中450 元为购物500 元打九折付的钱，
104 元为购物打八折付的钱，
104 -;- 0.8 二
130( 元).
因此，554 元所购物品的原价为
130 + 500 = 630( 元) ，于是购买小明花
198 +
630 = 828( 元)所购的全部物品，小亮一次性购买应付500 X 0.9 +(828 -
500)X
0.8 = 712 .4( 元) .
情形2
当
198 元为购物打九折付的钱时所购物品的原价为
198 -;- 0.9 = 220
(元)
仿情形
l 的讨论，购220 + 630 = 850 (元)物品一次性付款应为500 X 0.9 十
(850 -
500) X 0.8 = 730( 元).
•
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
115
在金融生活中，数学扮演着重要角色，而现
代金融学的发展也与数学大师如爱因斯坦、庞力口
菜、希尔伯特、冯
· 诺伊曼等紧密地联系在一起.
时@ 川.E!AH&'y. ~ ß (七年级
例4
商品购买的策略
国庆期间，天虹商场采取"买满200 送100 连环送"的酬宾活动，规则如下:
(一)顾客在商场内消费每满200 元就送100 元购物券，多买多送(满400 送200 ，
依次类推) ，消费不足200 元的部分不赠送.
(二)购物券不能兑换现金，但可以与现金同等使用，用购物券购物同样享受满
200 送100.
问题:
(1)如果你有1000 元，最多能购买价值多少钱的商品?说明你的购买策略
(2)如果某顾客计划在该店购买的商品及价格如下表所示:
商品名
旅游鞋
羊毛衫
T 恤
浴巾
拉杆箱
皮带
红酒
食用油
合计
价格(元)
338
798
458
148
205
256
200
70
2473
该顾客至少需要支付多少现金?说明你的购买策略
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
·
分析与解
对于( 1 ) ，每次尽量购买200 的倍数的物品以获取最大赠送量;
最后剩余100 而得不到赠送时可以采取借用后再还的方式
( 1 )参考方案: 最多能购买2000 元钱的货物.
第一步: 先买1000 元物品，获得500 元购物券;
第二步: 再买400 元物品，获得200 元购物券;
第三步: 再买200 元物品，获得100 元购物券，加上第一次剩下的100 元;
第四步: 再买200 元物品，获得100 元购物券，向别人暂借100 元购物券;
第五步: 再买200 元物品，获得100 元购物券归还别人
故最多可购买2000 元的货物.
对于( 2) ,
①尽量一次性地超出200 的倍数，并使超出的数尽可能地小，以便获得较多的购
物券;
116
②后面购买商品尽可能使用购物券，以便尽量节省现金;
③将商品分组，每一组以倍数缩减.
因此，大数额的先购买，以便取得购物券购买较小数额的产品.
购买策略:
第17 讲
l 金融与数学ι·
第一步:先购买羊毛衫和拉杆箱，合计付人民币
1003 元，获得购物券500 元;
第二步:再购买T 恤与浴市，合计606 元，用人民币
106 元及购物券500 元，获
得购物券300 元;
第三步:再购买旅游鞋与食用油，合计408 元，用人民币
108 元及购物券300 元，
获得购物券200 元;
第四步:再购买皮带256 元，用人民币56 元及购物券200 元，获得购物券100 元;
第五步: 用购物券100 元，再向别人暂借100 元购物券购买红酒，获得购物券100
元券归还别人.
合计支付
1 273 元
2却O 世纪7刊O 年代，其斯斤科尔斯、默顿将期权定价问题
归结为一个随机微分方程的求解，并导出了符合实l际
乐
的期权定价公式'被誉为"华尔街的第二次革命
天世界各地的全融市场上都有成千上万的才投史资者都
在f使吏用其公式未估算证券、交易i逐主和利札J.他们亦荣获1997
年度诺贝尔经济学奖.
西蒙斯是世界级的数学家，也是最伟大的对
冲基金经理之一，创立了文艺复兴科技公司
从
1989 年到2008 年，该公司平均年收益率达到惊
人的38 . 5% ，而股神巴菲特也不过20%
1 924 年，
西蒙斯与陈省身联合发表了论文
《典型群和几何不变式)) ，创立了著名的Chem
Simons 理论，该几何理论被广泛应用到从超引力
到黑洞的各大领域中.
方
法
、
思
维
从1969 年起，瑞典开始颁发诺贝尔经济学奖. 许多诺贝尔经济学奖获得者元一
例外都有着极其深厚的数学功底，这也从另一个角度揭示了数学在金融生活中所扮
演的重要角色. 现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿越
无限的时间，使人类心灵的手延伸到无边无际的空间之中
应
用
之
美
117
时每善带…
向I孵乏媒
1.某商场购进一批服装，每件进价为200 元，由于换季滞销，商场决定将这种服
装按标价的六折销售，若打折后的每件服装仍能获利20% ，则该服装的标价是(
)
A. 3507巳
B. 400 7c
C. 450 7c
D.500 元
(枣庄市中考题)
2. 甲用1000 元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10% ，而后
乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10% ，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这
些股票卖给了乙若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲(
)
A.盈亏平衡
B 盈利
l 元
C. 盈利9 元
D. 亏损1.1元
( "希望杯"邀请赛试题)
3. 某服装厂生产某种类型冬装，9 月份销售冬装的利润(每件冬装的利润二出厂
价一成本)是出厂价的25% ，10 月份将每件冬装的出厂价调低10%( 每件冬装的成本
不变)，销售件数比9 月份增加80% ，问该厂10 月份销售这种冬装的利润总额比9
月份的利润总额增长多少?
(广西竞赛题)
4. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100 元的不给优惠，
超过100 元而不超过300 元时，按这次购物全额9 折优惠，超过300 元的其中300 元
仍按9 折优惠，超过部分按8 折优惠.小美两次购物分别用了94.5 元和282.8 元，现
小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元?
5.2015 年6 月中旬，经过北京市自住房摇号，洪某摇中一套两居室自住房，户型
面积为84m2 ，销售均价为28000 元1m2 • 他打算采用公积金贷款的方式缴纳房款，经
查询，五年以上公积金贷款利率为4% ，五年及以下公积金贷款利率为3.5%. 经过盘
算，洪某打算贷款额度为所购住房价款的70%( 四舍五入精确到万元) ，并选择等额
本息的还款方式还25 年.但当他准备贷款时，公积金贷款利率自2015 年6 月28 日
调整了，五年以上公积金贷款利率为3.5% ，五年及以下公积金贷款利率为3% . 问:
( 1 )在原公积金贷款利率下，洪某每月需要还款多少(精确到元)?
25 年总共还
多少利息?
118
第17 讲
| 金融与数学过
(2) 若洪某以之前设定好的每月还款额还款(四舍五入到整数元) ，在调整了公
积金贷款利率后需要还多少年7
(北京市数学知识应用竞赛试题)
-多警誓案-
s
方
法
1.B.
2.B.
3. 设9 月份每件冬装的出厂价为x 元，则每件成本为0.75x 元，10 月份每件冬装
的利润为(1 -
10%)x 一0.75x = 0.15x 元.又设9 月份销售冬装m 件，则
10 月份销
售冬装的件数为( 1 + 80% ) m = 1.8m ，故10 月份的利润总额与9 月份相比，增长
0.l5x X 1.8m - 0.25xm
0.25xm
4. 注意到100 X 0.9 = 90 < 94.5 < 100.300 X 0.9 = 270 < 282.8. 设小美第
二次购物的原价为x 元，则(x - 300)X 0.8 十300 X 0.9 = 282.8 ，解得x = 316.
( 1 )若小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300 元，则小丽应付(316
+ 94.5 - 300) X 0.8 + 300 X 0.9 = 358 .4(元).
(2)若小美第一次购物原价超过100 元，第二次购物原价超过300 元，则第一次
购物原价为94.5 -;- 0.9 二
105( 元) ，则小丽应付(316 十
105 - 300)X 0.8 + 300 X
0.9 = 366.8( 元).
5. ( 1 )洪某所购住房价款为:84 X 28000 = 2352000 元，
贷款额度为:2352000 X 0.7 = 1646400 元，
即要贷款165 万元.
在原公积金贷款利率下，洪某贷款25 年，设每月等额本息还款x 元，得到各月
末所欠银行贷款金额如下:
第一个月末:
8%.
'巳.、
维
、
应
用
之
美
119
俨1650000 X (1 +嘻)- x ,
第二个月末:
y2= 队X (1 +嘻)- x
二[1650000 X (1 + Oi~4) - xJ X (1 +旦旦)- x
黄东坡@…… (七年级
= 1650000 X (1 唔) 2 _ x[ (1 + Oi~4 ) + 1]
第三个月末:
只=川唔) - x
二1650000 X ( 1 唔r-x[ (1 +非) 2 + (1 + Oi~4 ) + 1] ,
以此类推，第300 个月末:
Y300 =川(1 +斗争- x
= 1650000 X( 1 +!i字户- x[ (1 +!i字r
99+( 1 咛乎)飞
+( 1 +!i字)+ 1]
0.04 \ 300 xr (1 +些) 300一
1 1
= 1650000 X (1 +旦旦) - L W llr
o,
由此可以解得x = 8709.31 ~
8709( 元) ,
25 年总共还利息额为8709 X 300 -
1650000 = 962700( 元).
( 2 )若每月仍还8709 元，在现行公积金贷款利率3.5%下需要还z 个月; 那么在
第z 个月末，贷款额为0 ，即
0.035\ '
8709 X I ( 1 +节可一1
1
y,= 1臼0000 X (1 +唱主)' - --
l' ~ .0351 一
1= 0
12
求解方程，得到z = 276.15 =277 ( 个)月.
因此，若洪某以之前设定好的每月还款额还款( 四舍五入到整数元) ，在现行公
积金贷款利率下需要还23 年零l 个月.
120
•
二数学文化巡礼
球、晶体结构、水立方能否与多面体建立联系?
圆的月亮，平的湖面，造型奇特的建筑，放大缩小的电视画面……我们生活
在这样的几何时期，即周围的一切都是几何学. 图形有具体的，有抽象的;有平面
的，也有立体的.
右图是1967 年加拿大蒙特利尔世界博览会美
国馆设计的网格球顶，设计者是美国著名建筑设计
师富勒.
富勒的洞察力在于他看到了传统的多面体、球
和建筑之间的联系，这一联系的具体化，便成了网格
球顶，即把正二十面体表面的正三角形分成多个相
同的正三角形，再将这些相同的正三角形内接于球
体内
人类对多面体的认识有悠久的历史.
古希腊著名哲学家柏拉图在他的《蒂迈欧篇》一书中指出并讨论只有如下的
五种正多面体:
今口令。@
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体正二十面体
121
黄东坡
ι 在
带f~;t之现数字之夫( 七年级)
阿基米德友现了全部如下由正多边形组成的、不同表面的多面体:
世界上有5 种正多面体使人们作出某种玄学性质的联想，德国天文学家开普
勒在他1596 年出版的名著《宇宙的奥秘》中用正多面体的外接球与内切球的半径
来刻画太阳系各行星之间的距离.
一个多面体可被"吹成"一个足球.
,?·
对于多面休，人们最为熟悉且在教与学中最常提到的就是欧拉公式.
!飞数学智慧讲堂
例
l
如图，在一次数学活动课上，张明用
1 7 个边长为l 的小
正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正
方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和
张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体
( 不改变张明所
搭几何体的形状) ，那么王亮至少还需要
个小正方体，
王亮所搭几何体的表面积为
(青岛市中考题)
分析与解
要求王亮所搭几何体的表面积需想象出王亮所搭几何体的形
状
122
第丁8 讲
1 从多面体到水立方d
在张明摆放的基础上，若用最少的小正方体拼成一个大长方
体，则需要3 X 3 X 4 = 36 块小正方体，而张明巳用
17 块，所以王
亮至少需要36 -
17 = 19 块;王亮摆放的几何体如图所示，从前、
后看，其表面积为9 ，从左、右看，其表面积为7 ，从上、下看，其表面
积为8 ，所以整个几何体的表面积为2 X (9 + 7 + 8)= 48
超人的毅力、非凡的才能、过人的数学直觉，成就了
历史上最多产的伟大数学家一一欧拉. 通过《从欧拉的
数学直觉谈起》这本书，我们可以从欧拉的数学直觉，以
及直觉在科学发展中所起的作用得到一些宝贵的启示.
例2
有堆放在一起的5 个同样的正方体木块，其俯视图如图所示，则左视|
图的可能情况共有(
)种
I
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
( "希望杯"邀请赛试题)
方
法
→曰3
~-i
团/88
Eb~如
』
放3 层的
左视图
分析与解
放2 层的
左视图
rn
，也、
维
、
应
用
之
美
123
故选A .
时@…… (七年级)
给出两个视图，要求画出第三个视图或确定立方块的块数，这样的问题
答案常常不唯一. 解题的关键是: 俯视图就是立体图形最底层对应的平面图
形，主视图中每列小正方形的个数就是俯视图中每列数中最大的数值.
欧拉(υ1707一17市83川) ，被誉为"数学英雄.\
"如果命i运主是块顽石，我就化作铁锤将它砸得
粉碎
时就解决了著名的哥尼其斯斤堡"七桥问题"
例3
建立模型:
18 世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数( v) 、面数(F) 、棱数( E)之
间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，
解答下列问题.
今臼令。
四面体
正方体
正八面体
正十二面体
( 1 )根据上面的多面体模型，完成表格中的填空:
多面体
顶点数( v)
面数(F)
棱数( E)
四面体
4
4
正方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
124
第18 讲
| 从多面体到水立方υ
你发现顶点数( V ) 、面数( F ) 、棱数( E )之间存在的关系式是
( 2 ) 若一个多面体的面数比顶点数大8 ，且有30 条棱，则这个多面体的面数是
( 3 ) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面则是由三角形和八边形两
种多边形拼接而成，且有24 个顶点，每个顶点处都有3 条棱，设该多面体外表面三
角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x+y 的值.
•
分析与解
( 1 )是解决( 2 )、( 3 )的基础，数一数再完成表格，观察数据，归纳
关系
( 1 )v + F - E = 2.
(2 )20.
24 x 3
( 3 )这个多面体的面数为x+ y ，棱数为
2一= 36 ( 条) .
根据V+F-E=2 ，可得24 + (x + y ) -
36 = 2 ，二x 十y 二
14.
模型应用:
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，
黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等.求正五边
形、正六边形的个数.
·
分析与解
设足球表面的正五边形有x 个，正六边形有y 个，总面数F 为x
十y 个因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数E 为÷( 5x+6y ) ，又因为一个
2
1
顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点
，所以顶点数V =一( 5x + 6y ) . ~ =+( 5x
J /
3
3
+ 6y)
由欧拉公式V+F 一E = 2 q导(x+y ) +÷(5x 十6y)一÷(5x 十即)= 2,
解得x = 1 2. 所以正五边形只要
1 2 个.
又根据每个正五边形周围连着5 个正六边形，每个正六边形又连着3 个正五边
5x
形，所以六边形个数为
二20 ，即需20 个正六边形.
3
方
沾
、
思
维
内
时
之
五
125
时@…… (七年级)
~4 雨不停地下着，如果在雨地里放一个如图①( 单位: 厘米) 那样的长方体的容
器，雨水将它注满要用
l 小时.
有下列A-E 五个不同的
容器( 图②) ，雨水注满这些容
器需多长时间?
I ,1 q 1, 11 11 1 1
1 111-11 11111 1 11'1
p寸厂
(注:
面是朝上的敞口部分)
图①
2
园
门
川
门
罔2
E
L
m
町
、
叮
D
U
巴
却
C
与
J
U
7
旭
L
H
m
A
1O{.
}1O
1
-
2
'-y---'
10
'-y---'
10
从上往下看
图②
20
( 日本算术奥林匹克竞赛试题)
'
分析与解
题中"雨不停地下着" 这一条件，也可以
. -
-
理解为雨均匀地下( 这与日常生活中的降雨略有不同，生活10 i 1
1
1
1
中降雨可能会时大时小，且并不均匀) 雨水从敞口部分垂直
L己民L_
_l_ 一一
l
落入到容器内，我们就可以把"敞开面"( 即图中所示的阴影
10
元
面) 叫做"接雨面"
图③
图①所示的长方体容器，"接雨面" 与底面大小相同，雨
水将它注满需要
l 小时，也就是说
l 小时后该容器内雨水的深度是10 厘米，如果容
器的高度不止10 厘米，而是无限的，那么2 小时后容器内雨水的深度将会是20 厘
米，以后每过l 小时雨水的深度就会增加10 厘米;如果在长方体容器中垂直放入一
个很薄的挡板( 其厚度忽略不计) ，将大容器分成两个小容器(如图③所示) . 小容器
的"接雨面" 变小了，但每个小容器的"接雨面" 与底面大小仍然相同，那么
l 小时后，
126
第才8i井
1 从多面体到水立方
J，. :
每个小容器内雨水的深度还是10 厘米(因为忽略了挡板的厚度，它不占原来长方体
容器的容积) . 通过上述分析与假设，我们可得出如下结论: 只要容器的"接雨面"与
底面大小相同
，1 小时后容器内雨水的深度就是
10 厘米
根据结论，观察图②所示的五种容器，其中A 、B 、E 三种容器的"接雨面"与底面
大小相同
A 容器高
10 厘米，雨水注满该容器需要
l 小时;B 容器高30 厘米，雨水注满该
容器需要3 小时;E 容器高2 0 厘米，雨水注满该容器需要2 小时
C
D
图④
剩下C 、D 两种容器，它们的"接雨面"与底面大小不同
，可先将其转化为"接雨
面"与底面大小相同的容器(如图④所示) .此时，C 容器的高变为30 厘米，雨水注满
需3 小时;D 容器的高度为
15 厘米，雨水注满需
1. 5 小时
欧拉是
18 世纪瑞士著名数学家、物理学家、天文学家.勤奋和天赋使欧拉在17
岁便获得了硕士学位.
欧拉一生撰写886 篇论著，全集有74 卷之多，研究遍及当时科学的一切领域，在
许多数学分支及其他学科中都能见到他的名字:如欧拉公式、欧拉函数、欧拉积分、欧
拉方程、欧拉流体力学方程、欧拉角、欧拉线等.他还创设了许多数学符号，如π 、i 、e 、
Slll ，COS 、tan ，ßx 、I j'(X)等
在欧拉的身后，留下了极其丰富的科学遗产，法国数学家拉普拉斯曾说"读读
欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师"
从多面体到足球，从蜂房结构、气泡的三重联结到多面体的面，还有矗立在我们
面前的美丽雄伟的水立方，它们都体现了多面体的美和奥妙
水立方的骨架示意图
-
J
沾
、
血
统
Fl
山
川
川
之
五
水立方
127
黄东坡@ …… (七年级)
而著名数学家、前武汉大学校长齐民友教授在其专著《从多面体到水立方护书
中亦深情地写道:
"人类，特别是数学家，从大自然获得灵感，而数学帮助他们找到隐藏在深处的
数学规律和美，最后还是数学帮助他们又把大自然的美物化为种种具体事物，如水
立方这样的建筑，使人们能够生活在与大自然的和谐之中!这难道不是数学发现的
真谛吗? "
向数字之美探寻
1.如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭
成该几何体的小正方体最多有
个.
正
E
2. 一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三
种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总个数为
(
)
三三三三三三
主视图
三三三三三三
左视图
。
翩
。
。
俯
A. 11 个
B.12 个
C . 13 个
D.14 个
128
第18 讲
( 从多面体到水立方u '
3 . 下面给出的正多边形的边长都是2 0 cm ，请分别按下列要求设计一种剪拼方
法. (用虚线表示你的设计方案，剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和
数据，并作简要说明)
( 1 )将图①中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的
表面积与原正方形面积相等;
(2 )将图②中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使
它的表面积与原三角形的面积相等;
( 3 )将图③中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使
它的表面积与原正五边形的面积相等.
|| 八
①
②
③
4. 1996 年的诺贝尔化学奖授予对发现已。有重大贡献的三位科学家.如图所示，
C 60 是由60 个C 原子构成的分子，它的结构为简单多面体形状，这个多面体有60 个
顶点，以每个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出
C 60 中有多少个五边形和六边形吗?
129
)J
tÉ;
,tUtA l
纬;
}.ií.
Hl
之
~
黄东坡@ 惜你发现… ( 七年级)
5. 王老师将底面半径为20cm 、高为35cm 的圆柱形容器中的果汁全部倒人如
图所示的杯子中，若杯口直径为20cm ，杯底直径为10cm ，杯高为12cm ，杯身长为
13cm ，则果汁可以倒满多少杯?
13
10
(世界数学团体锦标赛试题)
也参籍案
l. 7.
2.B.
3. 答案不唯一，如图:
F
、
J
i
e
\
AF
M
5
F
、
J
h
h
、
唱
、
、
『
E
E
J
‘
、
、
d
h
F
‘
、
-
m
A
飞
，
，
飞
，
-
-
SAm
J'--
,ar
m
qJ
F
、
d
q
J
，
、
d
气
ζ
·
·
士
、
J
-
ι
-
-
----
-J--
----
-i--
5
寸
'
·
·
-
5
ζ
J
F
、
d
5
5
5
5
图①图②图③
( 1 )如图①，沿粗黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，作为直四
棱柱的一个底面，再沿虚线折叠即可.
(2) 如图②，沿粗黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，作为直三棱柱
的一个底面，再沿虚线折叠即可.
( 3 )如图③，沿粗黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，作为直五棱柱
的一个底面，再沿虚线折叠即可.
130
第18 讲
l 从多面体到水立方υ
4 . 设C剧分子中五边形和六边形的个数分别为x ，y ，则C60 分子这个多面体的顶
3 x 60
点数V= 60 ，面数F=x 十y ，棱数E =~
';一= 90 ，由欧拉公式V+F-E=2 得
60 + x + y - 90 = 2
( .
另一方面，棱数也可由多边形的边数之和来表示，有
5x + 6v
^^
"'"
二γι = 90
∞
由①、②得x = 12 ,y = 20.
故分子C60 中有12 个五边形、20 个六边形.
5 如图，由题意知AB= 10 ,CD= 5 ，AC 二
12 ，BD = 13 ,
过点D 作DE 垂直AB 于点E ，则DE 二
12 ，于是Rt f::::. BDE 中
BE 二
5.
延长AC ，BD 交于点F ，则由CD : AB = 5 : 10 = 1 : 2 知
CF = 12 ,AF = 24,
于是一个杯子的容积等于两个圆锥的体积之差，即
y=÷πl们24÷π
似12 = 7∞川汀，
而大容器内果汁的体积是πX 202 X 35 = 14000π(cmJ ) ,
所以果汁可以倒满14000π .. 7-( 700π) = 20( 杯).
B
131
方
法
、
思
维
耐
用
之
类
、----、，
、，
心数学文化巡礼
常言道:耳听为虚，眼见为实.
•
我们所看到的事物是客观真实的存在吗?
当车轮跑得快的时候，轮轴就看不见了;当筷子放在盛满水的碗中时，筷子
就弯曲了……水中倒影，墙上投影，海市昼楼…
耳听可为实，眼见亦可为虚.
因运动、背景、视角、透视而产生错觉，看上去的情形和事实有所偏差的图
形，我们称之为错视图形.
132
这里呈现的图形，都是现实空间中
不可能存在的图形.这些图形里凝聚着
许多艺术家、数学家的智慧和勤奋，是他
们故意不按常规而精心设计出来的.你
能看出它们的奇妙之处吗?
同
d
r
毡'旷
E
~~.每霄.1，
第19 讲
| 眼见未必为实二
扭曲错觉:
下图扭曲的线框其实是一个个正方形，而看似黑白曲线形成的螺旋线，其实
是若干个圆形套在一起.
,
由观察实验得到的感性认识，是科学发现的先导. 但只凭观察、有限次的实
验不一定能得出正确的理论，推理论证才是正确判断的重要依据.为了避免认识
上的片面性，我们需历经从感性认识到理性认识的飞跃.
数学智慧讲堂
例
l
费马( 1601一1665 ) ，人称"业余数学家之王"，在30 岁以后，费马爱上了数学，
并把几乎全部业余时间用于数学研究，曾提出过许多重要猜想.
费马在研究形如"22" +
1" 的数时，发现当n = 0,1, 2, 3, 4 时.分别为3 ，5 ，17,
257 ，65537 ，都是质数，于是作出猜想:
"对于形如22 +
1 的数，当n 为一切自然数时，都是质数"
半个世纪后，欧拉证明了当n = 5 时，22' + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 X
6700417 为合数.
后来又有人证明了n=6 ，7 ，8 ，9 时，22 十
1 也都是合数，因此费马的这一猜想
是错误的.
告IJ2
图①、图②中的A ，ß，C，D 相应部分同样大，为什么两个图形的面积却出现差异?
..... .......
A v .....
v
B
/
/
C
D
/ v
S=64cm2
图①
R
14lfJlla
Q
-
4
-
-
-
-
，
、
d
『
1
4
E
E
-
-
」
B
E
d
-
」
n
x
u
oill--l
l
p
方
法
I 叫
，c..'、
;f~
S=65cm2
山
川
川
之
美
图②
133
时@ m:发现… (七年级)
段.
·
分析与解
由图①拼成的图②并不是一个长方形，因为PSR 并不是一条线
'."PS =J8车子=8.544 ，且= J5丐22 = 5.385 ，
:. PS + SR = 13.929.
而PR= 飞/(8 + 5)2+ 52= 13.928 ,
二PS+ SR > PR.
这说明PSR 是一条折线不过它的长度比线段PR 只多0.001 ，这细微的差别是
人们的视觉难以察觉的-
例2 如"数学魔术"，魔术与数学有着相似性: 出乎意料的技巧、拨开表面的迷
雾、揭示幕后的真相.
'巧合还是必然
|•
例3
如图，"回"字形的道路宽为
l 米，整个"回" 字形是
, .
一个长16 米、宽8 米的长方形场地，如果你沿着小路的
中间从内部出发走完这条小路，共走多少米?
({美国数学月刊》试题)
·
分析与解
竖直方向行走路线的总长为1+2+3+4+5+6+7+
7.5 = 35.5 ，水平方向的路线总长为
8.5 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 =
92 . 5 ，因此走完这条小路的总长为35.5 + 92.5 = 128( 米).
细心的读者会发现，128 正好是长方形场地的长
16 与宽8 的乘积，也就是说，走
完这条小路的总长与这块长方形场地面积的数值相等.
追问
上述关系是巧合还是必然?若是巧合，怎样解释这一现象?若是必然，又
如何证明?
探究
(1)若路宽为2 米，走完这条小路共走多少米?
(2)若长方形的场地的长为此宽为b ，其中充满宽为c 的小路，走完这条小路共
走多少米?
134
第19 讲
| 眼见未必为实~..
例4
充满咋单意"的数字
费曼是20 世纪美国杰出的物理学家，但他的文学修养也造诣颇深，他的自传体
小说《费曼先生，你真会开玩笑》富有文采，妙趣横生.该书讲述了他与许多科学家在
第二次世界大战后期研制原子弹，为击败法西斯所建立的功勋及轶事.
在此书的116 页，费曼向人们展现了一个奇特的分数.
」一= 0.00411522633744855…,
243
这些数字的排列竟如此有序，但规律会一直持续吗?
费曼曾把这一情况向制造原子弹绝密计划的督导兼保密检查员汇报，后者怀疑
它是一个密码，但费曼直言"此数的小数展开式在855 …之后显得杂乱无章起来，但
旋即恢复如初，又恢复了其神奇的规律性，开始了新一轮循环，直至无限"
读者不妨一试.
在数学学习过程中，我们会遇到一些巧合的问题，得到巧合的解.若能对巧合
现象进行追问探究，深入思考，我们会得到意想不到的收获.
在数学中，从特殊到一般通常会作出猜想，或借助实验作出推测，但是不论猜想、
推测多么自然，都不能代替证明.
证明即从已有定义、公理、定理出发，运用特有的逻辑推断得到确定无疑的结论，
提供正确性的标准.
证明赋予数学元可比拟的严密性，使数学在培养人们的理性思维能力方向发挥
着不可替代的作用.
而平面几何在培养人的逻辑思维能力、数学证明能力以及让学生形成科学思维
方法与世界观等方面有不可替代的作用
"证明"是数学中最重要的事情，用公理和命题编织起来的欧几里得几何体系，
提供了自文艺复兴以来现代科学思想的基本框架，相比于其他自然科学家运用的实
验方法，数学家为他们绝对准确元误的证明而感到自豪.
爱因斯坦曾说"世界第一次目睹一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密
地一步一步推进，使它的每一个命题都不容置疑，逻辑推理的这种可赞叹的胜利，使
人类智慧获得了为取得以后成功所需要的信心"
方
法
111
绍:
、
陆
用
之
美
135
黄东坡@叫数问(七年级)
数学证明在数学活动中有何作用?是否具正
确立无可置疑的结论? 这种独特的思考方式是怎
样发展起来的?
数学境界内的生活理想，乃基于证明，而这是
最崇高的一种道德概念.
严谨之于数学家，犹如道德之于一般人.
1
〓H回...."...
09\道他~Ì;. .嗣
戴学年_!--
r马品乒协耐。"
11 4V3单单
1. 仔细观察数列的排列现象，然后从四个选项中选择你认为最合理的一项，来
填补空缺项，使之符合原数列的排列规律.
168 , 183 , 195 ,210, (
)
A. 213
B.222
C. 223
D.225
(国家公务员考试行政能力测试题)
2. ( 1 )不妨把平面想象成一个圆饼，n 条直线相当于切了n 刀.未切时的块数为
So =
1 块，切
l 刀时被分为S，= 2 块，切2 刀时被分为S2= 4 块.请问:切3 刀时是
否能把它分为8 块?
(2)一个圆会把平面分成两
部分(即圆内和圆外部分，如图用
矩形表示平面，
圆总在它的里
面) . 2 个圆最多能把平面分成4
个部分，
3 个圆最多能把平面分oæ
成8 个部分，请问4 个圆能把平面分成
1 6 个部分吗?
⑨
3. 1 769 年，在俄国工作的62 岁的欧拉，证明了费马猜想的特例:当n = 3 时，矿
+/=Z3 没有正整数解.欧拉提出如下方程的猜想:
方程X~+~+ … +x;l=x;(n ;三4 )没有正整数解.
对于此猜想长期以来没有人证明，直到200 年后的
1 970 年，美国数学家塞夫林
格才找到了一个反例，请看下面问题:
已知正整数n ，使得
1 35 5 + lW+ 845 + 27 5 = 矿，求n 的值.
(美国数学竞赛题)
136
第19 讲
| 眼见未必为实J
。参赞案
l. A 或B.
2. ( 1 )因为So 二
l 块，SI = 2 块，S2 = 22 = 4 块，但品并23 = 8 块，应为7 块，如
图①所示.
图①
(2 )1 个圆把平面分为两部分，即A 1 = 2 个部分;2 个圆分平面为A 2 = 22 = 4 个
部分;3 个圆分平面为A 3 = 23 = 8 个部分;但4 个圆，A 4 ，.，，24 = 16 个部分，只有14 个
部分.如图②所示
。
11∞11品&D
图②
可以证明:一般地，n 个圆最多能把平面分成矿- n + 2 个部分.
3. 显然，n注134 ，下面求n 的上界.
因为矿= 1335 + 1105 + 845 + 275 < 1355 + 1105 +( 27 + 84 Y < 3 . 1335
3125
‘
f 5 γ
‘
<一一一
. 133' = ( --=;;- I • 133' ,
1024
飞4 J
贝uhn <÷
l
而当一个正整数5 次方后，末位数宇保持不变.因此，n 的末位数字与133+110
+ 84 + 27 的末位数字相同，而后者的末位数字是4.
于是n 为134 ，144 ，154 ，164 中的一个，经讨论知n 二
144.
刀
法
、
也
就
山
川
川
之
荒
137
(毡!li 点线的乐章
--.
6? 数学文化巡礼
人们常说"百闯不如一见"，意即把图作为传递信息的手段比语言文字包含
更丰富的内容. 图被用来表达、存储、传递信息，成为愈来愈重要的研究对象.
点与线是构成图形的最基本元素. 点动成线，线动成函，面动成体.点与线的
运动、组合、变化、数字化，可生成复杂的图形，宛如演奏出气势磅碎的优美乐章.
简单地看，连点得线，线交于点;深入地想，屏幕走如何呈现图像的?计算机
是怎样画图的? ……这些归根结底是基于"点"的显示.
德国著名工业设计家、卡塞尔大学的德灵格教授认为:少数几条折线并不能
给人以特别的感觉，然而，一旦折线的条数多而密集、杂乱、随机，将产生强烈的
视觉冲击.他创造性地绘制的线画艺术作品曾在欧美巡回展出，在设计界引起巨
大的轰动.
138
德灵格的线画艺术作品
从20 世纪90 年代开始，德灵格独创的线
画艺术作品巡展于世界各地，他还与数学家合
作，为他的线画艺术建立了用微分方程描述的
数学模型.
第川
! 点线的乐章J·
二飞数学智慧讲堂
例
1
(l) 平面上的100 个点最多能画出多少条直线?
( 2 )平面上的100 条直线最多有多少个交点?
(3)平面上的100 条直线最多可以把此平面分成多少个部分?
·
分析
要求数量"最多"，需无三点共线或无三线交于一点.作出
100 个点、
100 条直线情形下的图形是困难的，不妨从简单情形切入，观察、归纳、发现规律.
解
( 1 )当n = 2 ，3 ，4 时，画出最多直线的条数分别是:
A
------
6
γ3=1+2 ，6=1+2+3 ，
过两点画一条直线，三点在原来两点基础上增加一个点，它与原来两点分别画一
条直线，即增加两条直线，依此类推.
二平面上的
100 个点最多能画出1+2+3+ …+ 99 = 4950 ( 条)直线.
(2) 当有2 ，3 ，4 条直线时最多交点的个数分别是:
3
~
6 = 1+2 十3
二100 条直线最多有1+2+3+ …+ 99 = 4950( 个)交点.
(3) 当有
1
，2 ，3 ，4 条直线时最多可把平面分成的部分分别是:
3=1+2
方
法
维
、
CD
/
②
〉久④
/
(豆
、
①
、
应
用
之
美
139
7
4
②
2
黄东坡@…… (七年级)
.:2 = 1 + 1,
4 = 1 + 3 = 1 + 1 + 2,
7=1 十6=1+1 + 2 十3 ，
二100 条直线最多可把平面分成的部分为
: 1 +( 1 + 2 + 3 +…+ 100 ) 二5051
对于例
1 ，你能用字母表示一般性的规律吗?
虫草线既是一种迷人的数学现象，又是一种与生命相关的极为普遍的数学形
态.坞士数学家伯努利曾深入研究对数螺线的性质，他的墓碑上刻着一句一语双
关的美妙颂词"虽然改变了，但我还是和原来一样"
19lj 2
平面上有10 条直线，无任何3 条交于一点，要使它们出现31 个交点，怎样安
排才能得到?
( 吉林省竞赛题)
·
分析与解
设10 条直线交点的个数为n ，则0 :::二n运45. ( 为什么?
)
按题设要求只出现31 个交点，需减少
14 个交点，有下列两种方法:
( 1 )多线共点，这与题设矛盾;
( 2 ) 出现平行线.
若有6 条直线互相平行，则可减少
15 个交点，故在这一方向上最多可取5 条平
行线，这时还有4 个交点需要减去，换一个方向取3 条平行线，即可减少3 个交点，
这时还剩下2 条直线和
1 个需要减去的点，只需使这两条直线在第三个方向上互相
平行即可.
如图，下列方案供参考:
140
第川
| 点线的乐章C
"j;比仁我自己更f像象德灵格
线画艺术的手法f绘会制的德灵格教才技交的肖f像
象
例3
杰克逊是一位数学科普作家，在他《冬天傍晚的推理娱乐》一书中给出下列这
道名题:
9 棵树栽9 行，每行栽3 棵，如何栽?
·
分析与解
把树看作点，行抽象成线，问题的实质是探讨点与线的关系. 我
们需要画图、试验、再调整
有不同栽法，如图①:
图①
图②
图②表示:9 棵树每行栽了3 棵，可栽行数的最大值是
10.
从点线出发，可以组成千变万化的图形，可得到更有趣的问题.
)j
lli
对于例3 ，更一般的问题是:
n 棵树每行栽k 棵( 0 < k运n) ，最多能栽多少行?
人们希望能找到与n，k有关的、所栽最多行数的表达式，但竟是如此的
艰难.
. c.、
山
川
川
之
足
141
黄东坡@…数以(七年级)
1687 年，牛顿的代表作《自然哲学之数学原理》出版，书
中系统阐述了三大运动定律、万有引力定律，解决了行星运
动、自由落体运动、声音、波、湖沙等各种问题.牛顿是第一个
大量运用数学方法来系统研究物理理论的大科学家.
例ß> 线段图
( 1 )A ，B ，C ，D ，E ，F 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A ，
B ，C ，D ，E 五个队已分别比赛了5 ，4 ，3 ，2 ，1 场球，问还没有与B 队比赛的球队是哪
个队?
( 2 ) 某摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100 千米到C
市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小
镇，汽车行驶了400 千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里的路程的
二分之一就到达目的地了，问A ，B 两市相距多少千米?
( "华杯赛" 试题)
·
分析与解
(1 )用算术或代数方法解，易陷入困境，用6 个点分别表示A ，B ，
C ，D ，E ，F这六个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线段，
如图，易知未与B 队比赛的球队是E 队-
A
D
E
F
( 2 )条件中只有路程，而没有给出时间与速度，故应集中注意各段路程之间的关
系，借线段图分析.
息，
142
如图，设小镇为D ，傍晚汽车在E处休A
D
C
E
B
则AD =÷DC ，m =÷α ，
1 ~~
1
AD + EB =--;'-DE =--;,-x 400 = 200( 千米)，
2~~
2
故AB 二AD + DE + EB = 200 + 400 = 600( 千米)
第20 讲
l 点线的乐章-J
意大利著名科学家伽利略曾说"宇宙是用数学语言写成的，其字母是正三角形、
圆形及其他图形，缺乏对这一知识的了解，人类便无法读懂其中的奥秘"
从六角星形的雪花到螺旋形DNA ，从放射状的对称水晶到一片树叶的分形，我
们不禁会问: 为什么气泡呈现出完美球形?宇宙是什么形状?
要理解自然界为何创造出如此丰富的图形世界，几何是关键.
两千多年前的古希腊数学以几何学为中心，欧几里得的《几何原本》集古希腊几
何学之大成.
1606 年，徐光启与意大利传教士利玛窦合作，翻译出版了《几何原本》前六篇，对
中国科学史产生了巨大影响-
利玛窦盛赞《几何原本》之精，又陈述此书汉译
之难，徐光启说"呜呼，吾边难，难自长大;吾迎难，
难自消微，必成之"强烈的使命感、过人的勇气、坚
定的决心，溢于言表-
向2段学乏美探寻
l. 在小明13 岁的生日晚会上，一共有16 位客人到场，在他吹灭了生日蜡烛，准
备切蛋糕时，爸爸说"小明，你能用最少的切割次数为我们在座的16 人每人切一份
蛋糕吗?你切割6 次，最多能切得多少块蛋糕? "
2 . 英国数学家、逻辑学家道奇森在其童话名著《爱丽丝梦游仙境》中也提出过下
面这个植树问题:
10 棵树栽成5 行，每行栽4 棵，如何栽?
封t
3. ( 1 )平面上有6 条直线，共有
1 2 个不同的交点，画出它们可能的位置关系.( 画
三种图形)
(江苏省竞赛题)
山
川
川
之
夫
143
黄东坡@…… ( 七年级)
(2)平面上n 条直线中每条恰与另外的1999 条相交，求n 的所有可能值.
(环球城市数学奥林匹克试题)
(3)①已知平面内有4 条直线。，b ，c 和d ，直线。，b 和c 相交于一点，直线b ，c
和d 也相交于一点.试确定这4 条直线共有多少个交点?并说明你的理由
②作第5 条直线e 与①中的直线d 平行，请问:以这5 条直线的交点为端点的
线段有多少条?
( "希望杯"邀请赛试题)
C 参害爸案
n(n + 1)
1.最少切5 次;切割6 次，最多切得22 块，切得最多块数为1+一
2 一(n 为切
割次数).
2.下列栽法仅供参考.
3. ( 1 )
( 两线平行)
(两线两两平行)
(三线平行)
144
第川
[ 点线的乐章、..J ~
(2 )依平行关系分类，设共有k 类，各类的条数为此…，以三αi == n ) ，同类的直
线不相交，不同类的均相交，第i 类的直线与其他类的n -
a，条都相交，故由题设条
件得到n 一α1 = n -
a2 = …= n -
a, = 1999 ，于是令al= … =a，= α ，则n= 阳，
1999 = n -
a = ( k -
1 )α. 因为1999 是质数，只有两组解( 2 ，1999 )和(2000 ，1 ) ，得
出n = 3998 或2000.
( 3)①直线α ，b ，c 和d 共有
l 个交点，理由如下:
设直线α ，b ，c 的交点为P ，直线b ，c ，d 的交点为Q ，这
意味着点P 和Q 都是直线b 和c 的交点，由于两条不同的
直线至多有一个交点，因此点P 和Q 必是同一个点，即4
条直线α ，b ，c 和d 相交于同一个点.因此这4 条直线α ，b ，
c 和d 只有
l 个交点(不妨记为点。) .
。
②因为作的第5 条直线e 与①中的直线d平行，所以
'-......d
C
直线e 与直线d 没有公共点，因此，直线e 不过点。，而直线α ，b ，c 都与直线d 相交
于点0 ，所以，直线。，b ，c 与直线e 都相交(与两条平行线中一条相交的直线必与另
一条相交).
设直线e 与直线α ，b ，c 分别相交于点A ，B 和C ，这时如图有A ，B ，C ，。四个不
同的点，可以连出OA ，OB , OC ,AB ,AC ，BC 共6 条不同的线段.
145
j);
,IH
已、
封t
l占1
)引
之
吴
(an
j 基本图形分析法
65摄李文化巡视
摩里茨·科奈里斯·埃舍尔
( 1898一1972 ) ，荷兰版画家，把自己
称为一个图形艺术家.大量的数学
家、物理学家、化学家对他赞不绝口，
他们认为在埃合尔的作品里，数学的
原理和思想得到了非同寻常的形象
化，.
埃合尔对平面镶嵌图案非常感
兴趣.如图，红色的鸟和白色的鱼毫
无间隙地镶嵌起来，令人赏心悦目
仔细一看，如此复杂的镶嵌只是由一
只红色的鸟和一条白色的鱼通过平移而生成.
平面图形是平面几何的研究对象.复杂的图形是由一个或者若干个最简单
最基本的图形复合而成，发现这些基本图形也就找到了解决问题的关键.
所谓基本图形，是指组成一个图形中最基本却又最有特定性质、能彰显应用
条件和应用方法的图形;基本图形是图形化的公式，是结论化的图形.
146
c、'
,
荷兰著名版画大师埃舍尔创作了无数带有
数学韵味并且精确无比的艺术品，他说"在数
学方面，人们已经从理论上考虑过平面的规则
分割，这是否意味着它仅仅是一个数学问题
呢?不是的，在我看来，数学已经打开了通往一
片广阔领域的大门"
第川
| 基本图形分析刊1
飞数学智慧讲堂
:例1
如图，在6ABC 中，CE l_ AB 于点E ，DF l_ AB 于点F ，AC!!ED ，CE 是ζACB 的
平分线. 求证:丘EDF= ζBDF
C
B
·
分析与解
两条直线被第三条直线所截得到形如‘严，2
，L:'的基本图形，
综合运用角平分线，垂直的意义、平行线的判定与性质等知识是解题基础，而分解如
下基本图形是证明的关键
EN
JJ飞λ
E
牛
D
纪c
γ CE l_ AB ,DF l_ AB,
:. CE!IDF,
. . ζ 1= ζ 2 ，L' 3 = ζ 5.
γ AC!IDE ，
:. L'2 = ζ4.
.. 正3 =ζ 4 ，
.. ζ 1 = 正2 = ζ 3 = L'4 = 正5
即L'EDF = ζBDF.
方
法
m
维
基本跚姆刷刷:
(1)与概念A理、腊、推论所对应制执
(2)重要结论对寞的图形s
(3 )具有冀量桂畸倒蝇、习题所对应由1圈嫩:
、
应
用
之
美
147
时@ …… (七年级)
A
B
例2
如阁
，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡
i
皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮筋上一点，拖动E 点，将橡
)E
皮筋拉紧后，请你探索ζA ，ζC ，ζAEC 之间具有怎样的关
C
D
系? 并说明理由
·
分析与解
这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，
可引起对E 点不同位置的分类讨论(如夹在AB ，CD 之间或之外、内折或外折等) ，而
过折点作平行线是探讨不同位置下角之间关系的关键
148
F 三二
图①
c三三D
如图，可分别得到下列关系
:
Eζ=
t=~
(
L AEC =LA + 正C; ②LAEC+ ζA+ ζ C=360 0
;
③ζAEC= ζ C 一ζA; ④ζAEC= ζA 一丘C;
⑤丘AEC 二丘A
丘C; ⑥ζAEC= ζ C
ζA .
对于图①，证明如下:
过草、E 悖EF/IAB 、
.: AB//CD ,EF//AB ,
.'.EF//CD.
:. LAEF= 丘A ，丘CEF=LC ，
:. LAEC = LAEF 斗LCEF= 丘A + L C.
F二D
Jt仨
图⑥
第川
| 基本图形分析ì'1i !;:
u 在平面直角坐标系中，已知D(O ，一3) ，M( 4 ，- 3) ，Rt6ABC 的边与x 轴分别
交于O ，G 两点，与直线DM 分别交于E ，F 两点
( 1 )把直角三.角形按如图①位置摆放，求证:ζ CEF - L AOG = 90 0
:
(2)把直角三角形按如图②位置摆放，N为AC上一点，LNEF+ ζ CEF= 180 。
试探索ζNEF 与正AOG 的数量关系.
x
M
F
y
C
H
P
x
M
y
C
H
B
图②
图①
分析与解
由条件易得DM//GH ，在复杂的背景下发现侧"M" 型基本图形
"HOCED"
、"HOCEP" 是解题的突破口.
( 1 ) ': ζ C 二L COH 十ζ CED = 90 0 ,
又ζAOG= ζ COH ，正CED+ ζ CEF = 180 0 ,
λ 代入化简可得ζ CEF - L AOG = 90 0
•
(2 ) ，: ζNEF + L CEF = 180 0
，ζ CEF+ ζ CEP = 180 0
,
二ζNEF= ζ CEP.
"
ζNEF+ ζAOG= 正CEP+ ζ COH= ζC = 90
0
ñ w
学习和研究数学的人，对数学方法的掌握，乃治学之
成功的数学学习，应当将数学的精神、数学的思想方
法深深刻在我们的头脑中，长久地活跃于我们的日常生活
中.
本-
i L!l'、
徐
、
应
用
之
美
149
黄东坡@…… (七年级)
巴西蝴蝶翅膀的颤动，可能会引起美国德克萨斯州
的一场龙卷风，这种现象称为"蝴蝶效应"
. 20 世纪60 年
代，美国气象学家洛伦兹在探索热空气上升所引起的变
化规律时，发现混沌现象，并创立混沌理论，人们逐渐认
识到客观世界存在无序、
j昆沌现象，信息的微小误差可
能导致混沌事件.
著名画家吴冠中所画《流光》以点线挥洒，千变万化，
化静为动，犹如乾坤扭转，映照出"混沌理论"的神韵.
~
t--.~
1.如图，已知直线/，//l2 ，ζα = L.卢，ζ l 二40 0
，则ζ 2 =
A
( 第
1 题)
E
2. 如图，已知AB/IDE ，ζABC= 70 0
，ζ CDE= 140 0
，则ζBCD 的度数为(
A. 20 0
B. 30 0
C.40 0
D.70 。
(恩施中考题)
150
3 . 如图，已知CD//EF ，ζ1+ ζ 2 =ζABC. 求证:AB//GF.
D (
工
A
F .
G
4. 已知AB//CD ，ζABE 与正CDE 两个角的角平分线相交于点F.
(1)如图①，若ζE = 80 0
，求ζF 的度数;
A
C
图①
E
第川
| 基本图形分析i去世
(2)如图②，已知正ABM=土LABF ，ζCDM =土ζ CDF ，写出ζM和ζE 之间
3 ~ ..~. ，~~~ H'
3
的数量关系并证明你的结论;
E
M
图②
(3)若LABM 二土LABF ，石CDM=土ζ CDF，设ζE 二m 。，直接用含有n ，m
n
的代数式表示ζM=
g
l. 140 。
2. B.
3. 提示:作CK//FG ，延长GF ，CD 交于点H ，则ζ 1 =ζH，丘H+ 正2+ ζBCK
= 180 0
，因ζ 1+ζ2= ζABC ，故正ABC+ ζBCK = 180 0
，即CK//AB ,AB//GF.
360 。
一ζE
' -r" "[]mh
1 ~ \ 360
。
一m
。
(2)ζM=
6
'证明略;
(3 )"'VV
2n
方
陆
4. ( 1 )140 0
;
~~
、
应
用
之
美
151
(够; 架桥选址
心障k号豆文剧本L
"一桥飞架南北，天主变通途
"
拱桥、斜拉桥、悬臂桥、悬索桥等
风格不同、造型各异的曲线，结构迥异
的桥休，一座座桥梁宛如一道道规丽
的风景线.桥梁是力与美的展示，它在
人类文明进程中发挥了重要作用.
---.
"桥自门前过，河从家中流"
中国当代著名画家吴冠中笔下的桥在
中国画中占有极其重要的地位.圆的桥孔、方
的石板、弧的桥背，通过点、线、面的交织辉
映，一座座桥流露出意浓情真的灵秀，寄托
着吴冠中先生对江南水乡的浓厚情感.
相对论之父爱因斯坦曾说"数学把我们带进绝对必要的区域，这个区域不
仅是真实世界而且每一个可能世界都一定适合的"
千百年来，数学总是有意识或无意识地影响绘画艺术和艺术家. 比如比例、
黄金分割、射影几何、高维空间、拓扑变换以及计算机科学等数学思想方法，深刻
影响了原始的、古典的、文艺复兴时期的超现实主义画家及其绘画.
152
第川
| 架桥选址J
i飞数学智慧讲堂
例
l
图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图，甲的路线:
A→C→D→B; 乙的路线:A→E→B; 丙的路线
: A→F→仕→H→B. 若三人行进路线的
总长度分别用
1
，1' ，1 乙，1 丙表示，则其大小关系是(
)
E
r h只
刁/ 70 。、
50 0
60 。
A
B
A
B
A
G
B
图③
图①
图②
A./
，p<
1 乙< I ,Jj
C.I 乙<
1 内< 1,1'
B.I 叩<
1 乙二
l 内
D .
I 内=
1 乙< 1,1'
( "希望杯"邀请赛试题)
分析与解
把不同的图形还原为相同的背景，把分散的线段加以集中，这
是解题的关键.
如图④，延长AC ，BD 交于点M. 如图⑥，延长AF ，BH 交于点N
M
E
N
•
/与
70 0
F. ,' 70',\
问
，4 7o k
\ H70 。
50 万
50 0
60 。
50 0
60 。
吨
60 。
A
B
A
B
A
G
B
图④
图⑤
图⑥
图④中
，由CM+ MD > CD ，可知甲所走的路程比乙走的路程少
;
图⑥中
，GFIIHN ，NFIIHG ，所以四边形NFGH 是平行四边形，
因此GF = HN,NF = HG ，乙所走的路程与丙走的路程相等.
故l 甲<
1 乙=1 丙，故选B
),
1主
'"
'也、
平行线的本质在于传递角.
过一点恰当地作平行线，是现阶段常用的辅助作法，这是为平行线性质或判
定的运用创造了磊、件s 商恰当地平穆直线，能把分散的条件加以集中.
;fj,
山
川
之
元
153
黄东坡喃酬':l/flJ~发现数字之夫(七年级)
北大一学生在听了数学素质课后，写下如下的体会:
所有直线表眷恋，
前后延伸情无限.
所有交叉表歧路，
生活处处有考验.
例2
如图①，A ，B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥儿衍，桥造在何处才
能使从A 到B 的路径AMNB 最短? (假定河的两岸基本是平行的，桥要与河垂直. )
图①
图②
B
分析与解
如图②，因为桥MN 的长度是固定不变的，所以路径AMNB 的
长短与MN 无关，而且MN 的方向也是不变的，因此想到先把这个不变的因素平移
到一端，即把桥MN 平移到AC ，如图②.现在考虑点C 到点B 的最短距离，根据两点
之间线段最短，所以只需连接CB ，从而找到造桥的位置，即BC 与A 地河对岸的交点
N 即为造桥的位置.
下面来说明此路径最短: 如图②，根据AC 平行且等于MN 可知
，AM平行且等于
CN ，即路径AMNB 等于路径ACNB ，而AC= 儿1N 为定值，又因为两点之间
，线段最
短，所以路径ACNB 为连接A 地与B 地的最短路径，所以路径AMNB 为连接A 地与
B 地的最短路径
如图，若把平面图形R 上的各点按一定方向移动
一定距离得到图形R 后，则由FI 到F2 的变换叫平移
变换.
154
平移变换有下列基本性质:
(1)对应线段平行(或共线)，且相等;
(2)对应角相等.
第削
l 架桥选址C?
探究
如图③，A ，B 两村之间有两条平行的河，一河宽为此另一河宽为b ，从A
到B 要修两座垂直于河岸的桥，要使路程最近，请你设计修桥位置，并说明理由
A •
L
?可
b
?可
-
B
图③
作法:(1 )作AA! l_ I! ，使AA!= α ，过点B 作BB! 牛马，使BB! = b;
(2)连接A!B! ，分别交12 ，/3 于点M，N ，则M，N便是修桥地点，设垂直于河岸的桥
分别是MM! ，NN! ，则从A 到B 可沿折线AMJ'VfNN!B 行走，折线为从A 到B 的最短路
线，如图④.
方
ìt
m
维
A
牛二
// M
/
N./
、
应
用
之
美
155
图④
B
黄东坡@…… (七年级)
证明
设另选修桥位置，如在M' ，N'处，所修垂直于河岸的桥是M'Mz，N~凡，则从
A 到B 需经折线AMM'N'NJJ ，连接A1M' ，B1N' ，显然A1M'= AMz, B1N'= BN2 • 因此，折
线AMM'N'NJJ 二折线AA 1M'N'BIB ，而折线AM1MNN1B=折线AA 1MNBIB ，又折线
A1M'N'B 1 >直线A品，故折线AMM'N'NJJ >折线AM1MNN1B ，即折线AM1MNN1B 为
从A 经过两座垂直于河岸的桥到达B 点的最短路线.
追问
( 1 )如图⑤，如果A 、B 两地之间隔有n 条平行的河流，怎样选址建起n 座
桥(桥与河岸垂直) ，使连接A 、B 两地的路径最短?
(2)如图⑥，如果A 、B两地之间隔有两条不互相平行的河流，怎样选址修建两座
桥(桥与河岸垂直) ，使连接A 、B 两地的路径最短?
A
B
图⑤
河
河
河
A
/河
~
B
图⑥
河
1690 年，瑞士数学家雅各布
· 伯努利
在德国《教师学报》上提出如下问题"一根
柔软而不能伸长的绳子，
自由悬挂于两个
固定点，求这根绳子所形成的曲线"这就
是不同于抛物线的悬链线，悬链线在悬索
桥、架空电缆等工程技术中有广泛的应用.
倒3
平面上有6 条两两不平行的直线，试证:在所有的交角中，至少有一个角小于
31
。
( 莫斯科市竞赛题)
·
分析与解
把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前
的直线所成的角是相等的，这样，我们就可以将所有直线移动，使它们相交于同一点
此时，情况就相对简单得多
在平面上任取一点0 ，过0 点分别作这6 条直线的平行线/'1 ，1'2 ，儿，1'4 ，/'5 ，儿，则
156
第川
l 架桥选址U
由平行线的性质可知/'1 ，/'2, /'3 ，儿，/'5 ，/'6 之间形成的角与原来那6 条直线/ 1 ，/2,13,/4,15,
h 之间形成的角相等.
5
,,,.
ζ
u
''''e
现在我们考虑川，儿，…，凡的情况我们只考察1' 1 与儿，几与
1'3 ，… ，1'; 与儿，/'6 与
['1 所成的角
，由图不难发现这6 个角成一个平角
，即这6 个角的和为
180 0
假设这6 个角中没有一个小于31
0
，则这6 个角都大于或等于31
0
，从而这6
个角的和至少为31
0 x 6 = 186 0
，这是不可能的
所以，这6 个角中至少有一个小于31
0
，不妨设/' 1 与几所成的角小于31
0
，则
原来的直线
/ 1 与L 所成的角也必小于31
0
数学理性而严谨，艺术感性而浪漫.艺术诠释了数学内涵，使数学变得通俗易懂;
数学开拓了艺术蕴含，使艺术变得意味深长. 抽象的数学概念，始终是艺术创作的永
不枯竭的源泉
几何图形是构成艺术设计的重要元素.抽象的几何图形把节奏与韵律、对比与
调和、形象与空间、变化与统一等基本法则表
现得完美而现代
科学与艺术是不可分割的，就像一枚硬币
的两面，它们共同的基础是人类的创造力，它们
追求的目标都是真、善、美.
吴冠中与李政道畅谈科学与艺术
向服黯]
)j w
att'LI 、
封t
J.玩
)11
Aζ
工;
157
1.如图，在一块长为22 米，宽为
17 米的矩形地
」
面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路( 两条道
τ
路各与矩形的一条边平行) ，剩余部分种上草坪，使草
|
17 汗ç l
坪面积为300 平方米若设道路宽为x 米，则根据题
爪|
意可列出方程为
i
( 兰州市中考题)
时@…… (七年级)
2. 从棱长为2 的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为
l 的小正方体，得到一个如
图所示的零件，则这个零件的表面积为
(枣庄市中考题)
m
干
-
-
m
|
1
1
1+一一一14m一一一-+1
(第2 题)
(第3 题)
3.7](仙花是漳州市的市花，如图，在长为14m ，宽为10m 的长方形展厅中，划出
三个形状大小完全一样的长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为
m.
(漳州市中考题)
4. 图形的操作过程
(本题中四个矩形的水平方向的边长均为α ，坚直方向的边长均为b)
在图①中，将线段AIA2 向右平移
l 个单位长度到BIB2 ，得到封闭图形A1A ，s，s 1
( RP 阴影部分) ;
在图②中，将折线A 1A ，A 3 向右平移
l 个单位长度到B 1B，s3 ，得到封闭图形
A 1A ，A 3B3B，s I( 即阴影部分).
( 1 )在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1 个单位长
度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影;
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:
SI 二，品-
，品=
(3)联想与探索:
如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度
都是
l 个单位长度) ，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想
是正确的.
l ,
A 仔
1
|
[[4明
A2 B2
A3 B3
图①
图②
图③
图④
158
第22 讲
架桥选址J
也参警备案
l. (22 - x)( 17 - x)= 300
如图，把两条小路移到边上.
22 米
(第
1 题)
( 第2 题)
2.6 X 22 = 24
如图，把棱长为
l 的小正方体的三个面平移.
3. 16
如图，分别作如下平移AB→EF ，CN→FG ，BC→AD ，NG-→DE ，BL→IJ ，
MN→HI ，BM→LK ，NH→KJ. 于是发现，三个小长方形的周长恰好就是展厅的周长，
所以每个小长方形的周长为( 14 + 10) X 2 -;- 3 = 16( m ).
|叫叫
( 第3 题)
( 第4 题)
4. ( 1 )略;(2)S，、S2 、品的结果都是ab -
b;
(3) 这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想
等步骤，关键是探索:当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分(即草地)
面积的情况.
猜想:依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是ab - b .
方法是将其中一侧的草地平移一个单位长度向另一侧草地靠拢，将"小晖'沿左
右两个边界剪去，得到一个新的矩形.
此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是b ，其水平方向的长度变成了。-
1 ，所以
草地面积是b( α -
1 ) = αb -
b.
-
P··i··
i
H
叶
i
L
.
H
U
O
H
f1
1
3
,
-
M
川
之
五
159
(够) 寻找d
67 数学文化巡礼
哲学，在希腊语里意
为"热爱智慧"，是关于自
然界、人类社会和思维发
展规律的学间，是系统
化、理论化的方法论和世
界观，是人类一切知识的
概i才舌与总结.
数学是研究现实世
界的空间形式与数量关
系的学科，是研究秩序和
模式的学科;是科学的语
言，是打开科学大门的钥匙，是锤炼思维的工具，是一门创造性的艺术.
辩证法认为矛盾是事物发展的动力.
在数学发展的历史过程中，充满着矛盾.
正与负、加与J咸、有理数与无理数、连续与离散、有限与无限、抽象与具体、直
观与逻辑、存在与构造等
当矛盾激化影响数学的根基时，就会产生数学危机.
最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派，他们很重视数学，企图
用数来解释一切.他们认为宇宙间的各种关系都可以用整数或整数之比来表示，
但是当d被发现后，就导致了第一次数学危机
通过修正、补充及理论的创新，数学家们消除矛盾、解决危机，给数学带来了
新的发展.
公元前5 世纪，古希腊人点燃了无理数的火种，照亮了实数的广阔天地.但
人类在很长一段时间内不能分享这甘美的"人类智慧之果"
直到
19 世纪后期，著名数学家魏尔斯特拉斯、戴德全、康托尔的杰出贡献为
160
第川
| 寻找d 世
无理数、实数理论的建立打下了坚实的基础.
随着无理数概念的引入，把数系扩张到了实数的范围诗人高笑曾写过<<J2
的自白)) .
12的自自
毕达哥拉斯声名高贵，
只承认整数分数的地位.
用不着和权势者争辩，
戴着无理的帽子也全不理会.
实数没有我就不完备，
我自代表着优秀的一类.
默默地填补着有理数问的空白，
让事实宣布高贵者的愚昧!
数学智慧讲堂
例D
12的有理逼近
•
分析与解
〉写的有理逼近的基本方法有: 夹逼法、方程法等.
估计12在
l 和2 之间，设12 = 1 +α.
两边平方得:2 = 1 + 2α+ 矿，2句l 十2a ( α2 较小) ,
所以α "'=' 0.5 ，即1+α句1.5 是12的一个近似值
为得到乒的更好近似值，又设乒= 1.5 + a"
两边平方得:2 = 2.25 + 3a, +af，a ，臼
」一
12 .
r;::
• _
1
17
飞
2 "'=' 1. 5 一一一=一一
、
~
..~
12
12
这样继续下去，可得12句577 等一系列的近似值.
408
161
方
,
1u日a
纠t
!缸
用
之
夹
黄东坡
'日?你发现数字之采(七年级)
例2
纸是人们学习和工作不可或缺的物品，而纸的尺寸是怎样确定的呢?
印刷厂工人把一张长方形的标准纸(如图①) ，对折1 次，分为两半，每一半都是
原来的÷，称为对开(~p 2 开) ;对折2 次，得仨4 张，每一张都是原来的士，称为4
开;对折3 次，得2 3 = 8 张，每一张都是原来的土称为8 开……对折5 次，得2 5 =
8 '
32 张，每一张都是原来的土，称为32 开.
32
一张国际标准尺寸的纸，应符合下列两个条件: 321<:
( 1 )它的面积为
l 平方米; (2)经过若干次对开，所得
各种大小不同的长方形形状都相同(即长和宽之比都
相等).这张国际标准尺寸纸的长和宽到底各是多少
呢? (精确到
1 毫米)
2K
4K
图①
·
分析与解
设标准纸的长为x 米，宽为y 米(如图②) ，则它的长与宽之比为
x: 川开后的长与宽之比为y: (卡)
由条件(2) ，得
x:y=y:(抖，
即X-二2y
①.
工'x 与y 都大于零，且由已知条件得x • y 二
1 ,
:.x-y = 1 (.
由①×②可得
X- x (xγ)= 2y X 1,
即(X- )2 = 2 ,
:.x- =d二
1 .4 14213562373... ,
X句) 1.414213562373 句1.189207115003( 米)
代入②，得y 二←0.8408964152537( *)
I
x
I
图②
由此可见，国际标准纸的长为
1189 毫米，宽为841 毫米，面积为
1 平方米，长与
宽之比为x : y = 1189 : 841 :=:::::7 : 5.
我国32 开用的标准纸长为1168 毫米，宽为850 毫米，面积为1168 X 850:=:::::0.993
(平方米)，差不多为
l 平方米，长与宽之比为1168:850 句7:
5 ，这就是说，我国32
开用的标准纸与国际标准纸是相符的.
162
第川
i 寻找d Ct
回
要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几个有理数的和、差、积、商
的形式;要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推
出矛盾.
"若盲琴上有琴声，
放在匣中何不鸣?
若吉声在指头上，
何不于君指上听? "
这是苏轼的《琴诗)，这样的判断与数学中的反证法有相同的意境.
英国著名哲学家维特根斯坦被称为最有数学意味的哲学
家，正是他把逻辑学提高到纯粹哲学的高度. { 逻辑哲学论》、
《哲学研究》是他留下的堪称经典的哲学著作.
例3
求证:
( 1 )若正有理数α不是有理数的n 次方(n 为大于l 的整数)，则而是一个元理数;
(2)若正有理数α ，b 都不是有理数的平方数，则而+而是一个无理数.
•
分析与解
( 1 )因为无限小数无法定义加、减、乘、除运算，故不能用无理数
概念说明
，不妨试试反证法.
若而不是无理数，则而必是有理数，不妨设它为b ，于是而=b ，两边n 次方，可
得α = bn ，这样有理数。可以是有理数b 的n 次方了，这与已知矛盾，所以而是无理
数.
由此可见，j2，孔丘
，
l侣，)3 ，衍，刃，…，衍，;;5等都是无理数
(2)用反证法.若Ja+Jb是一个有理数，不妨设它是c ，即Ja+Jb= c ,
于是而= c -Jb,
两边平方，得α=( Ja)2 二(c _Jb )2 = C2 + b -
2cJb,
于是2cJb 二c2 + b-a ，
163
方
法
、
思
维
山
川
川
之
类
黄东坡@…数以(七年级)
时=仕仨旦
c2+ b -
a
注意到两个有理数的和、差、积、商(除数不为0 )都是有理数，所以一
2c
是
有理数，但由(1)知，而是无理数，矛盾.
故而+而是一个无理数
数是数学研究的对象之一，是代数学的"先行官"，是代数学的"火车头"
负数概念的引人，数系扩充到有理数的范围;无理数概念的引人，数系扩充到实
数的范围生活实际的需要，数学本身的发展，需要产生新的数.
数学深刻地影响着哲学.唯物主义哲学家泰勒斯、唯心主义哲学家毕达哥拉斯、
创立理念论的柏拉图等等，古希腊的哲学家崇尚数学、重视数学.
"万物皆数"是毕达哥拉斯学派的信念，认为数是万物的本源，"数"与"和谐"是
他们的主要哲学思想.
柏拉图认为，存在一个物质世界、一个精神世界，一个诸如正义、智慧、善、美的
理念世界，只有通过心灵才能达到对这些永恒理念的理解"几何学使灵魂趋向于真
理，进而创造出哲学精神"
从逻辑学的始祖、写出"三段论"推理方式名著《工具论》的亚里士多德，到倡导
归纳法并写出《新工具》的培根，再到唯理论哲学派别的代表人物笛卡尔、莱布尼茨，
数学与哲学在思考:怎样认知真理?运用何种方法?是演绎法还是归纳法?
164
19 世纪代数学最重大的事件之一是四元数的发
现，它是由爱尔兰数学家哈密顿( 1805-1865 ) 于
1843 年在皇家科学院宣讲的，形如a + bi + cj +
dk ，其中α ，b ，c ，d 为实数.
第川
l 寻找J2 !J
l. 若k<J再< k+ 1 (k是整数)，则k=
2 . 若a ，b 和Ja+jb都是有理数，则(
)
A. Ja，jb都是有理数
B . Ja ，jb都是无理数
c. Ja，jb都是有理数或都是无理数
D . Ja，jb中有理数、无理数各有一个
3 设M 为正实数，由(α+ 去)'= a2 + h +(去问:
当74良小(此处约定7< O l )时，(去r=o
斗+去f =d + h ，于是p+古=a+去
(※)
公元3 世纪，我国数学家刘徽采用公式( ※ ) 求某些数的平方根的近似值，试计
算J2 、J再丽.
( { 时代学习报》数学文化节试题)
5. 已知。，b ，c 都是有理数，而+而+ J;也是有理数，证明: Ja ，jb ，J;都是有
理数.
4. 构造一种方法，用有理数逼近J2.
方
法
、
思
维
、
L
M
用
之
美
( 清华大学自主招生试题)
165
黄东坡@…… (七年级)
飞归霜藻
l. 9.
2. A
Ja-Jb=主二立是有理数，Ja一土[(Ja+ Jb) + (而-Jb ) J ，而=
Ja+而
-2
÷[(d+而)一(而-Jb )J都是有理数
3. J2=而引际14+3号句1 .4队
J再面二J药丐6= 120 +一豆一=
1
2 x 120
4. 设J2= I+x ，两边平方得2 = 1 + 2x + x-.
:.x- + 2x = 1 ，则x(x+2)= lJ =-1一
2 +x
飞2=l +x=l+-L=1+一
1 一=1+一一」
v -
.，~ "2+x
+了-~-
2 +一一一一「一
且
--t- x
2 +一二一-
2 + …
5 . 假设品，Jb，-f;:不都是有理数，不妨设d不是有理数.
设而+Jb+ -f;:= x 为有理数
①，则(而+而)2 =(x --f;:?,
~p x-+ c - a - b = 2( J;;b+ x-f;:)为有理数，又设J;;b+ x-f;:= y为有理数(,
则(J;;b )2 =(y -
x-f;:?，即I + X-C -
ab = 2yx-f;:为有理数
( .
若x = 0 ，则由①得α = b = c = 0 ，矛盾;若x#O ，y = 0 ，则由②得c = 0 ，矛
盾;若xy手0 ，则由③得d为有理数，矛盾
综上所述，原命题成立.
166
,
、
,
心数学文化巡礼
恤
μ
·
IE " t …
数学是研究数量关系和空间形式的学科.数能精确
地揭示研究对象的数量特征，形能直观地刻画研究对象
的空间结构，借助图形思维将数和形完美结合者当首推
笛卡尔.
笛卡尔(1596-1650)是西方现代哲学思想的奠基
人之一，也是近代理性主义一一即人的推理可以作为知
识来源的哲学理论的开拓者，以"我忠、故我在"而闻名世
界.
鼻
美金骨棋吧!'_
笛卡尔于1616 年获得法学硕士学位，两年后从军，
战后游走四方，遍游欧洲许多国家，广结贤能，集思广益，成为法国著名的哲学家
和伟大的启蒙者，被誉为"法兰西民族"的神话.
笛卡尔说有三个梦引导了"一门奇特的科学"和"一项惊人的发现"，这就是
科学史上著名的笛卡尔之梦.
梦之一:一阵狂风把笛卡尔从居住的教堂吹到遥远的地方;
梦之二:笛卡尔发现自己正用科学的眼光观察风景，熊熊烈火，电问雷鸣;
梦之三:狂风烈焰之后，万籁俱静，"我将遵循什么样的生活道路?"，与此同
时，一位陌生人向笛卡尔指点迷津......
笛卡尔醒来，开始久远的沉思.
"我思故我在"对笛卡尔来说，怀
疑是一种必要的手段，是哲学和心理学
方法中的一个工具;怀疑是一门艺术，
它使人们脱离感觉的影响而获得解放.
167
黄东坡@ …
例
1
(1)将
1 ，2 ，3 ，4 ，…按图①的方式排列，则每一个正整数对应一个坐标.如"1"
对应的坐标是( 0,0) , "3" 对应的坐标为(1，1 ) ，则数2014 对应的坐标为
( << 时代学习报》数学文化节试题)
(2 )如图②，长方形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙分别
从点A(2 ，0)同时出发，沿长方形BCDE 的边作匀速环绕运动物体甲按逆时针方向，
速度为1 个单位长度/秒，物体乙按顺时针方向，速度为2 个单位长度/秒，则两个物
体开始运动后的第2012 次相遇位置的坐标是(
)
A. (2 ,0)
B. (一
1 , 1 )
c. ( -
2 , 1)
D. (一
1 ，一
1 )
( 济南市中考题)
y,
37
36 35 3 ~ 3}
l 2 I I
14
13
30
39 l85
4
3
12
29
40
19 16
7 ζ
11
28 x
41
20
8 2
10 27
B
42 ,21 l2
~ 2_4 2..5
26
4344 45
~ ~ 1.7 1.8 'i9…
叫
图①
图②
·
分析与解
探索直角坐标系中点的坐标规律，从特殊位置入手，或利用周
期性进行观察、归纳.
对于( 1 )，当n 为自然数时，(2n + 1 Y 对应的点是( n , -
n ), ( 2n )2 + 1 对应的点
是( -n ，n).
因为442 = 1936 < 2014 < 2025 = 45 2 ，且2014 与2025 对应的点离得更近些，
452 =( 2 X 22 + 1)\ 所以可以根据45 2 对应的点( 22 ，-
22 )确定20 14 对应的点而
2014 = 2025 一
11 ，故2014 对应的是将点( 22 ，一22 )向左平移
11 个单位长度得到
的点故2014 对应的点是(1 1 ，一22 ).
对于(2) ，两个物体第
l 次相遇所用时间为
12 -:- ( 1 + 2) = 4( 秒) ，然后每过4
秒相遇
l 次.两个物体开始运动后的相遇位置的坐标分别为( 一
1 , 1 ), ( 一
1 ，一
1 ),
(2 ,0) ,(-1 , 1),…,2012 -:- 3 = 670…… 2 ，故选D.
168
第24ì#
I 笛卡尔之梦ψ
如IJ 2 已知归(一州，小+)，求直线AB 与y 轴的交点C 的坐标
·
分析与解
直接计算OC 的长较困难，可以借助图形面积求OC 的长.
作出如图所示的辅助线，
y
:s 梯形ADEB -
S 梯形ADOC + S 梯形BEOC ，
1(~
， 1\
一(3 +一) X 5 =~(3 + OC) X 4
'2\-'
I 2)
1 (1
,
~~\
+ + 1•
+OC)X 1,
2
飞
2 '
~~)
解得OC= 1,
"点C 的坐标为( 0 ，1).
用同样的方法可求得直线AB 与x 轴的
交点坐标，请你一试
A ~- -- -- -- -- - - ~ M
D
01 E
点的坐标是联系数与形的桥梁，现阶段求点的坐标的基本方法有:
( 1 )转化为求线段的长;
(2)借助面积计算.
笛卡尔的《音乐概要》
笛卡尔把他的想象拓展
到音乐中，写过论文《音乐简
编》、《音乐概妥þ ，成为一个
训练有素的音乐家. 他自觉
地把音乐和坐标系结合在一
起，坐标系在音乐中沉醉，音
乐在坐标系中哥大唱.
X
169
方
dtb
EI
封t
J>ii_
JIJ
之
}二
黄东坡酣蜘f fi?你川数字之Jh 七年级)
。
如图①，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为( O ，a )和( 9,
α) ，点E 在AB 上，且AE =-J-AB 占F 在OC 上，且OF=土Oc.点G 在OA 上，且
3H~ ，川、
3
使6GEC 的面积为20 ，6GFB 的面积为16 ，试求α 的值.
y
B
G
F
C
X
图①
( "创新杯" 竞赛题)
分析与解
仅分析图形或推理其中的数量关系，不能很好地解决问题，把
图形分析与数的分析推理结合起来，这就是数形结合思想
如图②，设G 点坐标为( O ，b) ，b > O.
因为S 长方形OABC -
S ð GEC = S ð OGC + S ð AGE + S ðBEC.
所以90-20=÷ × 9b+÷ × 3(α 一b ) +
÷× 60,
3
20
化简得b =
α 一
2~
3
同理，
因为S 长方J!i OABC -
S ðGFB = S ðABG + S ð GOF
十SðBFC ，
所以90
16=÷ × 9(α-b)+÷ × 3b+
÷× 60,
化简得3a = 32 -
6b.
Y
A
(0 ，α)
G
(O ,b)
。
(0, 0)
3
20
将b =
α 一-一代入上式，得3α 二72 -
9a ，解得。= 6
2~
3
170
E (3，α 〕
B (9,a )
F(3 , 0) CC9, 0)X
图②
第24ì#
\ 笛卡尔之梦C3
例4
下象棋是很多人喜爱的游戏，你知道象棋里充满着数学问题吗?如图①，象棋
盘上有一只"马"，它跳七步能回到原来的位置上吗?若能，请给出一种跳法;若不能，
请说明理由
x
,y
图②
l1
1
队ν1 1 1 1
|1
1
νN 111
H①附恻
图①
·
分析与解
不论怎么跳，"马"都不能回到原来的位置，理由如下:
如图②，我们可在棋盘上建立直角坐标系，并设这匹"马"所在的位置P 的坐标
为(Xo ，yo). 那么，"马" 跳一步后的位置的坐标应为(Xo 十元，Yo + y ，)，这里的X ，和y ，只
可能是
1 ，一
1 ，2 ，- 2. 同样，跳第二步后，"马" 所在的位置的坐标应为(Xo +x, +X2'
yo + y, + Y2) ，这里的X2 和y2 也只可能是
1 ，一
1 ，2 ，一2. 依此类推，跳七步后，"马"
所在的位置的坐标为
(Xo + x , + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7, yo + y , + y2 + y3 + y4
+ y5 + y6 + y7). 如果这时"马" 又回到原来的位置(Xo ，yo) ，那么有Xo + x, + X2 十X3
+沁+X5 十X6 + X7 = Xo ,Yo + y, + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 = yo.
也即X，+ X2 + X3 十X4 + X5 + X6 + X7 = O,y, + y2 + y3 十y4 + y5 + y6 十y7 = O.
将两式相力口，有(X ，+ y, )+(X2 + y2 )+ (X3 + y3 )+(X4 + y4 )+( X5 + y5 )+ (X6 +
y6 )+(X7 + y7)= O.
由于上式中
14 个数都只能取
1 ，一
1 ，2 ，一2 ，而且每一次跳的两个坐标之和不
能为0 ，4 ，一4 ，2 和- 2 ，因此X，+ 户，X2 + y2,X3 + 户，X4 + 户，X5+ 户，X6+ 片，X7 +Y7 ，
这七个数只能取
1 ，一
1 ，3 ，-
3.
但是不论怎样取法，由于奇数个奇数相加的和为奇数，所以这样取出的七个数的
和不可能等于0 故"马"跳七步不可能回到原来的位置.
方
法
『日
维
、
应
用
之
美
恰当地建立坐标系，以数助形，这种解决问题的方法称为坐标法，坐标
法的思想就是对应思想.
坐标法的出现使几何问题能代数化，即找出图形上点的坐标应满足的
数学关系，从而得到国形对应的方程，通过讨论方程来研究图形，这是笛卡
尔酶费大贡献.
倒4 更一般的结论是:只要"马"跳步的次数是奇数，就不能回到原来
的位置.若"马"跪了n 步后回到原来的位置，则跳的步数必为偶数.
171
黄东坡@川剧… (七年级)
笛卡尔是17 世纪法国杰出的哲学家，近代生物学的奠基人和物理学家，解析几
何的奠基人之一. ~方法论》中的《几何汩主一附录，是笛卡尔写过的唯一一本数学书，
其中清楚地反映了他关于坐标几何和代数的思想.笛卡尔的坐标系不同于一般的定
理，也不同于一般的数学理论，它是一种思想方法和技艺，它使整个数学发生了崭新
的变化，它使业余的数学家笛卡尔成为了当之无愧的现代数学的创始人之一.
平面直角坐标系架设了数量与图形
的桥梁，使得抽象的数量关系得到直观
的几何解释，又能把几何图形数量化地
表示出来.
x
关于这一重大科学发现，恩格斯作
了高度评价"数学中的转折点是笛卡尔
的变量，有了它，运动进入了数学，因而
辩证法进入了数学，因而微分和积分的
运算也就立刻成为必要了"为纪念这位
杰出的业余数学家，人们现在所用的直
叶形线是函数x J +/ 二3axy 的图
象，它是由法国数学家笛卡尔于1638 年
发现的.
角坐标系，通常叫做笛卡尔直角坐标系.
1.如图，是一组密码的一部分.为了保密，许多y
情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到
破译的钥匙"目前，己破译出"今天考试'的真实意
思是‘努力发挥，若"今"所处的位置为(x ，y) ，你找到
的密码钥匙是(
,
)，破译"正做数学"的
真实意思是"
(随州市中考题)
172
第州
| 笛卡尔之梦C?
2. 如图所示，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边都与坐标轴平行，从内到
外，它们的边长依次为2 ，4 ，6 ，8 ，…，顶点依次为p" 丑，P3 ，P4 ，"'，则顶点P川的坐标
为
(德州市中考题)
y
PIO
P ll
x
P 5
I
P8
P9
I
P'2
3. 如图，四边形ABCD 四个顶点的坐标分别为A( - 4,2) , B( 2, - 6) , C( 3,6) ,
D(1 ，2). 请你在图中画出这个平面直角坐标系，并叙述你的作法.
(中法中学生数学交流活动试题)
C
D
4. 有一张印有平面直角坐标系的爬行垫，小
宝从点A(0 ，2) 出发爬到点E 处取玩具，路线如
图所示，AB//DE ，且B(1
，2) ，C (3，-1) ，D(4 ，
1) , E( 5, a).
( 1 )α=
(2)连接BD ，则6. BCD 的面积为
-lq
(3)若ζBCD = 60 0
，求L'ABC + L' CDE 的
-2
值，并写出理由;
-3
(4) 若EF/伊轴，
G 是直线EF 上一点，当
6. BCG 与6. BCD 面积相等时，求点G 的坐标.
B
A
B
A
V
d
句
3
吁
中
1
A
D E
6
x
173
1i
i1;
111
a:..、
统
-
M
川
之
主
黄东坡
惜你发现数字之夫
( 七年级)
l. x + 1 ,y + 2 ;祝你成功.
2. ( 504 ,504 )
先观察，再归纳出一般规律:
P 1( -
1 ，一
1 ) ，Pz( 一
1
，1 ) ,Pll , 1 ) ,pi 1 ，一
1 ),
PS( -
2 ，一2 )，且(- 2 ,2) ,pi2 ,2) ,P8(2 ,- 2) ,
P9( -
3 , -
3 ),P lO( -
3 ,3 ),P 11(3 ,3 ),P 1z( 3 , -
3) ,
P 13( -
4 ，一4 ),P 14( -
4 ,4 ), P 1S( 4 ,4 ),P 16( 4 , -
4) ,.
一般地:
P4n -
3( -
n,- n) ,P4n - z( -
n ,n) ,P4n -
1(n ,n) ,P4nC n,- n)(n 为正整数) ,
而2015 = 4 X 504 一
1 ，所以P20 1 5( 504 ,504 ).
3
x
C
y
4.(1)1;
(2)3.5;
(3)240
0
;
(4)如图①，设G( 5 ,y).
B
(作法略)
4C3 +v+ l)
因为SlòBCD = S"肌仿照第二个问题的解题思路可得SAm=
{
-
3 X 2
2(v + 1)
一了一二亏二二二3.5
解得y 二一0.5 ，故点G 的坐标为(5 ，一0.5 ).
y
B
。
C
图①
174
x
F
第24 讲
| 笛卡尔之梦J
如图②，设G ( 5 ，y ) ，作BM l. EF 于点M ，CK l. BM 于点K ，CH l. EF 于点H ，连
接CM，则BM=5 一
1 = 4, MG = 2 - y , CK = 2 一( 一
1 )= 3, CH = 5 -
3 = 2.
BM . MG BM. CK MG • CH
故SI!.BCG = S I!.BGM -
S I!.BCM -
SðCGM 二一
2 一一一一
2 一一一一
2 一一，
BM.
儿1G
BM. CK MG • CH
因为SI!.BCD = SðBα ，故
一
一一一一一→二3 . 5 ，
2
2
故但pl一号2一旦pl=35 ，
解得y =-7.5 ，故点G( 5 ，-7.5 ) .
综上所述，点G 的坐标为( 5 ，一0.5 )或( 5 ，一7 . 5 ).
y
B --=一韧7
。
F
G
图②
x
175
Jî
j~
a IuE,I
、
}‘注
HJ
之
)号
Gy 数学文化巡礼
人类总在自觉或不自觉地整体思考.
婴儿认识母亲，是从母亲的声音、容貌、表情等方面整体上辨认;"丢卒保车"
"宇宙流"等棋类对弈中的招数，是着眼于全局得失的深谋远虑，不计一城一池的
得失而关注整个战役的胜利，这些都是胸怀全局、整体思考的生动体现
著名物理学家杨振宁曾说"做物理就像作一幅大的画，你要有本领把局部
结构画得很精细，但是更要能总体把握"
在微观上重析理，在宏观上看结构，既看局部，又看整体;既见树木，又见森
林，两者并用，这是分析问题和解决问题普遍而有效的方法.
整体思考是将问题看成一个整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题整
体结构的分析与改造，从整体上把握问题的特征和解题方向
176
诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说"我
赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，
又有战略上的雄才远虑，而且奇迹的奇迹，它的一
些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构
"
..
第25 讲
| 整体思考(J;
数学智慧讲堂
2x1+ X2 + X3 + 拟+ X5= 6
(
,
XI + 2x2 十元+泊+ X5= 12 (
,
若XI~X5 满足下列方程组jX I + X2 + 坏+ X4+ X5= 24 ③，求3X4 + 江的值
XI+ X2 + X3+ 2x4+ X5= 48
(
,
XI+ X2 + X3+ X4 + 2xs= 96
(
,
(美国数学邀请赛试题)
例
l
·
分析与解
先整体叠加求出X I + X2 + X3 + X4 + 元的值，可简化计算
由①+②+③+④+⑤得
6(xI + X2 + X3 + X4 + Xs) = 186
:.XI + X2 + X3 + X4 十X5 二3 1.
由④一⑥得x4=17 ，
由⑤一⑥得X5 = 65 ,
λ 原式= 3 X 17 + 2 X 65 = 181
(
,
例2
能否找到7 个整数，使得这7 个整数沿圆周排成一圈后，任3 个相邻数的和都
等于29? 如果能，请举一例;如果不能，请简述理由.
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
分析与解
假设存在7 个整数α1 ，G2 ，仇，仇，仇，仇，α7 排成一圈后，满足题意，
由此展开计算推理.若推得矛盾，则原假设不成立.
由题意得
α 1 + a2 +a3 二29 ，
。2 +α3 + a 4 = 29 ,
•
方
?去
'也、
Ml~
α4
。6+α7 +α1 = 29 ,
。7 +al+α2 = 29,
将上述7 式相加，得3 ( a l +α2 +α3 +α4+ α5 十。6+α7 )= 29 X 7,
2
λ a l +α2 + a3 + 仇+a5 十a6 十α7= 67一这与al 十α2 +α3+ a4+ α5 +α6+
3 '
α7 为整数矛盾，故不存在满足题设要求的7 个整数.
。7
、
戚
朋
之
先
177
黄东坡@ 俯你发现… (七年级)
1
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
--Ùo 2 , 3 , 4
例3
已知一+一一一=一一+一一一=一一+一一一=一，求
+....::_+
的值.
y+z 2'y'z+x 3'z 'x+y 4
(全国初中数学联赛题)
·
分析与解
题设给出了三个方程、三个未知数，可以通过解方程组先求出
x ，y ，z 的值或探寻x ，y ，z 之间的关系
178
x+y+z=÷ (砂+ zx
解法一
由已知等式得lx + y + z 二÷(芦+砂)λ,
x+y+z=士(zx + yz) ,
..七xy+n)=÷(yz+ 布)=乞zx+ 芦)
23
23
23
γ xyz~O ，解得y=τx ，z 二缸，代入已知等式，解得x=l百，y=飞二，z-三二'
2 X 10 + 3 x 6 + 4 X 2
故原式=
23
解法二
由已知等式，得1卫土旦=2 旦土王L二3 互土旦一=4
x+y+z
~'x+y+z
J ,x+y+z
所以xy 十YZ+zX_旦于目一____Æ_一=土，一旦→=立一一旦一=立
x+y+z
2'
又x 十y 十z
2 'x 十y + z
2 'x 十y + z
2'
v
5 z
~ "'n
5
~
",' 1
, 11
m
23
所以专寸，75 ，即y=τx ，z - 缸，代入7+百三=τ ，得x=l百
2
,
3
,
4
23
故原式=一+一→一+一一二
二2.
x ' 5
'5x
5x
3 x
第川
| 整体思考。
数字方法溯源
数学发展的历史始终贯穿两条主线:数学知识的
发展和思想方法的创新.
数学思想方法对数学知识
有巨大的凝聚力
，是联系知识的纽带，是实现知识向
能力转换的桥梁
例4
在三角形纸片内有2008 个点，连同三角形纸片的3 个顶点，共有2011 个点，
在这些点中，没有三点在一条直线上，问:以这2011 个点为顶点能把三角形纸片分
割成多少个没有重叠部分的小三角形?
( 天津市竞赛题)
·
分析与解
由于连线的方式多种多样，若着眼于局部，则解题易陷入困境.
但从整体上看，不管怎样连线，每一点上以自己为顶点的小三角形的各内角之和为
360 0
，这就开辟了一条整体计数的简捷途径，
可分割成没有重叠部分的小三角形有:
360 x 2008 + 180 = 4017 ( 个).
1997 年，由IBM 制造的电子计算机"深蓝"，以总分3 : 2 击败当时的国际象棋
世界冠军、俄罗斯人卡斯帕罗夫，成为i亥年的世界重大新闻.2016 年3 月，谷歌的"阿
尔法狗"和韩国围棋高于的围棋大战最终以4 : 1 藩幕，震撼社会.
自动化、智能化是人类的追求与梦想.人类怎样制造出能思考、行动的机器?这
要归功于现代应用数学"控制论" .1948 年，美国数学家维纳发表的划时代著作《控制
论:关于在动物界和机器中控制和通信的科学~，标志着控制论的诞生.
《系统论》、《控制论》、《信息论》是二十世纪重大科学成就.
整体性、结构性、层次性、开放性是系统思维遵循的基本原则.
冲破盲人摸象、井底窥天、以偏概全、一叶障目的局限，既见树木，又见森林.
整体思考一一集成的眼光，全局的胸怀
←
H
7
←
ι
、
H
H
M
仕
忙
:-r
lt
,
-
M
川
之
英
179
黄东坡@ 叫数以(七年级)
，、
肝盲'
维纳( 1894-
1964 ) ，美国著名数学家，提供了纯数学
和工程技术结合的典范，1948 年出版的《控制论》是维纳
划时代的著作.
维纳曾言"即使没有强烈的创造欲望，人们也总是
要从已有的东西出发来进行新的创造，就我而言，最有用
的资质，乃是广泛持久的记忆力……万花筒般的自由想
象力，这种想象力本身或多或少会向我提供关于极其复
杂的思维活动的一系列可能的观点"
l
已知有理数α ，b ，c ，d ，e ，j满足方程组
2a + b + c + d + e + j = 20
( ,
。+2b+c+d+e+ j=40
(
,
。+ b + 2c + d + e + j = 80
( ,
。+ b + c + 2d + e + j = 160
( ,
α +b+c+d+2e+j 二320
⑤，
α +b+c+d 十e + 2j= 640
(
,
贝Uj - e+d-c+b-a=一一一一·
( "新知杯"上海市竞赛题)
2. 某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由
15 朵红花、24
朵黄花和25 朵紫花搭配而成，乙种盆景由
10 朵红花和12 朵黄花搭配而成，丙种盆
景由
10 朵红花、18 朵黄花和25 朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900 朵红花，
3750 朵紫花，则黄花一共用了
朵.
(重庆市中考题)
[2x + 5y = 3
Q),
3. 阅读材料: 善于思考的小军在解方程组{
工
时，采用了一种
14x + lly = 5
@
"整体代换"的解法.
180
解:将方程②变形得4x + 10y + y = 5 ，即2( 2x + 5y) + y = 5 ( .
把方程①代入③得2X3+y=5 ，λy =- l.
把y 二代入①得x=4
方程组的解为仁l
请你解决以下问题:
13x -
2v 二
5
(吐1)
( 1川)模仿小军的
19知
x 一q钞y=
1凹9
(②
Z
尘) .
第25 讲
! 整体思考Ct
r3x2一与J 十12/= 47
①
(2 )已知x ，y 满足方程组{
求r+4旷的值.
lU+ 秒十8/= 36
(,
(珠海市中考题)
4. 在一张正五边形的纸片内有2007 个点，加上5 个顶点共有2012 个点.
( 1 )如果这些点中任意3 个点都不在同一条直线上，现在以这2012 个点为顶点，
把纸片剪开，最多剪出多少个没有重叠的三角形?
(2 )如果这2012 个点中，有三个或三个以上的点共线，你能确定最多剪出三角
形的个数吗?
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
5. 如图，正方形中的每个小图形分别表示一个数字，
相同的图形表示相同的数字，不同的图形表示不同的数
字，正方形外的数字表示该行或该列的数字的和，求x ，y
的值.
( "希望杯"邀请赛试题)
女
。
。
。
28
x
。
女
。
。
。。
。口
口。
口会
y
30
25
181
方
?去
，H已I、
维
JN ..
fH
之
美
黄东坡@…… (七年级)
露
痴
-
g
1. 420
由⑥一⑤+④③+②一①求得.
2.4380 设甲盆景有x 盆，乙盆景有y 盆，丙盆景有z 盆，
[15x+ lQy+ 10z = 2900,
则{
125x + 25z = 3750,
Ix + 2v = 280,
即r
-_ -
Ix + z = 150,
共用黄花24x + 12y + 18z = 18(x + z)+ 6(x + 2y)= 18 X 150 + 6 X 280
= 4380( 朵).
3. ( 1 )由②得3(3x -
2y)+ 2y = 19
(
,
将①代入③得3 X 5 + 2y =
19 ，二y = 2 ，进一步得x = 3 ,
方程组的解为广:
[3C.i+扩)与i = 47 (,
(2)原方程组变形为~=~..
:/~ :
--/
- -
;:
[2C矿+扩)+砂= 36
(,
由③+④X2 得7(x' + 4/)= 47 + 2 X 36,
解得x' + 41 = 17.
4. ( 1 )4017.
(2)可以确定，结论不变.
5 易知y = 28 ，设第一行所表示的数依次是α ，b ，c , b ，第2 行第4 列的数字是
d ，则有
。+b+c+b=y
①，
b+ α +c+d 二30
②，
b + b + d+ a = 25 (,
。+ b + c + b = 28 (,
b+a+b 十b=x
⑤，
由②一③得c=b+5
⑥，
将⑥代入④得。+ b +(b + 5)+ b = 28 ,
即α + 3b 二23 ，故x = 23.
x
28
182
、
一
、，
二‘---、
相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的
一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，也就是
在3 x 3 的方阵中填入
1 ~ 9 ，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等.
。……∞-0/
?
个
护
。
<>
洛书
4
9
2
3
5
7
8
6
在3 x 3 的方阵图中，每行、每71J 、每条对角线上3 个数的和都相等，就
称它为3 阶幻方.
183
黄东坡@ 肝…
南宋杰出数学家杨辉最早编造出各式幻方，记录在1275 年他编辑的《续
古摘奇算法》上;十八世纪美国科学家、发明家富兰
克林创造了一个变化多端的八阶幻方;金庸先生的
武侠小说《射雕英雄传》对幻方更是情有独钟;美国
1 977 年发射的寻求外星文明的宇宙飞船旅行者
1
号、2 号上，除了有向宇宙人致意的问候信号外，还
带有一些图片，其中就有一张四阶幻方.
幻方，文化与数学的奇妙交融，还有多少未解
之谜!
。
。。
。00。
。。
。00。
。00。
。00。
。00。
。。。
。。。
。。。
。00。
。00。
。00。
α::0
C汇lOOO
C汇lOOO
。
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。。
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。。。
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。。
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0<XXl0
0<XXl自
。。
数学家着力揭示幻方数字排列组合的奥秘，科学家希望幻方的完美性质
助力人类实现与外星文明沟通的梦想，艺术家努力把幻方图案融合到艺术设
计中，哲学家期盼参悟幻方蕴含的易学思想.
二飞-_._-
一
$0 运用整体核算法证明三阶幻方有如下性质:
(1)三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上三
个数的和等于这九个数的和的÷;
(2) 三阶幻方中的每行、每列、每条对角线上
三个数的和是中心格数的3 倍;
(3)三阶幻方的中心格数是九个数的平均数;
(4)在三阶幻方中，每个数都加上或乘以一个
相同的数，则所得的图仍是三阶幻方.
整体核算法即将问题
中的一些对象看作一个整
体，观察、分析问题中的
题设与结论之间的整体特
征和结构，从整体上计算、
推理.
·
分析与解
如图是一个三阶幻方，且每行、每列、每条对角线上三个数的和
是S ，为充分表示等量关系
，需设多个未知数，设而不求，运用整体核算法证明-
Xl
X2
X3
X4
X,
X6
X7
Xs
X9
184
第川
| 奇妙的幻方过
( 1 ) γ3S =(x, + X2 + X3)+(X4 + X5 + X6)+(X7 + Xg + X9) ,
:.S = i-(X' 十M 计均+Xs 十X6 十X7 + Xg + X9)
( 2) ': 3S =(X, + Xs + X9)+( X3 十Xs + X7)+(X2 + Xs + Xg)
= 3xs +(x, + X2 + X3) 十(X7 + Xg 十X9)
= 3xs + 2S,
二S = 3xs
(3 )由性质( 1 )( 2 )得Xs=土(X ，+ X2 + X3 + X4 + Xs + X6 + X7 + Xg + X9)
9
在上述证明过程中，为了推理而引入9 个未知数，设而不求，通过整体变形、代换
而解决问题- 三阶幻方的性质是构造幻方的重要依据，从一个侧面回答了"三阶幻方
如何构造" 的问题-
19IJ 2 如图①，α ，b ，c ，d ，e ，j，g ，h ，i 分别代表
1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 中某一个数，不同字
母代表不同的数，使每个小圆内3 个数的和都相等，那么。+d+g 的值是多少?
图②
(美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛试题)
图①
方
法
、
内
闲
之
美
思
维
•
分析与解
和，可得:
9S =( 1 + 2 +…+ 9)+ 2 X(α +b+c+d+ ε +j+g+h+ i) =3 X( l
+2+…+ 9)= 3 X 45 = 135 ,
故S = 15
先从9 所在的小圆看，h 至少是
1 , i 最多只能是5 ，再从
l 所在的小圆看，α 最多
只能是9 ，由于l+i+a=15 ，所以必须
i = 5 ，α 二9 ，由此可以求得图②.
对照图①与图②中各数的位置，可看到α + d + g = 9 + 3 + 6 = 18.
当然也可以有另一解法.
将含
l 、含2 、含4 、含5 、含7 与含8 的6 个小圆内( 3X6=)18 个数求和，可得:
6XI5=1+2+4+5+7+8+(α + b + c + d + e + j + g + h + i) + α
185
设这个相等的和是S ，现将这9 个小圆中( 3 X 9 = )27 个数求
黄东坡@…… (七年级)
十d+g ，即90 = 72 +α +d 十g ，
所以α + d + g = 90 -
72 = 18.
随着人们对幻方性质的充分挖掘、组合数学的发展，幻方在工艺美术设计、组合
分析、人工智能、图论、密码编辑、图像安全处理等方面有了广泛的应用.
(1)如图，把图中每行、每列的数字组成一个三位数，并写出它们的逆序数，可得
到下列美妙的算式:
492 + 357 + 816 = 618 + 753 + 294 ,
4922 + 3572 + 8162 = 6182 + 753 2 + 2942,
438 + 951 + 276 = 672 + 159 + 834 ,
4382 + 951 2 + 2762 = 6722 + 1592 十8342
•
4
3
8
9
2
5
7
6
(2)如图，欧洲最早的幻方出现于德国画家丢勒( 1471-1528)在1514 年所作的铜
版画《忧郁~.
1514 年，德国画家丢勒创作了一幅钢版画《忧郁~，画面右上方挂着一块4 阶幻
方，该画反映了人们对没有充分的知识与智慧去探索自然界奥秘的深深的"忧伤"
16
3
2
13
5
JO
11
8
9
6
7
12
4
15
14
阿尔布雷特
· 丢勒(A!br时IÌ Dürer，21 陆yl轩l -QApril 1528) 的《忧郁CMelen∞，lia D>)
186
第26 讲
| 奇妙的幻方C·
9
15 4
6
8
2
13
11
14 12
7
3
5
10 16
通过数与形的转换，上述幻方还可以应用于艺术设计.
16
5
12
14
15
2
3
7
6
11
n
υ
咽
'
-
A
13
9
4
8
6
12 13
3
15
8 10
4
14 11 5
9
7
2 16
8
4
9 13
15
11 6
2
5
12 16
10 14 7
3
命数学之美堤寻
nnzmnzzn
m
m
n
…
…
豁
出
一
…
…
一
器
工
器
m
n
z
n
白
m
m
m
m白
白
白
白
1.幻方第一人
幻方，相传最早见于我国的"洛书"，如图①，洛书中3 行、3 列以及2 条对角线上
的点数之和都等于15 ，是一种‘3 阶幻方" (如图②).我国南宋数学家杨辉是对幻方
从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法〉←书中给出从3 阶到10 阶
的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想.例如，用
1
，2 ，3
"，16 构造4 阶幻方的方法是: 先将
1
，2 ，3 ，…，16 依次排成图③，然后以外四角对换，
即
l 与16 对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种"对换" 方法得出的4
阶幻方.
方
法
!品
维
|I I I I
|I I I I
1I I I I
|I I I I
、
山
川
用
之
美
图③
图④
( << 时代学习报》数学文化节试题)
187
图②
图①
时@ …数以(七年级)
2. 如图，将右表的方格中的7 个方格填入不同的数字，使得
每行、每列、每条对角线上的3 个数字之和都相等，则表中左上
角的数字是多少?写出推算过程.
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
气
J
AU
吨
，
4
|
|
1
寸!
AU
l
AU
吨
，
4
1
3 . 曾有人向世界杰出的数学家、第一台电子计算机的发明者冯·诺依曼教授'请
教了如下一个取牌游戏问题:
有9 张扑克牌，分别是A ( 作为l 点) ，2 ，3 ，…少，现把它们放在桌子上，两人轮流
取牌，已取走的牌不能重新放回去，谁手中3 张牌的点数加起来等于15 ，谁就赢.先
取牌者有无必胜策略?
4 . 把数字
1 ，2 ，3 ，… J 分别填人图中的9 个圈内，要
求6.ABC 与6. DEF 的每条边上三个圈内数字之和都等于
( 1 )给出一种符合要求的填法;
C
18.
B
(2)共有多少种不同的填法?证明你的结论.
( 山东省竞赛题)
188
第川
| 奇妙的幻方U
O
~街窑案
1.略.
2. 如图，设出相应字母.
则x+ α +b=x+c+d = α+ c -
2010 = b +
2012 + d ，于是2x + α +b+c+d= α +b+c+d+
2012 -
2010 ,
即2x = 2,x = 1.
3. 冯.诺依曼教授在一分钟思考时间里，就想想、到了
阶幻方"，因为"三三.阶幻方"里有8 组数之和都等于
l归5. 于是
上面的取牌游戏就变成了另一种全然不同的形式:对阵的双方，一方要尽可能使自
己占据
际上，这就是中国古老的"吃井字"游戏.如图，两人轮流在一个"井" 字里分别同"0"
或"x" ，谁先把自己画的三个"0" 或"x" 连成一条直线，谁就算赢.
我们注意到:在8 组数，每兰数之和为15 的组合中，含有5
X I 10
x
α
b
C
2012
一2010
d
的有4 种，含有2 ，4 ，6 ，8 的各有3 种，而含有
1
，3 ，7 ，9 的各有2
种.由此可见，先取牌的人必须取标有5 的牌，即占据"井" 字的中
央位置，这样便会稍占一些便宜.事实上，如果后取牌的人此时误
取标有奇数点的牌，先取牌的人只要保证每次都取对，则后取牌
者必败无疑!
4. ( 1 )略.
(2)设A ，B ，C 三个数之和为x ，D ，E ，F 三个数之和为y ，剩余三个数之和为Z ，则
Ol x
Ol x lO
x+y+z=1 十2+ …+ 9 = 45
(
,
由图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为
18 ，
得z + 3y + 2x = 6 X 18 = 108 (,
由②一①得x + 2y = 108 -
45 = 63
(
,
把AB ，BC ，CA 每一边上三个圈中之数的和相加，
得2x + y = 3 X 18 = 54
(
,
联立③、④解得x = 15 ,y = 24 ，进而z=6
在1~9 中兰个数之和为24 的仅有7 ，8 ，9 ，所以在D ，E ，F =处圈内，只能填7 ，
8 ，9 兰个数，共有6 种不同填法.显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，
其余六个圈内之数也随之确定，从而得到结论，共有6 种不同的填法.
刀
法
、
思
维
h
M
用
之
兵
189
饵"' 相等与不等
在客观世界里，相等的关系是相对的、局部的;不等的关系是绝对的、普遍的.
许多现实问题很难确定(有时也不需确定)具体的数值，但可以求出或确定
这一问题中某个量的变化范围或趋势，从而对研究问题的全貌有一个比较清晰
的认识.
在读书学习中，也存在着基本不等式:
( 1 )基本笋简单.
许多人非常不重视基本的东西，甚至轻视它，"基本"应该等于"重要"加上
"简单"
( 2)懂笋会笋对.
"懂"有时只是表面的，只是形式上的了解，还必须经过组织与整理，融会贯
通，并从问题的演练中，不断地发现自己不会的地方，才可以逐渐达到"真会"的
目的
相等与不等是矛盾的两个方面，既对立又统一.恰当排序、灵活放缩是促使
相等与不等相王转化的常用方法，体现了化相等为不等，以不等求相等的策略和
思想.
190
"各美其美，美人之美，美美与共，天
下大同"，中国数学教育具有6 个特征: 教
学导入、尝试教学、师生互动、变式练习、
提炼数学思想方法，以及正在发展为"四
基"的教学
第川
| 相等与不等J
5、数学智慧讲堂
例
l
将若干由
l 开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下的数的
平均数为斗，问删去的那个数是多少?
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
分析与解
设所写的数为
1 ，2 ，… ，n ，删去其中的α( 1 豆。运时，
l+2 + …+na __ 4
则余下的数的平均数为
= 53一，由
1 :::三a:::三n ，建立n 的不等
n -
1
~ ~ 7
式组
γl 三三α运n，
. (1+2+3+… + n)- n
n 一
l
~ I+ 2+3+ … 十n-a
飞
n-I
~( 1+2 十3+ … + n ) 一
l
飞
n-I
工(n 一
l) n
土(n + 2) (n 一1)
即
2 , ..
" .. ~ __4 ~ 2
,
三三53τ三三
n -
1
I
解得105卡n~ 1叫，n = 1叫107
当n = 106 时，α= 46; 当n 二
107 时，α 为非整数，舍去.
放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，
以达到解决问题的目的.
放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解.
'ØtJ 2 求最小的正整数n ，使得存在n 个不同的正整数S I ，S2 ，… ，Sn 满足
(1 一士)(
1 一士)...(
1 一士)=朵
( 国际数学奥林匹克试题)
分析与解
面对多元不定方程，要求"最小的正整数n" ，考虑连续正整数，
通过排序、放缩，化相等为不等.
假设正整数n 满足条件，且设S ，< S2 < … < Sn ,
1 ~
1
、
则
〉一一(i = 1,2,"',n)
j ::--Si+ 1 \" -
1 , ~，
,'" /
注意到，
)j
i1;
l 叫
'也、
~fi'
战
川
之
先
191
黄东坡@ …
51
(,
1\(,
1 \
(,
1 \
2010
飞
SI) 飞
S2 )飞
Sn )
剖1 -
-J-ì(1 -
-J-ì...(1 -
-~-
，ì
\'
2/ 飞
3/
飞
n + 1/
n + 1.
2010
670
于是，n +l ?:一一---一~> 39 ，从而，n 主39.
K ,"
I
. :-- 51
17
下面举例说明n = 39 满足条件:
取39 个不同的正整数:2 ，3 ，…，33 ，35 ，36 ，…，40 ，67 ，其满足题设等式.
综上所述，n 的最小值为39.
侈IJ 3
问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小.而解决
问题的策略一般要进行一定的转化，其中"作差眩'就是常用方法之一.所谓"作差法"
就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M，N 的
大小，只要作出它们的差M- N. 若M-N> 0 ，则M>N; 若M-N=O ，则M=
N; 若M- N< 0 ，则M < N.
问题解决
如图①，把边长为α + b( α 并b) 的大正方形分割成
两个边长分别是α ，b 的小正方形及两个矩形，试比较两
个小正方形的面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大
。
解:由图可知，M 二。2 + b2 , N = 2ab ,
二M-N = σ2 十b2 -
2αb = (α - b )2
..α 乒b ，: .(a -
b )2 > 0 ,
b
二M-N > O, :.M > N.
类比应用
。
b
G
αIL
b
。
b
图①
α
b
( 1 )已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分
α + b -
,_,- -+-
2ab
一
别为一一一元/千克
兀/千克(α ，b 是正数，且α手b )，试比较小丽和小颖所购买
、。+b
商品的平均价格的高低;
192
第川
| 相等与不等d
( 2)试比较图②、图③两个矩形的周长U
，N I 的大小( b > c)
α +b
b 十3c
户
L
G
b+c
联系拓展
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子"打包"，箱子的尺寸如罔④
所示(b> α >c>O) ，售货员分别可按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行捆绑，问哪种
方法用绳最短? 哪种方法用绳最长?请说明理由
图③
图②
C
图⑦
图⑥
图⑤
图④
方
法
、
应
用
之
美
纠t
(青岛市中考题)
193
。+ b
2ab
类比应用
: 作差
一
，化简后与0 比较大小.
2α +b
联系拓展: 设图⑤、图⑥、图⑦的捆绑绳长分别为1 1 ，12 ，/3 ，分别比较1 1 -/2,/2 -/3 ,
13 一/ 1 与0 的大小关系，从而可以确定
1 1 ，/2 ，/3 的大小.
α +b
2αb
(a + b) 2-
4ab
(a -
b) 2
(1)一一一一
二
二
2
a + b
2 ( α + b)
2(a + b)'
二.a ，b 是正数且α 并b ，
.
(α
b)2 、
^
.α + b ~ 2ab
-
..
一'一
. .2(α + b) ~ v ,..
2
~
α 十
b'
即小丽所购商品的平均价格比小颖的高
(2 )由图②，③知
，Ml = 2(a + b + b + c)= 2α +4b + 纭，
Nl = 2(α- c + b + 3c)= 2a + 2b + 4c ,
U -Nl =(20 十4b + 2c)-( 2a + 2b + 4c)= 2b -
2c = 2(b - c) ,
γ b > c , :. 2(b -
c) > 0 ，即Ml-N，> O,M I >Nl.
.. 图②矩形的周长大于图③矩形的周长.
分析与解
•
时@…… ( 七年级)
联系拓展
设图⑤的捆绑绳长为
1 ，，则
1 ，= 2a x 2 + 2b x 2 + 4c X 2 二4a + 4b + 8c ,
设图⑥的捆绑绳长为
12 ，则
12 = 2a X 2 + 2b X 2 + 2c X 2 = 4α + 4b + 4c ,
设图⑦的捆绑绳长为
13 ，则
13 = 3a X 2 + 2b X 2 + 3c X 2 = 6α 十4b + 6c ,
':1, -12 =(4α + 4b + 8c) 一( 4a + 4b + 4c) = 4c > 0,
λ 1 ， > 12•
':13 -/2 =( 6α + 4b + 6c) 一( 4a + 4b + 4c ) = 2α+ 2c > 0,
二13> 12•
γ 13 一
1 ，=(6α + 4b 十6c) 一(4α + 4b + 8c) = 2a -
2c = 2( 。一c ) ,
':a > c ，λ2(α - C)> 0 ，即
13 - 1, > 0,[3 > 1,
所以图⑦的捆绑方法用绳最长，图⑥最短
思想曾要经验的累积，灵感需要感受的沉淀，最细致的体验需要最宁静、最透
彻的观察.
倒3魏似乎滇南意境深远，选材平实而构思精巧. 同时，"作商法"也是比较两
数大小的常用方法，你能给出"作商法"的基本规律吗?
陈省身( 1911-2004) ，浙江嘉兴人，1930 年
毕业于南开大学.
1943 年陈省身证明了高斯
博内公式，构造了现今普遍使用的示性类理论，
为整体微分几何奠定了基础，被国际数学界誉
为"微分几何之父"，其影口向遍及整个数学领域，
他也因此成为第一个获得世界数学最高荣誉
"沃尔夫奖"的华人.
"我渴望着中国尽快地成为数学大国，这就是我对新世纪的企盼"
"我想说明:外国人能够做到的，中国人也一样能够做到，甚至做得更好"
这是20 世纪的伟大几何学家陈省身的殷殷期盼
1943 年，陈省身成为美国普林斯顿高等研究所的研究员，对几何学在美国的复
兴起了决定性的作用.
1985 年陈省身创办南开数学研究所，并任所长，为推动中国的数学发展做出了
不懈的努力.
194
第川
| 相等与不等4
向t数学之美探寻
1.有五个数，每两个数的和分别为2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，6 ，5 ，4( 未按顺序排列) ，求这
五个数中最大数的值.
( 江苏省竞赛题)
1 , 1
,
, 1
2. 证明:寸+τ+ …+寸<
l ( n 为正整数且n > 2).
2' ' 3" '
n
3. 已知矶，仇，仇，仇，Q5 ，Q6 ，Q7 是彼此不相等的正整数，它们的和等于159 ，求其中
最小数矶的最大值.
( 北京市竞赛题)
1 , 1 , 1
4. 设x ，y ，z 为互不相等的正整数，且一十一+一二。，。为整数，求x ，y ，z 的正整
x
y
z
数解
195
方
法
't也n
:二、
维
1泣m
之
美
黄东坡@ …
C 参弩爸案
1.设。三三b ~三C ~二d三三e ，将和数从小到大重新排列为2 ，3 ，4 ，4 ，5 ，5 ，6 ，6 ，7 ，8 .
α +b=2
①，
+ c = 3
(2)
则i
z
c+e=7
侣，
d+e=8
( ,
又α +b+c+d+e=土(2+3+4+4+5+5+6+6+7+8) =
4
12.5
(
,
由①②③④⑤联立解得α= 0.5 , b = 1.5, c 二2.5 ，d = 3.5 ,e = 4.5,
.. 最大数为4.5.
1 _
1
1
1
2. 利用丁<一一一一=
的结果证明.
( n 一1)
n 一
l
1 , 1 ,
, 1_1
1
1
1 , 11
+，++，+ …十--;-<~ +
~ ,., ~ +…+
二
l 一一+ 一一一+…
. 2' , 3'
旷
1 x 2 ' 2 X 3'
, n ( n 一1)
•
2' 2
3
+ _1 , __!_= 1 _J
一二十
n 一
1
n
.
n '
1
, 1
文了+ 士了+…+ --;-<
1.
2" ' 3" '
'n"
3 . 不妨设α ，< α，< a3< …<酌，则α ，+ a，+ α3 十… + a, = 159 ，解题的关键
是怎样把多元等式转化为只含αl 的不等式，这里要用到整数的如下性质:设。，b 为
整数，若α < b ，则。+
1 ~二b.
因为矶，仇，… ，a ，为整数，故αl 十
1 ~三仇，α ，+ 2 三三仇，a ，+ 3 运仇，α ，+ 4 三三仇，a ，+
5 运仇，a ，+ 6 三三酌，
上面各不等式相加，得7αl 十21 ::S; 159 ，&P a ，::S; 19号，故。l 的最大值是19
4. 设x <y< z ，则x注1
，y 二三2 ，z 二巧，
1
，
1
，
1
~ ，，
1
，
1
.5
所以一+←+一运l 十一+一=1一
v ' z ~ .
, 2 '3
.6'
所以0 < 辰1 亏，得α 二
1 ,
1 , 1 , 1
解方程7+歹+7=l ，得(x ,y , z ) = ( 2 , 3 , 6 ), ( 2,6,3 ), ( 3 , 6,2) , ( 3 , 2,6 ) ,( 6,
2,3 ),( 6,3 ,2).
196
65 数学文化巡礼
，问
古1 在
寸
dj3
10?d-
V
厅时
yt i?
A-
世界是丰富多彩的，观察世界的眼光是多元的.
文学借助形象，展示人文关怀;科学运用实证，
揭示自然规律;数学利用抽象，发现数的规律，寻找
形的结构.
抽象，即从具体事物中抽取出来的相对独立的
属性、关系等，清末著名画家郑板桥一生咏竹，谈到
画竹的体会时曾写到"其实胸中之竹并不是眼中
之竹也，因而磨墨展纸，落笔倏作变相，手中之竹又
不是心中之竹也"
因心中之竹是抽象存在的竹子，故画出的竹子
比现实中的竹子更有风骨，这就是抽象的存在.
超脱对象的具体产生的数，图形中的点既无大
小又无颜色·…..数学的抽象舍弃事物的其他一切
方面而仅保留数量关系和空间形式.
苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫在《数学:它的
内容方法和意义》一书中指出数学有三大特点，即
抽象性、严谨性、应用的广泛性.
数学的眼光是深沉的，它使我们看问题入木三分，明察
秋毫，在浓缩的空间关系中，在组合的数量关系里，使我们
看到数学现象的魔光幻影、神秘莫测，以及数学的知识、思
想、方法在我们生活中的应用
数学眼光透视
197
黄东坡@ …
弘一J二=-= .. ---;:..;;:-
l例3
设A=主土主+主土主+主土主+… +~003 2+ 10042+10042+ 10052 ，求A 的
1 X 2 ' 2 X 3 ' 3 X 4'
'1003 X 1004 ' 1004 X 1005
整数部分
n2 十( n 十1) 2
·
分析与解
问题涉及1004 项的求和，从揭示A 中第n 项
X (n + 1)
特征入手.
由具体到抽象，常反映为用字母表示数，有利于揭示问题中的数量关系，便于找
到数量的依存关系或相等关系.
-fzitliL什I+斗1= ( 1 一计1)+(1+士) = 2 + (士一叶1) ;
:.1*式=
2 +(1 一--}) + 2 + (--}-+) + 2 +(+-士) +...+
2 +
(市市)+ 2 +(市市) = 2 X 10例+( 1 市)
故其整数部分为2008 .
例Z
甜饮料里糖的质量分数越大，则饮料会越甜，那么，给糖水添上一点糖，糖水就
更甜了，请你把这一生活常识用数学式子表达出来.
·
分析与解
从生活常识到"数学不等式"历经以下几个步骤:
(1)用字母。，b ，m 分别表示糖水中糖的质量、原糖水的质量、加入的糖的质量;
(2)根据质量分数的定义，写出加糖前后的质量分数旦旦土旦.
b 'b + m'
(3 )将"更甜了"表示为不等式旦<旦土旦其中b>a>O ，m > O.
b ~b + m'
进一步追问:
( 1 )怎样证明上述不等式?
(2)将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数变大了吗?
带单著名数学家弗赖登塔尔说. "与其说是学习数学，不如说是学习数学化"
倒君是一个数学化的探究过程，我们不能说"糖水加糖更甜了"是数学，但提
炼为盼如瀑式就是数学了.
198
第川
l 数学的眼光Cf
19IJ 3
新农村社区改造过程中，有一部分楼盘要对外销售. 某楼盘共23 层，第八层楼
房售价为4000 元/平方米，从第八层起每上升-层，每平方米的售价提高50 元; 反
之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30 元，己知该楼盘每套楼房面积均为120
平方米.
若购买者二次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案:
方案一:降价8 %
，另外每套楼房赠送。元装修基金;
方案二:降价10 %
，没有其他赠送;
( 1 )请写出售价y( 元/平方米)与楼层x( 1 ~二x ~二23 ，x 取整数)之间的关系式;
( 2 )老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清房款，请帮他计算哪种优
惠方案更加合算.
( 临沂市中考题)
对于( 刀，把优惠方案用。的方式表示; 通过讨论确定哪种方案
[30x + 3760 (1 ~三x ~三8 ，x 为整数) ,
(1 )y = { l50x + 3600(9运x运23
，x 为整数).
( 2 ) 当x = 16 时，
方案一:
每套楼房总费用w ，= 120 X( 50 X 16 + 3600 )X 92 % -
a = 485760 -
a;
方案二:
每套楼房总费用W2 = 120 X( 50 X 16 + 3600 )X 90 % = 475200.
当w，< 酌，即485760 -
a < 475200 时，α > 10560;
当W ，-W2 ，即485760 - a = 475200 时，α = 10560;
当w，> 叫，即485760 -
a > 475200 时，α < 10560;
因此，当每套楼房赠送的装修基金多于10560 元时，选择方案一合算; 当每套楼
房赠送的装修基金等于
10560 元时，两种方案一样; 当每套楼房赠送的装修基金少
于10560 元时，选择方案二合算.
•
分析与解
更加合算.
方
法
·
应
用
之
美
.'"、
维
199
柯尔莫哥洛夫(1903一1987) ，苏联著名数学
家，他于
1933 年发表了《概率论基础》一书，从
此，概率论有了坚实的基础，他也因此被公认为
概率理论基础的奠基人.由于柯尔莫哥洛夫解决
了几百年来遗留的许多问题，成为新领域的发现
者和先驱，使他成为20 世纪下半叶世界数学的
领手由人物.
黄东坡
.:!ï 伪，;6之现数字之夫(七年级)
例4
有A ，ß ，C ，D 四支排球队进行单循环赛，记分规则是: 两队比分为3 :0 或3 : 1
时，胜队积3 分，负队积0 分;比分为3:2 时，胜队积2 分，负队积l 分，比赛结果是
A 队和B 队并列第一，C 队和D 队分别获得第三和第四. 问: 四支队的总积分有几种
不同的情况?并对每种情况，列出各队每场的积分.
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
'
分析与解
恰当代数化，通过放缩结果寻找解决问题的突破口.
按照记分规则，一场比赛产生3 分，四队单循环比赛，有6 场比赛，共产生18 分，
设A ，ß ，C ，D 四支排球队总积分分别为x ，x ，y ，z ，由题意可知:
A
B
C
D
1 200
|川+ z = 18,
x > y > z 注。
( * ).
由( *)可得18 = 2x + y + z ~三2x + x 一
1 + x -
2 = 4x -
3 ，解得x 二三5 . 25;
由第一个方程可得:y + z 是偶数，且C 队和D 队之间必须进行一场比赛，
所以y+z 二三4 ，则有2x + 4 三三2x + y + z =18 ，解得x~三7 .
( 1 )当x=7 时，y = 3 ,z = 1;
( 2 ) 当x 二6 时，y = 4 ，z 二2 或y = 5 ,z = 1.
所以，四个队的总积分有3 种不同的情况:
每队每场积分和总积分
A
B
\
2 \
。
。
。
第
l 种
第2 种
C
D 总积分
A
B
C
D
3
3
7 \
。
3
3
2
3
7
3 I~ 2
\
2
3
。
\
3
X
。
2
。\
理整
E;丘
第3 种
总积分
A
B
C
D 总积分
6
I~
2
2
2
6
6
\
2
3
6
4
I~
3
5
2
。
。入
西班牙著名画家毕加索
在画《公牛》时，数易其稿，从
具体到抽象，从复杂到简单，
笔简意骇，形似神更似
第川
| 数学的眼光d
数学最本质的东西就是抽象.
数学家的眼光是抽象的眼光.
正如古希腊著名学者亚里士多德所说"可以推断，数学的发展所依赖的最重要
的基本思想就是抽象"
以符代数不只是字母"代替"文字、"代替"数字的过程，而是具体数字符号化和
形式化的抽象过程，是静态数学一般化、动态化的过程.
著名数学家张景中院士在其科普名著《数学家的眼光》中写道:
"从普通的、众所周知的事实出发，步步深入推广、挖掘出广泛适用的深刻规律.
从这里显示出数学家的透彻、犀利的目光，也表现了数学家穷追不舍、孜孜以求地探
索真理的精神"
向数学之美探寻
l.计算:一
1一一+--L一一+…一
1 一一一
X 1
2010" I
1
1
1
\
一一一XI 一一一一一+一一一一一一+…十一一」一一71=
2011
飞1 X 2009 ' 2 X 2008 '
, 2009 X 1 J
一一一-一
2 . 东营市出租车的收费标准为:起步价8 元( 即行驶距离不超过3 千米都需付8
元车费) ，超过3 千米以后，每增加
l 千米，收1. 5 元(不足
l 千米按
l 千米计).某人
从甲地到乙地经过的路程是x 千米，出租车费为15.5 元，那么x 的最大值是(
)
A.11
B. 8
C. 7
D.5
( 东营市中考题)
3. 某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售
价格如下表:
蔬菜品种
西红柿
青椒
西兰花
豆角
批发价( 元/千克)
3.6
5.4
8
4.8
零售价(元/千克)
5.4
8.4
14
7.6
方
法
、
思
维
请回答下列问题:
( 1 )第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300 千克，用去了1520 元
钱，这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚多少钱?
(2) 第二天，该经营户用1520 元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售
完后所赚钱数不少于1050 元，该经营户最多能批发多少西红柿?
W
A
闲
之
美
201
时@…… (七年级
4. 甲，乙，丙，丁4 个队举行足球循环赛，每场比赛胜者得3 分，负者得0 分，平
局各得1 分，已知比赛结束后: ( 1 )4 个队的积分都是奇数，且互不相同j (2)甲队积分
第一j (3)乙队陆有两场平局，并且其中一场是与丙队平局.那么丁队得多少分?
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
也参誓窑案
l 对百言
..对于k = 2 ，3 ，…，2010 有:
1
2010"
1
k(2011 -
k)
2011 八(k 一1) (2011 -
k)
一----- ，-，一-
2011 1 \ k ' 2011 -
kJ
飞k -
1 ' 2011 -
kJ 1
-20日(τ-k~I)'
原式=zjIU+zjIT(布
1) 二茹拮
2. B
由
8 + 1.5(x -
3) 三三15工得x运8.
3. ( 1 )960 元.
(2)设批发西红柿x 千克，由(5 .4 -
3.6)x +(14 - 8)X1m J3 飞l例，得
x~三100. 即该经营户最多能批发西红柿100 千克.
4.4 个队共赛6 场，且至少有2 场平局，故总分运3 X 4 + 2 X 2 = 16.
已知甲队总分第一，并且各队得分各不相同，因此甲队积分7 分;否则，总分注l
+ 3 + 5 + 9 = 18 ，与"总分不大于16" 矛盾，所以甲队2 胜
l 平，积7 分.
202
已知乙队恰有两场平局，且积分是奇数，则必定是
l 胜2 平，积5 分.
已知丙队和乙队平局，负于甲队，且积分是奇数，因此，丙队负于丁队，积l 分.
所以丁队
l 胜2 负，积3 分.
、，、，
----、
，
心数学文化巡礼
古希腊最具影响的是大数
学家欧几里得和他的巨著《几
何原本).有一次，国王问欧几
里得学习几何有没有捷径，欧
几里得回答道"几何学中无王
者之道"这句话给人以启迪，
便长久地流传下来.
F….
几何学的产生，源于人们对
土地面积测量的需要几何的英
文羊词"Geome问r" 中的"Geo" 为
土地之意，"me句"为测量之意.汉
语"几何"术语是由徐光启和意大
利传教士利码窦合译《几何原本》
时所创建.
在古埃及和古巴比伦人的几
何学基础上，古希腊人把几何学推
进到一个新高度，坚持一切数学结
果必须用逻辑证明推出.这是古希
腊人对数学的卓越贡献，正是这种
理性精神孕育了西方科学.
从几条不言自明的公理出友，
通过逻辑的链条推导出成百上千条定理，这种思维模式是《几何原本》开创树
立的，为人们提供了将知识条理化和严密化的有效手段.
公理化思想的影响远超出了数学乃至科学领域，对人类社会的进步和发
展有不可估量的作用.
牛顿在《原理》第一版序言中盛赞几何演绎作用"从极少数原理出友，而
能推出如此丰富的结果，这正是几何学的光荣"
在《原理》中，牛顿提出了四条法则、八个原始定义、三条定理，然后通过严
密的逻辑推理，得出大至宇宙、小至沙粒的运动定律，成为近代科学理论体系
的楷模.
203
时@…
数学智慧讲堂
例1)
正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF的
位置如图①所示，点G 在线段DK 上，已知正方形
BEFG 的边长为4 ，求6.DEK 的面积.
(南宁市中考题)
A
•
分析与解
解法一
将6. DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.
如图②，延长AE 交PK 的延长线于点H ，设正方
形ABCD ，正方形RKPF 的边长分别为。，b ，
则
S ÒDEK = S 正方形ABCD + S 正方形BE陌+S 短形EHPF
S ÒADE -
S Ò CDG -
S ðPGK -
S Ò EHK
B
E
图①
= d+ 科4b 一切。+ 4)一卡。- 4)
A
R
E
H
一卡(b + 4)一卡(4 -
b)
图②
= a2 + 16 + 4b --J-d -
2a --J-d + 2a --J-b2 -
2b -
2b +土b2
2
= 16.
解法二
运用等积变形转化问题
如图③，连接DB ，GE ，FK ，则LDBA = LGEB =
45 0 ,
:.DB//GE ，得SÒGED = S Ò GEB,
同理GE//FK ，得SÒGEK = S Ò GEF ,
:, S ðDEK = S Ò GED + S Ò GEK
-
S Ò GEB + S Ò GEF
-
S 正j; If! BEFG = 16.
A
B
图③
E
K
面积计算常用到以下知识方法: 常见图形面积公式、割补、等积变形、面积比
与线段比的转化等.
平行线具有转移线摄或角、等积变形等作用，在解决许多问题时具有不可替
代的地位.等朝变形，即运用平行线，把一个三角形变形成与它本身面积相等但形
状不同的图形.
204
第29 讲
l 面积法J
几何是许多事物，甚至全部事物的原型模式无论该事物是实体的、概念的、
数学的、自然的或者建筑的，几何都是推理的最具体同时也是最抽象的体现.
'皮克公式
用水平线和坚直线将平面分成若干个边长为
l 的小正方形格子，小正方形的顶
点被称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S ，
多边形各边上的格点个数为L ，内部的格点个数为N ，S 可用N ，L 的式子表示(称为
"皮克公式" ).
例2
如图，图中6ABC 是格点二角形，其中s = 2,N =
E
D,L = 6; 图中格点多边形DEFGHI 所对应的S ，N ，L 分
D l乙:l"'- F
G
别是
.经探究发现，任意格点多边形的
A
t三
面积S 可表示为S=αN+ bL + c ，其中α ，b ，c 为常数，
~
[""
1""
I
H
则当N = 5,L = 14 时，S =
.(用数值作答)
C
B
·
分析与解
本例以阅读理解的方式，考查皮克公式的建立及应用，问题给
出了S= aN+ bL + c 这一关系，关系中含有α ，b ，c 三个待定系数，需三组S ，N ，L
的值，但现成的值只有两组，需动手画一个"格点多边形"
补f::::.ABC 为正方形，得
[ = 6b+c
7 = 3α + 10b + c,
4=α + 8b + c,
解得(α ，b ，c) =( l，-}，一1) ,
故S 二N+÷L 一l
当N= 5,L = 叫，s = 5+÷ × 14 一
1 = 11
205
灯
·
点
、
H
U
住
71
ia
t'
-
M
M
之
关
例3
直角三角形的两条直角边长分别为5 和12 ，斜边长为13 ，P 是三角形内或边
界上的一点，点P 到三边的距离分别为矶，品，矶，求dl +d2 十码的最大值和最小值，
并求当dl +d2 +dJ 取最大值和最小值时，P 点的位置.
( "创新杯"邀请赛试题)
·
分析与解
如图所示，在L.ABC 中，ζC = 90 0
,BC = 5,AC = 12 ,BA =
13 ，点P 到BC ，CA ，AB 的距离分别为矶，品，品，连接PA ，PB ，
~ A
PC ，由三角形的面积公式知:
÷ × M+÷×以+÷× IM=÷× 5 × 12 ，
即5dl + 12d2 + 13dJ = 60.
显然有5(dl +d2 + 丛) 运5dl + 12d2 + 13dJ 运13(dl + d2
+ d3 ) ,
60
故一';-~dl + d2 + dJ 三三12 .
13
飞
当品= dJ = 0 时，有dl + d2 十dJ = 12 ，即dl + d2 + dJ
取最大值时，点P 与点A 重合; 当dl = d2 = 0 时，有dl + d2
60
,
1
+dJ =一一，即dl + d2 + dJ 取最小值时，点P 与点C 重合
B
13
、I C
用面积法解题的基本步骤是:(1 )用不同方法或从不同角度计算某一图形
的面积，得到一个含边或舍角的关系式;(2)化情这个面积关系式，直至得到求
解或求证的结果.
有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及商积，但由于面积英联着边、角
两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，是就是常说街宙积法.
例4
如图，在L.ABC 中
，D 为BC 的中点，AF= 2FB ,CE= 3AE,
PE
连接CF 交DE 于点P 求一一的值.
A
206
DP
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
B
·
分析与解
恰当连线，促使面积比与线段比之间的转化是解题的关键
连接EF ，DF ，设SMDC 二X ，则SÒ CFB = 2x ，Sò臼F - 缸，SÒ EFC = 3x ,
• .S6EFP _SÒCEP_ PE
• SMPF
SÒCPD _ DP ,
• PE_S'6EFP + S/::,CEP_ S6EFC _
3x 一句
•• DP
SMPF + S/::，CPD 一瓦忑
x _
J
C
第29 讲
| 面积法J
利玛~盛赞《几何原本》之精，又陈述此书汉
译之难，徐光启说"呜呼，吾避难，难自长大;吾迎
难，难自消微，必成之"强烈的使命感、过人的勇
气、坚定的决心，溢于言表.
两千多年前的古希腊数学以几何学为中心，欧几里得的《几何原本》是集古希腊
几何学之大成
在人类与自然的斗争中，平面几何知识对人
类的生存与繁荣起着极其重要的作用，平面几何
知识不仅使人类支配自身的力量，而且优化了人
类自身的发展一一人类理性思维的进步.
明朝的277 年里，取了英文名，信了天主教，写
了一部《农政全书》的人，只有科学家徐光启一位.
万历二十一年( 1 593 年)，3 1 岁的徐光启受聘
到广东韶州教书，认识了第一个传教士朋友一一意
大利传教士郭居静，两人的相识，对于中国科学史
产生了巨大影响.
1 606 年，徐光启与意大利传教士利玛窦合作，翻译出版了《几何原本》前六卷，西
方数学开始传入中国徐光启评价该书说"此书有四不必: 不必疑，不必揣，不必试，
不必改; 有四不可得: 欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不
可得"
"此书为益，能令学理者桂其浮气，练、其精心;学事者览其定法，发其巧思，故举
世无一人不当学
"
"似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦; 似至繁，实至简，故能以其简简他
物之至繁;似至难，实至易，故能以其易易他物之至难"
←
门
叶
卜r
H
、
川
h
v
仕
仕
，
，
.
时
，
‘
.
，
，
鼠
"
'
'
'
山
川
川
之
五
207
黄东坡@…… (七年级)
数学里的点、线、面、直角、四边形……这些几何名词全都来自徐光启的翻译，从
这个意义上说，徐光启影响了400 多年的历史，惠及了世世代代的华夏子孙，必定继
续影响一代又一代的中国人.
1.如图，ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形，。是BF 与EG 的交点.
如果正方形ABCD 的面积是9cm2 ,CG = 2cm ，则6. DEO 的面积是(
)cm2•
A. 6.25
B. 5.75
C.4.50
D.3.75
(江苏省竞赛题)
F
A
A
E
(第
1 题)
(第2 题)
2. 如图，长方形ABCD 的长DC=
8 ，宽AD 二5 ，E 是AB 的中点，点F 在BC 上，
已知SÒDEF = 16 ，则点D 到直线EF 的距离为
( "希望杯"邀请赛试题)
3 小明认真研究了"皮克公式"，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行
探究，正兰角形网格中每个小正三角形的面积为
1 ，小正三角形的顶点为格点，以格
点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形网格中的两个格点多边形:
208
k --x
- -x
，、，、，、，、，、，、
，、，、，、，、，、，、
ι--"'--- ‘- -
"'- - -‘- -‘-- ‘
格点多边形
l
k --x
格点多边形2
第州
| 面积法生J
( 1 )根据图中提供的信息填写下表:
~
格点多边形各边
格点多边形内部
格点多边形
上的格点的个数
的格点个数
的面积
格点多边形
l
8
格点多边形2
7
3
...
...
...
...
一般格点多边形
α
b
S
( 2 )则S 与a ，b 之间的关系为S =
.( 用含a ，b 的代数式表示)
( 常州市中考题)
4. 如图，f:::.ABC 的边AB = 30cm ,AC = 25cm ，点D ，F 在AC 上，点E ，G 在AB
上，SðADE : S ðDEF : S ðEFG : S MGC : S ð GBC = 1 2
3 4
5 ，求AD 和GE 的长.
C
A
B
( 江苏省竞赛题)
5. ( 1 )如图①，在四边形ABCD 中，已知E ，F 是DC 边的三等分点，G ，H 是AB
边的三等分点.
求证:S山川二÷s… E
G
E
方
法
III
维
、
应
用
之
美
209
H
图①
A
黄东坡
惜你发现辈史学之去(七年级)
( 2 )如图②，在四边形ABCD 中，己知E ，F ，G ，H ，M，N ，R ，S分别是四边的三等
分点
求证:srtSMABCD
B
G
H
C
图②
(3 )请你提出类似问题.
也参警寐
l. A
连接DB ，则DB//GE ，St，80E 二St，DOE.
32
'n ~~
--'-
• r
~"
n
1"
~ ".
1
2. 了设BF 二x ，由
16 = 5 X 8 一一X 5X4 一一X 8X(5-x) 一×缸，
2
"~'"
2
4导x = 3 ，从而EF 二
5.
3. ( 1 )填表略.
(2)当。= 3,b = 0 时，S=
1
，表格中有α = 8,b = I ,S= 8;Q = 7,b = 3 ,S=
11 ，设S=αm + bn + p.
210
[8m + n + p 二8 ，
[m = 1,
λ j7m + 3n + p =
1 1，解得ln = 2,
l3m +p 二1，
lp =- 2.
:.S= α + 2b -
2.
4 . 设AD = xcmJW DF 二2xcm ，AF 二3xcm ，
又由St，AFG : SMGC =( 1 + 2 + 3) : 4 = 3 : 2 ，得FC= 2xcm ,AC= 3x+ 2x= 25 ,
故x = 5 ，即AD = 5cm.
由St，AEF : St,EFG =( 1 + 2) : 3 = 1 : 1 得AE=EG ，
由St，ACG : St,G8C =( 1 + 2 + 3 + 4) : 5 二2 : 1 ，得，AG = 2BG ,
从而AG = 20cm ,EG = 10cm.
第川
| 面积j去v
D
E
F
G
H
B
C
A
5. ( 1 )如图，连接FG ,DG ,FB ,DB ,
.: S ð EGF = S ð EGD,S ð HFG = S ðHFB ,
'.S 四边If! DGBF 二2S V4边尼GHFE
①
':DE = EF = FC,AG = GH = HB ,
:, S ð DBC = 3SðFBC,S ð DBA = 3Sð∞'A ，
'，S V4illl~ ABCD= 3 (SðFBC +
S ðDGA) ,
得SðFBC + Sð阳=÷SMBCD
( .
由①+②得S…CD 二江山H计÷s…ω ，
故S 四川GH卢÷s… 刀
( 2 )可证明O ，P 与K ，T分别是EG ，FH 的三等分点，进一步可证明S川g OPKT -
÷S山盯d而S 阳I lIi=专S lJ1Iilll~ABCD
( 3 )下面问题供参考:
如图是一个凸四边形，各边上的点都是五等分点. 请在25 小块四边形中寻找面
积等于大四边形面和」一的那一块，并加以证明.
, 25
1J
tt
纠:
、
内
用
之
夹
211
(叨:心中有数
….
心数学文化巡礼
我们处在一个信息化时代，而表达信息的重要方式之一就是数据.
在信息化社会中，我们时刻面对着扑面而来的各种数据.收集数据、挖掘数
据、分析数据、解释数据、作出判断，是现代人必备的基本素养.心中有数、数字化
生存、借助数据推断是现代人的生活状态和思维方式.
联合国教科文组织把2013 年设定为"国际统计年"数据化、信息化是当代
最显著的特征.麻省理工学院曾在《数据就是生产力》一文中说"大数据是当前
的流行术语，是技术界用来解决世界上最难处理的问题的全能方法，这个术语一
般用来描述对海量信息进行分析，从而发现规律，收集有价值的见解和预言复杂
问题答案的技巧与科学"
需要注意的是，统计虽好，用时当心.
在计数时，我们常遇到这样的情况:做合并运算时会把重复部分多算了，需
要减去;做排除运算时会把重复部分多减了，需要补上.
我们把这种"应该有的"包含进来、"不该有的飞或重复的)"排斥出去的思想
方法称为容斥原理.
设A ，B 为两类物体，属于A 的物体有IA
I个，属于B 的物体有IBI个，既属于A
又属于B 的物体记为An B(读作A 交剖，有IAnBI个，把属于A 或属于B 的物体记
作AUB( 读作A 并B ) ，则I AUBI = IA I+IB 卜I A 门BI.
如图，我们可以得到下面公式的直观解释.
IA, UA2 UAJI= lAd+ 陆1 + 问1- 1A，nA2卜lA ，nAJI
-1A2nAJI+IA, nA2nAJI
-A 1 nA ，门A J
212
泞A
,
-、，
第30 讲
l 心中有数υ
大数据是当代社会的根本特征，是下一个社会发
展阶段的"石油"和"金矿"
大数据正改变着人类的思维方式:从对精确性的
苛求，转而追求混杂性;从对因果关系的追求，转为对
相关关系的发现
z飞数学智慧讲堂
某企业有5 个股东，100 名工人.在年底公布经营业绩，如下表所示:
2014 年
2015 年
2016 年
股东红利
5 万美元
7.5 万美元
10 万美元
工资总额
10 万美元
12.5 万美元
15 万美元
告IJ 1
现在请大家分析根据此表的数据所画的三种因
千美元
份
红
资
呻
)
股
工
川
画
/
-
J
Y
一
一…
…
0
斤
u
、
气
4
20
10
增长率
只
股红
/仁对工资
142015 2016 年份
②(工会主席所画)
200%
150%
100%
万美元
份
资
红
+
年
)
工
股
一
刊
画
A
:
·
·
:
l
i
l
i
a
-
-
2
所
/
/
一
巴
板
•
....
1
e
·
e
·
-
-
一
却
老
/
'
'
:
γ
'
'
-
M
①
2
图
15
A
υ
···A
5
方
法
'也、
维
、
耐
用
之
美
，
分析与解
的角度可以不同.
图①表示股东红利总额，工人工资总额与时间的关系; 图②表示股东红利增长
率、工人工资增长率与时间的关系; 图③表示股东人均红利、工人人均工资与时间的
关系.
图①是老板所画，"有福共享，有难同当
，股红工资平行增长"; 图②是工会主席所
213
数字的结果对谁都一样，但运用数学方法的出发点、解释数据
时@ 俯…
画，"股红翻了一番，工资只增加150% ，所以工资应该增长得快些"; 因③是一位工人
所画
，股东的红利从
l 万美元增至2 万美元，工人的工资从1000 美元增至
1500 美
元，工资太低了
以上的三种说法，都是根据数据的"实话实说"，没有造假，因此都有理.没有好坏
之分，只有角度不同.何者合适，全凭自己的立场而异.
康托尔(
1 845- 1 9 1 8) ，德国数学家，集合论的创
始人，集合论被公认为全部数学的基础. 1926 年希尔
伯特称赞康托尔的超fR数理论是"数学精神最令人惊
羡的花朵，人类理智活动最精美的成果..
例2
某校100 名学生在一次语、数、外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39 人，参加
数学竞赛的有49 人，参加外语竞赛的有41 人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的
有14 人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13 人，既参加语文竞赛又参加外语
竞赛的有9 人，有
l 人三项都没有参加，问三项都参加的有多少人?
，
分析与解
设三科竞赛都参加的有x 人，注意问题
中包含与排除的关系，用恰当的图形分析参加各科竞赛人数
之间的关系，形象而直观.
如图，用集合思想分析参加各科竞赛人数之间的关系
由题意得3 9+ C 22+x)+03-x)+0 9+x)+ 1 = 100,
解得x = 6.
( 河南省竞赛题)
例3
某校共有学生900 人，其中男生528 人，高中学生312 人，团员670 人，高中男
生192 人，男团员3 36 人，高中团员247 人，高中男团员
175 人. 试问这些数据统计
有无错误?
214
第30 讲
| 心中有数U
分析与解
设I 是某校全体学生组成的集合，A ，B ，C 分别表示该校男生、
高中生、团员组成的集合于是由题设得
111= 900 ,1 A 1= 528 ,1 B 1= 312 ,1 C 1= 670,1 A nB 1= 192,1 A n C 1= 336,1 Bn
C
I 二247 ，1 A n B n C 1 = 175.
这样该校中不是男生、不是高中生、又不是团员的学生组成的集合应是AnBn
C ，于是应有
IAnBnc 1= 900-( 528 + 312 + 670 )+( 192 + 336 十247)一
175 二
10 < O.
事实上，统计学生人数绝不可能是负数，这说明了统计的数据必有错误.
"蓝蓝的天上白云飘，白云下面数据跑"
奥斯卡获奖影片《在云端》展示了当代人"云端生活"
的场景.
在云时代，人类与云的距离不再需要仰望天空，而只
需鼠标轻点，指尖滑过;在云时代，云端之上不再是神明，
而是内涵丰富的数字。和l
"无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来"
"元穷"曾是数学绕不过的"坎"，而创立集合论的康
托尔是第一个正面进攻
苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫曾说"康托尔的不朽功绩，在于他敢于向无穷的
冒险迈进，对似是而非之论、流行的成见、哲学的教条等作长期不懈的斗争，由此便
也成为一门新学科的创造者，这门学科今天已成为整个数学的基础"
向数学之美探寻
l. 今年某班有56 人订阅过《初中生数学学习~ ，其中，上半年有25 名男生、15 名
女生订阅了该杂志，下半年有26 名男生、25 名女生订阅了该杂志，有23 名男生是全
年订阅，那么，只在上半年订阅了该杂志的女生有
名.
方
法
(江苏省竞赛题)
2. 40 位学生参加数学奥林匹克竞赛，他们必须解决一个代数学问题、一个几何
学问题以及一个兰角学问题. 具体'情况如下表所述:
思
维
、
应
用
之
美
215
时@ …… (七年级)
问题
解决问题的学生人数
代数学问题
20
几何学问题
18
三角学问题
18
代数学问题和几何学问题
7
代数学问题和三角学问题
8
几何学问题和三角学问题
9
其中有三位学生一个问题都没有解决，则三个问题都解决的学生人数是(
A. 5 位
B.6 位
C.7 位
D.8 位
(复旦大学自主招生试题)
3. 某电视台为了解A 、B 、C二个特色栏目的收视情况，向28 位观众进行调查，调
查后得知:每位观众至少收看了其中的一个栏目;没有收看栏目A 的观众中，收看栏
目B 的人数为收看栏目C 的两倍;在收看栏目A 的观众中，只收看栏目A 的观众人
数比除了收看栏目A 之外同时还收看其他栏目的人数多
l 人;只收看一个栏目的观
众中，有一半没有收看栏目B 或栏目
c. 求栏目A 的收视率
(吨数学周报》杯"全国初中数学竞赛题)
4. 某班有50 名同学，期末考试优秀的学生人数及科目如下表:
一科
两科
三科
科目
数
外
1吾
数、语
数、外
语、外
数、语、外
人数
32
31
29
16
17
18
10
这里，一科优秀者包括两科、三科优秀者，两科优秀者包括三科优秀者.试说明上
述统计表有错误.
( "创新杯"竞赛试题)
216
第30 讲
! 忡有数i
参警备案
C
1. 3
如图，用左右两个圆的内部分别表示上半年和下半年订阅该杂志的
人数，设全年订杂志的女生有x 人，
则(15 - x)+ x +(25 - x)= 56 一(2 + 23 + 3) ，解得x = 12.
故只在上半年订杂志的女生有
15 -
x = 3( 人).
女生
男生
2. A
令A = 1 解决代数学问题的学生
f ，B 二| 解决几何学问题的学生
f ，c=
| 解决三角学问题的学生
f ，
则IA 门Bn Cl二IAUBUCI 一
(IAI+IBI+ICI) + (IAlnIBI+IAlnICl+IBlnICl)
=( 40 -
3) 一(20 + 18 + 18)+(7 + 8 + 9)= 5.
3. 设只收看A ，B ，C 三个栏目的观众人数分别为x ，y ，z ，没有收看栏目A 而收
看栏目B 和栏目C 的人数为m ，不只收看栏目A 的人数为n ，如图所示:
y+m 二2(z+m)
，
则jn = x ~ 1
x=y 十z ，
x + n + y + m + z = 28 ,
58
由y-2z=m 二三0 ，得9y -
58 二三0 ，二y注9;
4导z = 29 -
4y ,
29
由29 -
4y = z 二三0 ，得'y运丁l .
γy 为整数".y = 7,
从而z=
l
，x=8 ，n=7 ，m 二
5.
x + n" '^^" '
15
故栏目A 的收视率为一一一X 100%= ,:.;:: X 100%=53.6%.
28 ".
v
v , u
28
方
法
、
应
用
之
美
、
t
A
L
k
b
!l
I
d
&
主
217
4. 如图，A ，B 、C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀
学生的集合，而α ，b ，c ，… ，j，g 则依次表示各类优秀学生的
人数.如g 表示数、外、语兰科均优秀的学生人数，f表示语、
外两科优秀而数学不优秀的学生人数.
时也47…以(七年级)
。+ d + e + g = 32,
b+e+f+g 二3 1，
c + d + f + g = 29,
则le 十g = 17,
d+g=16 ,
+ g = 18,
g = 10.
解得α=9 ，b=6 ，c=5 ，d=6 ，e=7 ，f=8 ，g=lO
故。+b+c+d+e+f+g=51 ，说明数、外、语三科中至少有一科优秀的
学生共有51 人.而全班仅有50 人，故统计有错误.
218
图
的
无
二
、
J
I
V
-.
G? 数学文化巡礼
不著一字，尽得风流.
从毕达哥拉斯的数形图、赵爽弦图，到
1977 年美国发射的旨在寻觅茫茫太
空中地球外文明的太空船上所携带的礼物，一幅幅看似简单的图形，却承载着丰
富的信息.
阿贝尔被视为挪威民族英雄，挪威皇宫有其一尊雕像，这是一个大无畏的青
年形象.
阿贝尔从下面图形中得到应用广泛的阿贝尔恒等式.
al
al
bl
b3
。lb 1 + a2b2 + α3b3 = al(bl -
b2)+(al + a2)(b2 -
b3)+(al + a2 + α3 )b3
拼图(或分割图形)，即把所给图形以不同方式拼成新的图形.把图形面积用
不同形式的代数式表示，若拼图前后图形面积相等，则相应代数式的值也相等.
拼图形象地揭示了代数式的关系，展示了数与形的联系，其直观作用体现
为:验证代数等式、不等式，证明几何定理.
无言的图形，形象的直观，创造的源泉.
著名数学家阿达玛写道"在创造阶段，科学家的思维载体往往是各种各样
的，因人因事而异的符号、图标或其他形象，亦即此时的思维方式是形象的和直
觉的，而不是逻辑的"
219
黄东坡
.:;~你发现敛节之采(七年级)
1824 年，
22 岁的挪威数学天才阿贝尔(1802一
1829 )证明了一般的五次及五次以上的一元方程不可
能有根式解，终结了近300 年的疑问.
队数学智慧讲堂
例。
如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3 个
正方形和2 个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住
房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长
的图形的标号为(
)
A ①②
B. ②③
c. ①③
D . ①②③
图①
( 宁波市中考题)
分析与解
根据图形依存关系，恰当引元，建立方程组.
如图，设原住房平面图长方形的周长为刀，①的长和宽分别为α ，b ，②③的边长
分别为c ，d.
a
C
fa = c + d (,
1
::
b
根据题意，得lc=b+d
②，
la + b + 2c = 1
③，
c |
②
由①一②得α 一c = c -
b ，即2c =α +b
将。+b= 2c代入③，得4c=l ，即2c=÷l ( 定值)，
将2c =÷l 代入。+b =
+b川)= 1川( 定值)入,
而由巳列方程组不能确定d ，
二分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②.
故选A.
C
。
图②
根据几何图形的排列规律和构成特点，并结合图形的性质，构造方程组解拼
图问题，我们可体会华罗庚常说的"数无形时少直观，形少数时难入微"的要义.
220
b
第叫
| 无言的图形J
例2
如图，13 个边长为整数的正方形纸片恰好拼成一
个大长方形(其中有3 个小正方形的边长为己标出的字
母x ，y ，z) . 试求满足上述条件的长方形面积的最小值.
分析与解
恰当设未知数，由图形的结构发现
隐含的数量关系是解题的关键.
如图，由三个小正方形边长x ，y ，z 可分别表示出其
余正方形的边长，则有
illx 十3y = 7x + 16y -
z
①
8x + 8y -
3z = 6x + 5y + z
(
,
消去z 得18x = 49y ,
4x +4y -
:
γ(18 ，49)= 1
，λ x = 49 ,y = 18 是最小的整数解，于是z = 38
从而长方形面积的最小值为593 X 422 = 250246.
5x - 2y + ::
例3
阅读下列文字:我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可
以得到一个数学等式，例如由图①可以得到(α+2的(a + b) = a2 + 3ab + 2b2 • 请
回答下列问题:
( 1 )写出图②中所表示的数学等式
(2)利用( 1 )中所得到的结论，解决下面的问题:已知。+ b + c = 11, ab + cb
+ ac = 38 ，求矿+ b2 + c2 的值;
(3 )图③中给出了若干个边长为。和边长为b 的正方形纸片，若干个长为。、宽
为b 的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到
数学公式:2α2 + 5ab + 2b2 = ( 2α+ b)( α + 2b).
b
c
。
b
b
;H
a口5Jb
c I I
Ic
。己山b D b
b
b
。
L....J.__
。
b
C
图①
图②
图③
221
}j
it
alL1乌I、
W~
、
M.
111
之二
J~
黄东坡@…… (七年级)
•
分析与解
( 1 )根据题意，大长方形的面积为:(a + b +
c )(a + b + c) 二(α +b+C)2 ，
。
各小长方形部分的面积之和= d + 2ab + b2 + 2bc + 2αc+ b
2
c-,
λ 等式为(α +b+C)2= α2+b2 +c2 +2αc + 2bc + 2ab.
(2)d + b2 + C2 二(α + b + c? -
2ab -
2ac -
2bc = 11 2
2 X 38 = 45.
(3)如图所示
算两次，即对同一个"量
可得到相等关系.
b
ααb
b
b
ααb
算两次
. . ..
为了得到一个方程，须把同一个量以两种不同的方
法表示出来;对同一图形，从不同角度计算面积可推得
代数恒等式
横看或竖看，从局部到整体，"算两次"方法在检验
计算结果、布列方程、推导代数等式、几何证明等方面应
用广泛-
1998 年第23 届国际数学家大会在德国的柏林召
开，右图是德国邮政发行的纪念邮票，邮票的主图是
"矩形求方"问题的一种解法，衬底图案和边纸上都是
无理数π的小数形式.
1923 年，有人提出如下问题: 一个矩形能否被分
割成一些大小不等的正方形?
1925 年，数学家莫伦首先成功地把一个33 X 32
的矩形分割成9 个小正方形(称9 阶) ，这种矩形称为
"完美矩形"
1938 年，剑桥大学的四位大学生也开始研究这类问题，他们把
路网络中的基尔霍夫定律联系起来，并借助于图论方法寻找，奠定了这个问题研究
的理论基础.
"完美矩形"的存在，诱发人们去寻找完美正方形，1978 年，荷兰数学家杜依维斯
廷利用计算机找到21 阶的完美正方形，并证明了:低于21 阶的完美正方形并不存在
222
向|数字之美探寻
第川
! 无言的图形J
1. 有3 张边长为α 的正方形纸片，4 张长为b ，宽为α (b>α)的长方形纸片，5 张
边长为b 的正方形纸片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些
纸片拼成一个正方形(无空隙、无重叠地拼接) ，则拼成的正方形的边长最长可以为
A. a 十b
B . 2α + b
C.3α + b
D. a + 2b
2. 把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片( 如图①)不重叠地放在一个底面
为长方形( 长为mcm ，宽为n cm )的盒子底部(如图②) ，盒子底面未被卡片覆盖的部
分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是(
)
A.4mcm
B. 4n cm
C. 2(m + n )cm
图①
D. 4( m -
n)cm
3. 如图，长方形ABCD 中放置9 个形状、大
A
小都相同的小长方形(尺寸如图) ，求图中阴影部
分的面积.
( << 时代学习报》数学文化节试题)
4 . 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也
可以解释不等式的正确性.
(1)根据如图所示图形写出一个代数恒等式;
(2) 己知正数α ，b ，c 和m 爪，1 满足α +m=b+n
= c + 1. 试构造边长为k 的正方形，利用图形面积来说
明。1 + bm + cn < k!.
(湖北省荆州市竞赛题)
图②
C
b
4一一一-
a_,__O_
b
11
α
b
-- h-
4一一- a 一一一+
方
沾
、
川
心
维
山
川
之
山
h
u
k
223
时@ Mt发现… ( 七年级)
。参害爸案
l. D 正方形的面积是由矿，础，b2 组成的完全平方式.
2.B 设小长方形的长为α，宽为b ，
..上面的阴影周长为2( n - a + m -
a) ，下面的阴影周长为2(m -
2b + n 一
2b ),
二总周长为4m + 4n -
4(α + 2b).
又':a + 2b = m ，λ 4m + 4n -
4(α + 2b)= 4n.
故选B.
3. 设小长方形的长，宽分别为x ，y.
[3y + 7 = x + 2y,
h.n"'" [x = 10,
由图得{
解得{
lx + 4y 二
22 ，
, ., ' - ly = 3
:.S 阴路二22 X (7 + 3 X 3)- 9 X 3 X 10 = 82.
4. (1) (α+ b )2 -(a - b)2 = 4ab.
(2) 构造正方形，使其边长等于α +m=b+n=c+l=k
(。手b芋c ，
m手n手1)
，如图所示(答案不唯一) ，显然有α1 + bm + cn < k'.
C
C
b
n
224
(够) 杨辉三角
-一.
心数学文化巡礼
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式
如右围所示，其中每一横行都表示( a + b )n( 此处n = 0,1,
1 1
1 2 1
1 3 3 1
2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 的展开式中的各项系数.杨辉三角最本质的特征
是:它的两腰都是由数字l 组成的，其余的数则是等于它"肩"
上的两个数之和.
1 464 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
( α + b )O = 1
( α+ b)l = α +b
(a + b )2 = d + 2ab + b2
(α + b )3 = d + 3db + 3ab2 + b3
( α + b )4 = a4 + 4db + 6db2 + 4ab3 + 扩
( α + b )5 = a5+ 5db + 10aW+ 10aW+ 5a扩+扩
(a + b Y = d + 6a'b + 15aW + 20db3 + 15α2b4 + 6ab5 + b6
杨先军，中国南宋时期杰出的数学家，大约在13
世纪中叶至未叶生活在钱堵(今杭州)一带他一生
著作很多，著名的数学书共5 种21 卷. 大家熟悉的
"杨挥三角"数和￡在1261 年的《详解九幸算法》一
书里记载着，他还在《续古才离奇其法》中介绍了各种
形式的"纵横图"及有关的构造方法.
利用杨辉三角，我们可以直接写出( α+ b )1 、11 5 的展开式.
马
_,
数学家们曾研究过各种正整数在杨辉三角这个无限大的数阵中出现了多少
次，奇怪的是数学家们找不到在杨辉三角出现的次数超过8 的正整数. 1971 年，
英国数学家大卫·辛马斯特猜测:存在一个正整数N，使得每个大于
1 的正整数
225
黄东坡
'a~你2主观数字之夫(七年级)
在杨辉三角中出现的次数都小于等于N.
寻找公式的渴望是数学和科学发展的驱动力，公式使理论获得可信性，并建
立起解决问题的一种模型.
来法公式是在多项式来法的基础上，将多项式来法的一般法则应用于一些
特殊形式的多项式相来，得出既有特殊性又有应用性的具体结论.
:飞数学智慧讲堂
例
1)
计算: ( -
2014)2 + 2 X (- 2014) X 2013 +( -
2013)2 + 2 X (- 2014)+
4026 等于(
)
A. l
B.O
C. -
1
D. 2
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
·
分析与解
观察式子结构特点，利用字母表示数简化问题
设x = 2014 ,y = 2013
，则x-y=l
，
λ 原式= x- - 2xy + l - 2x + 2y
= (x -
y) 2 -
2 (x -
y)
=1 一2
故选C.
1主
整数问题常是妙趣横生又令人思考的，若对整数作一些特殊的规定，就会得到
一些特殊定义的新数，并由此产生令人思考的问题.
我们规定:若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数
称为
请思考:在自然数列中，从数
l 起，第2却00∞0 个
·
分析与解
要确定第2000 个"智慧数"，应先找到"智慧数"的特征及分布
226
第四
l 杨辉三角莎
规律.
因为2k + 1 = ( k + 1 )2 一厅，显然，每个大于4 ，并且是4 的倍数的数也是"智慧
数" ，由此可知，被4 除余2 的偶数都不是"智慧数"
所以，自然数列中最小的"智慧数" 是3 ，第2 个"智慧数" 是5 ，从5 起，依次是
5几8;9 ，11 ，12; 13,15,16; 17 ，19，20; …，即按2 个奇数，一个4 的倍数，三个一组地依次
排列下去，根据这个结论，我们容易知道:因为2000 = 1 + 3 . 666 + 1 ，所以第1999
个"智慧数" 是4 . 666 + 4 = 2688 ，故第2000 个"智慧数" 是2689
19IJ 3 26 = 5' + 1' ,53 = 7' + 2' ,26 X 53 = 1378, 1378 = 37' + 3'.
任意挑选另外两个类似26 、53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两
个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?
·
分析与解
从实验入手，然后给出一般情形的证明.
设m= 矿+ b' , n = c' + d ' ,
则mn = ( a' + b')(c' + d ')
= a'c'+ b'd'+ bγ + d d '
= dc' + 2αbcd + b'd ' + b'c' -
2abcd + α'd '
= (ac + bd )' + Cbc - ad)' ,
或mn = ( ac -
bd )2 + Cbc + ad)2.
例9
有n ( n 二三2 且为整数)名乒乓球选手进行单循环赛，每名参赛选手同其他各选
手都进行一场比赛，如果用矶和b; 分别表示第i( i = 1 ，2 ，… ，n )名选手在整个赛程
中胜与负的局数，求证:α~+α~+ "
' + a~= b~+N+ . . . +g
(黄冈市竞赛题)
·
分析
由于是单循环赛，每名运动员恰好参加n 一
1 局比赛，即α; +b; =
n 一
1 ( 其中
i = 1,2,… ,n )，在比赛中一人胜了，另一个人自然负了，则。1+ 仇+ …
+ 仇= bl + b,+…+ bn ，这两个隐含的条件是证明本例的关键，从作差比较入手.
解
由题意知a; 十b;= n 一
1 ( i = 1 ，2 ，… ，n )且al+α，+ … + an= bl + b, +…
十bn •
.: ( a~ +a~ + '" +a~) 一( b~+ b~ + ... +b~)
=( a~ - M
) +(a~- bD+ ... + Ca~- b~)
=( al + b l )( α1 - bJ+Cα， + b2) Ca, -
b,) + … +(仇十bn )(an - bn)
227
H
沾
、
川
心
鲸
山
川
川
之
先
黄东坡@ mt发现… (七年级)
= (n 一
1 )[ (al -
b,)+ (az -
bz) + …+ (an -
bn ) ]
=(n 一
1 )[ (α1 +α2 十…十仇)-(b ，+ bz 十… + bn ) ]
= 0 ,
二a~ +a~+ … +a~=b~ +b~+ …+时.
让欧拉想了13 年的等式.
在印度上婆萝摩集乡的《婆罗摩修正历数书》中记有问题:
可Rf辆平方鼓和囊示晴雨自然数之积，该自然数之积仍可用两平方数和
来表示.
追问: 三个导方敷和或国个平方数和是否有类似的结论?
三个平方数和表示的情形，人们却没找到类似的，只是发现:
(tI + t卢+:t?Xr+ ÿ + zl )=( ax 一炒一cz 'l +(咿+ bx'l + (az +
cx沪+(h - cy'l.
对于四个事穿戴和表京的情形，1730 年欧拉开始接触该问题，潜心研究
13 起舜，终晋察~~每载到下面的一个公式:
问;俐做个材于内z + ，; )自(ar+ 6.f + ct+ 时+<ω
br ~专dì ι甜苦
恼f~乙二驰午。-tb 'l +(au 十bt-cs ~ r:b子.
活着同卢历史l索，λ们从一个简单的问题出发奔向复杂的情形，这正如
美国数学教育家告费尔德所说. ..求取解答并继续前进
"
帕斯卡( 1 623一1 662 )，法国天才数学家，1 6 岁时
写成《圆锥曲线论} ，
1 9 岁时制造出世界上第一台数
字计算器，为概率论、射影几何作出了杰出贡献.
"人是有思想的芦苇"，这是帕斯卡的至理名言.
1653 年，法国数学家帕斯卡在其著作《论算术三角形》中展示了(x 十
1 )n 的系数
表，这个三角形也称为"帕斯卡三角形"
帕斯卡、笛卡尔、费马、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、傅立叶、泊松、柯西、伽罗华、
庞加莱、韦伊、嘉当等，法兰西民族源源不断地诞生了众多伟大的数学家，法国人也
以此为傲，仅巴黎以数学家命名的街道、广场、车站等就有百余处巴黎二十个街区
是以阿拉伯数字命名，并以平面几何学中的双曲螺线为序排列.
228
第剧
! 杨辉三角υ
巴黎的二十个街区
数学是法国传统文化中最优秀的部分.
帕斯卡名著《思想录》被称为法国第一部散文杰作，可以说是一部基督教的诗.
请看帕斯卡关于空间和时间的冥想:
当我想到有限的生命时间，
不过是自然界无止境的时间长河中的刹那;
当我冥想简促生活的空间，
仅只是广阔无边空间的一小角落.
我不禁寒悸.
同时又为我何生于此时而不是无穷的他时，
活于此而不是宇宙另一处所而诡异不已.
向|戴学乏美探寻
方
法
l2_ 22+ 32-
42+ 52-
62+ …+ 972-
982+ 992一1002
l 计算:
一
l 十2+3 + 4+5+ … + 97 + 98 + 99 + 100
( "希望杯"邀请赛试题)
2. 已知~+1+4=2x+xy+ 纱，那么~y 的值是(
)
A. 2
B. 0
C. 6
D. 8
( "华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
'Ci、
纠Ì;
、
应
用
之
美
229
3. ( 1 )填空:
(a - b)( α 十b) =
(a -
b)( a2 + ab + b2 ) =
(α- b)( a J + a2 b + ab2 + 扩)=
时每善川剧肌采(七年级)
(2)猜想: (a -
b )(an- I + an- lb +… + abn- l + bn- I )=
整数，且n 主主2)
( 3)利用(2)所猜想的结论计算:
29 -
28 + 27 一…十23 -
22 + 2.
4. 观察下列式子:
1 X 3 X 5 X 7 + 16 = 112,
2 X 4 X 6 X 8 + 16 = 202,
3 X 5 X 7 X 9 + 16 = 312.
( 1 )根据你发现的规律写出接下来的一个等式:
(2)你能用自然数n 的代数式写出一个一般性的等式吗?
( 3)计算:2006 X 2008 X 2010 X 2012 + 16.
(其中n 为正
(内江市中考题)
(深圳市"启智杯"数学思维及应用能力竞赛试题)
也参赞案
230
1.一1.
2.D
由条件得2r + 21 + 8 -
4x -
2xy -
4y = 0 ,
即(x -
2)2 + (y -
2)2 +(x _ y)2 二O ，x = y = 2，故x沙= 8.
3. (1 )a2 -
b2 ; 矿- b3;a4 -
b4•
(2)矿- bn •
(3 )原式= 29 -
2 8 十27 _.. . + 23 -
22 + 2 一
1 + 1.
=-}[2 一(一1) J[ 29 一28 十2 7 一
+2 一
1 J+ 1
=÷[210 一(一
1 )IOJ+ 1
= 342.
4.(1)4 X 6 X 8 X 10 十
16 = 442.
(2 )n (n + 2) (n 十4 ) (n + 6) + 16 = (n2 + 6n + 4)2
或(n -
3) (n 一
1) (n + l) (n + 3)+ 16 =(n2 -
5)2.
(3)原式= (20092 -
5)2.
一‘，
、-、-__-、
飞;》数学文化巡礼
-.
春秋时期，卫灵公邀请孔子给卫国的群臣们讲"德"，君臣们听得玄乎不知所
云，孔子瞥见卫灵公左右簇拥着许多美女，就用"君子好德如好色"来形容卫灵公.
把"喜形于色"用于解题，即把问题的对象恰当染色，以便观察、分析对象之
间的关系，通过对染色图形的分析达到解决原问题的目的，这种解决问题的方法
叫染色法.
染色法是一种形象化的分类讨论.
象棋棋盘的网格是最直观、最常见的染色模型.
游戏与数学密不可分.
数学游戏为许多古老和新兴的学科，如图论、拓扑学、博弈论、概率论、组合
数学等提供了素材，促进了这些学科的诞生与发展
阿基米德的"群牛问题"和中国的"百鸡问题"促进了不定方程理论的发展，
欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究直接导致图论的创立，概率论起源于一个关
于赌博的游戏，合理分配赌注问题成为概率论创立的基本问题之一.
马丁·伽德纳( 1914-2010) ，名声显赫的业余数学
大师、魔术师、怀疑论者，他曾经为《科学美国人》杂志趣
味数学专栏写作长达30 年.伽德纳没有数学博士学位，
但是他的作品能让广大普通读者和数学家为之着这.
231
时@…… (七年级)
;飞数学智慧讲堂
'俄罗斯方块
例ν
游戏机的"俄罗斯方块"中共有下面7 种图形，每种‘万块"都由4 个
1 X 1 的
小方格组成. 现用这7 种图形拼成一个7 X 4 的长方形( 可以重复使用某些图形).
问: 最多可以用这7 种图形中的几种图形?
「T丁
I I I
I I I
I I I
白内内n
分析与解
用其中的6 种不同的图形方块可以拼成7 X 4 的长方形，方法
很多，如图①，仅展示一种.
下面证明不能7 种图形方块都用一次. 将7 X 4 的长方形的28 个小方格黑白相
问染色，则如图②所示，黑、白格各14 个. 若7 X 4 的长方形能用7 个不同的方块拼
成，则每个方块用到一次且只用一次，其中" 品" 字形如图③，必占3 个黑格
l 个白格
或3 个白格
l 个黑格，其余6 种方块各占2 个黑格2 个白格. 7 个不同的方块占据的
黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14 ，矛盾.因此，不存在7 种图形方块每个
各用一次拼成7 X 4 的长方形的方法.
所以，要拼成7 X 4 的长方形，最多可以用这7 种图形中的6 种.
h
图①
图②
232
第33 Ì'井
喜形于色J
再见，俄罗斯方块.
2014 年的最后一天，Game Boy 版《俄罗斯方块》从任天堂商店中下架，
这意味着，这款经典游戏从此退出历史舞台.
自
1986 年诞生于苏联，{俄罗斯方块》迅速风靡世界，并获得9 项吉尼斯
世界纪录.
《俄罗斯方块》留给每代人不一样的回忆.
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如图，棋子"马"能存从图中的位置出发，不重
4
复、不遗漏地走遍半张棋盘(即每一点都走到，并且
只走一次) ，并回到出发点? 如果能，请给出走法; 若
不能，请解释其中的原因.
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分析与解
"马" 走" 日" 字，每走一步有多种选择，走完半张棋盘可能出现
的情况十分复杂，故从实际操作入手较困难
将半张棋盘中的45 个格点进行黑白相问染色( 如图) ，由于棋盘中共有45 个格
点，黑点数与白点数不可能相等，图中共有22 个0 和23 个e . 因为马走" 日" 字，每
步只能从O 跳到e
，或由e 跳到0
，所以马从某点跳到同色的点( 指0 或e
) ，
要跳偶数步; 跳到不同色的点，要跳奇数步.现在马在. 点，要跳回这一点，应跳偶数
步，可是棋盘上共有点23 + 22 = 45( 个) . 不可能做到不重复地走遍所有的点后回到
出发点.
进一步思考: 棋子"马" 能否从图中的位置出发，不重复、不遗漏地走遍整张棋盘?
( 可以不回到出发点)如能，请给出走法; 如不能，请说明理由
运用染色的方法，寻求"马" 的位置的变化规律，进一步得到"马" 回原位的非操作
方法来解决问题，或者通过思维操作来解决问题.
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233
时@ 川
国际象棋棋盘中，交替染色是最直观最常见的染色模型.通过对对象的
染色，对象间隐含关系变得明朗.当基本的交错染色方法失效时，寻找新的染
色方法是解决问题的关键.
如俄罗斯数学家罗巴切夫斯基说"任何数学分支，无论怎样抽象，总有
一天可被应用于观察世界的各种现象"
证明:任何6 个人中，必有3 个人互相认识，或者有3 个人互相不认识.
(匈牙利数学竞赛题)
分析与解
借助图表示这一抽象的思想
用点A"A 2 ，… ，A 6 代表6 个人，两个人互相认识则
在对应的两点问连一条红边，否则连一条蓝边，问题转
化为图中必有三边同色的三角形.
考虑A ，与5 条引线，因为只染了两种颜色，由抽
屉原理知必有3 条同色，不妨设A ，A 2 ，A,AJ, A ，A . 同为
红色，如图所示; 若AzA J ，AzA., A.A 2 中有红边，则有红
色LA ，AAj (2运人j运4 ); 若AzA J ，AzA., A.A 2 无红边，
则LAzAzA. 为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同
色三角形.
AJ
例3 是拉姆赛理论的简单化、具体化.拉姆赛理论是一个高深的数学逻辑
问题，它的核心内容是任何一个足够大的结构中必定包含有一个给定大小的
规则子结构、"世界上完全的无序是不可能存在的"
234
染色问题的解决和染色方法的运用，常与构造性、奇偶分析、反证法、抽屉
原理等方法联系，需要的不是较多的数学知识，而是缤密的思维和较强的推理
能力.
A.
各有(
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第附
! 喜形于色i
拉姆赛(1903-1990 )，英国剑桥大学的一位年轻放学家
和逻辑学家，著名的经济学家，他提出了著名的拉姆赛理论.
数学游戏承载着朴素的数学原理、思想方法，促进了数学知识的传播，深入洗出、
迷人有趣是数学游戏的基本特征.在人们相互传诵游戏的过程中，相关的数学知识、
数学思想方法传送、滋养着莘莘学子火柴棒游戏、七巧板拼图游戏、斐波那契兔子
问题、24 点游戏、剪纸活动等经典数学游戏，历经千年而不衰，成为传播数学思想方
法的重要载体.
美国著名科普作家马丁
· 伽德纳曾在科普杂志《科学美国人》上主持过"数学游
戏"专栏，内容包罗万象，影响深入而持久. 他的工作特点是把许多数学知识、数学思
想方法寓于有趣的故事和游戏之中，这些寓教于乐的作品让无数人沉醉于数学乐园
之中.马丁
· 伽德纳曾说"唤醒学生的最好办法是向他们提供有吸引力的数学游戏.
智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西"
一位著名的物理学家评价他说"他把无数青少年引进了数学的殿堂，以数学本
身所具有的魅力吸引他们将之作为终身职业，真不愧是这门学科迄今为止最出色的
宣传家、推销员、带路人和牧师"
从1956一1986 年，马丁·伽德纳在《科学美国人》杂
志上主持"数学游戏"专栏整整30 年，全世界的数学爱好
者无不被他生动活泼的数学科普文章所倾倒，他的工作
不是一种难登数学这个"大雅之堂..的日常娱乐，而是联
系数学与社会大众的一条金色纽带.
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235
黄东坡
.:tí 你友月4 数字之夫(七年级)
向数学之美探寻
1.高莫端，当代应用数学家，美国国际商业机器公司
( IBM )的研究人员.20 世纪60 年代，在运筹学"线性整数
规划"问题研究上，因提出"割平面法"而闻名.
他曾对下面问题感兴趣:
如图是由
14 个边长为
l 的小方格组成的残棋图，你
能否把它剪成七块
1 x 2 的小长方形?
2
己知一个高为
50cm ，底面周长为
50cm 的圆柱，在此圆柱的侧面上划分( 如图
所示)边长为1cm 的正方形，用四个边长为
1cm 的小正方形构成''1' 字形，用此图形是
否能拼成圆柱侧面?试说明理由.
(国际数学奥林匹克竞赛试题)
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3. 在立方体表面上作一条有8 段的闭合折线，折线的折点和立方体顶点重合.
问这根折线最少能有几段和立方体的棱重合?
(俄罗斯萨温市竞赛题)
236
第叫
| 喜形于色J
。参警备案
l. 先将棋盘如下图那样白黑相间地染色.若能剪下7 个
1 X 2 的小长方形，它
们每个都应该是一个白格和一个黑格组成，但图中有6 个白格，8 个黑格，它们数目
不相等，故剪成7 个
1 X 2 的小长方形，根本不可能.
2. 因为圆柱侧面是50 X 50 的正方形，将其黑白相间染色，则黑格与白格各有
偶数个，又因为每个'1"字形含有3 个或
l 个黑格，若能用‘1" 字形纸片拼成50 X 50
的正方形，则需要(50 X 50 )74 = 625( 个)"T' 字形，而625 个'1"字形含有奇数个
黑格，矛盾，因此不可能拼成.
3 . 为了说明问题，可以把立方体的顶点分别涂成黑点和臼点，如国际象棋棋盘
那样黑白交替. 8 个顶点将会有4 个黑点和4 个白点，而且每条棱的端点都是不同色
的如果折线各段都只和面上的对角线重合，那么折线的所有折点都将是同一颜色，
这就不可能有8 段.所以肯定得在某时从一个颜色的点转向另外一个颜色的点，也
就是说将要沿着某些棱才能回到折线的开始处，因为折线是闭合的，这说明折线必
须至少要经过两条棱才行，这样的折线实例可如图蓝线所示.
237
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兵
(ep ) 爱因剧启示
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延》数学文化巡礼
1879 年3 月
14 日，一个小生命降生在德国的一个叫乌尔姆的小域，父母为
他起了一个很有希望的名字:阿尔伯特
· 爱因斯坦.
爱因斯坦是当代最伟大的物理学家，因毕生致力于理论物理学的研究，人们
称他为20 世纪的哥白尼、牛顿.
李政道说
"我们的地球在太阳系是一个不大的
行星，我们的太阳在整个银河星云系4000 亿颗恒星
中也好像是不怎么出奇的星球，我们整个银河星云系
在整个宇宙中也是非常渺小的.可是，因为爱因斯坦
在我们小小的地球上生活过，我们这颗蓝色的星球就
是比宇宙的其他部分有特色、有智慧、有人的道德"
纪念爱因斯坦的文章何止千万，这一篇最令人感
到慰藉，感到温暖.
《纽约时报》曾刊文《爱因斯坦: 他的生活和宇
宙} :
爱因斯坦( 1 879- 1955 )
"爱因斯坦的理论和生平一直是我们反思现有的教学和教育方式的切入点，
他的成就就是建立在自由思考和自主表达的基础上，他的三大经典理论都归功于
跳出传统思维框架的反叛想象力，得益于他能形象化的思考，这种想象力对于科
学研究正是许多训练有素的科学家所不能跨越的"
爱因斯坦能取得如此伟大的成就，其一流的数学功底也起着重要作用
238
第叫
l 爱因斯坦的启示d
i飞数学智慧讲堂
爱因斯坦既钟情于数学题的巧解，又喜欢别出心裁地提出一些数学问题，更有
人为测验爱因斯坦的智力而用数学题难为他，下面是与爱因斯坦有关的几则趣题.
例
l
有一次，爱因斯坦生病住院，他的朋友来看望他，为了给他解闷，就随口报出一
道四位数的乘法题2987 x 29 日让他解答不料这位朋友刚把题说完，爱因斯坦脱
口而出答案应是8701 1 3 1 ，在场的人都很惊讶，那位出题的朋友更是目瞪口呆
"你怎
么算得这么快呢? "爱因斯坦笑笑，出示了自己画的长方形示意用，并解释了巧妙心
算的过程，你能思考出这种数形结合的方法吗?
分析与解
联想。X b 的几何意义，以形助教
如图，爱因斯坦画了两张示意图，图①中长方形的面积表示它们的积然后把图①
处理转化成图②，图②中大长方形的面积(2900 X 3 000) 加上长方形的面积( 87 X
13) ，就是图①原来长方形的面积
( 2987 X 29 1 3) ，结果就是8700000 + 1131 =
8701 13 1.
2987
2987
2900
2900
13
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图①图②
'{9IJ 2 爱因斯坦曾给一家杂志社设计过如下一道填数题:
将
1 ~ 9 这九个数，分别填入右图中，使图中七个二角形
顶点上的三个数的和都相等，那么这个和是多少?并给
出一种填法
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分析与解
联想利用"三阶幻方" 来帮助解决问题.
设三角形顶点上三个数的和为S ，则3S = 1 + 2 +…+ 9 ，得S = 15.
239
黄东坡
份w 发现数字之夫(七年级)
观察发现:中间三角形的3 个圆圈和其余6 个三角形的联系最多，而这一点和
"三阶幻方" 中的对角线上的数比较相似.我们不妨在中间3 个圆圈里分别填上5 ，2 ，
8 或4 ，5 ，6 ，下面是一种具体的填法:
①中间3 个圆圈分别填5 ，2 ，8;
②从"三阶幻方"中看出
，8+4+3=15 ，所以8 所
在圆圈旁的另2 个圆圈应填3 和4;
③确定了
3 和4 的位置，观察"三阶幻方"，有4+9
+ 2 = 15 和3 + 5 + 7 = 15 这样就简单了
，把4 放在
2 和8 所在的横线上，让2 ，4 ，9 所在圆圈分别位于一个
大三角形顶点处，把3 放在5 和8 所在的直线上，
1 和7
相应地填入剩下两个圆圈内.
爱因斯坦曾说. "物理给我知识，艺术给我想..力，知识是有限的，而艺术所
开拓的想象力是无限的"
例3
爱因斯坦曾出过一道世界性的难题，
据说难倒过许多科学家，题目如下:
有五间房屋排成一列，所有房屋的外表
颜色都不一样，所有的屋主都来自不同的国
家，养不同的宠物，喝不同的饮料，抽不同的
香烟.
(1)英国人住在红色房屋里.
( 2)瑞典人养了一只狗.
( 3 )丹麦人喝茶.
( 4)绿色的房屋在白色的房屋的左边
( 5)绿色房屋的屋主喝咖啡
( 6 )吸Pall Mall 香烟的屋主养鸟.
( 7)黄色屋主吸Dunhill 香烟.
(8 )位于最中间的屋主喝牛奶.
( 9)挪威人住第一间房屋.
( 10)吸Blends 香烟的人住在养猫人家的隔壁.
( 11 )养马的人住在吸Dunhill 香烟的人家的隔壁.
(1 2)吸Blue Master 香烟的屋主喝啤酒.
( 13 )德国人吸Prince 香烟.
( 14)挪威人住在蓝色房屋的隔壁.
( 15 )只喝矿泉水的人住在吸Blend 香烟的人的隔壁.
问:谁养鱼?
240
好
奇
心
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……
第叫
| 爱因斯坦的启示过
·
分析与解
这是一道逻辑推理题，通过数字化、列表、假设等方法可简化
问题
首先确定房屋颜色一一红、黄、绿、白、蓝表示为
: C( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ,
国籍一一英、瑞、丹、挪、德表示为
: N( 1 ,2,3 ,4, 5 ) ,
饮料-一茶、咖、奶、酒、水表示为: D( 1 ,2 , 3 , 4 , 5 ) ,
烟一-PM 、Dh 、BM 、陀、混合烟表示为
: T( 1 ,2, 3 , 4 , 5 ) ,
宠物
狗、乌、马、猫、鱼表示为
: P( 1 ,2, 3 , 4 , 5 )
由(9) 可知N 1 二挪威，由( 14 ) 可知C 2 = 蓝，由( 4 ) 可知若C J 二绿，巳= 白，则绿
房子居中
，因而(8)和( 5 )矛盾，所以C4 = 绿
，C，=白
，剩下红、黄只能为C ，C J • 由( 1 )
可知C J = 红，NJ = 英国
，C 1 二黄; 由( 8 )可知DJ = 牛奶;由(5)可知D4 = 咖啡; 由(7)
可知T 1 = Dh; 由( 11 )可知P2 =马. 那么
:
2
3
4
5
N
挪威
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英国
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C
黄
工桥
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红
绿
白
D
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牛奶
咖啡
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T
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P
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马
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由( 12 ) 可知啤酒只能为D 2 或队，BM 只能为T2 ( 或由T，可知D l 二矿泉水).
由(3)可知茶只能为D2 或队，丹麦只能为N2 或N，.
由( 15 )可知T2 = 混合烟，BM = T，所以剩下啤酒= 队，茶- D2' 丹麦=N2 .
然后
:
2
3
4
5
N
挪威
丹麦
英国
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C
黄
蓝
红
绿
白
D
水
茶
牛奶
咖啡
啤酒
T
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混合烟
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BM
P
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马
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方
法
、
思
维
由( 13 )可知德国= N4 ,PR =丑，所以瑞典= N" PM = TJ.
由(2)可知狗= P "
由(6)可知鸟=孔，由(1 0 )可知猫= P 1 •
应
用
之
美
241
黄东坡@ :…… ( 七年级)
得到数据如下表所示:
第一问
第二问
黄色
蓝色
挪威
丹麦
Du时lill
Blends
矿泉水
茶
猫
马
第三间
第四问
第五间
红色
绿色
白色
英国
德国
瑞典
Pall Mall
Prince
Blue Master
牛奶
咖啡
啤酒
鸟
台
狗
爱因斯坦出这道题并不是为了找到解
答，而是一种思维过程和不同的思维方法.
他曾说:大多数人在大海里捞到那根"针..
之后就会停止寻找，而我去[1 继续寻找，看是
否还有其他的"针..
'爱因斯坦说数学
"在几年的独立科学研究之后，我才逐渐明白了，在科学探究的过程中，通向更
深入的道路是同最精密的数学方法联系在一起的"
"纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇"
"数学之所以有高声誉，还有一个理由，那就是数学使得自然科学实现定理化，
给予精密自然科学的某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这些可靠性
的"
"不要为你在数学中遇到的困难而焦虑，我能深信不疑地对你说，我遇到的困难
大得多"
"平面几何如果不能激起你的热情，你肯定成不了科学思想家"
"想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力是无穷的"
"在我一生中，还没有如此勤奋工作过，我已沉洒于数学的伟大，直到今天，我一
直在领略数学的微妙部分的纯正的高贵"
242
质疑、好奇心、形象思维、想象力，这就是爱因斯坦给教育带来启示的关键词.
爱因斯坦喜欢拉小提琴，他曾坦言:
"我首先是从直觉发现光学中的运动的，而音乐又是产生这种直觉的推动力量
"
第叫
| 爱因斯坦的启示J
"物理给我知识，艺术给我想象力，知识是有限的，而艺术所开拓的想象力是无
限的"
爱因斯坦的儿子汉斯说"与其说我的父亲是物理学家，不如说他是一位艺术家"
"他的性格，与其说像我们通常认为科学家应有的那种性格，倒还不如说更像艺
术家所具有的那种性格. 例如，他对一个好的理论和一项做得好的工作的最高评价
并不是依据其正确性和精确性，而是其优美性"
爱因斯坦一生喜欢拉小提琴，常常与朋友同事
一起演奏对待他的事业和人生，最好的方式应像他
对待音乐家巴林那样.
"当人性概念都遭到质疑的时候，我有幸想到了
你，顿时内心恢复了平静和力量. 多少个日日夜夜，
你站在我的心中对我说话"
命，数学之美探寻
1. 有一次，一位美国心理学家出了这样一道题来测验
爱因斯坦的智力:把一个正方形分成16 个小方格，每个小
方格内分别有苹果、梨、菠萝和香蕉四种水果( 如图) ，小方
格的右边和下边分别是四行小方格和四列小方格中水果
的总重量，要求很快算出左边第一列的水果重量. 爱因斯
坦很快得出结果，你能解答么?
?
19
20
30
2 在你面前有一条长长的阶梯.如果你每步跨2 阶，那么最后剩下
1 阶;如果你
每步跨3 阶，那么最后剩下2 阶;如果你每步跨5 阶，那么最后剩下4 阶;如果你每
步跨6 阶，那么最后剩下5 阶;只有你每步跨7 阶时，最后才能正好走完. 问这条阶
梯最少是多少阶?
方
法
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思
维
山
川
之
美
243
黄东坡'冒险，惜你友圳数字之j二( 七年级)
3. 有一个土耳其商人，想找一个助手，这时有甲、乙两人前来应聘. 这个商人为
了测出这两人中谁更聪明一些，就把他俩带进一间漆黑的房子里.商人打开电灯说:
"这张桌子上有5 顶帽子，2 顶红帽子，3 顶黑帽子，现在我把灯关掉，并把帽子摆的
位置搞乱，然后我们三人每人摸一顶帽子戴在头上.当我把灯开亮时，请你们说出自
己头上戴的帽子是什么颜色的"说完，商人就把电灯关掉了，然后三个人都摸了一
顶帽子戴在头上，同时商人把剩下的两顶帽子藏了起来.待这一切做完之后，商人把
电灯重新打开.这时，甲、乙都看到商人头上戴的是一顶红色的帽子，于是展开思索.
过了一会，甲首先喊道"我戴的是黑帽子"结果聪明的甲被士耳其商人雇用了请
问甲是怎么判断的?
4. 有一次，爱因斯坦病了，他的一位朋友来看他，为了帮他消磨时间，给他出了
一道题目
: 钟表上的时针和分针，在何时可以对调，使得对调后仍然能指示实际可能
的时刻?
爱因斯坦边听边想，回答说"是的，这对病在床上的人的确是一个很好的问题，
够有趣而又不太容易.只是恐怕消磨不了多少时间，我已经快要解出来了"
说着，爱因斯坦从床上坐起来，在纸上勾勾画画演算了一番，时间不长就把问题
解出来了.
你能求出正确答案吗?
244
第34 讲
| 爱因斯坦的启示C
1. ? = 25.
2. 这条阶梯最少是119 阶
3 . 甲最先判断，采用的是假设法推理，他当然也知道乙也看见商人的红帽子.这
时甲就会思考，自己头上戴的要么是红帽子，要么是黑帽子，如果自己戴的是红帽子，
那么乙就会见到2 顶红帽子，由于大家都知道红帽子一共只有2 顶，因此乙马上就
可以断定自己头上戴的必是黑帽子，可是乙过了一会仍没有确定，这说明只有一种
情形，即自己头上戴的一定不是红帽子，所以甲断定自己头上戴的是黑帽子.
4. 设αh 、bmin 时时针和分针可以对调，且对调后的时间是a h ，b'min( 这里a ，a'
ε 1 0 ，1 ，2 ，…，11 I ;b ，b'ε 1 0 ，1 ，2 ，…，60 1).
把钟表的钟面圆周从数字"12" 开始均匀添加60 个刻度.
(
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.,.
'
(., b' 飞
因为αhbmin =(α 十一. )h,a 'hb'min = (a'+ ~I\ )h ，所以αh 、bmin 时时针和分针
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60 J
(
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对应的刻度分别是5(α+ :1\), b;
αh 、
b 'min 时时针和分针对应的刻度分别是
飞
60 J'
5(a'+主二l，b'. 因为两者的时针和分针'恰好是对调了的，所以
\ ~ , 60 J'
1:山=:
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b = 5Ia'+生二
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解得!
60
b = ，V.V~ (α+ 12a') ,
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b'= ，V.V~ (1 2α + a') .
143
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.l.L.. M _L +.1 I=t
, 60
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进一步得: 当且仅当钟表上指爪的时刻是αh ~~ amin ~p一-d( 其中α 二0 ，1
，2 ，
11 ~...... ~，. 11
", 10 )时，时针和分针重合;这样的时刻共11 个.
245
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町
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心数学文化巡礼
《中国数学学科发展战略研究报告》指出"数学教育是21 世纪人才培养竞
争的重要场所"
美国科学院院士格里姆曾说"数学对经济竞争力至关重要，数学是一种关
键的普遍使用的，并给予人们能力的技术"
现代社会要求人们更多地数学地思考，即掌握并运用数学的思维方式.抽象
化、符号化、公理化、模型化、推理意识、证明与反驳等，这些数学的思维方式是普
遍适用的，应用这些数学思考方式构成了数学能力
在当今这个技术时代日益
重要的一种智力，它使人们能批判地阅读、获取信息、识别谬误、估计风险、变通
方法.
爱思考的比尔·盖茨曾在日记中写道"人生是一次盛大的赴约，对于一个
人来说，一生中最重要的事情，莫过于信守由人类积累起来的智慧所提出的至高
无上的诺言"
微软是盯业的巨头，是各国人才向往的地方.既考查应聘者的专业知识，更
注重坪价应聘者的才能和智慧，微软别具一格的人才选拔试题自然成为人们感
兴趣的问题
246
』
:墨
、"e
‘ .
数学是科学的皇后，数学是科学的女仆; 数
学是推动生产发展的知识杠杆，数学是人类思
想革命的有力武器-
数学的力量是潜在的;
数学的作用是无形的-
历史上，数学曾是打开启蒙运动大门的钥
匙，今天，纯粹数学仍然可以被认为是逻辑思维
圣殿的监护人.
第叫| 微软选秀申的数学思维d
:飞数学智慧讲堂
例
l
货币为什么只有
1 ，2 ，5 ，10 的面值?
·
分析与解
微软公司从生活中提出这样司空见惯的问题，是为了考查应聘
者观察生活并能即时分析的能力
，而这种能力的培养并不需要解决多么复杂的问题，
只需具备基本数学知识和生活常识
实际生活中的货币流通，既要清点携带便利
，又要尽可能减少品种，以便节省
材料、减少流通的烦琐; 还要容易生成
1 ~ 9 的数字，以便流通-
1 ，2 ，5 ，10 的面值通过一次简单加减就能满足所有的要求. 即
1 +2=3 ，2 +
2 = 4 或5 - 1 = 4, 1 + 5 = 6,2 + 5 = 7, 10 - 2 = 8, 10 - 1 = 9. 也就是说，一
个1 分，一个2 分和一个5 分和一个10 分( 1 角)硬币就能组成从
l 分到
10 分的所
有钱数.以此类推，1 角、2 角、5 角、10 角( 1 元)能组成从
l 角到
10 角的所有钱数，
l 元、2 元、5 元、10 元可以组成从
l 元到
10 元的所有钱数，10 元、20 元、50 元、100
元再加上前面的钱币品种，也可以很方便地组成100 元以内的任意钱数. 因此，为
了方便地进行货币使用
，面值品种中
，1 ，2 ，5 和10 是符合这些要求的最佳选择. 这
就是合理的解释.
进一步抽象分析，在
1 ~
1 。这10 个自然数中，1 ，2 ，5 ，10 是"重要数"，用这几
个数能以最少的加减组成另一些数.
我们常因"熟视无堵"而导致对事物的陌生、不寻根究底，只以接受的方式对
待.
微软公司从生活与数学的关系提出问题，通过对问题的抽象思考，培养数学
建模的能力.
...
., .
•••
........ ..... .
…………....
………........ .
….... .….......
…………….......
……………........
....... ................ . .
…...... ............ .
…........ ....... .... . .
....... ..………
.... .. ……-
.....
....
寻优与优化、数据与规律、发展与变化、计
划与规划、随机与概率、风险与决策、竞争与博
弈、模拟与仿真、模式与分类等是人类在社会活
动和科技生产活动中经常需要考虑的重要问题，
从数学的视角进行分析思考，可以给出解决这
些问题的定量化方法和途径.
方
法
、
思
维
现实世刑如棚角与思维
成
用
之
美
247
黄东坡
fiF 伪:农JJ4!数字之夫(七年级)
例2
你让某些人为你工作了一周(七天) ，你要用一根金链条作为报酬，这根金链条
由七节组成，每天的酬金就是其中一节现在的要求是:你必须在每天的活干完后交给
他们一份，结清当天的报酬不准拖欠.但你只能将这根金链条切割两次( 也就是分成二
段) ，你应该如何分割?
分析与解
解法一
通过试验确定分割处
具体操作是: 第一天给①(第一节) ，第二天给②换回①，第三天再给①，第四天
给③换回前面的①和②，第五天再给①，第六天给②换回①，第七天再给①，圆满完
成每天清账任务.我们就用
1 ，2 ，4 表示分成的这三段，这样七天付报酬的情况就可
以用下表形象表达
时间
付报酬情形
解法二
将问题转化为二进制加以解决
':7 = 4 十2 + 1 = 1 X 22 十
1 x 21+ 1 X 20 = 111(2) ,
1(2) = 20 = 1 , 10(2) = 21 = 2 ，100(2)二22 = 4 ,
:. 111 (2 )二
100(2) + 10(2) +
1(2) ,
即只要分割成100( 2h 1α2h 1 ( 2 ) ，也就是十进制中的4 ，2 ，l.
二进制是计算机运算的基础. 例2 本身较简单，考查的是应聘者对二进制相
关知识的了解，也是对应聘者数学素养的全面了解，作为π 行业的巨头考查这样
的问题是理所当然的.
例3
有8 颗弹子球，其中
l 颗是"不合格球"，也就是它比其他的球都重.你怎样使
用天平能够只通过两次称量就找到这颗球?
分析与解
因为问题中无现成的硅码进行对应的称量，故不可能称出物体
的确切质量.
较常见的想法是: 利用天平可以称量出4 颗弹子球质量是否相等这一事实，不断
缩小范围筛选出"不合格球"，如: 因为8 = 4 + 4 ，故在天平的两边各任意放4 颗球.
如果天平的一边比另一边重，那么可以确定"不合格球" 肯定位于天平较重的一边.
然后，根据4 = 2 + 2 ，把较重一边的4 颗球在天平的两边各任意放2 颗.如果天平
的一边比另一边重，那么可以确定"不合格球" 肯定位于天平较重的一边2 颗球中.
最后，再根据2 =1+1
，把较重一边的2 颗球在天平的两边各任意放
l 颗，则较重
的一边就是"不合格球"
这样虽然得出了结论，但却是通过三次称量才能找到这样
248
第叫
| 微软选秀中的数学思维J
的球，不符合题目要求.
微软的答案是: 第一次称量，在天平的两边各任意放3 颗球.这时候会有两种可
能的结果.一种可能的结果是天平两边是平衡的.在这种情况下，就可以确定所称量
的6 颗球里面没有"不合格球"因此第二次就只需要称量剩下的2 颗球，较重的
l 颗
就是"不合格球"另外一个可能的结果是天平的一边比另一边重，那么可以确定"不
合格球"肯定位于天平较重一边的3 颗球里面第二次只要从这3 颗球里面任意拿
出2 颗球，并对它们进行称量- 如果两边平衡，则3 颗球中剩下的没有参加称量的那
颗球就是"不合格球" ; 如果两边不平衡，则较重的一边就是"不合格球"
倒3 是一道与生活实际联系紧密而数学特性较为明显的趣味题，运用的是分
类排除、缩小范围、逐步逼近等数学思维方法，考查的是应聘者应用数学知识方法
微软公司曾以飞速的发展和强大的影响力在IT业独领风骚，它的成功在于把握
世界产业格局变化所带来的机遇，更在于它所拥有的大量的富有知识和想象力的杰
出人才.
微软选秀中的数学思维，从一个侧面表明只有具备良好的数学素养、机智灵活
的头脑和大跳跃的思维能力才能与高效相匹配.
科学巨匠爱因斯坦曾说"我们所创造的这个世界，是我们思维的产物，不改变
我们的思维，就不可能改变我们的世界"
思维是人脑对客观事物的本质、相应关系及内在规律的概括与间接反映
数学是思维的学科，数学的存在与发展依靠思维，精湛的思维艺术又常借助数
学彰显其力量.尽管其他学科从不同侧面在培养、锻炼人的思维，但没有哪一门能与
数学在训练人的思维的深度、广度、完整度上相比拟，数学能使人们的思维综合为一
种科学系统.
1902 年6 月，爱因斯坦开始在硝典专
利局上班-在短短的三年之内，就研究出了
震惊世界的科学成果，从而彻底颠覆了人
类数千年来的思维常识.他孤军奋战，神游
于思想和智力的高地，他曾经白白"我真
的是个独行的旅人，从不全心全意属于我
的国家、我的家、我的朋友，甚至我最亲爱
的家人.在面对这一切时，我始终都有一种
疏离惑，也一直有独处的需求"
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，e.、
封1;
向
川
之
美
249
黄东坡
份f尔发现数字之美(七年级)
向[数学乏菊辅
1.为什么下水道的盖子是圆形的而不是正方形的?
2. 有两个房间，一间房里有三盏灯，另一个房间里有控制这三盏灯的开关(这两
个房间是分隔开的，毫无联系) ，现在你分别进入这两个房间→次，然后判断出这三
盏灯分别是由哪个开关控制的.
3. 对一批编号为
1 ~
1 00 ，全部开关朝上(开)的灯进行以下操作:凡是
l 的倍数
的反方向拨二次开关; 凡是2 的倍数的反方向又拨一次开关;凡是3 的倍数的反方
向又拨一次开关.. . ...问:最后为关状态的灯的编号是哪些?
250
第附
| 微软选秀中的数学思维j
C 参警备案
1.这个问题的答案是蕴含数学道理的，尽管浅显但却很合理，那就是:正方形的
盖子容易掉到洞里去为什么呢?这是因为正方形的对角线是其边长的d倍，如果
把一个正方形盖子垂直地立起来，稍微一转，顺着对角线的位置它就会很容易掉到
下水道里去.当然下水道的盖子一不小心落进下水道，那就失去了它的作用，所以这
就有了不让盖子落下去的充分理由，除了小心摆放外，彻底解决的方法显然就是用
圆形盖，因为圆的直径都是等长的，无论如何转动摆放，都不会掉进对应的圆洞而
且用圆形盖子盖住洞口时，几乎不需要怎么调整就可以与洞口严丝合缝.
有意思的是，微软的主考也认可另一种比较简单但却凸显机智诙谐的答案:下
水道的洞口是圆形的，盖子当然也应该是圆的.若进一步问为什么下水道的洞口是
圆形的，按同样的思路，是因为圆形的洞比方形的洞好挖(这的确也是事实).如果从
节省劳动力出发也可以这样回答:在进行短距离搬运时，圆形的盖子可以很方便地
通过滚动的方法来搬运，而正方形的盖子就不容易搬运，你需要借助于推车或者由
两个人抬着走.是不是也挺有道理?
2. ( 1 )走进有开关的房间，将三个开关编号为A 、B 和Cj
(2)将A 开关打开10 分钟，然后关闭Aj 然后再打开玩
(3 )马上走到有灯的房间，此时房间里正亮灯的是由开关B 控制的;
(4)用于去摸另外两盏灯，发热的由开关A 控制，不热的由开关C 控制.
3. 一步步实际操作起来显然十分烦琐.我们知道，就某个亮着的灯而言，如果拨
其开关的次数是奇数，那么，结果它一定是关着的根据题意可知，号码为N 的数，拨
开关的次数就等于N 的约数的个数，约数个数是奇数，则N 一定是平方数.因为100
以内共有10 个平方数，即
1
，4 ，9 ，16 ，25 ，36 ，49 ，64 ，81
，100 ，所以为关状态的灯共有
10 盏，编号为
1 ，4 ，9 ，16 ，25 ，36 ，49 ，64 ，81
，100.
251
},
U~
'I 也"、
Wi
J.ii.
JIJ
之
主
(够) 图形生长的奥秘
6夕攘字文花椒L
"白雪却嫌春色晚，
故穿庭树作飞花
"
唐朝诗人韩愈的《春雪》抒写了对雪花的赞
美.
•
棒子3
年
在
t
i举瞥苍苍计1
皑皑白雪，片片雪花，当我们看到漂亮的雪
花时，惊奇于大自然的鬼斧神工.千百年来，雪
花不因时间改变六角对称的形式，而人类的智
慧、却不断加深对雪花的认识.
真实的雪花
雪花可以入画入诗，能否用数学作为工具揭示雪花的奥秘? 怎样形成? 是
什么形状?
1904 年，瑞典人科赫提出了著名的"雪花曲线"，预示着一门崭新的几何一一
分形几何即将诞生.
从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而
美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积、个数等规律，与分形几何联系紧密
解这类问题的基本方法是:
(1 )分析图形生长的方式、规律;
( 2 )分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳
猜想.
。
中
γ
C
科赫雪花曲线
1904 年，瑞典人科赫创造出一种用几何
图形描述雪花的方法.他先画一个正三角形，
然后在每边再画一个边长为÷的小正三角
形，接着再按上述方法，重复画出越来越小
的正三角形，这样就画出了一个美丽的雪花
图形人们把它叫做"科赫雪花曲线"，它具
有无穷大的周长和有限的面积.
252
第州
| 图形生长的奥秘U
:飞数学智慧讲堂
常常常奈
华主异常常常常常常
(深圳市中考题)
例
l
如图所示，下列图案均是由完全相同的"太阳形"图标按一定的规律拼搭而成:
第
l 个图案需要2 个图标，第2 个图案需要4 个图标，第3 个图案需要7 个图标，…，
按此规律，第5 个图案需要图标的个数是
个.
常常常
常常常
王异
常常
常常常常
分析与解
观察、归纳，分别从上、下两行图形变化规律切入，第n 个图案需
要图标的个数为n + 2" -
1 ，当n=5 时，原式= 5 + 2 5 -
1 二2 1
例2
1915 年波兰数学家谢尔宾斯基制造出了两件绝妙妙、的
毯.如图，把一个正三角形均分成四个小正三角形，挖去中间一个，然后在剩下的三
个小正三角形中分别再挖去各自四等分后中间的一个小正三角形，如此下去可得到
谢尔宾斯基衬垫. 这些小正三角形的周长越来越大，它们的面积和却趋于o.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
·
分析与解
第一次可得1 + 3
1 个;
第二次可得1 + 31 + 32 个;
3 8一
l
第七次可得1 + 3
1 十32 + 33 + 34 +…+ 37 =2一(个) .
几何图形的生长，既可以是对内分割，又可以是向外拓展，经过相同程序的生
长而产生的新的几何图形，图形新颖优美，线条自然流畅，也为我们从量的方面探
索留下巨大的空间.
253
黄东坡@ …
例3
设有一个边长为
1 的正三角形，记作A/ 图①) ，将每条边三等分，在中间的线段
上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2 ( 图②)j 再将每条边三等
分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3 ( 图③) j 再将每条边二等分，并重复上述过
程，所得到的图形记作A
( 1 )那么A4 的周长是
(2 )A 4 这个多边形的面积是原三角形面积的
γ 中
合
图①
图②
图③
(全国初中数学竞赛题)
•
分析与解
解题的关键是探索每"生长"一次，边长、边数、面积变化的规律，及每
"生长"一次新增三角形个数的规律.
(1) 从A ，开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来的图形周长的4
倍，所以，州周长是3 x 于= 4,
4 , , 4
~， ,/ 4 \2 16
A 的周长是3 x ~ x ~ = 3 xl ~ 1 =
3 "
3
飞
3 J
3'
/ 4 \2" 4
~ ，) 4 \3 64
A 的周长是3 xl :: I x一= 3 xl :: 1=
飞
3 J "
3
飞
3 J
9
(2 月生A ，的面积是S，由A ，"生长"变成马，"生长"一个三角形的面积是上一级一个三角形
L
4
面积的
，所以4 的面积为S+ 3 x :. S = -:, S:
9~
3
由A2 "生长"变成AJ生长"一个三角形的面积是上一级一个三角形面积的去，所以A 的
1~
，~".，，
1~ 40
面积为S+ 3 x ~ S + 3 x 4 x :7 S =一~S:
百"20 - -2:fUj
由A3 "生长"变成A.，‘W 一个三角形的面积是上一级一个三角形面积的去，所以A 的
1 ~ , ~ " . " 1 ~ , ~，，
' . " 1 ~
124
面积为S+ 3 x ~ S + 3 X 4 X ~2 S + 32 X 4 X ~3 S = ~... s.
92 u
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J
"'""T /" 93 u
-
81
254
第叫
| 圄形生长的奥秘心'.
1904 年，瑞典数学家科赫创造出一种用几何图形
描述雪花的方法，按例3 的方法重复画出越来越小的正
三角形，这样就画出了一个美丽的雪花图形仔细观察，
人们发现雪花的每一部分经过放大，都和整体一模一
样，人们感到十分惊奇，把它称为"数学怪物"
科赫
将棱长为
l 厘米的正方体按如图方式放置，求第20 个几何体的表面积.
例4
生
臼
第3 个
第2 个
第
l 个
( 世界数学团体锦标赛试题)
分析与解
由图呈现的规律知，第20 个几何体有20 层，从上往下第
l 层
有
l 个正方体，第2 层有3 X 3 个正方体，第3 层有5 X 5 个正方体，…，第20 层有
39 X 39 个正方体，所以第20 个几何体的表面积由以下三部分组成:
(1 )俯视图面积: 边长为39 厘米的正方形，面积为39 X 39 = 1521 ( 平方厘米) .
( 2 )底面积: 边长为39 厘米的正方形，面积为
1521 平方厘米.
( 3 )侧面积: 四个形如
•
方
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、
思
维
、
应
用
之
美
] 39 个正方形
1 + 39
的金字塔三角形的面积和，即( 1+3+5 + …+ 39 )X 4 =一
2 一X 20 X 4 = 1600
(平方厘米) ，故第20 个几何体的表面积为
1521 X 2 + 1600 = 4642( 平方厘米)
255
垂h
，
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K
B
E
E
t、
层
AU
句
，
&
黄东坡@ 州t发现数以(七年级)
自然界的许多图形是如此不规则和支离破
碎，如云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是
圆，这些图形的存在，激励着法国杰出数学家曼德
布罗特去研究"无定形"的形态.曼德布罗特是分
形几何的创始人，他那超越常人的思想和他在科
学上的贡献，使他在1985 年荣膺"巴纳德奖章"
1975 年曼德布罗特创造了分形( frac时) 一
词，出版了一系列奠定分形学说的著作，他是20
分形水泡
世纪影响广泛且深远的科学伟人，1993 年获得沃尔夫物理学奖. 颁奖词评论说他的
研究"改变了我们的世界观"
当代著名物理学家惠勒说"当今哪个学者若不知道恼
的概念，就不能被认为是合格的科学家;在将来若谁不了解分形概念，那他也不能被
称为知识分子"
曼德布罗特于1982 年出版了《大自然的分形几何
学~ ，他的系列发现开创了一门崭新的学科一一一分形几
千百f 学.
向i数学之美嗣
1.如图是一组有规律的图案，第l 个图案由4 个A 组成，第2 个图案由7 个A
组成，第3 个图案由
10 个A 组成，第4 个图案由13 个A组成，… ，则第n(n 为正整
数)个图案由
个A 组成.
A
A
...
...
第
1 个图案
A
...... ...
... ... ...
第2 个图案
A
... ...
...... ...
............
第3 个图案
A
......
...
...
... ... ...
............ ...
第4 个图案
(委底市中考题)
2. 将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2 ，宽
为
1 ，依此类推，摆放20 1 4 个时，实线部分长为
256
第则
| 图形生长的奥秘5
.... _ .L _ _ _ _1._ _1_
摆放3 个时
实线部分长为8
E丁
摆放2 个时
实线部分长为5
日
摆放
1 个时
实线部分长为3
11
...
11
3. 一种矩形餐桌的四周可
坐6 人用餐，现把若干张这样的
餐桌按如图方式进行拼接.
( 1 )若把4 张、8 张这样的
餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人?
(金华市中考题)
(2)若有90 人用餐，则这样的餐桌需要多少张?
4 . 如图所示，把一个边长为。的正方形分成9 个全等的小正方形，把最中间的
一个小正方形涂成白色(图①) ，再对其他的8 个小正方形做同样的分割(即分别分
成9 个小正方形，最中间的一个涂成白色，如图②) ，继续用同样的方法分割图形
(图③) …...得到一些既复杂又漂亮的图形，它的每一部分放大，都和整体一模一样，
它是波兰数学家谢尔宾斯基构造的，也被称为
图③
•••••••••
• •• •• •
•••••••••
•••
•••
•• ••
•••
•••
•••••••••
• •• •• •
•••••••••
图②
jr
1去
、
应
用
之
美
'也、
纷;
257
图①
求:(1 )图③中新的一个最小正方形的边长;
(2)图③中新的一个最小正方形的面积;
(3)图③中所有涂黑部分的面积.
黄东坡
惜你发现数字之美(七年级)
也
1. 3n 十1.
2. 5阳
当n 为奇数时，第n 个图形实线部分的长度为÷(3+2)(n
l)+3;
当n 为偶数时，第n 个图形实线部分的长度为÷(3+2)n
3. (1 )18 ,34
n 张矩形餐桌的四周可坐(4n + 2)人.
(2)需22 张.
4. ( 1 )每分割一次，新的正方形的边长是上一级正方形边长的÷，所以图③中新
1..1. .1
1
1
的一个最小正方形的边长是
X~X α= α=
α.
3 " 3 " 3 ... -
33 ... - 27
(2)每分割一次，新的正方形的面积是上一级正方形面积的去，所以图③中新的
一个最小正方形的面积是土×土×土。2 _土。2=-Ld
9 " 9 " 9'" -
93 '"
-
729
(3 )在图①中，涂黑部分的面积是:02 ;
I 8 \2 _2_ 64
在图②中，涂黑部分的面积为(
~ 1α=一一α2; 在图③中，涂黑部分的面积为
飞
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一)户~~~d
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729
258
黄东坡智慧大讲堂
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在广陶文化霄.，周，精优
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宏大的叙事，细致的分析，
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在广倒文化".下阔步剿优
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把理性思维与人文情怀、诗意表达结合，
副刊刷刷叫肺
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昌、
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在广阔文化背景下叙述，展现数学方法之美、思维之美、应用之美，
与学习罔步，与发展同步，
巅覆人们对数学、数学教育、数学学习的认识!
