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2026 年秋季九年级开学·学情自测卷
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：八下全册+九上一元二次方程~二次函数
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．（3 分）将方程
化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5，
，6
B．
，7，1
C．5，1，6
D．、
、
2．（3 分）在
中，
，
，
，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10 月份该网站的
浏览量为80 万人次，第四季度总浏览量为350 万人次.如果浏览量平均每月增长率为
，则应列方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）已知点
在二次函数
的图象上，则
、
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）某校为选拔一名学生参加区级“经典诵读”比赛，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了测试，他
们的平均成绩及方差如下表所示：
选手
甲
乙
丙
丁
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平均成绩/分
92
95
95
92
方差
1.2
0.8
1.5
0.8
若要选出一名成绩好且状态稳定的同学参赛，最合适的人选是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．（3 分）如图，
的对角线
，
相交于点
，点
，
分别是
，
的中点，若
，
，则
的周长为（ ）
A．18
B．19
C．20
D．21
7．（3 分）已知
，
是一元二次方程
的两个实数根，则代数式
的值等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）函数
和
（
是常数，且
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3 分）如图，一次函数
的图象与
轴，
轴相交于点
和点
，以线段
为直角边在第一象
限内作等腰直角
，则斜边
所在的直线与
轴的交点坐标是（ ）
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A．
B．
C．
D．
10．（3 分）如图1，在矩形
中，
，动点
以
的速度自A 点出发沿折线
方向运动至D 点停止，动点
以
的速度自A 点出发运动至D 点停止，若点
同时出
发，运动时间为秒，记
的面积为
，且s 与之间的函数关系的图像如图2 所示，则图像中
的
值为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．（3 分）关于x 的一元二次方程
有实数根，则a 的取值范围是______．
12．（3 分）一个多边形的内角和比它的外角和的2 倍还大
，这个多边形是________边形．
13．（3 分）把抛物线
向上平移1 个单位长度，再向右平移2 个单位长度，得到的抛物线是
___________．
14．（3 分）如图，直线
与
交点的横坐标为1，则关于
、
的二元一次方程组
的解为_____________．
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15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，四边形
是矩形，点
，
的坐标为
，
，点
是边
的中点，点
在
边上运动，当
是腰长为5 的等腰三角形时，则点
的坐标为________．
16．（3 分）已知抛物线
（
，
，
，为常数）．对称轴为直线
，该抛物线与
轴
的一个交点在点
和
之间．则下列结论：
①
；
②
；
③一元二次方程
的两根
，则
；
④对于任意实数
，不等式
恒成立；
⑤
．
其中正确的说法有___________（填序号）．
三、解答题：本题共8 小题，共72 分。其中：17-21 每题8 分，22-23 题每题10 分，24 题12 分。
17．（8 分）计算和解方程
(1)计算：
；
(2)解方程：
．
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18．（8 分）已知关于
的一元二次方程
．
(1)求证：无论
为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根
满足
，求
的值．
19．（8 分）如图，平行四边形
的对角线
，
相交于点
，点
，
在
上，
．
(1)求证：
；
(2)连接
，
，请添加一个条件，使四边形
是菱形．（不需要说明理由）
20．（8 分）如图，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，与直线
交于点
．
(1)根据图象直接写出不等式
的解集是__________；
(2)求直线
的解析式；
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(3)点
是
轴正半轴上的一个动点，过点
作
轴的垂线分别交直线和
于点
，
，当
时，
的值是__________．
21．（8 分）如图，抛物线
与y 轴交于点
．
(1)m 的值为
；
(2)当x 满足
时，y 的值随x 值的增大而减小；
(3)当x 满足
时，y 的取值范围是
；
(4)点P 为抛物线上一点，且
，直接写出点P 的坐标为
．
22．（10 分）随着科技的发展，人工智能逐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工智能
软件进行调查评分，再从中各随机抽取了
个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于
分，用
表示，共分成四组：
：
，
：
，
：
，
：
），下
面给出了部分信息：“豆包”得分是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．“DeepSeek”得分在
组中的数据是：
，
，
，
，
，
．
“豆包”和“DeepSeek”得分统计表
软件
平均数
中位数
众数
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豆包
DeepSeek
“DeepSeek”得分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：
__________，
__________；
(2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第
百分位数，
记作
，前半部分数据的中位数记作
，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作
，称为上四分
位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数
是__________；
(3)若本次调查有
名用户对“豆包”进行了评分，有
名用户对“DeepSeek”进行了评分，估计其中对
这两款人工智能软件非常满意（
）的总用户数．
23．（10 分）某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明
训练投篮时的示意图，身高1.75 米的小明将篮球从头顶上方0.25 米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为
3.05 米，当距出手处的水平距离为2.5 米时，篮球达到最大高度为3.25 米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛
物线的一部分，以小明起跳点
为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45 米，则在球上升的过程中，
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小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？
(3)已知小明在距篮筐水平距离3.8 米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多
少米才能直接投中？
24．（12 分）探索发现
如图（1），在矩形
中，点
在边
的延长线上，连接
，作
于点
，交
于点
，
连接
交
于点
，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
迁移拓展
如图（2），在正方形
中，点
，
分别在边
，
上，过点
作
于点
，
，
的
延长线相交于点
，射线
交
于点
，若
，
，
．
(3)求
的长；
(4)直接写出
的长．
