干万册畅销书作者最新力作
在广阔文化背景下同步培优
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东
坡
智
慧
大
讲
堂
黄东坡。著
亨药;1足百放在
黄东坡
智慧大讲堂
带你统税款步皂羔
宏大的叙事，细致的分析，
把理性思维与人文情怀、诗意表达结合，
在广阔文化背景下叙述，展现数学方法之美、思维之美、应用之美，
与学习同步，与发展同步，
固自且且回
巅覆人们对数学、数学教育、数学学习的认识!
黄东坡，国家骨干教师，数学教育学硕士，中
国数学会会员，中国数学奥林匹克高级教练。多年
来，关注数学和数学教育的进展，致力于中考数学
和奥林匹克数学的研究，在《数学通报》、《数学
教师》等教育类核心期刊上发表文章三十余篇，出
版专著二十余部。《新方法》、
《新思维》、《大
视野》等代表作畅销15年，因其独特视角和使用
价值，受干万读者赞誉，成为全国近200所重点中
学首选或必备书曰，多本被评为湖北省"最有影响
的十本书"、全国优秀畅销书!
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52.00元
黄东坡智慧大讲堂
带你发现数学之美
九年级
黄东坡著
亨省注买马E凶险12
启迪与智慧，数学之美的激发
2013 年9 月，十多万网友参加新浪网的一项调查，有70% 网友坦言"在求
学期间，曾经被数学伤害过。"
没有哪门学科如数学这样，能引发学习者爱与恨的火热情感。
抽象的符号，繁难的计算，枯燥的推理;浩瀚的题海，重复的训练，八股化的
考试，数学正日益被"妖魔化"，从而导致许多人对这门学科总体上的逃避。
简洁的语言，精巧的构造，严谨的结构;代数的优雅，几何的神韵，清澈的理
性，无数数学大师、科学巨匠因数学之美的牵引，而热爱数学赞美数学。
著名物理学家狄拉克曾说"上帝创造世界时用了美的数学。"
哲学家、数学家罗素己言"数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且具有
至高的美。"
数学之美突出地表现为:方法之美、思维之美、应用之美。
数学思想方法是数学知识的高度概括，对数学知识有巨大的凝聚作用，是
联系知识的纽带，是实现由知识到能力的桥梁.数学发展的历史始终贯穿着两
条主线. 数学知识的发展和思想方法的创新。
思维，人类智慧之花最美的花朵。
数学是思维的学科，是锻炼思维的体操.数学存在与发展依据思维，而精湛
的思维艺术又常借助数学彰显力量，数学在训练人的思维深度、广度、完整度
方面无与伦比，数学能使人们的思维综合为一种科学系统。
数学具有广泛的应用性，数学正昂首阔步地挺进、渗透一切领域。
哥白尼的日，心说、牛顿的万有引力定律、爱因斯坦的相对论、无线电泼的
黄东坡@…数时(九年级)
发现、DNA 双螺旋结构的打开;图像压缩、信息加密、CT 扫描、谷歌大海捞针、
人工智能、云计算、大数据，人类历史上每一项重大事件的背后都看得见数学
的身影。
大美不言，大音无声。
著名画家吴冠中说"今天的中国文盲不多了，但美盲却很多。"
我们不缺少应试的技巧与高分，但缺乏以美启真的引领，缺少对"美是真理
的光辉"的感悟。
与学习同步，与知识能力的发展同步，本书力求在广阔的数学文化背景中，
展现数学之美，带你发现数学之美。
2
清风出袖，明月入怀。
如醉如痴，令人流连学习和探索的数学之路有别样的美景。
愿你在学习中能感受体悟到数学的和谐与秩序、美妙与美好、哲理与诗意.
愿数学之美能带给你启迪与智慧。
黄东坡
2017 年元月于武汉
在多彩的世界深情地抒写
在这个春光灿烂和风吹拂的下午，我们十几个黄东坡的铁杆粉丝聚在黄东
坡的身边，一起翻阅他正在做校正的《带你发现数学之美》书稿，厚厚的书稿用
智慧铺底，字字凝聚着心血，笔笔渗透了对数学文化充满激情的热爱，大家在发
自内心的认同和敬佩中一起举杯庆祝黄东坡在著书立说、数学教学及羽毛球
运动中齐头并进取得的成就，气氛热烈而欢乐，黄东坡在大家的心里，不只是朋
友，已然变成一个偶像，伟岸地挺立着。
十几年来，目睹黄东坡前行的每一步，从"云中漫步" 开始，到"绿杨芳草数
学路"，再写"心行山川1 ，笔耕沃野"，我用文字描述我眼睛看见的黄东坡，但是现
在我发现，我的文字已经无法描述这位在中国数学教育中占有重要地位的偶
像，虽然他每次见到我们仍然满满地铺张着他那乐吁吁的招牌式笑容，激情飞
扬地用最美的文字描述在他眼里万千色彩瑰丽奇美的数学，总是"未出庭院三
五步，额头已到数学前"，每句话都在尽情表达他发自内心对数学的热爱，这种
热爱的深刻已经不是我的文字能描摹的了。
黄东坡在他的数学文化的传播中，把理想与现实，数学与跨学科，理论与课
堂结合得相得益彰，开创了一个数学传播的新时代，完美表达数学世界的人文
关怀.走进黄东坡的数学世界，就能感受到黄东坡在广阔的文化背景下，用肆意
挥洒的文字展现的是数学思维之美、方法之美、应用之美，他用这些"举手可近
月，前行若无山"的文字带领读者上通数学，下达课堂，把艰涩高冷的数学变成
了孩子们的热爱.他的生命因数学而变得有意义，因着数学，他的内心深处始终
春暖花开，始终豪情万丈，始终笑容满面;而数学也因为他成为更多孩子的热爱，
启边了更多孩子的心灵.我发现，我和偶像之间，隔着一块厚重的带着密码的门，
即使给我钥匙，我也尚未找到开启的密码，但是这不影响我对偶像的敬重和崇
3
黄东坡
带你发现数学之美( 九年级)
拜，我敬重梵高开启了用画笔表达奔放的感情的时代，我也敬重黄东坡深情地
抒写出更容易让孩子们热爱的数学文化。
莫愁前路无知己，天下谁人不识君!
我们期待黄东坡老师赋予深情的更多更好的作品能够来到大家的面前。
魏红
2017 年于北京
4
1
出乎其外
2
配万
3
"元"解决策略
4
像建筑师那样思考
5
当楠子下渭后
6
对偶原理
7
化归
8
"焦点" ìJJì炎
9
对抑、与抛物线
10
统一性的追求
11
拟台
目录
J CÐ
:t-- -
-一一一
7
12
18
23
30
34
42
49
56
63
12
不动点
........….........…..........................................….
73
13
自相似
...................................…..................…..........
80
14
相似性原理
15
黄金分割
……............................................................
98
16
光与影
……………………………………………………………
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黄东坡
带你发现数学之类( 九牟极)
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33
3
2
j 出乎其外
,
,
心数学文化巡礼
……- ~ --一…………---一….
一部代数史就是研究方程、讨论方程的历史.
一元二次方程有求根公式，一般的一元二次方程、一元四次方程等高次方程
是否也有类似的求根公式?
1535 年，意大利数学家塔塔利亚最早给出了二次方程的一般解法，不久费
拉里又解决了四次方程，解法发表在《大术》中.
方程的可解性，就是这些方程的解可通过方程的系数，经过加、减、乘、除、乘
方及开方等运算得出，这种根的表示称为根式解或代数解.
随着三次、四次方程陆续解出，人们把目光落在五次方程的求根公式上，然
而近300 年的探索一无所获.阿贝尔证明了一般五次方程不存在求根公式，解决
了这个世纪难题.
多元表征，从不同角度认识问题，是灵活解决问题的基础.
同样，对于低2 + bx + C = O(α 笋0)有下列多种认识方式:
-b 士、b2 - 4αi
( 1 )由求根公式可得x=
、。
ç:_Cb2 -
4ac 二三O)j
2α
(2)d 十bx =- Cj
(3)αY! =- bx -
Cj
(4)ω+f= 一b
其中(2) 、(3 )体现了"降次"代换的思想，( 4)则是构造倒数关系，作等值代换.
有些复杂的方程却有简羊的根的表达式;有些表面是方程的问题，却需要从
等式变形的角度去思考.
正如清末著名学者王国维在《人间词话》中说"诗人对宇宙人生，须入乎其
、
黄东坡@…数时( 九年级)
内，又须出乎其外，入乎其内，故能写之;出于其外，故能观之. 入乎其内，故有生
气;出乎其外，故有高致"
阿贝尔(
1 802-1829) ，挪威数学家.
阿贝尔被视为挪威民族英雄，挪威皇宫内有一尊他的
雕像，这是一个大无畏的青年形象，他的脚下踩着两个怪
物一一-分别代表五次方程和椭圆函数.
历史不会忘记这位杰出的数学家，为了纪念阿贝尔诞
辰200 周年，树成政府于2002 年创立了一项数学奖一一
阿贝尔奖.
马飞数学智慧讲堂
例
l
已知α ，b 是方程_i -x -3=0 的两个根，求代数式2a3 + b2+ 3a2一
lla
b+5 的值.
( 扬州市中考题)
·
分析与解
若求出α ，b 的值代入，则计算复杂.从等式的角度认识方程，利
用根的意义，变形降次.
二• a ，b 是方程_i -x-3=0 的两个根，
λ a2 - a -
3 二0 ，b2 - b -
3 二O.
得a2 = α + 3 ，a3 =α2+ 3a 二。+3+3α = 4a + 3ß= b + 3
原式= 2(4a + 3)+ b + 3 + 页。+ 3)一lla-b + 5
= 8a + 6 + 3 + 3a + 9 -
lla + 5
= 23.
例2
研究速算:
提出问题:47 X 43 , 56 X 54, 79 X 71 ，…是一些十位数字相同，且个位数字之
和是10 的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法?
几何建模
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47 X 43 为例:
2
(1)画长为47 、宽为43 的矩形，如图①，将这
3
个47 X 43 的矩形从右边切下长40 、宽3 的一条，
拼接到原矩形的上面.
(2)分析:原矩形面积可以有两种不同的表达
方式，47 X 43 的矩形面积，或( 40 十7 + 3)X 40
的矩形与右上角3 X 7 的矩形面积之和.即47 X
43 = ( 40 + 10) X 40 + 3 X 7 = 5 X 4 X 100 +
3 X 7 = 202 1.用文字表述47 X 43 的速算方法
是: 十位数字4 加
l 的和与4 相乘，再乘以100 ，
第1 讲
| 山外j
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件
t
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f+一一一-
43 一一一一+-
1
图①
加上个位数字3 与7 的积，构成运算结果
归纳提炼: 两个十位数字相同，并且个位数字之和是10 的两位数相乘的速算方
法是(用文字表述) :十位数字加
l 的和与十位数字相乘，再乘以
100 ，加上两个个位
数字的积，构成运算结果.
提出问题: 怎样图解一元二次方程x- 十2x -
35 = O(x > O)?
几何建模:
( 1 )变形为x(x 十2)=35 ;
(2)画四个长为(x + 2) 、宽为x 的矩形，并构造图形，如图②;
(3) 由面积法求解.
人(x + x + 2)' = 4x(x + 2)+ 2'.
x+2
而x(x + 2)= 35 ,
I I
I 2
I
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I
I X
二(2x+ 2)' = 4xCx+ 2)+ 2' = 4 X 35 + 4 =144. 生
l
|| 生
I+
x 叫-x+2---1
图②
.:s 大jEJJJI5 =(x 十x + 2)' ,
又S 大盯'JJI5 = 4x(x + 2)+ 2' ,
':x >0 , :.x=5.
x
·
'
王
l
l
x十2
方
法
提出问题:求关于x 的一元二次方程x( x + b ) = c( x > 0, b > 0 , c > 0) 的解.
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模的步骤.(用钢笔或圆珠
笔画图，并标注相关线段的长)
111
'也、
却;
(青岛市中考题)
应
用
之
美
3
黄东坡@…… ( 九年锹)
·
分析与解
转换思维，通过构图研究速算，研究方程
几何建模
画四个长为(x + b ) 、宽为x 的矩形，如图③.
则图中的大正方形的面积可以有两种不同的表
达方式: (x+x+ b )' 或四个长为( x+b )、宽为x 的矩形
x
面时再加川毗为b 川方形~íID{J(. t
即(x 十x + b )2 = 4x( x + b ) + 氏
、
.: X( X + b )= c,
:. ( x + x + b )2 = 4c + b2,
.川2x + b )2 = 4c + b2•
'x > o. :.X =J4c + b2- b
.x .? U".x
v ，"
~
2
例3
回归出发点
x+b
x+b
x
在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法思考.试利用方程的
解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题:
已知α 是关于x 的方程r- ( 2k + l )x + 4 = 0 及3r 一( 6k 一
1 )x+8=0 的
公共解，则。二
,k=
({ 时代学习报》数学文化节试题)
·
分析与解
解公共根问题的基本策略是:
当方程的根有简单形式表示时，
利用公共根相等求解; 当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消
去二次项寻找解题突破口
.
[d一(2k + 1) α+4=0
①，
由题意得{
l3d- ( 6k 一
1) a + 8 = 0
(,
由①X
3 一②得。=1.
把a 二
l 代入①得k= 2.
解题方法是数学的灵魂，一个有价值的问题的解决常经历以下心路历程: 冥思
苦想、茅塞顿开、悠然心会、心境澄明.
4
第丁圳阳外U
正如王国维在《人间词话》中所说:‘古今之成大事业、大学问者，必经过三种之
境界:
‘昨夜西风凋碧树，独土高楼，望尽天涯路，此第一境也;
‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴，此第二境也;
‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处，此第三境也"
问题的解决不也如同上述情境吗?假若你在学习数学的过程中也常历经这样
的心境，那么你一定能理解好数学，掌握好数学.
向I静浦探寻1
1.设机，X2是方程r- x -
2013 = 0 的两个实数根，则X13 十2014x2- 2013 =
2.
设方程(x 一α )(x - b)- x = 0 的两根为c ，d ，则方程(x -
c )(x - d)+ x
=0 的根为(
D.
一c ，- d
(黄石市中考题)
3. (1)怎样用矩形面积表示(y + 3 )(y+ 2)与2y+ 5 的大小关系?(其中y> 0)
(2) 当。> 2 , b > 2 时，用图表示αb 与α +b 的大小关系. (要求:参照例2 的
研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤，并标注相关线段的长)
4
若关于x的方程r+kx- 12 = 0 与方程3r- 8x- 3k = 0 有一个公共根，求
实数k的所有可能的值.
C. c,d
B. -
a , -
b
A. a ,b
(四川省竞赛题)
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
5
黄东坡@…数时(九年级
。钝窑案
1. 2014.
2.A.
由(x 一α)( x -
b) - x = (x -
c )( x - d) = 0 得
(x - c)(x - d)+ x =(x - a)(x - b)= O.
3. 几何建模:
( 1 )画长为(y + 3) 、宽为(y + 2)的矩形，按图①的方式分割;
(2)变形2y 十5 =(y + 3)+(y + 2);
(3)分析:图①中大矩形的面积可以表示为(y + 3 )(y + 2 );
斜线部分的面积可以表示为(y + 3) X 1,
填色部分的面积可以表示为(y+2)X
1.
由图形的部分与整体的关系可知:
(y + 3)(y + 2)>(y + 3)+(y + 2) ,
即(y + 3 )(y + 2)> 2y + 5.
(2)根据题意，设。= 2 十m ，b = 2 十n( m > 0 ,
n> 0 ).
(i) 画长为(2 + m ) 、宽为(2 + n) 的矩形，并按
1
图②的方式分割.
( ii)变形为。+ b =( 2 + m)+(2 + n).
图①
( iii )分析:图中大矩形的面积可以表示为(2+m)(2
T卢十「一一
+ n) ，阴影部分的面积可以表示为(2+m)+ ( 2+n).
n
由图形的部分与整体的关系可知:
i
(2 + m阳川>(2 + m)+(2 + n ) ，即ab > a a
+b.
~
~时4一一-
m 一一一. 1
6
4. 设x=xo为两个方程的公共根，
' 1 . 1 '
…
,
{对+ kxo-
12 = 0 ①，图②
则{
l3~- 8xo- 3k = 0 (,
36 -
3k
由①X3 一②得Xo=一一一一，代入①并化简得
3k + 8
ge+ 15!C+ 504k- 528 二0 ，
即(k- 1)( 9!C+ 24k+ 528)= 0 ，但9!C+ 24k十528 > 0,
故k= 1
a
J: 自己方
--.
GY 数学文化巡礼
英国数学家理查德·盖伊曾说"埃尔德什在数学研究上做出了巨大贡献，
但我认为他更大的贡献在于他造就了大量的数学天才"
1959 年，埃尔德什与一个掌握了全部中学课程的名叫拉乔斯· 波萨的
12 岁
男孩见面，他向波萨提出一个自己18 岁时的发现，在不大于2n的n+
1 个正整数
中必有两数王质，让他感到震惊的是，波萨在把汤喝完后就宣布了其巧妙证明:
通过配对组合，运用抽屉原理.
把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和
的形式，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于提示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具;配方法
的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段.
埃尔德什( 1913-1996 ) ，匈牙利数学家，2却O 世纪数
土坛云怪侠.1士埃矣尔徨德‘什以论文多、旅行i远主而萤声数学界
他为"数学界的莫扎才特夺" "西方的拉马努金" "布达佩斯的
魔术师..
《古今数学思想》是美国著名数学家M 克莱因的一部
介绍从古代直至
20 世纪初重大数学创造和发展的著作
，
该书精辟阐述了主要数学分支的创立历程和重大创新，数
学思想的产生和发展，是启边数学家想象力和灵感的思想
宝库.
7
时@带…挝美(九相
数学智慧讲堂
例
1
若t:，ABC 的三条边长。，b, c 满足b + c = 10, bc =d一12α+ 61 ，则t:，ABC
的周长为
( "希望杯"邀请赛试题)
·
分析与解
代入消元配方或构造方程求出。，b ，c 的值.
由条件得b=10-c ，代入另一等式得(10-c )c二d- 12a + 61 ,
整理得d - 12a 十c2一
lOc + 61 = 0,
配方得(α - 6 )2 +(c- 5 )2 二O.
二α - 6 = O,c -
5 = 0 ，得α =6 ，c= 5 ，从而b = 5.
:. t:，ABC 的周长为
16.
例2
已知实数a，b，c 满足a2+ b2- 4a :::三1 ，b2+ c2 -
8b :::二- 3 ，且c2+ d-
12c运
-
26 ，则(α + b)' 的值为(
)
8
A. 1
B.8
C.9
D.27
( 四川省竞赛题)
·
分析与解
不等式可解吗?整理叠加，通过配方由不等导出相等.
由条件得(d+ b2 -
4a )+ ( b2+ c2 -
8b )+( c2+ d-
12c )运- 28 ,
即d - 2a + b2 -
4b + c2 -
6c + 14运0 ，
配方得
(α - 1 )2+( b - 2 )2+( c - 3 )2:::二O .
而( α 一1 )2+( b - 2 )2+( c - 3 )2 二三0 ，
二(α 一
1 )2+(b - 2 )2+(c- 3 )2= 0 ，得α = 1,b = 2,c= 3 ，从而(。十b )'= 27.
故选D.
第2 讲| 配方U
对多项式。2+ ab + b2配方.
·
分析与解
这是一个对称多项式，同一个式子，可以有不同的配方结果，可
以配一个平方式，也可以配多个平方式，故本例有多种配方形式.
原式=(α + b)2- ab
=(α - b)2+ 3ab
'
1 , 7
I
(α 十b) 2
(a -
b)2
= aZ+ bZ+一→可一一一一
4一一
= (α 中+(争)'
I a \2 . I b \ 2 . Iα + b\2
一卜~
l + 卜-t- 1 + I 一一=-~
l
\12) , \12) -T\ 12 )
一|旦土豆ì'+(旦二生了+ ab
\12 )'\ 12)
等等.
若x ，y 是实数，且m = X2 -
4xy + 6)卢- 4x -
4y ，确定m 的最小值
.
(北京市竞赛题)
例4
·
分析与解
选择x 为主元将条件等式重新整理成关于x 的二次三项式，从
配方的角度求m 的最小值.
原式= x' -
4( y + l )x + 6)卢- 4y
二x' - 4(y + l )x +( 2y + 2)2+ 6)卢- 4y 一(2y + 2)2
=( x 一2y -
2 )'十五y -
3 )' -
22.
当x -
2y -
2 = 0 且y- 3=O 时，即x 二8 ，y = 3 时，
m 取得最小值，其值为
22 .
方
法
、
应
用
之
美
思
维
埃尔德什以追求数学真理为人生的奋斗目标，在他的眼里，只有数学是完美和
永恒的
."一个数学家就是一台把咖啡转化成数学定理的机器" ，这是他最喜欢的一句
话.
9
黄东坡@ 带…牡美( 九年级)
,m2_ n2
1. 设m > O,n > 0,m2+ n2= 4mn ，J)!lJ一百百一二
( 南通市中考题)
2
8
中
2. 己知P=Tlfm 一
1 , Q = m2 _ lu5 m ( m 为任意女数) ，则P ，Q 的大小关系为
A. P > Q
B. P = Q
C. P < Q
D .不能确定
(泰州市中考题)
3 . 阅读材料: 把形如ax2 + bx 十c 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式
的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，&P a2 ::!::: 2αb + b2 = ( α ±
1
3
吗
b Y. 例如: (x
•
1)2+ 3 、(x _ 2 )2+ 2x , (-!;-x _ 2 )2 + -;rx 是x2 _ 2x + 4 的三种不同
一
一、
2
丘一
形式的配方.( 即"余项"分别是常数项、一次项、二次项一一见横线仁的部分)
请根据阅读材料解决下列问题:
( 1 )比照上面的例子，写出t一位+ 2 的三种不同形式的配方;
( 2 )将d + ab + b2配方(至少两种形式) ;
(3 )已知a2 + b2+ c1 _ ab _ 3b _ 2c 十4 = 0 ，求α +b+ c 的值.
( 佛山市中考题)
4. 已知一个三角形的三边长是。，b ，c.
( 1 )矿，b2 ，c2一定可以是一个三角形的三边长吗?若是，请说明理由; 若不是，请
举例说明;
( 2 )ab , bc , ac 一定可以是一个三角形的三边长吗?若是，请说明理由; 若不是，
请举例说明;
(3 )求证: d+ bc ,b2+ cα ，c2+ ab 一定可以是一个三角形的三边长.
( 江苏省竞赛题)
10
第2 讲
| 配方d
参弩窑案
C
l
士2j3
1 " , 3
2. Q - P = m2 -
m + 1 =(m 一言)2+可>
O.故选C.
3. ( 1 )略.
lj
j1;
(
_
I 1 1_ \ '
I 3 1_ ' _
( 1 _ I
1_ \ '
(2 )d+ ab + b2= (a +-;;-b 1 ++b'= (-;;-a + b 1 ++a'
飞
2 V)
,
4
飞
2 ~ , V)
11 ,\'
, 3
(3 )由条件得(α 一-;;-b) +一(b -
2 ) ' +(c 一
1
)' 二
O.
\~
2
V )' 4
从而α 一÷b 二O ，b -
2 = O ，c 一
1 = 0 ，得α= 1 , b = 2,c = 1
故α + b + c = 4.
4. ( 1 )、(2)不一定是一个三角形的边长，反例略.
(3)一定可以是一个三角形的三边长，证明如下:
(d+ bc)+(b' + ca) 一(c' + ab)
=α' + b' 十c(α+ b)- c' 一αb
I
b \', 3
=(α 一一) ++b' + c(α 十b - c).
飞
2)
, 4
(
b\ ' ~^ 3"
又α + b > c ，且(a 一~
1 注O ，-:;i-b' > 0,
飞
2)~V'4
(
b\'
, 3
则(a -
~ ) ++b'+ c(α + b - c)> O.
飞
2 J ' 4
因此(α' + bc )+( b'+ ca)> c' + ab
同理可得( a'十bc )+( c' + αb)> b'+ ca;(b' + ca)+(c' + ab)> d+ bc,
所以a' + bc ，b'十ca ，c' + ab 一定可以是一个三角形的兰边长.
!丛
吉fi~
、
应
用
之
美
11
:;\\) 呢?解法策略-----------------------------------.
心障区学文邮视;
"谓一元者，大始也"
元知识是关于知识的知识，元方法是关于方法的方法.元知识、元方法构成
元认知能力.
拥有元认知能力，能从更宽广的思维视野来观察，能从更高的方法层次来
分析.
一元二次多项式、一元一次方程、消元等等都离不开"元"
宋元时期著名数学家李冶所著的《测圆海镜》是我国现存最早的一部"天元
术" 著作，即用"天元"来表示未知数.我们今天的"一元一次方程'"' "一元二次方程"
"二元一次方程组"中的"元"指的就是未知数. 在"天元术" 中，多项式是通过系数
的纵向有序排列来表达的，只在一次项系数的右边标一个"元"字，或只在常数项
右边标一个"太"字，如下图:
I 12
11
兀
11 三T
太
表示多项式x2 + 32x + 256.
换元、主元、增元是元解决策略中的常见方法.
‘ .
第3 讲
I .. 元"解决策略ι .
李冶( 门92-1279) 冲破传统观念的藩篱，
走上从远儒转变为数学家的道路，其所著刊( 坝'J 因
海镜》、《益古j寅段》是我国
1 3 世纪的优秀数学
著作，是中国古代数学的宝贵遗产.
例沙
阅读下列材料:
为解方程(x'一
1 )2- 5(~一
1 ) +4=0 ，我们可以将对一
l 视为一个整体，然后
设~一
1 = y ，则(x2 - 1 )'=矿，原方程化为/- 5y + 4 = 0 ，解得y ，=
1 ，只=4 .
当yl=
1 时，~- 1 =
1 ，得x= 士j2 j 当y =4 时，对一
1 = 4 ，得x= 士15.
故原方程的解为Xl= j2 ，X，=-V径，x)=y号，x~=-15
在解方程的过程中，我们将t一
l 用y 替换，先解出关于y 的方程，达到了降低
方程次数的目的，这种方法叫做"换元法"，体现了转化的数学思想.
请你根据以上材料，解下列方程:
( l )x4-~- 6 = Oj
(2 )(卡
1 )'-(争
1 )一
1 = 0
·
分析与解
在阅读材料的基础上理解问题，解题的关键是把方程中有关联
的部分用一个新字母代替
(1)设x' 二y ，则原方程化为/- y -
6 = 0 ，得yl = 3 ,y,= -
2 ( 舍去) ，从而X l 二
j3,x,=- j3
一一1 +15
一1 - 15
(2) 设τx 一
1 = y ，则原方程化为/ -y 一
1 = 0 ，得yl=
-2一，y，=
2一，
从而Xl=15+ 3,x,= -15+ 3
.二十二巧二个十二
•
·
四
11!时可、
入飞. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . .. .. . . . . .
~J
t
叫叶飞~、!1m]
\、~~g_，\;• ιμω均战吟半;主且'叫-植f二牛;斗斗牛时I!!二:ι
1
方
法
、
思
维
应
用
之
美
13
黄东坡@ 带…挝美( 九年极)
例2
解下列方程:
(1)才王=X2 +X 十
1 ;
K 十3x
, X2+ X -
4
11
( 2 ),.., _2"", ',..,_:-'''''
0 +一一一一一=一一
Y + 2x -
8 I 3K+ 9x
12 .
·
分析与解
直接去分母，就得到复杂的高次方程，观察方程的结构特点
，通
过恰当换元转化问题
(1)设川= 川手=y+
1 ，得l+y -6 二0 ，解得卢，只=-3
当y= 2 时，即K + X = 2 ，解得X ，二
1 ,X2=- 2.
当y 二-3 时，即对十X=- 3 ，此方程无实数解.
经检验知原方程的解为X，= 1 ,X2=- 2.
2 -1句
1
,
1
11
(2)设百tz= 川与y+万丁，
1
4
得6y2_ 11y+4=0 ，解得y ，=τ ，y2=了
5 ::!::,/ 89
进一步解之并检验得原方程的解为X ，= 一
1 ,X2= -
4 ，X) ，4 二一一羊三三
2
例3
设k 二~O ，解方程~十2位2+ e工+ 9k + 27 = O.
(上海交通大学自主招生试题)
·
分析与解
原方程是关于x 的二次方程，无现成公式可用方程中的x ，k 是
有关联的，先求出k 就能求出X. 若视k 为主元，则整理可得关于k 的一元二次方程
原方程重新整理得:Xe+(2K+ 9)k+x)+ 27 = 0,
X2_ 3x + 9
解得k=-x-3 或k=
x
_3
k + JCk - 9)Ck + 3)
从而X ，=- k-3 ,X2-
2
x-3
k -JCk -
9)Ck 十3)
) -
2
14
第3 讲
I u元"解决策略J
例4
已知α 是正整数，如果关于x 的方程x3 +( α+ 17 )x2 +(38 - a)x -
56 = 0
的根都是整数，求α 的值及方程的整数根.
(全国初中数学联赛题)
解法一
.. 当x=
1 时，
1 +(α+ 17)+ ( 38 -
a )- 56 = 0,
二x=1 为原方程的一个根，
从而原方程可化为(x 一
1 ) [对+ (α 十四)x + 56]= O.
':x 为正整数，
二方程x2 +(a + 18)x + 56 = 0
方数
设(α + 18 )' -
224 = m2( m 为非负整数) ，则(α+ 18 )'- m'= 224 ,
即(α + m+18 )( α - m + 18 )= 224 = 112 X 2 = 56 X 4 = 28 X 8.
又。+ m +
18 与α - m+
18 具有相同的奇偶性，且。+ m + 18 >α -m 十
18 ，α + m + 18 > 18 ,
lo+m+lhll2
中+ m + 18 二56
α - m 十四=2α - m + 18 = 4
|α = 39.
la = 12.
Iα = O.
解得{-
- -.或{ -
~.-:
~ { -
- .
1m = 55
1m = 261m = 10.
la = 39,
la = 12,
又。为正整数，所以c
-~ ~ ~ f '
~_-:
1m = 55
-1m = 26.
当α= 39 时，方程①的根为一
l 或- 56;
当α=
12 时，方程①的根为
2 或
28_
综上所述，当α= 39 时，原方程的三个根为
1 ，一
l 和- 56; 当α=
12 时，原方
程的三个根为
1 ，一2 和- 28.
解法二
原方程可化为(x' - x)a = 56 -
38x 一
17x2 - x J
56 -
38x一
17x2- xJ
x'-x
①的判别式.1 = (α+ 18 )2_ 224 必为完全平
或~a + m + 18 =批
la -
m + 18 = 8,
(
,
56
-x-18 一.
x
方
rË
II I
维
显然x手l 时，方程②可化为α
56 _
~
.
,.
~ , 56
γα 为正整数，二-x 一
18 一一一> 0 ，人x+ 四十一一< 0,
x
显然x < 0 ，所以x2 + 18x + 56 > 0, :.x < 一
14 或- 4 < x < 0,
又x 为整数，且x 整除56 ，二x 可取一56 ，-28 ，-2 ，-1
，
由韦达定理知( - 56) X( -
1 )=( -
28)( -
2),
若- 56 和一
l 为方程①的两个根，则一( a + 18 )= -
56 -
1 ，即α= 39;
若一28 和-2 为方程①的两个根，则
(α+ 18)=- 28 -
2 ，即。= 12;
综上所述，当α= 39 时，原方程的三个根为
1 ，一
l 和- 56; 当α=
12 时，原方
程的三个根为
1
，-
2 和- 28
、
应
用
之
美
15
黄东坡@ 带…白菜( 九年提)
对于倒4 . 解法一由;方程系教特点，发现1 为一隐含的报，为高决方程转化为
一元二次方程解捕计论创造了条件，这是解题的关键s解法二转换视角，将原方程
整理为关于a 的较低次数的方程.
在中国古代，列方程的思想已出现在汉代的《九章算术》中，但没有明确求未知
数的概念，随着问题的日趋复杂，需要有一种普遍建立方程的方法，"天元术"便应运
而生.
李冶对"天元术"的总结与提高，使方程理论基本摆脱了几何思维的束缚，实现
了程序化.
人们这样评价他
"金亡北归，讲学著书，秘演算术，独能道德、文章，确然自守，
至老不衰
"
1. 解下列方程:
1251 年，李冶在封龙山开始收徒讲学，从事数学
教育活动.封龙书院因为李J台的影响而成为唯一的研
究数学而见长的书院，以数学成就赢得人们的关注，封
龙书院具有重要的数学文化价值.
2(x + 1)2 , X + 1
( 1 )一一王了一一+一王一- 6 = 0;
(2)(x+ 1)(x+2)(x+3)(x+ 4 )= 120;
( 3 )x4 -
2)3x>- x + 3 -)3= o.
2 . 已知三次方程旧2+ 2( 2a 一
1 )x + 4( α - 3)二0 至少有一个整数根，求正整
数α 的值
16
-
.
第3ì芬
I
..元"解决策略U .'
参霉雹襄
也
方
法
1. (1 )Xl 二2 ，X2二一÷
(2)Xl 二- 6 ，X2二
l
(3)设J3 =a ，则原方程化为X4 -
2旷- X + a2 -
a = 0,
整理成关于。的方程:矿一(2x2 +
1)α 十矿-x 二0 ，
:.[α 一(矿
x )][α
(x2 +x+l)]=0 ，
得。二T-X 或。二X2 +X+
l.
即对-X -J3= 0 或x2 +x+l- J3 =0
1 :tJ1τ 4J3=1-': 一一一
1 :t扎在-3
一.一
2
--^, ~
2
2. 下面解法仅供参考:
2x + 12
将原方程整理成关于α 的方程:主与x手一2 时，α=一一一一;当x=-2 时，原
(X + 2)2
方程不成立，a 元解.
..α 为正整数，
. 2x + 12 ~ ^
r1 -,'-'''lr*"-
Cl n 12x + 12 > 0,
一一一一丁> 0 且为整数，即!
'(x + μ
12x + 12 >(x + 2)2 ,
解得-4运x ::O三2 且x手-2
λ 整数x =- 4,- 3,0, 1,2.
14
分别代入原方程得α=
1
，6 ，3 ，亨，1.
又γα 为正整数，故α 的值为
1
，3 ，6.
..工
思
主fii
、
应
用
之
美
17
像建筑师那样思考
•
,
,
心数学文化巡礼
有人说建筑是凝固的音乐，音乐是流动的建筑.
"难道不可以把音乐描述为感性的数学，把数学描述为理智的音乐吗? "以
使用"矩阵" 一词，发展行列式理论而闻名的英国数学家西尔维斯特的这一评论，
描述了数学与音乐的关系.
像建筑师那样思考: 一方面记住手中的建筑材料，另一方面紧盯要建造的建筑，
设计出环保实用、安全舒适、审美愉悦且与环境相适应的建筑.
悉尼哥剧院、西班牙古根海姆博物馆、北京CCTV 新大楼、鸟巢……
建筑师们运用新材料、新技术，充分吸收新的数学思想，大胆运用几何形体，
丰富了建筑语言，设计创造了更加简约、时尚，符合现代人审美观念的建筑佳作，
构成了雄伟的现代建筑艺术交响乐的独特乐章.
构造方程，即用已知条件作材料，用所求结论作方向，构造
出一个一元二次方程的形式，使得问题在方程的观点下方便快
捷地得到解决构造一元二次方程的常见方法有以下几种:
( 1 )利用根的定义构造;
(2)运用韦达定理的逆定理构造;
(3)用主元法构造.
西尔维斯特0814-1897)
惶噩筑师那样思考
为了能成功地应用构造法，解题者必须成为一个"建筑
师，"，\，一方面应当记位手中的"建筑材料"，I:!即F 已失知口条件提供的信
息;另一方面' 也不妥忘记我仇们]妥制造的
I 18
--"…一
一
…….. 一
…
iκ
一.._.ω……
求的事物.
第4 讲
| 像建筑师那样思考证
、) 数学智慧讲堂
/αb 2 + b2 -
3α+1 \ 5
设。2 + 2a- 1 = 0 ，扩- 2b2 -
1 = 0 ，且
1 -aY手o. 求(UU T
U n :J U T
1)
例
1
的值.
(鄂州市中考题)
。，b 可求吗?通过变形，能得到。，b 的关系吗?其实，两式的结
分析与解
构是完全相同的
由条件可得(士r一壮)- 1 =仰等式两边同除以
d) ,
(b 2 )2 -
2b2 一
1 = 0,
士，b2 分阳方程:x! -
2x 一1=0 的两个不等实数根，
得j十仨2 ，号=一
l
( • 7' b2
~，
1 \ 5
. . 原式二w+ ~ - 3 + ~) =( -
2 )5 =- 32
2013 年，美国科学新闯网站刊登了由世界各
国科学家们鼎力才推住荐的十大影回响向世界文明的"魅
力方程
种程度上解呆桦手了人们吹出的那些月肥巴皂j泡色的秘密.
例2
在矩形ABCD 中，已知AB= α ，BC= b ，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D
运动.
( 1 )如图①，当b = 2a 时，点M运动到边AD 的中点时，谢正明正BMC = 90 0
•
方
法
思
维
、
应
用
之
美
A 一→M
n
A•
M
n
A 一. M
n
BVV BF\[ BI
;
图①图②图③
(2)如图②，当b>2α 时点M在运动的过程中，是否存在石BMC = 90 0
?若
存在，请给出证明;若不存在，请说明理由.
19
黄东坡@带…性美(九年银)
( 3 )如图③，当b < 2a 时，( 2)中的结论是否仍然成立?请说明理由
(
11各汾市中考题)
·
分析与解
恰当引入参数，建立含有该参数的一元二次方程，将问题转化
为判定判别式值的正负性，解题的关键是分析由ζBMC= 90 。能推导出什么结论.
(1)略.
(2)存在，理由如下:
若LBMC = 90 0 ，则可证明
f:::.ABMω f:::.DMC ，(想一想，为什么? )
AM
AB
..DC DM'
设AM=x ，则专=tz ，
整理得:x! -
bx + α2 二0 ，
γ b > 2α ，a> O,b > 0,
:..1二扩- 4a2 = (b + 2a)( b -
2α)> 0,
二方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意.
故当b > 2α 时，存在LBMC = 90 0
•
(3)不成立，理由: 若ζBMC = 90 0
，由( 2)可知对- bx + a2 = O.
γ b < 2a ，α > O,b > 0,
二L1 =b2-4a2< 0 ，所以方程没有实数根
λ 当b < 2α 时，不存在ζBMC = 90 0
，即(2) 中的结论不成立.
「伊~ Y
已知。，b ，c 均为实数，且α + b + c = 0, abc = 16 ，求正数c 的最小值.
·
分析与解
把α +b 和ab 用含c 的式子表示，逆用韦达定理建立关于c 的
方程.
16
~ .，
" , _L. ~M
"
, 16
由条件得。+ b =- c,ab =~，则α ，b 为方程:x! + cx 十
= 0 的两个实根.
C
,
." 16 ~ ^
1
二L1 =c2 -4X 丁了二主0 ，c3 二三64 ，即c 注4.
故正敖c 的最小值为4
例4
已知实数。，b 满足。+ ab + b = 3 ，若m = α
αb + b ，求m 的取值范围
·
分析与解
通过计算把α +b 和ab 用含m 的式子表示，为后续丰富的联
想提供支撑
20
第4 讲
[ 像建筑师那样思考UJ
m+3 .
3-m
由条件得α + b ='" 2 一，αb=2一，
m + 3
句
则α ，b 可看作方程x2 一-一--=-x +一一旦=0 的两个实根，
2
~，
2
1 m + 3\2
. " 13 -
m \
一
=1 一一言一) -
4 X~2一
I ~三
，
即m 2 + 14m 一
15 ;主0 ，
解得m '"二-
15 或m 注1.
富勒( 1895-1983 ) ，美国建筑师、工业设计师、数学家、发
明家.他发明的张力杆件穹窿被称作是迄今人类最强、最轻、
最高效的合围空间手段
富勒的洞察力在于他看到了传统的多面体、球和建筑之间的联系，这一联系的
具体化，便成了网格球顶，即把正二十面体表面的正三角形分成多个相同的正三角
形，将这些相同的正三角形内接于球体内.
他的全部创作都源于"设计科学"思想，目标是将人类的发展需求与全球的资源、
发展中的科技水平相结合，用最高效的手段解决最多的问题.
.,.,.
w可
方
法
j思
维
l 已知。，b 满足等式。2 二7 -
3a ,b2 = 7 川U代数式士+f=
2 . 已知四个互不相等的正实数。，b ，c ，d满足(α 川一c 川)( α 川- d川) = 2012 ,
(b 2012 _
C2012 )( b2012 -
d 2012 )= 2012 ，则(αb )2012 - (cd )川
、
应
用
之
美
(天津市竞赛题)
21
D.2011
C. 2012
B.-2011
A. -
2012
黄东坡@ 带你发现数学技( 九年级
3 . 求证:对任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使矩形B 与短形A 的周长和面
积比都等于k( k二三1 ).
( 台州市中考题)
1 , 1
4 . 设实数α ，b 满足d( b2+ 1)+ b( b + 2α )二40 ，a( b + 1) + b = 8 ，求~2 + Î/
的值.
( 全国初中数学联赛题)
@ L参籍禀
___p.
23
1. 2 豆豆
7一-
2. A.
a 却1 2 ，b2012 可看作方程(x -
C20叫(x -
d却叮= 2012 的两个实根.
rx + y = k Cα + b) ,
3. A 与B 的长和宽分别是α ，b 和x ，y ，则|
, .. . l砂= 归b.
于是x ，y 可看作方程t 2 -
k( α + b )t + kab = 0 的两根.
L1 =[k( α + b ))2 -
4kab = ea2 + 2eab + kW -
4kab 二?:. k2α 2 + 2k2ab + kW -
4eab 二e(α- b)2 二三O.
又kab > o ，k( α + b )> 0 ，说明两根均为正数，故这样的矩形B 总是存在的.
4 .
由已知条件可得:
αγ+ (α + b )2 二40 ，ab + (α + b ) 二8 ，
设α + b = x ，αb = y ，则有r十l= 40 ,x + y = 8.
联立解得(x ，y)=(2 ，6 )或(x ，y )=( 6,2 ).
若(x ，y ) 二(2 ，6) ，即α 十b = 2,ab = 6 ，则。，b 是一元二次方程f- 2t + 6 =
0 的两根，但这个方程的判别式.1 =( -
2 )2-
24 =- 20 < 0 ，没有实数根;
若( x ，y )= ( 6 ，2 ) ，即α + b = 6 ,ab = 2 ，则。，b 是一元二次方程f- 6t + 2 二
0 的两根，这个方程的判别式.1 = ( - 6 )2- 8 = 28 > 0 ，它有实数根，
1 , 1 d+ b2
Cα + b)2-
2αb 62 -
2 X 2
所以d+ Î/=丁iH -
a2b2
一
22 一= 8.
22
-__-‘'
65 数学文化巡礼
方程是刻画现实问题的有效模型之一.
毕达哥拉斯定理、牛顿第二定理、麦克斯韦方程组、爱因斯坦质能方程等被
认为是历史上最伟大的方程.
著名物理学家杨振宁曾言
"牛顿的运动方程、麦克斯韦方程组、爱因斯坦的
狭义与广义相对论方程、狄拉克方程，它们以极度浓缩的数学语言写出了物理世
界的基本结构，可以说它们是造物主的诗篇"
20 世纪美国著名的分析哲学家卡尔纳普曾说"自然可以用相对低次的数学
方程解释，这真是件惊奇和幸运的事"
我们欣赏方程，是因为:
欣赏方程中的数学本质
一一方程是基于"式"的运算;
欣赏方程中的理性精神
一一方程是探寻"未知"的绝佳思维模式;
欣赏方程中思维内在的和谐
一一方程是在还原与对消中寻找不变量.
言ZT言肤的
人类在认识世界的进程中，学会用抽象、简洁的方程式来
高度归纳科学规律，从亚里士多德、牛顿、爱因斯坦的时代直到
今天，无数的方程展现了人们破解物质运动、光电问耀、时空变
幻等自然现象的曲折经历
，彰显了人类百折不挠的探索精神.
23
黄东坡@…数时(九年银)
理Jj)
如图，梯子AB 斜靠在墙上，OA =b ，OB= α，当梯子下滑时，梯子地
上端和下端滑动的距离相等吗?
才'芽、
。……E立豆$
·
分析与解
生活中感觉上端和下端滑动的距离相等，这其实是错误的
可以设AA ' = x ,BB' = y ，x 与y 的大小关系与α ，b 有关，将问题转化为解方程、
不等式
y= OB'- OB=)Ccl+ b2) 一C b - X)2- a =)a2+ 2bx -
r一α.
当y>x 时，即)cl+ 2bx - r- a > x ,
。2 十2bx - r > a2 + 2ax + 泛，
r+(α -b )x < O ，解得O <x<b 一α.
.. 当b > α 且x < b-a 时，y > x.
同理，当b > α 且x= b - a 时，y= Xj
当b> α 且x> b 一α 时或当b运。时，y<x
数学家卡普利加在一次旅行中，看到路边一块里程碑被雷电劈成两半，其中一
半上面刻着30 ，另一半上面刻着25 ，他忽然发现了一个绝妙的数学关系:
30 + 25 = 55 ，55 2 二3025.
把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字，这样的数被命名为"卡普
利加数"
进一步追问:四位数的卡普利加数有几个?
24
第5 讲
| 当梯子下滑后J
求满足下列条件的所有四位数abcd: αbcd = (ab + cd Y
，其中c 可以为O.
(上海市竞赛题)
19IJ 2
·
分析与解
视。b ，cd 为整体，建立αb 与
cd 的关系.
设αb = x ,cd = y ，则x ，y 为正整数，且
10运x :<:三99 ，0 :<:三y运99 .
由题设可知( x + yY 二
100x + y
(,
即r - 2( 50 - y)x + Ý
•
y = 0 ，而x ，y 为正整数.
λ .1 = 4( 2500 -
99y)为完全平方数，
从而2500 -
99y 为完全平方数.
设2500 -
99y = JÇ(kEZ ，O 运k :<:三50 ),
则( 50 + k )( 50 -
k )= 99y ,
二11 整除( 50 + k) 与
11 整除( 50 -
k ) 至少有一个成立.
': 50 运50 + k :<:三100 ，0 :<:三50 -
k :<:二50 ，
人50 + k= 55 ，66 ，77 ，邸，99 或50 -
k 二0 ，11
，22 ，33 ，44 .
二99y= 55 X 45 ,66 X 34 ,77 X 23 ,88 X 12 ,99 X 1 或99y = 100 X 0,89 X
11 ,78 X 22 ,67 X 33 ,56 X 44.
二使y 为非负整数的只有y = 25 ,y = 1,y = O.
回到方程①，解得x = 30 或20 ，x = 98 或O ，x = 0 或
100 .
显然，x = 0 或100 不符合条件.
故符合条件的四位数共有3 个:30万，20万，980 l.
I
叫
十十十十呐.
山忡地在.，_ J4ib.JL1，中.牛牛牛山11年中必也斗中川崎卒111二L 2&平;也扭
方
法
测试数学能力或培养数学能力都离不开问题.
科学性是设计编制一道问题的基本要求，而下面这道竞赛题却是一道错题:
如图，在正方形ABCD 中
，Lo. AEF 是正方形的内接三角形，L三EAF = 45 0, AB =
8,EF = 6 ，求Lo. EFC 的面积.
、
思
维
、
应
用
之
美
D
?F
C
25
ν
E
A <
B
黄东坡@ 带…挝美( 九年级)
麦克斯韦用方程纽统一电、磁和光学，成为统一的经
典电动力学，这是一个宏伟的数学表达，深奥、微妙、简单，
如诗人赞美:
是哪位神明写出了这些符号，
灵魂的渴望平静下来，
让大自然的秘密向我敞开.
o
如图
，E ，F 分别是正方形ABCD 中BC 边和CD 边上的点，且正EAF = 45 0，求
EF .L L ""
r 1-+
A"，一一一←~ D
一一的最小值
AB
F
C
(世界数学团体竞标赛试题)
·
分析与解
为表示线段间的关系
，需引入字母，设AB= α ，EF= b ,BE =
x ，建立关于x 的一元二次方程
1 26
可证明EF= BE + DF ，DF 二b -
x ,
CF=DC-DF 二α
( b -
x)= α - b +x.
由EF 2 二EC 2 + CF 2 ，得b2 =(α- x )2 +(α - b + X )2 ,
整理可得对- bx + a2 一αb = O.
γ BE 存在，二x 有实数解，则A 二三0 ，即b2 -
4( a2 -
ab ) 二三0
(
,
γ b> 0,
. ①式即41 旦y- 41 旦卜
1 ::三0 ，
飞
b
/
飞
b /
得二2土l~旦〈亟土1
2
-...;:: b
飞
2
4> 0 ，λ 只取0 <旦<J2士1 ，则立二三2J2- 2 ,
b -"';::
2
. EF
仄
的最小值是2、2 - 2"'='0. 828.
. AB
~J
.J'f)!._
' ~
IJ::L.I"'- " V ""
第5 讲
| 当梯子下滑后》
思维的批判性，即不迷信书本、不崇拜权威、不人云亦云，通过自主探索、独立思
考作出判断.
南宋朱嘉曾说"读书无疑者，须教有疑.有疑者，却要无疑，到这里方是长进"
明代陈献章说: ‘有甘辈谓学贵知疑，小疑则小进，大疑则大进，疑者，觉悟之机也.一番
觉悟，一番长进"
就解题而言，问题是否科学?解法是否正确?有没有不同的解法?解法孰优孰
劣?有许多值得思考与探索的空间.
一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们的一个侧面重叠后组成的几何
体有几个面?
这是美国一道有8 3 万人参加的数学竞赛题，标准答案是7 个面，而佛罗里达州
的一名中学生丹尼尔的答案是5 个面.他做了一个模型给出证明，向考试委员会申
诉，最后被证明是正确的
用道理挑战权威，是学习的最高境界.
"不要迷信权威，人云亦云"这是镑刻在英国皇家学会会徽上的微言大义.
"独立之精神，自由之思想"这是著名学者陈寅恪的精神写照，亦是思维批判的
让思维回归理性，怎样提出合适的问题、有新意的推断、有根
据的反驳?
终极追求.
向数学运嫌号子
方
法
•
• •
•• •
•• ••
• • •••
• • •• • •
••••• ••
••• •• •• •
• • •••• • ••
• •••• • ••••
••• • •••• • ••
...
1. 实验与探究:
三角点阵中前n 行的点数计算: 如图是一个三角点阵，从上向下
数有无数多行，其中第一行有
l 个点，第二行有2 个点……第n 行有
、
思
维
n 个点.
、
应
用
之
美
易求得三角点阵中前州的点数的和是卡(n + 1)
请你根据上述材料回答下列问题:
( 1 )三角点阵中前n 行的点数的和能是600 吗?如果能，求出n; 如果不能，试结
271
时@阳浏叫(九年银
合一元二次方程说明道理;
( 2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2 ，4 ，6 ，… ，2n ，…，你能探究
出前n 行的点数的和满足什么规律吗?这个三角点阵中前n 行的点数的和能是600
吗?如果能，求出n ，如果不能，试结合一元二次方程说明道理.
(凉山州中考题)
2 . 计算求得3 2 + 42 二夕，102 + 112+ 122= 132+ 142 ，求所有的正整数k ，使得
存在2k+
1 个连续的正整数，满足前k+
1 个正整数的平方和等于后k个正整数的
平方和.
(上海市竞赛题)
3. 是否存在一个6ABC ，它的三边长'恰好是三个连续整数且其中一个内角等于
另一个内角的2 倍?若存在，请证明你的结论;若不存在，请说明理由.
(全国初中数学竞赛题)
4. 如图，某人用一张面积为S 的三角形纸片ABC 剪出一个平行四边形DEFG.
求证:SODEF'斥÷s
A
B
E
F
C
g
l. ( 1 )因为方程矿+n 一
1 200 = 0 元正整数解，故兰角点阵中前n 行的点数的
和不能是600.
(2) 由2+ 4+ … + 2n = 2 X土n(n + 1)= 600 得n2+ n -
600 = 0 ，解得n ，
2
= 24 ,n2= -
25( 舍去).
28
第5 讲
l 当梯子下滑后勺f
2. 设n2 + ( n+ 1)2+…+( n + k)2 =( n + k + 1)2 +( n + k + 2 )2 +… +(n +
2k) 2 ，其中n ，k 都是正整数.
λ ( k + 1 )n2 + 2( 1 + 2 +…+ k)n + r + 22 +…+Iè
= kn2 十2[(k + 1 )+(k + 2)+…+ 2k]n +(k + 1)2 +(k 十2 )2 +… +(2k )2.
即旷- 2lèn -
1è(2k + 1)= O.
解得n=2扩+k 或n=- k( 舍去).
人对任意正整数k ，都存在2k+
1 个连续的正整数: 21è + k , 21è + k + 1,… ,21è
+卦，满足前k+l 个正整数的平方和等于后k 个正整数的平方和.
3. 如图，设ζA = 2LB ,BC = α ，AB= c ，延长BA 至点D ，
扎
使AD=AC=b ，连接CD ，则L:. ACD 与L:. BCD 均为等腰三角形
/1 、\
DJ------ t一一一一-" 8
AD
CD
<l n b
由L:. ACDω L:. CBD ，得一一二一一，即一=
CD
BD
αb 十c'
:. a2 = b( b + c).
①当α >c>b 时，设α =n+
l
，c=n ，b 二n 一
1 ,
代入。"= b(b + c) ，得(n + 1 Y = (n -
1)( 2n 一
1 )，解得n = 5 ，有。= 6,
b = 4 ,c = 5.
②当c>α >b 时，设c=n+l
，α = n ,b = n 一
1
，
代入d = b(b + c) ，得矿= 2n(n 一
1 )，解得n = 2 ，有α =2 ，b=l
，c=3( 舍
去).
③当α >b>c 时，设α = n + l ,b = n ，c 二n -
1,
代入α2 = b(b + c) ，得(n + 1)2 = n( 2n 一
1 ) ，即n2 -
3n 一
1 = 0 ，此方程元
整数解.
故存在符合条件的三角形，且只有三边长分别为4 ，5 ，6 构成的兰角形满足条件.
4. 如图，过点A 作AH j_ BC 于点H ，交DG 于点R ，记在"JDEFG = 品，
':DGjjBC,:. L:.ADι今L:. ABC.
. DG
AR _AH-RH一
1
RH
.. BC
AH
AH
.
AH'
DG , RH
en~~+一一=1.
BC 'AH
J曰DG
RH
S,
又由面积公式1~-~;::'
•
.l TT-
苛BC
AH
2S'
. DG RH
一一是关于x 的方程x2 - X 十二k-= 0 的两实根，
. BC ' AH-'=./'-
~
~ H .J/.J "= ~
~'2S
'.,1= 12- 4 X 主k- ?O 得S，三三土s
2S ::;"--V ，可
即岛以
A
与乒一一ι--i，G
/r.
B
E
HF C
方
法
、
思
维
应
用
之
芙
29
(\
!) 对偶原理
---------- ------ - ----- --- --.
,
,
一个代数方程能用根式解或不能用根式解的判断方法是什么?
这一问题落在了年轻的法国传奇数学家伽罗华的肩上.
1832 年5 月底，在参加决斗的前一天，伽罗华写下了三封著名的信，其中一
封是写给好友舍瓦烈的，主要谈论数学问题，概括总结了自己几年来的研究成果.
一个代数方程可根式解，当且仅当它对应的"群" 是可解"群"
伽罗华的思想方法与众不同，提出"群"的概念，研究"群"的结构，从观念上
突破了传统的直接计算的思维方式，开拓了研究方程的新途径.
伽罗华的思想方法是:把具有某种对称性的数学对象称为"群"，每一种代数方
程都有一个"群"
在平面几何中，接合性是研究图形性质最基本的一种方法，如"一点在一直
线上" 可换一种说法一一"一直线通过一点"，只是"点"与"直线" 两个名词相互交
换了位直，隐喻了怎样的方法原理?
"敏捷诗千首，飘零酒一杯"这是杜甫辗转得悉李白已在流放途中获释而作.
对联是汉语中的一朵奇花，呈现对仗之美的不变性，即字面上、词类上、声律
上相对相称.
数学上的对偶使我们从不同的角度去理解问题，既可以是同一对象的不同
描述，也可以是不同对象的类比推理.
对偶原理，即对于一个已知数或代数式或一个已知命题，我们引进一个与之
对应的有某种对偶关系的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单.
1 30
第6 讲
[ 对偶原理V.:
伽罗华( 1811-1832) ，法国数学家.他深入研究了代
数方程能用根式求解所必须满足的条件，将解代数方程
问题转化为讨论与系数域有关的代数新结构一一群的
问题来研究，对代数方程作出了突破性的贡献.
1 " 3 " 5 "
,, 99 _ 1
求证:A =一×一×一× … ×←:~ <
2 " 4 " 6 "
" 1 00 - 1 0 '
f9IJ
想一想，直接计算可行吗?
引入一个与A 相对的算式，与A 一起
2 " 4 " 6 "
,, 100
设B =一× 一× ←×…×
3 " 5 " 7"
" 101 '
. 1 _ 2
3 _ 4
99 _ 100
一<一一<一… 一一<一一
2 - 3 ' 4 - 5'
, 100 - 101 '
:.0 < A < B
1 " 3 " 5 "
"
99
,
, 2 " 4 " 6 "
,
, 1 00
1
又A
.B =一一×一:-X 一~X … × 一一一× 一一× 一~ X 一一× … × 一一一=一一一
2 " 4 " 6 ' ,
" 100 " 3 " 5 " 7 "
, , 1 0 1
1 0 1
'. A2 < A • B 二←L
101 '
1
1
'.A <一万?于<一一
气
101 -.. 10 '
•
分析与解
参与计算.
t~( )6 +15)6 大的最小整数是多少?
l伊IJ T
方
法
、
应
用
之
美
lI1
维
(西安交通大学少年班考试题)
31
分析与解
直接展开计算，会比较烦琐，可以引入有理化因式辅助解题.
设x=而+J言，y 二)6-15
x+y=2品，xy =
1 ，于是对十j = (x + y )2 -
2xy = 22 ,
矿+ / =( x + y)(x2 一砂+ j)= 42品，
x6 + /
= (x3 + /)2 -
2xγ= 10582 ，即(而+ 15)6 +( )6-15)6 = 10582.
':0 <而-15< 1, :.0 <(而-15)6 < 1,
:. 10581 <()6+15)6< 10582,
即比( J6+15)6 大的最小整数是105 82.
•
时@ 带…挝美( 九叙)
例3
己知α ，β是方程对一7x + 8 二O 的两根，且α>卢，不解方程，求去+3卢2的值
( "祖冲之"杯邀请赛试题)
•
分析与解
原式不是关于α ，卢的对称式，引入一个与原式相称的式子，为根
与系数关系的运用创造条件
由根与系数关系得α 十卢= 7 ，α卢= 8,
:.a'+ß' = 33 ，( α -ß) ' =( α +ß)2 - 4α:ß= 17.
因为α >卢，所以α -ß= Jl子，卢一α 二-Jl7
记A=去+珩2 ，令B=去+3α2 ，从而
A+B= 壮+去)+ 3(α'+β')= 1咛;
A - B = 2(去去) + 3(ß+α)(卢一α)= 一手而
于是A=土(100+一旦旦J刊=↓(403 -
85Jl7)
\'~~4
4 V" /
。
伽罗华的最后一句话是"不要哭，我在20 岁的年纪死去，需要我全部的勇气"
数学家及数学史家给出的结论是:他的死使数学的发展推迟了几，年.假如他不
英年早逝，那么现代数学将会是什么样子?
在《无法解出的方程》中，作者利维奥这样描述伽罗华"对于一个20 岁就死去
的男孩你能说什么呢?他既浪漫，又有天分，并且，他热爱数学，他死于误会和自杀"
这位被誉为集莫扎特天赋和拜伦浪漫于一身的数学家死于一场单恋的决斗.
1 32
第6 讲
| 咐理》
f E
:\.'、、飞i.
. .、
、.
自然界的对称之关，曾使无数人为之倾倒，然而，科
学家李政道和杨振宁却提出了基本粒子在弱相互作用
条件下的宇称不守恒定律.
著名画家吴冠中的水墨画《柳与影》形牢地显现了
物理学理论关于自然界对称与不对称原理的深刻内涵
和理论表达美.
·如..;.........~.
‘
也
川
、
命i戴学二5美探寻
1
1
1
1.
'"
"'^^ r
.....^^I""f n _l. ---Þ-.,./,"...l1I:J...___J_l.l - r
.当x 分别取值一一-一…
1 ,2 , ... ，2006 ，2007 时，求出代数飞一一一的
2007'2006'.. '2' 1 ,..::., ... , "::'vvo , ..::.VV I 1'l'J ,'>.1'- ìIj'l "XJ(.;J:\ 1 +:x!
值，将所得的结果相加，这个和是多少?
2. 已知x - y = 6,J :x!- xy+J xy - 1= 9 ，求♂=万- Jxy-I的值
(全国初中数学竞赛题)
3 . 已知V7x2+ 9x + 13 十V7x2- 5x + 13 = 7x ，求x 的值.
(全国初中数学联赛题)
1怠
1-x2
，
1 一山2
1
J
t
l
l
一一一+一一÷÷=一一土+一→寸= 0 ，故这个和为o .
. 1 +X2 ' , , (1 \2 -1+x2'1+x
1 +I ~ l
\ X /
2.4. 设♂- xy-J xy - 1 = t ，则9t= 对一切1 +I=(x - y )2= 36 ，故t = 4.
3. 设V7:x!+ 9x + 13
飞/7x2 - 5x + 13= A ，与条件等式相乘得:
14x = 7xA ,A = 2.
epV7x2+ 9x + 13- V7:x!一如+ 13= 2.
7x + 21 ,....
，.../.~
12
可得飞/7xz+9x+l3=-3- 1，进一步得x =T
33
方
法
、
思
就
应
用
之
英
: 化归
、
、
飞》数学文化巡视
爱因斯坦、普朗克等在劳厄的家中
----------------自-- .
德国著名物理学家冯
· 劳尼曾
说"教育无非是一切己学过的东西
都忘掉时所剩下的东西"
当数学知识遗忘了，剩下的就是
数学思想方法.
历史与经验表明:作为知识的数
学，通常是出校门一两年，很快就遗
忘了.然而不管从事什么工作，那种深
深记在脑海中的数学思想方法却长久地在工作中发挥作用.
数学思想是人们对数学知识本质的认识和概括，是建立数学理论解决问题
的指导思想; 数学方法是研究问题的手段、途径、步骤、方式或程序，是联系知识
的纽带，是实现知识向能力转换的桥梁.
数学(家)特有的思维方式是什么? 若从量的方面考虑，通常是将抽象问题
符号化，在一个概念和公理体系内实施推理计算;若从"转化"这个侧面又该如何
回答?匈牙利女数学家路沙
· 彼得在《无穷的玩艺》一书中写道"作为数学家的
思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，
直至把它转化为已经能够解决的问题"
1 34
第7圳化归V
~数学智慧讲堂
例
l
已知方程x2- 3x -
1 = 0 的两根也是方程x4+ 即2 + bx + c = 0 的根，则。
+ b -
2c 的值为(
)
A. 一
13
B.-
9
D. O
C.6
( 全国初中数学联赛题)
·
分析与解
问题中一个方程为高次方程，怎样化高次方程为低次方程?根
据根的定义、根与系数的关系、待定系数法等可实现转化与化归.
Z 土一
设x ，，X2是方程x2 - 3x -
1 = 0 的两个根，则对= 3x ，+
1 ，
代入另一个方程得(3x，+ 1 )2 +α( 3x ，十
1 ) + bx, + c = 0,
即9X ，2 + 6x,+ 1 + 3ax ，+ α 十bx，+ c = 0 ,
9( 3x,+ 1 )+ 的，+ 1 + 3ax ，+ α + bx,+ c 二O.
川3α + b + 33 )x ，+ α+ c + 10 = 0
(
,
同理( 3α +b 十33 )X2+ α+ c + 10 = 0 (
,
由①一②得(3α + b + 33 )(x,- X2)= 0,
'，' x ，手X2 ，即x，- X2手O.
二3α + b + 33 = O,a + c + 10 = 0,
联立上面两个等式得α=-c 一
10 ，b = 3c -
3,
"
原式= ( -
c 一
10 )+( 3c - 3)-
2c =一口，
故选A
F活一
由题意知多项式扩+ω2+ bx + c 的一个因式是y - 3x -
1,
故可设对+即2 + bx = (y- 3x 一
1 )(y+ mx -
c ),
展开比较对应项的系数得: m -
3 = 0,- 3m 一l-c=α ，3c -
m = b ,
α = - c -
10 ,b = 3c - 3.
同解法一知选A.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与
解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化:实际
问题与数学问题的转化、数与形的转化、常量与变量的
转化、一般与特殊的转化等.
35
转化与化归
时@ 带你发跚学以(九相
2k
工
缸十
1
例2
若关于x的方程-一一- --z-一
-一一一只有一个解(相等的解算作一个) ，试求
x -
1 xL -
X
X
k 的值与方程的解.
(江苏省竞赛题)
·
分析与解
先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整
式方程的解的讨论，"只有一个解" 内涵丰富，在全面分析的基础上，求出k 的值.
原方程化为位2 _ 3kx + 2x 一
1 = 0 (,
( 1 )当k=O 时，原方程有唯一解x 二÷
(2) 当k手0 时，方程①的.1 =5扩+ 4 ( k 一
1 ?> 0 ，因此方程①总有两个不同的
实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0 或
1
，显然
O 不是方程①的根，故x 二
1 ，得k=÷
5
例3
已知A ，ß 是两付兑角，且满足sidA + cos2ß =+ t ①，cos2A 十sin2ß =+f (,
4
求实数t 所有可能值的和.
·
分析与解
运用同角三角函数关系建立关于t 的方程.
5
, 3
由①十②得( sin让+ cos2ß) 十( cos让+ sin2ß)=+ t ++f
4 '
, 4
5
, 3
即
t ++f- 2 = O.
4' , 4
1=(÷)y2一4 X ! X(- 2) > 0 ，
方程由两个不同实根A
4
5
λ 由根与系数的关系得t，+
t2 =-一一= 一一
3
3 .
4
即实数t 所有可能的值的和为一÷
问:上述解法正确吗?为什么?求出正确答案.
5
其实上面解法不正确，这是因为t 需同时满足o <+t < 2,0 <+f < 2 ，解关于
4
8
t 的方程得t，=
1 ，t2二一τ( 舍去)，故t 的所有可能值的和为
1.
;吧-川-京叮叮叮阴咛俨叫罗?宁宁!于111吨鸭嚼炯I
.门
斗叶飞如
III
二山吨位-飞毛吨ιa唱I
l
ι
马青rlmJ
川川
‘二~;
, J ":
~';:，~ .."'"'....J!t.川注重越难困I
队.川川--叫心豆==公L
1 36
例4
我们把两条中线互相垂直的三角形称为"中垂三角形"例如图①、图②、图③
中，AF、BE 是L:.ABC 的中线，AF l_ BE ，垂足为点P ，像L:.ABC 这样的三角形均为"中
垂三角形"设BC = a ,AC = b ,AB = c.
特例探索
( 1 )如图①，当μBE = 45 0 ,c = 212 时，α -
,b =
;
如图②，当ζABE = 300 , c = 4 时，α 二
,b =
;
D
C
'B A
B
C
A
图③
归纳证明
(2)请你观察( 1 )中的计算结果，猜想矿，b2 ，C2三者之间的关系，用等式表示出来，
并利用图③证明你发现的关系式;
拓展应用
(3)如图④，在OABCD 中，E ，F ，G 分别是础，町，CD 的中点，BE l_ EG ，AD =
2....;宫，AB= 3.求AF 的长
图②
图①
( 江西省中考题)
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
·
分析与解
探索"中垂三角形"的性质是解决后续问题的基础，对于(3) ，需
化归构造出"中垂三角形"
( 1 )2)5 , 2 ....;号
; 2ji3 , 217
(2)猜想矿，b2 ，c2三者之间的关系是d+ b2= 5c2•
证明如下:
如图⑤，连接EF.
':AF ，BE 是L:.ABC 的中线，
1 . ~
1
'.EF// AB ，且EF =-i;-AB = -i;-c
2"~
2
PE
PF
1
.. PB
PA
2.
设PF= m ,PE= n ,
则AP = 2m ,PB = 2n.
37
C
图⑤
A
黄东坡
带你发现数学之美(九年级)
在Rt L::.APB 中
，(2m)2 + (2n)2 二c2
①;
在Rt L::.APE 中，(2m?+ n2 =(引②;
在Rt L::.BPF 中，m2+C2n?=( ~ r
③
由①得m 2 + n2 =亏
d+ b2
由②+③得5(m2+n2)=-z一
:. d+ b2= 5c2•
(3) 女口图⑥，作AB 的中点H ，连接FH、AC
，设
AF、BE 交于点P.
':E ，G 分别是AD ，CD 的中点;F是BC 的中点，
二EG//AC//FH ，
又':BE j_ EG ，二FH j_ BE.
.. 四边形ABCD 是平行四边形，
:.AD//BC,AD = BC,AE = BF,AE//BF,
λ AP=FP ，二
L::.ABF 是中垂三角形，
人AB2 + AP= 5BP ,
即3 2 + AP= 5( J5 )2 ,
人AF= 4.
E
B
玻利亚在"怎样解题表"中的许多问句都以转换问题为目的，如:
你是否知道与此有关的问题?
你能想出一个相同或相似的熟悉问题吗?
你能不能重新叙述这个问题?
你能不能用不同的方法重新叙述它?
D
德国哲学家尼采曾说"最平静的话语乃是狂舰的先声，悄然而至的思想会左右
世界"
数学发展的历史始终贯穿两条主线:数学知识的发展和思想方法的创新，每一
次数学的重大进展都伴随思想方法的创造.
刘徽的"割圆术"孕育着极限的思想;欧拉的"一笔画"确立了图论;欧几里得对
零散的几何知识进行整理和提炼，完成第一部数学巨著《几何原本~，创立了公理化
方法;笛卡尔创建的平面直角坐标系，为解析几何和微积分的产生提供了新的数学
思想方法;伽罗华的"群论"为方程理论和现代物理学的发展带来生机......
"江流天地外，山色有无中"，思想绽放，方法引领，真情妙悟.
1 38
第7 讲
| 化归U
萤声世界的科普名家Mario Livio ，回顾了千百年
来人类所进行的深层次思考，试图从哲学角度阐释数
学的本质，揭示数学和物质世界、人类思维之间的紧密
联系.
J.，é，，，J.. 飞1.iI"用1......11 :)
数字沉思秦
击~数学思想的发展与演变
幽..Jt抽.
-pl
Titi .
· ‘….姐'恕""军-稻
._啦启都自....篝Z-R费.将
国E 撞黯到i!!
命[数字蒜嗣
1.方程x'- 20121xl+ 2013 = 0 的所有实数解的和为(
D.2013
C.O
B.2012
A. -
2012
(四川省竞赛题)
C "希望杯"邀请赛试题)
2. 求方程疗丁写+ v'x = 2 的根.
C "希望杯"邀请赛试题)
3. 解方程:x4 +Cx - 2 )4_ 82 二
O.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
39 1
黄东坡@ …戴学之英( 九年佩)
4. 问题:如图①，点E ，F分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，LEAF = 45 0 ，试
判断BE ，EF ，FD 之间的数量关系.
发现证明
小聪把l:::.ABE 绕点A 按逆时针方向旋转90。至l:::.ADG ，从而发现EF=BE +
FD ，请你利用图①证明上述结论.
类比引申
如图②，在四边形ABCD 中，ζBAD手900 ，AB 二AD ，ζB+ ζD = 1800 ，点E ，
F分别在边BC ，CD上，则当ζEAF与ζBAD满足
关系时，仍有EF=BE+FD
探究应用
如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD. 己知AB = AD
= 80 米，正B = 60 0 ，正ADC = 1200 ，正BAD = 150 0 ，道路BC ，CD 上分别有景点E ，
F,Ii AE l_ AD,DF= 40(.)3- 1)米，现在要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道
路EF 的长(结果取整数，参考数据: J2= 1.41 ,)3 = 1.73 )
(随州市中考题)
G
D
A"'-.
F
/
C
B L__一七
E
1'-
B
F
C
图①图②】图③
1 40
第7 叫化归U
参毒窑案
C
l. C
原方程即为Ix1 2 - 20121xl+ 2013 = O. 因为Ixl= 士x ，故原方程的实数解必
是x 与-x 成对出现.
2 去和
l
原方程即为疗习= 2 -.Jx，两边平方得3x 一川+ 1 = 0 ,
即川)2_ 4.Jx+ 1 =
0 ，解得d=÷或1 ，故寸和l
3. 设x = y + 1 ，贝u原方程化为(y+ 1)4+(y-1)4- 82 = 0 ,
，日
y + 1 = 3, LL
即(y + 1 )4+(y 一1)4=3 4+1
略.
4. 发现证明
方
法
ζEAF 二卡M
探究应用
连接AF ，延长BA ，CD 交于点。，则LABE
0
'. D
为正三角形
~ F
γ ζ OAD = 300 ,AD = 80 ,
A y.... /
~
圳= 40J3, OD = 40.
/
\
/
~
.: OF = OD + DF = 40 + 40 ( J3 -
1 ) = !_/
~
B
E
C
40J3,
:.AO = OF ，{导ζ OAF = 45 0 ，ζDAF = 15 0 ,
.. LEAF = 90 0 -
15 0 = 750=--t LBAD
故EF = BE + DF = 40( J3十1)= 109( 米).
类比引伸
维
、
应
用
之
美
41
…
二
"焦点"访谈
---- --- -- -- -- ---- .
67 数学文化巡礼
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各
~古互交飞:
方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射
也二
二
出一束平行光线，这是为什么?
咱-单:1:
概念是反映事物本质属性的思维形式，概念是通过定义描述的
数学概念是数学知识体系的逻辑基础，是理解数学本质的关键.
李邦河院士曾说"数学根本上是玩，概念的，不是玩技巧，技巧不足道也! "
科学研究表明，在概念的形成过程中，人们的心理活动经历以下阶段:
辨别不同的事物;
( 1 )抽象一类事物的共同属性;
(2) 用简洁的符号语言给概念下定义，定名称.
(3 )因初中生逻辑思维的特点，故初中数学概念主要是以形象、通俗、描述
性的方式表达，而不是严格的数学定义.
如"形如y = a-K + bx + c(α手0)的函数叫二次函数"
刨根究底，我们进一步思考的是:
( 1 )从二次函数概念形式化的描述中能推出什么结论?
(2)抛物线上的点有怎样的性质?
在16 世纪之前，欧洲人一直认为炮弹是沿着折线飞行的后来，意大利著名科学
家伽利咯更正了人们的错误认识.他指出炮弹是沿着一条曲线飞行的，他给这条曲线
起名为"抛物线"
42
第8 叫"焦点"访谈J
飞) 数学智慧讲堂
例
1
某学生为了描点作出函数y = ax2 + bx + c (α手0) 的图象，取自变量的7 个
值: XI< x,< X3< X4< X5< X6< X7 ，且X，- XI 二X3 - X，= …二X7- X6 ，分别算出对应的y
的值，列表如下:
但由于粗心算错了其中一个y 的值，请指出算错的是哪一个值?正确的值是多
( "宇振杯"上海市竞赛试题)
少?并说明理由
分析与解
设X，-XI= 局
局二…X7- X6= d ，且X I对应的函数值为yl ，
计
算&= YI+I- yl 的值，并由此导出& + I- Lll为一常数，这是解本例的关键.
设X，- XI= X3- X,= … X7- X6= d ，且X;对应的函数值为y" 则
Llk= yk 十I-Yk
= ( a.r, + 1 + bXl+ 1 + c )一(αxl + bxá c)
=α [(Xl 十d)' - .r，]+ b[(XI+ d)- xJ
= 2adxk十(ad ' 十bd)
故LlH 1 -Llk= 2αd(XH 1- Xl) 二2ad '( 常数) .
由给出的数据
yk : 51 , 107 , 185 ,285 ,407 ,549 ,717.
得LlI :56 ，78 , 100 , 122,142 , 168.
LlH I-Llk:22 , 22 ,22 ,20 ,26.
由此可见，549 是被算错的值，其正确值应该是55 1
•
&为函数的一阶增量，.åU
I -Ât为函数的二阶增量，倒
1 提示了二次函数的二
阶增量为一常数的本质.
1î
'it
，也、
维
、
应
用
之
美
43
黄东坡@带…性美(九年级)
....-
λ生相遇函数
-_.
.守
|
明确关系是函数的永恒话题.函数概念中蕴涵着"变与不
变"、"运动与静止"、"局部与整体"等对立统一的辩证思想. 日
本著名数学教育家小仓金之助曾说"数学教育的核心是函数
概念的形成"
例2
在平面直角坐标系中，己知点ACO ，2) ，点PCx ，y) 为
坐标平面上一动点，PMl_x 轴于点M，且PA =PM，求x 与
y 的函数关系式.
解
设p(x ，y)，只4 2 =( 2 - y )2+ xZ,PM= ý ,
':PA = PM，二(2 -
y )2+ X2= ý ,
得4 -
4y + ý+ X2= ý ,
y 二卡+1
这表明P 点的运动轨迹为抛物线.
倒3
如图，过点F(O ，l)的直线y = kx+b 与抛物线y =
护交于M( xJ ，YJ)和N(X2 ，Y2 )两点(其中xJ< O,X2> 0 )
( 1 )求b 的值;
(2)求x品的值;
(3 )分别从点M，N 作直线l : y = 一
l 的垂线，垂足分
别是M" NJ ，判断6.MJFNJ的形状，并证明你的结论.
1 44
y
‘
I
•
‘自，
‘
I
•
‘
I
•
‘
I
•
、
I
•
、
I
!
...
A I_.......
、
r
•
、自'
、
I
_.
、-
I .'
- ..~ ..
。
M
x
x
(黄冈市中考题)
第8 讲
1 "焦点"访谈》
对于( 3) ，只需证明6M，FN，ω6FN，F ，.
的两组解，
分析与解
(l )b = 1.
(,. _
,.
L . _
,.
[y = 10: + 1,
(2) 因为[
…
与(
…
是方程组{
1
lY = yl
lY = y2
IY =4x
'
消去y 得x- 一410: -
4 = 0,
二XI+ X2= 4k,X,X2= -
4.
( 3 ).: F,M, • F,N, = -
X品=4 ，而FF，=2 ，
λ F，M， • F,N, = FF,2,
F,M,
FF,
即.1.
j
.H'.t ]一-L ，又L_ M，F，F= 正FFN "
FF,
F,N,
λ Rt!::::.M，FF，ωRt!::::.FN ，F
"
得ζM，FF，= ζFN，F，.
λ ζM，FN，= ζ UFF，+ ζ F ，FN，= ζFN，F，+ ζF，FN ， = 900 .
故6UFN，为直角三角形-
对于例3 我们进一步可得:
(1 )yá y2= k(XI+ X,)+ 2 = 4~+ 2;
( 2 沙加= ( 10: 1 + 1 )( Io:z+ 1
) 二~X山十以X I + X2)+ 1 = -
4扩+ 4~+ 1 = 1;
(3 )MM,= MF,NN,= NF;
1
,
1
( 4 )一一+
，~~ = 1.
MF' NF
对于( 3 ) ，计算得NN，二拉+ 1 ，NF= Jxi+ 巾一1) 2=如+ 1,
:.NN，=NF ，同理可得MM，=MF.
对于(4 ) ，二'MF=MM，二Y I + 1 ,NF = NN,= y2十
1 ,
1
,
1
1
1
一二
一一一
. . MF 'NF yl + 1 ' y2 + 1
-
Y1+ Y2+ 2
YIY2+ yl + y2+ 1
且土主土2
YI+Y￥+2
方
法
思
维
、
应
用
之
美
45
黄东坡@带…白美(九年组
人们己经证明，抛物线有如下重要性质:从焦点发出的光线，经过抛物线上的一
点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，手电筒、探照灯就是利用这一性质设计
的.
1690 年，瑞士数学家雅各布· 伯努利在德国《教师学报》上提出如下问题"一根
柔软而不能伸长的绳子自由悬挂于两个固定点，求这根绳子所形成的曲线"这就是
不同于抛物线的悬链线. 悬链线在悬索桥、架空电缆等工程技术中有广泛的应用.
哈代(
1 877-1947) ，英国数学家.哈代对数学界产生
的一个重大影响是他在
1 908 年为剑桥大学所写的教科
书《纯粹数学教程}
哈代曾说"数学的造型与画家或诗人的造型一样，
也应该是美丽的，不美的数学在世界上是找不到永久地
位.的"
向数学之美探寻
1. 用列表法画二次函数y 二即2 + bx + c 的图象时先列一个表，当表中自变量
x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为: 20 ，56 ，110 ，1 82 ，274 ，380 ，
506 ，650 ，其中有一个值不正确，这个不正确的值是什么?
2 . 如图，已知抛物线y= αx2 + bx + c(α*0 )的顶
y
点为( 1 , 1 ) ，且过原点。，过抛物线上一点P(x ，y)作直
线y =?的垂线，垂足为M，点F在对称轴上，连接FM
( 1 )在直线x=
1 上有一点巾，剖，求以PM为
底边的等腰ðPFM 的P 点的坐标，并证明此时ðPFM
为正三角形;
( 杭州市中考题)
。
M
5
Y=4
x
(2)对抛物线t的任意一点P ，是否存在点N( 1 ，t)使PM = PN恒成立?请说明
理由.
(黄冈市中考题)
46
第8 讲
1 "焦点"访谈j
3. 如图，抛物线y= ω2 + c(α手0 )经过C(2 ，0) ，D(O ，一
1 )两点，并与直线y=
kx 交于A ，B 两点，直线l 过点E( 0, -
2) ，且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l
的垂线，垂足分别为点M、N.
( 1 )求此抛物线的解析式;
(2)求证:AO=AM;
( 3 ) 探究: ①当k=O 时，直线y 二批与x 轴重合，求出此时万元+古的
值;②试说明无论k 取何值-L+-L的值都等于同一个常数.
'AM' BN
( 南宁市中考题)
x
y
y = ax'+ c
参害答案
C
方
11;
网
维
、
应
用
之
美
1.因为x 的值IJ，相等间隔的值增加，所以只需观察相邻函数值的差值是否呈现
某种规律，为此可设相邻的两个自变量的值为X 1 ，X2 ，代人y = ax2 + bx + c ，计算差
值为:y1 - y2 二α(X1 2 -
Xη +b(X1 - X2)= α(X1 -
X2)( X1 + X2 + b ) ，因此函数值之
间的差值含有公因数X1-X2 .
计算各个差值为: 56 - 20 = 36; 110 -
56 二54; 182 一
110 = 72;274 一
1 82
= 92:380 - 274 = 106:506 - 380 = 126:650 - 506 = 144.
因为36 ，54 ，72 都含有公因数9 ，即X1 -
X2 = 9 ，而92 不含有因数9 ，
二可以断定是274 错误了
47
黄东坡@ 带…牧美( 九年级)
2. (1 沙= -.i +2x. 点F 在PM 的中垂线上，过
点F 作FH l. PM，如图①.
.~ 1 ，~ ).M在直线y=?上，
Am=53=l
一一一
-
4
4
2'
1
• 1
'. i\伊= 1, :.Py =一一=-.i+ 泣，
y
4 …
4
'.x =兰丘，:.p( 1 ::!::丘，斗
，'~2'4J
在Rt L. MHF 中
，FM 2 = FH 2 + 儿但2 ，
:.FM= J (+r+(l ::!::乎一1f= 1,
λ FM= 儿1p = FP ，二L. PMF 为正三角形.
(2) 当t=?时，即点N 与点F 重合时PM=PN
恒成立，如图②.
理由:过点P 作直线x=l 的垂线，垂足为G ，
在Rt L. PNG 中，P}f =(x 一
1 )2+( t - y )2= X2 -
2x + 1 + f- 2ty + ý ,
1 5
\ 0
0
5
, 25
PM 2二忱- yy=ý- 2 Y +瓦-
γ 点P 在抛物线y =-.i+ 2x上，
5
, 25
:.PN 2= 1 - Y + t 2 -
2ty + ý= ý- 2Y +1百'
N I
M
PCx, y)
图①
y
M
l:
y= 亏
x
图②
1_
3\
, /9
0\
. - 2Y + 2沙+丁百
f=0 ,y(2t
τ)+ ( Í6 - f)= 0 对任意y 恒成立
t -
~二O 且主- f= 0,
16
·t=? ，故t=?时，阳二PN 恒成立
3. (1沙=护-1
(.. 1 ..2_ 1 \
MT~:n1l=l An2 一
1 ., 1
(2)设A(xl ，~x~一
1 ) ，可证明A0 2 =....-7xi+~~+ 1=AM2•
'"''4'''
'J' ~，~/，.，~
16~"
2
1
,
1
(3)参见例3 ，可证明一一+一一=1.
AM' BN
48
‘
~ ~ - - -
、，
、
，
心数学文化巡礼
对称是客观存在的，是数学概念，是哲学观念，是思维方法.
英国数学家斯图尔特在他的《自然之数》一书中写道:
"大自然似乎被对称所吸引，因为自然界中许多最显著的模式是对称的，人
类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，从而影响我们
对美的感受"
今天，人们已经普遍接受这样一个信条:自然界所有的基本力都是由一些对
称原理产生的.这就是说:对称性支配相王作用.
著名物理学家杨振宁在《对称与物理学》中说"‘在理解物理世界的过程中，
21 世纪会目睹对称概念的新方面吗?
'我的回答是:‘十分可能'"
抛物线是轴对称图形，展现出整体的和谐与平衡之美.解与抛物线相关的问
题时，积极捕捉、创造对称关系，常能化复杂为简单. 由抛物线捕捉对称信息的方
式有以下几种:
(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息:若抛物线上有两点(Xl ，yO) ，
(川)，则抛物线的对称轴方程为X=斗主
l
(2)从抛物线的对称轴与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息.
,
f
-
，叫… . . .
. ••••
... .,.
,., ‘….
.. , .,‘ ..
e ,... .. ..
~
'"
事?
，
世
荣获诺贝尔奖的杨振宁是当代著名的物理学家，他对
20 世纪数学的发展亦有非凡的贡献. 杨一米尔斯理论和
杨一巴克斯特方程，先后进入当代数学发展的主流. 杨振
宁是当代物理学家中特别偏爱数学而且大量应用数学的
少数物理学家之一.
49
黄东坡@带…叫( 九年银)
、〕数学智慧讲堂
例
l
已知二次函数y = aX:- + bx + c ，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表:
| x l ... 1- 110 1112 13 1... 1 I
| y I ... I 10 I 5 I 2 I 1 I 2 I ... I
I
则当y < 5 时，x 的取值范围是
( 南京市中考题)
·
分析与解
从表格中可获取丰富的信息，用不同方法先求出该二次函数的
解析式，将问题转化为解不等式- 而发现对称点、借助抛物线的对称性可使问题获得
简解.
50
.. 抛物线过点( 1,2 ),( 3,2),
1 + 3
二抛物线的对称轴为x=一言一= 2
. . 函数图象开口向上，当x=O 时，y = 5,
二当x=4 时，y = 5.
λ 当y< 5 时，0 < x < 4.
y
郑板桥的竹画中是否也蕴含了平移对称呢?平移对
称、旋转对称、破缺对称，有时对称会以一种非常微妙的方
式出1见.
量
第9 t.井
| 对称与抛物线J
例2
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=卡
TY
经过平移得到抛物线y=卡
纭，其对称轴与两
抛物线所围成的阴影部分的面积为(
).
A. 2
B.4
C.8
D.16
X
(聊城市中考题)
·
分析与解
通过割补，把阴影部分面积转化为常规图形面积，既要用到平
移的性质，又要用到抛物线的对称性.
如图
，C( 2 , -
2 ),B( 2 ,2) ,A( 4 ,0 ),D( 2 , 0 ) ，作BE j_ y 轴于点E
.: OD = DA = BD = CD = 2,
..由抛物线的对称性知S，= 品，又品二品，
A
吁
一
qL
一
E
D
O
形
方
正
'
口
、
u
c
叫
=
=
附
C
山
F
O
尸
L
-
u
故
选
y
x
C
例3
如图，对称轴为直线x 二2 的抛物线经过A( 一
1
，0) ,
C(0 ，5)两点，与x 轴另一交点为B ，已知M( 0, 1 ),E(a ,O) ,
贝。+
1 ，0 ) ，点P 是第一象限内抛物线上的动点.
( 1 )求此抛物线的解析式;
(2)当α 二
l 时，求四边形MEFP 面积的最大值，并求
此时点P 的坐标;
Alo
(3)若L:"PCM是以点P 为顶点的等腰三角形，当。为
何值时，四边形PMEF 的周长最小?请说明理由
x
力
法
、
思
锥
(海南省中考题)
应
用
之
美
51
黄东坡
带你发现数学之类(九年级)
·
分析与解
对于(3) ，因为PM，EF 为固定值，所以要使四边形FMEF 的周
长最小，则ME+PF 最小可运用平移、对称、变换，化折线为直线-
(1沙=-.r+ 4x 十5 .
( 2 ) 当α=1 时，E( I ，O ) ，F口，0 )，设P 的坐标为(x ，-.r+
4x + 5 ) ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为G ，
则S 四边形MEFP = S四邮OFPG- SC,MGP- SC,EOM
=÷(OF+ 臼). OG 一÷ω 'MG 一÷ω 'OM
=工(2 + x)( - r+ 4x 十5)-ix(-j+4x+5 一l ) A
2
一+XIXl
9
, 9
=-r+ ~x +一
2 ~ , 2
(
9 \ 2 , 153
-.~一_
.
十一
飞~
4 J ' 16'
x
所以，当x=旦时，四边形MEFP 的面积最大，最大值为一一，此时点P 的坐标为
153
16
9 153
(一一一).
4' 16
(3 )EF= 1 ，把点M 向右平移
1 个单位长度得点M! ，再作点M! 关于x 轴的对称
点M ，在四边形PMEF 中，因为边PM，EF 为固定值，所以要使四边形PMEF 的周
长最小，则ME+PF 最小，因为ME=M!F ，所以只要使M~+ PF 最小即可，所以
点F 应该是直线M~ 与x 轴的交点，由OM= I ,OC = 5 ，得点P 的纵坐标为3 ，根
据y =-.r+ 4x + 5 可求得P(2 +品，3 ).
1 52
又点M 的坐标为( 1 ，一
1 ) ,
_ 4)6- 4__
4而+
1
所以直线MP 的解析式为y 一一一于-x 一一一于一，
当y =O 时，附=午，工F(午，0) ,
_)6+ 5 _ _)6+ 1
'.a 十
l 一
4一，α 一
4一
a
瓦+1
所以，当α =口可一时，四边形PMEF 的周长最小
y
x
第9 讲
! 丑悄抛物线U
凸五边形ABCDE 的边长依次为。I ，Q2 ，仇，仇，仇，已知一个关于x 的二次三项式
f9lj 4
满足:
当x = al及x = a，+ α3 + 仇+α5时，得到的二次三项式的值均为5;
当x= α1+αz时，二次三项式的值为p;
当x= α3 十仇+ as时，二次三项式的值为q ，求p-q 的值.
( "新知杯"上海市竞赛题)
·
分析与解
记二次三项式为j(x)= ω' + bx + c(α*0) ，并设其图象的对
称轴为x = xo ，通过构造二次函数，捕捉对称信息转化问题.
由题意知j(al)= j(a，+ α3 + 仇+ a,)= 5 ，且al 弓i: a，+ α3 + 仇+俗，
故。1 +α，+α3 +α4 +α，= 2xo,
二(al+ a，)+(a3 + 仇+ a,)= 2xo ，f(a ，+ α，) = j ( α3 + 仇+α，),
二p = q ，得p -
q = O.
艾米
.
1若特(1882-1935 )，德国数学家，她的研究领
域为理论物理和抽象代数学，被爱因斯坦称为"数学史上
最重要的女性，.
11
法
对称的最典型应用是自然界中的晶体.
对称现象背后的数学就是群论.
1918 年，20 世纪最伟大的女数学家艾米·诺特创立了举世闻名的"诺特定理"
大千世界种种运动之所以产生守恒性，是因为事物内部存在着对称性，现代物理学
相当多地建基于对称性的种种性质.
完美的宇宙，对称是其中的关键一环.
完美的理论，常由对称表现出来.
E日
，ω
维
、
应
用
之
美
53
黄东坡
带你发现数学之类( 九年级)
l
如图是二次函数y= 旷+bx+c( α*0)图象的一部分，
AJY
x= 一
l 是对称轴.有下列判断: ①b -
2a = 0;( 4a -
2b + c
<ωα -b+c=-9础若点(- 3小时( ~ ,y2 )在抛物
x
线上，则y，> y2.其中正确的是(
)
A. ①②③
B. ①③④
C . ①②④
D . ②③④
( 聊城市中考题)
2. 当x=m 或x = n(m 弓t:n)时，代数式r- 2x + 3 的值相等，则当x= m + n
时，代数式r- 2x + 3 =
(宿迁市中考题)
3. 某种商品每天的销售利润y( 元)与销售单价x( 元)之间满足
Y↑
(
关系:y = ar + bx -
75 ，其图象如图所示
'6 ~- -- j
\
( 1 )销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大?最大
|
川
l
利润为多少元?
| l:
i
。I
5 7
(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16 元?
(徐州市中考题)
4. 如图，已知二次函数y 二即2 + 2αx -
3a( α手0)
y
图象的顶点为H，与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 右
侧)阳，B 关于直线/:y 二孚x+J3对称
( 1 )求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B 作直线BK//AH 交直线l 于点K ，M，N
分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN ，NM，
A症，求HN+NM+ 儿症的最小值.
54
(福州市中考题)
第9 讲
! 对称与抛物线U
参警备案
C
点( -
3 ，YI)关于对称轴的对称点是(1 ,YI) , .: 一1<1<乞:'YI> Y2
m + n
-
2
2 设Y = X 2 -
2x + 3 ，则其对称轴为x=一一一=一一一= 1, :.m + n = 2 ，当
2
2 X 1
x=m 十n ，即x=2 日才Y = 3.
3. (1 沙=- K+ 20x 一75 = -(x -
10 )2+ 25.
故当销售单价为10 元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25 元.
(2) 因为对称轴为直线x = 10 ，另一个点( 13 ，16 )也在抛物线上，又因为函数图
象的开口向下，由图象知当7 运x::':三13 时，该种商品每天的销售利润不低于16 元，故
销售单价不少于7 元且不超过13 元时，该种商品每天的销售利润不低于16 元.
4. (1)略.
(2 )y 二一争-J3x+孚
(3)两个动点引发困难，运用对称，化折为直.
如图①，点B 与点H 关于直线AK 对称，点K' 与点K 关于直线AH 对称，那么
HN+NM+ MK=BN+NM+MK'
，当M，N 落在线段BK' 上时，BN+ MN+
MK' 的和最小，最小值为BK'( 如图②) .
1. B
x
x
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
55
图①
直线BK 的解析式为Y =J3x -J3,
由卡=孚x+J3
，得1x = ~' c en K( 3 ，川)
lY =J3x -J3
lY -
"-Y J
从而BK = 4,K' K = 2KE = 4J3,
在Rt 6. BKK' 中，BK'= 8 ，即HN+NM+MK 的最小值为8 .
图②
…
\
…
统一性的追求
-…………….
G 数学文化巡礼
知识与方法的统一性是科学的不懈追求.
麦克斯韦方程纽将电场与磁场统一起来，爱因斯坦的质能方程统一了质量
与能量.
相对论、量子论是现代物理学的两大基石.
相对论是关于时空和引力的基本理论，研究对象是自J然然界的
则揭示了微观物质世界的基本规律，研究对象是自然界的";演寅员".
物理学家试图创立一个将相对论和量子论统一起来的下一代基础理论，超
弦理论最有希望将两者统一起来.
物理学的终极目标是得到一个可以解释一切的理论: 用一系列方程描述整
个宇宙，这个能解释宇宙的理论可以由"一个优雅简洁且能轻易地印在一件T 恤
衫上的公式"来表达.
函数、方程、不等式是刻画现实世界的三个有效模型.
函数视角下的方程、不等式，本质是将所研究的方程、不等式这个局部的问
题直于函数的整体性质中把握，将方程的根、不等式的解集这一静态的结果放在
动态变化过程中研究.
对称、和谐、简单、统一… …从古希腊神话到现代原
4
子理论，从大爆炸到大数据时代，科学发展受到美的牵引，
又反过来影响着美.
1 56
第10 讲
| 统一性的追求》
艺数学智慧讲堂
例。
若XI 、X2( XI < X2 )是方程(X - a)(x -
b )=
1 ( α < b) 的两个根，则实数X I ，X2 ，
。、b 的大小关系为(
)
A. XI < X2 < α < b
B. x, < α <X2< b
D. a < XI < b < X2
C.XI< α < b <X2
(绵阳市中考题)
·
分析与解
多元表征、条件转译是使问题获得简解的关键，对已知方程，既
可从方程的视角来认识，又可用函数的观点来思考.
解法一
用求根公式
解法二
设二次函数y = (X - a)(x -
b ) ，直线y =
1 ，原方程的解即为两图象
交点的横坐标，由图①知X I < α < b < 元，故选C.
解法三
原方程变形为(x - a)(x - b) 一
1 = 0 ，设y =(X -
a )( x -
b ) 一
1 ,
它是由y =(X -
a)(x -
b) 的函数图象向下平移一个单位长度得到的，由图②知X I
<a<b< 元，故选C.
x
y
y =1
x
y
图②
图①
方
法
11l
绍:
、
应
用
之
美
57
黄东坡
带你发现数学之美(九年银)
μ 方程X- + 3x -
1 = 0 的根可视为函数y 二x + 3 的图象与函数y =士自甘图
象交点的横坐标，则方程矿+2x 一
1 = 0 的实根Xo 所在的范围是(
)
A . O < 均<士
1
~ 1 _
_ 1
~ 1
B 一< Xo<+
C 一< Xo<+
D. 士< Xo < 1
.4υ3
~. 3
υ
4
(扬州市中考题)
，
分析
由题意推断方程xJ + 2x -
l = O 的实根是函数yl 二x- +2 与y2=
士图象交点的横坐标，再把选项中x 的取值代入函数解析式，估算Xo 的范围
·
解
依题意得方程矿+2x -
l =O 的实根是函数y l 二扑2 与y2 =士
的图象交点的横坐标，这两个函数的图象的交点在第一象限，如图所示.
1
1
当X =一时
YI 二X- + 2 = 2一7 ，Y2 -一=
.J"
~，
-
- 16 ' .J'
此时抛物线的图象在反比例函数下方;
1
1
当x=了时，yl=x2 +2=21了，yz =7=3
此时抛物线的图象在反比例函数下方;
1
1
当X =τ时，YI = x- + 2 = 2t
'Y2 = ~ = 2,
此时抛物线的图象在反比例函数上方;
当x 二l 时，y l = x- + 2 = 3 ,y2 =士-1 ，
此时抛物线的图象在反比例函数上方.
。
x
所以方程XJ 十与一
1 = 0 的实根Xo 所在范围是÷< x <÷ ，故选C
例3
如图，在矩形AOCD 中，把点D 沿AE 对折，使点
y
D 落在OC 上的F 点，已知AO=8 ，AD=10
( 1 )求F 点的坐标;
( 2 )如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛
A
物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，
已知抛物线经过点。，F ，且直线Y = 6x -
36 是该抛物
线的切线，求抛物线的解析式;
。
D
E
F
C
X
35
( 3 )已知直线y = k( x - 3)- J4一与(2)中的抛物线交于P 、Q 两点，点B 的坐标为
( 3 ，一子) ，求证:古+吉为定值(参考公式:在平面直角坐标系中，已知点M附XI叫
，y
小川
y严川
1 )
λN( X2 ，Y2) ，贝则U M，N 两点间的距离为期1M]川= -.}(ωX2一x机川
1)2+ (切
y只2→y川1)2 .
(黄石市中考题)
1 58
·
分析与解
对于( 3 ) ，设P(XI ，YI) ，Q( 泊，Y2) ，由题意不妨设XI> 3 ,X2< 3 ，把
1 , 1
+
用含X I ,X2 ,yl ，Y2 的式子表示，通过消元，根与系数关系最终用k 的式子表示
PB ' QB
( 1 )F( 6 ,0)
(2)设抛物线的解析式为y= αX(X -
6) ,
由íY = ~X(X 一6) ,
I v= 的- 36
得αx2 -( 6α + 6)x + 36 = O.
二0 L1 =(6a + 6)'- 4a X 36 = 0
λα =1
故所求抛物线的解析式为y =r- 6x
b = kx3)-21
(3 )由r
.. ,.. -/
4
[y = r-6x,
得X2一( 6 +协+ 3k+子二0 ，
川+ x,= 6 +川X2= 3k +子
又yl= k( XI- 3 ) 子，严二的2- 3)
子，
十土
1
.+
r-一」
00 PB ' QB
/ /
~ " ,(
, 35 \ 2 I
r:一丁丁(
, 35 \'
.. j (XI-
3 )2+ ~yá -'; )
叫
(X2- 3)2+ ~y2+ -'; )
+
1
.j(XI- 3)'+ k2(x I- 3)' I .jë王=五耳e(X，- 3)'
丁卡2
0 (豆;可一古)
一
1
XI-
X2
-.J1+k2 3 (x 1+ x,)- XIX2-
9
_
1
. ) (XI + X2)2- 4x向
.J1+k2
3 鸟士X，) -
XIX2- 9
l
、
1 + k2
一万τ k'
0-互
4
= 4.
古+吉为定值
第10 讲
| 统一性的追求U
y
x
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
59
黄东坡@…敬学校(九年级)
约翰·生削十( 192忌-2015 )，美国著名数学家与经济学家，
博弈论之父( 非合作博弈》是他22 岁博士毕业的论文，
通过将这一理论扩展到牵涉合作与竞争的博弈，纳什成
功地打开了将博弈论应用到经济学、政治学乃至进化生
物学的大门，纳什于1994 年获诺贝尔经济学奖，2015 年
获阿贝尔奖.
例』
已知对于任意实数。，关于x 的方程~+(α 一
l)x + ab - 2 = 0 都有两个不
相等的实数根，求实数b 的取值范围
(世界数学团体锦标赛试题)
·
分析与解
由条件得.1x > 0 ，这是一个关于α 的二次不等式，此不等式对
于任意实数。都成立，须满足怎样的条件?
.1 =(α 一
1 )2_ 4(σb - 2)= a2 -
2(2b + l)a + 9 > 0 ，此不等式的左边是关于
α 的二次函数，要使函数值恒为正，须且只须4(2b+ 1)2-36 < 0,(2b+ 1)2< 9,
故-2<b <
1.
y
如圃，y= ar + b%+' 4. a;t:O)的值恒为正需满足的
条件是:
la> 0,
l.41 = Ii'- 4ac < O.
X
这表明:运用二次面教与二次方程的联系，可进一步
探讨不等式问题，通过图象，可直现得到一36二次不等式
的解集.
英国伦敦大学学院的研究团队发现，大脑对数学公式产生反应的神经区域，与
对大理石雕像和交响乐曲反应的区域一样.
研究人员让15 位数学家对60 多个数学公式进行评分，欧拉公式e'π+1=0 被
评为最美丽的数学公式，数学家惊叹于e 、i 、π 、0 、l 这五个最重要的数学常数竟能用
如此简洁的公式统一起来.
英国著名数学家伯特兰
· 罗素写道"数学，如果我们正确地看它，它是一种冷
峻的美，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达
到只有最伟大的艺术才能显现的那种完满的境地"
60
宇宙学家保罗
· 戴维斯说"所有科学都是对统一的寻找"
天地有大美而不言!
如O 讲
| 统一性的追求J
《美丽心灵》取材于纳什的真实生平.纳什20 岁
本科毕业，22 岁博士毕业(博士论文即为《非合作
博弈~ ) ，24 岁在美国麻省理工学院任教，30 岁即成
为终身教授，此后却被精神分裂症折磨了数十年.
凭借强大的意志力，纳什终于在晚年渐渐恢复正常.
本片展示了这位天才学者的不凡人生，上映后广获
赞誉，并荣膺多项奥斯卡奖.
向数学之美探寻
1.关于x的一元二次方程。x2 - 3x 一
1 = 0 的两个不相等的实数根都在一
l 和
0 之间(不包括一
l 和0) ，贝阳的取值范围是
(南通市中考题)
y
2.
二次函数y= .i +bx 的图象如图，对称轴为直线x = 1,
若关于x 的一元二次方程.i+加- 1 = 0 ( 1 为实数)在一
l <x
<4 的范围内有解，则t 的取值范围是(
B. 一
1 :运1 < 3
A. I二三一1
x
(济南市中考题)
3.
己知二次函数y = m.i + 6J3x + m + 4 的图象在直线y=- 2 的上方，求
m 的取值范围.
D.3 < 1 < 8
C. 一
1 :"三1 < 8
( "希望杯"邀请赛试题)
方
法
、
应
川
之
美
!tl
维
x
y
于A ，B 两点
( 1 )直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 的坐标;
(2)当k= 一÷时，在直线AB 下方的抛物线上求一点P ，使
f:::. ABP 的面积等于5 ;
(3)若在抛物线上存在定点D 使ζADB = 90 0 ，求点D 到直线AB 的最大距离.
(武汉市中考题)
61
。
4 如图，已知直线/:y 二缸十2k + 4 与抛物线y=卡2交
黄东坡@ 带…时( 九年级)
。参赞案
l
-3<α<-2 设y= 旷- 3x 一1，作出如图图
象，则α< 0 ，，1 > 0 且α+ 3 -
1 < O.
2. C.
抛物线的对称轴为直线x = 一一生一
1，解得b=
2 X 1
-
2 ，所以二次函数的解析式为y= x-- 2x= (x 一1) 2 一
1，当x = 一
l 时
，y= 3; 当x= 4 时，y 二
16 -
2 X 4 = 8,
一元二次方程X-+ bx -
t = 。在一
1 <x< 4 的范围内
有解相当于抛物线y = X- + bx 与直线y = t 在此范围内
有交点，如图，当
l 运t~二8 时，一元二次方程x2 + bx 一
y
x
x
QI~
t= 。在一
1 <x< 4 的范围内有解，故选C .
一iT-;------- y= -l
3. 由题意知y>- 2 ，即mX- +6}3x 十m + 6 > 0 ，若此式对任意x 成立，则须
fm > O.
fm > 0,
且仅须r' -
-，
即!
厅
解得m > 3.
1,1 < 0,
. 1 ( 6、
3) 2- 4m(m + 6)< 0 ,
4. (1)C( -
2 ,4).
( 2)P( 一2 ，2即(1 ，÷)
4
(仔3 )洲女如日图因，设A反(叶丘川川
)λ川
) ，B(
卫
B(队
(ωx
{
_
1
1"'\,"""
4;
""'"
\
I D
fy = kx 十2k 十4 ，
\勺
联立j 1J = _l_~
消去y 得x-- 2阳
4k -
8 = 0 ，一方μ一
V 二言'
x
:.x,+ X2= 2k,x,X2=- 4k -
8.
过点D 作EF矿x 轴，过点A 作y 轴的平行线交EF 于点E ，过点B 作y 轴的平
行线交EF 于点F.
62
AE
DE
由!:::.ADE<ω !:::.DBF 得一一=一一
DF
BF'
1 2
1
2
. 2 儿，
2 川
m -x,
X2-
m
1 ,
1 "
'Xï ---;;;-m
2 ".
2
化简得x ，. X2+ m(x,+ X2)+ m2= -
4.
:.2k( m - 2)+ m2 -
4 = 0,
当m -
2 = 0 ，即m = 2 时，点D 的坐标与k 无关.
人点D 的坐标为(2 ，2 )又': C( -
2 ，4 ) ，二CD = 2-15.
过点D 作DMJ. AB ，垂足为M，则DM运CD.
当CD J. AB 时，点D 到直线础的距离最大，最大距离为2-15.
(\) ;以，
心!数学文化巡礼
1 855 年英国著名生物学家高尔顿发表了《遗传的身高向平均数方向的回归》
的论文，指出身高走向极端的人的子女的身高常常要比父母的身高更趋近人群
的平均身高，针对这个现象，高尔顿选择用"回归"这个词命名研究方法.
采
1 7 8
圄
d
l76
观
jnl[ 174
-!II!\
情
172
、n
170
父子身高关系散点图及拟合回归线
。
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166
166
168
170
172
174
176
178
儿子身高(单位: 厘米)
美国著名未来学家奈斯比特说"人类正被信息淹没，却饥渴于知识"
在生产实践、科学实验和社会活动中，我们会面临许多数据，科学地分析数
据，挖掘数据中蕴含的信息，从中揭示事物的某些规律，是当代社会公民需具备
的一种素养.
大数据是当代社会的根本特征.
大数据是下一个社会发展阶段的"石油"和"金矿"
63
黄东坡@ 常…时( 九年提
大敖据丘改变着人类的思维方式，从对精确性的苛求，转而追求混杂性;从
对因果关系的追求，转为对相关关系的发现;物质产品的生产退居次位，而信息
产品的加工将成为主要的生产活动.
大数据正改变着人类的生活方式，我们的物质世界、精神世界都将建构在大
数据之上
拟合即由一组有序数对确定一系列点，由这些点确定一条曲线的表达式，使
得这条曲线的变化，尽量与有序点7 1J 所表现的形态近似.
简单地说，拟合的过程就是确定函数类别，建立函数模型的过程.
•
代
时
业
工
地
源
土
资
的
心
代
核
时
的
业
代
农
时
像
息
川
的
加
f
据
生
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是
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就
样
据
一
数
源
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血
…
战
斗
一
u
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怯
·
1
1
川
捕
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叫
一
川
M
四
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U
四
川
却
d
f
例
l
科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别
放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表).
温度xJ'C
植物每天高度的增长量y/mm
l
由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y 是温度x 的函数，且这种函
数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两
种函数的理由;
64
第1 才讲
l 拟合U
( 2)温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大?
(3) 如果实验室温度保持不变，在10 天内要使该植物高度的增长量总和超过
250mm ，那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择?请直接写出结果
( 武汉市中考题)
·
分析
问题(1)是问题( 2 )、(3) 的基础，对于( 1 ) ，在直角坐标系中描点，由
点的分布状态确定函数形式，或从局部入手，通过排除、猜测来确定函数形式-
·
解
( 1 )选择二次函数，设y = ax- + bx + c ,
Ic = 49,
la 二一1，
得l4α - 2b 十c = 49,
解得lb = -
2,
14α + 2b + c = 41,
Ic = 49.
:.y 关于x 的函数关系式是y 二- X- -
2x + 49.
不选择另外两个函数的理由:
注意到点( 0 ，49 )不可能在任何反比例函数图象上，所以y 不是x 的反比例函数;
点( -
4 ,41 ), ( -
2 ,49 ) , ( 2 ,41 )不在同一直线上，所以y 不是x 的一次函数.
(2) 由( 1 )得y = - X- - 2x + 49 ，二y =- (x+
l )2 + 50 ，
γα= 一
1 < 0 ，:. 当x= -1 时，y 的最大值为
50.
即当温度为一
I OC 时，这种植物每天高度的增长量最大.
( 3 )- 6<x<4.
大数据为我们提供了一面考察社会的透镜. 今天，数
据密集型科学研究已上升到与科学实验、理论科学和计算
科学并列的科学研究新范式.
方
法
、
应
用
之
美
思
绍
例2
百米短跑的世界纪录
在100 米比赛项目中，女子的成绩何时能超过男子?从数学的角度观察，随着
时间的推移，男子在100 米比赛项目的优势可能会消失.
我们观察男子和女子100 米的世界纪录，并将这些数据用图表呈现出来，横轴
代表年份，纵轴代表100 米跑所需的时间，这一坐标系下的每个点代表某个世界纪
65
黄东坡@ 带…时(九年级)
录，坐标为(年份，100 米跑所需的时间) . 如果某一年有多个纪录，我们就采用最好
的成绩;如果这一年的世界纪录是土一年的，那么算人上一年的纪录，此外，我们只
关注世界纪录在某年诞生，而不考虑某月
、某日
，见下表.
100 米项目的男子和女子世界纪录(部分)
年份
世界纪录
男运动员
年份
世界纪录
女运动员
( 秒)
( 秒)
拉尔夫
· 梅特卡夫
斯丹尼斯
· 瓦拉谢维奇
1932
10.38
( Railph Metcalfe )
1934
11. 7
( Stanislawa Walasiewicz )
巴尼
· 埃维尔
斯坦尼斯
· 瓦拉谢维奇
1948
10.34
( Bamey Ewell )
1937
11. 6
( Stanislawa Wala~ iewicz )
1958
10.29
彼得
· 雷德福
( Peter Radford )
1948
11. 5
范尼
· 布兰克斯一科恩
( Fanny Blankers -
Koen )
1960
10. 25
阿明
· 哈里
( Armin Hayes )
1952
11. 4
玛乔丽
· 杰克逊
( Marjorie Jackson )
罗伯特
· 海斯
1964
10. 06
( Robert Hayes )
1955
11. 3
雪莉
· 斯特里克兰
( Shirley Strickland )
吉姆
· 海因斯
威尔玛
· 鲁道夫
1968
9. 95
( Jim Hines )
1961
11. 2
( Wilma Rudolph )
1983
9.93
卡尔文
· 史密斯
( Calvin Smith )
1965
11. 1
怀
· 泰厄斯
( Wyomia Tyus )
卡尔
· 刘易斯
怀
· 泰厄斯
1988
9. 92
( Carl Lewis )
1968
11 . 08
( Wyomia T:严IS )
卡尔
· 刘易斯
雷纳特
· 施特歇尔
1991
9.86
( Carl Lewis )
1972
11 . 07
( Renate Stecher )
1994
9.85
勒罗伊
· 伯勒尔
( Leroy Bailey )
1976
11. 01
安娜格利特
· 里希特
( Annegret Richter )
1996
9. 84
多诺万
· 贝利
马丽斯
· 厄尔森格尔
( Donovan Bailey )
1977
10.88
( Marlies Oelsen 一Gohr )
1999
9.79
莫里斯
· 格林
( Maurice Greene )
1983
10. 79
伊芙琳
· 阿什福德
( Evelyn Ashford )
2005
9.77
阿萨法
· 鲍威尔
( Asafa Powell )
1984
10.76
伊芙琳
· 阿什福德
( Evelyn Ashford )
66
第刊讲l 拟合d
我们把这些数据填人坐标系中，得到如下男子和女子成绩图表:
寸寸
•
9.5
~一_____j
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
年份
→一一I
12
11
10.5
10
时
间
/"'.1 1.5
秒
| ·男子
·女子|
为了说明今后世界纪录的走向，我们可以将点拟合成一条直线.
这条曲线应有下列特征，有助于认清世界纪录的走向，曲线是递减的，点离拟合
直线的距离之和最小.
12
时
[同
:--; 11.5
秒
y二
0 .019571 x-十49.577913
11
变生• •
y= -
0.009352x+ 28.497734
9.5
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
年份
10
方
法
·
应
用
之
美
·
IU
维
| A男子
·女子|
从这些角度看，如果世界纪录沿着这条直线发展，那么可以计算出，在哪一年女
子100 米跑得和男子一样快
从数学角度看，就是要解这样一个方程组:
y = - 0.019571x + 49.577913 ,
I v = -
0.009352x + 28.497734.
Ix:::;2062.84
解得(Iv:::;9.206.
这意味着，到2062 年秋季，女子100 米的成绩接近男子，大约为9 .21 秒.
67
黄东坡@ 带你发跚学技(九银
还可以观察两直线的交点，从坐标中读出数据.
9.3
9.28
时9.26
间9.24
秒9.22
9.2
9.1 8
9.1 6
2055 2056 2057 2058 2059 2仅知2061 20622063 2侃42065
\叫二一0.01 ~571 x+ 4 ~.577913
\飞、‘
卜\
\
女子
、、飞
r----飞
\
、\、
卜\ 、\
Iy= -;- 0.0 935 x+ 8.497734
、、、主气、
男子
\之二卜\
~
皮尔逊( 1857一1936) ，英国数理统计学家，真正从数学上开
始生物统计研究的第一人.1890一1900 年间，在生物统计学派
奠基人高尔顿的指导下，皮尔逊讨论生物进化、返祖、遗传、自
然选择、随机交配等问题，系统地将生物进化数量化，并先后提
出和发展了标准差、正态曲线、平均变差等一系列数理统计学
的名词和概念.
2011 年，美国咨询业巨头麦肯锡公司发布了《大数据:下一个竞争、创新和生产
力的前沿领域》的报告，其中提出所谓"大数据"( big data) ，就是那些"规模已经走出
典型数据库软件所能获取、存储、管理和分析能力之外的数据集"
数据不是可有可无的数字和符号，而是宝贵的财富，更多的数据意味着更大的价值
有问题"Google" 一下，互联网改变了人们的行为习惯和思维方式.2013 年Google
发布了电影票房预测模型，即用回归模型来完成预测，声称该模型可以提前一个月
预测电影上映首周的票房收入，准确度高达90%.
$225
•
•
•
Weekend Gross
1- 4 Predicted Weekend Gross
•
，
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J
F
、
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160
140
120
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U
AU
'··A
80
60
40
20
68
..,
第11 讲
| 拟合也r
图中黑色点表示预测票房收入; 白色点代表实际票房收入.两者十分接近，Google
的票房预测模型本质是利用搜索量来预测票房.
研究显示，数字数据从20 12 年的2 .75ZB 火箭
般暴增到2015 年的8ZB轧们是怎样生成、复制、保
存、挖掘和分析所有这些数据的?今天的数据将告
诉我们未来会是什么样子.
』….•. .. -
f ãi ê'ñ%S-7室里
圆圆圈圈圈
'写回
,..-
百
向!数学之美探寻
l. 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100 辆，公司在经营中发现每辆车的月
租金x( 元)与每月租出的车辆数y( 辆)有如下关系:
( 1 )观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每
月租出的车辆数y( 辆)与每辆车的月租金x( 元)之间的解析式.
(2) 已知租出的车每辆每月需要维护费150 元，未租出的车每辆每月需要维护
费50 元，用含x(x注3 000 )的代数式填表:
租出的车辆数
未租出的车辆数
租出每辆车的月收
所有未租出的车辆
益
每月的维护费
方
法
( 3 )若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得
最大月收益?请求出公司的最大月收益.
'也、
维
、
应
用
之
美
69
时@ 带…挝美( 九年级
2 . 网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是
我们习惯称呼的
尺码对照表
中国鞋码实际标注
(同国际码)mm
220 225 230 235 240 245 250 255 260 265
中国鞋码习惯叫法
34
35
36
37
(同欧码)
38
39
40
41
42
请你解决下面的问题:
( 1 )找出满足上面条件的一个计算公式，通过实际脚长α 计算出鞋号b;
(2)习惯称为"30 号"的童鞋，求对应的脚实际尺寸;
(3)一个篮球运动员的脚长为282mm ，他该穿多大号的鞋?
(北京市数学知识应用竞赛试题)
3. 视野是指人的眼睛固定注视一定目标时，所能见到的空间范围，常用角度来
表示.在静止状态下，一般来说，人的双眼视野可达210 0 ; 在驾驶车辆时，随着车速的
增加，驾驶员的双眼视野度数减小.下面是一组车速与视野关系的实验数据:
请根据这些数据估计车速在120kn由时的视野
车速(km/h)
视野
。( 静止)
2 1 0。
40
100。
70
65 。
100
40。
70
第11 讲
| 拟合》
参警密集
也
1. (1 )通过观察表中数据可得x 每增大100 ，y 减少2 ，所以y 是x 的一次函数.
设其解析式为y = kx + b ,
13000k + b = 100, ._ ._ Ik = 一
1
由题意得!
解得r -
50'
13200k + b 二
96 ，
... . . I
飞
Ib = 160.
'.y .!:j x 之间的函数解析式是y = -jtx+l 60
( 2 )如下表:
租出的车辆数
未租出的车辆数
5.0x+ 160
一
5-
0 x-60
租出每辆车的月收
所有未租出的车辆
x -
3000
x -
150
益
每月的维护费
( 3)设租赁公司获得的月收益为W jG ，依题意可得:
=( 一」←x + 160 )(x -
150 )-(x -
3000 )
\
50-"
'~ ~J
= ( 一-À-x2+ 163x -
24000 )一(x -
3000 )
飞
50 ~
.~~~
~'~~~J
= -」-t +l63x -
24000 - x + 3000
50
= 一土x2 +
1仙一2 1000
50
= 一}A ( x -- 4050 Y + 307050 ,
50
二当x = 4050 时，Wmox = 307050 ,
即当每辆车的月租金为4050 元时，公司可获得最大月收益3 07050 元.
方
法
2. ( 1 )观察到表中给出了两列数:
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
αn
220 225 230 235 240 245 250 255 260 265
bn
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
'也、
维
、
应
用
之
美
71
αn + 1 == Qn十5 ,a,= 220; bn + ,= bn+ 1
，b ，二34.
由此得αn = 215 +切，bn= 33 + n . 于是有bn二0 . 2an一
10 .
如果将对应的脚长(单位:mm )和鞋号记作( a ，b ) ，其关系为b 二0.2a 一
10.
黄东坡@…数时( 九年级
( 2)令b = 30 ，由上述公式算出。= 200 ，即脚的实际尺寸为200mm .
( 3 )当α= 282 时，利用公式b 二0.2a 一10 算出b = 46.4 ，而鞋号都是整数，
按照
3. 用二次函数拟合，可以得到函数y = 0.0155x2 -
3.217x + 208.75 ，其图象如
图④所示代人x = 120 ，得y = 45.驴，这表示车速在120km/h时的视野大于车速在
100km/h时的视野，显然不合理.说明为估计车速在120krr由时的视野而选择拟合二
次函数是错的，故舍去此结论.
用指数函数拟合，可以得到函数y = 203.78e -00 1胁，其图象如图②所示.代入x
= 120 ，得y = 28.5 0，这个结论比较恰当，可以把y = 28.5 9作为答案.
速度与视野的关系
丰野
见250。
。
20
40
ω
80
l∞ 120
速度(阳由)
图①
速度与视野的关系
野
视250。
2l1α到
α5MVyy。oolE 一、\一一一飞飞一、一一~
。
20
40
ω
80
l∞ 120
速度(km!h)
图②
72
(份il
j 不动点
心数学文化巡礼
•
数学是发现的还是发明的?有人说数学是人类心灵最独特的创作，在数学
里，有许多与生活息息相关且令人印象深刻的定理"喝醉的酒鬼总能找到田家的
路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家"、"在任意时刻，地球上总存在对称的两
点，他们的温度和大气压的值正好都相等"等，这些数学定理、数学论述在圈子中
广为流传，也为数学家深深喜爱.
望文生义，不动点即是不改变的点.
某天从甲地开往乙地的列车和从乙地开往甲地的列车，一定在途中某点相
遇
把一张当地地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上
的点正好就是在地图上的点所表示的位直.
1912 年，荷兰数学家布劳威尔证明了如下定理:让一个圆盘里的所有点连续
运动，则总有一个点可以回到运动前的位直.
这就是著名的不动点定理.
从图象上看不动点意味着点(x ，J(x))在直线y=x 上.
含参数的函数图象随参数的变化而变化，但这些图象常常恒经过定点.
布劳威尔( 1881-1966)，荷兰数学家，拓扑学的奠基
人，他的突出贡献是建立布劳威尔不动点定理以及证明
维数的拓扑不变性.布劳威尔把数学看作，心灵的自由创
造，在博士论文《论数学基础》中开始建立直觉主义的数
学哲学.
73
时@ 带…牡美(九年级
数学智慧讲堂
例Ï)
(1)若直线y=kx-2k +5 恒过定点，则该点的坐标为一一一·
( 2 )当p 取任意实数时，抛物线y = 2r- px + 4p + 1 都经过一个定点，则该点
的坐标为
( 3 )无论m ，n 为何值，函数y = mr- nx - m -
n 必过定点一一一·
·
分析与解
将问题转化为"无关型" 问题，对于式子。b = 0 ，当α =0 时，不
论b 为何实数，础的值都是o .整理解析式，将含参数的项的系数变为0 ，由此确定定
占
( 1 沙=(x -
2 )k 十5 ，当x -
2 = 0 ，即x = 2 时，(x -
2)k 恒为O ，y = 5 ，故定
点的坐标为( 2 ，5) .
(2)y = 2;\产-p (x -4 ) +1 ，当x=4 时，含p 的项为O ，y = 33 ，与p 的取值无
关，故定点的坐标为( 4,33 )
fr -
1 = 0,
(3)y =(x2一
l )m +c -
x 一
1 )n ，由{
得x 二一
1 ，y = 0 ，故定点
I- x -
1 二0 ，
坐标为( 一
1 ，0).
@ 如图，已知点M( -2 ，1)为抛物线y=卡2上一点，过
点M作MA 上MB ，分别交抛物线于A ，B 两点. 求证: 直线AJJ
恒过定点，并求出该定点的坐标.
。
'
分析与解
大胆引入参数，构造相似三角形，综合运用根与系数关系，探寻
参数间关系.
过点M作PQ//x 轴，AP j_ ?Q 于点P ，BQ j_ PQ 于点Q ，设直线AB:y= kx +b ，
由俨卡，
得卡一位- b = 0,
Iv= kx+b
74
第叫| 不动点U
:,XA + Xs = 4k,XAXS = -
4b.
Y
由6.APM∞6. MQB 得AP' QB =PM' MQ.
即(扫一
1 )(扫一
1 )=一(川2 )(XS + 2 ),
」一(XA -
2 )(Xs 一2)= 一
1 ,
. 16
XAXS -
2(XA + XS)+ 4 =一
16 ，
10
人- 4b -
8k + 4 =一
16 ，b = 5 -
2k,
:.AB:y = kx + 5 -
2k = k( x - 2)+ 5 过定点( 2 ，5).
《数学之美》一书作者吴军，曾任腾讯公司副总裁，主管
搜索、在线广告、云计算基础架构.他用优美而通俗的语言描
述道
"高新技术的本质是数学化的技术.，
搜索引擎、语音识别、机器翻译、自然语言处理……数
学是解决这些问题最好的工具.
19IJ 3 如图，已知矩形ABCIXρ矩形A'B'C'D'
，把矩形A' B' C' D'
D
./'守'l C
放置在矩形ABCD 内，这表示矩形ABCD 上的点到了新的位置，
1
D~ ) 8,1
A• A' ,B• B' ,C•C' ，D-→D'
，任一点户斗P' 但不在AB 上)处，应
|
Y
I
有6.PAB ω 6.P' A' B'. 证明:一定有一个点Q 与运动之后的Q' 重
A
B
合一一也就是不动点.
•
分析与解
)1顶思逆想，先假设存在这样的点，由此出发推理，寻找Q 点确定
的方法.
延长B' A ' 交直线AB 于点E.
.: 6.A' B' Q ∞6.ABQ ，
人ζ QB' E = ζ QBE ，
:.Q,B' ，B ，E 四点共圆.
同理，延长A'D' 交AD 的延长线于F 点，
可证明Q ，A '
，A ，F 四点共圆.
':B ,B' ，E 与A '
，A ，F 确定，
故Q 恒在B'
，B ，E 所确定的圆上，又恒在A ' ,A ,
F所确定的圆上，只要分别作6. B ' BE 和6.A ' AF 的外
接圆，两圆的交点就确定Q 点了
A
C
D'
B
75
方
法
、
思
维
、
山
川
之
美
时@ 带…性美(九级)
利用一种复杂的计算机方法，巴恩斯利开发出了
一种压缩图像的模式，这种新压缩模式可以把图像压
缩至很小，而之后可对图像放大但并不会造成图像模
糊失真.
应用分形图像压缩，通过插补运算，我们甚至可
以估测镜头取景之外的图像中都包含了些什么.
怎样求出方程x3+ 3x 一
1 = 0 的实数解?
由原方程得x3+ 4x 一
1 =x ，设x3 + 4x 一
l =y
①，此式反映了一个变换的
规律，若将xo代人①式左端，计算之后仍是xo ，贝Ux。为①式的不动点，方程的求解问题
可转化为某个变换下的不动点问题.
在数学中，寻找未知曲线、未知曲面、未知数串等问题，都可转化为寻找不动点
问题.
不动点理论在博弈论、经济学等领域也有广泛应用.
20 世纪60 年代，经济学家肯尼思·阿罗与杰拉德
· 德布鲁证明了在某些情况
下自由市场导致经济最优的"不动点"，结果是价格设置在最正确的水平上.
向数学之美探寻
1.
已知二次函数y = x2 +mx+n 满足m - n = 2 ，且其图象恒过一定点，求
这个定点坐标.
2. 己知抛物线y= αx2 -
1.
( 1 )不论。取何值时，抛物线总过一定点，直接写出此定点的坐标;
76
第四川不动点3
(2)如图①，当。=1 时，p( O ，- 2) ，过P 点作直线交抛物线于点E ，F ，且EF=
3PE ，求此直线的解析式;
(3 )如图②，如=1 时，抛物线交x 轴正半轴于A 点，M，N 在抛物线上，MA ..l
NA ，试说明MN 恒过一定点，并求此定点的坐标.
x
x
P
图①
图②
(武汉市中考题)
3
如图，抛物线y = αx-十bx + c( α > O ，c < O)交x 轴于点A，B ，交y 轴于点
C，设过A，B ，C 三点的[国与y 轴的另一个交点为D.
( 1 )如图①，点A ，B，C 的坐标分别为( -
2 ,0 ),( 8,0 ),( 0 ，一4 ).
(i)求此抛物线的解析式与点D 的坐标;
( ii )若点M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求/'::，.BDM 面积的最大值;
( 2 )女日困②，若α =
1 ，求证:无论b ，c 取何值，点D 均为定点，并求出该定点的坐标.
y
y
x
图①
图②
(宿迁市中考题)
77
方
~r.
~m
维
1丰i
J.Ij
之
:芙
时@带…时(九银)
4. 如图，顶点M在y 轴上的抛物线与直线y = x +
1 相交于A 、B 两点，且点A
在x 轴上，点B 的横坐标为2 ，连接AM、BM.
(1)求抛物线的解析式;
( 2 )判断L:.ABM 的形状，并说明理由;
( 3 )把抛物线与直线y =x 的交点称为抛物线的不动点.若
将( 1 )中的抛物线平移，使其顶点坐标为(m ，2m )，当m 满足什
么条件时，平移后的抛物线总有不动点?
x
M
(衡阳市中考题)
g 参害答案
1. y = x2+ Cn+ 2)x + n = r+Cx+ l) n + 2x ，可得定点的坐标为( 一
1 ，一
1 ).
2. ( 1)( 0, -
1).
(2)设此直线解析式为y 二mx- 2 ，与抛物线y = r 一l 联立得iy=mx - 2
Iv=r- l,
即对- mx + 1 = O.
设E(x ，，y，)，贝元，Y2 ) ，由相似知X2 = 4x,.
1
~ (
， 1
3 \
又二' x ，• X2= 1, :.x,= :t~，E( :t ~， - -=_:i-)
2''"'\-'-2'
4 )
代人y= mx-2 得m= ±÷
-y=±fx-2
(3 )过点M，N作x 轴的垂线，MH .l x 轴与点H ，NK .l x 轴于点K ，易知L:.AMHω
~ 一
1
x.一
l
L:.NAK ，设M( xJ ，~一
1 )，N(x. ，对一
1 )可得: 1τ王;二r.-
l' 得以. +(xJ + x. )= -
2 ,
[y = kx 十b ，
又.. 直线MN 的解析式v = kx + b ，由「
得r- kx 一( 1 + b ) 二
~ '~IV= X2 一
l
0 ，所以
x品= 一
1 (1 十b ),xJ+ x.= k ，由一( 1+b)+k =-2 ，得k + 1 = b.
人y = kx + k +
1.
当x =-
1 时，y = 1 ，故MN 恒过定点( -
1, 1).
1 ,
3
3.
(1 )(i 沙二~r一~x-4 ，D(0 ，4 ).
.J'
4 ~
2
r.. 1 ...2
3 ...
A \
(ii)设点M 的坐标为(m ，-m-
m- 4) ,
飞
4'"
2 '"
. J
78
4导S6 BDM= 一(m -
2 )2+ 36.
':0 < m < 8,
"当m=2 时，S6 BDM的值最大，最大值为36.
(2)设A( 矶，0 )，B( 足，0) ，则x品= c.
J曰OA
OC
由fj" AOD∞6. COB 1* ;_';" =
苛OD
OB '
刀'D=旦二坐=且斗到=h4=JEL=
OC
OC
c
Icl
故点D 为定点，其坐标为( 0 , 1 ).
4. ( 1 )y =r- 1.
(2) fj"ABM 为直角三角形.证明略
(3)设平移后的抛物线的解析式为y =(x -
m )'+ 2m ,
fy = (x -
m)2+ 2m
j.J'
，~
"0/' _...，得x2 一(2m + l)x + m2 + 2m = 0,
川I=
X
由ρ0 得，m寸
即当m寸日才，平移后的抛物线总有不动点
第叫不动点J
79
方
法
、
思
维
L
M
川
之
夹
I lCt 自相似
, ,
心数学文化巡礼
------------------.
雪花、花菜、问电、跳动的心脏、干裂的土地、弯弯曲曲的海岸线、粗越不堪的
断面、起伏不平的山脉、股票走势......
上述现象的共同特点是:形状不规则，具有整体与部分的自相似性.
传统几何学不能描述大自然中普遍存在的不规则形体，怎样用数学来刻画
这些自然形体，一直是数学家们探索的新课题.
波兰裔法国杰出数学家曼德布罗特于1982 年出版了《大自然的分形几何学} ，
他的系列发现开创了一门崭新的数学分支一一分形几何学.
"云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，问电
不会沿直线进行，复杂的世界需要更贴近自然的几何学"
分形几何打破了传统的思维形式，利用自相似的观点，对不规则又极其复杂
的事物进行了分形.
80
曼德布罗特(1924-2010 )是分形几何的创始人，广泛
的科学兴趣，极强的形象思维能力，使他成为分形几何学
的创始人.1 967 年曼德布罗特在《科学》杂志上发表了一篇
奇怪的文章《英国的海岸线有多长~ ，让人们大吃一惊.
第13 讲
| 自相似b
队数学智慧讲堂
例
l
如图①，P 为L. ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，在L. PAB ，L. PBC 和L. PAC
中，如果存在一个三角形与L.ABC 相似，那么就称点P 为L.ABC 的自相似点.
( 1 )如图②，在Rt L.ABC 中，已知ζACB = 900, L ABC > L A , CD 是AB 边的中
线，过点B 作BE j_ CD ，垂足为E ，试说明点E 是L.ABC 的自相似点;
(2)在L.ABC 中，ζA< ζB< ζ c.
(i)如图③，利用尺规作出L.ABC 的自相似点P;( 写出作法并保留作图痕迹)
( ii)若L.ABC 的内心( ζA ，ζB ，ζC 的角平分线的交点)p 是该三角形的自相似
点，求该三角形三个内角的度数.
( 南京市中考题)
A
A
B
C
B
C
B
图③
图②
图①
方
洁
、
思
维
、
应
用
之
美
分析与解
本例设问形式多样，从概念的判断到作图求解，由浅入深. 认识
并深刻理解"自相似点"的概念，是解题的关键. 对于第( 2 )问中的( ii ) ，可以由自相似
点的性质建立角的关系.
( 1 )在Rt L.ABC 中，LACB = 900，CD 是AB 边的中线，
. .ω=抖，
:. CD = BD ，正BCE= ζABC ，
':BE j_ CD ，λ ζBEC = 900，ζBEC = ζACB ，
:. L.BCB∞L.ABC ，
二点E 是L.ABC 的自相似点
( 2 )(i )作图略
作法如下
: ( 1 )在LABC 内，作ζ CBD= ζA;
( 11 )在丘ACB 内，作ζBCE= ζABC ，BD 交CE 于点P ，
81
•
黄东坡@带…时( 九年佩)
82
则点P 为l::.ABC 的自相似点
(ii)连接PB ，PC ，γ 点P 是l::.ABC 的内心，
'. LPBC=卡机3α=÷Aα
γ 点P 为l::.ABC 的自相似点
，:. l::. BCPω l::.ABC.
.. ζPBC= 正A ，λ LBCP = LABC = 2ζPBC 二2 正A ，
L ACB = 2L BCP = 4 ζA.
.: LA + ζABC+ 正ACB = 1800, :. LA + 2LA + 4LA =
180气
180。
二LA = ,:;v ,
1800 3600 720。
二该三角形三个内角的度数分别为一一
7 ' 7 ' 7
回溯我们熟悉的图形、数、式，它们很多也具有自相似的特征.
0.3 = 0.333…= 0. 3 + 0.033…= 0.3 + O. 1 X 0. 333…
由对+x 一
l 二O 得x 二J弓，
反复利用此式可得
x= J1τ~=J 1 -~= J1- J1-~
=J 1 -J1 - J 1 -)1 -Jl二= 0.618.
由r+x-1=01导x=-1一
l+x
反复利用此式可得
X
二二一一一一一- 一一一一一一一一一= ---------一一一一一一一一一
l+x
l 十
1 +
'
1 +一一一
l +x
1 +一一一
1+一一
. 一一
1 十x
1 +一一一
1+…
分形几何能描述传统几何学所不能描述的大自然中
广泛存在的不规则形状，分形具有整体与部分的自相似性.
在这幅日本画家北斋的名画《富岳三十六景〉闺中奈
川冲浪里，浪花不断重复着相同的结构，这就是自然界中
既简单又复杂的自相似性，分形几何、分形艺术、分形世
界是数学家探索、艺术家欣赏的对象.
_...
第13 讲
|
自相似已，l.'
细胞分裂的过程是:母细胞完成遗传物质的复制后，然后分裂为元数个子细胞，
子细胞与子细胞一样，与母细胞形状相似，而子细胞与母细胞形状相似是因为它们
有共同的基因.
若一个图形能分割成若干个彼此全等而又与原图形相似的小图形，则我们把这
个图形称为
可缩图形分割的方法是:
从面积相等和形状相似出发，根据等分的份数对原图(母细胞)进行等分切割，
再各取一份构建基本图形(子细胞) ，运用基本图形来分割.
分形开启了数学的一个新领域，对于我们理解现实世界
有突破性的意义，分形学是数学、艺术、哲学的交集.
'
寸
分
形
字
Il~~咽
啤电
-
E哩二~\~.:11圃
匾
:，"'~
十
圃_.‘ i1
-暨旷，,
，倍。三}
如图，是一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形，
1一一~
现要把它分割成全等的四块，且与原图形形状相似，怎样分割?
1""
·
分析与解
将原图的两部分分成全等的四部分，分别得到4 个小正方形和
4 个小等腰直角三角形，取一个小正方形和
l 个小等腰直角三角形构成新图形，以此
图为基本图形，进行分割.
川::\
-一-
• [h
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
分形几何是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学，人们把一个几何分形
看作无尽的生成模式一一复制自己的模式.
分形元处不在，它的研究被应用于信号处理、环保、宇宙探索、艺术创作中在技
术的发展过程中，许多传统的科学难题，因分形的引入而取得进展.
著名物理学家惠勒曾说"当今哪个学者若不知道'脑的概念，就不能被认为是合
格的科学家;在将来若谁不了解分形概念，那他也不能被称为知识分子"
83
黄东坡@ 带你发即投( 九年银
谢尔宾斯基海棉
波兰著名数学家谢尔宾斯基用立方休绘制了一个"数学怪物.，，这个既复杂又漂
亮的图形有着严格的自相似性.
，、
.._ ....
1.如图，是一个"L"形状的图形，请将它分割为形状、大小相同的4 个部分，并且每一
部分与原图形的形状相同.
2. 阅读理解: 如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E( 点E 不与点A ，点
B 重合) ，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成兰个三角形，如果其中有两个
三角形相似，我们就把点E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的"相似点";如果这三个
=角形都相似，我们就把点E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的"强相似点"
解决问题:
( 1 )如图①，LA = ζB = ζDEC = 55 0，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边
AB 上的相似点，并说明理由
D
A
' 84
E
图①
B
第叫自相似
(2)如图②，在矩形ABCD 中，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正
方形的边长为
1 )的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD 的
边AB 上的一个强相似点E.
: D.
:C
tl:;l;
A
M -------,D
C
B
图②
E
(3 ) 拓展探究:如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点DA
落在AB 边的点E 处.若点E'恰好是四边形ABCM 的边AB 上的
一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系.
方
法
图③
3 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两
个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角
形互为逆相似.例如，如图①，6.ABOω 6. A' B' C' ，且沿周界ABCA 与A'B'C'A' 环绕
的方向相同，因此6. ABC 与6. A' B' C' 互为)1目相似;女日图②，6.ABC ω 6. A' B' C' ，且
沿周界ABCA 与A' B' C' A' 环绕的方向相反，因此6.ABC 与6. A' B' C'互为逆相似.
(自贡市中考题) B
、
思
维
、
应
用
之
美
/趴
/A
A\
石\
85
黄东坡@ …数位美( 九佩
( 1 )根据图③、图④、图⑤满足的条件，可得下列三对相似三角形!①6ADE 与
6ABC; ②6GHO 与6KFO; ③6NQP 与6NMQ. 其中，互为顺相似的是一一-- ' 互
为逆相似的是
. (填写所有符合要求的序号)
A
G
M
P
D
B
C
K'
F
Q
N
图③
图④
图⑤
条件:DE//BC.
条件:GH//KF.
条件:丘NQP= ζ M
(2)如图⑥，在锐角6ABC 中
，LA< 正B< ζC ，点P 在6ABC 的边上(不与点
A ，点B ，点C 重合) ，过点P 画直线截6ABC ，使截得的一个三角形与6ABC 互为逆
相似.请根据点P 的不同位置，探索过点P 的截线的情形，画出图形并说明截线满足
的条件，不必说明理由.
C
A
B
图⑥
(南京市中考题)
86
第才3 讲
| 自徊{以6
参害窑案
也
---…
巳
---…
---,.---
_ _ _
l如- --
---~---~---~---~
2. ( 1 )点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点.
理由:γζA = 55 0，:. 正ADE+ ζDEA = 125 气
γ ζDEC =
55 0，:.ζBEC+ ζ DEA =
125 气
二ζ ADE= ζBEC.
又.: LA = ζB ，λ 6ADE∞6BEC.
点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点.
(2)有两种作法，作图如下:
:
ρ
: C
:
: Dl:::::C
CNjfi:1、d(
A
E'
B
A
E " B
(3) .: 点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，
λ 6AEM∞6 BCEoω6
ECM,
二ζAEM= ζBCE= 丘ECM.
由折叠可知:6ECM主~6DCM，
..LECM= ζDCM，α=ω ，LBα=÷3ω=
300,
一
1
~~
1
得BE =~CE =~AB.
2 ~~
2
方
法
、
应
用
之
美
思
维
87
BE
在Rt 6 BCE 中
，tan LBCE = -;,;.. = tan300,
BC
. BE _.)3
Il'~AB _ 2.)3
一
，从而一一一一
. BC
3 , /Y\.II'J BC
3
3.(1)(J:(;(.
(2)根据点P 在6ABC 的边上的位置关系分以下三种情况:
黄东坡@…数时(九年级)
第一种情况;如图①，点P 在BC( 不含点B ，点C)上，过点P 只能画出2 条截线
PQl ，PQZ ，分别使LCPQl = ζA ，石BPQz =LA ，此时6PQ1 C ，
6PBQz 分别与6ABC
互为逆相似.
C
A
A
图①图②
第二种'情况:如图②，点P 在AC( 不含点A ，点C)上，过点B 作ζ CBM= LA ，
BM交AC 于点M.
当点P 在AM( 不含点M) 上时，过点P1 只能画出
1 条截线P1Q ，使ζAP1Q=
ζABC ，此时6AP1Q 与6ABC 互为逆相似;
当点P 在CM 上时，过点pz 能画出2 条截线PZQl ，PZQZ ，分别使正APZQl =
ζACB ，ζ CpzQz = ζ CBA ，此时6APz Q l 、6CP z Q z 分别与6ABC 互为逆相似
第二种'情况:如图③，点P 在AB( 不含A ，点B) 上，过点C 作ζBCD = ζA ，
正ACE 二正B ，CD ，CE 分别交AB 于点D ，E.
A
气E
P2
图③
当点P 在AD( 不含点D) 上时，过点P1 只能画出
l 条截线P1Q ，使ζ~AP IQ
二ζACB ，此时6AQP1 与6ABC 互为逆相似;
当点P 在DE 上时，过点Pz 能画出2 条截线Pzß ，PzQz ，分别使ζAPZ Q l
= LACB ，ζBPzQz= 丘BCA ，此时6AQ 1PZ ，6 Q J3P z 分别与6ABC 互为逆相似:
当点P 在BE( 不含点E) 上时，过点P1 只能画出
l 条截线P1Ql ' 使石BP1Ql
= ζBCA ，此时6 QzBP1 与6ABC 互为逆相似.
88
(IEI)
、- --、，
、，
。数学文化巡礼
自然界的许多现象和事物在形体、结构、方法、性质、量、质等方面存在某些
共同点、相似点，这就是相似性原理.
德国著名物理学家普朗克曾说"从表面看，自然界的现象千差万别，但是在
不相关的领域里常体现着相似的简单性，如果没有这种情况，以比喻和类推为主
要手段的人类思维去探索自然奥秘，不知要困难多少倍"
马克斯·普朗克(1858 年
1947 年) ，德国物理学家，
1900 年为了克服经典物理学对黑体辐射现象解释上的困
境，首先提出量子概念，被誉为现代物理学发展的
父"
类比推理是相似性原理的主要表现形式.
类比推理是根据两个或两类对象在一系列属性上相同或相似，从而推出它
们在其他属性也相同或相似.
类比推理的常见视角有以下几种:
( 1 )以几何演变为背景的类比推理;
(2) 以从特殊到一般的拓展为载体的类比推理;
(3) 以阅读理解为方式的类比推理.
89
黄东坡@带…牡美(九年级)
类比中的变化、类比中的联想、类比中的发展、类比中的
迁移，联想纵横，视野开阔.
正如宋朝诗人曾公亮曰"要看银山才白天浪，开窗放入大
江来.，
数学智慧讲堂
倒V
如图①，在矩形ABCD 中，ζACB = 300，将一块直角三角板的直角顶点P 放在
两条对角线AC ，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直
角边分别与AB ，BC 所在的直线相交，交点分别为点E ，卫
( 1 )当PE l_AB ，PFl_ BC 时，如图①，则35=
D
C
图①
(2)现将三角板绕点P 按逆时针方向旋转α(00<α< 600) ，如图②，求PE 的值;
PF
(3)在(2) 的基础上继续旋转，当600<α< 90气且AP: PC = 1 : 2 时，如图③，
PE 的值是否变化?证明你的结论.
PF
D
C
图②
90
·
分析与解
关注问题的连续性，问题( 1 )作为导引
，易想到通过向矩形的两
邻边AB ，BC 作垂线，构造相似三角形-
( 1 )J3.
(2)如图④，过点P 作PH j_ AB 于H 点，PG j_
BC 于G 点，则Rt 6.PHE<ωRt 6.PGF ，
J3 川
PE
PH
2'.ι
1-:
•. PF
PG 一
l
飞
J
τPC
PE
(3)一一的值会变化.如图⑤，过点P
PF
作PH j_ AB 于H 点
，PG j_ BC 于G 点.
〉号川
PE
PH
2'"
于
3PA
同理可证
=一一=一一一一一=立二一
PF
PG
1 ~~
PC.
τPC
.. PA _ 1
• PE _ J3
PC
2'" PF
2
如4 讲
| 相似性原理d
D
D
F
图⑤
倒2
阅读材料:
如图①，6.ABC与6.DEF都是等腰直角三角形，ζACB= ζEDF= 90户，且，点D 在AB
边上，AB ，EF 的中点均为0 点，连接BF ，CD ，CO ，显然点C ，F ，。在同一条直线上，
可以i正明6. BOF 旦6. COD ，贝iJ BF = CD.
A
A
图①图②
(1)将图①中的Rt 6.DEF 绕点。旋转得到图②，猜想此时线段BF 与CD 的数
量关系，并证明你的结论;
91
←
刀
法
、
思
维
山
川
之
美
黄东坡@ 带…时(九年级)
(2)如图③，若L. ABC 与L. DEF 都是等边三角形，AB ，EF 的中点均为点。，上述
( 1 )中的结论仍然成立吗?如果成立，请说明理由;如果不成立，请求出BF 与CD 之
间的数量关系.
B
D
A
C
图③
图④
( 3)如图④，若L.ABC 与L. EDF 都是等腰三角形，AB ，EF 的中点均为点。，且顶
角Aα =LEDF 二α ，请直接写出去的值(用含α的式子表示出来)
(盐城市中考题)
·
分析与解
从特殊到一般，图形的位置、形状改变了
，条件"中点。"未变
从辅助线的添加、全等到相似的证明
，都存在着可比性，为判断与证明创造了条件.
92
(1 )BF = CD
如图⑤，连接CO ，DO
则BO = CO ,FO = DO ,
ζBOF = LCOD = 90。十ζ COF ，
:.L. BOF旦L. COD . :.BF = CD
(2)BF = CD 不成立.
如图⑥，连接CO ，DO.
则豆豆二旦旦
13.
、' BO
FO
、
d
又.
. ζBOF= ζ COD = 90。十ζ COF ，
二L. BOF'∞6 COD ，
·旦旦二豆豆二d 二CD = 13BF
. BF -- BO
BF
α
( 3 ) ~'，. = tan 一
CD
.~.. 2'
A
图⑤
A
图⑥
第叫相似性原理U
图中曼德布罗特倚靠的是一幅著名的分形背影
图.这幅分形图是他创造的，它有可以无限展开的结构.
例3
暑假里，小颖帮母亲到鱼店去买鱼鱼店里有一种竹英鱼，个个都长得非常相
似，现在有大小两种不同的竹英鱼，如图所示，鱼长10cm 的每条10 元; 鱼长
1 3cm 的
每条15 元.小颖不知道买哪种更划算些，你看该怎么办?
民24i locm
l/一ζ二、:t
10 元
15 J巳
-I I
I
I
I
I
I
I
I ………·
分析与解
从平面图形相似到立体图形相似，两个相似的立体图形，若相
似比为号，则体积之比为手
曰
13
设两条相似的鱼A ，B 的长分别为
10cm 和13cm ，即B 对于A 的相似比文工百'
目
13 3
2197
~'^~ ~ , = '^ -:
体积之比就
一一=一一= 2 .
197; 而A 要10 兀，B 要15 元，这样B 对于A 的价格
文103 - 1000
•
15
比目一一= 1. 5 . 这里，论体积B 是A 的2.197 倍，但价格B 才是A 的
1. 5 倍，很显然，
定10
买B 比买A 要划算些.
方
法
、
应
用
之
美
ru
维
93
黄东坡@ 自于…
长度、面积和体积的这种关系，叫相似比原理.
利用相似比原理可以解决生活中的许多问题:
用放大镜看物体，能看到什么现象?
买水果，是买大的划算还是买小的划算?
雾为什么能飘浮在空中?
为什么大型生物几乎都是海洋生物?
í9iJ4
为什么大型生物几乎都是海洋生物?
·
分析与解
设想把老鼠放大到
100 倍，则四条腿的截面积是原来的
10 000
倍，而体积却是原来的1000000 倍-但老鼠的生理结构和组成成分和原来一样，即它
的密度不变.这样，腿的单位面积要支撑住的重量是原来的
100 倍，老鼠就无法站立
了
.
而海洋生物依靠浮力平衡自己的体重，受到的重力和浮力总是等比例增加，海洋
生物不必为支撑自己的体重而发愁.
德国数学家开普勒曾说: ‘我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师.
它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不可忽视的"
提高类比推理能力，需要深刻理解数学的统一性，在思维方式上融会贯通，举一
反二地广泛联想.恰当的类比推理，是人类提出新问题和新发现的重要源泉.而普朗
克说"新的科学想法从来不会由集体产生，不论(集体)如何精心组织，而只会来自
孤独与问题斗争的研究者集中全部精力，将自己与整个世界汇聚在一点上的那灵光
一闪"
i二百|
94
美的分宰Jj
利用比例和数列的规律进行图形
的分割，形成富有节奏感的构图，体现
了数学在设计领域中呈现的形式
美感.
第14 讲
| 相似性原理U
1. 一位
1. 65 米高的小伙子，正常体重是55 千克，那么
1. 80 米高的小伙子，正
常体重应该是多少千克?
2. 什么是雾?雾是飘浮在空中很小的水珠，而水比空气重，应该落下去，但雾却
飘浮在空中，为什么?
3. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点。，将6. COD 绕点。按逆时针
方向旋转得到6. COD ，，旋转角为e(oo<θ< 90 0 ) ，连接AC ，BD " AC与BD ，交于点P.
( 1 )如图①，若四边形ABCD 是正方形:
( i )求证: 6. A OC ，旦6. BOD ，;
( ii)请直接写出AC ，与BD ，的位置关系.
Cl
C
图①
B
方
法
ßl
维
图②
(本溪市中考题)
( 2 )如图②，若四边形ABCD 是菱形，AC= 5,BD= 7 ，设
AC,= kBD" 判断AC ，与BD ，的位置关系，说明理由，并求出k
的值.
、
应
用
之
美
95
黄东坡@ 带…时( 九级
4. (1)问题发现
如图①，L:. ACB 和L:. DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同
一直线上，连接BE.
C
儿E
填空: ( i) ζAEB 的度数为
(ii)线段AD ，BE 之间的数量关系是
(2)拓展探究
A
B
图①
如图②，L:. ACB 和L:. DCE 均为等腰直角三角形，ζACB
C
二丘DCE = 90 0 " 点A ，D ，F 在同一直线上，CM 为L:. DCE 中
//以，>-E
DE 边上的高，连接BE. 请判断LAEB 的度数及线段CM，丘，
石/仨
M"'-扎
A Y
~、B
BE 之间的数量关系，并说明理由.
图②
(3)解决问题
A
D
如图③，在正方形ABCD 中，CD= y哇，若点P 满足PD= 1,
I
且ζBPD 二90 0 ，请直接写出点A 到BP 的距离
|
(河南省中考题) B
1F1~
C
图@
也
1.设l. 80 米高的小伙子正常体重为x 千克，由于假设两个小伙子的体形是相似
的，且体重与人体的体积之比都相等，则两人之间的体重之比便等于两人身高之比
1
1. 80 γ
的立方，据题意有主=( 一- l ，解得x= 7 l.4( 千克).
55
飞
1.65 J
所以，l. 80 米的小伙子正常体重应该约为7 l.4 千克
2. 雾珠所受到的地球引力是与雾珠的质量成正比的，而质量又是与它的体积成
正比的，所以雾珠所受到的重力与它的体积成正比.
再研究雾珠所受到的空气的阻力:雾珠越小，表面积越小，阻力也越小，所以雾
珠所受到的空气阻力是与它的表面积成正比的
假设雾珠的半径变为原来的」一那么它的体积就变为原来的-L，而面积变为
10 '
原来的市这就是说，当空气对雾珠的阻力变为原来的市日才，重力却只有原来的
市所以，当雾珠小到一定程度时，它所受到的空气阻力便能接近所受到的重力，
从而使雾珠飘浮在空中
灰尘能在空中飞舞不落，金属微粒能在水中悬浮不沉，都是和雾珠能飘浮在空
96
第叫丰础原理U
中类似的道理-
3. ( 1 )略.
(2)ACd.BD 1•
理由如下:γ 四边形ABCD 是菱形，
:.OC= ω=卡C ，ω=ω=÷BD ，AC4m
.:t::. COD 1 由t::. COD 绕点。旋转得到，
二OC 1 = OC, OD1= OD ，ζCOC=ζDOD 1
，
:.OC1= OA ,OD 1= OB ，ζAOC 1 = ζBOD 1
，
.OC1_OD1 .OC1
OA
.• OA
OB ' • • OD1 _ OB '
:. f:..AOC 1ω t::. BOD 1
，λ LOAC 1 = ζ OBD 1 ，
又γ LAOB = 900 ,
..ζ OAB+ ζABP+ 正OBD 1 二90 0 ，
.. ζ OAB+ 正ABP+ ζ OAC 1 = 90 0 ,
:. LAPB = 90 0 ,AC j_ BD1.
.: t::. AOC∞t::. BOD 1
，
土AC
• AC1 _ OA _
2 H~
AC
5
• L _ 5
•• BD, _ OB _
1 ~_
BD
7' ..凡
7
'
AτBD
4. (1)①60 0 ; ②IAD 二BE
(2)ζAEB = 90 0 ;AE = 2CM + BE.证明f:.. ACD 旦f:.. BCE 即可.
J3_ 1 ~J3+ 1
(3)-E一或
2 一一.
':PD = 1
，ζBPD = 90 0 ,
λ BP 是以点D 为圆，以
1 为半径的OD 的切线，点P 为切点，第一种情况如
图①，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点P'
可ìiEt::. APD旦t::. AP'B ，PD=P'B= 1,
CD =.,fi, :.BD = 2,BP =J3，儿M= .J-PP' =土(PB _ BP')=亟二1
2"
2
1 ~~，
1 / ~~ , ~~"
,13+ 1
第二种情况如图②，可得AM=~PP'=一(PB + BP')=立土一.
2"
2
P//./o~
.........\
///0
飞\
n
i
A
l
ni
d叮/
A头二人/
M ____ γp
方
法
、
思
雄
、
应
用
之
荣
97
C
图①
B
(‘ Ð)
飞与数学文化巡礼
黄金分割又称黄金分割率，是数学上的一种比例关系.
把舞台的中心放在何处，才能产生最佳的效果? 二胡的千斤绑在琴弦的哪里，
才能获得最佳音色? 植物叶片上下两层叶子之间相差137 . 5 0，这个度数有什么奥
秘? 为什么六十多个国家的国旗上都有五角星? 古希腊帕特农神庙有怎样的特
殊结构?
1876 年，德国实验心理学家古斯塔夫·费希纳曾经做过一个著名的实验，
他展出以下各种矩形:
W
I D I
w
c己
EÐ
曰
E己
I
G I
I
J
要求参观者投票选择各自认为最美的矩形.结果有四个矩形被认为是最美
的，它们看上去匀称而给人美感，这四个矩形的宽与长的比分别为:5 : 8 、8 : 13 、
13 : 21 、21 : 34.
1 98
这些比都接近0.618.
古希腊数学家欧多克索斯曾研究过大量的比例问题，并创造了比例论.
.......AC _ CB
如图，设点C 为线段AB 上一点万一一一一一则点C 为黄金分割点.
AB
AC'
设~AB = I,AC = x ,
(1- x)
j 7=一
x 一，即r +lx-f=O ，
I X \2 I
X
"t
_
^
å.11 /. 'E:1 X
一
ζ →
1
化为l 一1+王一
1 = 0 解J 一=立土，-' '''''' 0.618.
飞
T) ' T -
1 = U ，于
1
2
A
C
B
第叫黄金分割3
宽与长的比为黄金比的矩形叫"黄金矩形"
，
相传建于公元前43 2 年的古希腊雅典的帕特农神
庙就是这种矩形.
飞〕数学智慧讲堂
怎样作出线段的黄金分割点?
例
l
瞅瞅段上的点，使之分得较长线段是原线段的斗i
如图①，已知线段AB .
AB
( 1 )经过点B 作BC l.. AB ，使BC='i;
(2 )连接AC ，在CA 上截取CD = CB;
(3 )在AB 上截取AE=AD.
则点E 为线段AB 的黄金分割点.
C
分析与解
•
铲
B
E
图①
解王二
如图②，已知线段AB.
(1) 以AB 为边作正方形ABCD;
(2)取AD 边上的中点E ，连接BE ，延长DA ，使EF 二BE;
(3)以AF 为边长，作正方形AFGH ，GH 交AB 于H 点，则点H 为线段AB 的黄
金分割点
图②
A
4
'
'
μ
←
4
JjF"
思
锥
.
应
用
之
类
99
黄东坡@带…
/
‘
气"ι
1
一=羊斗~~ 1.618.
X
L
在实际应用中，通常取1.618 或0.618 作为黄金分割的值，
0.618 有一个专门符号"φ"
例2
常见图形中的黄金分割.
如图①，对于顶角为36。的等腰三角形，可以证明:底角平分线把一腰黄金分割.
如图②，连接正五边形的5 条对角线得到一个正五角星，这些对角线的交点都
是所在线段的黄金分割点.
A
二
B
C
图①
Bd、主
、益|
• 分析与解
对于图②，以线段BE 为例，要证明点M是黄金分割点，只需证
明A伍Q= BM.
BE 即可，由Ð.BAM<∞Ð. BEA 及AB = AE = 儿1E 即可获证.
例3
黄金矩形
宽与长之比为斗1:
1 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人气
「
|D
赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感.如图，如果在一个黄金矩l
I
形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你
B
E
C
的结论.
100
•
_ 15一
1 "",, _ 1
15- 1_3 -15
分析与解
设BC=
1 ，则必一一了，α 一卜一了一
2
3 一、
5
. • CE
CE
2 工_15- 1
• EF
AB
飞
5 - 1
2
2
λ 留下的矩形CEFD 仍是黄金矩形-
第四
| 黄金分割U
穿高跟鞋真的使人觉得美些吗?
例4
·
分析与解
在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即若
此比值愈接近0 .618 ，则越给人一种美的感觉，令人失望的是，我们的身体只有极少
数人是符合这种理想的比例的，一般人的比例约在0 .5 8 到0 .60 左右.
为了便于说明穿高跟鞋所产生美的效应，假设某女士的身高为
1.60 米，原本躯
干( 由脚底到肚脐的长度)与身高比为0.60 ，即于= 0.6 ，设其穿的高跟鞋高度为d ，则
x+d一( 0 .61 + d)
新的比值为一一一一一一一一
I+d
I+d
下表显示了高跟鞋是如何"改善"腿长与身高的比值.
原本躯干与身高比值
穿了高跟鞋后的新
( 王)
身高( cm )
高跟鞋高度( cm )
比值( ( O.~/ ， +Jd) )
1 + d
0.60
160
2.54
0.606
0.60
160
5.08
0.612
0.60
160
7.62
0.618
方
法
由此可见，女士们相信穿高眼鞋使她们变得更美是有科学依据的.
、
思
维
、
应
用
之
美
101
冀东坡@ 带…挝美( 九年报
德国天文学家开普勒曾说"黄金分割是造物主
赐予自然界传宗接代的美妙之意"
黄金比在千百年来为众多数学家和艺术家所倾
倒，它反映在古希腊雅典的帕特农神庙上，暗藏于自
然界某些植物的叶片和向日葵盘籽粒的排列方式中，
关联着斐波那契数列.
当气温为人体温度的0.618 倍时，人体感到最舒
适;弦乐器在琴弦的0.618 处泛音，奏出的声音最动
昕;舞台的宽长比为0.618 处时\显得最和谐……
黄金分割数有广泛的应用价值和美学价值，在自
然界、绘画、雕塑、建筑等领域都可以发现黄金分割的
实例.
在实际生活、工程技术、科学实验等方面，人们总
是希望用最简单的方式、最少的时间和最低的成本来
获得最好的效果.华罗庚教授曾极力推广的0.618 法，
即优选法，就是解决相关问题的常用方法.
有人认为，我们眼中的美或者至少赏心悦目的比
例是由数学决定的，它决定了何种结构能够不断增长
1
.
φ
而总体形状不会失控.
正如雅格布·伯努利所说"虽然改变了，我还是和原来一样"
1 102
达
· 芬奇系统研究了人类身体的各种比例，
1509
年，他为数学家帕西欧里《神奇的比例》一书作插图，把
人体与几何中最简单的图形一一固和正方形联系在一
起，堪称艺术与科学的结晶，展示了达·芬奇对人体完
美比例的深厚兴趣，他是第一位借助数学来理解人体结
构的艺术家.
第15 讲
l 黄金分割U
命
4C
BC
2. 如图①，点C 将线段AB 分成两部分，如果一一= 一- 那么称点C 为线段AB
AB
AC'
的黄金分割点某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想想、到
线"飞，\，类似地给出了
这两部分的面积分别为川，如果号←=击，那么直线1 A
A
E
C
乏美掠哥
1.如图，在水平地面上竖一根木杆AB ，从AB 的中点
B
D 伸出另一根长度相同的木杆CD ，再从CD 的中点F 伸D
出一根长度相同的木杆EF 木杆EF 的另一端点在水平地
面上，求证:点C 是线段AE 的黄金分割点
A
B
为该图形的黄金分割线.
( 1 )如图②，在LABC 中，ζA = 360,AB = AC ，ζC 的平分线交AB 于点D ，请
问点D 是否是AB 边上的黄金分割点?并证明你的结论;
(2)若LABC 在( 1 )的条件下，如图③，请问直线CD 是否是LABC 的黄金分割
线?并证明你的结论;
(3 )如图④，在直角梯形ABCD 中，ζADC= ζBCD = 90气对角线AC ，BD 交于
点F ，延长AB ，DC 交于点E ，连接EF 交梯形上、下底于G ，H 两点.请问直线GH 是
否是直角梯形ABCD 的黄金分割线?若是，请证明你的结论;若不是，请说明理由.
C
图①
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
题
考
中
市
港
，
玄
连
((
图
c
103
E
A
图③
A
k
B
C\\
-
A
l
l
-
L
D
何
也
/
一
图
4·AA
黄东坡
带你发现数字之类( 九年级)
也
1.设AD=
1 ，则CD= 2 ，因此ζADC = 60 0 ,AC =
J3，过点F作AC 的垂线凹，垂足为G，则CG = ~AC
2"-
D
13 '''_ ~~
",,( (
, ) 3 \ 2 I I 1 \2
=立二，设CE=x ，则Ix+丘之) +1 *- ) = 22 ，解得x=
飞
2
J
飞
2 J
Ji5_J3 (:J:1,U- m_Ji5+J3
一
2 一一，因此AE 一一
2 一一，可以验证AC=AE.CE ，
因此点C 是线段AE 的黄金分割点
104
BC
BD
2. ( 1 )由6.BCDω 6. BAC ，得=
AB
BC'
. AD
BD
又.: BC = CD = AD,:. ":';, =
• AB
AD'
即点D 是AB 边上的黄金分割点.
C
二
AD
S，二"
BD
(2 ) .: ~l1ADC' =
~~ , ~ð旦旦=
. S6ABC
AB' S6ADC
AD'
AD
BD
而点D 是AB 的黄金分割点得一一二一一
AB
AD'
• S6ADC _S
」豆豆= JJ b.盟，λ 直线CD 是6.ABC 的黄金分割线.
• S6ABC
S6ADC
(3)GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线.
.:BC//AD ，λ 6.EBGω 6. EAH，6. EGO∞6.EHD ，
BG
EG
"'"
..AH
EH
"ν
GC
EG
品
..HD
EH
审
BG
GC onBG
AH
由①和②，得=即=
AH
HD ' ~I. GC
HD
BG
GC
同理，由6. BGF1ω 6.DHF ，6. CGF1ω 6.AHF ，得一一_-一
HD
AH'
BG
HD
r.-..
ep '";,':-, =一一
④
GC
AH
四
AH
HD
由③和④得一__一一
HD
AH.
二AH = HD , :.BG = GC.
. . 梯形ABGH 与梯形GCDH 的上底和下底分别相等，高也相等.
.. S叫GH = S…H 二÷s…ω
二直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线.
E
GB J 光与影
•
:11J 数学文化巡礼
麦克斯韦( 1831- 1879) ，英国物理学家，他提出的电磁场方程，既解释了所
有已知的电磁现象，又解释了光，是人类思想最伟大的一次飞跃.
"哪位神明写出了这些符号，灵魂的渴望平静下来，让大自然的秘密向我敞
开勺、们这样赞叹麦克斯韦方程纽.
诗仙李白在《月下独酌》中写道"举杯邀明月，对影成三人"
"顾影自怜"，"如影随形"，我们的生活离不开"影子"
因为有了影子，人类才揭示了日食的秘密，光学之中发现了成像原理，测量
学中有了测高望远之术，计时装直中有了日基
人类第一次运用相似原理进行测量，是2000 多年前古希腊著名数学家泰勒
斯测量金字塔的高度，测量的基本原理是:同一时刻的物高与影长成比例.
设参照物体的高度及影子的长度比为号，实际中平行投影有下列情形:
上
面
吨
。
-
j
Jrv=
非
浴
3
-
7
全
A
一
且
忏
队
归
图
(
\
，
安
卜\
(2)影子部分落在地面上，部分落在墙壁上
AB
DC
如图②
-
-
'BE
CE
b .
(3 )影子部分落在地面上，部分落在坡面上
AB
DH
如图③一一= 一一=一
'BE
HE
b .
LJ::
UT二:
105
黄东坡@ …数以( 九银)
(4)影子部分落在地面上，部分落在台阶上.
A r--.
__
I
D主LH
ß L__jr -- 且_ _ _ _....~ 17
C G
L
图④
由此可知:当影子没有完全落在水平地面上时，物体影子的长度并不是各部
分影子的长度之和，需构造相似三角形，求被测物体的高度.
。
-b
一
-
m
一
臼
一
B
-E
A
石
D
④
图
，
安
"500 余页论文张贴于此，我已经证明
了。bc 猜想.，
一一望月新一
望月新一，日本当代天才的数论新秀，
2012 年9 月，{ 自然》、《科学》等重量级国际
学术刊物纷纷报道了有关。bc 猜想的消息.
"abc 猜想"的重要性仅次于黎曼猜想.
数学智慧讲堂
例
1
小明想测量-棵树的高度，他发现树的影子
恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上
的影长为8 米，坡面上的影长为4 米.已知斜坡的
坡角为30 0 ，同一时刻，一根长为
l 米、垂直于地面
放置的标杆在地面上的影长为2 米，请你帮小明
求出树的高度.
•
分析与解
解法一
如图①，延长AD ，BC 交于点0 ，作DE j_ BC 于点E ，
A
.. .
' .. ..
..
-
. ..
. ..
-i
hJ
E
配
106
第16 讲
| 光与影U
则DE = 2,CE = 213,
•• DE
AB
1
• 2
1
. EO
BO
2' " EO
2
得EO = 4 , AB = 6 +13,
即树AB 的高度为( 6 + 13)米
解法二
因为物体、影子不能构成直角三角形，故可用"平移地面" 的方法计算物
体的高度，如图②，过点D 作DE l. BC 于点E ，DF l. AB 于点F ，视DF 为地面，则AF
的影长是DF.
AB
8+2万+EO'
右;
1î
ìi;
图②
则DF = BE = BC 十CE = 8 + 213 ，DE 二2 .
.. AF
1
• DF
2'
: .AF = tDF = 4 +13,
儿B = AF + BF = 6 +13
即树AB 的高度为( 6 +13)米-
《现实世界的数学视角与思维》选择了寻优与优化、数
据与规律、变化与发展、计划与规划、随机与概率、风险与
决策、竞争与博弈、模拟与仿真、模式与分类等人类在社会
活动和科技生产活动中经常需要考虑的主要问题，从数学
的视角进行分析思考，给出解决这些问题的定量化方法和
途径.
现实世界的戴学槐角与思维
J也
纬:
、
应
用
之
美
107
黄东坡
带你发现做学之美( 九年级)
例2
如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的在阳光的照
射下，塔影DE 在坡面上.已知铁塔底宽CD = 12m ，塔影长DE= 18m ，小明和小华
的身高都是1.6m. 同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在点B 处，影
子在平地上.两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为多少?
A
(宁波市中考题)
分析
画出简单的示意图
:
l飞
L6~
E
'
、
塔影落在坡面部分的塔高一小明的身高
塔影DE 长
小明的影长'
塔影落在平面部分的塔高一小华的身高
塔影BD 长
一小华的影长
• DF
1.6 BH
1.6
解
· 一一二一一一一二一一，BD =--;'-CD = 6m ,DE = 18m ,
. DE
2' BD
1
λ DF = 14.4m ,BH = 9.6m ,
:.AB = 14.4 + 9.6 = 24( m )
光线从一个点发出时，物体产生的影子，称为中心投影. 在点光源的照射下，
不同物体的高度与影长不成比例，但可通过构造基本图形解决问题.
108
••
第16 讲
光与影J :
告IJ 3 如图，花丛中有一路灯灯杆AB ，在灯光下，小勇在D 点处的影长DE= 3 米，
沿BD 方向行走到达G 点
，DG= 5 米，这时小明的影长GH= 5 米.如果小明的身
高为1.7米，求路灯灯杆AB 的高度. (精确到0.1 米)
分析
本例是中心投影问题，即从一点发出的光线下的投影，可以从相似
的基本图形切入.
解
设AB =x 米，BD=y 米，
咀CD
DE
由6. CDE ω 6. ABE ，付
=一一
AB
BE.
1.7
3
r:-..
~p ~二
(1)
x
3+y
'=-'
咀FG
GH
由6. FGH ω 6. ABH ，何
=
AB
BH'
1.7
5
点
~p ~ =一一一一
②
10 + y
审
由①和②得x=6.0 ，y = 7.5.
.. 路灯灯杆AB 的高度大约是6.0 米.
亚历山大
· 蒲柏为牛顿的墓志铭写下:
"自然界和自然规律隐藏在黑暗中，
上帝说，让牛顿降生吧!
于是一切都是光明"
理性思维与光的紧密相连，贯穿在西方文化中柏拉图的"洞穴寓言"把人类比喻
为黑暗中的囚徒，他们关于世界的认识局限于投射在墙上的影子，教育的目的是"从
黑暗走向光明"，毕达哥拉斯说"光是真理与知识的媒介"
骑在光线上去旅行，能看到怎样的景象?
"我首先是从直觉中发现光学的运动，而音乐又是产生这种直觉的推动力量
"
爱因斯坦的奇思妙想开启了物理学的新时代.
L
刀
法
、
思
维
山
川
川
之
先
109
黄东坡@ 带…时(九年级
命激李乏美探事
1.在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子如图
所示，其中竹竿AB= 2m ，它的影子BC= 1.6m ，竹竿
A
PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM= 1.2m , MN=
0.8m ，则竹竿PQ 的长度为
m.
2. 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB ，
在点D 和点F 处分别竖立高是2m 的标杆CD 和
EF ，两标杆相隔52m ，并且建筑物AB 、标杆CD 和
EF 在同一竖直平面内，从标杆CD 后退2m 到点
G 处，在G 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C 在
C
M
(牡丹江市中考题)
A
同一条直线上;从标杆EF 后退4m 到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆
顶端E 在同一条直线上，则建筑物的高是
m.
3 .
兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下，一名
同学测得一根长为
l 米的竹竿的影长为0.4米.同时另一
名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有
一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2
米，一级台阶高为0.3 米如图，若此时落在地面上的影长
为4 .4米，求树的高度.
4. 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一
路灯D 的高度.如图，当李明走到点A 时，张龙测得李明直立
时身高AM与其影子长AE 正好相等;走到点B 时，李明直立
时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB = 1.25m 已知
李明直立时的身高为1. 75m ，求路灯的高CD 的长. (结果精
确到0.1m)
110
(淮坊市中考题)
(绍兴市中考题)
第16叫光与影J
参警篝案
也
方
法
C
」
H
E
A
FI
一
写
B
1. 2.3.
2. 54.
3 . 画出简单的示意图如图，树AB 的影长有三部分BE ，ED ，CD.
将树的这三部分影长转化为两部分BF ，CF.
CF = DF + CD = BE + CD = 4.4 + 0.2 = 4.6( 米) .
AF
1
由一一=一一得AF = 1 1. 5( 米) ,
CF
0.4
: .AB = AF+ BF 二
1 1. 8( 米) ,
即树的高度为
1 1. 8 米.
4. 设CD 长为Xffi.
γ AM l_ EC ，CD l_ EC ，BN l_ EC ，EA = MA ,
: .MA // CD , BN//CD ,
:.EC = CD =x ,
:.6.ABN ∞6.ACD ，
• BN
AB
.. CD
AC'
1.75
1.25
en '._' J =一一一一
x 一1.7 5'
解得x= 6. 125=6.1.
二路灯的高CD 约为6.1m.
思
维
、
应
用
之
美
l
l
l
q，) 旋转变换
•
131』数学文化巡礼
为什么球状的眼睛观察物体得到的图像并不是球形的? 为什么说有差异的
动物的头骨只不过是同一结构在不同坐标系下的表现或写真?
在人类与自然的斗争中，平面几何知识对人类的生存与繁荣起着极其重要
的作用，平面几何知识不仅是人类支配自然的力量，而且优化了人类自身的发展
一一人类理性思维的进步.
平面几何包含了两个重要的有普遍意义的思想，其重要性远远超出了几何
学的界限，其中之一是演绎法和几何学的公理基础，另一个是几何的变换和几何
学的群论基础.
E 克莱因( 1849- 1925) ，德国数学家.他的主要贡献在几
何方面，他的著名演讲《近代几何学研究的比较评述》所提出
的几何群论观点，利用变换群作工具，以极其简洁的方式给
出各种几何学的统一定义，明确各种几何学的研究对象，它
引导了其后50 年左右的几何学发展
嘀嗒的钟表、转动的风车、单摆上的小球等，生活中充满着图形的旋转.
旋转变换是探索图形性质的必要手段，又是进行艺术创造的重要思想源泉，
也是解决数学问题及现实世界中具体问题的有力工具.
112
旋转变换J
第17ì井
;自叫靶QA
JQ
逼人蠕徨li立; 才干
销商f梅等各
生物几何变换
达尔文自从学会坐标变换后，他对动植物认识的某些观点发生了深刻的变化.
许多动物的头骨，看上去无相似之处.细心观察又发现它们在布局、结构上有惊人的
相似之处，原来这些动物的头骨是在不同坐标系下的表现而已
飞) 数学智慧讲堂
如图，设P是等边LABC 内一点，且PA = n, PB=m ，PC = t ，求LABC 的面积
A
12IJ 1
B
C
(美国《数学月刊》试题)
)j
u;
山
川
川
之
先
也
纠1;
113
分析与解
解决本例的关键是怎样把分散的条件m ，n , t 集中在同一个三
角形中，不妨试试几何变换-
解法一
如图①，将L CAP 绕点C 按逆时针方向旋转60 0 ，则点A 与点B 重合，
点P 旋转到点D ，连接PD .
显然DB = PA =n,DC = PC =t ，ζPCD = 600 ,
故LPCD 是等边三角形.
由海伦公式得
f- n + t
S6PBD=飞/s(s -
m) (s -
n)(s -
t) (其中s=些一
2 一一) ,
S ^ prn= J? f
6PCD-4一
，
故SIIPBD+ S6 PCD=
S6C才P+ S 6 BCP
=争+Js(s 一川一川- t )
黄东坡
斗w你发现敛学之类( 九年佩)
一
..) 3
_2 I
!
同理可得Sb. CAP十Sb.ABP 一立二n2+Js (s -
m ) (s -
n ) (s -
t ) ,
4
V
Sb.A川ABJ乎m2+ Js Cs 一训-圳一tρ) ,
故易知Sb.儿
μ
Aω叫
A础B配C=÷(ωSb.C
μ
b.C山
C臼旷
A
斗(川山÷卡卡忖抖
Js
州川
s C内
(ωS 一圳一ω 一t川
)川(其灿中
o/ s =一「)
m + n + t
解法二
运用对称变换
一" 杰A
如图②，分别向正/::，ABC 外作/::，ABP 关于AB 对称D 'C.:::............/n~..、
的/::' ABD ，
/::，BCP 关于BC 的对称/::，BCE ，
/::, CAP 关于
....
/
'_" \..\
CA 对称的/::，CAF ，
则BD = BE = m, AD = AF = n, CE = CF = t ,
LDBE= 正DAF= 正ECF = 120 0 ,
从而DE =-I3m ,DF = -13叽EF= -I3t ，
图②
E
f- n + t
由海伦公式知Sb.DEF二3Js(s -
m)(s -
n)(s -
t) ( 其中s 二些一
2 一一) ,
SAMF42 ，SA山「归
显然Sι六边削彤A皿D缸配Cα'F= 2Sb.ωA础B灿
C, ,
故
Sb.ABC -村山十
Sb.DBE + Sb.DAF + Sb.ECF) =孚(m2 十旷的十
f- n + t
~ J S(S -
m)(s 一州- t) (s =旦子一)
下列情形，常实施旋转变换:
(1)圆形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为ω。或900 ;
(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转1800 ，构造中心对称全等三角形;
( 3) 固形中出现有公共端点的线段，将舍有相等线段的固形绕公共端点旋转
两相等线段的夹角后与另一相等线段重合.
例2
如图，两个全等的正六边形ABCDEF ，PQRSTV ，其中点
P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的面积均为
1 ，则
重叠部分的面积是
( "希望杯"邀请赛试题)
B
·
分析与解
前思后想，以退求进，从特殊到一般，类比推广.
114
R
S
第17 讲
| 旋转变换J
如图①，将一个大正方形的顶点绕小正方形ABCD 的中心。旋转，问两个正方
形重叠部分的面积是否会发生变化?
F
G
A
B
G
A
B
E
F
由图可知，两个正方形重叠部分的面积不变，等于小正方形面积的士
如图②，对于两个正六边形，重叠部分的面积叶
仨τf y
,x H
p (, )3
G丁2/n
图①
S
R
Q
B
.. ζ 1+ 正3=ζ3+ ζ2 = 1200 ,
二L 1= ζ2.
又ζPFH= ζPDG ，PF= PD ,
:. L.PFH 旦L. PGD ，
1重叠= s叩PDEF-↓S正六边形ABCDEF-土
3 ....... _IL"llL7lI J1DLvr..r
3'
图②
一般地，一大一小的两个正n 边形，大正n 边形的一个顶点町绕小正n 边形的
中心旋转时，和为偶数，则重叠部分的面积为定值且等于小正n边形面积的号:
若n 是奇数时，则重叠部分的面积不是定值，但呈周期性变化.
斗中DE
AD
AE
如图，右
=
=
则易证①L.ADEω L.ABCj ②L.ADB∞L.AEC.
BC
AB
AC'
表明:当L.ADE绕它的顶点A 旋转一定的度数并使各边长按一定的比例放大或
缩小后得到的L.ABC 与原L.ADE 相似，从而又生成L.ADB∞
L.AEC.
旋转相似变换:
)J
ìË
、
思
维
·
应
用
之
美
C
115
A
B
黄东坡@叫脚却( 九年报)
告IJ 3 在6ABO 中，C 、D 分别是OA ，OB 边上的点，将6 0CD 绕点。按顺时针方向
旋转到60C'D'.
( 1 ) 如图①，若正AOB = 90 0 , OA 二OB ，C ，D 分别为OA ，OB 的中点，证明:
(i)AC' = BD' ,(ii)AC' l_ BD';
(2)如图②，若6AOB 为任意三角形且ζAOB=θ ，CD//AB ，AC' 与BD' 交于点
E ，猜想ζAEB =θ是否成立?请说明理由
(黄石市中考题)
B
n
C'
D' P-少奇予D
A
C
0
A
C
0
图①
图②
分析与解
全等与相似是证明角相等问题的两种重要方法，在旋转的背景
下，发现全等三角形、相似三角形是解决问题的关键
(1 )证明6AOC' 旦6BOD'
，可推得
B
24
17
____ 与t
AC'= BD' ，且AC' l_ BD.
~专ι+兰ζ-:::- / \
116
(2)LAEB =θ成立，理由如下:
/
------字~
/7 D'
/仁-.-----
3
.....~ / /
γ CD //AB ，
~J寸
I
tI f-""""'_ ν
OC
OD
A
C
0
.. OA
OB'
.OC'
OD'
=一一一，而正A OC' 二LBOD ' ,
. OA
OB
:. 6AOC' ω 6BOD ' ，得ζ 1 = ζ2.
又正3 二ζ4 ，
. . ζAEB 二θ
•
第才7ì芬
旋转变换!J.
例4
如图①，在Rt6ABC 中，ζB = 900 ,BC = 2AB = 8 ，点D ，E 分别是边BC ，AC
的中点，连接DE ，将6EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
( 1 )问题发现
AE
( i )当α= 0。时=
'BD
一一一一.
AE
( ii )当α=
180。时一一=
'BD
(2)拓展探究
h L
D
图①
AE
试判断:当0。三三α 三三180。时
的大小有无变化? 请仅就图②的情形给出证明.
'BD
E
(3 )问题解决
A
r-:::::一一一气
I ~ D/\
当6. EDC旋转到A 、D 、E三点共线时，直接写出线段BD 的长
|
;>飞\
B '"'矿飞
C
分析与解
对于( 1 ) 、( 2) ，实质是在"变" 中问题不变的本质，将问题转化为
相似三角形的判定; 对于(3 )，正确画图是关键，把握旋转与圆的关系，可提高解题的
完整性.
J5 (:: \ J5
( 1 )( i )一一j ( ii )一一-
2 >\"1 2
(2)无变化.
.: 6EDC 在旋转过程中形状、大小不变，
CE
CD
一一=一一，正ACE= ζBCD
. CA
CB
:. 6ACE∞6BCD ，
. AE _AC _ 4J5_ J5
.. BD
BC
8
2
(3)如图，点D ，E 分别在以C 为圆心，CD ，CE 为半径
的圆上.
γ ζ CDE = 900 ，A ，D ，E 三点共线，
:.AD 与O C 相切，过圆外一点A 作已知圆的两条切
线AD! ，AD2 '
AE,
句
气
:AE!= 10 一~ ==___:Y_二
. ~， BD!
2
叶叭同理可得如学
图②
( 河南省中考题)
A
方
法
、
思
维
B
山
川
剧
之
美
117
黄东坡@ 带…牧美( 九年但)
倒4 突破传统直接证明的考查形式，着意于观察、猜想、验证能力，
殊→一般→特殊"的认知特点，栓验的是学习过程、学习方式和思维过程.
视网膜上的影像经过
我们看到的是一个真实的世界.尽管鱼的外形千变万化，但是通过坐标变换，它们之
间可相互转化.
旅美学者马立平博士在其名著《小学数学的掌握与教学》中指出"数学知识的
深刻理解是指理解基础数学领域的深度、宽度和完整度"
图形旋转的深度理解在于以下方面:
图形旋转是一种知识;
图形旋转是一种方法;
图形旋转是一种思想;
图形旋转是一种经验.
几何变换作为几何论证的主要工具是变换观点下的欧氏几何的本质，能使千变
万化的几何论证具有一定的统→性和规律性.
命醺李乏巍哥
数学思想方法，按照适用的范围，可以分为:与哲学相
适应的重大数学思想方法、各门学科共同使用的思想方
法、数学特有的思想方法以及具体的数学解题方法.
1.
(
1 )如图，在四边形ABCD 中，AD=4 ，CD=3 ，ζABC= ζACB =LADC
二45 0 ，则BD=
D
C
B
(武汉市中考题)
118
第17 讲
| 旋转变换U
(2)如图，在等腰Rt~ABC 的斜边AB 上取两点M，N ，使ζMCN = 45 0 ，记AM
=m ,MN =x,BN =n ，则以线段x，m，n为边长的三角形的形状是(
C
/ m/
王一斗旦二~ ~
i
M
N
U
A.锐角三角形
B. 直角三角形
c. 钝角三角形
D. 随X，m ，n的变化而变化
(安徽省竞赛题)
2 .
在正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF l. BD 交BC 于点
F ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG.
A
D
BIA
F
C
图①
( 1 )求证:EG = CGj
(2)将图①中~BEF绕B 点逆时针方向旋转45 0 ，如图②所示，取DF 的中点G ，
连接EG ，CG. 问( 1 )中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明; 若不成立，请说
明理由;
(3)将图①中~BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问
( 1 )中的结论是否仍然成立? 通过观察你还能得到什么结论?
图③
E尹~
图②
3. 如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB = BC = CD = DE = EA ，正ABC=
2ζDBE ，求证: ζABC = 600 .
方
ìt
、
思
维
、
应
用
之
…
美
B之二
119
黄东坡@ …敬孚之美( 九年银
4.
在Rt .6. ABC 中，ζ CAB 二90 0 ,AC = AB = 4 ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，
若等腰直角.6.ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，得到等腰直角.6.AD ，E ，，设旋转角为α
(0 0 <α 运180 0 ) ，记直线BD ，与CE ，的交点为P.
( 1 )如图①，当α= 90。时，线段BD ，二一一，线段CE，=
;(直接填写结果)
(2)如图②，当α=
135 0时，求证:BD ，二CE" 且BD ，.l CE，;
( 3 )( i )设PC 的中点为M，则线段PM=
(ii)点P 到AB 所在直线的距离的最大值为
.(直接填写结果)
(梅州市中考题)
C
E1
A
D
B E1
图①
图②
黯
参
'
功
1. (1 )J41.以点A 为旋转中心，将AABD 按顺时针方向旋转90。可得.6. ACF ，
连接DF ，则BD = CF =-Ji5F2丰CD2 = J(4.)2)2+ 3 2二J4l
(2 )B.
通过旋转变换可证明MN 2 二AM2+ BN 2.
2(l)CG=÷FD ，EG=÷FD ，故CG=EG
( 2 )( 1 )中的结论仍然成立，如图①，连接AG ，过G 点作胁T .l
A
.
MD
AD 于点M，与EF 的延长线交于点N ，
I "_;;抬|
则.6.DAG 旦.6.DCG ，得AG= CG ,
E而~ 'N\
I
又.6.DMG旦.6. FNG ，得MG=NG ，
V
~
在矩形AENM 中，AM= EN ，进一步可证明.6.AMG旦AENG ，
B
C
图①
故AG = EG = CG.
(口3 )( 1υ)中的结论仍成立如图②，延长EG 至至d点M ，使得
A_
一_p旦
!ι.::巧
2
GM=EG ，连接α ，MC ，延长EF 交DC 于点P ，
I
升P
由.6. FGE旦.6.DGM 得DM= FE ,DM//FE ,
E ó.7F
\ I ,;
二L.MDC= 正DPF.
ν........\J!
γζEBC+ ζEPC = 180 0 ，ζEPC+ ζDPF = 180 0 ,
B
C
图②
120
第17 讲[ 旋转变换d
..ζEBC = L'..DPF =L'..MDC ，而BC= CD ,
二6. EBC旦6. MDC ，L'..ECB = 正DCM.
.: L'..BCD 二90 0 ，:.ζECM= 900 .
又EC=MC 且GM=EG ，
:.EG = CG ，且EG .l CG.
3 . 将6.ABE 以点B 为旋转中心按顺时针方向旋转使得AB 与BC 重合，落在A
CBE' 位置，则6.ABE旦6. CBE' ,AE = CE' ,BE = 町，ζ CBE' = L'..ABE.
..ζEBE'= ζABC= 2 ζDBE ，
A
_ E
.. ζEBD= 丘E'BD ，连接DE'.
/ ~
\
γ BD=BD ，正EBD= ζE' BD ，BE 二BE'
，
_ ~y
\
B 飞严\
户
-:;:::::=1D
:. 6.EBD且6.E' BD ，得ED = E' D = CD = CE' ,
~
.飞\二句----
二6. CDE' 为正三角形，ζDCE' = 60 0 .
Jl... BC = CD = CE' ，则dBD=÷ζDCE' = 30 0 •
E'
二ζABC= ζEBE' = 2 ζE' BD = 60 0 •
4. ( 1 )2)5 ; 2)5
( 2)由6.DIAB旦6.E 1AC ，可证得BD 1 = CE1 ，且BD1 .l CE1
.
(3)①2/2;②因为Rt 6.ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，所以D I ，EI在以A 为圆
心，AD 为半径的圆上.当BDI所在直线与OA 相切时( 如图) ，直线BD I与CE1的交点
P 到直线AB 的距离最大，根据前面积累的经验，易知四边形AD1PE1是正方形.
过点P 作PG .l AB ，交BA 的延长线于点G在Rt 6.ABD 1 中，易求BD 1 = J4亡22
= 213 ，进而求得LABP = 300 • 由于四边形AD1PE1是正方形，所以PD1 = AD 1 = 2,
所以PB 二2+ 札故点P iUAB 所在直线的距离最大值为PG = ~ PB= 1 + 13
c
方
法
、
思
维
山
川
之
美
121
(II:J
、- - - --、，
、，
G 数学文化巡礼
"八柱何当，东南何亏?九天之际，安放安属? "战国时期楚国诗人屈原以
层层设问的方式写下的《天问~ ，把炽烈的情感与深沉的思考相结合，表达了对传
说的怀疑，对宇宙的探索精神.
明暗不分浑沌一片，谁能探索根本原因?
迷迷蒙蒙这种现象，怎么识别将它认清?
对浩渺天空的天问，亚里斯塔克斯、埃拉托色尼、希帕恰斯等先后测得地日
之间的距离，月地之间的距离，地球的半径，日、月的半径.
6飞二~:
月半圆时日、月、地之间的位直关系( S 表示太阳，M表示月亮，E 表示地球)
亚里斯塔克斯观测得到正SEM= 87 0 ，据此，他通过几何方法得到18 <主E
EM
< 20 ，即日、地距离是月地距离的18~20 倍，在今天看来，这个结果相当于」一〈
20
sin3 0 <古
正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究.1748 年
经过瑞士著名的数学家欧拉的应用
，才逐渐形成现在的sin 、cos ~ tan 的通用形式.
三角函数是用直角三角形的边的比来定义的，在测绘计算中应用广泛.
122
第叫
| 边边角角的故事d
向数学之美探寻
山坡、楼梯是以斜率来描述其挝程度"的如图①，一条线段l的斜率为专
即可用tana表示.
例
l
Ih
I
I
dl
4主
ι___rj
1-一一一吨
图①
图②
如图②，若想"改善"原有楼梯的
度亦由d丛l增至d2 •
试通过举例来说明变化关系.
·
分析与解
当() I = 400 ,()2 = 36 0 ，由dltan400 = d2 tan36 0 = h ，得d2 = 1. 15dl
将倾角减少4 0 ( 10%) ，楼梯占用的地方拉长了
15% .
由此可见，对于寸土寸金的城市，提高公用楼梯的安全标准是需要付出"代价" 的
D
B
悟IJ 2
如图，已知四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为
矶，码，求四边形ABCD 面积的最大值.
方
?去
、
应
用
之
美
『日
，也、
维
用品
，d2表示四边形ABCD 的面积，并借助三角函数的有界性求
123
D
B
'
分析与解
其最大值.
作AE l. BD 于点E ，CF l. BD 于点F ，设AC 与BD 的夹角为α ，
:S四边们BCD = S ð ABD +
S ð BCD
=÷AE-BD+÷σ 'BD
=-tsina • BD(AO + OC )
=卡C. BD' sina
=-tdld2sina ,
黄东坡@…数白美(九年级)
': sina ζ 1
，
..当sina=
1 ，即α= 90。时，S四边形ABCD最大，即当AC l. BD 时，四边形ABCD 的面
积最大，最大值为卡Id2
三角法
通过解三角形，把几何问题转化为三角面数问题，运用三角函数迅速建立边
与角的关系，用解三角形代替几何证明，这种证明问题的方法称为三角法.
小平邦彦( 1915- 1997)，日本数学家，1954 年获菲尔兹
奖，1984 年获沃尔夫奖. 广中平佑曾用"流水般随意游玩，心
底里凝神钻研，独立洞察真理之女V' 来刻画小平邦彦的风格.
伊o
(1)如图①，在x轴的上方，直角ζBOA 绕原点。按顺时针方向旋转.若ζBOA
1
2
的两边分别与函数y二
、y=
的图象交于B ，A 两点，则正OAB 大小的变化趋势
x -
x
为(
)
A. 逐渐变小
B. 逐渐变大
c . 时大时小
D.保持不变
(2)如图②，在Rt D.ABC 中，CD l. AB 于点D ，DE l. AC 于点E ，DF l. BC 于点F ，
AE
AC3
求证.--=
: BF- BC3 •
y
ρ\
。
图①
(滨州市中考题)
124
第1 8 讲l 边边角角的故事U
分析与解
(1 )当直角判断困难时，可将角的问题转化为线段比探讨，如图，
过A 点作AC j_ x 轴于点C ，过B 点作BD j_ x 轴于点D ，
町/~ ，~
OB
则tan L OAB = OA
γ BO l_ OD ，AC上OC ，BO l_ OA ，
:. L BOD =LOAC,
:. 6 0BD ω 6AOC.
x
y
•
S6BOD _
I 卡
1 _ J2
S叫飞卡
2
λ L OAB 为定值，故选D .
( 2 )运用相似三角形或借助三角函数证明.
证明
1 :γ ζACB = 90 o ，CD j_ AB 于点D ，
:.AC= AD . AB ,BC= BD . AB,
AC2
AD /'" AC<
AV
.. BC2
BD' 得BC<
BV '
γ CD j_ AB ，DE j_ AC ，DF j_ BC,
λAV= AE . AC ,BV= BF . BC.
-<., AC4 _ AE
AC "'" AE
AC3
于是得一一=一一
. _一
即一一=一一
BC4 -
BF
BC ' ~I' BF - BC3
证明2: 设LB 二α ，则正CDF= ζDCE= ζADE=α.
..AE
DE
DF
CE
一一…一一…一一一_''-'''"r
DE
山'~'CE
‘~.~
，BF
BF
.~ .. ~
. AE
DE
CE _, , _
1 AC \3
"'" AE _AC3
一一
· 一一
· 一~= tan3a=( 一一)' ，即一一=一一
.. DE
CE
BF - u"'....-, BC 1 , ~I' BF - BC3 •
/↑飞
例4
我们知道，在直角三角形的除直角外的五个元素中，已知两个
元素(至少有一条边)就可以求出另外三个元素.那么对于锐角三角
形，又有怎样的结论呢?
在锐角6ABC 中，假设已知ζA ，ζB ，ζ C 的对边分别是α ，b ,
AD
C . 如图所示，过点C 作CD j_ AB 于点D ，则cosA = ,.; ，即AD = bcosA.
分析与解
•
←
n
y
←
ι
;
1
rn
维
、
应
用
之
美
125
λ BD = c - AD = c -
bcosA
而CV = AC - AV = Bσ - BD2 ,
:. b2 -
b2cos2A = d一(c -
bcosA )2,
整理得: 矿= b2+ C2 -
2bccosA
(
,
同理可得: b2 = a2 + C2 -
2accosB (,
c2= d + b2 -
2abcosC
( .
黄东坡@ 带…挝美( 九年级)
这个结论就是著名的余撞定理.在以上三个等式中有六个元素a ，b ，c ，LA ,
LB ，LC ，显然，从方程的角度可知:若巳知其中的任意三个元素可以确定一个
三角形，故"知三"可以"求三"如:在锐角6ABC 中，已知LA= 仰，b=3 ，c=
6 ，则由①式可得:æ= 3t+ 6"一2X3X 刷刷0= 27.a= 3飞fj ，LB ，LC 则可
由式子②、③分别求出.
三角函数本是数学定义出来的计算工具，但可以非常好地描述波动等众多的自
然现象
法国数学家傅里叶证明: 无论多么复杂的波(周期函数)都可以用相应的正弦函
数和余弦函数的倍数之和来唯一表示，这即是著名的"傅里叶变换"
我们的世界不仅充满着电波，还充满着声波等各种各样的波，有披存在的地方，
傅里叶变换几乎都适用.
可以说现代技术甚至现代科学都是三角函数支撑着的.
傅里叶及傅里叶变换
命数学之美探寻
1.设LA 为锐角，求证:0 < sinA + cosA!:三J2
2.
如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 的延长线上，连接
EF 与边CD 相交于点G ，连接BE 与对角线AC 相交于点H ，AE = CF,BE = EG.
126
(1)求证:EF//AC;
E
A
(2)求正BEF 的大小;
AH
1
(3 )求证.-一=一一一一一
. GF
1 + tan15 0 •
B
CF
(珠海市中考题)
第18 讲
| 边边角角的故事J
3. 如图，在Rt .ð.ABC 中，D 是斜边AB 的中点，点M，N 分别在边AC ，BC 上，且
正MDN = 900 ,MG j_ AB 于点G ，NH j_ AB 于点H. 求证:DG = BH.
j~
4. 阅读材料:
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即一ι= _b_=_c_
inA
sinB
sinC'
利用上述结论可以求解如下题目:
在.ð.ABC 中，正A ，ζB ，ζC 的对应边分别为α ，b , c. 若丘A = 45 0 ，正B = 300 ,
α= 6 ，求b .
解:在.ð.ABC 中，
••
Q
b
sinA
sinB'
6X 土
basinB6 × m30。
i
JE
=一一一=一一一一一一=一一---;==-一=3 吨
2.
sinA
sin45。、
2
J
V ~
2
理解应用:
如图，甲船以每小时30，}2海里的速度向正北方向航行，
当甲船位于几处时，乙船位于甲船的北偏西105。方向的B1处，
且乙船从Bl处沿北偏东15。方向匀速直线航行，当甲船航行20
分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120。方向的B2处，
此时两船相距1O，}2海里.
( 1 )判断.ð.A1A~1的形状，并给出证明.
(2)求乙船每小时航行多少海里.
方
法
( 济宁市中考题)
I~
41.:'.\
维
、
应
用
之
美
127
黄东坡@ 带…挝美( 九年级
@ 参害爸案
1.由图可证明。+ b ~ J2_c ，当α =b 时等号成立，
E口号+卡J2_，故o < sinA + cosA 运d
2. (1)略.
( 2)连接BG ，由l::. BAE旦l::. BCG 得LBEF 二60 0 •
(3) γ LABE= ζ CBG 二(90 0 - 600 )";'- 2 = 15 0 ,
LBAC= ζBFG = 45 0 ,
:. /'::，. BAlfiω l::. BFG
• AH _ AB _
BC
_
1
一
l
•• F百- FB-BC 平CF
一
，
CG-T丰百15 0
I 十一-
BC
3. 设LMDG= ζDNH 二α ，正B 二ζ~AMG=卢，
则AG = MG. tanß= DG. tana . ta咐，
故AD = AG + DG = DG( tana • tanß+ 1),
同理可证BD = BH( tana • ta昭+ 1).
γ AD = BD ,
二DG( tana . tall卢+ 1)= BH(tana . t缸ψ+ 1),
:.DG = BH.
4. ( 1 )l::.A ，AJß2是等边三角形.
α
(2).:A,B2=A,A2= 1OJ2_，正BJß，A ，= 60 0 , LB ，A品= 45 0 ,
128
B,B2
A,B2
..
l::.A ，BJß，中，有一"1.LJ' 2 =一一一
in45 0
sin60。
4,B2 'v' _'_ACO_20‘
1
:B ，B，二一牛土x
sin45 0 = 一」二
w .
sin60 。
故乙船的速度为组.j3~1旦= 20.j3( 海里/小时)
3
. 60
。
ID1
G 数学文化巡礼
如图，用一块锐角三角形的余料加工正方形零件，使正方形
的四个顶点都在三角形的边上.若三角形的三边长分别为a ，b 、
c ，且α >b>c. 问正方形的四个顶点放在哪条边上可使得加工
α
出来的正方形零件的面积最大?
b
省工省料的蜂房结构、火箭的最佳发射时间、人造卫星的最佳工作状态;节
约下料、物资调度、仓库存储、投资组合、金融策略、优选试验，精益求精是自然进
化、人类发展的一个永恒话题.
最优化一一人类智慧的结晶.田忌赛马、华罗庚的优选法、线性规划……"多、
快、好、省"是生产实践的"最优化"要求，最优化理论构成了20 世纪数学发展的
一个亮点
若图形甲的顶点均在图形乙的边界上，则称图形甲为图形乙的内接图形，它
包含以下基本形式:三角形内接三角形、三角形内接四边形、四边形内接三角形、
圆内接三角形、圆内接四边形等.
求解与图形内接相关最值的问题的常用基本方法有:
( 1 )特殊位直与极端位直法:先考虑特殊位直或极端位直，确定最佳的具体
数据，再进行一般情形下的推证;
(2)几何定理(公理)法:应用几何中的不等量性质、定理;
(3)数形结合法:揭示问题中变动元素的代数关系，构造二次函数等.
129
黄东坡
带你发现数学之类(九年级)
康托罗维奇( 191 2- 1986 )，苏联经济家，193 8 年首次提
出求解线性规划问题的方法，曾获得1975 年的诺贝尔经济
学奖.线性规划是帮助人们进行科学管理的一种数学方法，研
究线性约束条件下线性目标函数极值的数学理论和方法.
数学智慧讲堂
例
1
如果正方形的一边落在三角形的一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另外
两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.
如图①，己知正方形EFGH 内接于L，.ABC 中，AD j_ BC 于点D ，
.A
设BC = a ,AD = h ,EH = x , L，.ABC 的面积为S.
ζ旦J.H
(1 )求证:专+亏= 1;
/川
1\
B
F DG C
( 2)求证:Smd÷s
图①
( 3)如图②，在一块锐角三角形的余料上，加工正方形零件，使
A
正方形的四个顶，点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为α ，b ，
/
c ，且α > b > c ，问:正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来B L
、C
图②
的正方形零件面积最大?
·
分析与解
对于( 3 ) ，只需比较相应内接正方形边长
(1 )':EH//BC,
,,,, EH
AR
'. L，.AEH<ω L，.ABC ，得
=
BC
AD'
EPf=午，化简得专+号=
1
αh
2S
(2) 由( 1 )得x=一一--一一一
α + h a + h'
γα +h注2J;;h= 2J2豆，:. x~_1二=
fi_一
" 2.j2S- .j2S'
'.r~ ~~=_J
〈士一一=-i，S ，即S正方形EFEHZ三→S
飞2S
2
(3) 设在α ，b ，c 上的正方形边长分别为xa ,Xb
，xcC 如图③
是正方形的两个顶点落在α边上的情形)，a ，b ，c 上的高记作什~
2S
.. _
2S
.. _
2S
B
儿，儿，儿，则ha< hb< hc，故Xa一一一-
，
.X 一一一... .X 一一一
α
C
。十仇，Áb - a + 仇，~C
C + h;
图③
130
第19 讲
| 图形内接υ
因为α +ha 一( b +hb) = a -
b +ha -hb = α -b+ 主hb -hb 二α
b+主二旦hb
a
a
=( α- b)( 1 一号) > 0 ,
故α +ha一( b +hb)> 0 ，类推有Xa<Xb< Xc .
即当正方形有两个顶点落在最短的边上时，正方形的面积最大.
图①
B
A
怎样用尺规作图，作出己知三角形的内接正方形?
·
分析与解
在三角形边上，我们不妨退一步想，让正方
形的两个顶点，甚至三个顶点在三角形边上，是容易做到的. 我们
可以画无数多个这样的正方形，如图①.
这些正方形三个顶点在三角形的边上，我们可以画出更多的
这样的正方形，观察容易发现，第四个顶点都在一条直线上.于是
我们找到解决问题的方法，这条直线与三角形一边的交点
，就是
正方形的第四个顶点，借助位似变换解决问题.具体作法如下:
(1 )如图②，在f::::.ABC 内任作一个正方形MNPQ ，其中M，
N ，P 在三角形的边上;
( 2 )作直线AQ ，交f::::.ABC 的一边BC 于点D;
(3 )过点D 作边AC 的平行线，交边AB 于点E;
( 4 )分别过点D ，E 作边AC 的垂线，垂足分别为G ，F ，
则正方形DEFG 就是满足问题要求的正方形.
下面我们来证明，作图的正确性:
证明:由作图易证DEFG 是矩形，DE//QM,DG// QP;
我们只要证明一组邻边DE=DG 即可
γ DE// QM,DG // PQ ,
. DE
AD
DG
", H DE
DG
一一=一一=一一即一一二一一
.MQ
AQ
PQ'~ I'MQ PQ'
又γ MQ = PQ , :.DE = DG.
这就证明了矩形DEFG 是正方形.
'{9IJ 2
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
转化与化归是一种重妥的数学思想，在数学学习与解数学
题中，我们常常用到下列不同途径的转化:实际问题转化为数
学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化
等.
131
黄东坡@ 带…时( 九牟
)
倒3
如图，已知Rt .6.ABC ，
ζ C = 900 , Rt .6.ABC 的两个内接正方
形DFCE、PQMN的面积分别为81 = 441 ，82二440 ，求AC+BC 的值.
( 美国数学竞赛题)
A
F M C
1
,
1
l
",rt
l
1
,
1
·
分析与解
由例
l 知
+一一一即一一一+一充分进行等式变形，建
a
I h -
x , '^r JS - a
I h '
立含AC + BC ，81 、品的关系式.
设BC = a,AC = b,AB = c ，斜边AB 上的高为h ，
11
, 111
,
1
则。b = ch
一+
一一+一
(
,
' 78:-(;'7}')言一
1
d+ b2+ 2ab
c2+ 2ch
.. 81 -
db2
-
c2h2
1
c2+ 2ch +h2
l
,
h2
1
,
1
S;
c2h2
81 '
c2万-S:'(!'
S，82
品
所以c2 =一牛二一
②
81 -
82
哈罗
由①有αb=而(α + b ),
从而c2= d + b2= ( α + b Y-
2ab = ( α + b )2 _
2而( α + b)+ 81-
81 二( α +
b _VS; )2- 81
③
132
由②与③得·立lEL=(α + b - VS;Y- 81,
.81- 82
所以( α + b - VS; y二_Æ_
8 1-82 '
α +b-Æ ~
故α +b=r主干+Æ
飞81-~元'
把81 = 441 ,82= 440 代入上式即得。+b 二462 ，
即AB + BC 二462.
•
家瞧l1li 晴I
-马
I
曼德布罗特的这一"龙"形图是由函数j(z)=l- m 生成
的.这里的z是复平面上的点，而m是源值图中黑色部分表示:
当迭代次数趋向无穷时，函数值也趋向无穷的z的区域.
第19 讲
| 图形内接d
深蓝(Deep Blue) 是由IBM 开发，专门用以分
析国际象棋的超级电脑.1997 年5 月曾击败国际象
棋世界冠军卡斯帕罗夫(如图) .
这成为该年的世界重大新闻，标志着人造机器
已在一个曾经作为人类智慧象征的思维领域内超过
了人类自身.这要归功于博大精深的"控制论.，
例4
已知正方形ABCD 的边长为
1 ，点E ，F ，G 分别在边AD ，AB ，CD 上(可与顶点
重合) ，且L:. EFG 为等边三角形，求L:. EFG 面积的最大值和最小值.
·
分析与解
注意特殊位置，图形的对称性对解题方向
的引领. 如图①，L:. EFG 为对称位置上的一个等边三角形，其
中顶点E 为AD 的中点
; L:.HMN 为非对称位置的另一个等边
三角形，顶点H在ED 上由于图形的对称性，其他情况与顶点
落在DE 上是一样的.因而只需从这种情况的讨论中，就可以
得到比较可靠的猜想研究的重点在于讨论FG 与阳的交点F [
是否是MN 的中点
-
图①
画图分析，假设L:.HMN 为正方形的任一个内接正三角形，由于正三角形的3 个
顶点必落在正方形的三边上，因此不妨设其中的M，N 在正方形的一组对边上-
作L:.HMN 边MN 上的高HL ，则H ，D ，N ，L 四点共圆
A
H
D
连接HL ，则LHDL= ζHNL = 600 ,
同理，ζHAL= ζHML = 600 .
所以L:.ALD 是正三角形，L 是它的一个顶点，即点L 是一个
定点，如图②.
所以内接正L:. HMN 的边儿汩的中点是一个定点
正三角形的面积由边长决定，当HL l_ AD 时，边长为
1
，这
时边长最小，因此面积s=二丘也最小; 当HN通过点C 时，
A
4
边长为2J2- 13 ，
内接正L:.HMN 的面积S 二213- 3 最
大，如图③
D
E
D
EH
H
A
B
方
法
、
应
用
之
美
J思
维
G
C(N)
133
图③
所以正方形的内接正三角形的最小面积S 二手，最大
F
面积s= 213- 3.
B
黄东坡
带你发现数字之美( 九年级)
线性规划简称LP ，是帮助人们进行科学管理的一种新方法，广泛应用于工程技
术、数学管理、军事调配等方面，为合理运用有限的资源提供最优决策.
线性，是指直线性，具有直观的几何意义，线性数学研究的对象是一次的代数式.
非线性具有变异性和不确定性.
1963 年，美国气象学家洛伦兹的一篇论文使"蝴蝶效应"之说不腔而走，超凡的
想象力，迷人的美学色彩，令人激动、发人深省.
一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇
动几下翅膀，可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场
龙卷风.在高原雪山上的一声叫喊，可能会引起狂风呼啸、
铺天盖地的雪崩.人类逐渐意识到现实世界中存在无序、;昆
?也现象，有时一个小小的起伏可能会演变成巨大的波澜.
1.如图，在RtllABC 中，己知AB = 4 ,AC= 3 ，ζBAC
AA
= 900 , Rt llABC 的内接正方形的边长的最大值为
/
\
B
C
( 武汉市中考题)
2.
如图，在斜边长为l 的等腰直角llOAB 中，作
。
内接正方形A ，B，C，Ð，;在等腰直角llOA ，B ，中，作内接正
方形AJ32C2Ð2 ; 在等腰直角ll OAJ32中，作内接正方形
A，BJC，[)J ; …，依次作下去，则第n个正方形A，，BnC，，Dn的
边长是(
)
A
134
1
~1 ~1
~
1
τ:_ ，
B. ~ C
一:. ，
D.τ百T
~. 3n
~ . 3…
句时
Ð1
B
( 烟台市中考题)
第才9 讲
| 图形内接》
3 . 要在半径为
l 、圆心角为60。的扇形AOB铁皮上截取一块尽可能大的正方形.
小明设计如下两种截取方案.
方案
1 :如图①，点C 在半径OA 上，点D ，E 在半径。B 上，F 在丘上;
方案2: 如图②，点C 在OA 上，点D 在OB 上，点E ，F 在ÁÈ 上.
A
A
广"
A
F
与「一一寸寸
C户/
、
/I
\
/ \λE
o
D
E B
0
D
B
图①图②
请通过计算这两种方案中正方形铁皮的面积，帮小明选择合理的方案. (参考数
据J2 = 1. 41 , J3 = 1. 73)
(世界数学团体竞标赛试题)
4 .
已知L，XYZ 是直角边长为
1 的等腰直角三角形(LZ = 90 0 ) ，其三个顶点分
别在等腰Rt L，ABC( 正C = 90 0 )的三边上，求L，ABC 直角边长的最大可能值.
(上海市竞赛题)
C 参警窑案
方
法
、
应
用
之
美
思
维
A oh B
D
E
图①
135
1.1主
7 .
2. B.
3. 方案
1 .如图①，连接OF ，设正方形CDEF 的边长为x ，因为
/古
圆心角为60 0 ，所以OD=立三x ，在Rt L，OFE 中，OP= OF!+EP ,
3
/
. ，/古
\ 2
á.n .{B 2
句1 一瓦.11
即
1 2 二r+(x+乓三x)
，解得x-=一一~三
\ A
I
1
A J " 'JT ' '. ~
37
o
21 -
6,/ 3
所以S叫形CDEF=r= 一一一~二= 0 . 29.
~
37
Og= Gg+ 0σ
ep 12=.r+(vÍ3x+ 2x )2 ,
2 -,'/3
解得xz=-IJU
所以S
品问边邮尼Cωω
'DE，町
EF= 4.材.r= 2 一J♂3=斗0.2
两个方案进行比较，方案
l 截取的正方形的面和积、较大.
4.
( 1)如图①，若顶点Z 在斜边AB 上，取xy 的中点M，连
A
接CM，ZM，CZ ，并作边AB 上的高CN.
则CN::::;' CZ运CM+ MZ =--k-xy +土XY=XY= vÍ2
2"~
2
故CA =vÍ2CN::::;'2.
(2) 如图②，若顶点Z在直角边CA( 或CB 上) ，不妨设点c l乒J
黄东坡
带你发现数学之笑( 九卑鼠)
方案2: 如图②，作OG l. EF ，交CD 于点H ，连接OE
设EG=x ，因为四边形CDEF 是正方形，所以OH l. CD ，
于是EG=DH=x ，
因为LDOC 二600 ，H 为CD 中点，所以OH= vÍ3DH ，
从而OG = OH + HG =vÍ3x+ 泣，
在Rt .6 0EG 中，
Z 在CA 上，且CX=x ，CZ=y ，并过点Y作YH l. CA 于点H ，易
证，.6ZYH 旦.6XZC ，
则HZ= CX=x ,HY= CZ=y.
故.6AHY 为等腰直角三角形，有AH=y.
设AC= b 二三0 ，则2y+x = b ，即x = b -
2y.
在.6XZC 中，由勾股定理得
y+(b -
2y )2二
l 2
，即5y- 4by + b2一
1 = 0 ,
由L1= 16b2 -
20( b2一
1 )词，得b ::::;，J5.
当b =J5时户芋，x=孚
综合( 1 )、(2)可知.6 ABC 直角边长的最大可能值为疗.
136
EB
F
X
J
'
'
一
，
一
:
、
/
，
，
/
-
h
F
A
M
咀
\
/
'
'
L
广
J
;
i
:
勺
K
川
L
U
'
'
r
d,,
r
d
''-
4 ••
,,,,,-
。
图②
X
B
Y
图①
B
X
图②
(es)
、----、、，
心数学文化巡礼
在自然界和人类社会中，既有许多严格确定性的现象，又存在大量随机现象.
数学是确定性的科学，即从相同的条件出发应得到同样的结论，若得到不同
的结论，则至少有一个结论是错误的.
随机不随意，偶然含必然.
概率是对随机现象的一种描述.法国数学家帕斯卡和费马之间频繁通信，探
讨如何合理分配赌注的问题，概率论开始产生
1713 年瑞士数学家雅各布·伯努利出版了《推测术》一书，书中第一次在现
代意义上使用了"概率"一词.
计算概率的常用方法有: ( 1 )实验法;( 2) 穷举法; (3)画树状图或列表;( 4) 由
面积计算几何概型; (5)乘法原理、加法原理; (6)反面求解.
..
..
"
..
.,
1∞
MMn-n Ol
""...…"
'‘. ，回
正态分布
法国数学家禄莫弗发现自然现象
. 常按照钟形曲线平均分布，高斯后来
命名为"正态分布"正态分布也称为
常态分布，是一种概率分布，存在于自
然界、人类社会的各种现象中，表现为
中庸、平均、稳定和谐.著名统计学家
高尔顿对此有宗教般的信仰"我几乎
不曾见过像误差呈正态分布这样能激
发人们无穷想象的宇宙秩序了
137
时@ 带…挝美(九年级)
二)数学智慧讲堂
倒
l
一副扑克牌中，抽第一张不放回去，然后再抽第二张，抽到两张都是红桃的概
率是多少?
·
分析与解
事件是分步完成的，运用概率乘法公式计算.
在54 张扑克牌中抽
l 张，可以有54 种选法，而这54 张中，有13 张是红桃，所以
13
抽第一张红桃的概率为54 .
再抽第2 张时，由于已经抽走一张红桃，所以总牌数为54 一
1 = 53 ，红桃牌数
12
为
13 -
1 二
12 ，所以抽第二张红桃的概率为53
13 ,, 12
78
26
根据概率乘法公式，得p( 两张都是红桃)=一一x ::=.'.:::.=
54"53
1431
477'
蒙特卡罗方法
用一个正方形将左面的阴影区域围住，然后
随机地往正方形内掷"点"当所掷"点"的数目n相
当大时，落入阴影区域内的"点.，数为m. 则该区域
的面积约为正方形面积的号
由于这种方法使用随机数，与赌博的随机性
有关联，而世界最著名的赌城是摩纳哥的蒙特卡
罗，故这一方法被命名为蒙特卡罗方法，这种方
法是由美国数学家乌拉姆所创立的.
例2
(1)一个正6ABC 的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直
线运动，目标角是随机选择的求蚂蚁不相撞的概率.
(微软公司招聘面试试题)
(2)随机取多少个整数，才能有0.9 以上的概率，使得这些数中至少有一个偶数?
(清华大学自主招生试题)
，
分析与解
当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关
事件的概率是困难的.转换视角，从问题的对立面一一反面求解，常能化繁为简.
对于( 1 )，三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向(顺时针或逆时针) ，因为每
只蚂蚁选择的不确定性，故组成的各种情形似乎繁杂，这正是微软主考官制造的氛
138
第20 讲
| 偶然中的必然U
围，其用意在于考查应试者摒除习惯因素的干扰，切中要害、化繁为简的能力.
选择一只蚂蚁A 作为参照标准，一旦A 确定了自己的运动方向，那么其他蚂蚁
必须做相同方向的运动才能避免相撞，蚂蚁B ，C分别有土的概率选择与A 相同的运
2
1 " 1
动方向，故蚂蚁避免撞到一起的概率为→×一=一
2"2
4.
对于(2) ，至少有一个为偶数的情形确定吗?由于所有的整数中，可以认为奇数
与偶数的个数是"对等"的，所以，任取一个整数，则得到奇数的概率与得到偶数的概
率均为÷
随机取n个整数，而其中均为奇数的概率为土，因此，至少有一个偶数的概率为
2"
l 一去，由
l 一击> 0.9 得去<击，训，即随机取4 个(或4 个以上)整数，才能有
0.9 以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.
,{9IJ 3 如果你被选中参加竞猜节目
，便有机会赢得一辆汽车参赛者会看见三扇关闭
的门，其中一扇门的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而
另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，
节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人随后会问参赛
者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是:换另一扇门是否增加参赛者赢得汽车的
概率?
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
·
分析与解
这是一个美国的电视有奖参与游戏节目，主持人是蒙提·霍尔，
这个问题曾引起公众和学者的广泛关注.
问题的答案为:当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车
的机会将会加倍.
有三种可能的情况，全部都有相等的可能性:
参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号，转换将赢得汽车参赛者挑山羊二号，主
持人挑山羊一号，转换将赢得汽车.参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头，
转换将失败.在前两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车第三种情况是唯
一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况.因为三种情况中有两种是通过转换选
择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是二
如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在
参赛者做出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样.例如，如
果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者做出选择的话，选中的机
会将会是÷
139
时@ 带…挝美(九年级)
例4
甲、乙两人约定在6 时到7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一
刻钟，过时即可离去.求两人会面的概率.
·
分析与解
设x ，y 分别表示甲、乙两人到达约
•Y
会地点的时间，则两人能够会面的必要条件为Ix _ yl 60
Z三15 ，这表示两条直线围成的区域，将问题转化为几何
概型.
在平面上建立直角坐标系，如图，
_m( A) _ 602-452 _
7
则P(A) 一±πτ一
一一一
m(S)-~一
16
.
英国著名诗人蒲柏在他的《人论》中写道:
‘?所有的自然之物，是人类求解的艺术之谜，
所有的偶然，都有看不见的方向，
所有的不和，是和谐未被人们领悟"
x
当人们发现了某种规律，就会试图将其公式化，这种确定性思维是科学的基石
之一.若找不出规律，并不会将其归于无知，而是把它称为
爱用的概念.
赌注的分配、布丰投针、惠更斯的数学期望、蒙特卡罗方法、贝叶斯方法等，把关
于概率的数学理论用更加严谨的方式重构，并随着计算机的出现而成为一种可靠的
方法，广泛应用于决策制定、风险管理等丰富的领域.
140
从确定性思维到随机性分析，在20 世纪形成的描述随
机性现象的数学学科，诞生了概率统计方法，通过数据进行
推断是概率统计方法的本质.
第川l 偶然叫然叫
向数学之美探寻
1.某一串号码由五个数字组成，每个数字可以是0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，…，9 中的任一个
数，求该串号码是由完全不同数字组成的概率
2. 任意选择一对有序整数( b ，c )，其中每个整数的绝对值小于或等于5 ，每一对
这样的有序整数被选择的可能性是相等的.求方程r+ bx + c = 0 没有相异正实根
(美国高中数学考试题)
的概率.
3. 有A ，B ，C 三人，A 每说3 次话时有2 次是真话，B 每说7 次话时有6 次是真
话，C 每说5 次话时有4 次是真话.如果有一句话，A ，B 都说是对的，C 说是错的，那
么，这句话是对的概率是多少? (用最简分数表示)
(世界数学团体锦标赛试题)
4. 两个对讲机持有者甲与乙都在货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25
千米，在下午3 :00 时甲正在公司正东面距公司30 千米以内的某处向公司行驶，而
乙在下午3:00 时正在公司正北面距公司40 千米以内的某地向公司行驶，试问在下
午3 : 00 时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大?
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
14 1
黄东坡@ 带…挝美(九级)
。参警备案
1.每位数有0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 共10 种情况，故5 位数字的组合共有10 X
10 X 10 X 10 X 10 = 100000 种情况，电话号码是由完全不同的数字组成，则第一
位数有0 ，1
，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 共10 种情况，第二位数字有9 种可能……第五位数
字有6 种可能，故
1OX9X8X7X6
189
P( 电话号码是由完全不同数字组成)=
ω
=一一
625'
2.
从问题的反面考虑.设方程x2 + bx + c= 0 有两相异的正实根Xl ，X2 ，则y-
4c> O ，x山= c > O,Xl+ X2=- b > O ，lbl 运5 ，
Icl 运5. 于是b 二
3 且c 二
1
，2; 或
b=-4 且c=I ，2 ，3; 或b=-5 且c=I
，2 ，3 ，4 ，5. 因此，有10 对有序整数可使
10
111
方程有相异正实根，而可取的有序整数共有
11 2对，故所求的概率是
l 一
=一一
W-121'
3.
如果这句话对，则A ，B 说了真话，C 说了假话，那么，"这句话对"的概率是
2 .. 6 .. 1
12
点
3 .. 7 … 5
105
宙
如果这句话不对，则A ，B 说了假话，C 说了真话，那么，"这句话不对"的概率是
1 .. 1 … 4
4
点
3 .. 7 .. 5
105
审
由①②可知，这句话可能是真话，也可能是假话，因为总计16 次，12 次对，4 次
12
3
不对.所以"这句话是对的"的概率为一-
16
4'
4. 记乙离公司x千米，甲离公司y千米，如图所示:
Q= {(x ,y )10运x:::二30 ，0运y:::三401} ,
记事件A 为两位的对讲机能够交谈，
A = {(x ,y )10:::三x运30 ，0:::三y:::三40 ，r+乒乓25 2 } ，则
25
25 "π25π
P(A)=一一-一二
4X1200
192'
即下午3:
00 时他们能够通过对讲机交谈的概
25
率为一旦
0 1
192'
142
2530
x
'~I
. )
- - -
~ ~、，
、，
心数学文化巡礼
古文明是现代科学的启蒙，是理性思维的源泉，而天文学与几何学是古希腊
文明的主导与核心，球面和圆锥截线的认识是古文明中几何学的至高点.
反比例函数的图象称为双曲线，用折纸或截面的操作方法可得到双曲线.如
图，准备一张圆形纸片，并在圆外取一点F ，然后折叠纸片，使F 点落在大圆的圆
周上，这样不断地折下去，这一系列折痕就构成了双曲线的一个分支.
。
如图，用平面去截一个双头圆锥，圆锥和平面相交所得的曲线有圆、椭圆、抛
物线、双曲线.椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线，公元前200 多年，古希腊人
阿波罗尼斯就发现了这一现象.
圆
椭圆
双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形.
143
黄东坡@带…挝美(九年佩)
" 、，也"-小丛"
事大1阿
三蝙
因
恻帷战线的战争
正则圆，歪则梢，点点繁星，歧饺星光，发人深思，令人
神游，而太阳系永恒之舞的基本节奏与舞步却是圆锥曲线.
数学智慧讲堂
伊以一次函数y= ω + b 的图象分别与x轴、y轴交于点M，N ，与反比例函数户手
的图象相交于点A ，B ，过点A 分别作AC l_ x轴，AE l_y轴，垂足分别为C ，E ; 过点B 分
别作BF j_ x轴，BD j_y轴，垂足分别为F ，D ，AC 与BD 交于点K ，连接CD.
k
(1)若点A 、B 在反比例函数y=一图象的同一分支上，如图①，试证明: (i )AB//
X
CD; ( ii )AN = BM ;
k
(2 )若点A ，B 分别在反比例函数户一图象的不同分支上，如图②，则AN 与BM
x
还相等吗? 试证明你的结论.
y
y
\ C
图①
图②
·
分析与解
对于( 1 )，由平行线想到等积变形、比例线段、一次函数解析式
的系数含义，故有不同证法
( 1 )方法一:
': s时AEOC= S时BDOF =k ，
144
第叫
[ 双曲线U
二S姐们EOC -S捏形DOCK 二S锺形BDOF -S距形DOCK ，即S姐们EDK 二S垣形CFBK.
AK
BK
:.AK • DK = BK • CK ，即一一=一→
CK
DK'
γ ζAKB = L CKD = 90 0 ,
:. 6ABK'ω 6 CDK ，
二ζ CDK= LABK ，
人AB//CD
方法二:
设A (什) ，的，专) ，则DK=AE= α ，KB = BD - DK = b - a,
_ k
k
k(b -
a)
CK=BF=T ,AK=AC- CK=一一二
α
b
ab
. DK
CK
a
.. KB
AK
b -
a'
.. ζDKC= 正AKB 二90 0 ，
:. 6 DKO∞6 BKA ，得L CDK= LABK ，λ DC//AB .
方法三:
k \ ~ /，
k
咀
k
，
k Cα + b)
由A ( α ，~ ) ，B( b ，一) ，可求付直线AB 的解析式为y=-
~'l. x+
)'
ab ~ ,
ab
由D( ot ) ，CMJ )可求得直线CD 的解析式为y 二
x+
k
, k
)'
ab ~ , b '
k (α + b) , k
因为两直线斜率相同，又一一一一#一
αb
'
b '
:.DC//AB.
':AC//y 轴，
二四边形ACDN 是平行四边形，得AN = CD ，同理BM= CD ,
故AN 二BM
( 2 )AN 与BM 仍然相等，证法同方法一.
倒
1 的不同解法，展示了双曲线问题的两种常用基本解法:
(1)充分利用闸的几何意义;
(2)恰当设元引参，算证结合.
复式双曲线
yt..... rr..
在同一直角坐标系中的两条不同的双曲线，我们称为"复
2
且
式双曲线"，如图，已知反比例函数y 斗和y 斗，其中
1\
kl>k2> 0 ，在第一象限内的困象依次为曲线C1 ，Cz ，类比可提
J
飞
J
出若干猜想.
方
法
、
也
就
山
川
川
之
臭
145
黄东坡
带你发现数字之美(九年级)
例2
(1)女~图①，若点P 在双曲线C ，上，PE .l x轴于点E ，交双曲线G 于点A ，PD .l
Ck,- k,)'
y轴于点D ，交双曲线G 于点B ，贝USV~l!lJ!j PAOB=k，-k，，SMAB=~写ι.
OC
(2)如图②，若过0 点作两直线分别交C"C，于A 、B 两点和C、D 两点，则百A-
OD
一一，AB矿CD;
OB
(3)如图③，若一条直线与C"C，分别交于A ，B 两点和C ，D 两点，则AC=BD.
x
。
x
。
x
图①
图②
图③
·
分析与解
问题解决的关键是充分利用间的几何意义或恰当设出点的坐
标，把证明与计算相结合，对于( 1 )，给出证明，其他两题请读者完成.
146
( 1 ).; S叫形PAOB=SlÆfó PDOE-SC,ODO-SC,OAE,
而SIÆ% P阳=k"
SC，ODB二SC，OAE二号，
•
k,
k,
.S四边形PAOB=k，一"4 一一ι=k，- k,.
..,
2
2
/ι
\ ~I k,
\
设P(m ，n) ，则mn = k" A( m ，首)，Bl ~ ，叫，
1 /_..
k, \ /_.
k, \ _ 1 ( .....
'- \,_ Ck, - k,)'
-
M 一
)(n 一~'
) =一一~ mn -k, )' =一一一一
.UC,PAB- 2
飞
n
) 飞
m ) - 2mn \ "'"
1\., ! -----u.
Ck,- k,)'
Id一时
由此可得SC，AOO=S四边形PAOB -SMAB =(k，-k，)一
=
2k,
2k,
TY
I
I
/
台式钢琴的弦与风琴的管，它们的外形轮
|J/
廊是指数曲线.
。
￡
第川
l 双曲线U
例3
问题情境
已知矩形的面积为α(α为常数，α> 0) ，当该矩形的长为多少时，它的周长最小?
最小值是多少?
数学模型
该矩形的长为x ，周长为y ，贝b与x的函数关系式为y= 2(x +-~ )(x> 0)
探索研究
(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数内+士(x> 0) 的图象和
4
3
2
2
性质
①填写下表，画出函数的图象:
|
x I ...
I 士
1 +
1
y
5
4
3
2
一10
②观察图象，写出该函数两条不同类型的'性质;
③在求二次函数y二ax2 +bx+c( α手0) 的最大(小)值时，除了通过观察图象，还
可以通过配方得到，请你通过配方求函数:y=x+卡川)的最小值
5 x
4
3
2
解决问题
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
(南京市中考题)
147
(2)用上述方法解决"问题情境"中的问题，直接写出答案.
黄东坡@ 叫跚学技(九相
·
分析与解
新函数y=x+土是由直线y=x与双曲线y=上复合而成，充分运
x
用研究函数的基本经验与基本方法.
1 吁
10
5 _ 5 10
17
( 1 )①一一:::
.2 一一
吨，3 '2 ，~， 2 ' 3 ' 4 .
函数卢寸(川)的图象如图
②本题答案不唯一，下列解法供参考.
当o <x< 1 时
，y~x的增大而减小;
y
4
当x>
1 时，y随x的增大而增大;
一10 1
1 2 3 4 5 X
当x=
1 时，函数y=x+言(x> 0)的最小值为2
一l
③y =x 寸刊叫Ær- 2-h' Æ+ 2-h' Æ
=c-h一飞士r+ 2
当d一飞士二0 ，&阳二
l 时，函数y=x+ 士(x> 0) 的最小值为2
(2) 当该矩形的长为d时，它的周长最小，最小值为4而.
解题是一个不断提出相关问题的过程: 由原问题出发，提出它的各种等价问
题、特殊化问题、简化问题、部分问题、必要条件等.
笛卡尔《音乐概要》
笛卡尔把他的想象拓展到音乐中，写过论文《音乐
简编》、《音乐概要} ，成为一个训练有素的音乐家，自觉
地把音乐和坐标系结合在一起，坐标系在音乐中沉醉，
音乐在坐标系中歌唱.
欧几里得的《几何原本》曾提到尺规作图，所谓尺规作图就是用元刻度的直尺和
圆规，通过有限次的使用，画出符合要求的图形，古希腊人曾提出三个著名的作图难
题: 兰等分角问题、倍立方问题、化圆为方问题.
这三个叙述简洁、看似简单的作图问题，两千多年来激励着一代代数学家思考
探索，最后被证明这三个问题不能由尺规作图来解决.
148
.'
第21 讲
1
:双曲线~ !
虽然仅用尺规作图不能三等分角，但数学家帕普斯借助双曲线给出了一种"三等分
角"的方法.
如图，将给定的锐角ζAOB 置于直角坐标系中，边OB Y
R
在x轴上，边OA 与函数y= 土的图象交于点P ，以P 为圆
x
心，以20P 为半径作弧交图象于R 点，分别过点P 和R 作
x轴、y轴的平行线，两直线交于M 点，连接OM，则ζ MOB
=÷AOB ，你能证明吗?
B
H
x
音乐是净化灵魂的工具.
数学能把人类的思维活动升华到纯净和谐的境界.
从开普勒和天体的"音乐"至1J 爱因斯坦和他的小提
琴，音乐和数学似乎有很密切的联系.{ 心灵的标符》试图
告诉人们什么是数学、什么是音乐，并揭示两者之间深
层的相似.
向数学之美探寻
x
y
1.如图，将透明三角形纸片PAB 的直角顶点
P 藩在第四象限，顶点A ，B 分别落在反比例函数
y= 手图象的两支上，且PB l_ x 轴于点C ，PA l_ y
轴于点D ，AB 分别与x 轴、y 轴相交于点E ，F. 已
知B(l ,3).
(l)k =
(2)试说明:AE=BF;
方
法
思
维
21
(3)当四边形ABCD 的面积为1一时，求点P
、
应
用
之
美
(徐州市中考题)
149
的坐标.
时每善带…白美( 九年级)
2 . 如图，在平面直角坐标系x印中，点A ，B
分别在函数y，=卡>的与y2=一卡< 0)的
图象上，点A ，B 的横坐标分别为α ，b.
( 1 )若AB//x 轴，求l::. OAB 的面积;
(2) 若l::. OAB 是以AB 为底边的等腰三角
形，且α + b =F O ，求ab 的值;
~~
o
x
(3) 作边长为3 的正方形ACDE ，使AC//
x 轴，点D 在点A 的左上方，那么，对大于或等
A
于4 的任意实数。，CD 边与函数y ，二一:..c x> 0) 的图象都有交点，请说明理由.
x
3
如图，若P 是反比例函数y= 号图象
上一点，过P 点作PD l. x 轴
，PC l.y 轴，垂足分
别为D ，C ，用，PC分别交反比例函数y= 号的
图象于点B 、A ，且k，> k2 > 0 ，求证: (1 )AB//CD;
AB
k 一ι
(2)~~ =止一J
CD
k,
4. 阅读材料:
y
C
。
D
若。，b 都是非负实数，则α +b注2而豆，当且仅当α =b 时，等号成立.
证明:γ ( 而- Jb)2剖，
.·.α -2Fab+ 怜。
二α +b 二~2、岳豆，当且仅当α =b 时，等号成立.
1 150
x
第川
| 双曲线U
举例应用:
已知> 0 ，求函数y=h+?的最小值
解:y = 2x +卡2乒二三= 4 ,
当且仅当2x=手，即x=l 时，等号成立
λ 当x = 1 时，函数取得最小值，如性二4.
问题解决:
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车的行驶速度在每小时
70 ~ 110 千米之间时(含70 千米和110 千米) ，每千米耗油(忐+于)升若该汽车
以每小时x千米的速度匀速行驶，1 小时的耗油量为厅十.
( 1 )求y关于x的函数关系式; (写出自变量x的取值范围)
(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量. (结果保留小数点后一位)
(济宁市中考题)
参雪答案
C
1. (1)3.
I
3 \ "'., ~I ^
3 \ .J. 3 \
(2)设A(m ，百1.则D(O ，百
I ，Pj
l ，百
I ，C(1 ,0).
:.PA = 1 _ m .PB = 3 一二
PD = 1. PC = _.l_.
m
m
3
.. PD
1
PC
m
1
PA
1 _ m' PB
啕
3
1 _ m '
‘一-
m
方
法
、
应
用
之
美
m
d，~"\
维
151
• PD
PC
= 'n-;:: , :. L. PABω L. PDC ，
• PA
PB
:. L_PAB = ζPDC ，λ DC// AB.
又BC//DF ，AD // CE ，
二四边形ADCE 和四边形BCDF 都是平行四边形，
:.DC 二AE ，DC=BF.
:.AE 二BF.
(3).: L.APB 和LDPC 都是直角三角形，
SAMB=÷M PB 二÷(l-m)(3 一云) ,
黄东坡@ 带…挝美( 九年佩)
S MCO• PD • PC =+ x 1 x (一去),
1 / .
V ~
3 ,
1". ,, /
3 ,
21
λS四川CO=S"'PAB-S"，PCO =一(1 -
m)(3 一一)一τX 1 X( 一
)= ~AJ.
2 ' •
... l' -
m /
2..... '
m /
4
解得m=-f，..PM标为( 1 ，一2)
2. (1) S 60AB= 4.
(2 加m1)，γ点A ，B 的横坐标分别为α ，b ，
4
4
..点A ，B 的纵坐标分别为言'-7)'
:.OA 2=d+(: r, OB叩+(-~r
γ L. OAB 是以AB 为底边的等腰三角形，
:.OA 二OB.
:.d+(士r二归(-:r
:.d-
b2+(士r一(-:r= 0
:.(a + b)( α 一川(1 一是)= 0
':a + b手。，a> O,b < 0,
l 一是=0
二。b 二-4.
(3)γ 。二三4 ，而AC= 3,
·直线ω 在y轴的右侧，直线ω 与函数Y14
(x> 0)的图象一定有交点.
A
设直线CD 与函数y1=一(x> 0) 的图象交点为
X
F ，如图②.
':A 点坐标为(0 ，?)，正方形ACDE 的边长为3 ，
几点的坐标为(α- 3 ，士)，F 点的坐标为
(α3 ，三动，
:.FC=一生丁一土
α
一- j
a
。
图①
y
D
C
。
图②
.•
FC= 3 一(击-: )=~飞J咋的，而训，
二3 -FC二三0 ，即FC运3.
':CD = 3,
人点F 在线段DC 上，
x
E
A
x
4
即对大于或等于4 的任意实数。，CD 边与函数)'1= = (x> 0)的图象都有交点.
x
152
第川
l 双曲线d
x
y
3. (1)如图①，连接AO ，BO ，BC ，AD ，
: S l!.AOC=S l!.ACD =卡，Sl!.B∞=Sl!.BCD =卡，
:, S l!.ACD =Sl!.BCD
λ AB// CD.
(2)女日图②，连接PO ，则SAPOD=÷UABOD二÷k2
:, Sl!.POB =
~ (k,-k2 )
C时导守P
主I B
0 1
D
图②
4. (1 ) .:汽车行驶速度在每小时70 ~ 110 千米之间时(含70 千米和110 千米)，
每千米剧情十手)升
:.y 二X' (忐+孚)二忐+于(70白白10 )
(2)根据材料得:当去=于日才有最小值，解得x = 90
λ 该汽车的经济时速为90 千米/小时.
当X 二90 时，百千米耗油量为100 X (古+拮) = 1 1. 1 ( 升)
y
土Ck，- k2)
. .Sl!.PBO _ PB _ 2l
L/ _k,- k2
'Sl!.P∞
PD
1 ,_
k,
2 凡I
AB
PB
由AB// CD 得=
CD
PD'
. AB _k,- k2
.. CD
k,
方
法
x
111
i l!o"
维
、
应
用
之
芙
153
(:U
J) 珠联璧合
,
,
心数学文化巡礼
-----.
古希腊先哲们认为:一切立体图形中最美的是球休，一切平面图形中最美的
是圆形.
旋转的飞轮，嘀嗒的钟表，宏大如宇宙天体，微小至原子电子，生活用品、
器械设备、建筑造型、图案设计… … 人们的日常生活离不开圆，科技的进步离
不开圆.
概念可以用数学方式描述，可以用物理方式展现，也可以用技术方式应用.
从远古数学到20 世纪的时空理论，圆为众多研究者指明了探索自然奥秘的方向.
圆的构造简洁、匀称，圆的周边光滑且与圆心等距，圆的制作方便省料，圆的
外观赏心悦目，在圆简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘.
圆是一种"完美"的图形，其完美性不仅体现在它既是轴对称图形又是中心
对称图形，而且体现在它的旋转不变性，即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角
度，都能与自身重合.
对称是一种美，它展示出整体的平衡与和谐，等腰三角形、正方形、圆、双曲
线等都是轴对称图形，积极捕捉，创造对称，以使从整体上把握问题.
正态黑洞
土星光环
154
第22 讲
| 珠联璧合U
~数学智慧讲堂
倒
1
(1)如图①，已知多边形ABDEC 是由边长为2 的等边L.ABC 和正方形BDEC
组成，0 。过A ，D ，E 三点，求。。的半径.
(2)如图②，若多边形ABDEC 是由等腰L.ABC 和矩形BDEC 组成，AB 二AC=
BD 二2 ，00 过A ，D ，E 三点，问。。的半径是否改变?
( { 时代学习报》数学文化节试题)
A
A
方
法
、
应
用
之
美
ru
维
对于( 1 )，给出不同解法;对于(2) ，00 的半径不改变，解法类
155
C
图④
图③
A
分析与解
似( 1 ).
解法一
如图③，将正方形BDEC 上的等边L. ABC 向下平
移，使其底边BC 与DE 重合，得等边L. ODE.
':A ，B ，C 的对应点是O ，D ，E ，
:.OD = AB ,OE = AC,AO = BD.
.. 等边L.ABC 和正方形BDEC 的边长都是2 ，
:.AB = BD = AC = 2,
:.OD 二OA =OE 二
2.
':A ，D ，E 三点确定一圆，点。到A ，D ，E 三点的距离相等，
λ0 点为圆心
，OA 为半径，
..该圆的半径为
2.
解法二
如图④，将L.ABC 平移到L. ODE 位置，并作AF J..
BC ，垂足为点F ，延长AF 交DE 于点H.
.: L.ABC 为等边三角形，
二AF 垂直平分BC ，
二·四边形BDEC 为正方形，
:.AH 垂直平分正方形的边DE.
又':DE 是圆的弦，
黄东坡@ 带…白菜(九年级)
:.AH 必过圆心，记圆心为0 点，并设。。的半径为
r.
在阳L.ABF 中，·.·ζBAF = 300 ,
AF=AB 叫。=2X孚=J3，
.刀IH=AF+ FH- OA =J3+ 2 -
r
在Rt L. ODH 中，OH 2+ DH 2= OD \
:.( J3+ 2 -
r)2+ 12= r ，解得r = 2.
等边三角形、正方形、圃是平面几何图形中最完美的图形，倒1 囊明这三个完
美图形能合成一个从形式到结果依然完美的圆形.
解法一展示了图形变换的作用，灵巧而筒洁; 解法二由圆的半径相等建立方
程，质朴而具有一般性.
例2
如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆.已知小正方形的
r一飞A
边长为α ，求大正方形的边长
/
I
I'\c
o B D
·
分析与解
本例以半圆、正方形为背景，着重考查圆、正方形及对称等知识，
运用"圆的半径处处相等"这一性质建立方程.设大正方形的边长为b ，连接OA ，OC ，
则ω=?
':OA = OC
..b2+(引= a2+(α+号r.
化简得2d+ αb-b2 =0 ，( α + b )( 2a - b ) = 0,
γα 十b手。
二b = 2a
即大正方形边长是小正方形边长的2 倍.
思考把两个正方形改为两个圃，如图，那么与半
圆内切的两个圆的半径有怎样的关系?
设001的半径为R ，0 02的半径为r ，O~ 1- 001于点
A ，002切半圆直径于点B. 连接O~ 、0102 ，如图，由相切
的有关知识可知，
0 1A = R -
r,0102= R + r,002= 2R -
r,
156
fhc
。
B
第叫
| 珠联璧合J
二O2矿= O，~- 0 ,A2= O~- OA2= O~- 0J32,
川R + r )2 一(R - r)2= ( 2R -
r)2 一兴，
化简得2Rr = R2 ，即R = 2r
大圆的半径也是小圆半径的2 倍，结论如此惊人地一致，我们还能提出怎样的
问题?
例3
"圆，一周同长也"一个定点到圆上的距离有如下特征:
如图，设定点P 是半径为r 的。。外一点，则点P 至UOO 上的点的最小距离为
OP- r ，最大距离为OP+ r.
设点C 为00 上异于A ，B 的点，连接OC ，pc.
飞
在!:::.POC 中，γ PC + OC > OP , OP = OA + PA ,
B
OC= OA ,
:.PC > 剑，得PC二三PA ，
又':OC + OP > PC ,OC = OB ,
:.PB > PC ，在手PC运PB ，
故PA 运PC~三PB; 即OP- r ~三PC~二OP+r.
如图①，在边长为2 的菱形ABCD 中，LA = 60 0 ,
D/一一一~ C
M 是边AD 的中点，N 是AB 上一动点，将!:::.AMN 沿MN 所在
~{-.__
/
直线翻折得到!:::.A'A啊，连接A'C ，求A'C 的最小值
A lJ之U
L>
N
B
( 成都市中考题)
图①
应用
方
法
111
aω
维
'
分析与解
由MA=U矿，故点N 从点A 到点B 过程中
，A' 的运动轨迹是
以点M为圆心
，MA ' 为半径的圆弧，将问题转化为求圆外一点与圆上点的最短距离.
如图②，当点A' 在MC 上时
，A'C 的长度最小，过点
E
C 作CE ..l AD 交AD 的延长线于点E.
户…-….---_‘ l)~./
.γ:CD 二2 ，A1D 二
1
，ζEDC 二60 0 ，
二ζECD = 300 ,DE = I ，EC 二扎
i
M二二节A'
EM= 2, MC= ♂，
\.
/:\ ... /i
:.A ' C=疗一
1.
..._.;:… ,\jL
A'" … .... N
、
应
用
之
美
157
B
图②
时@ 带…白菜( 九年级
客观世界为什么存在丰富的球形或圆形物体?
德国著名数学家斯坦纳证明了著名的等周定理，揭示了其中的奥秘.
等周定理:
用等长的平面封闭曲线围成平面图形，以圆形面积最大;在面积相等的平面图
形中，圆的周长最小.
推而广之，在表面积相等的立体图形中，以球体体积最大;在体积相等的立体图
形中，以球体表面积最小.
自然界是按照数学上最优化原理构造的，数学家们用等周定理揭示了自然界"尽
量节省肌肤"的奥秘.
命数学之美探寻
1985 年，科学家用激光使石墨棒气化，得到一个由60
个碳原子组成的空心球体的C 60分子，而在此之前，人们只
知道碳有三种形态:金刚石、石墨、碳纤维，
C 60的形体是阿基米德体中的"五六六式多面体.，，有32
个面、60 个顶点.每个顶点上有一个碳原子，是一个美丽而
精致的球休.
1.如图，AB ，CD 是半径为5 的00 的两条弦，AB = 8, CD
A _______
= 6 ，阳是直径，AB l_阳于点E ，ω土阳于点F ，P 为EF上
/~ \ C
的任意一点，则PA +PC 的最小值为一一_
M\EI Ö~A )N
(张家界市中考题)
i--一
D
2. 如图，在Rt .6ABC 中，丘ACB = 90o ,AC = BC = 2 ，以
A
BC 为直径的半圆交AB 于点D ，P 是CD 上的一个动点，连接
AP ，则AP 的最小值为
C
158
。
B
第叫珠联璧合J
3.
要将三个边长为1cm 的正方形放在一个圆碟内，要求这三个正方形不能某
部分在碟边以外，且不能重叠.试问:圆碟的半径至少是多少?
(澳门技际初中数学竞赛试题)
4.
如图，在L:.ABC 中，正ACB = 900 , LABC = 30 0 ，将L:.ABC 绕顶点C 按顺时
针方向旋转，旋转角为θ(0 0 <θ<
180 0 ) ，得到L:.A ，B ，C ，设AC 的中点为E ，A 品的中点
为P ，AC= α ，连接EP ，问:当0为多少度时，EP 的长度最大?最大值为多少?
A,
A
B
C
B,
(义乌市中考题)
方
法
III
，巳4、
维
、
应
用
之
美
159
时@ 带…挝美(九年级)
飞蛊街畜菜
1. 712.
连接BC 交MN 于点P ，此时PA + PC = BP + CP = BC 的值最小，
过B 点作BQ .l CD 交CD 的延长于点Q. 在Rt .6BQC 中运用勾股定理即可
2. )5-
1.
连接OA 交CD 于点P ，此时AP 的值最小，最小值为AP= OA-
OP
3 . 三个正方形有不同的摆放方式，通过讨论计算确定最小圆碟的半径，如图①
所示，rl=÷♂工1 2二手m
eGds
图①图②图③图④
如图②、③所示，r2= r3= Jl可于=12cm;
如图④所示，考虑到它的对称性，圆碟的圆心应在正方形的边OD 上，设OC=
x ，贝U OD = 2 -x,
.ω2= r=士+r ，ω2= r= 川2 -
x )2,
γ OA = OB, :.土+ r二1+(2 -x )2，解得x=i旦
16.
5 飞
17
从而r=三立土二，此时圆碟的半径最小.
16
4.
将.6ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转的过程
A
中，CP 长不变，始终等于α ，因此点P 在以C 为圆心，a
卜、f王
为半径的圆上，因为点E 在OC 内，所以当点P 运动到
"
Ef -----三毛\
直线EC 与OC 的交点p，处时，EP 的长度最大，易求得
:
CJ_
~B
LPoCP,= 120 0 ，所以正ACA ，=
1200
，即θ=
120。时，EP
，
3
\
,JJJ'fAl
的长度最大，最大值为-;:;;:-Q.
'
I
L
160
P1
Bl
'A)) 最倒点
•
Ö l致学文化巡礼
飞鸟划过，把对自由的向往写在天上;白云飘过，把悠闲的姿态勾勒在天上.
康德说"一个民族总要有仰望星空的人"
天文学是古希腊文明世代相承且用力最多、最深的学科，直接促进了古希腊
几何学的发展.天文与几何相辅相成，乃是古文明中最为辉煌的两大支柱.
通过对日、月、星辰周而复始运行的长期观察与记录，人类试图用恰当的
几何模型进行解释.欧多克斯、托勒密、哥白尼分别提出同心球天体模型、地
心4兑、日心4兑.
欧多克斯宇宙几何模型
1471 年，德国数学家米勒提出如下雕塑问题:如图，假
定有一个雕塑高AB = 3 米，立在一个高为BC = 2.2 米的
底座上，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，他的水平视线
---1B
<
离地1.7 米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕
2.2乡长IE
1.7 米
A
塑的效果最好?
所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转
化为在水平视线EF 上求使视角最大的点.
C
161
黄东坡
带你发现数学之美( 九年银)
九)数学智慧讲堂
例
l
如图，设墙壁上的展品最高处点P 距离地面p 米，最低处点
Q 距离地面q 米，站在何处观赏最理想?
P
，
分析与解
当过P ，Q ，E 三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角
正PEQ 最大，站在此处观赏最理想.
E'
H
这是因为: 对HE 上任一异于E 的点E'
，均有ζPE' Q < ζ 1= ζPEQ.
设观赏者的眼睛点E 到墙壁的距离为x 米，
在6 0MQ 中，OM 二x ，QM =号旦，OQ = OE = QM + q = 咛旦
γ O(!= 0'M 2+ QM2,
:.OM=) O(!- Q~二j(吁吁一(吁吁=函，
即x =JP豆
例2
如图，在Rt6ABC 中，已知A C = 5, BC =
A
1 2 ，μα = 900 , P 是边AB 上的动点，Q 是边BC
I ~ p
上的动点，且LCPQ = 900 ，求线段CQ 的取值范围.
I
/'入\
( 广州市中考题)
匕/
\
~
C
Q
、B
162
第川
| 最佳视点叫
分析与解
动点P 对线段CQ 所张的角LCPQ = 90 0 ，作出以CQ 为直径
的圆，圆与AB 的交点即为点P ，从特殊情形确定CQ 的取值范围-
如图，以CQ 为直径作。0 ，若AB 边上的动点P
A
在圆上，则ζ CPQ 就为直角.
广~
n
~
P
当00 与AB 相切时，直径CQ 最小
1
....... .._;牙、严\
由勾股定理得
AB
-
13 ,
连接
OP ，
得
l/'
飞
~
正OPB = 900 ，设。。半径为r ，则OB = 12 -
r.
C ~
:. --o-~/ -
Q 、B
由ð. OPBω ð.ACB ，得旦旦=旦旦
、-
AC
AB'
r
12 - r.
10
一一一
，一一
.. 5
13""
3
20
即CQ=亏一.
当点Q 与点B 重合时，直径CQ 最大，此时CQ = 12.
20
故CQ 的取值范围为1-z三CQ~三12
数学有两种品格，其一是工具品格，其二是文化品格.数学文化
的深远意义和至高价值在于:数学教育一直会在学生的生存方式和
思维方式中潜在地起着根本性的作用，并且受用终身.
例3
如图，点A 与点B 的坐标分别是( 1 ，的，( 5 ，0) ，点P 是该
y
直角坐标系内的一个动点.
( 1 )使LAPB = 30。的点P 有
个;
(2)若点P 在y 轴上，且LAPB= 30 0 ，求满足条件的点P 的
x
B
坐标;
0 1 1 2 3 4 5
(3) 当点P 在y 轴上移动时，ζAPB 是否有最大值?若有，求点P 的坐标，并说
明此时ζAPB 最大的理由;若没有，请说明理由.
A
方
法
、
思
维
、
应
用
之
荣
(淄博市中考题)
163
分析与解
对于( 1 )，作ð.ABP 的外接圆，根据"同弧所对的圆周角相等"可
知，使ζAPB = 30。的点P 有无数个;
对于(2) ，作LABP 的外接圆，利用垂径定理及勾股定理求解;
黄东坡@ 带…白美(九级)
对于(3) .作6.ABP 的外接圆，由图形的直观性可知，
y
当6.ABP 的外接圆与y 轴相切时正:.APB 最大，这可通过"三lll'
、
角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角"来说明.
( 1 )无数个.
(2) 二'A (1 ,0 ),B( 5,0) , :.OA = 1 ,OB = 5,AB = 4.
当点P 在y 轴正半轴上时，如图①，以AB 为边在第一
象限内作等边6.ABC ，则点C 的坐标为(3 ，2-}3).
4二泣
。IAl、TT 碍了5
图①
、
、
、
x
以点C 为圆心，AC 为半径作。C，交y 轴于点p"
且，此时LAP，B = ζAP，ß 二
卡Aα=300 ，OC 的半径为4
过点C 作y 轴的垂线CD ，垂足为D ，连接CP2
':DP2= )42-3 2= J7，λpi 0,2-}3-J7),P,( 0 ，2-}3+疗)
同理，当P 点在y 轴负半轴上时，可得P3( 0 ，一2J3+J7)，P机
2J3-J7 ).
(3 )当过点A ，B 的OD 与y 轴相切于点P 时，LAPB 最大.
当点P 在y 轴正半轴上时，如图②，此时OD 的半
y
径为3
连接DA ，作DE j_ x 轴于点E
在Rt 6.ADE 中，由勾股定理得
DE 二而A 2-AE2= -}3巧=15 ，
则点P 的坐标为( 0 ,15).
,
,
当点P 在y 轴负半轴上时，可得P(O ，-j5).
0 1 1、--2 _3A - V
x
理由:在y 轴正半轴上任取一点M( 不与点P 重合) ,
连接MA ，儿侣，MB 交OD 于点N. 连接NA ，则正APB 二
ζANB ，
所以LANB > ζAMB ，于是正APB >LAMB.
若点P 在y 轴的负半轴上，同理可证得ζAPB > ζAMB
图②
我们常处在这样的生活场景中:黑板装在何处，学生看得更清楚?看电视哪个
位置最佳?看电影哪里视觉效果最佳?
视野是指人的眼睛固定地注视一定目标时，所能见到的空间范围.
人们在自然地看物体时，视野有一定的范围，在人的视野范围内，对某一物体观
看的视角愈大，则看到愈清晰，效果也愈好.
164
此时人所处位置就是我们选择的最佳视点
"不畏浮云遮望眼，
第23 讲
| 最佳视点U
只缘身在最高层"
高处是思想的深度，精神的高度.
高处是俯视的开阔视野，是晾望的深度引领;是洞若观火的深邃，是悠然心会的
从容.
瑞士画家彼尔( 1908-1994 )运用
数学方法进行艺术创作，他在创作中
借助数学模式的力量，研究支配几何
形态构造的秩序法则.
。⑨
4叶?庐" ，!.→口
1反/j、丁F 口口
向l敖学之美探寻
1.如图，在梯形ABCD 中，AD矿BC ，对角线AC l. BD ，若AD = 3 ,BC= 7 ，则梯
形ABCD 面积的最大值为
2. 如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l与AC 成60。夹角，在直线l上取一点P ，
使得ζAPB = 30 0 ，则满足条件的点P 的个数是(
)
A.
3 个
C
60 。
A
B
B. 2 个
C.l 个
D. 不存在
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
165
黄东坡@带…时( 九年报)
3 . 如图，在平面直角坐标系中，已知点A( 0 ，8) 、B(0 ，2) ，在x 轴正半轴上求一点
C ，使ζACB 取得最大值.
y
。
C
x
4.
在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在
直线DC ，CB 上移动.
( 1 )如图①，当点E 自点D 向点C 移动，点F 自点C 向点B 移动时，连接AE 和
DF 交于点P. 请你写出AE 与DF 的位置关系，并说明理由;
(2)如图②，当E ，F 分别移动到边DC ，CB 的延长线上时，连接AE 和DF ，(1 )中
的结论还成立吗? (请你直接回答"是"或"否"，不需证明)
(3)如图③，当E ，F 分别在边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE 和DF ，( 1) 中
的结论还成立吗?请说明理由;
(4)如图④，当E ，F 分别在边DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P. 由于
点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图若AD=2 ，
试求出线段CP 的最小值.
(烟台市中考题)
166
第川
i 最佳视点U
C 参警窑案
1. 25
如图，平移AC 至DE ，则岛归BCD -卡C.BD=
决=弓P
÷DE-BD=SA川'f.6.BDE 的外接半圆，BE = 10，~则上Uλl
的高等于半径5 时，SÒBDE的值最大，最大值为+X 10 X 5 = 25. ~
…
…
C
主
2. B . 以线段AB 为边作等边6.AOB ，再以点。为圆心，AB
为半径作。O.
C
图①图②
(1)当圆心。在线段AB 上方时，如图①，此时00 与直线l有两个公共点P1 ，
P2 ;
(2)当圆心。在线段AB 下方时，如图②，此时00 与直线l没有公共点.故选B.
3.
过A ，B ，C 三点作。M，当OM与x轴相w于C 点时，正ACB 取得最大值，如
图，OB = 2,AB = 6,AM= MC = 5,CO = DM= 4 ，故C 点坐标为( 4 ，0 ).
方
法
思
维
、
应
用
之
美
y
A
B~
QI
C
4. 对于(1 )(2)(3) ，易证明AE l. DF.
0
A rs:::
.ï1, D
(4)草图如图.
卜乓~
...
..点P 在运动中保持ζAPD = 900 ,
>':
二点P 的路径是一段以AD 为直径的弧
I
γ
设AD 的中点为0 ，连接OC交弧于点P ，此时CP 的长度最小. 1./
在阳6. 0DC 中，0C = .jcv+ 百v= j2年1 2= y号，
B
:. CP = OC -
OP =J5- 1
167
C
F
x
P~I
‘~ - - - '、，
、，
心数学文化巡礼
圆具有丰厚的文化意蕴.
圆对人类精神文明、行为方式产生过巨大影响.
"人有悲欢离合，月有阴晴圆缺" 、"月上柳梢头，人约黄昏后"，中国古代诗
人、词人借圆抒怀.
天圆地方是中国的传统思想，有圆必有方、有方亦有圆、内圆外方、外圆内方
等现象比比皆是.
事业成功需
圆，典型的东方忠维模式. 在道家，圆是哲学基础与世界观的仁厚家，与伦理观念
结合而成为天人合一、国家统一的象征;在佛家，圆表现为主客观同一和变化轮
回的观念;而在禅宗，圆是诗的境界.
圆具有均匀对称、公正公平的客观性质，故国际上重大会议都以圆桌会议的
形式举行，此举在于强调国与国之间平等，无论大小、强弱.
看山是山，看水是水;看山不是山，看水不是水;看山还是山，看水还是水.在
没有圆的图形中发现圆，并添出辅助圃，是直线形和圆之间度量关系或位置关系
相互转化的桥梁.隐形的圆，犹如隐形的翅膀，实现解题中的智慧托举.
168
•
第24 讲
| 隐形的圆~ ~
E F
堂
例由
如图，E ，F是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足
AE=DF. 连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正
方形的边长为2 ，则线段DH 长度的最小值是
( 武汉市中考题)
·
分析与解
点H 随点E ，F 的运动而运动，怎样找到联系点H 与点E ，F 的
纽带是解题的关键. 易证明正AHB = 90 0 ，点H 在以AB 为直径的圆上.
根据正方形的性质和AE 二DF ，可得6. ABE且
A
E F
6. DCF ，6. ADG 旦6. CDG ，
//
I ~τ;二
#，
I A-'
-
. …
:. L_ABE = L_DCF = ζDAG ，
/
I /~弓，气" 有G
!
_l-::>-7 H气
.. ζBAH + L_DAG = 90 0 ，λ 正AHB = 90 0 ,
\
0 • / --/;
· 点H 在以叫直径的圆上运动
\\,'"
I //-/
.. 取AB 的中点。，连接OH ，连接OD 交圆于点H'
，
'，，-----~二一
根据三角形的三边关系得OH+ DH > OH' + DH'.
B
.. 点H 在圆上运动，:.OH= OH' ,
二DH'< DH.
即当点O ，H ，D 在同一条直线上时(点H 在点H' 的位置) ，DH 存在最小值.
易知OD=)言，饵'= OA 二
1 ,
..册'= OD - OH'= )5-1 ，
即线段DH 长度的最小值是)5-
1.
C
添补辅助固的常见方法有以下几种:
(1).利用圆的定义添补辅助圃. 如固①z
(2)作三角形的外接圃.如回⑨z
u耀一个四边婚前-组对角互补.则它的四个顶点共圃.如困③z
(4滞-个璜点对定巍授的张角为定角，则动点在以定线段为弦的一个圆上，
如困⑨z
方
法
m
维
••...
,JB
…
凶
,,,,
R···
da
DL串#噩--
气二γ?E
图②
、
应
用
之
美
169
回④
图③
回①
黄东坡
带你发现数学之美(九年级)
带IJ 2
如图，在四边形ABCD 中，DC//AB.BC = 1 ,AB = AC 二AD=2 ，则BD 的
长为(
)
、二ζL
A.Ji再
B.J15
C.3J2
D. 2J3
·
分析与解
依直角三角形、梯形的性质来解，计算量较大，若由条件"AB=
AC=AD" 来添出辅助圆，则能避繁就简.
作以AB 长为半径的。A ，则点C 、D 在圆上，延长BA 交圆
D/
_.----_
、户
叮ZZ
♂二乒头
二DE = BC = 1.BE = 4
得BD = .JBE2-页2= Ji言，故选B.
1900 年8 月，第二次国际数学家大会在巴黎举行，著
名的德国数学家希尔伯特开始了影响整个世纪数学进程
的演讲"有谁不想知道我们下一代的主要数学思潮将追
求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域，新
世纪将会带来怎样的新方法和新成果? "紧接着他向与会
者提出了23 个数学问题，这便是数学史上极负盛名的"希
尔伯特问题"
W
iJ3
问题探究
( 1 )如图①，在矩形ABCD 中，AB= 3,BC= 4 ，如果BC边上存在点P ，使6.APD
为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰6.APD ，并求出此时BP 的长;
(2)如图②，在6. ABC 中，正ABC = 600 ,BC = 12 ，AD 是BC 边上的高，E ，F 分
别为边AB ，AC 的中点，当AD=6 时，BC 边上存在一点Q ，使ζEQF= 90 0 ，求此时
BQ 的长;
:n: 刁气c
图①
图②
170
...
第24 讲
| 隐形的圆~!
问题解决
(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE ，山庄
A
E
保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边
I
I
AB ，现只要使ζAMB 大约为60 0 ，就可以让监控装置的效果达到
B
T"\
C
LJ
最佳，已知ζA= ζE= ζD = 900 , AB = 270m , AE = 400m ,
图③
ED = 285m , CD 二340m.
问在线段CD 上是否存在点M，使正A品1B 二60 0 ? 若存
在，请求出符合条件的DM 的长;若不存在，请说明理由.
(陕西省中考题)
方
法
m
;l!.'
维
A I、
-;}，D
I F;p7,f
c
图④
仙人
分析与解
对于( 2)(3) ，由90。、60。能想到什么?仅想到直角三角形、等边
三角形吗?符合条件的点是否存在?是否唯一?构造辅助固，将问题转化为直线与
圆或点与圆的位置关系讨论，能清晰而"圆" 满地解决问题.
(1)符合条件的等腰三角形如图④所示.
当AP=PD 时，点P 在BC 的中垂线上，BP 二2 .
(等腰l:::. ADP' , BP' = 4 - J7 ; 或等腰l:::.ADP " ,BP" = J7也
符合题意. )
(2)':E ，F 分别为AB ，AC 的中点，
田//BC ,EF =i-BC = 6
γ AD 二6 ，AD j_ BC,
:.EF 与BC 之间的距离为
3 ，
二以EF 为直径的。。与BC 相切
，
λ BC 边上符合条件的点Q 只有一个.
如图⑤，0 。与BC 的切点记为Q ，连接OQ.
过点E 作EG j_ BC ，垂足为G ，则EG= 3,
.. 四边形EOQG 为正方形.
在Rt l:::. EBG 中，ζB = 60 0 , EG = 3,
:.BG =v3, :.BQ = 3 +v3
( 3 )在CD 上存在符合题意的点M. 理由如下:
li:〓
飞飞
--，E
M⑥，构造等边AABG
JFPip-…:-:~ G 1
作GP j_ AB 于点P ，AK j_ BG 于点K ，AK 与GP 交于点。，以
上.'f~玄./
I
点。为圆心，ω 长为半径画圆，则。。为l:::.ABG 的外接圆，作
B言茄_____JD
OH j_ CD 于点H.
图⑥
、
应
用
之
美
171
在Rt l:::.AOP 中
，AP=土AB = 135 ,OA = 90v3, OP = 45v3,
2
黄东坡@带…挝美(胖组}
丁OH = 285 -
135 = 150,
而90J3> 150 ，λ00 与CD 相交.
记。。与CD 的交点为M，连接OM，MA ，MB ，
则LAMB =LAGB = 60。
..在阳6. 0HM 中，HM=而~-百= -J( 90J3 )2-1502二30J2 ，
二DM= 400 - 45J3- 30J2< 340 或DM= 400 - 45J3+ 30J2> 340( 舍去)
:.CD 边上符合题意的点M 只有一个，二点M 就是符合要求的点.
故DM= 400 -
45J3- 30J2=279. 63(m). (保留根号也正确)
美国克雷数学研究所于2却O∞O∞O 年5 月
2μ4 日在巴黎法兰
西学院宣布七个"千禧年数学难题
兀..
伊~4
在平面直角坐标系中，已知两定点A ( 一
1 ，0) ，B(4 ，0 ) ，抛物线y 二d+bx- 2
( α*0)过点A ，B ，顶点为C ，点P(m ，n)(n < 0)为抛物线上一点
(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标;
(2)当LAPB 为钝角时，求m的取值范围.
(昆明市中考题)
·
分析与解
对于( 2) ，条件ζAPB> 90。说明点P 在以AB 为直径的圆内，
添加辅助圆，求m 的取值范围，形象而直观.
1 ,
3
~
1 I
3 \ 2
25
~ I 3
25 \
(1 )γ=~r- ~x- 2-一(x 一→)一，C ( ~ ,- ~oJ )
.J'
2~
2~
~
2
飞
2)
8
飞2'
8)
( 2) 由题意知点P 在x轴的下方，如图，设抛物线与y
轴的交点为D ，点D 关于抛物线对称轴对称的点为E ，连
接AD ，BD ，AE ，BE.
易知D(O ，-
2) ，则AD = J百丰百歹=-J言，BD =
d万平百~= 2.j5,AB = 5
二A~+B~=AB2 ，即ζADB = 900 •
由抛物线的对称性可得，点E(3 ，一2) ，LζAEB=900 •
172
y
x
C
•
第24 讲
| 隐形的圆U
以AB 为直径作圆，则点D ，E 均在圆上，抛物线上点A 到点D 及点E 到点B 之间的
部分在圆内，当点P 在这两个范围内运动时，满足正APB 为钝角，
:.m 的取值范围为
l<m<O 或3 < m < 4.
定点定长，定线定角;藏"圆"于题，化隐为显.
在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决.
适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复
杂性，有时在图中并不需要画出圆，可谓"图中无圆，心中有圆"
利用数学智力玩具"繁花曲线规"，用大小不同
的塑料齿轮滚动，就可以画出内摆线、玫瑰线等繁花
似锦的图案.
命!数学之嫌寻
1. 平面内有四个点A ，O ，C ，B ，其中ζAOB = 1200 ，ζACB = 600 ,AO = BO =
2 ，则满足题意的OC 长为整数的值可以是
( 江西省中考题)
方
法
2
蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7 个形状、大小完全
相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，6.ABC 的
r"\l/ 、'
顶点都在格点上，设AB 边如图所示，则6.ABC 是直角三角形的有
、二与午4主与"
A ;
~ B
(
)
(厦门市中考题)
、
思
维
、
应
用
之
美
173
D. 10 个
C. 8 个
B. 6 个
A.
4 个
时@ 惜你发现敖学校( 九年级
3 . 如图，AB ..L BC, CD ..L BC ，垂足分别为B ，C .
( 1 )当AB = 4 ,DC = 1 ,BC = 4 时，在线段BC 上是否存在A
f;"-...._
点P ，使AP ..L PD? 若存在，求线段BP 的长;若不存在，请说明理1\ ~ D
由;
I \_ /
I
(2)设AB= α ，DC 二b ，AD=c ，那么当。，b ，c 之间满足什
B
P
C
么关系时，在直线BC 上存在点P ，使AP ..L PD?
(南京市中考题)
4. 发现
如果LACB= ζADB = 90 0 ，那么点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上(如图①) .
思考
如图②，如果ζACB= ζADB=α(α手90 0 ，点C ，D 在AB 的同侧)，那么点D 还
在经过A ，B ，C 三点的圆上吗?
证明:如图③，过A ，B ，C 三点作圆，圆心为0 ，假设点D 在00 外，设AD 交。。
于点E ，连接BE ，则正AEB= ζACB . 又由ζAEB 是LBDE 的一个外角，得ζAEB>
ζADB. 因此ζACB> ζADB ，这与条件ζ~ACB= 正ADB 矛盾，所以点D不在00 外.
A
B
D
盼
A
图①
图③
经证明点D 也不在00 内.
应用
利用[发现]与[思考]中的结论解决以下问题:
在四边形ABCD 中，AD //BC ，正CAD = 90 0 ，点E 在AB 边上，CE ..L DE.
174
第叫隐形的圆V
(1)作正ADF= ζAED ，交CA 的延长线于点F( 如图④).求证:DF 为Rt L>ACD
的外接圆的切线;
(2)如图⑤，点G 在BC 的延长线上，L.BGE = ζ归C 己知sinL.AED = ; ,AD
C
图⑤
( 镇江市中考题)
G
A
B
D
=
1 ，求DG 的长.
图④
B
参警备案
18
1. 2 ,3 ,4.
如图①，当四边形AOBC 为凹四边形时，CO=AO=BO=2 ，如
图②，当四边形AOBC 为凸四边形时，点A ，O ，B ，C 在OM上，连接AM，Mß ，得
L>AMO 为等边三角形，MA < OC~三2MA ，即2 < OC~三4 ，OC 可取整数3 和4.
B
\i/
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,
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,
二
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，
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C
A
A4\\ .
JJJ
方
法
m
. c，、
维
、
应
用
之
美
2. D.
当AB 为直角边时，如图①所示，点C 有6 个位置; 当AB 为斜边时，如图②
所示，点C有4 个位置，综上所述，L>ABC是直角三角形的有6 + 4 = 10(个) ，故选D .
，
、，'"
...
A曲
"，1.. -
.. 、
... ..
A l「-「-1'B
A 「寸←寸B
. .
、
.
、.' .
图①
图②
175
黄东坡
带你发现数学之美( 九年级)
AB
PC
3. (1)假设存在点P. 使AP j_ PD . 设BP = x . 由6APBC/) 6PDC.t导BP - CD'
4
4
EH77主，得x=2 故当BP= 2 时，在线段BC 上存在肝胆P j_ PDj
。+b
(2) 当以AD 为直径的圆的圆心。到直线BC 的距离小于或等于半径，即
2 一
运亏，即当α + b~c 时，在直线BC 上存在阳，使AP j_ PD
4.
(1)如图①，取CD 的中点0 ，作Rt6ACD 的外接圆，点E 也在00 上，证明
ζ CDF= 90 0 ，得DF 为Rt6ACD 的外接圆的切线.
(2)如图②，作Rt6ACD 的外接圆。0 ，点D 在过C ，A ，E 三点的圆上，点G 也
• /'J 1
在00 上，得四边形ACGD 为矩形，sinLAED = sinμ CD=τ ，DG =AC =亏土
F
B
图①
C
B
图②
G
176
(七)
、~ - - - ~、，
、
心数学文化巡礼
法国著名数学家庞加菜曾说"能够作出数学发现的人，是具有感受数学中
的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人"
美的最大特征是具有感性形象.自然界总是以其悦耳的声音、绚烂的色彩、
突兀的形式呈现它的多姿，艺术是通过典型的形象来博得人们的赞美，数学的美
则表现在严谨的理论结构、简洁明快的数学语言、应用广泛的思想方法，基本特
征是简洁性、对称性、统一性、奇异性、思辩性.
圆是一种"完美"的图形，与圆相关的定理简洁、别致，给人美惑，令人陶醉，
使人赞叹.
如图，圆的面积公式、扇形面积公式、扇环面积公式如此相似，展现了数学公
式的统一之美.
o
0
A
'l
'
A/
h λβ
人_j_/B
及三_)D
S=土cr
S=lrl
S=ld(ll+l2)
2
统一性既是数学家追求的目标之一，又是数学美的特征之一.统一性能帮助
人们既关注细节，又把握整体，并产生伟大的发现.
托勒密地IL，\体系
177
黄东坡@ …敛学之如九年银)
〈领顺页。〉
数学智慧讲堂
当一个轮子在一条直线上平稳地滚动，轮
子上的一个固定点所留下来的轨迹曲线叫摆
线.1 7 世纪，惠更斯发现了摆线的等时性，设计
出有钟摆的时钟，摆线因此而得名.伽利略发现
了与摆线相关的重要结论:摆线弧长是轮子直
径的4 倍，摆线拱形面积是轮子面积的3 倍.
例
l
托勒密定理
圆的内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.
如图，已知四边形ABCD 内接于00 ，
求证:AB. CD 十AD • BC = AC • BD.
B
，
分析与解
易证当ζBAC = ζDAC 时的情形，不妨设正BAC > 正DA C.
在ζBAC 内部作ζBAE=LCAD 交BD 于点E ，如图
又正ABE= ζACD ，λ 6ABE<ι/)6ACD ，
• AB
BE
一__一一，即AB • CD = AC • BE (
,
. AC
CD
. AD
ED
同理6AEDC/) 6ABC ，
• 一一_-一
. AC - BC'
:.AD • BC = AC • DE
(,
由①+②得AB. CD + AD. BC = AC(BE + DE )二AC .BD.
例2
蝴蝶定理
如图，过圆的弦AB 的中点M引任意两条弦CD ，EF ，连接E
ED ，CF 分别交AB 于P 、Q 两点
求证:PM 二QM.
178
C
第2 讲
| 美的定理U
'
分析与解
上述问题出现在1815 年的杂志《男士日记》上，因其几何形象
奇特，形似蝴蝶，故称"蝴蝶定理"，问题刊出后出现过许多优美的解法，下面证法仅
供参考
如图，过圆心。作DE ，CF 的中垂线，垂足为S ，T，连结
OP,OQ ,OM,SM,TM.
E,
6EMD ∞ACMFi m =÷DE ，F =÷α，
DS
DM
.. TF
FM'
又ζD= ζF ，
二6 MSDω 6 MTF.
二LMSD= ζMTF ，即ζMSP = 正MTQ ，
:. LPOM = 正MSP ，即正MTQ = 正QOM，
γ O ，S ，P ，M 与O ，T，Q ，M 均是四点共圆，
.. ζPOM= ζ QOM，
':OM j_ AB,
:.PM= QM.
例3
西姆松线
从三角形外接圆上的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线，这条直线叫西姆
松线，是以英国数学家西姆松命名的
如图，已知P 为6ABC 外接圆上一点，PD j_ AB 于点D ，
PE j_ BC 于点E ，PF j_ AC 于点F.
求证:D ，E ，F 三点共线.
A
方
法
、
思
维
、
应
川
之
美
179
·
分析与解
只需证明正PED + ζPEF = 180。即可.
连接PB ，PC ，':P ，B ，D ，E 四点共圆，
λ ζPED+ ζPBD = 180。
又ζPEF = ζPBD ，
.ζPED+ ζPEF = 1800 .
即D ，E ，F 三点共线.
直线DEF 称为"西姆松线"
黄东坡@带…时(九极)
例4
欧拉线
欧拉在1765 年发表了如下这一令人赞叹的定理.
如图①，已知!:::.ABC 中，。、H、G 分别为其外心、垂心、重心，
则O ，G ，H 在一直线上，且GH= 20G.
图①
·
分析与解
欧拉是通过如下预备命题证明的
: 如图②，设!:::.ABC 的垂心为
H ，外心。到BC 的距离为OE ，则AH= 20E.
在图①中，作OE j_ BC 于点E ，由垂径定理知E 是BC 的中点，连结AE ，中线AE
交OH 于点G 1 •
γ 点H 为l::. ABC 的垂心，
λ AH
j_ BC ，又OE j_ BC ，
:.AH/ OE,
二!:::.AG 1H ∞!:::.EG 1 0 ，
• AG1 _AH
..EG1 -
EO'
由预备命题得，AH=20E ，
图②
:.AG1 : G1E = 2 : 1.
因此G 1在AE 的2 : 1 处.已知重心G 也在中线AE 的2 : 1 处，从而得到点G 1
就是重心G ，即O ，G ，H 在同一直线上.
由l::.AGH<ω !:::.EGO ，得对应边成比例，
OG
OE
1
GH
AH
2'
:.OG 二÷GH ，即臼= 20G
437
A
U
'
I
A
崎
n
y
叮
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吨
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Z
J
A
吁
吁
，
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a
幅
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F
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·
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·
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4
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吨
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o
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O
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句
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O
句
3
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"
吨
，
"
n
y
『
I
Z
J
ε
J
A
U
哼
I
M
式子(1 + ! r会随着n的增大而增大，当n无限增大
时，(1 +士r无限地接近于一个常数，这个常数就是欧拉
数e ，e 是一个无理数，左图是它的近似值.
e 是数学中最重要的5 个常数之一，它如同圆周率π
那样，广泛出现在数学及其他各个领域中.
180
第川
| 美的定理U
与圆相关的优美定理精彩纷呈，如:
蒙日三圆定理:
如图，三个大小不等的圆中，任意两个圆的两条
外公切线都相交于一点，这三个交点共线.
这是法国数学家蒙日证明的定理.
眼球定理:
如图，过两个圆的圆心分别作另一个圆的切线，
则切线与两圆相交的交点之间的线段相等.
九点共圄:
如图，三角形各边中点、三条高的垂足、各顶点
与垂心之间的中点，这九点共圆
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
自古希腊数学家毕达哥拉斯提出
为许多数学家、科学家的孜孜追求.
张奠宙教授曾提出欣赏数学美的四个层次: 美观、美好、美妙、完美.
任意三角形的三条高( 三条中线、三条角平分线)交于一点，抛物线可用方程y二
阳2+hx+c 刻画，面对一个挑战性的数学问题，在我们冥思苦想，"山重水复疑无路"
之时，忽然茅塞顿开，‘柳暗花明又一村"，经历怦然心动、豁然开朗、悠然心会的心路
历程，必然感受到的是成功的喜悦和心灵的愉悦，这就是数学美的第三个层次一一
美妙
一个学生，如果在挥汗耕耘后，满脑子仍然是抽象的理论、干巴的公式、乏味的
定理，而不能透过公式、定理、符号去体验和捕捉数学的神奇与优美，那将是一种遗憾.
一个学生，如果能从数学学习中体验到自然的哲理与诗意，领悟到自然的和谐
与秩序，那么必然情灵摇荡，胸襟开阔.
181
黄东坡@带…时( 九年级
1.阿基米德折弦定理:
德国著名物理学家海森堡曾说"在精密科学中，
丝毫不亚于在艺术中，美是启发和明晰的最重要的源
泉.我感到
，透过原子现象的外表，我看到了一个美丽的
内部结构.当想到大自然如此慷慨地将珍贵的数学结构
展现在我眼前时，我几乎陶醉了"
如图，已知MQ ，QN 是00 的两条弦，且MQ> QN ，K 为
K
MQN 的中点，KH .l MQ 于点H ，求证:MH= HQ + QN.
2. 欧拉走理:
如图，在l:::. ABC 中，已知0 为外心，1 为内心，R 为外接圆
半径，r 为内切圆半径，求证:10 2 = R2_ 2Rr
182
第川
| 美的定理叫
参警备案
s
N
1.如图，在MQ 上截取ML = QN ，连接KL ，KQ ，证明t:::. MKL旦t:::.NKQ ，得
KL =KQ ，从而LH=HQ.
K
:.MH= 皿+LH = HQ+ QN.
/' /以
Y H
L
2 . 如图，过点I 作。。的直径EF ，连接A1 并延长交00 于点D ，连接B1 ，过点I
作1G j_ AB 于点G ，
则1E • 1F = A1 • 1D (,
又易证BD=D1 ，
方
法
由正弦定理得BD = 2Rs吟，
在Rt t:::.AG1 中，AI =Jz
smτ
二A1' 1D =2Rr ，代入①得1E' 1F = 2Rr,
即( R + JO)(R _ 10 )= 2Rr,
二Iσ = R2_ 2Rr.
江t
'也、
维
、
应
用
之
美
183
"( )
心? 数学文化巡礼
开普勒是德国物理学家和数理天文学家.
1595 年7 月
19 日的天文课上，开普勒突发异想:发现一个正三角形内切圆
半径与外接圆半径之比，大致等同于哥白尼《天体i运主行论》中木星与土星均轮半
径之比，顿悟到其中的
之谜得以真相大白，人类的理性文明突飞猛进.
三角形是最简单的封闭图形，是研究几何的基础，是从简单到复杂的典范.
麻在虽小，五脏俱全.
三角形涉及一些重要的点，分别是重心、垂心、外心、内心，简称三角形的"四
心"，最早的发现和应用可追溯到古巴比伦人.
三角形三个内角的平分线的交点叫三角形的内心，内心也是三角形内切圆
的圆心.
如图，设。I是L.ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，
F ，若BC= α ，AC = b , AB = c , 01 的半径为r ，p =
÷(α + b + c) ，则
(1)LBIC=90。十÷ζBAC ，LAIC = 900+
÷ABC ，ζAIB = 900 +卡Aα;
B
D
(2 )AE = AF = P -
a , BF = BD = P -
b , CD = CE = p -
c;
(3 )SðABC= P • r;
(4 )L. DEF 为生兑角三角形.
从一般到特殊，从三角形内心出友，可探寻更多的结论.
184
A
C
第川
[ 从内心出发Ua
数学智慧、
督IJ 1 面积为定值m 的!:::.ABC 中，其内切圆切AB 于点D ，切AC 于点E ，切BC 于点
F ，证明下述三个命题彼此等价:
(1 )AC ' BC 取最小值;
(2)!:::.ABC 为直角三角形;
(3)AD' BD = m.
B
·
证明
如图，由切线长定理可设
[=AD 二AE，
y=BD=BF,
z= CE 二CF.
由海伦公式，有m =.Jp(p -
a) (p -
b) (p一c)=
飞/(X + y + z )xyz,
α +b+c
其中p=一
2一一一=X+y+z 这时
AC'BC =(X + z)(y + z)= 砂+ z(x + y+ z)
=2) (x + y + z)xyz+[~- .Jz(x + y + Z)]2
2主2飞/(x + y + z)xyz
①
= 2m
所以AC'BC 取最小值2m.
由①取等号得砂= z(x + y + z)= m
(,
注意到AD
' BD = 砂=m ，
已得到( 1 )∞(3 )
继续由②两边乘2 后加上r+y ，得
(x + Y )2=(X + z )2+(y + z )2，即AB2 二ACZ+ BCZ牛羊!:::.ABC 为直角三角形
这个证明的代数含义是xy + z(x + y + z)取最小值.
D
x
A
方
法
J也
纬;
A
如图，设。I 为Rt!:::.ABC 的内切圃，Rt ð.ABC 的三边长分
别为a ，b、c(为斜边长)，则
(1 )四边形IDCE 是正方形;
a+b 一c一
(2) 内切圆半径r=一一一一一一一一一一一·
2
0 + b + c'
(3 )SIJ..ABC= AF. BF.
、
应
用
之
美
B
185
C
黄东坡@…数时(九年级)
~ 2 如图，00 是等边f::.ABC 的内切圆，与AB ，AC 两边
A
分别切于D ，E 两点，连接DE. 点P 是劣弧DE 上的一个
动点(不与D ，E 重合) ，过点P 作PMl_ AB 于点M，PNl_
AC 于点N ，PK l_ BC 于点K ，PK 交DE 于点L
求证: ( 1 )PL2= PM' PN;
(2)JjiK=.)面+JPN.
B
K
C
·
分析与解
本例条件简明，结论优美，等边三角形、圆的性质及对称性结合
在一起，由条件得(1 )PM + PN + PK 是一个定值;(2)DE 为等边f::.ABC 的中位线，
这两个结论是简化证明的有力支撑，对于(2) ，通过平方脱去根号，再寻求线段之间
的数量关系.
186
( 1 )连接PE ，PD ，
咀PN
PE
由Rt f::. PNE<∞Rt f::.PLD 付
=
PL
PD'
PE
PL
由Rt f::.PLEωRt f::. PMD 得一一=
PD
PM'
. PN _ PL
一一=一一，得PL2 = PM' PN.
• PL
PM
(2) 由PM+ PN+ PK= 2LK ，得PM+ PN= 2LK-PK.
':PL 二.JPM' P斥，
川JIiM+JP市)2
= PM+PN+ 2.)丽7百
= PM+PN+ 2PL
= 2LK - PK + 2PL
= 2(LK + PL)- PK
=PK,
:. Ji主=Ji拍+Ji有.
第叫
| 从叫发U
倒3
如图，取一个任意L.A J3oCo ，作它的内切
G
D1
_./飞
圆，三个切点确定一个新的L. A 1B 1 C
，然后对后
工~手总
/7 \'~ A1
者做同样的事.这个过程称为迭代如果我们一
/( 创)ìC
且
次一次不停地迭代下去，就得到一个迭代三角
//二气"干ff-)\
形的序列很显然，它的尺寸越来越小，迭代三
Ao
、'l Bo
角形最终趋向于一点，但我们的问题是:这些三
角形的形状最终会是怎样呢?
·
分析与解
解决问题的关键是能否找到这个迭代过程的一般规律，即下一
次的迭代三角形和目前的迭代三角形的关系.
易得正~A ，= 900 -土LAo ，正B ，= 900-+ζBo ，ζC= 90。一土LCo ，于是有:LAn
2
二90。一土LAn- ' ，ζBn= 90。
土ζBn- ' ，ζ Cn= 90。
工ζCn- I •
2
设f(巾900一号，任取一个初始点Xo ，代入得一个数列:
XO ,XI= j(XO) ,X2= j(XI) ,… ,Xn= j(Xn- I). 依次代入函数表达式，就有
(~~
1
\
~~
90
, 1
Xn= 90 - ; Xn- I= 90
τ\90 - ; Xn- 2) = 90τ+ 22 Xn- 2
1. ,(
1 \ 1 , 1
= 9011 +\一剖1+ 2
2 X n-2 = …
二90[ 1 + (寸)+(寸) 2++(J - 11+节。
9O[ 1 一(一+rL (一
1 )工
l 一(_+)
,
2
n
叫
r. (
1 \ n1 , (一
1 )n
= 6011 -\一刻
1+丁-n- XO
当n 趋向无穷大时，Xn总是趋向于60 0 ，与XO无关.于是得:任给一个初始三角形，
由内切圆确定的迭代三角形，其形状越来越趋向于一个等边三角形-
方
法
、
应
m
m
之
美
J思
维
国球、国罐类商品怎样排列最节
省空间?这是生活中常面临的问题.
如图是最常见的两种排列方式. 若定
一圆罐总面和
义空间占用率一
c，.."则可
所占货架面积
求得:正方排列的空间占用率为
卡。78执六方排列的空间占用率
为J3 x卡0.90ω
③
六方排列
国
正方排列
187
黄础每3 倍叫数可九年级)
三角形的内心和旁心
如圈，与三角形的三边都内切的圈是唯一曲，与三角
形的一边外切、与另两边的延长钱内切的圃有三个.
该三角形的三条内角平分巍和三条外角平分巍形成
一个大三角形及其三条高，它们的交点是这些圆的回心.
开普勒经过18 年的不断探索，终于发现了以他的名字命名的行星三大运动定
律，在1619 年出版的《宇宙和谐论》中正式公布了这一用数学形式描述的结果，并指
出"对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这
些正是上帝用数学语言透露给我们的"
开普勒的墓碑上刻着他自己写的墓志铭:
"我曾观测苍穹，今又度量大地.
灵魂邀游太空，身躯化为尘埃"
数学是一座美丽的花因，一片深邃的海洋，一个奇妙的
品'数| 世界
学
|
正如杨振宁教授所言"任何科学领域都存在美，只要
你能用心发现它的美，你就能攀登到科学的顶峰"
命!数字乏黯
1.如图，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30 0 ，
得正方形AB' C' D' ,B' C' 交CD 于点E ，AB= J3，则四边形
C'
AB'ED 的内切圆半径为
(遵义市中考题)
D'
188
B
_...
第26 讲
! 从内心出发~，，:
D
C
F曰J
2. 如图，正方形ABCD 的边长为
1 ，中心为点0 ，有一边A
长大小不定的正六边形EFGHIJ可绕点。任意旋转，在旋转
过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内(包括正方形
的边).当这个正六边形的边长最大时，AE 的最小值为
(台州市中考题) B
3 . 如图①，在面积为S 的6.ABC 中，BC= α ，A C = b, AB = c ，内切圆0 的半
径为r ，连接OA ，OB ，OC ，6.ABC 被划分为三个小三角形.
s=s叫
2S
r =
。+ b +c'
C
丹\
~
F ‘同E
A f/〈O JY ‘-----~ ~
c
U
D
图①图②图③
(1)类比推理:若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆) ，如
图②，各边长分别为AB= α ，BC = b , CD 二c ，AD=d ，求四边形的内切圆半径r;
(2)理解应用:如图③，在等腰梯形ABCD 中，AB/ / DC, AB = 21 , CD = 11 ,
AD = 13 , 001与002分别为6.ABD 与6.BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r1和
B
A
C
B
A
方
法
r2 ，求去的值
日'
，由、
维
、
应
用
之
美
189
时@ 常叫敛挝美( 九年级
4 .
如图，在Rt .6.ABC 中，已知CD 是斜边AB 上的高，0 ，0"α 分别是.6. ABC ，
.6.ACD , .6. BCD 的内心.
求证:( 1 )O,O.l CO2 ;
(2)OC =0,0 2.
愈强弩番案-
A
3 - ..J3
1.- 3U. 设四边形AB'ED 的内切圆圆心为0 ，则OG=DG ，OG=AG.tan30 0 .
川-1
2. 巳?一.
如图，当六边形的边长最大时，正六边形的边长等于正方形内切
圆00 的半径，即OE=÷ ，AE 的最小值为AO- OE .
A
2S
3. (l)r =
。+b+c+d.
(2)过D 点作DE .l AB ，可得AE= 5, DE= 12 , BE=
土(AD + BD + AB). r,
S "' ABD_ AB _ 2
16 , BD = 20 ，由一一-一一一
.
，得B
l
飞---- ~ "I C
S MCD
DC
1
Aω
言(BC + CD + BD). r2
r,
14
r2
9.
190
4. (1)γ LA= ζDCB ， :. LEAC = ζ 02CB ，
λζEAC+ ζACE = L02CB +ζACE = 900 ,
即ζAEC = 90 0 ，λ0 ，O .l C02 .
(2) 由于点。，，02分别在正ACD 和LDCB 的平分线上，
:. LO,C02= 45 0 •
由( 1 )有ζ O ，EC = 90 0 ，人CE= O,E.
同理可得OzF.l CF ，ζ OOzE = 45 0 , OzE = EO ,
又ζ CEO = L OzEO, ,
:. .6. CEO旦.6. 0 ，E02 ，
:.CO = 0 ,0 2•
Pìj
、‘- - --
、，
G 数学文化巡礼
静止是相对的，运动是永恒的，客观事物总处于运动变化、相王联系、相互转
化中.
波兰天文学家哥白尼(1473一1543 )根据长期观测提出的"日心说"是向中世
纪神学与宗教的黑暗统治宣战，他的《天体运行论》拉开了文艺复兴的序幕.
我们已经知晓，地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星都运行在
椭圆轨道上，人造卫星和宇宙飞船的运行轨道都是椭圆形.
点动成线、线动成面、面动成体点是构成图形运动的最基本元素.
运动的点总是有迹可循的，点动成线，为直线或曲线，当我们能揭示动点的
轨迹时，常能有效降低问题的难度，在求路径长、探求几何最佳等方面有广泛的
应用.
CI…·
O.
.!....~咽刷
~础._嗣同.
的
最奇怪的数是什么?无穷大到底有多大?数学怎
样带来财富?我们能创造一种不可破解的密码吗?数
学能预言未来吗?……本书阐述了数学中最重要、最深
刻的一系列"大问题，引领我们进入数学的各个分支领
域，把握当代数学的基本情况"
191
时@带…时(九年佩)
如图①，已知AB = 10 ，点C ，D 在线段AB 上，且AC=
F
DB = 2. P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段
AB 的同侧作等边6.AEP 和等边6.PFB ，连接EF ，设EF 的中
E
点为G. 当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长
是
A
(张家界市中考题)
·
分析与解
明确点G 的运动路径，依点G 的特殊位置求移动的路径长.
如图②，分别过点E ，G ，F作CD 的垂线，垂足分别是M，
F
H，N ，则GH=-t(EM+FN) 设AP = α
.: 6.AEP 和6.BFP 都是等边三角形，
13 _ DAT _ 13
.·.EM-3叮，FN = v2
J
( 10 - a),
GH =+r~a+丘(1 0 - a) 1=主丘
2 I 2 ~ , 2 "V
~/ I
这表明点G 到CD 的距离是一个定值，故点G 的运动路径是线段.
如图③，当点P 在C 点时，相应的点G 的位置就是它的起点，当点P 在D 点时，
相应的点G 的位置就是它的终点，分别为图中的G"G2 •
.: AE,// CF, ,DE2// BF2 ，延长AE，和BF2交于点Q ，连接QC
和QD ，
二四边形E，CF，Q 和四边形EzD}三Q 都是平行囚边形，
而
G，和G2分别是E，F，和EzF2 的中点，由此可以得G，、G也分别是
QC和QD的中点，二G，G2是6. QCD 的中位线.
γ CD= 6,
λ G ，G2 = 3.
在几何中.把具有某种性质的运动的点组成的几何叫做具有这种性质的点的轨迹.
因点运动而生成的轨迹基本的形式是:
( 1 )到线段两端距离相筝的点的轨迹是线段的垂直平分线.
(2 )到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.
(3 )对巳知线段的张角等于定角α( 0 0 ,_ 180 0
)的点的轨迹，是以已知线段
为弦. 所含圆周角等于U的两段弓形弧.
( 4 ) 到一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于已知直线且位于
直线两端井和这条直线的距离等于定长的两条平行线.
192
..0
第27 讲
| 有迹可循~.:
B
A
C -
p
图①
B
例2
如图①，在Rt L，ABC 中，正C = 900 ,AC = 6,BC = 8 ，动点P
从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒l 个单位长度的速度运动，动点
4
Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2 个单位长度的速度运动，过η
点P 作PD//BC ，交AB 于点D ，连接PQ ，点P ，Q 分别从点A ，C 同
时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时
间为t 秒(t注0).
( 1 )直接用含t 的代数式分别表示:QB=一一一，PD=一一一·
(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形?若存在，求出t
的值;若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动) , •
使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度
Q
( 3 )如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M所经过的
A
C -
p
图②
路径长.
( 福州市中考题)
解
( 1 )QB = 8 -
2t; PD =手t
(2)不存在，如图①，
在Rt L，ABC 中，ζC = 900 , AB = 6, BC = 8,
λ AB = 10.
.:PD//BC,
λ L，APD ω L，ACB ，
. AD
AP "'HAD
t
=一一，即一一二一
• AB
A C ,-,. 10
6 '
··AD=÷t,
'
方
法
、
应
用
之
美
lJ1
ι=、
纠:Ij
193
:.BD = AB - AD = 10 一二t
γ BQ//DP ，
λ 当BQ = DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形.
12
即8 -
2t 二了t ，解得t=了
12 M'
~~
4 " 12
16
~~
. ^
5 " 12
当
t =一一-时，PD =一× 一一=一一，BD 二
10 一一×一一二6 ，
3 "
5
5' ~~
• v
3 " 5
二DP=I=BD ，:.口PDBQ 不能为菱形.
设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，
则BQ= 8 一叽凹=争，BD = 10 一争，
要使四边形PDBQ 为菱形，则PD=BD = BQ .
黄东坡
带你发现敛学之美(九年级)
l 。
当PD = BD 时，即τt = 10 一τt ，解得t 二了·
10 w'
"H 4 ,, 10
n
10
自
16
当PD=BQ ，t=亏一时，即了×了=8 一亏一V ，解待v -
15 '
斗点Q 的速度为每秒12个单位长度时，经过JF秒，四边形PDBQ 是菱形
( 3 )下列解法供参考:
如图③，以C 为原点，以AC 所在直线为x 轴，CB 所在的
直线为y 轴建立平面直角坐标系
依题意，可知0 ::三t :::.三4 ，当
t = 0 时，点M1 的坐标为( 3 ，0 ) ;
当
t = 4 时，点M 的坐标为( 1 ,4 ).
设直线M1M 的解析式为y = kx + b,
|3k+b 二0 ，
._回ik=-2
k + b = 4 ，
…付
b = 6.
二直线M1M 的解析式为y =- 2x + 6.
γ 点Q( 0 , 2t ), P( 6 一九0 ) ，
.. 在运动过程中，制PQ 中问的坐标为(午，t)
把x=豆?二t代入y = - 2x +6 ，得y =-2 X豆尹+ 6 = t,
. 点M在直线M1M2上.
过点M 作MN .l x 轴于点N ，则M~ =4 ，MN =2 ，
λ M1M=2.Js
.. 线段PQ 中点M 所经过的路径长为2.Js单位长度.
x
例3
等边!:::.ABC 的边长为6 ，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连接AF ，BE ，相交于点
P.
( 1 )若AE= CF;
A
①求证: AF=BE ，并求ζAPB 的度数;
②若AE=2 ，试求AP'AF 的值;
( 2 )若AF= BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求
点P 经过的路径长.
( 金华市中考题) B
F
C
·
分析与解
问题( 1 )对问题( 2 ) 的解决具有启发性，但若AF 二BE ，有AE=
BF 或AE= CF ，这是容易出错的地方.
( 1 )①由!:::.AFC旦!:::. BEA 得正APE = 60 0 ，丘APB = 120。
194
第川
| 有迹可循U
A
②由
f::::.APBω f::::.ACF 得AP • AF = AE • AC = 12.
(2)若AF=BE ，有AE=BF 或AE=CF 两种情况.
当AE=BF 时，如图①，此时点P 经过的路径是AB 边上
的高线CH.
C
在R山町中，CH
α
'H=孚争AC巨= 3J3
λ 此时点P 经过的路径长为3J3.
当AE=CF 时，如图②，点P 经过的路径是以A ，B 为
B
端点的圆弧，且ζAPB = 1200 ，则圆心角ζAOB = 1200 ,
过点。作OG l_ AB ，在Rt f::::.AOG 中，石AOG = 600 ,
AG
_ r;:
OA =~一一百=2、3 ，
sin600
-
V ~
l一旦c=l20 XπX 2)3
180
180
4、
3
7π
此时点P 经过的路径长为主孚π
所以，点P 经过的路径长为3J3或学π
质点运动有诸多特征，这些特征对问题解决有启迪作用.常用的特征有以下一些:
运动有相对，主动从动;
运动有始末，动静互化;
运动有轨迹，或直或曲;
运动有不变，动中觅静;
运动有数量，常量变量.
运动与变量既是一类问题，也是一种观点与思维方法.运用运动变化的观点，可
以把表面看起来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中定值、最值问题的方法;
更一般地，对一个数学问题，努力去发掘更多结论和不同解法，通过弱化或强化条件
来探寻新的结论，这就是一种重要的思维方式一一"动态思维"
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
成功解决问题的关键在于心理因素和非心理因素方面的
战略规划、战术方面的运用以及联系广泛的思维视角自由转
换.
195
理
, ...
~~-ζ占. "比，可'-. 、
A
怎样'间也
v~
E句'血.IX~'~I、_，
留幽
黄东坡
带你发现数学之类( 九年饭)
l
如图，四边形ABHK是边长为6 的正方形，点C ，D 在A ，c f
!2-,B
边AB 上，且AC = DB = 1 ，点P 是线段CD 上的动点.分别
以AP ，AB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形
BRQP ，E ，F 分别为MN ，QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点
为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为
(河南省竞赛题)K
Q
F
2.
如图，已知线段AB = 10 ,AC = BD = 2 ，点P 是
F
E
CD 上一动点，分别以AP ，PB 为边向上、向下作正方形
APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为0 1 ，02 ，当J/ Ql\| P
点P 从点C 运动到点D 时，线段。102的中点G 的运动路
径长为
(桂林市中考题)
3. 问题思考:
如图①，已知AB= 8 ，点P 为线段AB 上的一个动点，
分别以AP ，BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE
H
(1)在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗?如果是，求出该定值;如
果不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
(2)分别连接AD ，DF ，AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在6.APK ，6. ADK ，
6. DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由
D
C
E
F
。
A
B
A
P
B
图①
图②
问题拓展:
(3)如图②，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P ，Q 在正方形ABCD 的边上运动，
且PQ= 8 ，若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路向D 点运动，求点P 从点A
196
...
第27 讲
| 有迹可循!J..:
到点D 的运动过程中，PQ 的中点。所经过的路径长.
(4) 如图③，在"问题思考"中，若点M，N 是线段AB 上的两点，且AM=BN
= 1 ，点G ，H 分别是边CD ，EF 的中点.请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，
GH 的中点。所经过的路径长及OM+OB 的最小值.
F
H
E
NB
图③
(连云港中考题)
MP
A
也
♀-，B
1. 2.
设KH 的中点为S，连接PE ，ES ，SF ，PF ，PS ，
A
..可证明四边形PESF为平行四边形，二G 为PS 的中点，
即在点P 运动过程中，点G 始终为PS 的中点，所以点G 的运
动轨迹为t:. CSD 的中位线.
γ CD = AB - AC - BD = 6 -
1 -
1 = 4,
.点G 移动的路径长为÷× 4=2
H
K
2 .
3 J2. 如图所示，当点P 移动到C 点以及D 点时，因为正
方形APEF 和AP'E'F' 有公共的顶点A ，故AE 和AE' 在同一直
线上，同理，BH 和BH' 也共线，故G 点移动路线是线段GG'
.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
197
3. 问题思考:
( 1 )当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值. 设
AP=x ，这两个正方形的面积之和为y ，则BP = 8 -x ，所以y
=r+(8 -x )2二2r- 16x + 64 = 2(x -
4 )2+ 32. 所以当x
=4 时，这两个正方形的面积之和y 有最小值为32.
黄东坡
带你发现数学之美( 九年银)
(2 )L:.APK 与L:.DFK 是面积始终相等的两个三角形.
由(1)知:AP = x , BP = 8 _ x.
当o <x~三4 时，因为EF//AP ，所以L:.APK<ω ðFEK ，
PK
AP
川
、
xC 8 _ x)
x!
所以一-_一r.，所以PK=王一一一一，DK=x 一一一一一一=一
EK
FE ,//1 ".A' a
8'
~a
h
8
8 .
所以SðAPK=卡P X PK=丁tt(8 - x) ，SAm=÷DK × U=丁tt(8
x)
SAADK=lDK × AP=土矿，所以SðAPK =S
16
当4<x<8 时，同理可得SðAPK =SðDFK.
综上所述，ðAPK 与L:.DFK 是面积始终相等的两个三角形.
问题拓展:
(3) 当点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路向点D 运动时，不妨设点Q 在
DA 边上.
为3.
198
若点P 在点A 处，点Q 在点D 处，此时PQ 的中点为0 ，即为DA 边的中点;
若点Q 在DA 边上，且不在点D 处，则点P 在AB 上，且不在点A 处，
此时在RωPQ 中，0 为PQ 的中点，所以AO=÷PQ=4 ，
所以点。在以点A 为圆心，半径为4 ，圆心角为90。的圆弧上，
PQ 的中点。所经过的路径是三段半径为4 ，圆心角为90。的圆弧.
所以PQ 的中点O 所经过的路径长为÷×拟4=6π
( 4 )建立如图所示的直角坐标系
y
M( I ,O) ,N(7 ,O),E(a , 8 _ a) ,
..咐，巾(斗旦，8 _ a) ,
:.0(2 +~ ,4)
叉点P 在点M到点N 之间运动，
:.1 ~三a~三7 ，
.. 点。经过的路径是一条与AB平行的线段，长
A
如图所示，作点M关于直线XY 的对称点M'，连接BM'.
由轴对称性质可知，M' ( 1 ，8 ) ，
由两点之间线段最短可知，此时OM+ OB = BM' 最小.
而BM' = 飞/( 1 _ 8)2+(8 _ 0)2=.j1i3,
λ OM+OB 的最小值为.j1i3.
H
F
x
( )
心数学文化巡礼
圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率.1706 年，英国人琼斯
首次使用π代表圆周率，从有文字记载的历史开始，π就引起了各国数学家的兴趣.
康托尔曾说"历史上一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个
国家当时数学水平的指标"
我国魏晋时期的数学家刘徽创造了用割圆术求圆周率的方法，他首先在圆
内作一个内接正六边形，然后把六边形每边所对的弧平分，得到一个圆内接正十
二边形，这样不断地"割圆"，一直算到圆内接正192 边形，得到π的近似值为3 .1 4.
祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，得到π的近似值在3 .1 415926 与3 .1 415927
之间，这在公元5 世纪时创造了世界之最.为了纪念这位文化名人，人们把月球
上的一座环形山命名为"祖冲之山"
1796 年是数学王子高斯的奇迹年. 3 月
30 日，离
19 岁还差一个月的高斯给出
了正十七边形可以用尺规作图的证明，发现了它与费马素数之间的联系，这一问题
的证明不仅震撼了数学界，也震撼了高斯自己的心灵，从此，他决心献身数学.
@⑧舍楼
以直代曲，无限逼
近，刘徽的割圆术在数
学史上占有重要地位.
在"数学王子"高斯的纪念碑上，就刻着一个正十七边形，
它的尺规作图方法是高斯在青年时代发现的.
199
黄东坡@带…白( 九年侃
数学智慧讲堂
tJ)
图①、图②分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另
一个正多边形内接圆圆心。处.
(1)求图①中，重叠部分面积与阴影部分面积之比;
(2)求图②中，重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接写出答案) ;
(3)根据前面的探索和图③，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况(n 为大
于2 的偶数)?
A
D
F
E
F/
A
E
A'
A
D
C
图①
C'
图②
C'
B'
图③
·
分析与解
从正方形到正六边形，再到正n 边形，即从特殊到一般，知识与
方法上的类比是解决问题的关键.对于( 1 )、(2) ，通过连线，将重叠不规则图形的面积
转化为规则图形的面积;对于(3) ，归纳猜想.
( 1 )如图④，连接OB ，OC ，在ð. OFB 和ð. OEC 中，
..ζFBO= ζECO = 45 0 , BO = CO ，正FOB = LEOC = 900 -
LBOE ,
λ ð. OFB 旦ð. OEC ，S重叠部分
: S"服=S6 0BC : S附= 1 : 3.
F
E
。
A 刁---气
飞
.....1
C
C'
~
B'
图④
(2)如图⑤，同(1)可得，
A
C'
图⑤
200
_...
第28 讲
| 正多边形~.:
故Su部分:S阴事=S四邮08CD
S阴影= 1 : 2.
(3)能.推广问题:两个相同的正n(n 为大于2 的偶数)边形，其中一个正n 边形
的顶点在另一个正n 边形内接圆圆心处，重叠部分面积与阴影部分面积之比为(n-
2):(n+2).
气象学家爱德华. i:各仑茨在他早期的计算机天气模型中发
现了一些奇特的现象: 十分微小的输入变化可以导致完全不同
的输出结果，他随后的深入研究导致了混沌理论的发展.
人们逐渐认识到客观世界存在无序、i昆i屯现象，信息微小
误差可以导致混沌事件.
!例圭
和谐、对称的正五边形是精美无比的正多边形，特殊点、相等线段、特殊角、特
殊三角形、特殊四边形，正五边形可繁衍生成丰富而有趣的结论.
如图，已知ABCDE 是00 的内接正五边形，则
( 1 )对角线与边之间，对角线之间，边与边之间的夹角有36 0 ，720 , 108。三种，大
小之比为
1 : 2 : 3.
(2)相等的线段:AC = AD = BD = BE 二CEj
AA' 二BA' = BB' = CB' = CC' = DC' = DD' = ED' =
A
EE' = AE' j
1i
i仨
.c.、
维
、
应
用
之
美
E
CD' = EC' =正五边形边长;
(3)对角线、边之间可组成5 个菱形，如ABC' E , BCDE' ,
C
ABCD' , AEDB' , CDEA' j 10 个等腰梯形，如ABCD ，ABC' D' j 30 个等腰三角形，
如t::.ACD ，6.AA'E'jA' B' C' D' E' 也为正五边形.
(4 )A' 是AB' 和BE' 的黄金分割点，B' 是CA' 和BC' 的黄金分割点，C' 是CD' 和
DB' 的黄金分割点，D' 是EC' 和DE' 的黄金分割点，E' 是AD' 和EA ' 的黄金分割点.
201
AB' = CA' = AD' = DE' = BE' = EA' = BC' = DB' = B
黄东坡@ 带叫卢(九年级)
飞1 5 - 1
5 )AB =~气土IC;
，、A'B'
3- .,j 5
, Ó )'王百--
2 二.
只对( 5) 、(6 )给出证明.
( 5)设正五边形ABCDE 的边长为α ，对角线AC 长为b ，
则AA ' = BA' , CA' = CB = a.
回
AA'
AB
由LABA ' ω LACB 得一一=一一
., AB
AC'
AC -
CA'
AB
/.1'1 b -
a
~p H~ 一一一一=一一，得一一一--
AB
AC' ,.,
a
b '
化简得专+1 二号，
两边同时除以立得l 旦了+旦一
l 二0 ，
飞
b / ' b
.a _ J5-1 a 一- J5- 1
一
一一一一一一一一一一一(舍去) .
. b
2' b
2
( 6)设AB 二a ，A ' B' = b,
".. BA' 一AB _ J5 - 1 D A '
_ J5一l
由( 5)何
一
一一一-'，BA
一
-，，-
a ,
AB
BE
2
,_..
2
~.I ~~
a
(、
气牛
1) a
则BE=寸--- - 一旦二τ一一-
d
飞
5- 1
2
2
一(♂+ 1) a
,, "v (J5-
1) α一(3 - J5 ) a
:.A'B'二A ' E' = BE - BA' - E' E = ' v v ;.
，，~
2 x 一一一一一一一一一一一一一一
2
~
"
2
2
门一‘
引n
即b 二-1乙二一，
故b _3-J5
α2
倒3
如图，已知A ，A :zA 3…A是一个正九边形，A ，A 2 = α ，A ，A 3 = b ，求A ，A 5的值.
A3
As
A,
A7
A8
202
第川
| 正多边Jf~ !I,:
，
分析与解
任意正多边形都有外接圆，恰当添出正多边形的外接圆，能充
分沟通弦角的联系.直接计算较繁，添出正九边形的外接圆，计算内角，为问题的解
决创造条件.
如图，作正九边形A1A:A J…A的外接圆.
连接A:A s ，AAs ，并延长AsA J至点B ，使A~ = A:AJ=
B
_".,- :
Av '/ \
A4 .?五歹吨专注二二之~，\ A2
r//
〉〈气
矿，/
______""_
~飞
A< ~2:二"""，
'-己~A ，
JLJL
A7
---一--- As
。，
由LA 1AsA2= 三AAsA2 = 200 , A才s= AAl= b,
LA:A~ = 三A:A IAs= 600 ，得6A:A~ 为等边三角形，
有BA J = AA2= AzB = α ，得6AIA sA 2旦6BA sA 2 ，
二AIA s 二BAs二。+ b.
向数学之美探寻
1.小明对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边
形沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型如图①、图②所示，正五边形的边
心距OB 长为j2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，则AC++AB=
Bd
(不能用三角函数表达式表示)
方
法
( 安徽省中考题)
图②
'巳、
维
、
应
用
之
美
203
黄东坡
带你发现数学之美(九年级)
2. 如图，正六边形A ，B ，CD ，E ，F，的边长为2. 正六边
形A品C2D，E2F2 的外接圆与正六边形A ，B ，C ，D ，E ，F，的各
边相切，正六边形A J33CDÆ3F3 的外接圆与正六边形
AzB2C2D，E2F2 的各边相切……按这样的规律进行下去，
E{
正六边形A,013 IOCIODIOEIOF，。的边长为(
)
A. 2~03
B. 81_{3"
-丁γD. 丁r-
F,
A2
c.8l
只l 、
1
一. ~
D 一」二
29
~. 2'
(威海市中考题)
3.
如图①，②，③，…，③，M、N 分别是00 的内接正L.ABC ，正方形ABCD ，正
五边形ABCDE ，…，正n 边形ABCDE…的边AB ，BC上的点，且BM=CN ，连结OM，
ON.
( 1 )求图①中L_MON 的度数;
(2)图②中，ζMON 的度数是
;图③中ζMON 的度数是
(3)试探究ζMON 的度数与正n 边形边数n 的关系.(直接写出答案)
图①
图②
图③
图③
204
...
第28 讲
i 正多边形~.:
4. 课题:两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题.
设旋转角ζA ，A oB，=α(α<ζA ，A oA 2) ，矶，仇，θ5 ，()6所表示的角如图所示.
( 1 )用含α的式子表示角的度数:θ)=
，()4 二
, ()5 二
(2) 图①~图④中，连接AJf 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直
线AJf垂直且被它平分的线段?若存在，请选择其中的一个图给出证明;若不存在，
请说明理由;
归纳与猜想:
实验与认证:
设正n 边形AoA，A2"
.A n- ，与正n 边形AoB，B2…Bn-'重合(其中，点A ，与点B，重合) ,
现将正n 边形AoB，B2" .Bn- ，刷刷。按逆时针方向旋转叭的<竿)
(3)设θn与上述"83 ，仇，…"的意义一样，请直接用含α的式子表示()n;
(4)试猜想在正n Jil形的情形下，是否存在与直线AJf垂直且被它平分的线段?
若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在，请说明
Al
图②
B3
Bl
Al
图①
Ao
理由
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
205
A2
Al
B3
B4
时@ 带…挝美(九年级
1.主fi
2
本题涉及正五边形的如下性质:
如图，正五边形ADEFG 的中心为O ，AC j_ DE ，边心距为OB ，则卡B+AC=
二ω
A
G
E '--一~F
E ----------B-卢----/ F
证明:连结OD ，OE, OF, OG , OA ,AE ,AF,
贝ULOEF旦LOFG旦LOGA 旦LOAD旦LODE ，
设AD = DE = EF = FG = GA = α ，OB=d.
:S正五边扉ADE.阳= S"-OEF+SLl O阳+S，，-町d 十SLl OAD+SLl ODE ，
..5SLl OEF 二5 × ÷EF·ω=fad
又SiF.五边形ADE，问= SLlAEF+SLlA皿+SLlAFG ，LADE主主LAGF ，
可础形ADEFG=SLlAEιSAm=÷EF -AB+2 ×÷DE-AC=卡.AB+ α
AC=卡(AB + μ C) ，
5
.
1
ad =-f,a(AB + 2AC) ,
.2 ww
2
:.AB + 2AC = 5d,
+AB+AC 二fd
一(13) 1-1
2.D. 正六边形AIB1C1DIEIFI 的边长为2
-F「·
容易求得正六边形AzB2C2DzE2丑的外接圆的半径为〉宫，
仄一(13)2 - 1
-:0'-'---
即正六边形A zB2C2DzE2F
丑2 的边长为、3 一丁~ ，.….川.气，正/八\边形Æ.BnιD.E，
/一
3 )n-I
长为」于「
(13 )1 0- 1 _
( 13 )8 • d 一
当n=
10 时，正六边形A loB IOCoDIOEIOFIO 的边长为
2 10-2
一
28
一
206
第叫正多边形U
( 3)4 • J3 _ 81 J3
一一了，故应选D.
一丁-8--
2
360。
3.(l)120。，(2)90。，72。，(3)-J ·
方
法
4. (1 )60。
α;α;36。
α.
(2)存在，下面就所选图形的不同分别给出证明.选图①:图①中有直线A oH 垂
直平分A zB" 证明如下
.8..2 A2
.; 6.AoA，A2与6.AoB，B2是全等的等边三角形，
八队、
二AoA 2 二AoB"
/ /、
二ζA oAzB，=ζA oB，A 2 ，又ζA oAJ-! = 正A oB，H = 60 0 ,
/ /
/ H '\号
，
//a 'O ~ BI
λ 正HA zB，= ζHB ，A2 ，λ A J-! = B,H ,
bμ5，~
、
点H 在线段A zB，的垂直平分线上，又A oA2= A oB
品"
Ao 0
点Ao在线段A zB，的垂直平分线上
..直线AoH 垂直平分A zB，.
选图②:图②中有直线A品，证明如下:
γ A oB2= AoA2'
λ L'.AoBzA2= ζA oAzB2'
又.;
L'.A oBzB，= ζ A oAzA ) 二45 0 ，
λ 正HBzA 2 二L'.HA zB2 ，;.HB
ι2= HA2 ,
点H 在线段A 2B2的垂直平分线上上.
又.; AoB2= AoA2'
点A。在线段A品的垂直平分线上.
..直线AoH 垂直平分A zB2.
180。
(3)当n 为奇数时，θn=一一一α; 当n 为偶数时，()n = α.
n
(4) 存在.当n 为奇数时，直线AoH 垂直平分线段A号，-B号;当n 为偶数时，直线
AoH 垂直平分线段A .
