第03
组合与组合数
讲
目 录
思维导图........................................................................................................................................................................2
高考分析........................................................................................................................................................................2
学习目标........................................................................................................................................................................2
知识要点........................................................................................................................................................................2
解题策略........................................................................................................................................................................7
题型归纳........................................................................................................................................................................7
题型01：组合的概念.............................................................................................................................................7
题型02：排列与组合的区别................................................................................................................................11
题型03：组合数.................................................................................................................................................14
（一）组合数的简单计算.............................................................................................................................14
（二)利用组合数公式证明............................................................................................................................17
(三）组合数方程和不等式........................................................................................................................21
题型04：组合数的性质.......................................................................................................................................24
题型05：组合的简单应用...................................................................................................................................25
题型06：有限制条件的组合问题.........................................................................................................................33
题型07：代数中的组合问题................................................................................................................................34
题型08：几何中的组合问题................................................................................................................................37
题型09：分组分配问题.......................................................................................................................................42
题型10: 相同对象的分配问题（x+y+z=n）（隔板法）....................................................................................44
题型11: 其他组合问题........................................................................................................................................48
题型12：排列与组合的综合问题.........................................................................................................................54
巩固提升.....................................................................................................................................................................58
一、高考考情分析
1.分值与题型：多为选择/填空（4-5 分），全国卷与新高考卷稳定出现；偶与概率、二项式定理等结合进入
解答题，难度中低，是基础必得分点。
2.核心考点：①组合数公式与性质（②有限制条件组合（含特殊元素、分组分配、相邻/不相邻）；③与概
率、统计、二项式定理综合应用；④实际情境建模（如分组、选代表、抽取样本）。
3.命题趋势：突出数学运算、逻辑推理素养，强调实际问题转化；新高考更注重与其他模块融合，考查知识
迁移与应用能力。
4.难度分布：基础题（公式与性质直接应用）、中档题（有限制条件组合）、难题（综合概率/统计/二项式
等）。
1. 理解组合定义，明确无序性是与排列的核心区别。
2. 熟练掌握组合数公式（阶乘/连乘形式）与2 个核心性质，能快速化简计算。
3. 掌握分类加法、分步乘法计数原理，解决有限制条件的组合问题。
4. 能将实际问题转化为组合模型，与概率、二项式定理等综合解题。
5. 提升逻辑推理、数学运算、数学建模三大核心素养。
知识点一：组合
1.定 义：从
个不同元素中取出
个元素并成一组，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一个组
合．
2.组合数：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意
取出m个元素的组合数，用符号Cn
m表示．
组合数公式：Cn
m= n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)
m!
=
n!
m!(n−m)!
，m,n∈N +，并且m≤n．
组合数的两个性质： ①Cn
m=Cn
n−m；②Cn+1
m =Cn
m+Cn
m−1．（规定Cn
0=1）
3.组合数公式推导
求从
个不同元素中取出
个元素的排列数
，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这
个不同元素中取出
个元素的组合数
；
第二步，求每一个组合中
个元素的全排列数
；
根据分步计数原理，得到
；
因此
．
这里
，
，且
，这个公式叫做组合数公式．因为
，所以组合数公式还可表示为：
．特例：
．
对于组合数的第一个公式C＝＝，它体现了组合数与相应排列数的关系，当n 确定而m 变化时，组合数与
m 是一种函数关系，一般在计算具体的组合数时，常用此公式。
第二个公式C＝的主要作用有：当m，n 较大时，利用此公式计算组合数较为简便；对含有字母的组合数的式子
进行变形和证明时，常用此公式。
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取
后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式
常用于具体数字计算，
常用于含字母算式的化简或证明．
4.组合应用题的常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点二:排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是
否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基
础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．
排列数公式
=n(n−1)⋯(n−m+1)=
n！
(n−m)！.(
，
∈N*，且
)．注:规定0!=1.
组合数公式
Cn
m
=
=
n(n−1)⋯(n−m+1)
1×2×⋯×m
=
n！
m！⋅(n−m)！(
∈N*，
，且
).
排列数与组合数的关系
.
知识点三：单条件排列
以下各条的大前提是从
个元素中取
个元素的排列.
1.“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有An−1
m−1
种；
②某（特）元不在某位有An
m−An−1
m−1
（补集思想）=An−1
1
An−1
m−1
（着眼位置）=An−1
m + Am−1
1
An−1
m−1
（着眼元
素）种.
2.紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k≤m≤n)个元在固定位的排列有Ak
k An−k
m−k
种.
②浮动紧贴：
个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有An−k+1
n−k+1 Ak
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h 个（k≤h+1 ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所
有排列数有Ah
h Ah+1
k
种.
3.两组元素各相同的插空
个大球
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n>m+1 时，无解；当n≤m+1 时，有
Am+1
n
An
n =Cm+1
n
种排法.
4.两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为Cm+n
n
.
知识点四：分配问题
1.(平均分组有归属问题)将相异的
、
个物件等分给
个人，各得
件，其分配方法数共有
N=Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
⋅⋯⋅C2n
n ⋅Cn
n=(mn )!
(n!)m
.
2.(平均分组无归属问题)将相异的
·
个物体等分为无记号或无顺序的
堆，其分配方法数共有
N=
Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
...⋅C2n
n ⋅Cn
n
m!
= (mn )!
m!(n!)m
.
知识点五：排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组
合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法。
知识点六：排列与组合解题的常用方法
1.特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2.分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，
不重不漏．
3.排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4.捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再
给那“一捆元素”内部排列．
5.插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6.插板法：n个相同元素，分成m(m≤n)组，每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排，从n−1
个空中选m−1个空，各插一个隔板，有Cn−1
m−1．
7.分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆
（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！
8.错位法：编号为1 至n的n个小球放入编号为1 到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子
的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n=2，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、
7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题．
知识点七：常考问题以及解题途径与策略
1.排列与组合应用题解题三种途径：
元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先
把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析
题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2.具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
3.分组问题的求解策略
(1)非均匀不编号分组：将n 个不同对象分成m(m≤n)组，每组对象数目均不相等，依次记为m1，m2，…，
mm，不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数N=
·
·
·…·
.
(2)均匀不编号分组：将n 个不同对象分成不编号的m(m≤n)组，假定其中r 组对象个数相等，不管是否分尽，
其分法种数为
(其中N 为非均匀不编号分组中的分法种
数). 若再有k 组均匀分组，则应再除以
.
(3)非均匀编号分组：将n 个不同对象分成m(m≤n)组，各组对象数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分
法种数为N·
(其中
为非均匀不编号分组中的分法种数).
(4)均匀编号分组：将n 个不同对象分成m(m≤n)组，其中r 组对象个数相等且考虑各组间的顺序，其分法种
数为
·
(其中N 为非均匀不编号分组中的分法种数).
4.相同对象分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，那么可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔
板，相邻两块隔板形成一个“盒”. 每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称为隔
板法. 隔板法专门用于解决相同对象的分配问题.
(2)将n 个相同的物品分给m 个不同的对象(n≥m)，有
种方法. 可理解为(n-1)个
空中插入(m-1)块隔板.
知识点八：解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；
3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
例：如图，在圆中，将圆分
等份得到
个区域
，
，
，
，
，现取
种颜色对这
个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有
种．
...
...
Mn
...
Mn-1
M1
M2
M3
错位排列公式
数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
1.解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某
元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排
特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
2.定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制
的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
3、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置
上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一
起排列，共有
种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有
种排法．根据分步乘
法计数原理可知，符合条件的排法共有
种．
4、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将
个不同元素排成一排，其中某
个元素互不相邻（
），求不同排法种数的方法是：先将（
）个元素排成一排，共有
种排法；然后把
个元素
插入
个空隙中，共有
种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有
·
种．
1. 基础公式与性质：优先用Cn
m=Cn
n−m；简化计算；Cn+1
m =Cn
m+Cn
m−1．转化复杂组合数；注意Cn
0=1与定
义域n≥m≥0，n,m∈N*。
2. 有限制条件组合：①特殊元素/位置优先法；②相邻/不相邻用捆绑/插空；③分组分配先分堆再排序（平
均分组需除序）；④正难则反，用总组合数减不符合条件组合数。
3.综合问题：与概率结合先算组合数再求古典概型；与二项式定理结合用组合数求特定项系数、系数和；与
统计结合用于样本抽取、数据分类计数。
4. 易错点规避：区分有序/无序（判断组合还是排列）；平均分组必须除序；分类不重不漏、分步层次清晰；
实际问题先明确“取出元素是否与顺序有关”。
备考建议
1. 夯实基础：背熟公式与性质，每日10 道基础计算小题练速度与准确率。
2. 题型专项：分类突破“特殊元素、分组分配、正难则反”等典型题型，总结通法。
3. 综合训练：做近5 年高考真题，重点练组合与概率、二项式的综合题。
4. 错题复盘：标注“概念混淆（排列/组合）、计算失误、分类遗漏”等错误类型，针对性补漏。
题型01：组合的概念
【典型例题1】下列问题是组合问题的是（ ）
A．把5 本不同的书分给5 个学生，每人一本
B．从7 本不同的书中取出5 本给某个同学
C．10 个人相互发一微信，共发几次微信
D．10 个人互相通一次电话，共通了几次电话
【答案】BD
【解析】利用组合的定义判断.
A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题；
B.从7 本不同的书中取出5 本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题；
C. 10 个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题；
D. 因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题；
故选：BD
【典型例题2】给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A．由1，2，3，4 构成的含有2 个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3 组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3 组成的无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【解析】要判断是不是组合问题，关键是注意区分组合问题与排列问题，只选不排为组合，既选又排为排列，即
看问题中需不需要考虑顺序，而对于一些没有明显的表明排序的字词时，我们可以改变所选元素的顺序，如果得
到的新组合与旧组合在问题中是两个不同的组合，则是排列问题，反之，如果新组合与旧组合在问题中是一样的
组合，则为组合问题.
A 选项中集合的元素可以是无序的，即：集合
与集合
是相同的集合，故A 选项为组合问题；
B 选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，
例如：1 队2 队，1 队3 队，1 队4 队，1 队5 队，2 队3 队，2 队4 队，2 队5 队，3 队4 队，3 队5 队，4 队
5 队，故B 选项为组合问题；
C 选项中如选1，2 两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21 和12 是满足要求的两个不同的组合，
为排列问题；
如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C 选项中既有排列也有组合；
D 选项与C 选项类似，故D 选项为排列问题.故选：AB.
【典型例题3】平面内有A，B，C，D 四个不同的点，其中任意3 个点不共线.
(1)试写出以其中任意两个点为端点的有向线段；
(2)试写出以其中任意两个点为端点的线段；
(3)试写出以其中任意三点为顶点的三角形.
【答案】见解析
【解析】(1)以其中任意两个点为端点的有向线段为一个排列问题，
共有有向线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.
(2)以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，
共有线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD.
(3)以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有△ABC，△ABD，△BCD.
【典型例题4】给出三个事件：①10 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法？
②从1，2，3，…，9 九个数字中任取3 个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？③10
人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？其中是组合问题的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【解析】①10 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，与顺序无关，
所以为组合问题.
②从1，2，3，…，9 九个数字中任取3 个，由小到大排列构成一个三位数
只需选出3 个数字，选出后顺序固定，不需要排序，所以为组合问题.
③10 人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，因为两人之间只握手一次即可，
所以该问题与顺序无关，是组合问题.
所以①②③均与顺序无关，所以都是组合问题.故选：D
【变式训练1-1】(多选)下列问题属于组合问题的是（ ）
A．从4 名志愿者中选出2 人分别参加志愿服务工作
B．从0，1，2，3，4 这5 个数字中选取3 个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3 名同学出席大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3 名同学分别担任班长副班长和学习委员
､
【答案】AC
【解析】根据组合问题只需选出元素即可，而排列问题是对选出的元素还需进行排序，对每一选项进行判断，即
可得出答案.
选项A. 从4 名志愿者中选出2 人分别参加志愿服务工作，只需选出2 人即可，无排序要求，故是组合问题.
选项B. 从0，1，2，3，4 这5 个数字中选取3 个不同的数字，组成一个三位数,
选出3 个不同数字，还需对3 个数字进行排序成三位数，故是排列.
选项C. 从全班同学中选出3 名同学出席大学生运动会开幕式, 只需选出3 人即可，无排序要求，故是组合问题.
选项D. 从全班同学中选出3 名同学分别担任班长副班长和学习委员
､
先从全班选出3 人，再安排其职务，即需排序，故是排列问题.
所以B，D 项均为排列问题，A，C 项是组合问题.故选：AC
【变式训练1-2】在下列问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
(1)从a，b，c，d 这4 名学生中选出2 名学生，有多少种不同的选法？
(2)从a，b，c，d 这4 名学生中选出2 名学生完成2 件不同的工作，有多少种不同的选法？
(3)a，b，c，d 这4 支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d 这4 支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
【答案】见解析
【解析】(1)没有顺序，是组合问题。
(2)2 名学生完成2 件不同的工作，有顺序，是排列问题。
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题。
(4)争夺冠亚军是有顺序的，是排列问题。
【变式训练1-3】给出下列问题：
①从甲乙丙
､
､
名同学中选出
名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有
张电影票，要在人中确定
人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击枪，击中
枪，且命中的
枪均为
枪连中，则不同的结果有多少种？
其中属于组合问题的个数为（ ）
A．
B． C．
D．
【答案】C
【解析】对于①，选出
名同学后，分配到两个乡镇涉及到顺序问题，是排列问题；
对于②，选出
人观看不涉及顺序问题，是组合问题；
对于③，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题.故选：C.
【变式训练1-4】(多选题)某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天
只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（ ）
A．共有90 种安排方法
B．甲连续两天值班的安排方法有30 种
C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18 种
D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6 种
【答案】ABD
【解析】利用排列组合相关知识逐项分析即可.
对于A，首先任选2 天安排甲值班，共
种方法，再从剩下的4 天中选2 天安排乙值班，
共
种方法，最后安排丙，
种方法，共计
种方法，故A 正确；
对于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5 种方法，
再从剩余4 天中选2 天安排乙，剩下两天安排丙，此步骤共
种，共计
种方法，故B 正确；
对于C，首先确定甲在乙之前还是之后，有2 种方法，再讨论丙值的两天班是否连续，
若连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择一个，
安排“丙丙”即可，此时有
种方法，
若不连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择两个，各安排一个“丙”即可，
此时有
种；综上，符合题意的方法数为
种，故C 错误；
对于D，只需将“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共
种方法，故D 正确.
故选：ABD.
题型02：排列与组合的区别
【典型例题1】判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．( )
（2）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为
.( )
（3）从甲、乙、丙3 名同学中选出2 名去参加某两个乡镇的社会调查，求有多少种不同的选法是组合问题．(
)
（4）把当日动物园的4 张门票分给5 个人，每人至多分一张，而且必须分完，求有多少种分法是排列问题.(
)
【答案】 正确 正确 错误 错误
【解析】根据组合的含义和组合数的公式进行判断.
（1）因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
（2）由组合数的定义可知正确．
（3）因为选出2 名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．
（4）由于4 张票是相同的，故相当于从5 人中选4 人的组合问题．
故答案为：正确；正确；错误；错误.
【典型例题2】判断下列问题是排列问题还是组合问题．
(1)设集合
，则集合A 的含有3 个元素的子集有多少个？
(2)某高铁线上有5 个车站，则这条高铁线上共需准备多少种二等座车票？有多少种不同的二等座火车票价？
（往返票价一致）
(3)从2，3，5，7，9 中任取两个不同的数做乘法，其结果有多少种？若任取两个不同的数做除法，其结果有多
少种？
【答案】(1)组合问题
(2)车牌属于排列问题，票价属于组合问题
(3)做乘法属于组合问题，做除法属于排列问题
【解析】（1）从集合中元素的性质得到答案；
（2）分析有无顺序问题，从而作出判断；
（3）乘法满足交换律，除法不满足交换律，从而作出判断.
（1）子集中元素具有无序性，故属于组合问题；
（2）二等座车票上出发地和目的地有顺序，故属于排列问题，
二等座火车票价（往返票价一致），无顺序问题，为组合问题
（3）因为
互质，所以两两之间的积与商都不一致，
而乘法满足交换律，故做乘法属于组合问题，
除法不满足交换律，故做除法属于排列问题.
【变式训练2-1】（1）写出从
，
，，
，五个元素中任取两个不同元素的所有组合；
（2）写出从
，
，，
，五个元素中任取两个不同元素的所有排列．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）利用组合的定义即可得出；
（2）利用排列的定义即可得出；
（1）从个元素
，
，，
，中任取两个不同元素的所有组合有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）从个元素
，
，，
，中任取两个不同元素的所有排列有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【变式训练2-2】（判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：
(1)从10 名学生中任选5 名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；
(2)从1、2、3、4、5 这5 个数字中，每次任取2 个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；
(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7 的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32 的卡片．
从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；
(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．
【答案】(1)组合问题(2)排列问题(3)组合问题(4)排列问题
【解析】利用排列组合的定义判断即可.
（1）从10 名学生中任选5 名去参观一个展览会，选出的学生不用排序，
所以这是组合问题.
（2）从1、2、3、4、5 这5 个数字中，每次任取2 个不同的数作为一个点的坐标，
由于坐标有横纵坐标之分，所以选出的2 个不同的数需要排序，
故这是排列问题.
（3）从红袋和黄袋中各任取一张卡片，求这两张卡片上的数相加所得的和，
因为加法满足交换律，故选出的卡片不用排序，
所以这是组合问题.
（4）因为四本不同的书送给四个人，要求每人一本，
所以这四本书需要排序，故这是排列问题.
【变式训练2-3】（判断下列问题是组合问题还是排列问题，并用组合数或排列数表示出来．
(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3 个元素的有多少？
(2)8 人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？
(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票
价？
【答案】(1)组合问题，
个(2)排列问题，
个(3)机票是排列问题，
种；票价是组合问题，
种
【解析】（1）根据组合的含义可以判断，利用组合数可求子集个数；
（2）邮件有收发顺序，是排列问题，利用排列数可得结果；
（3）机票和顺序有关是排列问题，票价和起始地无关是组合问题，利用排列数和组合数可得答案.
（1）已知集合的元素具有无序性，因此含3 个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有
个．
（2）互发邮件有先后之分，与顺序有关的是排列问题，共写了
个电子邮件．
（3）飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有
种飞机票；
票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有
种票价．
【变式训练2-4】（判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40 人中选出3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40 人中选出3 人参加某项活动，有多少种不同的选法？
【答案】(1)组合问题(2)排列问题(3)排列问题(4)组合问题
【解析】（1）（2）（3）（4）根据排列和组合的特征：是否有顺序即可求解.
（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
（2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
（3）3 人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
（4）3 人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
题型03：组合数
（一）组合数的简单计算
【典型例题1】
（ ）
A．56
B．32
C．50
D．48
【答案】A
【解析】根据排列数和组合数的公式计算即可.
.故选：A.
【典型例题2】
（ ）
A．35
B．56
C．70
D．84
【答案】A
【解析】根据组合数性质化简，再应用组合数公式计算即可.
,
,
.故选：A.
【典型例题3】（多选）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】
.故选：CD．
有以下两种思路：
思考一：可以由组合数公式
结合
直接计算.
或思路二：由公式
递推下去最后由组合数公式计算也可以.
我们用以下两种方法来解决此题：
方法一：
一方面：由公式
可知，
；
另一方面：有
.
结合以上两方面可知
.
方法二：
一方面：由公式
可知
；
另一方面：由
结合
有
.
结合以上两方面可知
.
【变式训练3-1-1】计算：(1)
；(2)
；(3)
.
【答案】(1)455(2)21(3)19900
【解析】由组合数计算公式可得答案.
（1）
；
（2）
；
（3）
【变式训练3-1-2】设n 为正整数，求值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)4 或7 或11(2)124
【解析】（1）根据题意列出不等式求出
值，再分别计算即可.
（2）根据给定组合式结合组合数的定义列出不等式求得n 值，再利用组合数的性质计算即得.
（1）由题意知
，
，
又
取2，3，4.
当
时，值为4；当
时，值为7；当
时，值为11.
（2）依题意，
，即
，解得
，
所以，原式
.
【变式训练3-1-3】若A＝120C，则n＝________.
【答案】见解析
【解析】2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝，
化简得，n2－2n－3＝0，解得n＝3 或n＝－1(舍去)，所以n＝3.
【变式训练3-1-4】求值：
(1)3C－2C；
(2)已知－＝，求C.
【答案】见解析
【解析】(1)3C－2C＝3×－2×＝148.
(2)由－＝得，－＝，
∴1－＝，即n2－23n＋42＝0，
解得n＝2 或n＝21，又0≤n≤5，∴n＝2，∴C＝C＝28.
【变式训练3-1-5】设
，则
______．
【答案】4 或7 或11
【解析】由组合数的意义可知：
，解得：
.
又
，所以
或
或
.
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
故答案为：4 或7 或11.
【变式训练3-1-6】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先通过组合公式
变形得
，然后利用倒序相加求和即可.
由题可知通项公式
，
所以
，
同时
，
上述两式相加得
，
所以
，
所以
.故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对组合公式
的灵活应用，以及对倒序相加方法的灵活使用.
（二)利用组合数公式证明
【典型例题1】下列等式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故A 错误；
，C 正确；
，B 正确；
，D 正确.故选：A.
【典型例题2】利用组合数公式证明
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为
，
，
所以
．
【典型例题3】求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】
，
所以等式成立.
【变式训练3-2-1】（多选）下列等式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A：
，正确；
B：
，错误；
C：
，正确；
D：
，正确；故选：ACD
【变式训练3-2-2】（多选）对于
关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于A，由组合数的性质知，
成立，A 正确；
对于B，
，B 正确；
对于C，因
，因此
成立，C 正确；
对于D，因
，即
不成立，D 不正确.
故选：ABC
【变式训练3-2-3】求证：C＝C＋2C＋C.
【答案】见解析
【解析】由组合数的性质C＝C＋C 可知，
右边＝(C＋C)＋(C＋C)
＝C＋C＝C＝左边，
右边＝左边，所以原式成立．
【变式训练3-2-4】已知m 是自然数，n 是正整数，且
．求证：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】代入阶乘公式，化简证明.
（1）根据组合数公式，可以得到
．
（2）根据组合数公式，可以得到
．
【变式训练3-2-5】m 是自然数，n 为正整数，且
，求证：
．
【答案】证明见解析
【解析】利用组合数公式计算即可得到本题答案.
根据组合数公式，可以得到
．
【变式训练3-2-6】规定
，其中
，
是正整数，且
，这是组合数
（
、
是正整数，且
）的一种推广．
(1)求
的值．
(2)组合数的两个性质：①
；②
是否都能推广到
（
，
是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数
是正整数，证明：当
，
是正整数时，
．
【答案】(1)
；(2)性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）按题中定义计算即可；
（2）由定义可知m 是正整数，所以只需要判断①
；②
中的
、
、
是否只
能是整数即可；
（3）分类讨论
、
、
三种情况，其中当
时可将
的分子转换
为正数进行计算证明.
（1）解：
.
（2）解：性质①不能推广，例如当
时，
有定义，但
无意义；
性质②能推广，它的推广形式是：
，
，
是正整数，
证明：当
时，有
，
当
时，
（3）证明：当
时，组合数
；
当
时，
；
当
时，由
可知
，
所以
因为组合数
是正整数，所以
.证毕.
【点睛】关键点点睛：本题参考查组合数的性质的应用，在解答第（2）小问时，要注意
是无理数和情形，结
合组合数的新定义来进行判断；在解答第（3）小问时，要注意对
进行分类讨论，结合组合数公式进行推理证
明.
【变式训练3-2-7】证明下列各等式．
(1)
＝
；
(2)
.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）直接利用组合数的阶乘公式对右边化简即可得到证明；
（2）利用组合数的性质公式
和
，对右边化简即可得到证明.
（1）由
，知右边
所以，左边
右边，故原式成立．
（2）由组合数的性质
，知左边
所以，左边
右边，故原式成立．
(三）组合数方程和不等式
【典型例题1】已知
，则
可能取值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】利用组合数的性质可得出关于实数
的等式，解之即可.
因为
，则
或
，解得
或.故选：D.
【典型例题2】不等式
的解为 ．
【答案】
【解析】根据组合数的计算公式化简已知不等式，从而求得不等式的解.
依题意
，所以
且
，
由
得
，
，
所以不等式的解为
.故答案为：
【变式训练3-3-1】若
，则
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【解析】根据组合数的公式运算求解.
因为
，整理得
，解得
或
，
且
，即
，所以
.故选：B.
【变式训练3-3-2】若整数
满足
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．1 或3
【答案】C
【解析】利用组合数的运算性质求解即可由题可知
或
，
整理得
或
，解得
或
或
或
．
又
，
所以只有
和
满足条件，故
的值为1 或
．故选：C
【变式训练3-3-3】若
，则实数x 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．2 或6
【答案】D
【解析】由
，得
或
，解得
或
，
所以实数x 的值为2 或6.故选：D.
【变式训练3-3-4】已知
，则
___________.
【答案】
或
【解析】由组合数的性质可得
，故
或
故答案为：
或
.
【变式训练3-3-5】若
，则x 的值为_______
【答案】4
【解析】由题设，
，
整理得：
，可得
或
，又
，故
.故答案为：4
【变式训练3-3-6】关于n 的不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】不等式
，
即不等式
，解得
，
又因
且
为正整数，所以关于
的不等式
的解集为
.
【变式训练3-3-7】解关于正整数x 的方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
或
；(2)
【解析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解.
（1）x 为正整数，由
可得
或
，
故
或
，解得
或
或
或
（舍去），
又
均为整数，且
，
所以
或
符合要求，
不符合要求，
故
或
（2）由组合数的性质可得
，
所以由
可得
，进而可得
，
解得
或
（舍去），
由于
，所以
，故只取
，
舍去，
【变式训练3-3-8】若
，求m.
【答案】或
【解析】根据题意，利用组合数的计算公式，求得
，进而求得实数
的值.
依题意，得
且
，所以
，
由
，可得
，即
，解得
，
又因为
，所以
或
.
题型04：组合数的性质
【典型例题】若
,则
的值是 .（用数字作答）
【答案】
【解析】先根据
求出
的值,再利用
和
逐个相加求解即可.
因为
,且
,根据
,
得
,解得
,
又
,
,
则
.
故答案为:
.
【变式训练4-1】若
，则正整数
．
【答案】11
【解析】根据组合数的性质计算即可.由题意得
.故答案为：11.
【变式训练4-2】
（ ）
A．
B．
C．
D．C11
3
【答案】B
【解析】由题意，
.故选：B．
题型05：组合的简单应用
【典型例题1】2023 年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五
个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部
门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800
B．1080
C．720
D．360
【答案】B
【解析】分成恰有2 个部门所选的旅游地相同、4 个部门所选的旅游地全不相同两类，再应用分步计数及排列、
组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数.
①恰有2 个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的2 个部门取出，有
种；
第二步，从6 个旅游地中选出3 个排序，有
种，
根据分步计数原理可得，方法有
种；
②4 个部门所选的旅游地都不相同的方法有
种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有
种．故选：B
【典型例题2】某地环保部门召集6 家企业的负责人座谈，其中甲企业有2 人到会，其余5 家企业各有1 人到会，
会上有3 人发言，则发言的3 人来自3 家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．15
B．30
C．35
D．42
【答案】B
【解析】由甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法、不含有甲的选法，根据分类计数原理得到结果．
由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有
种，不含有甲的选法有
种，共有
种.
故选：B
【典型例题3】现有红色、黄色、蓝色的小球各4 个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3 个小球，若这3
个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（ ）
A．160 种
B．220 种
C．256 种
D．472 种
【答案】A
【解析】分取出的球中有1 个红球、取出的球中有2 个红球两种情况计算即可.
若取出的球中有1 个红球，不同的取法有
种；
若取出的球中有2 个红球，不同的取法有
种.
故不同取法有
种.故选：A.
【典型例题4】某学校为了解学生参加体育活动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中
部和高中部两层共抽取80 名学生，已知该校初中部和高中部分别有250 名和150 名学生，则不同的抽样结果
共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】A
【解析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案．
根据分层抽样的定义知初中部共抽取
人，高中部共抽取
人，
根据组合公式和分布计数原理则不同的抽样结果共有
种故选：A．
【变式训练5-1】某医院住院部现有5 个空床位，有3 名儿童，4 名老人需要住院治疗，如果安排2 名儿童，3
名老人入住，则不同的安排方式有（ ）
A．1260 种 B．1440 种 C．2400 种 D．2520 种
【答案】B
【解析】先从3 名儿童选2 名儿童，从4 名老人选3 名老人，有
种选法，再将5 人安排到5 个床位，有
种排法，再根据分布乘法原理可得不同的安排方式有
种排法.故选：B.
【变式训练5-2】（多选）将12 支完全相同的圆珠笔分给4 位小朋友.（ ）
A．若每位小朋友至少分得1 支，则有
种分法
B．若每位小朋友至少分得1 支，则有C11
3 种分法
C．若每位小朋友至少分得2 支，则有
种分法
D．若每位小朋友至少分得2 支，则有
种分法
【答案】BC
【解析】若每位小朋友至少分得1 支，则由隔板法可得，不同的分法种数为C11
3
.
则选项A 判断错误；选项B 判断正确；
若每位小朋友至少分得2 支，则每位小朋友可先各发1 支，剩下8 支，
再由隔板法可得，不同的分法种数为
.则选项C 判断正确；
选项D 判断错误.故选：BC
【变式训练5-3】没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7 名工作人员到
A，B，C 三个小区进行调研活动，每个小区至少去1 人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有
（ ）
A．1176 B．2352 C．1722 D．1302
【答案】A
【解析】根据题意可以先把7 人按照3，3，1 或者2，2，3 或者1，1，5 三种情况分为三组，然后把三组成员
分配到A，B，C 三个小区；
当按照3，3，1 的方法分配则有
；
当按照2，2，3 的方法分配则有
；
当按照1，1，5 的方法分配则有
；
把三组成员分配到A，B，C 三个小区的方法为
所以根据分步计数原理可得一共有：
种不同的安排方式.故选：A
【变式训练5-4】某乒乓球队有9 名队员，其中2 名是种子选手，现在挑选5 名选手参加比赛，种子选手都必须
在内，那么不同的选法共有( )
A．21 种 B．35 种 C．26 种 D．84 种
【答案】B
【解析】从7 名队员中选出3 人有C＝＝35 种选法。故选B。
【变式训练5-5】（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选
考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若政治必须选，选法总数为
【答案】AC
【解析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理及排列组合，依次判断各选项，即可得解．
对于A，任意选择三门课程，选法总数为
，A 正确；
对于B，物理和化学至少选一门，分两类，
第一类：物理和化学选一门，有
种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，有
种方法，共有
种选法；
第二类：物理和化学都选有
种方法，其余一门从剩余的五门中选一门，有
种方法，共有
种选法，
由分类加法计数原理知，选法总数为
，B 错误；
对于C，物理和历史不能同时选，选法总数为
，C 正确；
对于D，政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为
，D 错误．故选：AC
【变式训练5-6】（多选）一个口袋内装有7 个白球和1 个黑球，下列说法正确的有（ ）
A. 从口袋内取出3 个球，共有56 种取法
B. 从口袋内取出3 个球，使其中含有1 个黑球，有21 种取法
C. 从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有35 种取法
D.ABC 有且只有2 个说法正确。
【答案】见解析
【解析】对A，从口袋内的8 个球中取出3 个球，取法种数是C＝＝＝56，正确；
对B，从口袋内取出3 个球有1 个是黑球，于是还要从7 个白球中再取出2 个，取法种数是C＝＝＝21，正确；
对C，由于所取出的3 个球中不含黑球，也就是要从7 个白球中取出3 个球，取法种数是C＝＝＝35 正确；故
选ABC。
【变式训练5-7】（多选）从6 名男生和4 名女生中选出4 人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4 人全部为男生，那么有30 种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28 种不同的选法
C．如果4 人中男生女生各有2 人，那么有30 种不同的选法
D．如果4 人中至少有一名女生，那么有195 种不同的选法
【答案】BD
【解析】根据计数原理按照排列、组合的要求依次判断选项即可.
对于A：只从男生中选择4 人，有
种，故A 错误；
对于B：如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么在剩下的8 人中任选2 人，共有
种选法，故B 正
确；
对于C：如果4 人中男生女生各有2 人，则共有
种，故C 错误；
对于D：从10 人中任选4 人，共有
种选法，排除6 名男生任选4 人，有
种选法，
故4 人中至少有一名女生的选法有
种，故D 正确；故选：BD.
【变式训练5-8】某校举办校运动会，需从某班级3 名男同学4 名女同学中选出3 名志愿者，选出的3 人中男女
同学都有的概率为 .
【答案】
【解析】根据题意先求出7 人中选3 人共有
种方法，选出的3 人中男女同学都有，则分1 男2 女，2 男1 女，
求出符合要求的方法数，进而求出答案.
根据题意,7 人中选3 人共有
种方法，若选出的3 人中男女同学都有，则选出为1 男2 女或2 男1 女，
若选出 1 男2 女，方法数为
；若选出 2 男1 女，方法数为
；
所以选出的3 人中男女同学都有的方法数共有
种
所以选出的3 人中男女同学都有的概率为
.故答案为：
.
【变式训练5-9】某旅行社有导游人，其中有人会英语，有人会日语。现在需要选名英语导游和名日语
导游，完成一项导游任务，则不同的选择方法为 .
【答案】
【解析】分析出双语导游的选择人数，即可得出选名英语导游和名日语导游的方法个数.
由题意，有导游人，其中有人会英语，有人会日语，
∴有人只会英语，
人只会日语，
人两种语言都会，
若 1 个会双语的导游都不选，则有
种选择方法，
若恰好选1 个会双语的导游，则有
种选择方法，
若恰好选 2 个会双浯的导游，则有
种选择方法,
故不同的选择方法有
种.故答案为：
.
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先
取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：
一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏。
【变式训练5-10】已知关于
的三元一次方程
，且
，则该方程有__________组正
整数解.
【答案】
【解析】方程
，且
的正整数解的组数等价于
将
个相同小球分成三组而每组至少有一个小球的分法总数
则所求的正整数解的组数有
【变式训练5-11】（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？
（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？
（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？
【答案】（1）58；（2）48；（3）106．
【解析】（1）正方体顶点任取
个点，共有
种选法，
其中四点共面的共有6 个面和6 个对角面共12 种，故三棱锥共有
个.
（2）四点共面的共有6 个面和6 个对角面共12 种，
每一种情况，剩余4 个点对应4 个四棱锥，故共有
个.
正方体的顶点为顶点的棱锥只有三棱锥和四棱锥，共有
个
【变式训练5-12】一位教练的足球队共有17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规
则，比赛时一个足球队的上场队员是11 人．问：
(1)这位教练从这17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
【答案】见解析
【解析】(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12 376.
(2)教练员可以分两步完成这件事情：
第1 步，从17 名学员中选出11 人组成上场小组，共有C 种选法；
第2 步，从选出的11 人中选出1 名守门员，共有C 种选法．
所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136 136.
【变式训练5-13】一个口袋内装有7 个白球和1 个黑球．
(1)从口袋内取出3 个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3 个球，使其中含有1 个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【答案】见解析
【解析】(1)从口袋内的8 个球中取出3 个球，取法种数是C＝＝＝56.
(2)从口袋内取出3 个球有1 个是黑球，于是还要从7 个白球中再取出2 个，取法种数是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3 个球中不含黑球，也就是要从7 个白球中取出3 个球，取法种数是C＝＝＝35.
【变式训练5-14】课外活动小组共13 人，其中男生8 人，女生5 人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5
人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选。
【答案】见解析
【解析】(1)从13 人中选出5 人共有C 种选法，其中没有队长的选法为C，故至少有一名队长当选的方法为C－
C＝825 种。
(2)至多有2 名女生当选含有三类：有2 名女生；只有1 名女生；没有女生，所以共有CC＋CC＋C＝966 种选
法。
(3)分两类：
第一类：女队长当选，有C＝495 种选法，
第二类：女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295 种选法，
所以共有495＋295＝790 种选法。
【变式训练5-15】某市工商局对35 种商品进行抽样检查，已知其中有15 种假货．现从35 种商品中选取3 种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?
(3)至少有2 种假货在内，不同的取法有多少种?
(4)至多有2 种假货在内，不同的取法有多少种?
【答案】(1)561；(2)5984；(3)2555；(4)6090
【解析】（1）根据组合数的应用从余下的34 种商品中，选取2 种即可由组合数得答案；
（2）根据组合数的应用从余下的34 种商品中，选取3 种即可由组合数得答案；
（3）由题意得选取2 件假货有
种，选取3 件假货有
种，根据加法计数原理得结论；
（4）用间接法求解选取3 件的总数有
，去掉选出的均为假货的情况，即可得结论.
（1）从余下的34 种商品中，选取2 种有
（种），
某一种假货必须在内的不同取法有561 种．
（2）从34 种可选商品中，选取3 种，有
（种）．
某一种假货不能在内的不同取法有5984 种．
（3）选取2 件假货有
种，选取3 件假货有
种，共有选取方式
（种）．
至少有2 种假货在内的不同的取法有2555 种．
（4）选取3 件的总数有
，因此共有选取方式
（种）．
至多有2 种假货在内的不同的取法有6090 种．
题型06：有限制条件的组合问题
【典型例题1】某食堂每天中午准备4 种不同的荤菜，7 种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：
①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天午餐不同的搭配方法共有(
)
A．210 种 B．420 种 C．56 种 D．22 种
【答案】A
【解析】由分类加法计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有CC＋
CC＝210(种)．
【典型例题2】课外活动小组共13 人，其中男生8 人，女生5 人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5 人
主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
【答案】见解析
【解析】(1)C－C＝825(种)．
(2)至多有2 名女生当选含有三类：
有2 名女生当选；只有1 名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类：女队长当选，有C＝495(种)选法；
第二类：女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
【变式训练6-1】 在一次数学竞赛中，某学校有12 人通过了初试，学校要从中选出5 人参加市级培训．在下列
条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5 人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1 人参加．
【答案】见解析
【解析】(1)从中任取5 人是组合问题，共有C＝792(种)不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9 人中选2 人，是组合问题，共有C＝36(种)不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9 人中选5 人，共有C＝126(种)不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1 人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1 人，有C＝3(种)选法；再从另外9 人中
选4 人，有C 种选法，共有CC＝378(种)不同的选法．
【变式训练6-2】 有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学，求：
(1)5 名同学站成一排，有多少种不同的方法？
(2)5 名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
(3)将5 名同学分配到三个班，每班至少1 人，共有多少种不同的分配方法？
【答案】见解析
【解析】(1)有A＝120(种)不同的方法．
(2)5 名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，则先将甲、乙捆绑，看成一个整体，有A 种方
法；
再将甲、乙看成整体(不考虑甲乙内部排列)，与戊排列，有A 种方法；
最后利用插空法，将丙、丁插入3 个空隙中，有A 种方法．
故有AAA＝24(种)不同的方法．
(3)按人数分配方式分类：
①3,1,1，有A＝60(种)方法；
②2,2,1，有A＝90(种)方法．故共有60＋90＝150(种)分配方法．
题型07：代数中的组合问题
【典型例题1】从0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个
数为( )
A.300 B.216 C.180 D.162
【答案】C
【解析】依题意知，可以分两类：
第一类，不取0，从1，2，3，4，5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为CA＝
72.
第二类：取数字0，取2 和4 中一个数字，再取2 个奇数，组成无重复数字的四位数有CCCA＝108(个).
由分类加法计数原理，组成没有重复数字的四位数共有72＋108＝180(个).
【典型例题2】如果一个整数的各位数码从左至右是逐渐增大或逐渐减小的，那么这个数称为“严格单调数”.
不大于5000 的四位“严格单调数”共有 个.
【答案】126
【解析】分成逐渐增大和逐渐减小两种情况，注意先选后排（ “严格单调数”选出来不需要排，自动排列）.
先考虑从左往右逐渐增大的情况，因为不超过5000，所以分成千位数取值为1，2，3，4 四种情况考虑：
若千位数为1，则从剩下8 个数字中选3 个不重复的从左到右依次增大，共有
种选法；
若千位数为2，则从剩下7 个数字中选3 个不重复的从左到右依次增大，共有
种选法；
若千位数为3，则从剩下6 个数字中选3 个不重复的从左到右依次增大，共有
种选法；
若千位数为4，则从剩下5 个数字中选3 个不重复的从左到右依次增大，共有
种选法；
再考虑从左往右逐渐减小的情况，因为不超过5000，所以分成千位数取值为4 和3 两种情况：
若千位数为4，则从剩下4 个数字中选3 个不重复的从左到右依次减小，共有
种选法；
若千位数为3，则从剩下3 个数字中选3 个不重复的从左到右依次减小，共有
种选法；
所以一共有
种情况，故答案为：
【变式训练7-1】从正整数1，2，……10 中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平
方的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用组合知识求出10 个数任意取出两个不同的数的选法总数，再列举出满足取出的两个数的和等于某
个正整数的平方的情况数，从而求出概率.
从1，2，……10 中任意取出两个不同的数，共有
种选择，
其中
满足取出的两个数的和等于某个正整数的平方，
故取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为
.故选：C
【变式训练7-2】下列正确的是（ ）
A．由数字1，2，3，4 能够组成24 个没有重复数字的三位数
B．由数字1，2，3，4，能够组成16 个没有重复数字的三位偶数
C．由数字1，2，3，4 能够组成64 个三位密码
D．由数字1，2，3，4 能够组成28 个比320 大的三位数
【答案】ACD
【解析】利用分步计数原理结合排列组合数进行计算即可．
由数字1，2，3，4 能够组成没有重复数字的三位数有
个，故A 正确；
若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有
个，故B 错误；
数字1，2，3，4 能够组成三位密码有
个，故C 正确；
若三位数比320 大，则百位是4 时，有
个，
若百位是3，则十位可以是2，3，4 时，个位可以是1，2，3，4，共有
个，则比320 大的三位数有
个，故D 正确．故选：ACD．
【变式训练7-3】用1、2、3、4、5 组成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，求取到的数为奇数的概
率．
【答案】
【解析】应用排列、组合数求出所有三位数个数及其中奇数的个数，由古典概型的概率求法求概率.
任取三个数字组成三位数有
种，
其中三位数为奇数有
种，所以取到的数为奇数的概率为
.
【变式训练7-4】已知集合
.
(1)从
中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合
中取出个元素，从集合
中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比
大的正整数？
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）先求得
以及
，然后根据排列数的知识求得正确答案.
（2）根据取出的元素是否包含进行分类讨论，结合排列、组合的知识求得正确答案.
（1）由
，得
，
所以
，所以
，所以
，
从
中取出个不同的元素组成三位数，
可以组成
个三位数.
（2）由（1）得
，而
，
若从集合
中取元素，则不能作千位上的数字，
有
个满足题意的正整数；
若不从集合
中取元素，则有
个满足题意的自然数.
所以，满足题意的自然数的个数共有
.
【变式训练7-5】已知三个条件：①偶数；②能被5 整除的数；③比7630 大的数．从这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：用0～9 这10 个数字组成无重复数字的四位数，求其中____________的个数．
【答案】答案见解析
【解析】若选①，个位分0 或其它偶数两组情况分别求解；若选②，分个位是0 或5 两种情况求解；若选③，
千位分为7，8，9，再利用分步和分类原理，即可求解.
选①：若个位是0，有
个．若个位是2，4，6，8，有
个．
共
个．
选②：若个位是0，有
个．若个位是5，有
个．
共
个．
选③：若千位是8，9，有
个．若千位是7，百位是8，9，有
个．
若千位是7，百位是6，有
．共
个．
题型08：几何中的组合问题
【典型例题1】如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A，B 的六个点C1，C2…，C6，线段AB 上有异于A，
B 的四个点D1，D2，D3，D4。
①以这10 个点中的3 个点为顶点可作出多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
②以图中的12 个点(包括A，B)中的4 个点为顶点，可作出多少个四边形？
【答案】见解析
【解析】①解法一：可作出三角形C＋C×C＋C×C＝116(个)。
解法二：可作出三角形C－C＝116(个)。
其中以C1为顶点的三角形有C＋C×C＋C＝36(个)。
②可作出四边形C＋C×C＋C×C＝360(个)。
【典型例题2】四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3 个点，使它们和点A 在同一平面上，有多
少种不同的取法？
(2)四面体的顶点和各棱中点共10 个点，在其中取4 个不共面的点，有多少种不同的取法？
【答案】见解析
【解析】(1)(直接法)如图，含顶点A 的四面体的3 个面上，除点A 外都有5 个点，从中取出3 个点必与点A 共
面，共有3C 种取法；含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3 种取法。根据分类
加法计数原理，与顶点A 共面的三点的取法有3C＋3＝33(种)。
(2)(间接法)从10 个点中取4 个点的取法有C 种，除去4 点共面的取法种数可以得到结果。从四面体同一个面上
的6 个点取出的4 点必定共面，共有4C＝60(种)取法；四面体的每一棱上的3 个点与相对棱中点共面，共有6
种取法；从6 条棱的中点中取4 个点时有3 种取法(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4 点不共面的取法有
C－(60＋6＋3)＝141(种)。
【典型例题3】已知直线a，直线b，且a∥b，a 上有5 个点，b 上有4 个点，则以这九个点为顶点的三角形个
数为( )
A.CC＋CC B.(C＋C)(C＋C) C.C－9 D.C－C
【答案】见解析
【解析】可以分为两类：
a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为CC；
a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为CC.
由分类加法计数原理，共构成三角形个数为CC＋CC.
【变式训练8-1】用4 种不同颜色给一个正四面体涂色，每个面涂一种颜色，4 个颜色都要用到，共有
种涂色的方法．
【答案】2
【解析】先规定其中一种颜色为底面（固定），其它面可以旋转，进而结合排列组合知识求解即可.
不妨先规定其中一种颜色为底面（固定），其它面可以旋转，正四面体展开图如下：
此时再涂其他三种颜色，共有
种方法.故答案为：2.
【变式训练8-2】如图，已知圆
，以圆内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点构造三角形，
这样的三角形一共有多少个？
【答案】76
【解析】作出9 个点，再利用组合公式即可.
将
代入圆方程左边有
，
又因为圆内横坐标与纵坐标均为整数的点，共有9 个点，其中三点共线的有8(种)，
所以不共线三点共有
(种)，所以三角形共有76(个).
【变式训练8-3】圆上有12 个不同的点.
(1)过每两点画一条弦，一共可以画多少条不同的弦？
(2)过每三点画一个圆内接三角形，一共可以画多少个圆内接三角形？
【答案】(1)66(2)120
【解析】（1）从12 个不同的点任选2 点可画出66 条不同的弦;
（2）从圆上12 个不同的点任选3 点可画出220 个圆内接三角形
（1）从12 个不同的点任选2 点可画一条弦，
共画出
(条)不同的弦;
（2）
不共线的三点确定一个三角形，
从圆上12 个不同的点任选3 点可画一个三角形,
共画出
(个)圆内接三角形.
【变式训练8-4】如图，平行直线a，b 上分别有4 个和5 个不同的点，
(1)任取这9 个点中的两个连一条直线，则一共可以连多少条不同的直线？
(2)任取这9 个点中的三个首尾相连，则一共可以组成多少个不同的三角形？
【答案】(1)22(2)70
【解析】（1）分两类：在同一直线上的两点和不同直线上的两点，再利用组合和分类计数原理即可求出结果；
（2）分两类：线
上任取一点，在直线
上任取两点和直线
上任取两点，在直线
上任取一点，再利用组合
和分类计数原理即可求出结果.
（1）当任取的两点同在直线
或直线
上时，共能确定2 条不同直线，
当任取的两点，一点在直线
上，一点在直线
上时，共能确定不同直线
条，
因此共能确定不同直线
条.
（2）在直线
上任取一点，在直线
上任取两点，则能组成
个不同的三角形，
在直线
上任取两点，在直线
上任取一点，则能组成
个不同的三角形，
因此一共可以组成
个不同的三角形.
【变式训练8-5】如图，在六边形ABCDEF 的6 个顶点和其对角线AD，BE，CF 的交点P，Q，R 中，如果过
其中的每3 个点作一个圆，共可作多少个圆？
【答案】72
【解析】不共线的三个点确定一个圆，利用计数原理计算即可.
由题意得共九个点，任取三个点有
种选法，而三点共线的有
，
故能确定
个圆.
【变式训练8-6】（1）平面内有两组平行线，一组有
条，另一组有
条，不同组的平行线都相交，这些平行
线一共构成了多少个平行四边形？（
）
（2）空间中有三组平行平面，第一组有
个，第二组有
个，第三组有个，不同组的平面都互相垂直．这些
平行平面一共构成了多少个长方体？（
）
【答案】（1）
；（2）
【解析】根据组合数的计算以及平行四边形、长方体的知识求得正确答案.
（1）平面内有两组平行线，一组有
条，另一组有
条，不同组的平行线都相交，
则一共构成
个平行四边形.
（2）空间中有三组平行平面，第一组有
个，第二组有
个，第三组有个，
不同组的平面都互相垂直．
这些平行平面一共构成
个长方体.
【变式训练8-7】如图，在
的两边
、
上分别有5 个点和6 个点（都不同于点O），这连同点O
在内的12 个点可以确定多少个不同的三角形？
【答案】
【解析】根据有没有取到点
的两种情况分别计算，而没取到点
又分两种情况计算，最后根据分类相加即可
求解.当取到点
时，在
、
上各取一点（与点
不同），有
种；
当不取到点
时，
一是从
上取两点（与点
不同），在
上取一个点（与点
不同），有
种；
二是从
上取两点（与点
不同），在
上取一个点（与点
不同），有
种.
所以这连同点O 在内的12 个点可以确定的不同的三角形共有
种.
题型09：分组分配问题
【典型例题】为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设
三门劳动教育校本课程，现有甲、
乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，
则不同的报名方法有（ ）
A．60 种
B．150 种
C．180 种
D．300 种
【答案】B
【解析】对五位同学分3 组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可．
根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选
三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有
种；
②三组人数为2、2、1，此时有
种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150 种．故选：B．
【变式训练9-1】2023 年暑假，5 位老师去某风景区游玩，现有“垂云通天河”、“严子陵钓台”这两处风景
供选择，若每位老师只能选取其中的一处风景且每处风景最多被3 位老师选择，则不同的选择方案共有
种（用数字作答）．
【答案】20
【解析】根据题意，先分组再分配，结合排列数，组合数，代入计算，即可得到结果.
依题意得，5 位教师中有3 位选取其中的一处风景游玩，另两位教师选择另一处风景游玩．
故可分两步：
第一步：将5 位老师分为两组，一组3 人，一组2 人，共有
种不同的分法；
第二步：将两组分配到两处风景，共有
种不同的方法．
根据分步乘法计数原理，得共有
种不同的选择方案．故答案为：
【变式训练9-2】现有4 名同学报名参加3 个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若每个小组至少要有
1 人参加，则共有 种不同的安排方法.
【答案】
【解析】先利用组合知识分组，再利用全排列分配即可.
第一步，将4 名同学随机分成三组，每组至少一人的分法为
，
第二步，将三组全排列有
，所以共有
种不同的安排方法.故答案为：
【变式训练9-3】四名志愿者到3 个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识．每名志
愿者只去1 个小区，每个小区至少安排1 名志愿者，则不同的安排方法共有 （用数字作答）
【答案】
【解析】先分组，再分配，先将四名志愿者分为、、
三组，再安排到个小区.
将四名志愿者分为、、
三组，再安排到个小区，则有
种安排方法.故答案为：
【变式训练9-4】(1)6 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？
(2)6 本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？
【答案】见解析
【解析】(1)先从6 本书中选2 本给甲，有C 种方法；再从其余的4 本中选2 本给乙，有C 种方法；最后从余下
的2 本书中选2 本给丙，有C 种方法，所以分给甲、乙、丙三人，每人2 本，共有CCC＝90(种)方法。
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有CCC 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份，每份两本，
设有x 种方法；第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有A 种方法。根据分步乘法计数原理，可得
CCC＝xA，所以x＝＝15。因此分为三份，每份两本，一共有15 种方法。
题型10:相同对象的分配问题（x+y+z=n）（隔板法）
【典型例题1】20 个不加区别的小球放入编号为1、2、3 的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号
数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120 种
B．240 种
C．360 种
D．720 种
【答案】A
【解析】应用“隔板法”即可求解.
先在编2 号,3 号的盒内分别放入1 个球和2 个球，还剩17 个小球，
三个盒内每个至少再放入1 个，将17 个球排成一排，有16 个空隙，
插入2 块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有
（种）方法．故选:A.
【典型例题2】方程
的正整数解的个数为（ ）
A．56
B．35
C．70
D．66
【答案】B
【解析】将问题转化为将8 个相同的小球装入4 个不同的盒子中，每个盒子中至少有1 个小球，采用隔板法求
解即可．
原问题相当于将8 个相同的小球装入4 个不同的盒子中，每个盒子中至少有1 个小球，
采用隔板法，将8 个小球排成一排，在其中的7 个空位上插入3 个隔板即可，
故共有
种．故选：B.
【典型例题3】有方程
，试讨论有序数对
解的个数．下列分析正确的是（ ）
A．若
，
，均为正整数，则
解的个数为
B．若
，
，均为非负整数，则
解的个数为
C．若
，
，均为正整数，且
，
，两两不等，则
解的个数为341044
D．若
，
，均为正整数且满足
，则
解的个数为341044
【答案】ABD
【解析】AB 可转化为排列组合问题用档板法可得；C 选项可先求
，
，相等时
的解个数，再用排除
法可得；D 选项分为由相等和不相等并且
的不同的类，利用分类加法可得.
选项A：因
，
，均为正整数，
则
解的个数相当于把
个用两个档板分成3 份，分别对应
，
，，
所以
解的个数为
，故A 正确；
选项B： 由
得
，
因
，
，均为非负整数，所以
，
，
均为正整数，
与
一一对应，
相当于把
个用两个档板分成3 份，分别对应
，
，
，
所以
解的个数为
，故B 正确；
C 选项：因
，
，均为正整数，
，
若
，则
，不满足
为正整数，
故
，
，至多有两个相等，
若
，则
,故
的取值为从到
的整数，共
个，
所以
，
，有两个相等时
的个数为
个，
故
，
，两两不等时，
解的个数为
个，故C 错误；
选项D：若
，
，均为正整数且满足
，
当
时，因
，
所以
，得
，即
，
所以
的取值为从1 到
的整数，共674 个，
此时
的个数为674 个.
当
时，因
，
所以
，得
，即
，
因
取正整数，所以
的取值为从1 到
的奇数，共337 个，
此时
的个数为337 个.
当
时，
个用两个隔板分成3 份，将其从小到大，分别对应
，
，，
有
共有
，故D 正确.故选：ABD
【变式训练10-1】现有6 个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为
.
【答案】
【解析】分只有一个班分到名额，恰有两个班分到名额和三个班都分到了名额三种情况求出总的情况，然后利用
古典概型求概率的方法能求出恰有两个班分到三好学生名额的概率．
将6 个三好学生名额分到三个班级，有3 种类型：
第一种是只有一个班分到名额，有3 种情况；
第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法得有
种情况，
第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有
种情况，
则恰有两个班分到三好学生名额的概率为
．故答案为：
．
【变式训练10-2】个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学，不同分法的总数为 ．
【答案】
【解析】在个相同的篮球中间形成的
个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果.
问题等价于：在个相同的篮球中间形成的
个空位中插入两块板，
所以，不同的分法种数为
种.故答案为：.
【变式训练10-3】方程
的非负整数解的组数为 ．
【答案】14365
【解析】根据3x+4y+12z＝2020，x，y，z 均为整数，结合题干中的3×4＝12 进行分析入手即可．
∵3x+4y+12z＝2020，∴
，∵x，y，z 均为整数，∴
也是整数，∴设x＝4k，则
3k+y+3z＝505，∴3（k+z）+y＝505，易知505÷3＝168…1，则k+z 可取的值为0～168，当k+z＝0 时，
k＝z＝0；当k+z＝1 时，
或
；当k+z＝n 时，k 的取值集合为{0，1，2，…，n}，对应z＝n﹣
k；故当k+z 取遍0～168 时，z 的所有可能取值数为
种，故所有的非负整数解为14365
种．
【变式训练10-4】方程
的非负整数解的个数为 .
【答案】81
【解析】设
，
，
，由此
，又
，
，可得：
，
，则可判断
可能的解有：（2，0，5），（1，6，0），（4，3，0），（7，
0，0），
①当
，可求得：
，而
，看成2 个相同白球，用隔板法隔成
3 区域（可有空区），有
个解；
②当
，可求得：
，
，而
，有
个解，
因此该情况共有
个解；
③当
，可求得
，
，而
，有
种情况，
因此该情况共有
个解；
④当
，可求得：
，而
，有
个解．
综上，方程非负整数解个数为：81．
【变式训练10-5】某校社团召开学生会议，要将
个学生代表名额，分配到高二年级的个班级中，若高二
（一）班至少个名额，其余个班每班至少个名额，共有 种不同分法.（用数字作答）
【答案】
【解析】先分配给高二（一）班2 个名额，剩余9 个名额用隔板法分配.
先给高二（一）班2 个名额，还有9 个名额分到6 个班级去，
每班至少个名额，使用隔板法，
有9 个相同元素共8 个空（不含两端），插入5 个板，共有
种插法，
两个板之间元素个数即为相应班级名额.故答案为：
【变式训练10-6】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、
乙、丙、丁、戊5 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1 人.若甲、
乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8 种
B．14 种
C．20 种
D．16 种
【答案】B
【解析】分甲、乙都不在天和核心舱和甲、乙恰好有一人在天和核心舱两种情况求解可得.
第一类，甲、乙都不在天和核心舱共有
种；
第二类，甲、乙恰好有一人在天和核心舱，先排天和核心舱有
种，
然后排问天实验舱与梦天实验舱有
种，
所以，甲、乙恰好有一人在天和核心舱共有
种.
综上，甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验共有
种.故选：B
题型11:其他组合问题
【典型例题1】上古时代神话传说中，伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出了“八卦”，
而龙马身上的图案就叫作“河图”（如图1），河图把一到十这十个数字分成五组，其口诀为：一六共宗，为水
居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中，现从这十个数
中随机抽取六个数，则能成为三组的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据古典概型结合组合数运算求解.
从一到十这十个数中随机抽取六个数，基本事件总数
，
能成为三组的基本事件个数
，
则能成为三组的概率
．故选：C．
【典型例题2】如图，一圆形信号灯分成
四块灯带区域，现有3 种不同的颜色供灯带使用，要求在每
块灯带里选择1 种颜色，且相邻的2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A．18
B．24
C．30
D．42
【答案】A
【解析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.
若用3 种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么
，要么
相同，有2 种方案，则不同的信号数
为
；
若只用2 种不同的颜色灯带，则
颜色相同，
颜色相同，只有1 种方案，则不同的信号数为
；
则不同的信号总数为
.故选：A．
【变式训练11-1】9 名学生报名参加学校联欢晚会，其中4 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其余3 人既会唱歌又
会跳舞，现从中选6 人，3 人唱歌，3 人跳舞，共有 种不同的选法.
【答案】
【解析】从只会跳舞的
人入手，分只会跳舞的选人，只会跳舞的选人和只会跳舞的选
人，三种情况讨论，
即可得解.只会跳舞的选人，则有
种，
只会跳舞的选人，则有
种，只会跳舞的选
人，则有
种，
所以共有
种不同的选法.故答案为：
.
【变式训练11-2】现有五张卡片，分别写有数字0，1，2，3，6（数字6 倒放也可当做数字9），则用这些卡
片摆成的不同五位数的个数为 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】先确定首位，再确定其他位置，再结合数字6 倒放也可当做数字9，即可得解.
先确定首位有
张卡牌可选，再确定其他位置，有
种选法，
又因数字6 倒放也可当做数字9，
所以不同五位数的个数共有
个.故答案为：
.
【变式训练11-3】男运动员6 名，女运动员4 名，其中男、女队长各1 名.现选派 5 人外出参加比赛.
(1)队长中至少有1 人参加，有多少种选派方法?
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式?
【答案】(1)196(2)7560
【解析】（1）求出随机选择和没有队长的情况，即可求出队长中至少有1 人参加时选派方法的数量；
（2）求出随机选择人数，人随机坐和人坐同一个车中的情况，即可求出运动员分坐在两辆车上(每辆车上至
少有一名运动员)时安排方式的数量.
（1）由题意，男运动员6 名，女运动员4 名，其中男、女队长各1 名.选派 5 人，
若没有队长，则有
种选派方法，若随机选择，则有
种选派方法，
∴队长中至少有1 人参加，有
种方法.
（2）由题意，男运动员6 名，女运动员4 名，选派 5 人外出参加比赛，分坐在两辆车，
∴选择的人是随机的，有
种情况，
若人坐同一个车中，有
种情况，若人随机坐，有
种情况，
∴从
人中选5 人，且坐在
辆不同的车中，有
种情况.
【变式训练11-4】（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1）
；（2）
；（3）；（4）
.
【解析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步
计数原理可得结果；
（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）只需在个相同的小球中间所形成的
个空位中插入
块板即可，利用隔板法可求得结果；
（4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入
块板即可，利用隔板法可求得结果.
解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为
、
、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为
种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为
种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的
个空位中插入
块板即可，
所以，不同的放法种数为
种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入
块板即可，
所以，不同的放法种数为
种.
【变式训练11-5】证明不定方程
的正整数解的个数为
．
【答案】证明见解析
【解析】本题可看作
个相同的小球放入m 个不同盒子中，要求每个盒子不空时球的放法数．于是将
个小球
排成一行，它们之间有
个空隙，空隙中只插
个隔板，故有
种放法，即原不定方程的正整数解的个
数为
．
【变式训练11-6】将4 个编号为1，2，3，4 的小球放入4 个编号为1，2，3，4 的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4 个不同的小球换成4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
【答案】(1)256(种)(2)24(种)(3)144(种)(4)12(种)
【解析】（1）由分步乘法计数原理求解即可；
（2）根据排列的定义求解即可；
（3）（方法1）先将4 个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；
（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解；
（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放
一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解.
（1）每个小球都可能放入4 个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有
种放
法.
（2）这是全排列问题，共有
(种)放法.
（3）（方法1）先将4 个小球分为三组，有
种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个
盒子，有
种投放方法，故共有
(种)放法.
（方法2）先取4 个球中的两个“捆”在一起，有
种选法，
把它与其他两个球共3 个元素分别放入4 个盒子中的3 个盒子，有
种投放方法，
所以共有
(种)放法.
（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，
余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，
故共有
(种)放法.
（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有
种选法，
第二步在小球之间的3 个空隙中任选2 个空隙各插一块隔板，有
种方法，
由分步计数原理得，共有
(种)放法.
【变式训练11-7】某学校的高一年级总共有8 个班级，现学校要求高一年级组织一个篮球队，篮球队队员共12
人， 每个班级中至少有一个人参加，问篮球队队员的名额分配有几种方法？
【答案】330
【解析】隔板法：把问题转化为将12 个完全相同的球排成一列，在中间的11 个空隙插入7 个相同的“隔板”，
不同的插入方法就是不同的名额分配方法.
把问题转化为将12 个完全相同的球排成一列，在中间的11 个空隙插入7 个相同的“隔板”，每个空隙只能插
入1 个“隔板”，这样就可以将12 个球分成8 份．在11 个空隙中插入7 个相同的“隔板”有
种方法；所以
篮球队队员的名额分配有
种方法．
【变式训练11-8】三进制数
对应的十进制数记为
，即
，其中
或
，则
对应的十进制
数为 ，满足
中有2 个0，4 个2 的所有三进制数
的个数为 .
【答案】 1019 30
【解析】根据三进制对应10 进制的计算方法求解即可得
对应的十进制数；根据首位为1，2，再选
取剩下6 位中有2 个0 求解即可.
对应的10 进制数为
；
满足
中有2 个0，4 个2 的所有三进制数
的个数为
.
故答案为：1019；30
【变式训练11-9】已知非空集合
，
满足以下四个条件：
①
；
②
；
③
中的元素个数不是
中的元素；
④
中的元素个数不是
中的元素．
（ⅰ）如果集合
中只有1 个元素，那么集合
的元素是 ；
（ⅱ）有序集合对
的个数是 ．
【答案】
【解析】（ⅰ）如果集合
中只有1 个元素，则
，
，即
，
，即可推出
；
（ⅱ）分别讨论集合
，
元素个数，即可得到结论．
因为集合
中只有个元素，则集合
中有个元素，所以
，
，
则
，即
，即集合
的元素是；
若集合
中只有个元素，则集合
中只有个元素，则
，
，
即
，
，此时有
，
若集合
中只有
个元素，则集合
中只有个元素，则
，
，
即
，
，则有
，
若集合
中只有个元素，则集合
中只有个元素，则
，
，
即
，
，此时有
，
若集合
中只有
个元素，则集合
中只有
个元素，则
，
，显然矛盾；
若集合
中只有个元素，则集合
中只有个元素，则
，
，
即
，
，此时有
，
若集合
中只有个元素，则集合
中只有
个元素，则
，
，
即
，
，此时有
，
若集合
中只有个元素，则集合
中只有个元素，则
，
，
即
，
，此时有
，
故有序集合对
的个数是
，故答案为：；
题型12：排列与组合的综合问题
【典型例题】从0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个
数为( )
A.300 B.216 C.180 D.162
【答案】 C
【解析】依题意知，可以分两类：
第一类，不取0，从1，2，3，4，5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为CA＝
72.
第二类：取数字0，取2 和4 中一个数字，再取2 个奇数，组成无重复数字的四位数有CCCA＝108(个).
由分类加法计数原理，组成没有重复数字的四位数共有72＋108＝180(个).
【变式训练12-1】(多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5 名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导
游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是( )
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1 人参加，则不同的安排方法种数为AC
C．每项工作至少有1 人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同
安排方案的种数是CCA＋CA
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1 人，则这5 名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A
【答案】见解析
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，安排5 人参加4 项工作，若每人都安排一项工作，每人有4 种安排方法，则有45 种安排方法，故A 错
误；
对于B，根据题意，分2 步进行分析：先将5 人分为4 组，再将分好的4 组全排列，安排4 项工作，有CA 种安
排方法，故B 错误；
对于C，根据题意，分2 种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出1 人开车，②从丙、丁、戊中选出2 人开车，则有
CCA＋CA 种安排方法，C 正确；
对于D，分2 步分析：需要先将5 人分为3 组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，
有A 种情况，则有A 种安排方法，D 错误．
【变式训练12-2】大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的10 个专业中，选择
3 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时填报，则该考生有________种不同的填报
专业志愿的方法(用数字作答).
【答案】见解析
【解析】当甲、乙都不选时，有CA＝A＝336(种)；
当甲、乙两个专业选1 个时，有CCA＝336(种).
根据分类加法计数原理，共有336＋336＝672(种)不同的填报专业志愿的方法.
【变式训练12-3】（多选）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1
名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则关于不同的安排方法说法错误的有( )
A．30 种 B．60 种 C．90 种 D．120 种
【答案】见解析
【解析】甲场馆安排1 名有C 种方法，乙场馆安排2 名有C 种方法，丙场馆安排3 名有C 种方法，所以由分步
乘法计数原理得不同的安排方法共有CCC＝60 种。故选ACD。
【变式训练12-4】设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，则集合A 中满足
条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )
A.60 B.90 C.120 D.130
【答案】见解析
【解析】集合A 中元素为有序数组(x1，x2，x3，x4，x5)，
题中要求有序数组的5 个数中仅1 个数为±1、仅2 个数为±1 或仅3 个数为±1，
故共有C×2＋C×2×2＋C×2×2×2＝130(个)不同数组.
【变式训练12-5】《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了
五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2 个小灯，另一种是大灯下缀4 个小灯，大灯共360 个，
小灯共1 200 个。若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4 个小灯的概率
为( )
A. B. C. D.
【答案】见解析
【解析】设大灯下缀2 个小灯与大灯下缀4 个小灯的灯球数分别为x，y，则解得若随机选取两个灯球，则至少
有一个灯球是大灯下缀4 个小灯的概率为1－＝。故选C。
【变式训练12-6】大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的10 个专业中，选择
3 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时填报，则该考生有________种不同的填报
专业志愿的方法(用数字作答).
【答案】见解析
【解析】当甲、乙都不选时，有CA＝A＝336(种)；
当甲、乙两个专业选1 个时，有CCA＝336(种).
根据分类加法计数原理，共有336＋336＝672(种)不同的填报专业志愿的方法.
【变式训练12-7】某班班会准备从含甲、乙的6 名学生中选择4 人发言，要求甲、乙2 人中至少有一人参加，
且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为________.
【答案】见解析
【解析】根据题意，分两种情况讨论，若甲、乙其中一人参加，则有CCA＝192(种)情况；
若甲、乙两人都参加，则有CAA＝72(种)情况，故不同的发言顺序种数为192＋72＝264.
【变式训练12-8】设S 为一个非空有限集合，记为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A，B 满足：|
A∩B|＝k 并且A∪B＝S，则称子集，为集合S 的一个“k－覆盖”(其中0≤k≤|S|)，若|S|＝n，则S 的“k
－覆盖”个数为____________.
【答案】见解析
【解析】根据题意，分2 步进行分析：
①若|S|＝n，即集合S 中有n 个元素，在其中任选k 个，有C 种取法，
②集合S 中还有(n－k)个元素，假设这(n－k)个元素组成集合M，集合M 有2n－k 个子集，则S 的“k－覆
盖”个数为C·2n－k.
【变式训练12-9】某医疗小组有4 名男性，2 名女性共6 名医护人员，医护人员甲是其中一名．
(1)若从中任选2 人参加A，
两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人
员甲不参加
项救护活动的选法种数；
(2)这6 名医护人员将去3 个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2 人前往，若2 名女性不能去
往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【答案】(1)25；(2)72
【解析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；
（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．
（1）分两类：①甲参加
项救护活动，再从其余5 人中选一人参加A，选法数为
，
②甲不参加救护活动，则从其余5 人中任选两人参加救护活动，选法数为
，
所以共有选法种数为20+5=25；
（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：
，
第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：
，
第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：
，
所以共有不同的分配方案数为：
．
【变式训练12-10】某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，
“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4 张卡片，其中抽到“龙”卡获得2 分，抽到其他卡均获得1 分，
若抽中“福”“龙”“迎”“春”
张卡片，则额外获得2 分．
(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4 张卡片的不同的抽法种数；
(2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）根据组合数的知识求得正确答案.
（2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案.
（1）学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4 张卡片的不同的抽法种数为
种.
（2）学生乙最终获得分，有两种情况：
①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有
种.
②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”
张卡片，方法数有
种.
所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为
种.
一、单选题
1．下列问题中是组合问题的个数是 ( )
①从全班50 人中选出5 名组成班委会；
②从全班50 人中选出5 名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9 中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9 中任取出两个数求差或商．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据组合及排列的定义即得.
【解析】根据组合定义可知①③是组合，②④与顺序有关是排列.故选：B
2. 方程C＝C 的解集为( )
A．4 B．14 C．4 或6 D．14 或2
【答案】C
【解析】由题意知或解得x＝4 或6.故选C。
3. C＋C＋C＋C＋C＋C 等于( )
A．C B．C C．C D．A
【答案】B
【解析】因为C＋C＝C，
所以C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C.故选B。
4. 对于m，n∈N*，下列排列组合数结论错误的是( )
A．mC＝nCB C＝C＋C C．A＝CA D．A＝(m＋1)A
【答案】D
【解析】对于A，mC＝m＝，
nC＝n＝，
所以mC＝nC，故A 正确；
对于B，由组合数的性质直接得到C＝C＋C，故B 正确；
对于C，因为A＝，CA＝×m！＝，
所以A＝CA，故C 正确；
对于D，A＝，而(m＋1)A＝(m＋1)，
所以A≠(m＋1)A，故D 错误．故选D。
5. 从2,3，…，8 中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这
样的三位数的个数为( )
A．35 B．42 C．105 D．210
【答案】A
【解析】由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字
放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C＝＝35。故选A。
6. 第24 届冬季奥运会于2022 年2 月4 日至2022 年2 月20 日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、
乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都要
有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】C
【解析】因为甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类方法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有A＝2(种)；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有C＝2(种)，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高山滑
雪馆与国家速滑馆，有CA＝6(种)，则共有2×6＝12(种)，综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的
种数为12＋2＝14.故选C。
7. 某中学从4 名男生和3 名女生中选4 人参加某高校自主招生考试，若这4 人中必须既有男生又有女生，则不
同的选法共有( )
A.34 种 B.35 种 C.120 种 D.140 种
【答案】A
【解析】从7 人中选4 人，共有C＝35(种)选法，4 人全是男生的选法有C＝1(种).故4 人中既有男生又有女生
的选法种数为35－1＝34(种)。故选A。
8. 从编号为1，2，3，4 的四种不同的种子中选出3 种，在3 块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其
中1 号种子必须试种，则不同的试种方法有( )
A.A B.CA C.A D.CA
【答案】B
【解析】从3 块不同的土地中选1 块种1 号种子，有C 种方法，
从其余的3 种种子中选2 种种在另外的2 块土地上，有A 种方法，
故所求方法有CA 种.故选B。
9. 已知直线a，直线b，且a∥b，a 上有5 个点，b 上有4 个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为( )
A. C－C
B.(C＋C)(C＋C) C.C－9
D. CC＋CC
【答案】D
【解析】可以分为两类：
a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为CC；
a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为CC.
由分类加法计数原理，共构成三角形个数为CC＋CC.故选D。
10．从2 名教师和5 名学生中，选出3 人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3 人中至少有一名教师，
则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20
B．55
C．30
D．25
【答案】D
【解析】根据题意，用间接法分析：先计算从2 名教师和5 名学生中选出3 人的选法，再计算其中“入选的3
人没有教师”的选法数目，分析可得答案．
解：根据题意，从2 名教师和5 名学生中，选出3 人，有
种选法，
若入选的3 人没有教师，即全部为学生的选法有
种，
则有
种不同的选取方案，故选：D．
11．旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲乙丙丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅
､
､
､
游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（ ）
A．24
B．18
C．16
D．10
【答案】D
【解析】小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，可的路线有
条；② 不最后去甲景区旅游，
可选路线有
条.
解：小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，则可选的路线有
条；② 不最后去甲景区旅游，
则可选的路线有
条.
所以小李可选的旅游路线的条数为
.故选：D.
12．马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的10 盏路灯．为节约用电，现要求把其中的
两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12
B．18
C．21
D．24
【答案】C
【解析】10 盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法，又两端的灯不能关掉，则有7 个符合条件的空位，
进而在这7 个空位中，任取2 个空位插入关掉的2 盏灯，即可得出答案.
解：根据题意，10 盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法．
先将剩下的8 盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7 个符合条件的空位，进而在这7 个空位中，任取2
个空位插入关掉的2 盏灯，所以共有
种关灯方法．
故选：C．
13．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提
高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四
门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学
的不同选修方式有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】B
【解析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.
由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为
或
或
若是
，则先将
门学科
分成三组共
种不同方式.再分配到三个学年共有
种不同分配方式，由乘法原理可得共有
种，若是
，则先将
门学科分成三组共
种不同方式，再分配到三个学年共有
种不
同分配方式，由乘法原理可得共有
种，若是
，则先将门学科分成三组共
种不同方式，
再分配到三个学年共有
种不同分配方式，由乘法原理可得共有
种
所以每位同学的不同选修方式有
种，故选：B.
14．将编号为、
、、
、的个小球全部放入
、
、
三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个
盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将编号为、
、、
、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、
、
两组，再分配到
个盒子即可求出.
将编号为、
、、
、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、
、
两组.
①当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故个小球的编号只能是、、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，
再分配到三个盒子，此时共有
种分配方法；
②当三个盒子中的小球个数分别为、
、
时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放
个小球的盒子中小球的编号分别为
、
或
、
或
、
或
、
或
、
或
、
，共种，
再分配到三个盒子中，此时，共有
种.综上所述，不同的放法种数为
种.故选：A.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
15．公元2020 年年初，
肆虐着中国武汉，为了抗击
，中国上下众志成城，纷纷驰援武
汉.达州市决定派出6 个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2 个医疗小组，其中A 医疗小
组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30
B．60
C．90
D．180
【答案】A
【解析】利用分步乘法计数原理先分组再分配即可求解.
根据题意，分2 步进行：
①将6 个医疗小组平均分成3 组，每组2 支医疗队，有
种分组方法；
②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有
种情况，
则有
种不同的安排方法.故选：A.
【点睛】本题主要考查了分布乘法计数原理，涉及平均分组和分配问题，属于中档题.
16．从1，2，3，4，5 这五个数字中任取3 个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2 和3 时，2 需排在
3 的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51 个
B．54 个
C．12 个
D．45 个
【答案】A
【解析】由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.
由题意分类讨论：
（1）当这个三位数，数字2 和3 都有，再从1，4，5 中选一个，因为2 需排在3 的前面，这样的三位数有
(个).
（2）当这个三位数，2 和3 只有一个，需从1，4，5 中选两个数字，这样的三位数有
（个）.
（3）当这个三位数，2 和3 都没有，由1，4，5 组成三位数，这样的三位数有
（个）
由分类加法计数原理得共有
(个)．故选：A．
【点睛】方法点睛：本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；
二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位
置)，再考虑其他元素(或位置)．
17．设集合
，那么集合
中满足条件
“
”的元素个数为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】试题分析：分以下三种情况讨论，
（1）
，则上述五个数中有一个为或
，其余四个数为零，此时集合
有
个元素；
（2）
，则上述五个数中有两个数为或
，其余三个数为零，其中这两个数的所有
可能搭配有
中，此时集合
有
个；
（3）
，则上述五个数中有三个数为或
，其余两个数为零，其中这两个数的所有
可能搭配有
中，此时集合
有
个；
综上所述，集合
共有
个元素.故选D.
【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题.
二、多选题
1. 下列等式正确的有( )
A．C＝
B．C＝C
C．C＝C
D．C＝C
【答案】ACD
【解析】A 是组合数公式；D 是组合数性质；由C＝×＝C 得C 正确；B 错误。故选ACD。
2. 某班有30 名男生，20 名女生，现要从中选出5 人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2 人的选法
种数为( )
A．CCC
B．C－C－C
C．CC＋CC
D．C－CC－CC－CC－CC
【答案】CD
【解析】(直接法)男生2 人，女生3 人，有CC 种；男生3 人，女生2 人，有CC 种，共计CC＋CC 种选法，C
正确；(间接法)从50 人中选5 人，减去不符合条件的选法，有C－CC－CC－CC－CC 种，D 正确。故选
CD。
3.下列选项正确的是( )
A.C＝C
B.A＝mA
C.C÷C＝
D.C＝C
【答案】CD
【解析】由组合数性质，选项A 正确.
对于B 选项，A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
所以A＝nA，故B 不成立；
对于C 选项，C÷C＝＝＝，故C 成立；
对于D 选项，C＝＝＝C，故D 成立.
5.若C＝C(n∈N*)，则n 等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】BD
【解析】由题意得，2n－3＝n＋2 或2n－3＋n＋2＝20，解之得n＝5 或n＝7.故选BD。
6．已知
，则x=（ ）
A．3
B．6
C．8
D．10
【答案】AD
【解析】根据组合数的性质求解即可
因为
，故
或
，即
或
故选：AD
7．现有个男生
个女生，若从中选取个学生，则（ ）
A．选取的个学生都是女生的不同选法共有
种
B．选取的个学生恰有个女生的不同选法共有
种
C．选取的个学生至少有个女生的不同选法共有
种
D．选取的个学生至多有个男生的不同选法共有
种
【答案】AC
【解析】根据组合的定义和分步计数原理即可求出．选取的个学生都是女生的不同选法共有
种，
恰有个女生的不同选法共有
种，
至少有个女生的不同选法共有
种，
选取的个学生至多有个男生的不同选法共有
种.故选：AC
8．新高考按照“
”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”
为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、
政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】ABC
【解析】依次判断每个选项得到ABC 正确，D 选项的正确答案是
，错误，得到答案.
对选项A：若任意选科，选法总数为
，正确；
对选项B：若化学必选，选法总数为
，正确；
对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有
种方法，政治地理都不选有
种方法，故共
有选法总数为
，正确；
对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有
种，化学、生物都选有1 种方法，故共有选法总数为
，D 错误.故选：ABC
9．某工程队有6 辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1 辆工程车，则下列结论正
确的有（ ）
A．分给甲乙丙三地每地各
､
､
2 辆，有120 种分配方式
B．分给甲乙两地每地各
､
2 辆，分给丙丁两地每地各
､
1 辆，有180 种分配方式
C．分给甲乙丙三地，其中一地分
､
､
4 辆，另两地各分1 辆，有60 种分配方式
D．分给甲乙丙丁四地，其中两地各分
､
､
､
2 辆，另两地各分1 辆，有1080 种分配方式
【答案】BD
【解析】对A，工地不同，工程车不同，可分步，甲先选2 辆，然后乙选2 辆，剩下2 辆给丙；
对B，同A 相同方法可得；
对C，由于不知哪个工地是4 辆车，因此可把6 辆车按
分组，再全排列可得；
对D，与C 相同方法，先分组再分配．
计算后判断各选项．
对A，先从6 辆工程车中分给甲地2 辆，有
种方法，再从剩余的4 辆工程车中分给乙地2 辆，有
种方法，
最后的2 辆分给丙地，有
种方法，所以不同的分配方式有
（种），故A 错误；
对B，6 辆工程车先分给甲乙两地每地各
､
2 辆，有
种方法，剩余2 辆分给丙丁两地每地各
､
1 辆，有
种
方法，所以不同的分配方式有
（种），故B 正确；
对C，先把6 辆工程车分成3 组：4 辆､1 辆､1 辆，有
种方法，再分给甲乙丙三地，所以不同的分配方式有
､
､
（种），故C 错误；
对D，先把6 辆工程车分成4 组：2 辆､2 辆､1 辆､1 辆，有
种方法，再分给甲乙丙丁四地，所以
､
､
､
不同的分配方式有
（种），故D 正确.故选：BD.
三、填空题
1. 党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、
友善。这12 个词语分别从国家、社会、公民个人三个层面概括了社会主义核心价值观。现从这12 个词语中任
选3 个，且这3 个词语不都选自同一层面，则不同的选法种数为________。
【答案】见解析
【解析】从12 个词语中任选3 个，有C 种选法，其中3 个词语来自同一层面的选法共有3C 种，则不同的选法
种数为C－3C＝208。
2．4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去1 名，则不同的保送方案有________种。
【答案】见解析
【解析】把4 名学生分成3 组有C 种方法，再把3 组学生分配到3 所学校有A 种方法，故共有CA＝36(种)保送
方案。
3. 甲、乙、丙3 人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不
同的站法种数是________。(用数字作答)
【答案】见解析
【解析】当每个台阶上各站1 人时有CA 种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC 种站法。因此不同的站
法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336。
4．从6 人中挑选4 人去值班，每人值班1 天，第一天需要1 人，第二天需要1 人，第三天需要2 人，则有
______种不同的安排方法．
【答案】180
【解析】依次选取1 人，1 人，2 人分别值班第一天，第二天，第三天即可.
解：由题，先从6 人中挑选1 人值第一天的班，有
种，
再从剩下的5 人中挑选1 人值第二天的班，有
种，
最后再从剩下的4 人中挑选2 人值第三天的班，有
种，
所以，共有
种不同的安排方法.故答案为：
5．在报名的 8 名男生和 5 名女生中，选取 6 人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种
数为_____（结果用数值表示）
【答案】1688
【解析】随便选取6 人减去选的全是男生的方法.
从8 名男生和5 名女生共13 人中选取6 人，有
种取法，
其中只有男生的取法有
种，没有只有女生的取法，
则男、女都有选取方式有
种．故答案为：1688
6．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7 名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型
剧本游戏，目前店中仅有可供4 人组局的剧本，其中A，B 角色各1 人，C 角色2 人．已知这7 名同学中有4 名
男生，3 名女生，现决定让店主从他们7 人中选出4 人参加游戏，其余3 人观看，要求选出的4 人中至少有1 名
女生，并且A，B 角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
【答案】348
【解析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.
由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出1 名女生，先从3 名女生中选1 人，再从四名男生中选3 人，然后安排角色，两名男生扮演A，B
角色有
种，剩余的1 名男生和女生扮演C 角色，或A，B 角色1 名男生1 名女生，女生先选有
，剩下的一
个角色从3 名男生中选1 人，则
种，所以共有
种，
第二类：选出2 名女生，先从3 名女生中选2 人，再从四名男生中选2 人，然后安排角色，两名男生扮演A，B
角色有
种，剩余的2 名女生扮演C 角色，或A，B 角色1 名男生1 名女生，选出1 名女生先选角色有
，
剩下的一个角色从2 名男生中选1 人，则
种，所以共有
种，
第三类：选出3 名女生，从先从3 名女生中选3 人，再从四名男生中选1 人，然后安排角色，A，B 角色1 名男
生1 名女生，选出1 名女生先选角色有
，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2 名女生扮演角色C，所以
共有
种，
由分类计数原理可得：店主共有
种选择方式，故答案为：
.
7．我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为
的
个球的口
袋中取出
个球
，共有
种取法.在
种取法中，不取号球有
种取法；取号球有
种取法.所以
.试运用此方法，写出如下等式的结果：
___________.
【答案】
【解析】将等式看作是从编号为
个球中，取出个球，其中第个球的编号依次为
的情况，
利用分类加法计数原理得到的结果；再由从编号为
个球中，取出个球，有
种取法，即可得到
结果.从编号为
个球中，取出个球，记所选取的六个小球的编号分别为
，且
，
当
时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为
的球中选取2 个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的
个球中任选个，故
选取的方法数为
；
当
时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为
的球中选取2 个；第二步，选取编号为
的球；第三步，从剩下的
个球中任选个，
故选取的方法数为
；
……；
当
时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为
的球中选取2 个；第二步，选取编号为
的球；第三步，从剩下的个球中选个，
故选取的方法数为
；
至此，完成了从编号为
个球中，选取个球，第个球的编号确定时的全部情况，
另外，从编号为
个球中，取出个球，有
种取法，
所以
.故答案为：
.
四、解答题
1．计算(1)
；(2)
；(3)
；(4)
．
【答案】(1)455(2)1313400(3)1313400(4)126
【解析】（1）直接应用组合数公式得到结果即可；（2）直接应用组合数公式得到结果即可；（3）先由组合数
性质得到
，再由组合数运算公式得到结果即可；（4）先由组合数性质得到
，再由组合数
运算公式得到结果即可.
（1）根据组合数运算公式得到：
.
（2）根据组合数公式得到：
.
（3）根据组合数性质和运算公式得到：
.
（4）先由组合数运算性质得到:
，
根据运算公式得到：
.
2. 解方程：3C＝5A
【答案】见解析
【解析】由排列数和组合数公式，原方程可化为3·＝5·，则＝，即为(x－3)(x－6)＝40.
所以x2－9x－22＝0，解之可得x＝11 或x＝－2.
经检验知x＝11 是原方程的根，x＝－2 是原方程的增根．
所以方程的根为x＝11.
3. 一个口袋内有4 个不同的红球，6 个不同的白球．
(1)从中任取4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2 分，取一个白球记1 分，从中任取5 个球，使总分不少于7 分的取法有多少种？
【答案】见解析
【解析】(1)由题意知本题是一个分类计数问题，将取出4 个球分成三类情况；
取4 个红球，没有白球，有C 种；取3 个红球1 个白球，有CC 种；
取2 个红球2 个白球有CC 种．所以C＋CC＋CC＝115 种．
(2)设取x 个红球，y 个白球，则(0≤x≤4，0≤y≤6)，
所以或或所以符合题意的取法种数有CC＋CC＋CC＝186 种．
4. 有五张卡片，它们的正、反面分别写0 与1，2 与3，4 与5，6 与7，8 与9.将其中任意三张并排放在一起
组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
【答案】见解析
【解析】依0 与1 两个特殊值分析，可分三类：
(1)取0 不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C 种方法；0 可在后两位，有C 种方法；最后需从剩下
的三张中任取一张，有C 种方法；又除含0 的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的
三位数有CCC·22 个.
(2)取1 不取0，同上分析可得不同的三位数有C·22·A 个．
(3)0 和1 都不取，有不同三位数C·23·A 个．
综上所述，不同的三位数共有CCC·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个).
5．一个口袋内装有7 只不同的白球和1 只黑球．
(1)从口袋内取出3 只球，共有多少种不同的取法？
(2)从口袋内取出3 只球，其中必有1 只黑球，有多少种不同的取法？
(3)从口袋内取出3 只球，其中没有黑球，有多少种不同的取法？
【答案】(1)56 种(2)21 种(3)35 种
【解析】（1）根据组合的定义可列出式子；（2）根据题干知，就是从剩下的白球中取出2 个白球的取法种数，
列出式子求解即可；（3）根据题意知，从7 个白球中取出3 个球即可，根据组合的定义列式求解即可.
（1）从口袋内8 个球取出3 个球的取法共有C83=56 种．
（2）从口袋内8 个球取出3 个球，使其中恰有1 个黑球，
即从剩下的白球中取出2 个白球的取法种数，共有C72=21 种.
（3）从口袋内取出3 个球，其中没有黑球，
即从7 个白球中取出3 个球即可，有C73=35 种．
6．现有6 本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．
(1)分成三组，一组3 本，一组2 本，一组1 本；
(2)分给三个人，一人3 本，一人2 本，一人1 本；
(3)平均分成三个组每组两本．
【答案】(1)60；(2)360；(3)15.
【解析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；
（2）根据题意，先将6 本书分为1、2、3 的三组，再将分好的三组分给3 人，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．
（1）根据题意，第一组3 本有
种分法，第二组2 本有
种分法，第三组1 本有1 种分法，
所以共有
种分法.
（2）根据题意，先将6 本书分为1、2、3 的三组，有
种分法，
再将分好的三组分给3 人，有
种情况，
所以共有
种分法.
（3）根据题意，将6 本书平均分为3 组，有
15 种不同的分法．
7．某班级甲组有5 名男生，3 名女生；乙组有6 名男生，2 名女生．
(1)若从甲、乙两组中各选1 人担任组长，则有多少种不同的的选法？
(2)若从甲、乙两组中各选1 人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？
(3)若从甲、乙两组中各选2 人参加核酸检测，则选出的4 人中恰有1 名男生的不同选法共有多少种？
【答案】(1)64；(2)128；(3)51.
【解析】（1）利用分步原理即得；
（2）利用先选后排可求；
（3）先分类再分步即得
（1）利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1 人担任组长，共有
种不同的的选法；
（2）先选后排，可得从甲、乙两组中各选1 人担任正副班长有
种不同的的选法；
（3）先分类再分步：第一类：甲组1 男生：
，第二类：乙组1 男生：
，
则选出的4 人中恰有1 名男生的不同选法共有51 种.
8．用组合数公式证明：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）利用组合数公式可得
，
，即证；
（2）利用组合数公式可得
，通过化简运算可证.
（1）∵
，
，
∴
.
（2）∵
∴
.
9．某班有一个5 男4 女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不
同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？
(1)将9 人分成人数分别为2 人、3 人、4 人的三个组去进行社会实践；
(2)将9 人平均分成3 个组去进行社会实践；
(3)将9 人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
【答案】(1)
；(2)
；(3)
.
【解析】（1）先将9 人按
分组，再将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.
（2）利用平均分配直接列式计算作答.
（3）将4 个女生按
分组，再取男生到分成的三组，确保各组都为3 人，然后将三组分配到三个项目中去，
列式计算作答.
（1）将9 人按
分组，有
种分组方法，再把各组分配到三个项目中去有
方法，
由分步乘法计数原理得：
，
所以不同的调查方式有
.
（2）从9 人中任取3 人去调查第一个项目，从余下6 人中任取3 人去调查第二个项目，最后3 人去调查第三个
项目，
由分步乘法计数原理得：
，
所以不同的调查方式有
.
（3）把4 个女生按
分组，有
种分法，再从5 个男生中任取1 个到两个女生的一组，
从余下4 个男生中任取2 人到1 个女生的一组，最后2 个男生到最后的1 个女生组，分法种数为
，
将分得的三个小组分配到三个项目中去有
方法，
由分步乘法计数原理得：
，
所以不同的调查方式有
.
10．蓝天救援队有男救援员8 名，女救援员4 名，现选派5 名救援员参加一项救援.
(1)若男救援员甲与女救援员乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)若救援员甲、乙均不能参加，共有多少种不同的选法？
(3)若至少有一名男救援员和一名女救援员参加，共有多少种不同的选法？
【答案】(1)120(2)252(3)736
【解析】（1）甲、乙必须参加，从剩下的10 人中选3 人即可；
（2）甲、乙均不能参加，从剩下的10 人中直接选5 人即可；
（3）采取正难则反的方法，用总选法减去全是男救援员的选法即可.
(1)共有12 名救援员，若甲、乙必须参加，则再从剩下的10 名中选3 名即可，有
种不同的选法.
(2)若甲、乙两人均不能参加，则从剩下的10 名中选5 名即可，有
种不同的选法.
(3)由总的选法数减去5 名都是男救援员的选法数，得到的就是至少有一名男救援员和一名女救援员参加的选法
数，即有
种不同的选法.
11．（1）把6 个相同的小球放入4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6 个不同的小球放入4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6 个不同的小球放入4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
【答案】（1）10；（2）65；（3）1560.
【解析】（1）应用隔板法，在6 个小球队列的5 个空隙中插入3 块隔板，即可得结果；
（2）将6 个不同的小球按{2,2,1,1}和{3,1,1,1}两种方案分组放入箱子，即得结果；
（3）在（2）的基础上，作全排列即可得结果.
（1）6 个相同的小球放入4 个不同的箱子，每个箱子至少放1 个小球，
将6 个相同的小球排成一列，在形成的中间5 个空隙中插入3 块隔板，
所以不同的放法种数为
；
（2）6 个不同的小球放入4 个相同的箱子，每个箱子至少放1 个小球，
先把6 个不同的小球按2，2，1，1 和3，1，1，1 两种方案分成4 组，
每一种分法的4 组小球分别放入4 个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，
所以不同的放法种数为
；
（3）6 个不同的小球放入4 个不同的箱子，每个箱子至少放1 个小球，
先把6 个不同的小球按2，2，1，1 和3，1，1，1 两种方案分成4 组，
每一种分法的4 组小球全排列，得到的每一个排列的4 组小球分别放入4 个箱子满足要求，
所以不同的放法种数为
．
12．规定
，其中
，m 是正整数，且
，这是组合数
（n，m 是正整数，
且
）的一种推广．
(1)求
的值．
(2)组合数的两个性质：①
；②
是否都能推广到
（
，m 是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数
是正整数，证明：当
，m 是正整数时，
．
【答案】(1)
(2)性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析.
(3)证明见解析.
【解析】（1）按题中定义计算即可；
（2）由定义可知m 是正整数，所以只需要判断①
；②
中的
是否只
能是整数即可；
（3）分类讨论
、
、
三种情况，其中当
时可将
的分子转换为
正数进行计算证明.
（1）
（2）性质①不能推广，例如当
时
有定义，但
无意义；
性质②能推广，它的推广形式是：
，
，m 是正整数
证明：当
时，有
，
当
时，
（3）当
时，组合数
；
当
时，
；
当
时，由
可知
，
所以
因为组合数
是正整数，所以
证毕.
