第02 讲 等差数列
目录
思维导图.......................................................................................................................................................................2
高考分析.......................................................................................................................................................................2
学习目标.......................................................................................................................................................................4
知识要点.......................................................................................................................................................................5
解题策略....................................................................................................................................................................11
题型归纳....................................................................................................................................................................12
题型01：等差数列的定义..................................................................................................................................12
一：验证某数是否为等差数列中的项..........................................................................................................13
二：等差数列的判断...................................................................................................................................15
题型02：等差数列的通项公式...........................................................................................................................16
一：利用等差数列定义求通项.....................................................................................................................16
二：利用前n 项和求通项 ...................................................................................................................17
题型03：等差数列通项公式的应用....................................................................................................................20
题型04：等差中项及其应用...............................................................................................................................21
题型05：等差数列的性质..................................................................................................................................22
题型06：等差数列前n 项和的有关计算.............................................................................................................24
一：利用基本量求值...................................................................................................................................24
二：结合等差数列的性质（等差中项）解题................................................................................................26
题型07：等差数列前n 项和的性质....................................................................................................................28
题型08：等差数列与函数的关系........................................................................................................................29
题型09：等差数列前n项和的最值问题..............................................................................................................33
一：单选题.................................................................................................................................................33
二：多选题.................................................................................................................................................36
三：填空题.................................................................................................................................................37
四：解答题.................................................................................................................................................39
题型10：等差数列片段和的性质........................................................................................................................40
题型11： 等差数列前n 项和与n 的比值问题....................................................................................................42
题型12：两个等差数列前n 项和之比.................................................................................................................45
题型13：等差数列的奇偶项和问题....................................................................................................................48
题型14： 含绝对值的等差数列的前n 项和........................................................................................................50
题型15： 等差数列的判定与证明......................................................................................................................53
题型16：等差数列中对称设项法的应用.............................................................................................................57
题型17：等差数列的综合问题...........................................................................................................................58
题型18： 数学文化中的等差数列问题...............................................................................................................61
巩固提升....................................................................................................................................................................65
差数列是高考数学的常考核心考点，近3 年高考数学全国卷及新高考卷中相关考点考查频率达8 次，
命题兼顾基础与综合，梯度清晰适配不同层次考生。
一、 考查占比与题型分布
1. 分值占比：单题分值4-17 分，整套试卷中该知识点总分值占比约5%-8%，是小题拿分、大题稳分
的关键板块。
2. 题型分布：选填题多单独出题，考查基础知识点，难度偏易，比如2025 全国二卷第7 题、北京卷
第5 题；解答题多为中档题，常和等比数列、求和公式综合考查，如2024 新高考I 卷第19 题，也会
在压轴题中结合新定义、新情景出题，难度偏大。
3. 高频考区：新高考卷更侧重解答题的综合应用，全国甲乙卷侧重选填题的基础计算与性质应用，
天津、上海卷则会在解答题中设置独立的等差数列设问。
二、 核心考查考点
1. 基础必考点：基本量计算是高频考题，围绕首项a1、公差d、通项an 、前n 项和Sn，考查“知三
求二”的方程思想，近5 年多套试卷选填题均有涉及。
2. 常考重点：等差数列的判定与证明、中项性质、项与前n 项和的性质，、前n 项和的分段性质，
多在解答题第一问和中档选填题出现。
3. 难点拓展点：前n 项和的最值求解、奇偶项讨论、含绝对值的等差数列问题，还会结合函数、不
等式、实际情景综合命题，压轴题中还会出现新定义类等差数列衍生题型，侧重考查知识迁移能力。
三、 命题趋势
1. 基础题型稳定：基本量计算、基础性质应用的选填题会长期保留，题目难度不会大幅提升，是考
生必拿分题型。
2. 综合考查深化：解答题中，等差数列与等比数列的综合出题频率最高，同时和函数、不等式、数
学文化的结合考查逐渐增多，对知识整合能力要求提升。
3. 创新题型增多：新定义、新情景类题目成为压轴题新方向，题目灵活度高，侧重考查数学抽象、
数学运算核心素养，区分度较强。
四、 备考侧重建议
1. 夯实基础：熟练掌握通项公式、前n 项和公式，确保基本量计算类题目解题快且准，不丢基础分。
2. 吃透性质：重点熟记等差数列的项、和相关性质，掌握“性质优先用”的解题思路，提升选填题
解题速度。
3. 突破综合：针对性练习等差数列与等比数列的综合题，总结通项证明、求和的固定解题步骤，同
时强化与函数、不等式结合题的解题逻辑。
4. 拓展创新：适量练习新定义类数列题，培养快速理解新规则、迁移已有知识解题的能力。
等差数列 精准学习目标（适配高考，分3 层级）
一、基础层级（保底必拿分，对应高考选填基础题）
1. 牢记等差数列2 个核心公式：通项公式、前n 项和公式能熟练变形。
2. 掌握基本量思想：明确首项a_1、公差d 是核心量，实现“知三求二”（已知a1、an 、Sn中3 个，
求剩余2 个），计算零失误。
3. 理解等差数列定义：能根据定义判断简单数列是否为等差数列。
二、提升层级（稳抓中档分，对应高考选填中档题+解答题第1 问）
1. 吃透5 大核心性质，做到性质优先用（提速提准确率）
◦ 下标和性质：
◦ 中项性质：等差中项）；和的中项特征
◦ 和的性质：
◦ 奇偶项性质：
◦ 通项与和的关联：
2. 掌握2 种核心判定/证明方法：定义法、等差中项法
3. 会求前n 项和Sn的最值：2 种方法（配方法转化为二次函数、通项正负分界法）灵活切换。
三、拔高层级（冲刺高分，对应高考解答题第2 问+压轴创新题）
1. 能处理综合题型：熟练对接等比数列、函数（如an与一次函数、Sn与二次函数关联）、不等式、
数列不等式放缩，构建解题逻辑链。
2. 攻克易错拓展题型：含绝对值的等差数列求和、含参数的等差数列存在性问题、等差衍生数列
（如子数列、差数列）分析。
3. 适配创新题型：能快速解读新定义等差类数列（如“等差子数列”“绝对等差数列”），迁移核
心知识解题。
4. 落实核心素养：提升数学运算（复杂计算快准）、逻辑推理（证明严谨）、数学抽象（新情景转
化）能力，适配高考命题趋势。
目标自查清单（快速对标）
基础：基本量计算100%对；提升：性质应用+判定证明无卡点；拔高：综合题能梳理解题步骤
知识点一 等差数列的定义
1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2．等差数列的定义可用数学符号语言描述为：an−an−1=d对任意的n≥2，n∈N
∗均成立或
an+1−an=d对任意的n∈N
∗均成立.
注：
(1)“从第2项起”是因为首项没有前一项.
(2)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么
此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起该数列是一个等差数列.
(3)注意定义中“同一个常数”，可理解为从第2项起，每一项与前一项的差是常数且是同一个常数，则这个
数列是等差数列，如果不是同一个常数，该数列就不是等差数列.
(4)公差d一定是由后一项减前一项所得，不能颠倒前、后项的位置.
(5)要注意定义中的an+1−an=d (常数)是对任意n∈N
∗都成立，若有一项不满足，则{an}就不是等差数列.
例如，数列1，1，2，3，4，5，⋅⋅⋅不是等差数列.
(6)常数列是公差为0的等差数列.
知识点二 等差中项
1．由三个数a，A ，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.
a，A，b成等差数列是A = a+b
2
的充要条件.
2．在等差数列{an}中，任取相邻的三项an−1，an，an+1(n≥2，n∈N
∗)，则an是an−1与an+1的等差中
项；反之，若an−1+an+1=2an对任意的n≥2，n∈N
∗均成立，则数列{an}是等差数列.
因此，数列{an}是等差数列⇔2an=an−1+an+1(n≥2，n∈N
∗).
用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法.
知识点三 等差数列的通项公式
1．等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d .
2．等差数列通项公式的推导
通项公式的推导，教材是根据等差数列的定义，通过归纳的方式得出的，还可以采用以下的推导方法：
方法一(累加法)因为{an}是等差数列，所以
an−an−1=d ，
an−1−an−2=d ，
an−2−an−3=d ，
……
a2−a1=d ，
上述式子等号两边分别相加得an−a1=(n−1)d ，所以an=a1+(n−1)d .
方法二(迭代法)因为{an}是等差数列，所以an=an−1+d =an−2+d +d =an−2+2d =an−3+d +2d
=an−3+3d =⋅⋅⋅=a1+(n−1)d .
方法三(逐差法)因为{an}是等差数列，所以an=an−an−1+an−1=(an−an−1)+(an−1−an−2)+an−2=⋅⋅⋅=
(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋅⋅⋅+(a2−a1)+a1=a1+(n−1)d .
3．等差数列通项公式的变形应用
已知等差数列{an}中的任意两项an和am(n，m∈N
∗
m
且
≠n)，则
{
an=a1+(n−1)d
am=a1+(m−1)d
，⇒an−am=(n−m)d ⇒{
d = an−am
n−m
an=am+(n−m)d
这表明已知等差数列的任意两项即可求出其公差，进而求出通项公式.
知识点四 等差数与一次函数的关系
由于an=a1+(n−1)d =dn+(a1−d)，当d ≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数
f (x)=dx +(a1−d)(x∈N
∗)，当x =n时的函数值，即an= f (n).
因此，从图象上看，表示数列{an}的各点均匀分布在直线f (x)=dx +(a1−d)上.
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y 轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
反之，任给一次函数f (x)=kx +b (k，b为常数)，则f (1)，f (2)，…，f (n)，…构成一个等差数列{nk +b}，
其首项为k +b，公差为k.
2．等差数列的单调性
由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d 的影响.
(1)当d >0时，数列为递增数列，图象如图⑴所示；
(2)当d <0时，数列为递减数列，图象如图⑵所示；
(3)当d =0时，数列为常数列，图象如图⑶所示.
O
an
3
5
1
( )
1
2
3 4
4
2
1
2
1
n
O
an
3
5
2
( )
1
2
3 4
4
2
1
2
1
n
O
an
3
5
3
( )
1
2
3 4
4
2
1
2
1
n
总结：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
知识点五 等差数列的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，由等差数列的定义可得{an}具有如下性质：
(1)an=am+(n−m)d(n，m∈N
∗)，d = an−am
n−m
(n≠m).
由此得an=ap+(n−p)d = n−q
p−q ap−n−p
p−q aq (ap与aq是等差数列{an}中的任意两项，且p≠q).
特别地，若ap=q，aq= p，则ap+q=0.
(2)若m+n= p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N
∗).
推广：若m+n+t = p+q+r ，则am+an+at =ap+aq+ar(m，n，t ，p，q，r ∈N
∗).
特别地，①若m+n=2 p，则am+an=2ap(m，n，p∈N
∗)；
②有穷等差数列中，与首末两项等“距离”的两项之和都相等，都等于首末两项的和：
a1+an=a2+an−1=⋅⋅⋅=ai+an+1−i=⋅⋅⋅.
(3)下标成等差数列的项ak，ak +m，ak +2m，…组成以md为公差的等差数列.
（4）若数列
{
}
na
是等差数列,则
{
}
n
ka
仍为等差数列
(5)数列{t an+ λ} (t，λ是常数)是公差为td的等差数列.
(6)若数列{bn}为等差数列，则数列{t an± λbn} (t，λ是常数)仍为等差数列.
（7）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的
公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
知识点六 等差数列的前n 和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
注：（1）等差数列的前n 和公式的推导
对于一般的等差数列{an}，如何求其前n 项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法)
⇒
两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两
项的和相等．
（2）等差数列{an}的前n 项和公式的函数特征
Sn＝na1＋d＝n2＋n 当
⇒
d≠0 时，Sn 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相
应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2
＋x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0 时图象开口向上，d<0 时图象开口向下.
（3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k 项与倒数第k 项的和都等于首末两项之和；
知识点七 等差数列前n 项和的性质
（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，若数列{an}是等差数列，Sn是其前n 项的和，
k ∈N
∗，那么Sk，S2k−Sk，S3k−S2k成等差数列如下图所示：
a1+a2+a3+⋯+ak
⏟
Sk
+ ak +1+⋯+a2k
⏟
S2k−Sk
+ a2k +1+⋯+a3k
⏟
S3k−S2k
⏞
S3k
（2）设数列
{
}
na
是等差数列，且公差为d ，
（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S 偶－S 奇＝nd；＝；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2
1
n 项，则S2n－1＝(2n－1)an；
S
S
偶
奇
na
a
中(中间项)；②
1
S
n
S
n
奇
偶
.
等差数列中，
,
p
q
a
q a
p p
q
,则
0
p q
a
,
m n
m
n
S
S
S
mnd
.
注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)
（4）若
{
}
na
与
{ }
nb
为等差数列，且前n 项和分别为
n
S
与
'
n
S
，则
2
1
2
1
'
m
m
m
m
a
S
b
S
.
（5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的；
重难点01 等差数列前n 项和最值求法
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n 配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二
次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn 取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn 取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1 是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1 是{Sn}的最大值．
重难点02 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n 项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：①若an 各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②
若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
知识点八 等差数列的判定方法
(1)定义法: an+1−an=d (常数)，n∈N
∗⇔数列{an}是等差数列；
(2)等差中项法：2an+1=an+an+2，n∈N
∗⇔数列{an}是等差数列；
(3)通项公式法：an= pn+q (p，q为常数)⇔数列{an}是等差数列；
(4)性质法：利用等差数列的性质来判定.
(5)
na
是等差数列⇔
n
S
n
是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2 项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d 这
一关键条件.
知识点九 将递推关系式转化为等差数列的常见形式
5．常见的等差数列
（1）Sn=an
2+bn
{an}为等差数列，an=2an+b−a．
（2）Sn=an
2+bn+c（c≠0）
an={
a+b+c ,n=1
2an+b−a,n≥2，即{an}是从第二项开始为等差数列．
注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！
（3）若Sn= pan
2+ 1
2 an+c，则{an}是等差数列，且d = 1
2 p ．
（4）pan+ pan−1=c an⋅an−1，p Sn+ p Sn−1=c Sn⋅Sn−1，n Sn+1−(n+1)Sn=n(n+1)型递推关系式．
转化步骤：方程两边分别同除以“积式”结构an⋅an−1，Sn⋅Sn−1，n(n+1)，即可分别得到{
1
an}，
{
1
Sn}，{
Sn
n }为等差数列．可以类比基本不等式中的“整体代换”来理解记忆，见到mx +ny =txy结构，
同除积式xy得n
x + m
y =t．
（5）用于含指数幂an= pan−1+ p
n型已知条件．
转化方法：同除指数项，等式两边同时除以p
n：an
p
n = an−1
p
n−1 +1，所以{
an
p
n}为等差数列．
（6）对于分式型递推关系式an+1=
c an
pan+c 型已知条件，且分子只有一项．
转化方法：取倒数法，等式两边同时取倒数可得1
an+1
= 1
an
+ p
c ，故数列{
1
an}为等差数列．
当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含an的关
系式，进而求出an.将题设中的递推关系式转化为等差数列的常见形式如下：
(1)转化为 (an+2−an+1)−(an+1−an)=常数，则数列{an+1−an}是等差数列.
(2)转化为
1
an+1
−1
an
=常数，则数列 {
1
an}是等差数列.
(3)转化为
1
an+1+c −
1
an+c =常数，则数列{
1
an+c}是等差数列.
(4)转化为❑√an+1−❑√an=常数，则数列{
❑√an}是等差数列.
(5)转化为an+1
2
−an
2=常数，则数列{an
2}是等差数列.
(6)转化为
，则数列
是等差数列.
解题策略1.解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a1，d，n，an 和Sn，这五个量可以“知三
求二”．一般是利用公式列出基本量a1 和d 的方程组，解出a1 和d，便可解决问题.
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即
可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋
q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
(4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为
, ,
a
d a a
d
；四个数成等差数列，一般设为
3 ,
,
,
3
a
d a
d a
d a
d
.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
解题策略2.求等差数列前n 项和最值的常用方法
（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当
1
0
a
，
0
d
时，
n
S
有最大值；
1
0
a
，
0
d
时，
n
S
有最小值；若已知
na
，则
n
S
最值时n
的值（
n
N
）则当
1
0
a
，
0
d
，满足
1
0
0
n
n
a
a
的项数n 使得
n
S
取最大值，(2)当
1
0
a
，
0
d
时，满足
1
0
0
n
n
a
a
的项数n 使得
n
S
取最小值.
（2）利用等差数列的前n 项和：
2
n
S
An
Bn
(
,
A B
为常数, n
N
)为二次函数，通过配方或借助图
像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（
0
d
,递增；
0
d
，
递减）；
（3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设
na
为最大项，则有
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
；求最小项的方
法：设
na
为最小项，则有
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
.只需将等差数列的前n 项和
1,2,3,
n
依次看成数列
n
S
，利用
数列中最大项和最小项的求法即可.
（4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
解题策略3 an与Sn 之间一步转换
am1+am2+am3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+amn=nam1+m2+m3+......+mn
n
例：a2+a6+a7=3a5；3a8−a12=2a6．
公式一：Sn=a1+a2+a3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+an⇒Sn=n⋅an+1
2 （其中n为奇数） 例：S5=5a3．
公式二：an= S2n−1
2n−1
例：a5= S9
9
；a8= S15
15
．
当m1、m2、m3、…、mn也成等差数列时，均有am1+am2+am3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+amn=nam1+mn
2
．
解题策略4 只有Sn的模型与最值问题
性质1．等差数列中：Sm+n
m+n = Sm−Sn
m−n
，则有S2m+m
2m+m = S2m−Sm
2m−m
可以求出S3m，甚至S4 m．
注意：①若Sm= Sn，则一定有：Sm+n=0；am+n+1
2
=0．
②
，
，
成等差数列，公差为n
2d
性质2．等差数列{an}中：{ Sn
n }为首项是a1，公差是d
2 的等差数列，若m+n= p+q，则
Sm
m + Sn
n = S p
p + Sq
q
特别的，若m+n=2 p，则有Sm
m + Sn
n = 2S p
p
．
性质3．Sn有最大值⇔{
& an>0
& an+1<0；Sn有最小值⇔{
& an<0
& an+1>0，若an=0，则有Sn= Sn−1同时取得最值
Sn>0，n的最大值⇔{
Sn>0
Sn+1<0；Sn<0,n的最大值⇔{
Sn<0
Sn+1>0．
等差数列核心解题策略（适配高考，分题型+通用大招）
一、 通用核心解题策略（所有题型通用，优先用）
1. 核心大招：基本量法（万能保底法）
所有题都能靠首项a1、公差d 破题，将已知条件全转化为关于a1、d 的方程/方程组，解方程即得，
适配基础题+综合题保底。
关键：熟记通项、前n 项和2 个核心公式，变形要熟练，计算避错。
2. 提速大招：性质优先法（选填题必用）
看到下标和、连续n 项和、奇偶项，优先用等差数列性质，比基本量法快3-5 倍，大幅节省选填时间。
关键：优先匹配下标和性质、和的分段性质，避免硬算。
3. 通性大招：方程思想+分类讨论思想
知三求二用方程思想；含参数、绝对值、奇偶项、项数不确定时，必须分类讨论，规避漏解。
二： 解题提速口诀（快速记牢）
基本量是万能底，性质优先提速度；
判定证明两方法，定义中项要牢记；
和求最值两招够，通项分界最靠谱；
综合题型拆条件，创新题型先翻译；
易错点要常规避，步骤完整分不丢。
题型01：等差数列的定义
【典型例题】若数列{an}为等差数列，则下列说法中错误的是（ ）
A．数列2a1，2a2，2a3，…，2an…为等差数列
B．数列
，a4，a6，…，a2n，…为等差数列
C．数列{anan+1}为等差数列
D．数列{an+an+1}为等差数列
【答案】C
【解析】利用等差数列的定义判断即可.
A 选项：因为{an}为等差数列，所以设an−an−1=d（d为常数），又2an−2an−1=2(an−an−1)=2d，所
以数列{2an}也为等差数列，故A 正确；
B 选项：a2n−a2n−2=2d，所以数列{a2n}为等差数列，故B 正确；
C 选项：anan+1−an−1an=2d an，不是常数，故{anan+1}不是等差数列，故C 错；
D 选项：an+an+1−(an−1+an)=2d，所以数列{an+an+1}为等差数列，故D 正确.
故选：C.
【变式训练】若数列{an}是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ）
A．{|an|}
B．{an+1−an}
C．{pan+q}（p,q为常数）
D．{2an+n}
一：验证某数是否为等差数列中的项
【典型例题1】已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13､25､41，下列各数一定是该数列的项的是
（ ）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
【答案】C
【解析】设该等差数列为{an}，其公差为d，设13､25､41 分别为该数列中的
，且
不妨设
.
则
，
，
所以
，
将两式相除可得
，设{
t −s=3k
m−t = 4 k ，
，则{
s=t −3k
m=t + 4 k
将{
s=t −3k
m=t + 4 k 分别代入
，
，可得
则
，其中
所以
，不论
k
取何正整数，要使
an
一定为该数列中的某一项，由
an
为正整数，则当不论
k
取何正整数时，
为整数.
选项A.
,即
不满足不论
k
取何正整数时，
为整数，显然
2009
不一定是该数列中的项.
选项B.
,即
不满足不论
k
取何正整数时，
为整数，显然
2020
不一定是该数列中的项.
选项C.
,即
满足不论
k
取何正整数时，
为整数，显然
2021
一定是该数列中的项.
选项D.
,即
不满足不论
k
取何正整数时，
为整数，显然
2022
不一定是该数列中的项.
故选：C
【典型例题2】
（1）求等差数列8，5，2，…的第20 项；
（2）−401是否为等差数列−5，−9，−13，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由．
【答案】（1）−49；（2）−401是等差数列−5，−9，−13，…的第100 项，理由见解析
【解析】（1）可以得到公差d =5−8=−3，故第20 项为8−3×(20−1)=−49
（2）可以得到公差d1=−9−(−5)=−4，故通项公式为an=−5−4 (n−1)=−4 n−1，
令−4 n−1=−401，解得n=100，
故−401是等差数列−5，−9，−13，…的第100 项.
【变式训练1-1-1】已知等差数列8，5，2，…．
(1)求该数列的第20 项．
(2)试问−121是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．
(3)该数列共有多少项位于区间[−200,0]内？
【变式训练1-1-2】已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
（1）求{an}的通项公式.
（2）135，4 m+19(m∈N
∗)是数列{an}中的项吗？如果是，是第几项？
（3）若am，at(m,t ∈N
∗)是数列{an}中的项，那么2am+3at，是数列{an}中的项吗？如果是，是第几项？
【变式训练1-1-3】已知等差数列10，7，4，…．
(1)求这个数列的第10 项；
(2)−56是不是这个数列中的项？−40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．
二：等差数列的判断
【典型例题1】从1，2，3，…，9 这9 个数字中任取3 个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差
数列共有（ ）
A．16 个
B．24 个
C．32 个
D．48 个
【答案】C
【解析】当公差
时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9
共7 个；
当公差d =2时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9 共5 个；
当公差d =3时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9 共3 个；
当公差d = 4时，数列有1，5，9 共1 个，
同理，当d =−1时，有7 个，
当
时，有5 个，
当d =−3时，有3 个，
当d =−4时，有1 个，
故共有
．
故选：C．
【典型例题2】下列数列是等差数列的是（ ）
A．1
3 ，1
5 ，1
7 ，1
9
B．1，
，
，❑√7
C．1，−1，1，－1
D．0，0，0，0
【答案】D
【解析】∵1
5 −1
3 ≠1
7 −1
5 ，故排除A；
∵❑√3−1≠❑√5−❑√3，故排除B；
∵−1−1≠1−(−1)，故排除C，
常数列是等差数列，故D 正确.
故选：D．
【变式训练1-2-1】“数列{an}是等差数列”是“数列{an+an+1}是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-2-2】下列数列的通项公式中，能得到{an}为等差数列的是（ ）
A．
B．
C．an=2
n+2
D．
【变式训练1-2-3】下列数列中等差数列的是（ ）
A．an=3n+1
B．an=3
n+1
C．an=log2n+1
D．an=2n
2+1
【变式训练1-2-4】若数列{an}是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ）
A．{|an|}
B．{an+1−an}
C．{pan+q}（p,q为常数）
D．{2an+n}
题型02：等差数列的通项公式
一：利用等差数列定义求通项
【典型例题1】在数列{an}中，a1=5，3an+1=3an−2(n∈N +)，则an等于（ ）
A．2
3 n+ 17
3
B．−2
3 n+ 17
3
C．−2
3 n−17
3
D．2
3 n−17
3
【答案】B
【解析】根据等差数列的定义知{an}为首项为5，公差为−2
3的等差数列，进而求出通项公式.
依题意a1=5，3an+1=3an−2(n∈N +)，所以an+1=an−2
3，即an+1−an=−2
3，
所以数列{an}是首项为5，公差为−2
3的等差数列，所以an=−2
3 n+5+ 2
3 =−2
3 n+ 17
3 .
故选：B
【变式训练2-1-1】数列{an}满足
，
1
an+1−1 =
1
an−1 +1(n∈N
∗)，则（ ）
A．an=
n
n+1
B．
C．an= n−1
n
D．an= 2n
n+1
【变式训练2-1-2】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，❑√Sn+1−❑√Sn=1，则an=（ ）
A．
B．n
C．2n+1
D．2
n−1
【变式训练2-1-3】已知数列{an}满足a1=1,an+1=
an
2an+1，则a5=（ ）
A．9
B．1
9
C．11
D．1
10
【变式训练2-1-4】数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2
n+1，则数列{an}的通项公式为an= ．
二：利用前n 项和求通项
【典型例题1】若等差数列{an}的前n 项和为Sn= A n
2+ Bn，则该数列的公差为 ．
【答案】2 A
【解析】根据数列通项公式与前n 项和的关系求得等差数列公差即可.
因为数列{an}的前n 项和为Sn= A n
2+ Bn，
所以当n≥2时，an= Sn−Sn−1= A n
2+ Bn−A (n−1)
2−B (n−1)=2 An+ B−A，
当n=1时，a1= S1= A + B满足上式，所以an=2 An+ B−A，
公差为an+1−an=2 A (n+1)+ B−A −(2 An+ B−A)=2 A.
【典型例题2】已知数列{an}前n 项和为Sn=n
2+1，求数列{an}的通项公式.
【答案】an={
2,n=1
2n−1,n≥2
【解析】应用an={
S1,n=1
Sn−Sn−1,n≥2求解即可.
当n=1时，a1= S1=2，
当n≥2时，an= Sn−Sn−1=n
2+1−[(n−1)
2+1]=2n−1，
当n=1时，an=2n−1不成立，
所以an={
2,n=1
2n−1,n≥2
【典型例题3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且有2a1+2
2a2+2
3a3+⋅⋅⋅+2
nan=n⋅2
n．求数列{an}的
通项公式.
【答案】an= n+1
2
【解析】（1）由题2a1+2
2a2+2
3a3+⋯+2
nan=n⋅2
n，
当n=1时，2a1=2，∴a1=1；
当n≥2时，由2a1+2
2a2+2
3a3+⋅⋅⋅+2
nan=n⋅2
n，
所以2a1+2
2a2+2
3a3+⋅⋅⋅+2
n−1an−1=(n−1)⋅2
n−1，两式相减，
可得2
nan=n⋅2
n−(n−1)2
n−1=(n+1)2
n−1，∴an= n+1
2
．
当n=1时，an= 1+1
2
=1满足，∴an= n+1
2
．
【典型例题4】已知数列{an}的前n 项和为Sn，S1=1,an+1≥1+an，且an+1=2(❑√Sn+1+ ❑√Sn)，求通项公
式an．
【答案】an={
1,n=1
8n−8,n≥2
【解析】an+1=2(❑√Sn+1+ ❑√Sn)= Sn+1−Sn=(❑√Sn+1+ ❑√Sn)(❑√Sn+1−❑√Sn)
∵S1=a1=1,an+1−an≥1
∴❑√Sn+1+ ❑√Sn>0
∴❑√Sn+1−❑√Sn=2，即{❑√Sn}是以2 为公差，1 为首项的等差数列
∴❑√Sn=2n−1，即∴Sn=(2n−1)
2
当n≥2时，
显然，n=1时，上式不成立，所以an={
1,n=1
8n−8,n≥2.
【典型例题5】Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0,an
2+2an= 4 Sn+3，则{an}的通项公式an= ．
【答案】2n+1
【解析】先利用项与和的关系an= Sn−Sn−1(n≥2)，得到
，再利用等差数列通项公式求解答案.
【解析】当n=1时，a1
2+2a1= 4 S1+3= 4 a1+3，因为an>0，所以a1=3；
当n≥2时，an
2+2an−an−1
2
−2an−1=4 Sn+3−4 Sn−1−3=4 an，
即
，
因为an>0，所以
，所以数列{an}是首项为3，公差为2 的等差数列，
所以an=2n+1
【典型例题6】设等差数列{an}前n项和Sn，a1=1，满足2Sn+1=n(an+5)+2，n∈N
•，求数列{an}的通
项公式
【答案】an=2n−1
【解析】依题意有2(a1+a2)=a1+5+2，
，∴a2=3，
又{an}为等差数列，设公差为d，
∴d =a2−a1=2，∴an=1+2(n−1)=2n−1
【变式训练2-2-1】已知等差数列{an}的前n 项和Sn=n
2，则a4=（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【变式训练2-2-2】设Sn为数列{an}的前n 项和，若Sn=n
2+2n，则an=（ ）
A．2n+1
B．
C．n+1
D．n−1
【变式训练2-2-3】已知正项数列{an}满足1
a1a2
+
1
a2a3
+⋯+
1
anan+1
=
n
2n+1 (n∈N
∗)，若a5−2a6=7，
则a1=（ ）
A．
B．1
C．
3
2
D．2
【变式训练2-2-4】设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=n
2+2n，则an=（ ）
A．2n+1
B．
C．n+1
D．n−1
【变式训练2-2-5】已知正项数列{an}的前n 项和为Sn，且4 Sn=(an+1)
2，则a2023=（ ）
A．4045
B．4042
C．4041
D．4040
【变式训练2-2-6】设Sn是数列{an}的前n 项和，且a1=−1,an+1= Sn Sn+1，则下列选项错误的是（
）
A．
B．an={
−1,n=1
1
n−1 −1
n ,n≥2,n∈N
∗
C．数列
为等差数列D．1
S1
+ 1
S2
+..+ 1
S100
=－5050
【变式训练2-2-7】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足anan+1=2Sn(n∈N
∗)，则
a2024= .
【变式训练2-2-8】已知数列{an}的前n项和Sn=n
2+2，则该数列的首项a1= ，通项公式an=
.
【变式训练2-2-9】已知数列{an}的前n项和Sn=(a−2)n
2+n+a，n∈N
∗．若{an}是等差数列，则{an}
的通项公式为 ．
【变式训练2-2-10】已知数列
的前
项和为
，若
，
，则数列
的通项公式________
【变式训练2-2-11】在数列{an}中，a1
2 + a2
3 + a3
4 +⋅⋅⋅+ an
n+1 =n
2+n，求{an}的通项公式.
【变式训练2-2-12】设Sn为数列{an}的前n项和，已知∀n∈N
∗,an>0,an
2+1=2an Sn，求an
【变式训练2-2-13】设等差数列{an}前n项和Sn，a1=1，满足2Sn+1=n(an+5)+2，n∈N
∗，求数列
{an}的通项公式
【变式训练2-2-14】已知等差数列{an}的公差为整数，
，设其前n 项和为Sn，且{
Sn
an+1}是公差为
1
2的等差数列,求数列{an}的通项公式
题型03：等差数列通项公式的应用
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
（2）等差数列{an}的通项公式an=a1+(n−1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三
个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
（3）通项公式可变形为an=dn+(a1−d )，可把an看作自变量为n的一次函数．
【典型例题1】已知等差数列{an}中，a6=−24 ，a30=−48 ，则首项a1与公差d分别为（ ）
A．−18,−2
B．−18,−1
C．−19,−2
D．−19,−1
【答案】D
【解析】由题意列出方程组，即可求得答案.
设等差数列{an}的公差为d，
依题得{
a1+5d =−24
a1+29d =−48，解得{
a1=−19
d =−1
.
故选：D
【典型例题2】等差数列{an}中，a2+a6=8，a3+a4=3，则{an}的通项为（ ）
A．5n−16
B．5n−11
C．3n−8
D．3n−5
【答案】A
【解析】根据已知条件求得等差数列{an}的首项和公差，从而求得an.
设等差数列{an}的公差为d，
依题意{
2a1+6d =8
2a1+5d =3，解得d =5,a1=−11，
所以an=−11+(n−1)×5=5n−16.
故选：A
【变式训练3-1】在数列{an}中，
，且数列{
1
an}是等差数列，则a19=（ ）
A．16
B．1
16
C．19
D．1
19
【变式训练3-2】等差数列{an}中，a2= 4 , a4=10，则a8 =（ ）
A．26
B．22
C．18
D．14
【变式训练3-3】已知数列{an}是等差数列，若
，则a5=（ ）
A．8
B．6
C．5
D．4
【变式训练3-4】在等差数列{an}中，已知a1=−9，a3+a5=−9，
，则n=（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式训练3-5】已知等差数列{an}满足a3+a7=32,a6−a4=6，则a1=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式训练3-6】在等差数列{an}中，已知
，
，则数列{an}的通项公式可以为
（ ）
A．an= 4 n−1
B．an=2n+1
C．an=−3
5 n+ 44
5
D．an= 3
5 n−8
5
【变式训练3-7】在等差数列{an}中，若a3−a5=2，则a7−a3=（ ）
A．3
B．−3
C．4
D．−4
题型04：等差中项及其应用
若a，A，b 成等差数列，则A = a+b
2
；反之，由A = a+b
2
也可得到a，A，b 成等差数列，
所以A 是a，b 的等差中项⇔A = a+b
2
．
【典型例题1】在等差数列{an}中，a3、a5是方程x
2−4 x +3=0的两根，则a4的值为（ ）
A．2
B．3
C．±2
D．3
2
【答案】A
【解析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得a4的值.
由韦达定理和等差中项的性质可得a3+a5= 4 =2a4，
因此，a4=2.
故选：A.
【典型例题2】若2a+1是a−1与
的等差中项，则实数a 的值为（ ）
A．−1
4
B．1
10
C．4
3
D．5
【答案】D
【解析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案.
由题意知2a+1是a−1与
的等差中项，
故2(2a+1)=a−1+ 4 a−2，则a=5.
故选：D
【典型例题3】已知数列{an}是等差数列，且a6= 4，a14=64．设a6与a14的等差中项为x，a6与x的等差中
项为y，求x + y．
【答案】53
【解析】根据等差中项的性质求出x，y即可.
因为a6= 4，a14=64，且a6与a14的等差中项为x，
所以x = a6+a14
2
=34，
又a6与x的等差中项为y，所以y = a6+ x
2
=19，
所以x + y =53.
【变式训练4-1】已知m和2n的等差中项是4，
和n的等差中项是5，则2m−n和2n−m的等差中项是
（ ）
A．8
B．6
C．4.5
D．3
【变式训练4-2】各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且
成等差数列，若a1=1，则
S4=（ ）
A．5
8或15
B．5
8或−15
C．15
D．5
8
【变式训练4-3】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若−3，S5，S10成等差数列，则S15−S10的最小
值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
【变式训练4-4】记Sn为等比数列{an}(an>0)的前n项和，且a1a3=16,S1, 3
4 S2, 1
2 S3成等差数列，则S6=
（ ）
A．126
B．128
C．254
D．256
【变式训练4-5】在数列{an}中，a1＝2，
(n∈N ∗)，bn是an和an＋1的等差中项，设Sn为数
列{bn}的前n项和，则S6＝ .
【变式训练4-6】已知公比为2 的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1，a2+1，a3成等差数列，则S5=
．
【变式训练4-7】已知数列{an}满足2an+1=an+an+2（n 为正整数），且a3+a8+a13=2π，则
cos(a7+a9)= ．
【变式训练4-8】在3 与15 之间插入3 个数，使这5 个数成等差数列，则插入的3 个数之和为 ．
题型05：等差数列的性质
等差数列运算的两种常用思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量．
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若m,n, p,q∈N +，且m+n= p+q，则am+an=ap+aq．
【典型例题1】在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7= 45，则a2+a8=（ ）
A．16
B．17
C．18
D．19
【答案】C
【解析】由题意a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5= 45，得a5=9，
所以a2+a8=2a5=18，故C 正确.
故选：C.
【典型例题2】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a9+a12=12，则S20=（ ）
A．240
B．60
C．180
D．120
【答案】D
【解析】S20= 20(a1+a20)
2
=10(a9+a12)=120.
故选：D.
【典型例题3】记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若
，a4a8= 45，则S5= ．
【答案】20
【解析】根据等差数列性质求首项和公差，再求前5 项和即可.
因为{an}是等差数列，所以a2+a6=2a4=10,a4a8= 45,
所以a4=5,a8=9,
所以a8−a4= 4 d = 4 ,d =1,a1=2,
所以S5=5a1+ 5×4
2
d =5×2+ 5×4
2
=10+10=20.
故答案为：20.
【变式训练5-1】已知等差数列{an}满足
，则a2+a8=（ ）
A．12
B．18
C．20
D．30
【变式训练5-2】已知{an}为等差数列，a2+a4+a6=36，则2a5−a6=（ ）
A．8
B．12
C．16
D．20
【变式训练5-3】已知数列{an}是等差数列，若1
2，则a3+a15等于（ ）
A．7
B．21
C．14
D．17
【变式训练5-4】已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a2+a5+a8=3，则S9=（ ）
A．3
B．6
C．9
D．27
【变式训练5-5】已知数列{an}是等差数列，且a2+2a3+a8=32，则a4= （ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式训练5-6】在等差数列{an}中，2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24，则此数列的前13 项之和等于
（ ）
A．24
B．26
C．28
D．25
【变式训练5-7】在等差数列{an}中，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99，则a3
a4
= ．
【变式训练5-8】已知公差不为0 的等差数列{an}满足am+ap=2a4(n,m, p∈N
∗)，则
1
m+1 + 4
p 的最小
值为 .
【变式训练5-9】已知
，
，a3，a4成等差数列，且
，a4为方程2 x
2−5 x +2=0的两根，则a2+a3=
．
题型06：等差数列前n 项和的有关计算
等差数列中的基本计算
（1）利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d ,n,an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出
基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
（2）结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m+n= p+q(m,n, p,q∈N
∗)，则am+an=ap+aq，常与求和公式Sn= n(a1+an)
2
结合使用．
一：利用基本量求值
【典型例题1】等差数列{an}的前n项和Sn，a3=3,S11=66，则S9=（ ）
A．9
B．12
C．30
D．45
【答案】D
【解析】由等差数列的通项公式与前n项和公式求得an，然后再由前n项和公式结合等差数列的性质计算．
{an}是等差数列，
∴S11=11a6=66，
，d = a6−a3
6−3 =1，
an=3+(n−3)×1=n，
，
S9=9a5=9×5= 45．
故选：D．
【典型例题2】已知数列{3n+1}与数列{4 n−1}，其中n∈N
∗.它们的公共项由小到大组成新的数列{an}，
则{an}的前20项的和为（ ）
A．2380
B．2400
C．2420
D．2440
【答案】C
求等差数列前n 项和
【解析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和.
明显数列{3n+1}和数列{4 n−1}均为等差数列
令3n1+1= 4 n2−1，可得n1= 4 n2−2
3
，
则n2=2,5,8,⋯，
则数列{an}为等差数列，且a1= 4×2−1=7，公差为(4×5−1)−(4×2−1)=12，
所以{an}的前20项的和为20×7+ 20×19
2
×12=2420.
故选：C.
【典型例题3】在等差数列{an}中，Sn是其前n 项和，已知S3= 4，S6=9，则S9= .
【答案】15
等差数列前n 项和的基本量计算
【解析】利用等差数列前n 项和公式列出方程组，求出a1= 11
9
，d = 1
9
，由此能求出S9.
在等差数列{an}中，Sn是其前n 项和，S3= 4，S6=9，
∴{
3a1+ 3×2
2
d = 4
6a1+ 6×5
2
d =9
，
解得a1= 11
9 ，d = 1
9 ，
S9=9× 11
9 + 9×8
2
× 1
9 =15.
故答案为：15.
【变式训练6-1-1】若{an}为等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a4+a6=14，S7=35，则
等于
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【变式训练6-1-2】已知等差数列{an}的前n项和为
，则S10=（ ）
A．158
B．160
C．162
D．164
【变式训练6-1-3】已知数列{an}和{bn}均为等差数列，它们的前n项和分别为Sn和T n，且an>0，
anbn=n
2+36n，S23=T 23，则a1+b1=（ ）
A．
27
2
B．
31
2
C．
D．
41
2
【变式训练6-1-4】公差为不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=3(a2+a5+ak)，则k =（ ）
A．8
B．10
C．11
D．12
【变式训练6-1-5】记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若
，a4a8= 45，则S5= ．
【变式训练6-1-6】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且
，则{an}的公差为
．
【变式训练6-1-7】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，
，则Sn
an
= ．
【变式训练6-1-8】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，a1+a2+a3=1，a10+a11+a12=7，则S102= .
【变式训练6-1-9】《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰，这是一部在中国乃至世界最早的科学普及
著作.里面涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.某同学模仿“堆垛”问
题，将108 根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从上往下，每
一层比下一层少1 根，则该“等腰梯形垛”最多可以堆放 层.
【变式训练6-1-10】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn.若
，且a3≠0，则S4
S3
=
【变式训练6-1-11】设等差数列{an}
的公差为d
，且d >1
．令
，记
Sn,T n分别为数列
的前n项和．，若
，求{an}的通项公式；
【变式训练6-1-12】已知Sn为等差数列{an}的前n 项和，若
，
，则a2023=
．
【变式训练6-1-13】已知{an}为等差数列，bn={
an−6,n 为奇数
2an,n 为偶数，记Sn，T n分别为数列{an}，{bn}的前
n 项和，S4=32，
，求{an}的通项公式；
二：结合等差数列的性质（等差中项）解题
若项数为2n−1(n∈N
∗)，则S2n−1=(2n−1) a1+a2n−1
2
=(2n−1)⋅an (an 是数列的中间项)，
例如S9=9⋅a5，S13=13⋅a7，S17=17⋅a9
【典型例题1】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，a8=17，S17=340，则数列{an}的公差是（ ）
A．−4
B．−3
C．1
4
D．3
【答案】D
【解析】根据等差数列前n 项和公式求出a9，进一步求出公差.
因为S17= 17(a1+a17)
2
= 17⋅2a9
2
=17 a9=340，所以a9=20，
又a8=17，所以d =a9−a8=20−17 =3.
故选：D
【典型例题2】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9+a8=55，则S16=（ ）
A．880
B．220
C．110
D．440
【答案】D
求等差数列前n 项和
【解析】根据等差数列的性质可求a1+a16的值，从而可求S16.
因为a9+a8=55，所以a1+a16=55，
故S16= 16
2 (a1+a16)=8×55= 440，
故选：D.
【变式训练6-2-1】设Sn为等差数列{an}的前n 项和，若S5= 4 a1，a1>0，若n>1时，Sn=an，则n等于
（ ）
A．11
B．12
C．20
D．22
【变式训练6-2-2】记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a5=24，S6= 48，则S17=（ ）
A．510
B．408
C．62
D．16
【变式训练6-2-3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=（ ）
A．−2
B．7
3
C．1
D．2
9
【变式训练6-2-4】已知等差数列{an}，其前n项和为
，则S9=（ ）
A．24
B．36
C．48
D．64
【变式训练6-2-5】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11为定值时2a2+a7+ak也是定值，则k的值为
（ ）
A．9
B．11
C．13
D．不能确定
【变式训练6-2-6】设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a8+a10−3a9=a2−2，则S10=（ ）
A．5
B．10
C．25
2
D．15
【变式训练6-2-7】设等差数列{an}的前n 项和为Sn，已知a2+a4=−2，则S5=（ ）
A．−2
B．−5
C．1
D．2
【变式训练6-2-8】等差数列{an}的前n项和为Sn.若
，则S2024=（ ）
A．8096
B．4048
C．4046
D．2024
【变式训练6-2-9】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若
，则S5=（ ）
A．25
B．22
C．20
D．15
【变式训练6-2-10】等差数列{an}的前n 项和为
，当S11为定值时，2a2+a7+ak也是定值，则k 的值为
（ ）
A．11
B．13
C．15
D．不能确定
【变式训练6-2-11】已知数列{an}的前n项和为Sn，且数列{an}满足
．
若
，则a9=（ ）
A．9
B．10
C．17
D．19
【变式训练6-2-12】数列{an}满足a1=0，an+1−an=2n，则an= ．
题型07：等差数列前n 项和的性质
【方法技巧与总结】
利用等差数列前n 项和的性质简化计算
（1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1和d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；
（2）等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
【典型例题1】设公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和为Sn，已知S9=3(a3+a5+am)，则m=（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【解析】因为S9=3(a3+a5+am)，又S9=9a5，
所以9a5=3(a3+a5+am)，
所以a3+a5+am=3a5，即a3+am=2a5，
设等差数列{an}的公差为d，
则a1+2d +a1+(m−1)d =2(a1+ 4 d )，
所以(m+1)d =8d，又d ≠0，
所以1+m=8，
所以m=7．
故选：C.
【典型例题2】若等差数列{an}的前7 项和为48，前14 项和为72，则它的前21 项和为（ ）
A．96
B．72
C．60
D．48
【答案】B
【解析】解法一：由{
S7=7 a1+ 7×6
2
d = 48,
S14=14 a1+ 14×13
2
d =72,
解得{
a1= 408
49 ,
d =−24
49 ,
所以S21=21× 408
49 + 21×20
2
×(−24
49)=72；
解法二：S7=a1+a2+⋅⋅⋅+a7，S14−S7=a8+a9+⋅⋅⋅+a14= S7+7×7d，
S21−S14=a15+a16+⋅⋅⋅+a21= S7+7×14 d，所以
，S14−S7，S21−S14成等差数列，公差为49d，
由等差中项定义得2(S14−S7)= S7+ S21−S14，即2×(72−48)= 48+ S21−72，解得S21=72．
故选：B
【变式训练7-1】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若
，则S15=（ ）
A．140
B．150
C．160
D．180
【变式训练7-2】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，n∈N
∗，a8=3，则S15=（ ）
A．60
B．45
C．30
D．15
【变式训练7-3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4+a6=10，则S9=（ ）
A．38
B．50
C．36
D．45
【变式训练7-4】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a6=18，则S8=（ ）
A．96
B．72
C．48
D．24
【变式训练7-5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S9=54，则a5=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式训练7-6】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8+a14=3a11−4，则S21=（ ）
A．72
B．84
C．144
D．168
【变式训练7-7】已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，则n 的值
为（ ）
A．28
B．26
C．14
D．13
题型08：等差数列与函数的关系
等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系
等差数列{
}的前n 项和
，令
，
，
则
.
(1)当A＝0，B＝0(即d＝0，
＝0)时，
＝0 是常数函数，{
}是各项为0 的常数列．
(2)当A＝0，B≠0(即d＝0，
≠0)时，
＝Bn 是关于n 的一次函数，{
}是各项为非零的常数列．
(3)当
(即
)时,
是关于
的二次函数式(常数项为0).数列S1,S2,S3,⋯,Sn的图象是抛物线
y = A x
2+ Bx上的一群孤立的点.
【典型例题1】(多选)等差数列{an}中，a1>0，公差d <0，Sn为其前n 项和，对任意正整数n，若点
(n,Sn)在以下4 条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】等差数列的前n项和关于n 的二次函数，根据二次函数的图象和性质,判断图象的开口方向，可判
断A，B；判断图象对称轴位置，判断C，D，即可到答案．
∵等差数列{an}中，a1>0，公差d <0，Sn为其前n项和，
，
∴点(n,Sn)在曲线y = d
2 x
2+(a1−d
2 )x上，
∵d <0，
∴二次函数开口向下，故A，B 不可能；
∵对称轴x =−
a1−d
2
d
>0，
∴对称轴在y轴的右侧，故C 可能，D 不可能.
故选：ABD
【典型例题2】在等差数列{an}中，Sn是其前n 项和，且S2016= S2021，Sk = S2014，则正整数k 为（ ）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
【答案】D
【解析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和的性质，列式计算即得.
等差数列的前n 项和Sn是关于n 的二次函数，
由二次函数的对称性及S2016= S2021，Sk = S2014，得2016+2021
2
= 2014+k
2
，解得k =2023，
所以正整数k 为2023．
【典型例题3】 (多选)设Sn是公差为d(d ≠0)的等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若d <0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d <0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N +，均有Sn>0
D．若对任意
，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
【答案】ABD
【解析】由题意
，分
d <0
、
d >0
分别讨论对应的函数性质可判断A，B；若数列
{Sn}
是
递增数列，则an= Sn−Sn−1>0(n≥2)，若数列{Sn}是递减数列，则an= Sn−Sn−1<0(n≥2)分析可判断
C，D.
因为
，
若d <0，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列{Sn}有最大项，A正确；
若d >0，二次函数开口向上，无最大项
故若数列{Sn}有最大项，有d <0，B 正确；
若数列{Sn}是递增数列，则an= Sn−Sn−1>0(n≥2)，若a1<0，则S1<0，故不一定对任意n∈N +，均有
Sn>0，C 错误；
若数列{Sn}是递减数列，则an= Sn−Sn−1<0(n≥2)，一定存在实数k，当n>k时，之后所有项都为负数，
不能保证对任意
，均有Sn>0
故若对任意n∈N +，均有Sn>0，有数列{Sn}是递增数列，D 正确．
故选：ABD
【变式训练8-1】在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d <0，Sn为其前n 项和，则点(n,Sn)可能在下列哪
条曲线上？（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2】(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1<0，S7= S13，则下列结论正确的有（ ）
A．{an}是递减数列
B．a12>0
C．使Sn>0时n的最小值是21
D．Sn最小时，n=10
【变式训练8-3】(多选)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，公差d ≠0，且
，则下列命题正确的
有（ ）
A．
是数列
中的最大项
B．a7是数列{an}中的最大项
C．S14=0
D．满足Sn>0的n的最大值为13
【变式训练8-4】设Sn为等差数列{an}的前n 项和，则对∀n∈N
∗，an+1>|an|，是“n Sn+1>(n+1)Sn
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练8-5】（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn=11n−n
2，则下列说法正确的是（ ）
A．{an}是递增数列
B．a3=6
C．当n=6时Sn取最大值
D．满足Sn>0的最大的正整数n为10
【变式训练8-6】（多选）设数列{an}的前n 项和为Sn，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．{an}是等差数列
B．S3,S6−S3,S9−S6成等差数列，公差为−9
C．当n=16或n=17时，Sn取得最大值
D．Sn≥0时，n 的最大值为33
【变式训练8-7】）已知{an}是无穷等差数列，其前项和为Sn，则“{an}为递增数列”是“存在n∈N
∗使
得Sn>0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练8-8】（多选）数列{an}满足a1=−21,a2=−12,an+1+an−1=2an−2(n≥2),Sn是{an}的前n
项和，则下列说法正确的是（ ）
A．{
an
n−8}是等差数列
B．an=−n
2+12n+32
C．a6是数列{an}的最大项
D．对于两个正整数m､n(n>m),Sn−Sm的最大值为10
【变式训练8-9】（多选）已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，d <0，则（ ）
A．数列{an}单调递减
B．数列{an}没有最小项
C．数列{Sn}单调递减
D．数列{Sn}有最大项
题型09：等差数列前n项和的最值问题
求等差数列前n 项和的最值的常用方法：
(1)邻项变号法：
①若a1<0,d >0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.
②若a1>0,d <0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
(2)二次函数法：
利用公差不为零的等差数列的前n 项和Sn=An2+Bn（A,B 为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
(3)不等式组法：
借助当Sn 最大时，有
，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应Sn 的值
(即Sn 最大值)，类似可求Sn 的最小值.
一：单选题
【典型例题1】下列说法中正确的是（ ）
A．数列{1−n}是递增数列
B．数列{(−1
2)
n}是递减数列
C．数列{3
n−1}是递增数列
D．数列{1−n}的前n项和的最大值为20
【答案】C
判断数列的增减性、二次函数法求等差数列前n 项和的最值
【解析】根据数列单调性的定义依次判断ABC 选项，可知AB 错误，C 正确；根据等差数列前n项和的二次
函数性可知D 错误.
对于A，1−(n+1)−(1−n)=−1<0，∴{1−n}是递减数列，A 错误；
对于B，数列{(−1
2)
n}各项为：−1
2
，1
4
，−1
8
，1
16
，…，不是递减数列，B 错误；
对于C，3
n−3
n−1=2×3
n−1>0，∴{3
n−1}是递增数列，C 正确；
对于D，数列{1−n}是以0为首项，−1为公差的等差数列，∴前n项和Sn=−1
2 n
2+ 1
2 n，
∵n∈N
∗，∴Sn的最大值为S1=0，D 错误.
故选：C.
【典型例题2】已知公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和为Sn，a1=2,且a1,a3,a4成等比数列，则Sn取
得最大值时n 的值为（ ）
A．4
B．5
C．4 或5
D．5 或6
【答案】C
二次函数法求等差数列前n 项和的最值
【解析】先根据条件求出等差数列的公差，再求出前n 项和，根据二次函数的性质即可求出.
设等差数列{an}的公差为d，
a1,a3,a4成等比数列，∴a3
2=a1a4，
即(2+2d)
2=2(2+3d)，解得d =0（舍去）或d =−1
2，
∴Sn=2n+ n(n−1)
2
×(−1
2)=−1
4 n
2+ 9
4 n，
对称轴为n= 9
2，故当n= 4或5 时，Sn取得最大值.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列前n 项和最值，由于等差数列
Sn=na1+ n(n−1)
2
d = d
2 n
2+(a1−d
2)n是关于n的二次函数，当
与d异号时，Sn在对称轴或离对称轴最
近的正整数时取最值；当
与d同号时，Sn在n=1取最值.
【变式训练9-1】已知等差数列{an}中，a1=7，设其前n 项和为Sn，当且仅当
时Sn取得最大值，则公
差d 的取值范围是（ ）
A．(−1,+ ∞)
B．(−1,−7
8)
C．(−7
8 ,−7
9)
D．(−7
6 ,−1)
【变式训练9-2】{an}为等差数列，若a11+a10<0，a1+a19>0，那么Sn取得最小正值时，n的值（ ）
A．11
B．17
C．19
D．21
【变式训练9-3】已知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，且a1<0，S3= S9，当Sn取得最小值时，
n=（ ）
A．3
B．5
C．6
D．9
【变式训练9-4】所以Sn取得最小正值时，n的值为19已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且
S2022>0,S2023<0，则下列说法错误的是（ ）
A．a1012<0
B．a1011>0
C．数列{an}是递减数列
D．{Sn}中S1010最大
【变式训练9-5】）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+2,S5=−35，则当Sn取得最小值时，n的
值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式训练9-6】设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1+a5=−14，S9=−27，则使得Sn取最小值时的n
为（ ）
A．6
B．7
C．6 或7
D．8
【变式训练9-7】已知等差数列{an}的前n项和为
，则当Sn取得最大值时，n的值为
（ ）
A．5
B．6
C．5 或6
D．6 或7
【变式训练9-9】已知公差为−2的等差数列{an},Sn是其前n项和，且S3=30.若对任意n∈N
∗都有
Sn≤Sm，则m的值为（ ）
A．6
B．7
C．6 或7
D．8
【变式训练9-10】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，对任意n∈N
∗，均有
成立，则a9
a7
的取值范
围是（ ）
A．[2,3]
B．[3,+∞)
C．(−∞,−3)∪[3,+ ∞)
D．(−∞,−3]∪[3,+∞)
【变式训练9-11】已知数列{an}的通项公式为
，记数列{an−tn}的前n项和为Sn，若Sn≤S10对任
意的n∈N
∗恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．[
12
11 , 11
10]
B．12
11 , 11
10
C．[
11
10 , 10
9 ]
D．(
11
10 , 10
9 )
【变式训练9-12】若等差数列{an}的前n项和为Sn,S2023<0,S2024>0，则当Sn取得最小值时，n的值为
（ ）
A．1011
B．1012
C．2022
D．2023
【变式训练9-13】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7>0，a6+a9<0则（ ）
A．数列{an}为递增数列
B．a8<0
C．Sn的最大值为S8
D．S14>0
【变式训练9-14】设Sn为等差数列{an}的前n 项和，且∀n∈N
∗，都有Sn
n < Sn+1
n+1
，若
，则
（ ）
A．Sn的最小值是S9
B．Sn的最小值是S10
C．Sn的最大值是S9
D．Sn的最大值是S10
【变式训练9-15】等差数列{an}的公差d <0，且a1
2=a11
2 ，则数列{an}的前n 项和Sn取得最大值时的项数n
的值为（ ）
A．5
B．6
C．5 或6
D．6 或7
【变式训练9-16】已知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，且a1<0，S3= S9，当Sn取得最小值
时，n=（ ）
A．3
B．5
C．6
D．9
【变式训练9-17】已知数列{an}满足1
an
=1+2+ 4 +⋯+2
n−1，数列{(λn+1)(2
n−1)an}的前n项和为Sn，
若Sn的最大值仅为S8，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[−1
10 ,−1
11]
B．−1,−1
9
C．(−1
8 ,−1
9)
D．[−1
5 ,−1
6]
二：多选题
【典型例题1】（多选）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，当且仅当n=7时，Sn取得最大值，则满足
Sk>0的最大的正整数k 一定不等于（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】AD
【解析】因为当且仅当n=7时，Sn取得最大值，所以a1>0，公差d <0，且a7>0，a8<0．
所以S13= 13×(a1+a13)
2
=13a7>0，所以S13>S12>0，
则满足Sk>0的最大的正整数k 一定不等于12.
S14= 14×(a1+a14)
2
=7(a7+a8)，S15= 15×(a1+a15)
2
=15a8<0，
故n≥15时，Sn<0．
当a7+a8>0时，S14>0，则满足Sk>0的最大的正整数k为14；
当a7+a8≤0时，S14≤0，则满足Sk>0的最大的正整数k为13，
故满足Sk>0的最大的正整数k可能为13与14，一定不等于12 与15.
故选：AD．
【典型例题2】（多选）已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S6<S7，且S7>S8，则（ ）
A．在数列{an}中，公差d <0
B．当n=7时，Sn取得最大值
C．S3= S10
D．使Sn>0的最大正整数为14
【答案】AB
【解析】由已知条件可得a7>0,a8<0，所以公差d <0，即A 正确；根据数列的递减性质可知当n=7时，
Sn取得最大值，即B 正确；又因为S10−S3=7 a7>0，可知C 错误，经计算可得S14=7(a7+a8)的符号不确
定，即D 错误.
根据题意由S6<S7可得a7>0，由S7>S8可得a8<0；
可设等差数列{an}的公差为d，则
，即A 正确；
即可得数列{an}为递减数列，且a1>a2>⋅⋅⋅>a7>0>a8>⋅⋅⋅，
所以可得S1<S2<⋅⋅⋅<S6<S7>S8>⋅⋅⋅，即可得当n=7时，Sn取得最大值，B 正确；
易得S10−S3=a4+a5+⋅⋅⋅+a10=7a7>0，所以C 错误；
当n=14时可得S14=a1+a2+⋅⋅⋅+a14=7(a7+a8)，
又因为a7>0,a8<0，所以S14=7(a7+a8)的符号不确定，所以D 错误.
故选：AB
【变式训练9-1】(多选)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且S13>S14>S12，则下列结论中正确的是
（ ）
A．{an}是递增数列
B．an>0时，n 的最大值为13
C．数列
中的最大项为S13
D．Sn>0时，n 的最大值为27
【变式训练9-2】(多选)设{an}是公差为d 的等差数列，Sn是其前n 项的和，且a1<0，S4= S8，则（ ）
A．d <0
B．Sn≥S6
C．a6=0
D．S12=0
【变式训练9-3】(多选)设{an}是公差为d 的等差数列，Sn为其前项的和，且S9<S10，S10= S11>S12，则下
列说法正确的是（ ）
A．d >0
B．a11=0
C．S14<S9
D．S10，S11均为Sn的最大值
【变式训练9-4】(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．当n=1001时，Sn取得最小值
D．d <0
【变式训练9-5】【多选】已知等差数列{an}，前n项和为Sn,a1>0, a2023
a2022
<−1，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．Sn的最大值为S2023
C．|an|的最小值为a2022
D．S4044<0
三：填空题
【典型例题1】设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，a1=−5，当且仅当n=5时，Sn取得最小值，则
d的取值范围为 .
【答案】(1, 5
4)
根据等差数列前n 项和的最值求参数
【解析】根据等差数列前n项和的性质，判断a5,a6的正负，即可求得结果.
根据题意可得a5⟨0,a6⟩0，即−5+ 4 d ⟨0,−5+5d ⟩0，解得d ∈(1, 5
4).
故答案为：(1, 5
4).
【典型例题2】记Sn为公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和，已知S2=−30，且a1，a5，a7成等比数列，
则Sn的最小值为 .
【答案】
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由S2=−30，a1,a5,a7成等比数列，得a1+a2=−30，a1a7=a5
2，
即{
2a1+d =−30
a1(a1+6d)=(a1+ 4 d)
2，解得a1=−16,d =2，即an=2n−18，
因此Sn= (−16+2n−18)n
2
=n
2−17n=(n−17
2 )
2−289
4
所以当
或n=9时，Sn有最小值
.
故答案为：
【典型例题3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2022>0，S2023<0，则当n= 时，Sn最大．
【答案】1011
求等差数列前n 项和的最值
【解析】利用等差数列的求和公式及性质求解.
因为{an}为等差数列，所以S2022= (a1+a2022)
2
×2022=1011(a1011+a1012)>0，即a1011+a1012>0；
同理由S2023<0可得a1012<0，所以a1011>0,a1012<0，所以当n=1011时，Sn最大．
故答案为：1011.
【变式训练9-1】已知等差数列{an}的公差为d，首项
，当且仅当
时，其前n 项和Sn取得最大值，
则d 的取值范围是 ．
【变式训练9-2】已知等差数列{an}中，a1=−10，当且仅当n=5时，前n项和Sn取得最小值，则公差d的
取值范围是 .
【变式训练9-3】等差数列{an}是递增数列，满足a7=3a5，前n 项和为Sn，则Sn最小值时n= ．
四：解答题
【典型例题1】已知等差数列an=−n+13,求数列{an}前n 项和Sn的最大值，并求解此时的n 为何值.
【答案】Sn的最大值为78，此时n=12或n=13.
【解析】判断数列{an}的单调性，求出an≥0时n的最大值，再求出前n 项和即可.
等差数列{an}的公差d <0，当an≥0时，n≤13，
因此数列{an}是递减等差数列，前12 项均为正，第13 项为0，从第14 项起为负，
所以当n=12或n=13时，数列{an}前n 项和Sn最大，(Sn)1213
13(12+0)
2
max
.
【典型例题2】已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n 项和，a8= 4，S11=−22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值.
【答案】(1)an=3n−20
(2)-57
【解析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出{
a1=−17 ,
d =3,
即可得，
（2）由通项公式可求得当n≤6时，an<0，从而可得当n=6时，Sn取到最小值，进而可求出其最小值
（1）设数列{an}的公差为d，
则{
a8=a1+7d = 4
S11=11a1+55d =−22，解得{
a1=−17
d =3
，所以
.
（2）令an=3n−20>0，解得n> 20
3 ，所以当n≤6时，an<0.
故当n=6时，Sn取到最小值，为S6=6a1+15d =−57.
【变式训练9-1】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知
，
.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值.
【变式训练9-2】已知数列{an}中，an=2n−15，求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
【变式训练9-3】已知数列{an}满足a1
2
n+1 + a2
2
n + a3
2
n−1 +⋯+ an
2
2 =n，n∈N
∗，且数列{an−kn}的前n项和
为Sn．若Sn的最大值为S2023，则实数k的最大值是多少？
【变式训练9-4】已知数列{an}满足an+1+an=2n．
(1)若{an}为等差数列，求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，不等式(−1)
n λ<S2n−8n+9对n∈N
∗恒成立，求λ的取值范围．
【变式训练9-5】已知{an}是公差为正数的等差数列，a1=−5，且a2+a4=−2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n 项和Sn；
(3)求{an}的前n 项和Sn的最小值.
【变式训练9-6】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a1=10，公差d =−2，则Sn是否存在最大值？若
存在，求Sn的最大值及取得最大值时n 的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练9-7】已知等差数列{an}的前n项和为
．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
【变式训练9-8】已知：等差数列{an}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d <0．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列{an}的前n 项和Sn的最大值及相应的n 的值．
【变式训练9-9】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=11,a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=
1
an⋅an+1
，求数列{bn}的前n项和T n.
题型10：等差数列片段和的性质
【方法技巧与总结】
连续k项的和依然成等差数列，即Sk，S2k−Sk，S3k−S2k，…成等差数列，且公差为k
2d．
【典型例题1】已知等差数列{an}，前n项和为Sn,S20−S10=10，则S30=（ ）
A．20
B．25
C．30
D．35
【答案】C
【解析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解.
设等差数列{an}的首项为
，公差为d，则S20−S10=20a1+10×19d −(10a1+5×9d)=10，
化简得2a1+29d =2，∴S30=30a1+ 30×29
2
d =15(2a1+29d)=30
【典型例题2】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5= S10，a5=1，则a1=（ ）
A．7
2
B．7
3
C．−1
3
D．−7
11
【答案】B
【解析】由S5= S10结合等差中项的性质可得a8=0，即可计算出公差，即可得
的值.
由S10−S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，则a8=0，
则等差数列{an}的公差d = a8−a5
3
=−1
3
，故a1=a5−4 d =1−4×(−1
3)= 7
3 .
【典型例题3】已知等差数列{an}的前n项和为40，前3n项和为420，则前2n项和为（ ）
A．140
B．180
C．220
D．380
【答案】B
【解析】利用等差数列的前n项和的性质即可求解.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，则
Sn,S2n−Sn,S3n−S2n成等差数列，
所以2(S2n−Sn)= Sn+ S3n−S2n，
又Sn= 40,S3n= 420
所以2(S2n−40)= 40+ 420−S2n，解得S2n=180.
所以等差数列{an}的前2n项和为180.
【典型例题4】设Sn为等差数列{an}的前n项和，且
，S6=−12，则a10+a11+a12= .
【答案】39
【解析】由题意S3,S6−S3,S9−S6,S12−S9成等差数列，结合
，S6=−12即可求解.
由题意Sn为等差数列{an}的前n项和，且
，S6=−12，
所以
，
而S3,S6−S3,S9−S6,S12−S9成等差数列，
所以
.
【变式训练10-1】等差数列{an}的前n 项和Sn，若Sn=1,S3n−Sn=5，则S4 n=（ ）
A．10
B．20
C．30
D．15
【变式训练10-2】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8= 4，则a17+a18+a19+a20=（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式训练10-3】记Sn是等差数列{an}的前n 项和，若S3=6，S6=21，则S12=（ ）
A．27
B．36
C．45
D．78
【变式训练10-4】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若
，S6=8，则S12=（ ）
A．−50
B．
C．−70
D．−80
【变式训练10-5】在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若S21:S7=6:1，则S28:S14=（ ）
A．16:1
B．6:1
C．12:1
D．10:3
【变式训练10-6】设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10=16，S100−S90=24，则S100= .
【变式训练10-7】等差数列{an}的前m项和为30，前
项和为100，则它的前4 m项和为 .
【变式训练10-8】等差数列{an}中，其前n项和为100，其前2n项和为500，则其前3n项和为 ．
【变式训练10-9】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若
，则S40= ．
【变式训练10-10】在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，已知S4=1，S8= 4，则a9+a10+a11+a12=
.
【变式训练10-11】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若
成等差数列，则S9−S6的最小值为
.
题型11： 等差数列前n 项和与n 的比值问题
{an}为等差数列
n
S
n
为等差数列
【典型例题1】已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a3=7，S10
10 −S5
5 =10，则S9=（ ）
A．63
B．72
C．135
D．144
【答案】C
【解析】设出公差，表达出Sn
n =a1+ (n−1)d
2
，代入得到方程，求出公差，从而求出首项，利用求和公式
得到答案.
设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+ n(n−1)
2
d，则Sn
n =a1+ (n−1)d
2
．
由S10
10 −S5
5 =10，得(a1+ 9d
2 )−(a1+2d)=10，解得d = 4．
又因为a3=7，所以a1=a3−2d =−1，
所以S9=9a1+ 9×(9−1)
2
d =9×(−1)+ 9×8
2
×4 =135．
【典型例题2】已知等差数列前n 项和为Sn，其中S5=8,S8=5，则S13＝ .
【答案】−13
【解析】根据等差数列的性质计算出答案.
若Sm=n,Sn=m，
因为{
Sn
n }为等差数列，
故Sm+n
m+n = Sm
m +(m+n−m)×
Sm
m −Sn
n
m−n = n
m +(m+n−m)×
n
m −m
n
m−n =−1,
故Sm+n=−(m+n)，S13=−(5+8)=−13.
【典型例题3】记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{ Sn
n }为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判
断作答.，
方法1，甲：{an}为等差数列，设其首项为
，公差为d，
则
，
因此{ Sn
n }为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：{ Sn
n }
为等差数列，即
为常数，设为t
，
即
，则
，有
Sn−1=(n−1)an−t ⋅n(n−1),n≥2
，
两式相减得：an=nan+1−(n−1)an−2tn，即
，对n=1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项
，公差为d，即Sn=na1+ n(n−1)
2
d，
则
，因此{ Sn
n }
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{ Sn
n }
为等差数列，即
，
即
，
，
当n≥2时，上两式相减得：Sn−Sn−1= S1+2(n−1)D，当n=1时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
【典型例题4】在等差数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn，若S6−3 S2=24，则S10= .
【答案】100
【解析】由等差数列性质得数列{
Sn
n }为等差数列，设其公差为d，进而得
，故
，
进而得Sn=n
2，再计算S10即可.
∵数列{an}为等差数列，
∴数列{
Sn
n }为等差数列，
设其公差为d，又
，解得：
d =1
，
又∵S1
1 =a1=1，
∴
，即
Sn=n
2
∴S10=100
【变式训练11-1】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2021
2021 = S2020
2020 +1且a1=3，则( )
A．an=2n+1
B．
C．Sn=2n
2+n
D．Sn= 4 n
2−n
【变式训练11-2】已知数列
的前项和为
，若
是等差数列，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7
7 −S3
3 = 4，则a9−a6=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式训练11-4】（多选）若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，记bn= Sn
n
，则（ ）
A．数列{bn}是公差为1
2 d的等差数列
B．数列{bn}是公差为2d的等差数列
C．数列{an+bn}是公差为3
2 d的等差数列
D．数列{an−bn}是公差为3
2 d的等差数列
【变式训练11-5】已知数列{an}满足an+1=an+6
，{an}的前n项和为Sn，则
（ ）
A．12
B．6
C．3
D．2
【变式训练11-6】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7
7 −S3
3 = 4，则a9−a6=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式训练11-7】等差数列{an}的通项公式为an=1−2n，其前n项和为Sn，则数列{
Sn
n }的前100 项的和
为（ ）
A．-10100
B．10100
C．-5050
D．5050
【变式训练11-8】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=30，S20=70，则S110= .
【变式训练11-9】已知等差数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，若S2023
2023 −S2022
2022 =1，且Sn≥S5，则a1
的取值范围为 ．
【变式训练11-10】等差数列{an}中，a1=2020，前n项和为Sn，若S12
12 −S10
10 =−2，则S2022=______.
【变式训练11-11】已知公差不为0 的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2，a4，a8成等比数列，
S2021
2021 −S2015
2015 =12．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=3
n−1an，求{bn}的前n项和T n．
题型12：两个等差数列前n 项和之比
设{an}，{bn}的前n项和为Sn，T n，则an:bn= S2n−1:T 2n−1．
【典型例题1】已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且其前n 项和分别为Sn和T n．若Sn
T n
= 3n−2
2n+1 ，则a3
b3
=
______．
【答案】13
11
【解析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的a3
b3
= a1+a5
b1+b5
，再由等差数列的求和公式，转化为S5
T 5
，
从而得到答案.
因为数列{an}、{bn}均为等差数列，且Sn
T n
= 3n−2
2n+1 ，
所以a3
b3
= 2a3
2b3
= a1+a5
b1+b5
=
5(a1+a5)
2
5(b1+b5)
2
= S5
T 5
= 15−2
10+1 = 13
11
故答案为：13
11
【典型例题2】两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，T n，且Sn
T n
= 3n+2
n+3 ，则a2+a20
b7+b15
等于
（ ）
A．9
4
B．25
24
C．65
24
D．149
24
【答案】C
【解析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前n项和公式，把a2+a20
b7+b15
转化为S21
T 21
求解即可．
解：由等差数列的性质可得，a2+a20
b7+b15
= a1+a21
b1+b21
=
21
2 (a1+a21)
21
2 (b1+b21)
= S21
T 21
= 3×21+2
21+3
= 65
24 ．
故选：C．
【典型例题3】已知等差数列 {an} 与等差数列 {bn} 的前 n 项和分别为 Sn 与 T n, 且Sn
T 2n−1
= 5n+3
4 n−2
,
则a3
b11
+ a9
b11
=（ ）
A．29
21
B．29
11
C．58
21
D．
【答案】D
【解析】因为数列{an}、{bn}都是等差数列, 所以a3
b11
+ a9
b11
= a3+a9
b11
= 2a6
b11
,
又S11= 11(a1+a11)
2
=11a6，T 21= 21(b1+b21)
2
=21b11，
故a6= S11
11
，b11= T 21
21
，即有a3
b11
+ a9
b11
= 2a6
b11
= 42
11 × S11
T 21
,
在Sn
T 2n−1
= 5n+3
4 n−2中，令n=11，得S11
T 21
= 29
21，
故a3
b11
+ a9
b11
= 2a6
b11
= 42
11 × 29
21 = 58
11 .
故选：D.
【变式训练12-1】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn与T n，且Sn
T n
= 2n+2
n+3 ，则a3+a9
3b7−b9
=（ ）
A．
14
9
B．
12
7
C．
D．
7
4
【变式训练12-2】已知两等差数列{an}，{bn}，前n 项和分别是An，Bn，且满足
An
Bn
= 2n+1
3n+2，则
（ ）
A．
15
16
B．
13
17
C．
23
29
D．
【变式训练12-3】已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、T n，若Sn
T n
= 3n+ 4
n+2 ，则a3+a7+a8
b2+b10
=
（ ）
A．111
13
B．37
13
C．111
26
D．37
26
【变式训练12-4】已知等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和T n，且Sn
T n
= 5n+63
n+3
，则使得
an
bn
为整数的正整数n的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式训练12-5】已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为An，Bn，且An
Bn
=
n
n+1，则使
an
bn
≥λ恒成立的实数λ的最大值为（ ）
A．
1
2
B．
C．1
D．2
【变式训练12-6】(多选)已知等差数列{an}和{bn}的前n 项和分别为Sn和T n，且an
bn
= 2n+1
n+1 ，n∈N
+，
则下列结论正确的有（ ）
A．数列{
an
bn}是递增数列
B．S7
T 5
= 61
20
C．使an
bn
为整数的正整数n 的个数为0
D．S1⋅S2⋅⋅⋅Sn
T 1⋅T 2⋅⋅⋅T n
的最小值为3
2
【变式训练12-7】已知等差数列{an}，{bn}前n 项和分别为Sn，T n，若Sn
T n
= n+1
n+3 ，则
a2
b1+b5
+
a4
b2+b4
等
于（ ）
A．2
B．5
4
C．1
D．3
4
【变式训练12-8】数列{an}与{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn与T n，若Sn
T n
= 3n+1
n+3 ，则a2+a20
b7+b15
=
__________，使得an
bn
为整数的n值个数__________.
【变式训练12-9】已知数列{an}和{bn}都为等差数列，其前n项和分别为Sn和T n，且满足Sn
T n
= 2n−1
3n+2 ，则
；
．
【变式训练12-10】设数列{an}和{bn}都为等差数列，记它们的前n项和分别为Sn和T n，满足an
bn
= 2n−1
2n+1 ，
则Sn
T n
=
【变式训练12-11】若数列{an}，{bn}都等差数列，且有a1+a2+⋯+an
b1+b2+⋯+bn
= 5n+3
n+2 ，则a7
b7
= ．
题型13：等差数列的奇偶项和问题
等差数列奇偶项和的性质：
（1）若项数为2n，则S2n=n(an+an+1)，S偶−S奇=nd，S奇
S偶
= an
an+1
（2）若项数为2n−1，则S2n−1=(2n−1)an，S奇=nan，S偶=(n−1)an，S奇−S偶=an，S奇
S偶
=
n
n−1
【典型例题1】已知等差数列{an}的公差d = 1
2，a2+a4+⋅⋅⋅+a100=80，那么S100=（ ）
A．80
B．120
C．135
D．160
【答案】C
【解析】利用等差数列奇数项和偶数项的关系求解.
解：在等差数列{an}中，公差d = 1
2，a2+a4+⋅⋅⋅+a100=80，
所以a1+a3+⋅⋅⋅+a99=a2+a4+⋅⋅⋅+a100−50d =80−50× 1
2 =55,
所以S100=(a1+a3+⋅⋅⋅+a99)+(a2+a4+⋅⋅⋅+a100)=80+55=135
【典型例题2】）已知等差数列{an}共有
项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则n= ．
【答案】10
【解析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
奇数项有n项，偶数项有n−1项，所以奇数项和为n(a1+a2n−1)
2
=nan，偶数项和为
(n−1)(a2+a2n−2)
2
=(n−1)an，
故n
n−1 = 60
54 ，解得n=10.
【典型例题3】已知等差数列{an}的前30 项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B−A = 45，
2 A = B+615，则an=（ ）
A．3n−2
B．3n−1
C．
D．3n+2
【答案】B
【解析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
设等差数列的公差为d，首项为a1，
则B−A =15d = 45，所以d =3，
因为2 A = B+615，即2 A = A + 45+615，则A =660，
等差数列的奇数项是以a1为首项，2d为公差的等差数列，等差数列{an}的前30 项中奇数项有15 项，所以
A =15a1+ 15×14
2
×6=660，得
，
所以an=a1+(n−1)d =2+3(n−1)=3n−1.
【变式训练13-1】已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则a5=（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【变式训练13-2】已知等差数列{an}共有20 项，其偶数项和为200，奇数项和为100，则a8=（ ）
A．10
B．−10
C．−20
D．20
【变式训练13-3】设等差数列的项数n为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．n−1
n
B．2n+1
n
C．2n+1
2n
D．n+1
n−1
【变式训练13-4】已知等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1的
值为（ ）．
A．30
B．29
C．28
D．27
【变式训练13-5】已知等差数列{an}的项数为2m+1(m∈Ν
∗),其中奇数项之和为140, 偶数项之和为
120,则m= ( )
A．6
B．7
C．12
D．13
【变式训练13-6】已知{an}是等差数列，其中a2=22，
，a2+a4+a6+⋯+a20=________.
【变式训练13-7】一个等差数列共有10 项，其中奇数项的和为25
2
，偶数项的和为15，则这个数列的第6
项是 ．
【变式训练13-8】一个等差数列的前12 项和为354，前12 项中，偶数项的和与奇数项的和之比为
32∶27，求公差d．
【变式训练13-9】已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则a5= .
【变式训练13-10】已知等差数列{an}中，前m（m 为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且
a1−am=18，求通项公式．
【变式训练13-11】在等差数列{an}中，前m 项（m 为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且
a1−am=12，则{an}的通项公式为an= .
【变式训练13-12】一个等差数列的前12 项和为354，前12 项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公
差d 为 .
【变式训练13-13】已知等差数列{an}共有
项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则n=
．
【变式训练13-14】已知数列{an}满足a1=1，an+1={
an+2,n 为奇数
an+3,n 为偶数，则{an}的前40 项和为
.
【变式训练13-15】已知等差数列{an}的项数为
(m∈N
∗)，其中奇数项之和为140，偶数项之和为
120，则数列{an}的项数是 .
【变式训练13-16】等差数列{an}共有2n+1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则
n等于 ．
【变式训练13-17】已知数列{an}满足a1=1，an+1+an=−3n(n∈N
∗)，记数列{an}的前n项和为Sn，若
Sn=−192，则n= .
【变式训练13-18】在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10 项中，S奇
S偶
＝11
13 ，则公差d＝ .
【变式训练13-19】已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项的和与偶数项
的和之比为7:6，则中间项为 ．
【变式训练13-20】(1)等差数列前12 项和为354，前12 项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数
列的公差；
(2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项．
题型14： 含绝对值的等差数列的前n 项和
【方法技巧与总结】
已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时
应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点
【典型例题1】在等差数列{an}中，a1=9，a4=3，设T n=|a1|+|a2|+…+|an|，则
（）
A．281
B．651
C．701
D．791
【答案】C
【解析】根据给定条件,求出等差数列{an}的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出T 31.
等差数列{an}中,由a1=9,a4=3,得公差d = a4−a1
4−1 =−2,
则an=a1+(n−1)d =−2n+11,
显然当n≤5时,an>0,当n>6时,an<0,
所以T 31=|a1|+|a2|+⋯+|a31|=(a1+a2+⋯+a5)−(a6+a7+⋯+a31)
=2(a1+a2+⋯+a5)−(a1+a2+⋯+a31)
=2× 5(a1+a5)
2
−31(a1+a31)
2
=2× 5(9+1)
2
−31(9−51)
2
=701.
【典型例题2】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知
．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和T n．
【答案】(1)an=15−2n
(2)T n={
14 n−n
2,n≤7
n
2−14 n+98,n≥8
【解析】（1）根据题意列式求解a1,d，进而可得结果；
（2）先求Sn，讨论an的符号去绝对值，结合Sn运算求解.
（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得{
a2=a1+d =11
S10=10a1+ 10×9
2
d = 40，即{
a1+d =11
2a1+9d =8，解得{
a1=13
d =−2
，
所以an=13−2(n−1)=15−2n，
（2）因为Sn= n(13+15−2n)
2
=14 n−n
2，
令an=15−2n>0，解得n< 15
2 ，且n∈N
∗，
当n≤7时，则an>0，可得T n=|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|an|=a1+a2+⋅⋅⋅+an= Sn=14 n−n
2；
当n≥8时，则an<0，可得T n=|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|an|=(a1+a2+⋅⋅⋅+a7)−(a8+⋅⋅⋅+an)
= S7−(Sn−S7)=2S7−Sn=2(14×7−7
2)−(14 n−n
2)=n
2−14 n+98；
综上所述：T n={
14 n−n
2,n≤7
n
2−14 n+98,n≥8
.
【变式训练14-1】【多选】已知{an}为等差数列，
，则（ ）
A．{an}的公差为2
B．{an}的公差为3
C．{|an|}的前50 项和为900
D．{|an|}的前50 项和为1300
【变式训练14-2】数列{an}的前n项和为
，则数列{|an|}的前10项和|a1|+|a2|+⋯+|a10|= ．
【变式训练14-3】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知
.则数列{|an|}的前20 项和为
．
【变式训练14-4】已知an= 4 n−3,若bn=a2n−1−80，求数列{|bn|}的前n 项和T n．
【变式训练14-5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a6= 4，S9=9
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=|an|，求数列
的前n项和T n．
【变式训练14-6】在等差数列{an}中，a3=7,a9=−5,{an}的前n项和为Sn．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn取最大值时n的值；
(3)设
，求T n．
【变式训练14-7】等差数列an=13−3n的前n项和为Sn,当n为何值时，|Sn|最小？并求此最小值.
【变式训练14-8】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,n Sn+1−(n+1)Sn=−n(n+1)，n∈N
∗.
(1)求证：数列{
Sn
n }为等差数列；
(2)求数列{|an|}的前n项和.
【变式训练14-9】已知等差数列 {an} 的前 n 项和为Sn，且S7=35，a2a4= 45.
(1)求数列 {an} 的通项公式;
(2)记 bn=|an|，求数列 {bn} 的前 n 项和 T n.
【变式训练14-10】已知数列{an}满足X，4 an=an−1−3(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=|log2(an+1)|，求数列{bn}的前10 项和S10.
【变式训练14-11】在各项均为正数的等比数列{an}中，
，且2a4,a6,3a5成等差数列.
(1)求等比数列{an}的通项公式an和前n 项和Sn；
(2)若数列{bn}满足bn=11−2log2an，求数列{bn}的前n项和Bn的最大值.
(3)求数列{｜bn｜}的前n项和T n
【变式训练14-12】已知数列{an}中，
，an+1=
an
2an+1，记bn= 1
an
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求出bn；
(2)设T n=|b1|+|b2|+⋯+|bn|，求T n；
(3)若(n−1)λ>an，对任意的∀n>3,n∈N
∗恒成立，求λ的取值范围.
【变式训练14-13】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N
∗，再从条件：①a1=−3，②an+1−an=2，
③S2=−4中选择两个作为已知，并完成解答.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前10 项的和．
【变式训练14-14】在等差数列{an}中，a3=7 ,a9=−5,{an}的前n项的和为Sn．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn取最大值时n的值；
(3)设
，求T n．
题型15： 等差数列的判定与证明
【方法技巧与总结】
证明等差数列的方法
（1）定义法
an＋1−an=d(n∈N
∗)或an−an−1=d(n≥2,n∈N
∗)⇔数列{an}是等差数列．
（2）等差中项法
2an＋1=an＋an＋2(n∈N
∗)⇔数列{an}为等差数列．
（3）通项公式法
数列{an}的通项公式形如an= pn+q（p，q为常数）⇔数列{an}为等差数列．
【典型例题1】已知数列{an}满足递推关系：an+1=
an
an+1，a1= 1
2，则a2019=（ ）
A．
1
2018
B．
1
2019
C．
1
2020
D．
1
2021
【答案】C
【解析】依题意，
，由an+1=
an
an+1，得1
an+1
= an+1
an
= 1
an
+1，即
1
an+1
−1
an
=1，而
1
a1
=2，
因此数列{ 1
an
}是以2 为首项，1 为公差的等差数列，则1
an
=2+(n−1)×1=n+1，an=
1
n+1，
所以a2019=
1
2020 .
故选：C
【典型例题2】已知数列{an}的首项a1=3，且满足an+1= 3an−1
an+1 ．
(1)求证：数列{
1
an−1}为等差数列；
(2)若bn=(an+1−1)(an−1)(n∈N
∗)，求数列{bn}前n 项和Sn．
【答案】(1)证明见解析
(2)Sn= 4 n
n+1
【解析】(1)根据递推公式可得：
，结合等差数列的定义判断{
1
an−1}是否为等差数列即
可；
(2)由（1）可得bn=
2
n+1 × 2
n = 4(
1
n −
1
n+1)，利用裂项相消法即可求解.
（1）
1
an+1−1 −
1
an−1 =
1
3an−1
an+1 −1
−
1
an−1 = an+1
2an−2 −
1
an−1 =
an−1
2(an−1)
= 1
2为常数
∴{
1
an−1}是以1
2为公差的等差数列．
（2）∵
，∴由（1）得
1
an−1 = 1
2 +(n−1)× 1
2 = n
2，
∴an−1= 2
n ，∴bn=
2
n+1 × 2
n = 4(
1
n −
1
n+1)，
∴Sn= 4×(1−1
2 + 1
2 −1
3 +⋯1
n −
1
n+1)= 4×(1−
1
n+1)= 4 n
n+1.
【典型例题3】已知数列{an}，{bn}满足a1=−1，
，bn=
1
an+2
.
(1)证明：{bn}为等差数列.
(2)设数列{(−1)
nbn
2}的前n项和为Sn，求Sn.
【答案】(1)证明见解析
(2)Sn=(−1)
n n(n+1)
2
【解析】（1）根据已知代入化简得出bn+1−bn=1，即可证明；
（2）根据（1）得出数列{(−1)
nbn
2}的通项，当n为偶数时，利用并项求和法得出Sn，当n为奇数时，n+1
为偶数，由Sn= Sn+1−bn+1
2
得出Sn，即可综合得出答案.
（1）由题意得bn+1=
1
an+1+2，an+1= −1−an−3
an+3
= −an−4
an+3
，
则bn+1−bn=
1
an+1+2 −
1
an+2 =
1
−an−4
an+3 +2
−
1
an+2 = an+3
an+2 −
1
an+2 =1
，
所以{bn}是首项b1=
1
a1+2 =1，公差为1 的等差数列.
（2）由（1）得bn=b1+(n−1)×1=n，则(−1)
nbn
2=(−1)
nn
2，
当n为偶数时，Sn=−1
2+2
2−3
2+ 4
2−⋯−(n−1)
2+(n)
2
=(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+(n+n−1)(n−n+1)
=1+2+3+ 4 +⋯+n−1+n= (n+1)×n
2
= n(n+1)
2
.
当n为奇数时，n+1为偶数，
则Sn= Sn+1−bn+1
2
= (n+1)(n+2)
2
−(n+1)
2=−n(n+1)
2
.
综上，Sn=(−1)
n n(n+1)
2
.
【变式训练15-1】已知数列{an}满足递推关系：an+1=
an
an+1，a1= 1
2，则a2019=（ ）
A．
1
2018
B．
1
2019
C．
1
2020
D．
1
2021
【变式训练15-2】已知数列{an}满足an
an+2 = 1
2 an+1（n∈N
∗），a1=1.
(1)证明:数列{
1
an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
【变式训练15-3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且
.
(1)判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由；
(2)若在数列{bn},{cn}中，
，且
，则判断数列{cn}是否为等差数列，并说
明理由.
【变式训练15-4】设n 为正整数，数列{an}为正整数数列，且满足数列{aan}和{aan+1}均为等差数列，则称
数列{an}为“五彩的”
(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数
列{cn}，通项公式为cn=n
(2)若数列{an}为“五彩的”且严格单调递增.
（i）证明：数列{aan}和{aan+1}公差相等；
（ii）证明：数列{an}一定为等差数列.
【变式训练15-5】设Sn为数列{an}的前n 项和，Sn=2n
2−30n
(1)求
及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
【变式训练15-6】已知数列
满足3an+1=an+ 1
3
n，a1= 2
3，设
.
（I）证明：{bn}为等差数列；
（II）设cn=9
n+(−1)
n−1⋅λ⋅3
bn，若{Cn}为递增数列，求λ的取值范围.
【变式训练15-7】已知Sn为数列{an}的前n 项和，
，且a1=1，λ Sn=anan+1，其中λ为常数.
(1)求证：数列{an+2−an}为等差数列；
(2)是否存在λ，使得{an}是等差数列？并说明理由.
【变式训练15-8】已知数列{an}满足
，证明：数列{
1
an−1
2}
为等差数列．
由等差数列的前n 项和判断等差数列
【方法技巧与总结】
Sn= A n
2+ Bn（其中A，B为常数）是数列{an}成等差数列的充要条件．
【典型例题1】已知正项数列{an}满足a2=3a1,Sn为{an}的前n项和，则“{an}是等差数列”是“❑√Sn为等
差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】当{an}是等差数列时，设公差为d，由a2=3a1⇒a1+d =3a1⇒d =2a1>0，
因此Sn=na1+ 1
2 n(n−1)⋅2a1=n
2a1⇒❑√Sn=n ❑√a1，
当n∈N
∗时，因为❑√Sn+1−❑√Sn=(n+1)❑√a1−n ❑√a1= ❑√a1，
所以❑√Sn为等差数列；
当❑√Sn为等差数列时，设公差为d1，则有❑√Sn= ❑√a1+(n−1)d1⇒Sn=a1+2❑√a1d1(n−1)+(n−1)
2d1
2，
所以当n≥2,n∈N
∗时，Sn−1=a1+2❑√a1d1(n−2)+(n−2)
2d1
2，
两式相减，得an=2d1
❑√a1+d1
2(2n−3)，
S2=a1+2❑√a1d1+d1
2⇒a1+a2=a1+2❑√a1d1+d1
2⇒4 a1=a1+2❑√a1d1+d1
2⇒d1= ❑√a1，或d1=−3 ❑√a1，
因为该数列是正项数列，所以d1=−3 ❑√a1舍去，
因此an=2d1
❑√a1+d1
2(2n−3)=(2n−1)a1，显然当n=1时，成立，
当n∈N
∗时，因为an+1−an=2a1，
所以{an}是等差数列，因此“{an}是等差数列”是“❑√Sn为等差数列”的充要条件，
故选：C
【典型例题2】已知数列{an}的前n项和Sn= pn
2+qn+r（p,q ,r为常数，且
），则“{an}是
等差数列”是“r =0”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若{an}是等差数列，设其公差为d (d ≠0)，则Sn=na1+ n(n−1)
2
d = d
2 n
2+(a1−d
2)n，
所以r =0，
若r =0，则Sn= pn
2+qn( p≠0)，
当n=1时，a1= S1= p+q，当n≥2时，an= Sn−Sn−1=2 pn+q−p，此时n=1也满足，
所以an=2 pn+q−p，于是有an+1−an=2 p,{an}是等差数列，
所以“{an}是等差数列”是“r =0”的充要条件．
故选：A
【变式训练15-1】已知数列{an}的前n项和为Sn，若
，且
．
(1)证明：{
Sn
n }为等差数列，并求Sn；
(2)证明：{an}为等差数列．
【变式训练15-2】已知数列{an}的前n 项和Sn=n
2−4 n，n∈N
∗.
(1)写出数列{an}的通项公式.
(2)证明：数列{an}是等差数列；
【变式训练15-3】已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1=−2,a2=2,S3=6.
(1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
【变式训练15-4】已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n−2n
2+r．
(1)当r =0时，求证：该数列{an}是等差数列；
(2)若数列{an}是等差数列，求
满足条件．
题型16：等差数列中对称设项法的应用
【方法技巧与总结】
等差数列中对称设项法的应用
1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a−d，a+d，公差为2d；
2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a−d，a，a+d，公差为d；
3、四个数成等差数列且知其和，常设成a−3d，a−d，a+d，a+3d，公差为2d．
【典型例题】四个数成递增等差数列，四个数之和等于26，中间两个数之积为40，求这四个数.
【解析】设四个数为a−3d，a−d，a+d，a+3d，其中d >0，
∴{
(a+3d)+(a−d)+(a+d)+(a+3d)=26
(a+d)(a−d)= 40
，解得：{
a= 13
2
d = 3
2
，
∴四个数为2，5，8，11.
【变式训练16-1】
（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少
18，求此等差数列；
（2）已知等差数列{an}是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
【变式训练16-2】
(1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.
（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为−8，求这四个数.
【变式训练16-3】已知四个数成等差数列，中间两项之和为2，首末两项之积为−8，求这四个数.
题型17：等差数列的综合问题
【典型例题1】(多选)已知公差不为0 的等差数列{an}的前n项和为Sn，则（ ）
A．点
在同一条直线上
B．点(n,Sn)在同一条直线上
C．点(n, Sn
n )在同一条直线上
D．点(n+1,S(n+1)k−Snk)（n,k均为正整数，且k为常数）在同一条直线上
【答案】ACD
【解析】结合等差数列的通项公式与前n项和公式，逐一进行判断即可.
对A：因为an=a1+(n−1)d =dn+a1−d，d ≠0，所以点
都在直线y =dx +a1−d上，故A 正确；
对B：因为Sn=na1+ n(n−1)
2
d = d
2 n
2+(a1−d
2)n，所以点(n,Sn)都在二次函数y = d
2 x
2+(a1−d
2)x上，
故B 错误；
对C：因为Sn
n = d
2 n+(a1−d
2)，所以点(n, Sn
n )都在直线y = d
2 x +(a1−d
2)上，故C 正确；
对D：因为S(n+1)k−Snk =(n+1)k a1+
(n+1)k ⋅[(n+1)k −1]
2
d −nk a1−nk ⋅(nk −1)
2
d
，
所以点
(n+1,S(n+1)k−Snk)
都在直线
y =
上，故D 正确.
故选：ACD
【典型例题2】已知数列{an}满足a1=1，an=an−1+3n−2(n≥2)，则{an}的通项公式为 ．
【答案】3n
2−n
2
【解析】因为a1=1，an=an−1+3n−2(n≥2)，
所以
(n≥2)，
即a2−a1= 4，a3−a2=7，a4−a3=10，⋯，an−1−an−2=3n−5，
所以an−an−1+an−1−an−2+⋯+a3−a2+a2−a1=(3n−2)+(3n−5)+⋯+7+ 4，
即an−a1= [(3n−2)+ 4](n−1)
2
，则an= 3n
2−n
2
(n≥2)，
当n=1时an= 3n
2−n
2
也成立，所以an= 3n
2−n
2
【典型例题3】设数列 {an} 满足 a1=3，an+1=an+8n+ 4 .
(1)求数列 {an} 的通项公式;
(2)求数列 {
1
an} 的前 n 项和 Sn .
【答案】(1)an= 4 n
2−1,n∈N
∗
(2)Sn=
n
2n+1
【解析】（1）利用累加法求解数列通项公式，再根据分组求和进行化简；
（2）利用裂项相消求解数列的前 n 项和 Sn；
（1）∵an+1=an+8n+ 4⇒an+1−an=8n+ 4 ,
可知an−an−1=8(n−1)+ 4 ,
an−1−an−2=8(n−2)+ 4 ,
an−2−an−3=8(n−3)+ 4 ,
⋮
a3−a2=8×2+ 4 ,
a2−a1=8×1+ 4 ,
a1=3，
上式相加得an=8(n−1)+ 4 +8(n−2)+ 4+8(n−3)+ 4+⋯+8×2+ 4 +8+ 4+3
=8[(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+2+1]+ 4(n−1)+3
=8× (n−1)n
2
+ 4(n−1)+3= 4 n
2−1
所以数列 {an} 的通项公式an= 4 n
2−1,n∈N
∗
（2）1
an
=
1
4 n
2−1
=
1
(2n+1)(2n−1) = 1
2 (
1
2n−1 −
1
2n+1 ),n∈N
∗，
所以Sn= 1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+⋯+
1
an−1
+ 1
an
= 1
2 (1−1
3 )+ 1
2 ( 1
3 −1
5 )+ 1
2 ( 1
5 −1
7 )+⋯+ 1
2 (
1
2n−3 −
1
2n−1 )+ 1
2 (
1
2n−1 −
1
2n+1 )
= 1
2 (1−1
3 + 1
3 −1
5 + 1
5 −1
7 +⋯+
1
2n−3 −
1
2n−1 +
1
2n−1 −
1
2n+1 )
= 1
2 (1−
1
2n+1 )
=
n
2n+1
所以数列 {
1
an} 的前 n 项和 Sn=
n
2n+1.
【变式训练17-1】已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2={
an+2,n=2k −1
−an,n=2k
(k ∈N
∗)，若Sn为数列{an}的
前n项和，则S50=（ ）
A．624
B．625
C．626
D．650
【变式训练17-2】【多选】已知数列{an}满足a1=1，an+1+an= 4 n，则（ ）
A．a2023= 4045
B．Sn是{an}的前n项和，则
C．当n为偶数时an=2n+1
D．{an}的通项公式是an=2n−1
【变式训练17-3】【多选】以下四个命题中，真命题的是（ ）
A．若数列{an}是各项均为正的等比数列，则数列{ln an}是等差数列
B．若等差数列{an}的前n 项和为Sn，则数列{
Sn
n }是等差数列
C．若等差数列{an}的前n 项和为Sn，且a2018=0，则S2021= S2015
D．若等比数列{bn}的前n 项积为T n，且b2019=1，则T 2021=T 2016
【变式训练17-4】已知A ,B ,C ( ABC ≠0)成等差数列，直线Ax + By +C =0与圆x
2+ y
2+2tx +ty −6=0
的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．随着t 的变化而变化
【变式训练17-5】已知抛物线E: y
2= 4 x，圆C：x
2+ y
2=2 x，过圆心C作直线l与抛物线E和圆C交于四
点，自上而下依次为A，M，N，B，若|AM|，|MN|，|NB|成等差数列，则直线l的斜率为（ ）
A．❑√2
B．± ❑√2
C．
❑√2
2
D．±
❑√2
2
【变式训练17-6】设数列{an}的前n项积为T n，满足an+3T n=1，则∑
i=1
10 1
T i
=（ ）
A．175
B．185
C．275
2
D．295
2
【变式训练17-7】已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1={
an+1,n 为奇数，
an+2,n 为偶数，则S20的值为
（ ）
A．300
B．
C．210
D．2
9−1
【变式训练17-8】有两个等差数列2，6，10，
，190及2，8，14，
，200，由这两个等差数列的公
共项按从小到大的顺序组成一个新数列，这个新数列共有 项，这个新数列的各项之和为 ．
【变式训练17-9】若a,b,c成等差数列，则二次函数y =a x
2−2bx +c的图象与x 轴的交点的个数为
．
【变式训练17-10】若关于x的方程
和x
2−x +n=0（m,n∈R且m≠n）的四个根组成首项
为1
4 的等差数列，则数列的公差d = ，m+n的值为 ．
【变式训练17-11】已知数列{an}满足a1=1,an+1={
an−1,n 为奇数
an−2,n 为偶数.
(1)记bn=a2n，写出b1,b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前100 项和.
【变式训练17-12】记Sn为数列{an}的前n 项和，bn为数列{Sn}的前n 项积，已知2
Sn
+ 1
bn
=2．
（1）证明：数列{bn}是等差数列;（2）求{an}的通项公式．
题型18： 数学文化中的等差数列问题
【方法技巧与总结】
（1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减
少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
（2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建
模的核心素养的体现．
【典型例题1】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春
分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之
和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则谷雨日影长为（ ）
A．1.5尺
B．3.5尺
C．5.5尺
D．7.5尺
【答案】C
【解析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n 项和求解即得.
设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种
这十二个节气的日影长分别为
，
，⋅⋅⋅，a12，前n 项和Sn(n≤12)，
由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，
得{
a2+a4+a6=3a1+9d =31.5
S8=8a1+ 8×7
2
d =80
，解得a1=13.5，d =−1，
所以谷雨日影长为a9=a1+8d =13.5−8=5.5（尺）．
【典型例题2】明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，n，Sn和d求各项的问题，如九儿问甲歌：
“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详
推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3 岁，所有儿子
的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子
的岁数为（ ）
A．27
B．31
C．35
D．39
【答案】C
【解析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为−3的等差数列，再利用等差数的前n 项
和公式列方程求解即可.
依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为−3的等差数列，设长子的岁数为
，
则9a1+ 9×8
2
×(−3)=207，解得a1=35，
所以该问题中老人长子的岁数为35.
【典型例题3】《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积是（ ）
A．67
66 升
B．17
6 升
C．109
33 升
D．133
6 升
【答案】A
【解析】设此等差数列为{an}，利用方程思想求出
和d，再利用通项公式进行求解．
根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{an}，
设其首项为
，公差为d，
由题意可得{
a1+a2+a3+a4=3
a7+a8+a9= 4
，
所以{
4 a1+6d =3
3a1+21d = 4，解得{
a1=13
22
d = 7
66
，
所以a5=a1+ 4 d = 13
22 + 4× 7
66 = 67
66 ，
即第5 节竹子的容积为67
66
升．
故选：A．
【变式训练18-1】已知从冬至日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二
个节气的日影长减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）.若雨水的日影长为95 寸，冬至､小寒､大寒､立春的
日影长之和为480 寸，则冬至的日影长为（ ）
A．135 寸
B．130 寸
C．125 寸
D．120 寸
【变式训练18-2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024 年4 月执行载人航
天飞行任务.运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为x(km)，以后每秒钟通
过的路程都增加3km，在达到离地面222km 的高度时，火箭开始进入转弯程序，从点火到进入转弯程序大
约需要12 秒，则x的值为 .
【变式训练18-3】张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25 码到36.5 码的童鞋，尺寸之间按0.5 码为
公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张
扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记
缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5 码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677 码．
现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28 码
B．29.5 码
C．32.5 码
D．34 码
【变式训练18-4】在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，
甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差
争．”题意是“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、
乙两人共237 钱，戊、已、庚三人共261 钱，求各人钱数．”根据上面的已知条件，丁有（ ）
A．107 钱
B．102 钱
C．101 钱
D．94 钱
【变式训练18-5】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三
日织9 尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15 尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女
子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9 尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15 尺，问
她前七日共织布多少尺？” （ ）
A．28
B．32
C．35
D．42
【变式训练18-6】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、
戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪
年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由
“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸
酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，
…，以此类推，2022 年是壬寅年，请问：在100 年后的2122 年为（ ）
A．壬午年
B．辛丑年
C．己亥年
D．戊戌年
【变式训练18-7】百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：
如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作
三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021 年共有365 天，
2021 年1 月1 日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021 年全年他们约定的“家庭日”是星期
五的天数为 ；2021 年全年他们约定的“家庭日”共有 个.
【变式训练18-8】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人
所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、
丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古
代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱．
【变式训练18-9】若将2 至2022 这2021 个整数中能被3 除余2 且被7 除余2 的数按由小到大的顺序排成
一列，则此数列的项数是（ ）
A．95
B．96
C．97
D．98
【变式训练18-10】在2022 年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14 句古
诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二
十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），
二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为
9.5 尺，立冬的晷长为10.5 尺，则冬至所对的晷长为（ ）
A．11.5 尺
B．13.5 尺
C．12.5 尺
D．14.5 尺
【变式训练18-11】将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形
中“〇”的个数是78，则n的值是 ．
【变式训练18-12】一支车队有15 辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14 时出发，以后
每间隔10min发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19 时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都
是60km /h，则这个车队当天一共行驶了 千米？
【变式训练18-13】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为
“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，…，从第二层开
始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60 个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮
球的个数最少为 .
【变式训练18-14】公元前1800 年，古埃及的“加罕纸草书”上有这样一个问题：将100 德本（德本是古
埃及的重量单位）的食物分成10 份，第一份最大，从第二份开始，每份比前一份少5
6 德本，求各份的大小.
在这个问题中，最小的一份是 德本.
【变式训练18-15】张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP 记录每天的运动步数.在11 月的
30 天中，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10 天的运动步数是6.9 万步，
前20 天的运动步数是15.8 万步，则张大爷在11 月的运动步数是 万步.
一、单选题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S3>0”是“
为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知数列{an}为等差数列，a3,a11是方程x
2−6 x +8=0的两个实数根，则a7=（ ）
A．3
B．±3
C．4
D．± 4
3．已知{an}是等差数列，且a1+a4+a7=15,a2+a5+a8=21，则a3+a6+a9的值是（ ）
A．24
B．27
C．30
D．33
4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7>0，a6+a9<0，则（ ）
A．数列{an}为递增数列
B．a8>0
C．Sn的最大值为
D．S14>0
5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若
，则S15=（ ）
A．240
B．225
C．120
D．30
6．已知等差数列{an}的前n和为Sn, Sn
an
= n+1
2
，则a3
a5
=（ ）
A．3
5
B．5
3
C．3
D．1
3
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=9,S4= 40，则数列{an}的公差
（ ）
A．3
B．2
C．3
2
D．4
8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1>0，且
，则下列说法不正确的是（ ）
A．公差d <0
B．a16>0
C．
D．n=17时，Sn最大
9．若等差数列{an}的公差d =2,a8:a7=7:8，则a1=（ ）
A．−15
B．−28
C．15
D．28
10．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，T n，且Sn+T n
T n
= 5n+5
3n+2 (n∈N
∗)，则a5
b5
=（ ）
A．13
17
B．
C．21
29
D．33
47
二、多选题
11．已知数列{an}满足
，则（ ）
A．数列{
❑√an}为等差数列
B．an+an+2<2an+1
C．∑
i=1
n
1
ai
<2
D．数列{(−1)
nan}的前2n 项和为2n
2+n
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d且a1<0，若a10+a15=a12，则下列命题正确的是（ ）
A．数列{an}是递增数列
B．a13是数列{an}中的最小项
C．
和S13是
中的最小项
D．满足Sn<0的n 的最大值为25
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知a7<0,a7+a8>0，则下列说法正确的是（ ）
A．Sn的最小值为
B．满足Sn>0的最小n值是14
C．满足Sn<0的最大n值是14
D．数列{
Sn
an}的最小项为第8 项
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，a1<0，若a1+a18+a20=0，则下列命题正确的是（ ）
A．数列{an}是递增数列
B．
和S13是
中的最小项
C．a13是数列{an}中的最小项
D．满足Sn<0的n的最大值为25
三、填空题
15．某校计划新建一个容纳300个座位的阶梯教室，若设置10排座位，且从第二排起每一排都比前一排多2
个座位，则第一排需设置的座位数为 .
16．已知数列{an}满足an+1
2n−1 =
an
2n−3 +1(n∈N
∗),且a1=3，则{an}的通项公式an= .
17．已知数列{an}(n∈N
∗)是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0，S9=27，则S8的值是 .
18．已知公差大于0 的等差数列{an}满足a4+a2−a1=3，a4a6=−7，则数列{an}的前8 项和为 ．
四、解答题
19．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知
，
.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值.
20．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4+2a5=−24 ,S6=−69．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
21．设正项数列{an}的前n项和为Sn，若Sn= an
2+an
2
.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若不等式
对任意正整数n均成立，求λ的取值范围.
22．知正项数列{an}的前n 项和为Sn，满足an= ❑√Sn+ ❑√Sn−1（n≥2，n∈N
∗），a1=1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=cosn π ⋅
n
anan+1
，求数列{bn}的前2n项和T 2n的表达式．
23．已知数列{an}满足a1=−1，an+1+an=2×(−1)
n+1，记bn=(−1)
n⋅an.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)记cn=
1
anan+1
，求数列{cn}的前n项和Sn.
24．在等差数列{an}中，a1=8,a4=2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设T n=|a1|+|a2|+⋯+|an|，求T 40．
