【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
专题8 数列与概率、立体几何、解析几何的交汇
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现
的概率变大,而数列与其他知识的交汇备受青睐,如2024 年新高考全国卷I第19 题考查的是数列与概率的
交汇,2024 年新高考全国卷II第19 题考查的是数列与解析几何的交汇,本专题总结数列与概率、立体几何、
解析几何交汇的常见类型及求解,供大家参考.
（一）数列与排列组合的交汇
对于排列数
与组合数
而言,当
变动时对应的一列数就可以看作数列,所以与排列数与组合数有关的
等式与不等式问题,大多可以看作数列求解.
【例1】（1）我们学过组合恒等式
,实际上可以理解为
,请你利用这个观
点快速求解：
.（计算结果用组合数表示）
（2）（i）求证：
；
（ii）求值：
.
【解析】（1）
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
；
（2）（i）
；
（ii）
由（i）得
,
则有
,
原式
构造数列
,令
,则
,
所以
所以
,即
,
即
,所以
,即数列
是周期为6 的数列.
又因为
,
所以
.
【例2】绿化美化环境,建设美丽乡村.某村拟将村外的空地分成五块（如图1）,种植花草（中间的圆圈不种
植）,现有四种不同的花卉供选择,要求每一块种植一种花,相邻区域种不同的花卉,设所种花卉的种数为X .
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(1)求X 的分布列与期望；
(2)若将空地分成
1
2
n
n
个区域（图2）,在这
1
n 个区域上种植花卉,要求相邻区域种不同的花卉,现有5
种不同的花卉供选择,问有多少种不同的种植方法？
【解析】（1）X 的所有可能值为2,3,4.若种两种花卉,则种植方法有
2
4
A
12
；
若种三种花卖,则种植方法有
3
1
3
4
2
3
C
C
A
48
；若种四种花卉,则种植方法有
4
4
A
24
；
所有的种植方法有12
48
24
84
.
所以
12
1
2
84
7
P X
,
48
4
2
84
7
P X
,
24
2
2
84
7
P X
,
所以X 的分布列为
X
2
3
4
P
1
7
4
7
2
7
X 的期望
1
4
2
22
2
3
4
7
7
7
7
E X
.
（2）分两步,第一步种植区域
0
A ,有
1
5
C
5
种种植方法；
第二步种植区域
1 ~
n
A
A
,在n 块区域种植不同的花卉（有4 种花卉供选择）,设不同的种植方法有
n
a
种.
显然
2
4 3
12
a
,
3
4 3 2
24
a
；
当
4
n
时,
1A
有4 种种植方法,
2
A
有3 种种植方法,…
n
A
有3 种种植方法（不论是否与
1A
同种）,所以共有
1
4 3n
种种植方法,其中包含了
n
A
与
1A
同种的情况,此时,可以看成
n
A
和
1A
合为一个区域,则共有n
1
个区域,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
即
1
na 种种植方法,
所以
1
1
4 3
4
n
n
n
a
a
n
,可得
1
1
3
3
4
n
n
n
n
a
a
n
,
所以,数列
3
4
n
na
n
是以1
为公比的等比数列,又
4
4
3
3
a
,
所以,
4
3
3
1
n
n
na
,
4
3
3
1
4
n
n
na
n
.
又
2
12
a
,
3
24
a
,也适合上式,
所以,当
2
n
时,
4
3
3
1
3
3
1
n
n
n
n
na
.
由分步乘法原理知,在这
1
n 个区域上种植花来,不同的种植方法有
5
5 3
15
1
n
n
na
,
2
n
.
（二）数列与概率的交汇
与事件发生次数n（n 比较大）有关的概率的计算,通常先确定
与
的递推关系,再构造等差（比）数列
求
.
【例3】（2024 届湖南省衡阳市衡阳县第一中学高三下学期最后一卷）在”五四”来临之际,某学校团委组
织以“春风吹,青春启航”为主题的知识竞赛,比赛分初赛和决赛两个阶段,甲、乙两人进入决赛争夺冠军,决
赛规则如下：每轮答题获得分,其概率为
,获得
分,其概率为
.最多进行
轮答题,某同学累计得分为
分时,比赛结束,该同学获得冠军,另一同学获得亚军.
(1)当进行完轮答题后,甲同学总分为
,求
的分布列及
；
(2)若累计得分为
的概率为
,（初始得分为分,
）
①求
的表达式(
).
②求获得亚军的概率.
【解析】（1）设进行完轮答题时,得分的次数为
,
.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
,
,
随机变量
表示甲同学的总分,其可能取值为,
, , ,
,
,
,
所以
的分布列为：
3
4
5
6
（2）①当
时,即累计得分为分,是第一轮抢答得分,
,则
,
累计得分为
分的情况分两种：
（i）
,即累计得分为
分,又一轮抢答得
分,其概率为
.
（ii）
,即累计得分为
分,又一轮抢答得分,其概率为
.
则
,所以
.
所以数列
是首项为
,公比为
的等比数列.
所以
.
②由①得
,
,
,
,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
各式累加得：
.
而
,所以
.
所以获得冠军的概率：
.
所以获得亚军的概率为：
.
【例4】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言
处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……
2
1
1
,
,
,
t
t
t
t
X
X
X
X
,…,那么
1
t
X 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
t
X
,即
1
2
1
1
,
,
,
t
t
t
t
t
t
P X
X
X
X
P X
X
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链,例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可以赢得1 元,每一局
赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1 元．赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情况才会结束赌博游
戏：记赌徒的本金为
*
N ,
A A
A
B
一种是赌金达到预期的B 元,赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金
后,赌徒可以向赌场借钱,最多借A 元,再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
当赌徒手中有n 元
,
A
n
B n
Z
时,最终欠债A 元（可以记为该赌徒手中有
A
元）概率为
( )
P n ,请回答
下列问题：
(1)请直接写出
(
)
P
A
与
( )
P B
的数值．
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(2)证明
{ ( )}
P n
是一个等差数列,并写出公差d．
(3)当
100
A
时,分别计算
300,
1500
B
B
时,
( )
P A
的数值,论述当B 持续增大时,
( )
P A
的统计含义．
【解析】（1）当
n
A
时,赌徒已经欠债
A
元,因此
(
)
1
P
A
．
当
n
B
时,赌徒到了终止赌博的条件,不再赌了,因此输光的概率
( )
0
P B
；
（2）记
:
M 赌徒有n 元最后输光的事件,
:
N 赌徒有n 元上一场赢的事件,
P M
P N P M N
P N P M N
,即
1
1
( )
(
1)
(
1)
2
2
P n
P n
P n
,
所以
( )
(
1)
(
1)
( )
P n
P n
P n
P n
,
所以
{ ( )}
P n
是一个等差数列,
设
( )
(
1)
P n
P n
d
,则
(
1)
(
2)
,
,
(
1)
(
)
P n
P n
d
P
A
P
A
d
,
累加得
( )
(
)
(
)
P n
P
A
n
A d
,故
( )
(
)
(
)
P B
P
A
A
B d
,得
1
d
A
B
；
（3）
100
A
,由（2）
( )
(
)
(
)
n
A
P n
P
A
n
A d
A
B
,
代入n
A
可得
2
( )
(
)
A
P A
P
A
A
B
,即
2
( )
1
A
P A
A
B
,
当
300
B
时,
1
2
P A
,当
1500
B
时,
7
( )
8
P A
,
当B 增大时,
( )
P A
也会增大,即输光欠债的可能性越大,因此可知久赌无赢家,
即便是一个这样看似公平的游戏,只要赌徒一直玩下去就会100% 的概率输光并负债．
（三）数列与立体几何的交汇
求解此类问题,通常先把立体几何知识与排列组合知识结合,然再与与概率与数列等知识建立联系.
【例5】已知正四棱锥
的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的
条棱中任取两条,按下列方
式定义随机变量
的值：
若这两条棱所在的直线相交,则
的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
若这两条棱所在的直线平行,则
；
若这两条棱所在的直线异面,则
的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).
（1）求
的值；
（2）求随机变量
的分布列及数学期望
.
【解析】根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到
,
为等腰
直角三角形,
的可能取值为：
,
,
,共
种情况,其中：
时,有
种；
时,有
种；
时,有
种；
（1）
；
（2）
,
,
根据（1）的结论,随机变量的分布列如下表：
根据上表,
.
【例6】（2024 届重庆市高三第三次联合诊断）已知
4
n
且
*
nN
,设
S
是空间中
n
个不同的点构成的集合,
其中任意四点不在同一个平面上,
AB
d
表示点A , B 间的距离,记集合
{
|
,
,
}.
AB
S
d
A B
S A
B
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(1)若四面体
ABCD
满足：
AB
BCD
平面
, BC
CD
,且
1
AB
BC
CD
①求二面角C
AD
B
的余弦值：
②若
, ,
,
S
A B C D
,求
S
(2)证明：
4
1
card
S
n
参考公式：
2
2
2
2
1
2
1
2
1 (
)
n
n
x
x
x
x
x
x
n
【解析】（1）以C 为原点,CD
方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,
则
0,0,0
C
,
1,0,0
D
,
0,1,0
B
,
0,1,1
A
,
0,1,1
CA
,
1,0,0
CD
,
1,1,0
BD
,
1,1,1
AD
,
①设平面CAD 的法向量
, ,
m
x y z
,则
0
0
m CA
m CD
,即
0
0
y
z
x
,取
0,1, 1
m
,
设平面BAD 的法向量为
, ,
n
a b c
,则
0
0
n AD
n BD
,即
0
0
a
b
c
a
b
,取
1,1,0
n
,
所以
1
1
cos< ,
2
2
2
m n
m n
m n
,即二面角C
AD
B
的余弦值为
1
2 ；
②
1
AB
BC
CD
,
2
BD
AC
,
3
AD
,
所以
1,
2, 3
r S
；
（2）设
card r S
k
,
1
2
{ ,
,
r S
d d
L ,
}
k
d
,下证
1
4
n
k
,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
设S 中任意不同的两点的
2
Cn 个距离中,距离等于
id
的有
ix
个,
1
i ,2,L ,k,
则
2
1
2
Cn
k
x
x
x
,记S 中n 个不同点分别为
1A ,
2
A ,L ,
n
A ,设到点
jA
的距离等于
id
的点的个数为
jix
个,
(
1,2,
i
L ,k；
1
j
,2,L ,
)
n
,
则
1
2
i
i
x
x
L
2
in
i
x
x
,(
1,2,
i
L , )
k ,
所以
11
12
(x
x
L
1
21
22
)
(
n
x
x
x
L
2 )
n
x
L
1
2
(
k
k
x
x
L
1
2
)
(
kn
k
k
x
x
x
L
2
1
1
)
2C
k
n
kn
ij
n
i
j
x
x
,
考虑由S 中的点构成的满足
AB
AC
d
d
的点组
, ,
A B C
的个数
N S ,
一方面,当A 取
j(
1,2,
A j
L , )
n 时,这样的点组有
j
1
2
C
i
k
i
x
个,故有
j
1
1
2
C
i
j
i
x
n
k
N S
,
另一方面,因为S 中任意四个点不共面,所以对任
,
B C ,点A 的选取至多有3 种,故有
2
3Cn
N S
①,
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
C
C
C
2
2
ij
ij
j
j
j
j
i
i
i
i
x
x
ij
ij
ij
n
n
k
k
n
k
n
k
n
N S
x
x
x
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
(
)
1
2
2
2
C
C
(
)
C
(C )
C
2
n
ij
k
k
k
j
n
i
n
i
n
n
n
i
i
i
x
x
x
n
n
nk
nk
,
结合①得
2
2
1
C
4
.
4
n
n
k
nk
（四）解析几何中的某些量成等差（比）数列问题
此类问题属于解析几何与等差（比）数列的简单交汇,通常利用等差（比）中项的结论来求,如若
成
等差数列
.
【例7】（2024 届江苏省南京市、盐城市高三一模）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
1,0
F
,
右顶点为A,直线l：
4
x
与x 轴交于点M,且
AM
a AF
,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(1)求C 的方程；
(2)B 为l 上的动点,过B 作C 的两条切线,分别交y 轴于点P,Q,
①证明：直线BP,BF,BQ 的斜率成等差数列；
②⊙N 经过B,P,Q 三点,是否存在点B,使得,
90
PNQ
？若存在,求
BM
；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）由右焦点为
1,0
F
,得
1
c ,
因为
AM
a AF
,所以
4
1
a
a a
,
若
4
a
,则
4
1
a
a a
,得
2
4
0
2a
a
,无解,
若
4
a
,则
4
1
a
a a
,得
2
4
a
,所以
2
3
b ,因此C 的方程
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）设
4,
B
t ,易知过B 且与C 相切的直线斜率存在,设为
4
y
t
k x
,
联立
2
2
4
1
4
3
y
t
k x
x
y
,消去y 得
2
2
2
3
4
8
4
4
4
12
0
k
x
k t
k x
t
k
,
由
2
2
2
2
Δ
64
4
4 3
4
4
4
12
0
k
t
k
k
t
k
,得
2
2
12
8
3
0
k
tk
t
,
设两条切线BP,BQ 的斜率分别为
1k ,
2k ,则
1
2
8
2
12
3
t
t
k
k
,
2
1 2
3
12
t
k k
.
①设BF 的斜率为
3k ,则
3
4 1
3
t
t
k
,
因为
1
2
3
2
2
3
t
k
k
k
,所以BP,BF,BQ 的斜率成等差数列,
②法1：在
1
4
y
t
k
x
中,令
0
x
,得
1
4
P
y
t
k
,所以
1
0,
4
P
t
k
,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
同理,得
2
0,
4
Q
t
k
,所以PQ 的中垂线为
1
2
2
y
t
k
k
,
易得BP 中点为
1
2,
2
t
k
,所以BP 的中垂线为
1
1
1
2
2
y
x
t
k
k
,
联立
1
2
1
1
2(
)
1 (
2)
2
y
t
k
k
y
x
t
k
k
,解得
1
2
1
2
2
2,
2
N
k k
t
k
k
,
所以
1
2
2
1
2
2,2
2
NP
k k
k
k
,
1
2
1
2
2
2,2
2
NQ
k k
k
k
,
要使
0
NP NQ
,即
2
2
1
2
1
2
4
1
4
0
k k
k
k
,整理得
1
2
1
2
1
k k
k
k
,
而
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
3
9
4
4
3
12
3
t
t
t
k
k
k
k
k k
,
所以
2
2
3
9
1
12
3
t
t
,解得2
7
t
,
7
t
,因此
7
BM
,
故存在符合题意的点B,使得
0
NP NQ
,此时
7
BM
.
（五）解析几何中的点列问题
此类问题通常是通过n 次操作得到n 个点,求解的关键是根据第n+1 个点与第n 个点的关系,建立点列坐标之
间的递推关系,再利用数列知识求解.
【例8】已知双曲线
2
2
C:
1
x
y
,直线l 为其中一条渐近线,
1A
为双曲线的右顶点,过
1A
作x 轴的垂线,交l 于
点
1
B ,再过
1
B 作y 轴的垂线交双曲线右支于点
2
A ,重复刚才的操作得到
2
3
3
,
,
,
,
,
n
n
B
A B
A B
,记
,
n
n
n
A
x
y
．
(1)求
nx
的通项公式；
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(2)过
iA 作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于
,
i
i
M N ,记
1
1
1
1
,
i
i
i
a
b
a
M N
,求证：
1
1
1
2
3
2
1 1
ln
2
5
2
2 3
n
i
i
n
n
b
．
【解析】（1）双曲线
2
2
C:
1
x
y
,渐近线方程为
y
x
,
由已知可得：
1
n
n
y
x
,又点
,
n
n
n
A
x
y
在双曲线上,所以
2
2
1
n
n
x
y
,即
2
2
1
1
n
n
x
x
,
所以
2
nx
是以
2
1
1
x 为首项,公差为1的等差数列,所以
2
nx
n
即
nx
n
（2）设
,
i
i
i
A x y
,有
2
2
1
i
i
x
y
,
以
iA
为切点的双曲线的切线,
0
iy
时斜率存在时,设斜率为k ,
切线方程为
i
i
y
k x
x
y
,代入双曲线C ,
得
2
2
2
1
2
1
0
i
i
i
i
k
x
k y
kx
x
y
kx
,由Δ
0
,
得
2
2
2
2
0
i
i
i
i
y k
x y k
x
,解得
i
i
x
k
y
,切线方程为
1
i
i
x x
y y
,
1 1,0
A
为切点的双曲线的切线方程
1
x 也满足,
由
1
i
i
x x
y y
y
x
,可得
1
1
1
1
i
i
x
y
i
i
x
y
i
i
,
即
1,
1
i
M
i
i
i
i
,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
由
1
i
i
x x
y y
y
x
可得
1
1
1
1
i
i
x
y
i
i
x
y
i
i
,
即
1,
1
i
N
i
i
i
i
,所以
2
2
(2
1)
(2
)
2 2
1
i
i
M N
i
i
i
,
所以
1
1
2 2
1
i
i
i
a
M N
i
,
1
2 2
1
ib
i
.
先证右边：
1
1
1
2
1
2
1
2
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
i
i
i
b
i
i
i
i
i
,
所以
1
1
1
3
1
5
3
2
1
2
1
2
2
2
2 3
2 2
1
n
i
i
n
n
b
n
2
1 1
2
n
,右边得证.
下证左边：先证
ln 1
x
x
,令
ln
1 (
0)
f x
x
x
x
,
1
1
0
1
1
x
f
x
x
x
,
所以
f x
在
0,
递增,所以
0
0
f x
f
,
即
0
x
时,
ln 1
x
x
,
所以
1
1
2 2
1 1
ln 1
ln
2 2
1
2 2
1
2 2
1
i
i
b
i
i
i
,
当
2
i
时,2 2
1 1
2 2
3
i
i
,
证明如下：
2
2
2 2
1 1]
2 2
3]
i
i
4 2
1
4 2
1 1 4 2
3
i
i
i
4 2
1
7
4 5
7
0
i
所以
2 2
1 1
2 2
3
1
2
3
ln
ln
ln
2
2
1
2 2
1
2 2
1
i
i
i
i
i
i
,
所以当
2
n
时：
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
2
3
ln
ln
ln
2
5
2
2
5
2
7
2 3
5
2 2
1
2
2
2
1
3
3
n
i
i
n
n
n
b
n
,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
当
1
1
1,
2 3
n
b
成立,所以
1
1
1
2
3
ln
2
5
2 3
i
i
n
n
b
,左边得证,所以命题得证．
【例9】在平面直角坐标系xOy 中,若在曲线
1
E
的方程
0
(
)
,
F x y
中,以
(
,
)
x
y
（为非零的正实数）代替
( , )
x y
得到曲线
2
E
的方程
(
,
)
0
F
x
y
,则称曲线
1
2
E
E
、
关于原点“伸缩”,变换
( , )
(
,
)
x y
x
y
称为“伸缩
变换”,称为伸缩比.
(1)已知曲线
1
E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
,伸缩比
1
2
,求
1
E 关于原点“伸缩变换”后所得曲线
2
E 的方程；
(2)射线l 的方程
2 (
0)
y
x x
,如果椭圆
2
2
1 :
1
4
x
E
y
经“伸缩变换”后得到椭圆
2
E ,若射线l 与椭圆
1
2
E
E
、
分别交于两点A、B,且
3
|
|
3
AB
,求椭圆
2
E 的方程；
(3)对抛物线
2
1
1
:
2
E
x
p y
,作变换
1
1
( , )
,
x y
x
y
,得抛物线
2
2
2
:
2
E
x
p y
；对
2
E 作变换
2
2
( , )
,
x y
x
y
,得抛物线
2
3
3
:
2
E
x
p y
；如此进行下去,对抛物线
2
:
2
n
n
E
x
p y
作变换
( , )
,
n
n
x y
x
y
,得抛物线
2
1
1
:
2
n
n
E
x
p
y
,…若
1
1
p ,
2n
n
,求数列
np
的通项公式
np .
【解析】（1）由条件得
2
2
1
1
2
2
1
4
3
x
y
,整理得
2
2
1
16
12
x
y
,所以
2
E
的方程为
2
2
1
16
12
x
y
；
（2）因为
1
E
,
2
E
关于原点“伸缩变换”,
对
1
E 作变换( , )
(
,
)(
0)
x y
x
y
,得
2
2
2
2
2 :
1
4
x
E
y
,
联立
2
2
2
0
1
4
y
x x
x
y
,解得点
A
的坐标为2 2 2
,
3
3
,
联立
2
2
2
2
2
0
1
4
y
x x
x
y
,解得点
B
的坐标为
2
2 2
,
3
3
,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
所以
2
2
3
1
2 3
3
3
AB
,所以
2
2
1
3
3
3
或
2
2
1
3
3
3
,
所以
2
或
2
3
；因此椭圆
2
E 的方程为
2
2
4
1
x
y
或
2
2
4
1
9
9
x
y
；
（3）对
2
:
2
n
n
E
x
p y
作变换
( , )
,
n
n
x y
x
y
,
得抛物线
2
1 :
2
n
n
n
n
E
x
p
y
,得
2
2
n
n
p
x
y
,
又因为
2
1
2
n
x
p
y
,所以
1
n
n
n
p
p
,即
1
1
2
n
n
n
p
p
,
当
2
n
时,
1 2 3
1
1
2
3
4
2
1
2
3
3
2
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
,
得
1 (
1)
2
1
2
n n
np
,
1
1
p 适用上式,所以数列
np
的通项公式
1 (
1)
2
1
2
n n
np
.
【例1】（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线
2
2
:
0
C x
y
m m
,点
1 5,4
P
在C 上,k 为常数,
0
1
k
．按照如下方式依次构造点
2,3,...
nP n
：过
1
nP 作斜率为k 的直线与C 的左支交于点
1
n
Q ,令
nP 为
1
n
Q 关于y 轴的对称点,记
nP 的坐标为
,
n
n
x
y
.
(1)若
1
2
k
,求
2
2
,
x
y ；
(2)证明：数列
n
n
x
y
是公比为
1
1
k
k
的等比数列；
(3)设
n
S
为
1
2
n
n
n
P P P
的面积,证明：对任意正整数n ,
1
n
n
S
S
.
【解析】（1）
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
由已知有
2
2
5
4
9
m
,故C 的方程为
2
2
9
x
y
.
当
1
2
k
时,过
1 5,4
P
且斜率为
1
2 的直线为
3
2
x
y
,与
2
2
9
x
y
联立得到
2
2
3
9
2
x
x
.
解得
3
x 或
5
x
,所以该直线与C 的不同于
1P 的交点为
1
3,0
Q
,该点显然在C 的左支上.
故
2 3,0
P
,从而
2
3
x
,
2
0
y
.
（2）由于过
,
n
n
n
P
x
y
且斜率为k 的直线为
n
n
y
k x
x
y
,与
2
2
9
x
y
联立,得到方程
2
2
9
n
n
x
k x
x
y
.
展开即得
2
2
2
1
2
9
0
n
n
n
n
k
x
k y
kx
x
y
kx
,由于
,
n
n
n
P
x
y
已经是直线
n
n
y
k x
x
y
和
2
2
9
x
y
的公共点,故方程必有一根
n
x
x
.
从而根据韦达定理,另一根
2
2
2
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
k y
kx
ky
x
k x
x
x
k
k
,相应的
2
2
2
1
n
n
n
n
n
y
k y
kx
y
k x
x
y
k
.
所以该直线与C 的不同于
nP 的交点为
2
2
2
2
2
2
,
1
1
n
n
n
n
n
n
n
ky
x
k x
y
k y
kx
Q
k
k
,而注意到
n
Q 的横坐标亦可通过
韦达定理表示为
2
2
9
1
n
n
n
y
kx
k
x
,故
n
Q 一定在C 的左支上.
所以
2
2
1
2
2
2
2
,
1
1
n
n
n
n
n
n
n
x
k x
ky
y
k y
kx
P
k
k
.
这就得到
2
1
2
2
1
n
n
n
n
x
k x
ky
x
k
,
2
1
2
2
1
n
n
n
n
y
k y
kx
y
k
.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
x
k x
ky
y
k y
kx
x
y
k
k
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
k x
kx
y
k y
ky
k
k
k
x
y
x
y
k
k
k
k
.
再由
2
2
1
1
9
x
y
,就知道
1
1
0
x
y
,所以数列
n
n
x
y
是公比为
1
1
k
k
的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点
, ,
U V W ,若
,
UV
a b
,
,
UW
c d
,则
1
2
UVW
S
ad
bc
.
（若
, ,
U V W
在同一条直线上,约定
0
UVW
S
）
证明：
2
1
1
sin
,
1 cos
,
2
2
UVW
S
UV
UW
UV UW
UV
UW
UV UW
2
2
2
2
1
1
1
2
2
UV UW
UV
UW
UV
UW
UV UW
UV
UW
2
2
2
2
2
1
2
a
b
c
d
ac
bd
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
a c
a d
b c
b d
a c
b d
abcd
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
a d
b c
abcd
ad
bc
ad
bc
.
证毕,回到原题.由于上一小问已经得到
2
1
2
2
1
n
n
n
n
x
k x
ky
x
k
,
2
1
2
2
1
n
n
n
n
y
k y
kx
y
k
,
故
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
k x
ky
y
k y
kx
k
k
k
x
y
x
y
x
y
k
k
k
k
.
再由
2
2
1
1
9
x
y
,就知道
1
1
0
x
y
,所以数列
n
n
x
y
是公比为
1
1
k
k
的等比数列.
所以对任意的正整数m ,都有
n
n m
n
n m
x y
y x
1
1
2
2
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
x x
y y
x y
y x
x x
y y
x y
y x
1
1
2
2
n
n
n m
n m
n
n
n m
n m
x
y
x
y
x
y
x
y
1 1
1 1
2 1
2 1
m
m
n
n
n
n
n
n
n
n
k
k
x
y
x
y
x
y
x
y
k
k
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
2
2
1
1
1
2
1
1
m
m
n
n
k
k
x
y
k
k
9
1
1
2
1
1
m
m
k
k
k
k
.
而又有
1
1
1
,
n
n
n
n
n
n
P P
x
x
y
y
,
1
2
2
1
2
1
,
n
n
n
n
n
n
P P
x
x
y
y
,
故利用前面已经证明的结论即得
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
n n
n
n
P P
P
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
x
x
y
y
y
y
x
x
1
2
1
1
2
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
y
y
y
y
x
x
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
y
y
x
x y
y x
x y
y x
2
2
1 9 1
1
9 1
1
9
1
1
2 2 1
1
2 1
1
2
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
.
这就表明
n
S
的取值是与n 无关的定值,所以
1
n
n
S
S
.
方法二：由于上一小问已经得到
2
1
2
2
1
n
n
n
n
x
k x
ky
x
k
,
2
1
2
2
1
n
n
n
n
y
k y
kx
y
k
,
故
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
k x
ky
y
k y
kx
k
k
k
x
y
x
y
x
y
k
k
k
k
.
再由
2
2
1
1
9
x
y
,就知道
1
1
0
x
y
,所以数列
n
n
x
y
是公比为
1
1
k
k
的等比数列.
所以对任意的正整数m ,都有
n
n m
n
n m
x y
y x
1
1
2
2
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n
n m
x x
y y
x y
y x
x x
y y
x y
y x
1
1
2
2
n
n
n m
n m
n
n
n m
n m
x
y
x
y
x
y
x
y
1 1
1 1
2 1
2 1
m
m
n
n
n
n
n
n
n
n
k
k
x
y
x
y
x
y
x
y
k
k
2
2
1
1
1
2
1
1
m
m
n
n
k
k
x
y
k
k
9
1
1
2
1
1
m
m
k
k
k
k
.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
这就得到
2
3
2
3
1
1
9 1
1
2 1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
k
k
x
y
y
x
x y
y x
k
k
,
以及
2
2
1
3
1
3
2
2
9
1
1
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
k
k
x
y
y
x
x y
y x
k
k
.
两式相减,即得
2
3
2
3
1
3
1
3
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
y
y
x
x
y
y
x
x y
y x
x y
y x
.
移项得到
2
3
2
1
3
1
2
3
2
1
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
y
y x
x
y
y x
y
x
x y
y
x
x y
.
故
3
2
1
2
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
x
x
y
y
x
x
.
而
3
3
3
,
n
n
n
n
n
n
P P
x
x
y
y
,
1
2
2
1
2
1
,
n
n
n
n
n
n
P P
x
x
y
y
.
所以
3
n
n
P P
和
1
2
n
n
P P
平行,这就得到
1
2
1
2
3
n n
n
n
n
n
P P
P
P
P
P
S
S
,即
1
n
n
S
S
.
【例2】（2024 届江苏省南京市第九中学高三上学期12 月月考）在某公司组织的团建活动中, A , B ,C 三个
人进行传排球游戏,规定：甲将排球抛出,乙接住或自己接住为一次传球,假设每次传球都能成功.当排球在A
手中时, A 传给B 的概率为1
2 , A 传给自己的概率也为1
2 ；当排球在B 手中时, B 传给A 的概率为
1
3 , B 传给C
的概率为
2
3 ；当排球在C 手中时,C 传给A , B 的概率均为
1
2 .游戏开始时,排球在A 手中,经过
*
N
n n
次传
球后,设排球在A 手中的概率为
n
a
,排球在B 手中的概率为
nb
.
(1)求
2b
,
3
a
的值；
(2)经过50 次传球后,排球在谁手中的概率最大？请说明理由.
【解析】由题意得,经过
*
(
N )
n n
次传球后,排球在C 手中的概率为
1
n
n
n
c
a
b
,
1
1
1
1
1
,
,
0
2
2
a
b
c
,
第
*
1(
N
n
n
次传球后,排球在A 手中的概率为
1
na ,在B 手中的概率为
1
nb ,在C 手中的概率为
1
nc ,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
则由题意得
1
1
1
1
1
1 (1
)
2
3
2
1
1 (1
)
2
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
b
a
b
b
a
a
b
c
b
,则
1
1
1
1
1
2
6
1
1
2
2
2
3
n
n
n
n
n
n
a
b
b
b
c
b
,
由
1
1
1
2
2
n
n
b
b
,得
1
1
1
1
3
2
3
n
n
b
b
,
1
1
1
0
3
6
b
,
所以
1
3
nb
是以
1
2
为公比, 1
6 为首项的等比数列,
所以
1
1
1
1
1
1
3
6
2
3
2
n
n
nb
,所以
1
1
1
3
2
n
nb
,
1
1
1
1
1
4
1
1
1
2
18
2
9
9
2
n
n
na
,
4
1
1
9
9
2
n
na
,
2
n
,而
1
1
2
a
也满足上式,
所以
4
1
1
9
9
2
n
na
,
1
2
1
1
9
2
n
nc
,
1
2
1
1
9
2
n
nc
,
2
n
,而
1
0
c
也满足上式,
所以
1
2
1
1
9
2
n
nc
,所以
2
1
1
1
1
3
4
4
b
,
3
4
1
1
11
9
9
8
24
a
.
（2）由（1）得,
当
50
n
时,
50
50
4
1
1
9
9
2
a
,
50
50
1
1
1
3
2
b
,
49
50
2
1
1
9
2
c
,
因为
50
50
50
50
4
1
1
1
1
1
9
9
2
3
2
a
b
50
1
2
1
0
9
9
2
,所以
50
50
a
b
,
因为
50
49
50
50
1
1
2
1
1
1
3
2
9
2
b
c
50
1
7
1
0
9
9
2
,
所以
50
50
b
c
,所以
50
50
50
a
b
c
,所以经过50 次传球后,排球在A 手中的概率最大.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【例3】定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为
1A ,终点为
2
A 的空间向量记作
1
2
A A
,其大小
称为
1
2
A A
的模,记作
1
2
1
2
,
A A
A A
等于
1
2
,
A A 两点间的距离．模为零的向量称为零向量,记作0 ．空间向量的加
法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致,如：对任意空间向量
, ,
a b c ,均有
3
a
a
a
a
a
b
b
a
,0
0
a
a
a
,
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；对任意实数和空间向量a ,均有
a
a
；
对任意三点
1
2
3
,
,
A A A ,均有
1
2
2
3
1
3
A A
A A
A A
等．已知体积为
1,2,
,24
iV i
的三棱锥
1,2,
,24
iP
ABC i
的底面均为ABC
,在ABC
中,
2 3,
AB
Q
是ABC
内一点,
120
AQB
．记
24
1
i
i
V
V
．
(1)若
,
,
30 ,
1,2,
,24
i
AQ
CQ AB
AC
ACQ
P i
到平面ABC 的距离均为1,求V ；
(2)若Q 是ABC
的重心,且对任意
1,2,
,24
i
,均有
i
i
i
AP
BP
CP
i
．
（i）求V 的最大值；
（ii）当V 最大时,5 个分别由24 个实数组成的24 元数组
,1
,2
,24
,
,
,
1,2,
,5
j
j
j
a
a
a
j
满足对任意
1,2,
,5,
1,2,
,24
j
i
,均有
,
3 i
j i
V
a
i
,且对任意
1
2
1
2
1
5,
,
j
j
j
j
N 均有
1
2
24
,
,
1
0
j i
j i
i
a
a
求证：
1
2
,
,
j i
j i
a
a
不可能对任意
1
2
1
2
1
5,
,
j
j
j
j
N
及
1,2,3,4,5
i
均成立．
（参考公式：
1
2
1
,
n
i
n
i
x
x
x
x
2
24
2
1
1
1
1
2
,
300
n
n
i
i
i
i
i
i
i
j
i
x
x
x y
i
）
【解析】（1）如图,在ACQ
中,
1
sin
2
AQ
AC
ACQ
AC
．
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
因为
,
AC
AB AQ
CQ
,所以
30
QAB
ACQ
,
所以在
ABQ
中,
180
30
QBA
AQB
QAB
QAB
,
所以在
ABQ
中,
1
2
2
cos
AB
AQ
BQ
QAB
,
所以
4
AC
,所以ABC
的面积为
1
4 3
2
S
AB AC
,
所以
1
4 3
3
3
i
i
P
ABC
V
Sd
,所以
24
1
32 3
i
i
V
V
．
（2）（i）因为Q 是ABC
的重心,所以ABC
的面积为
3 3
3
4
QAB
S
S
AQ BQ
,
在
ABQ
中,由余弦定理得,
2
2
2
2
cos
AB
AQ
BQ
AQ BQ
AQB
,
即
2
2
12
AQ
BQ
AQ BQ
,由基本不等式知,
2
2
12
3
AQ
BQ
AQ BQ
AQ BQ
,所以
4
AQ BQ
,
故
3 3
S
,等号当且仅当
2
AQ
BQ
时成立,
又由Q 是ABC
的重心知,
0
AQ
BQ
CQ
,
所以
3
i
i
i
i
i
i
AP
BP
CP
AQ
QP
BQ
QP
CQ
QP
QP
,
所以
1,2,
,24
3
i
i
QP
i
,所以
1
1
3
1,2,
,24
3
3
3
i
i
P
ABC
V
S d
S QP
i i
,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
所以
24
24
1
1
3
100 3
3
i
i
i
V
V
i
,等号当且仅当
2
AQ
BQ
,
且
i
QP
平面ABC 时成立,所以V 的最大值为100 3 ．
（ii）由（i）知,
3
3
iV
i
,所以对任意
1,2,
,5,
1,2,
,24
j
i
,
均有
,
3
1
i
j i
V
a
i
,故
2
,
1
j i
a
,记
1,
2,
5,
i
i
i
i
S
a
a
a
,
则
1
2
1
5
1
2
2
2
1,
2,
5,
,
,
5
2
j
j
i
i
i
i
j i
j i
S
a
a
a
a
a
,所以
2
1
1
1
5
2
24
24
2
,
,
1
1
120
2
j
j
i
j i
j i
i
i
S
a
a
,
由于任意
1
2
1
2
1
5,
,
j
j
j
j
N 均有
1
2
2
1
,
,
4
0
j i
j i
i
a
a
,
所以
1
2
1
2
24
,
,
1 1
5
0
j i
j i
i
j
i
a
a
,所以
24
2
1
120
i
i
S
．
假设
1
2
,
,
j i
j i
a
a
对任意
1
2
1
2
1
5,
,
j
j
j
j
N
及
1,2,3,4,5
i
均成立．
则对于
1,2,
,5
i
,均有
2
2
2
1,
2,
5,
1,
5
25
i
i
i
i
i
S
a
a
a
a
,
所以
24
5
5
2
2
2
2
1
1
6
1
24
125
i
i
i
i
i
i
i
i
s
s
s
s
,与
24
2
1
120
i
i
S
矛盾,
所以假设不成立,即
1
2
,
,
j i
j i
a
a
不可能对任意
1
2
1
2
1
5,
,
j
j
j
j
N
及
1,2,3,4,5
i
均成立．
【例4】（2024 届河北省多校联考高三下学期适应性测试）已知平面内定点
0,1 ,
A
P
是以OA为直径的圆
C 上一动点（O 为坐标原点）．直线OP 与点A 处C 的切线交于点B ,过点B 作x 轴的垂线BN ,垂足为N ,过
点
P 作
x
轴的垂线
PQ
,垂足为
Q
,过点
P 作
BN
的垂线PM ,垂足为
M ．
(1)求点M 的轨迹方程Γ ；
(2)求矩形
PMNQ
面积的最大值；
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(3)设M 的轨迹Γ ,直线
*)
,
(
x
n x
n n
N
与x 轴围成面积为,甲同学认为随n 的增大,也会达到无穷大,
乙同学认为随n 的增大不会超过4,你同意哪个观点,说明理由．
【解析】（1）设点
( , )
M x y
,依题意,直线
AB 的方程为
1
y
,
( ,1)
B x
,显然点
P 与
O
不重合,
当点P 与点A 不重合时,连接AP ,由P 是以OA为直径的圆C 上一点,则AP
OP
,
由
/ /
AB
x 轴,得AOB
∽POA
∽QPO ,则
|
|
|
|
|
|
|
|
PO
AO
AO
OB
,
|
|
|
|
|
|
|
|
PO
PQ
OB
AO
,
而
2
|
|
1
OB
x
,则
2
1
|
|
1
OP
x
,于是
2
2
1
1
1
1
y
x
x
,即
2
1
1
y
x
,
当点P 与点A 重合时,点B 与点A 重合,点M 与点A 重合,而( 0, 1) 满足
2
1
1
y
x
,
所以点M 的轨迹方程Γ ：
2
1
1
y
x
.
（2）由（1）知,点M 的轨迹方程
2
1
1
y
x
,显然
2
2
1
1
1
(
)
1
y
x
x
,
即点M 的轨迹关于y 轴对称,不妨令点P 在第一象限,
显然
OPQ
△
∽
OBN
△
,
|
|
|
|
|
|
|
|
PQ
OQ
BN
ON
,
|
|
1
y
OQ
x
,因此|
|
OQ
xy
,
设矩形PMNQ 的面积为( )
S x ,则
3
2
2
4
2
1
( )
(
|
|)
(
)
(
0)
1
1
2
1
x
x
S x
y x
xy
x
x
x
x
x
x
,
求导得
2
4
2
3
3
2
2
2
4
2
2
4
2
2
3
(
2
1)
(4
4 )
(
3)(
1)
( )
(
2
1)
(
2
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
S x
x
x
x
x
,
当0
3
x
时,
( )
0
S x
,函数
( )
S x
单调递增,当
3
x
时,
( )
0
S x
,函数
( )
S x
单调递减,
因此
max
3 3
( )
( 3)
16
S x
S
,所以当
3
x
时,矩形PMNQ 面积的最大值为
3 3
16 .
（3）同意乙同学的观点,随n 的增大不会超过4.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
由（1）知点M 的轨迹方程为
2
1
1
y
x
,设
2
1
( )
1
f x
x
,显然
( )
f x 是偶函数,
求导得
2
2
2
( )
(
1)
x
f
x
x
,当
0
x
时,
( )
0
f
x
,函数
( )
f x 在(0,
)
上单调递减,且恒有
( )
0
f x
,
则有
1
(0)
( )
(1)
(2)
2
f
f
f
f
,即
4
1
1
1
5
2
5
,
当n 增大时,面积的值也在增大,
过点
1
( ,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),
,( ,0)
2
n
分别作x 轴的垂线交函数
( )
y
f x
的图象
于点
1
1
( ,
( )),(1,
(1)),(2,
(2)),(3,
(3)),(4,
(4)),
,( ,
( ))
2
2
f
f
f
f
f
n f n
,
由
2
1
( )
1
f x
x
在(0,
)
上单调递减,
得当
1
(0, )
2
x
时,
( )
f x 的图象与x 轴之间部分的面积小于
1
1
(0)
2
2
f
,
当
1
( ,1)
2
x
时,
( )
f x 的图象与x 轴之间部分的面积小于
1
1
4
1
( )
2
2
5
2
f
,
当
(1,2)
x
时,
( )
f x 的图象与x 轴之间部分的面积小于
1
(1)
2
f
,
当
(2,3)
x
时,
( )
f x 的图象与x 轴之间部分的面积小于
1
(2)
5
f
,
L L L L
当
(
2,
1)
x
n
n
时,
( )
f x 的图象与x 轴之间部分的面积小于
2
1
(
2)
(
2)
1
f n
n
,
当
(
1, )
x
n
n
时,
( )
f x 的图象与x 轴之间部分的面积小于
2
1
(
1)
(
1)
1
f n
n
,
则M 的轨迹Γ ,直线
*
,
(
)
x
n x
n n
N
与x 轴围成面积为,
1
1
1
2[
(0)
( )
(1)
(2)
(
2)
(
1)]
2
2
2
f
f
f
f
f n
f n
1
(0)
( )
2 (1)
2 (2)
2 (
2)
2 (
1)
2
f
f
f
f
f n
f n
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
2
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
1
2[
]
5
5
3
1
4
1
(
2)
1
(
1)
1
n
n
,
当
N ,
3
n
n
时,
2
2
1
1
4
2
2
1
1
(2
1)(2
1)
2
1
2
1
4
n
n
n
n
n
n
,
因此
6
2
2
2
2
2
2
4
2
2(
)
4
4
5
5
7
7
9
2
1
2
1
2
1
n
n
n
所以随n 的增大不会超过4.
【例5】（2024 届湖南省新高考十八校联盟高三下学期3 月月考）2023 年10 月11 日,中国科学技术大学潘
建伟团队成功构建255 个光子的量子计算机原型机“九章三号”,求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是
快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0 态或1 态,量子计算机的量子比特
（qubit）可同时处于0 与1 的叠加态,故每个量子比特处于0 态或1 态是基于概率进行计算的.现假设某台量
子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特,且自旋状态只有上旋与下旋两种状态,其中下旋表示“0”,上
旋表示“1”,粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后,粒子自
旋状态等可能的变为上旋或下旋,再输入第二道逻辑门后,粒子的自旋状态有p 的概率发生改变,记通过第二
道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X .
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且
1
3
p
,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋
粒子个数为2 的概率；
(2)若一条信息有
*
1,
n n
n
N
种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为
1p ,
2p ,…,
np ,
则称
1
2
n
H
f
p
f
p
f
p
（其中
2
log
f x
x
x
）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二
道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H ；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门,当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入,否则重复输入第二道逻辑
门直至其变为上旋粒子,设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （
1
Y ,2,3,⋯,n ,⋯）.证明：当
n 无限增大时,Y 的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：0
1
q
时, lim
0
n
n
q
, lim
0
n
n
nq
.
【解析】（1）设
iA
“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个”,
0
i
,1,2,
B “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2 个”,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
则
2
0
2
1
1
2
4
P A
P A
,
2
1
1
2
1
1
C
2
2
P A
,
0
1
9
P B A
∣
,
1
2
9
P B A
∣
,
2
4
9
P B A
∣
,则
2
0
1
1
1
2
1
4
1
4
9
2
9
4
9
4
i
i
i
P B
P A P B A
∣
,
故
2
2
2
2
1
4
4
4
9
1
9
4
P A
P B A
P A B
P A
B
P B
P B
∣
∣
.
（2）由题知X
0
,1,2,
由（1）知
2
2
1
1
1
1
2
1
1
4
2
4
4
P X
p
p
p
p
,
同理可得
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
C
1
1
C
1
4
2
4
2
P X
p
p
p
p
p
p
,
则
1
0
1
1
2
4
P X
P X
P X
,
故X 的信息熵
2
2
1
1
1
1
1
1
1
3
2
log
log
4
2
4
4
4
2
2
2
H
f
f
f
.
（3）由题知
1
1
n
P Y
n
p
p
,其中
1
n ,2,3,…,
则
0
1
1
1 1
2 1
1
n
E Y
p
p
p
p
n
p
p
,
又
1
1
1
1
1
1
n
n
i
i
i
i
i p
p
p
i
p
,则
1
0
1
1
1
1
1 1
2 1
1
n
i
n
i
i
p
p
p
n
p
,①
1
1
2
1
1
1
1 1
2 1
1
n
i
n
i
p
i
p
p
p
n
p
,②
①
②得：
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
n
i
n
n
i
p
i
p
p
p
p
n
p
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
p
p
n
p
n
p
p
p
p
,
由题知,当n 无限增大时,
1
n
p
趋近于零,
1
n
n
p
趋近于零,则
E Y 趋近于
1
p .
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
所以当n 无限增大时,Y 的数学期望趋近于一个常数.
1．甲口袋中装有2 个黑球和3 个白球,乙口袋中装有5 个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入
另一口袋,重复 n 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为
n
X
,恰有1 个黑球的概率为
np
,恰有2 个黑球的概
率为
n
q
.
(1)求
1
1
p q
，
与
2
2
p
q
，
；
(2)设
2
n
n
n
a
p
q
,求证：数列
1
na
是等比数列；
(3)求
n
X 的数学期望
n
E X
（用 n 表示）.
2．(2024 届福建省泉州市高三5 月适应性练习)设A,B 为椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的短轴端点,P 为椭圆上异于
A,B 的任意一点,D 在直线
4
x
上．
(1)求直线PA , PB 的斜率的乘积；
(2)证明：
5π
12
APB
；
(3)过右焦点F 作x 轴的垂线l ,E 为l 上异于F 的任意一点,直线DF 交C 于M,N 两点,记直线ED , EM , EN 的
斜率分别为
1k
,
2k
,
3k
,是否存在
1k
,
2k
,
3k
的某个排列,使得这三个数成等差数列？若存在,加以证明；若不存在,
请说明理由．
3．有一个益智类的古堡探险闯关游戏,玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯
关成功的概率为
2
3 ,古堡乙闯关成功的概率为
3
5 .若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为
3
4 ,前一局选择了
古堡甲闯关,则继续选择古堡甲闯关的概率为
1
3 ；前一局选择了古堡乙闯关,则继续选择古堡乙闯关的概率为
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
1
2 .
(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第n 局选择古堡甲闯关的概率为
nP
,第n 局闯关成功的概率为
n
Q
.
（i）求
nP
和
n
Q
的表达式；
（ii）当
*
nN 时,求证：
220
53
70 5
1
n
n
Q
n
.
4.中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一,曾是世界上第一个“五连冠”得主,并十度成为世
界冠军,2023 年在杭州第19 届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激
发了中国人的自豪、自尊和自信,为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今,女排精神广为传颂,
家喻户晓,各行各业的人们在女排精神的激励下,为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运
动的热潮,在一次排球训练课上,体育老师安排4 人一组进行传接球训练,其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成
一个矩形（如图）,已知当某人控球时,传给其相邻同学的概率为
2
5 ,传给对角线上的同学的概率为
1
5 ,由甲开
始传球．
(1)求第3 次传球是由乙传给甲的概率；
(2)求第n 次传球后排球传到丙手中的概率；
(3)若随机变量
i
X 服从两点分布,且
1
1
0
i
i
i
P X
P X
q
,
1
i ,2 ,…,n ,则
1
1
n
n
i
i
i
i
E
X
q
,记前n 次
（即从第1 次到第
n
次传球）中排球传到乙手中的次数为
Y ,求
( )
E Y
．
5．（2024 届浙江省第一届启航杯联考）浙里启航团队举办了一场抽奖游戏,玩家一共抽取n 次.每次都有
1
2
的概率抽中,
1
2 的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算：
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
1.将玩家n 次抽奖的结果按顺序排列,抽中记作1,未抽中记作0,形成一个长度为n 的仅有01 的序列.
2.定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1,设它长度为
t ,那么得分即为
2t
.
3.序列的得分即为每一段连续的1 的得分和.
例如:如果玩家A 抽了7 次,第1,3,4,5,7 次中奖,那么序列即为1,0,1,1,1,0,1,得分为
2
2
2
1
3
1
11
.可能用到的
公式：若
,
X Y
为两个随机变量,则
(
)
( )
(
)
E X
E Y
E X
Y
.
(1)若
3
n
,清照进行了一次游戏.记随机变量
X 为清照的最终得分,求
(
)
E X
.
(2)记随机变量Z
表示长度为
n
的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1 的长度,求
( )
E Z
.
(3)若
n
k
,清照进行了一次游戏.记随机变量
A 为清照的最终得分,求
( )
E A
.
6．甲､乙､丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时,甲将球保留（也记为一次传球）的概率为
1
3 ,否则甲
将球传给乙；当球在乙手中时,乙将球传给甲的概率为
1
3 ,否则乙将球传给丙；当球在丙手中时,丙将球传给
甲的概率为
1
3 ,否则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中.
(1)设传球三次后,球在甲手中的次数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望；
(2)传n 次球后
*
nN
,记球在乙手中的概率为
nP ,求数列
nP
的通项公式；
(3)在第（2）问的条件下,设
2
3
5
1
2
n
n
n
d
P
.求证：
*
1
2
2
3
1
1
3
3
n
n
d
d
d
n
n n
d
d
d
N
.
7．现有n 枚游戏币
1
2
,
,
,
3
n
C C
C
n
,游戏币
1,2,
,
k
C
k
n
是有偏向的,向上抛出后,它落下时正面朝上
的概率为
1
2k ．甲、乙利用这n 枚游戏币玩游戏．
(1)将
1
2
3
,
,
C C C
这3 枚游戏币向上抛出,记落下时正面朝上的个数为X ,求X 的分布列；
(2)将这n 枚游戏币向上抛出,规定若落下时正面朝上的个数为奇数,则甲获胜,否则乙获胜,请判断这个游戏规
则是否公平,并说明理由．
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
8．现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个,每次有放回的任取一个,连续取两次,将以上
过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球,则记该轮为成功,否则记为失败.在抽取过程中,如果某一轮
成功,则停止游戏；否则,在盒子中再放入一个黑球,然后接着进行下一轮抽球,如此不断继续下去,直至成功.
(1)某人进行该抽球游戏时,最多进行三轮,即使第三轮不成功,也停止游戏,记其进行抽球游戏的轮数为随机变
量X ,求X 的分布列和数学期望；
(2)有数学爱好者统计了1000 名玩家进行该抽球游戏的数据,记t 表示成功时抽球游戏的轮数, y 表示对应的
人数,部分统计数据如下：
t
1
2
3
4
5
y
232
94
5
7
44
23
经计算发现,非线性回归模型
ˆ
ˆ
ˆ
b
y
a
t
的拟合效果优于线性回归模型,求出y 关于t 的非线性回归方程,并顶测
第7 轮成功的人数（精确到1）：
(3)证明：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
2
3
4
2
3
(
1)
2
n
n
（其中
*
nN 且
2
n
）.附：回归方程系数：
1
2
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
n
i
i
i
n
i
i
x y
nx y
b
a
y
bx
x
nx
；
参考数据：设
5
5
2
2
2
1
1
1
1
1
,
55,
1.46,
0.46,
0.21
5
s
i
i
i
i
i
i
i
i
x
t
x
x
x
x
t
,
5
5
1
1
882,
313.6
i
i
i
i
i
i
t y
x y
9．（2023 届安徽省马鞍山市第二中学高三5 月高考适应性考试）某射击场提供一项付费射击能力测试,参
加测试的人员每人只有一次测试机会,测试前领取
*
n nN
发子弹,每次射击需要一发子弹,测试者连续射击,
命中目标即停,并获得“通过”,若子弹耗尽仍未击中目标则测试不通过.已知甲、乙两位测试者每次射击命
中目标的概率分别为p 和q ,
,
0,1
p q
,且两人射击命中目标与否相互独立.
(1)若
0.75
p
,则要保证甲有98%的概率获得“通过”测试,求n 的最小值
0n
；
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(2)现甲、乙两人一起领取了
*,
2
n n
n
N
发子弹,若由甲先测试,然后乙利用剩余的子弹进行测试,两人都
通过测试的概率记为
nP
；若由乙先测试,然后甲利用剩余的子弹进行测试,两人都通过测试的概率记为
n
Q
.
①当
1
2
p
,
2
3
q
时,试比较
nP 与
n
Q 的大小.
②猜想一般情况下
nP
与
n
Q
的大小关系.（直接写出结果,不需证明）
（参考数据：lg2
0.3
）
10．在2024 年5 月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024 年贵州省篮球
公开赛中,铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神,从全省42 支队伍中脱颖而出,闯进决赛．受此影
响,铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮,在一次篮球训练课上,甲、乙、丙三位同学进行传球训练,第1 次由甲
将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人．
(1)求2 次传球后球在甲手中的概率；
(2)设
*
n nN
次传球后球在甲手中的概率为
nP ,求证数列
1
3
nP
为等比数列,并求数列
nP
的通项公式；
(3)现在丁加入传球训练,且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的
, , ,
A B C D
四点（
, , ,
A B C D
为正方形的
四个顶点）,且每次传球时,传球者将球传给相邻同学的概率为
1
4 ,传给对角线上同学的概率为1
2 （例如：甲
传球给乙或丁的概率都是
1
4 ,传球给丙的概率是
1
2
；若第一次仍由甲将球传出,则
*
n nN
次传球后,试比
较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小,并说明理由．
11．（2024 届浙江省杭州学军中学高三下学期4 月适应性测试）斜二测画法是一种常用的工程制图方法,在
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
已知图形中平行于
y
轴的线段,在直观图画成平行于
y
轴（由
y
轴顺时针旋转
45
得到）的线段,且长度为原
来的
1
2 ,平行于x 轴的线段不变.如图,在直角坐标系xOy 中,正方形ABCD 的边长为
2 .定义如下图像变换：
1T 表示“将图形用斜二测画法变形后放回原直角坐标系”；
2T
i
表示“将图形的横坐标保持不变,纵坐标
拉伸为原来的
1
i
i
倍”.
(1)记正方形ABCD 经过两次
1T
变换后所得图形为
2
2
2
2
A B C D
,求
2
2
,
A B
的坐标；
(2)在第i 次复合变换中,将图形先进行一次
1T 变换,再进行一次
2T
i
变换,
1,2,...,
i
n
. 记正方形ABCD 进行n
次复合变换后所得图形为
n
n
n
n
A B C D .过
n
A 作
n
n
C D 的垂线,垂足为
n
H ,若
n
n
n
n
D H
m
H C
恒成立,求m 的取值范围.
12．（2024 届甘肃省兰州第一中学高三下学期寒假开学测试）信息论之父香农（Shannon）在1948 年发表
的论文“通信的数学理论”中指出,任何信息都存在冗余,冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单
词）的出现概率或者说不确定性有关,香农借鉴了热力学的概念,把信息中排除了冗余后的平均信息量称为
“信息熵”,并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量X 所有取值为
1,2,
,n
,且
1
2
0
1,2,
,
,
1
i
n
P X
i
p
i
n
p
p
p
,定义X 的信息熵
1
2
log
i
i
i
n
H X
p
p
(1)当
1
n 时,求
H X
的值；
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(2)当
2
n
时,若
1
1
0, 2
p
,探究
H X 与
1p 的关系,并说明理由；
(3)若
1
2
1
1
1 ,
2
,
2,3,
,
2
k
k
n
p
p
p
p
k
n
,求此时的信息摘
H X ．
13．定义一：整数
*
1,2,3,
,n n
N
的排列称为n 级排列,例如：2431 是一个4 级排列．定义二：在一个n
级排列
1
2
3
n
j j j
j
中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,那么它们就称为一个逆序．一个排列中逆序的
总数就称为这个排列的逆序数,记为
1 2
3
n
F
j j j
j
．例如：4 级排列2431 中的逆序有21,43,41,31,所以
2431
4
F
．
(1)求6 级排列215643 的逆序数
215643
F
；
(2)称逆序数是偶数的排列为偶排列,逆序数是奇数的排列为奇排列
①判定n 级排列
1
2
21
n n
n
,
*
nN 的奇偶性；
②现将一个n 级排列T ：
1
2
3
1
n
n
x x x
x
x
中的任意两个数交换位置,其余数位置不变,得到一个新的n 级排列T,
证明：T 与T的奇偶性不同．
14．如图所示数阵,第
(
1)
m m
行共有
1
m 个数,第m 行的第1 个数为
0
1
Cm,第2 个数为
1
Cm ,第(
3)
n n
个数为
1
3
2
2
C
C
n
n
m n
m n
,规定：
0
0
C
1
.
(1)计算前4 行的最后两个数,试判断每一行的最后两个数的大小关系,并证明你的结论；
(2)从第1 行起,每一行最后一个数依次构成数列
na
,设数列
na
的前n 项和为
n
S ,是否存在正整数k ,使得对
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
任意正整数
n
,
4
1
n
n
kS
≤
恒成立？如存在,请求出
k
的最大值；如不存在,请说明理由.
