大题06概率与统计(七大题型)(原卷版)

      
      
 06  
 
 !"#$%&'"#()*#()&#+!,-./'0123

45&67894:;&<=4:&>?@AB&CDEF45GHIJKLMNOPQ-RST
UVOWXY&-RZ
;&[
WXY&\]^'_`'a!bcRdO&'efa!g'h
i&j0klm!nop&_`qJrs/tuMv 2025 "#pwx04:;3_`
IJKL&rsy0tuM
题型一  统计案例与统计数据分析
z24-25 "{l·t|}~·€o‚t|ƒ„…†‡ˆ‰Š&Sp‹Œ!Ž‘'†‡ˆ’“„…!
t/”•–t|—˜™š…›‹Œœ!ž‘–67Ÿ › 100 ¡¢!ž’£&¤4’¥¦
§b¦

45,55 &§¨¦

55,65 &§{¦

65,75 &§©¦

75,85 &§¥¦

85,95 &ª«’¬­j®!¯
4:°E­–
      
      
(1)± a !²&¤³G 100 ¡¢ž’£!´µ
¶
(2)·¸0¹º¦p»4¼67Ÿ½!E¾  20 ¿&ÀÁ›Âƒ!Ãč–·ÂƒÃčp§¨¦ž
!ž’£!´µ
ZEÅ4ÆÇ 62 Z 40&§©¦ž!ž’£!´µ
ZEÅ4ÆÇ 80 Z 50&È
ɳGʧ¨¦Z§©¦j˝ž!ž’£!´µ
ZEŖ
zÌ
ÍΦ
!½Â9Ͻ´µ
Z½ÂEÅ4ÆÇ
m &
1x &
2
1s ¶ n &
2x &
2
1s &ÐΦ
ÑÒ
!½Â´µ
Ç w –ÓÑÒ½ÂEÅ




2
2
2
2
2
1
1
2
2
m
n
s
s
x
w
s
x
w
m
n
m
n
é
ù
é
ù
=
+
-
+
+
-
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
+
+
–
ÍΦ
!½Â9Ͻ´µ
Z½ÂEÅ4ÆÇ
m &
1x &
2
1s ¶ n &
2x &
2
1s &ÐÎ
¦
ÑÒ!½Â´µ
Ç w –ÓÑÒ½ÂEÅ




2
2
2
2
2
1
1
2
2
m
n
s
s
x
w
s
x
w
m
n
m
n
é
ù
é
ù
=
+
-
+
+
-
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
+
+
1–z24-25 "{¹·¹Ô·€o‚ÕÖÇ×"a>ØÙÚÛÜ!›(&„…›"ÝUÙÚ"UVފ&
L¸jË)ßߝ’£p67Ÿ  100 à‘ǽÂ&w½Â
zá4 100 4&’£µÇâãQ 40 4!ä

‚4’å€





40,50 , 50,60 ,
, 90,100
L
&¤‘K¬­j®!¯4:°E­.
      
      
(1)±¯4:°E­p a !²¶
(2)±½Â
!§ 62 æ4ç
jPiè!¦p²¶
(3)·éP

50,60 p!½Â
´µ
' 52&EÅ' 6¶éP

60,70 p!½Â
´µ
' 64&EÅ' 3&
±GΦ
!Ñ´µ
 x ZEÅ
2
s .
题型二  随机变量及分布列
1 z24-25 "{l·êë·ì#ž‚íîïèËbðñòóôõö÷&øùúû
üý©cþÿĀ&ācþĂ*ăø.Ą{cþąĆÿĀ’“ÎcćĈĉüĊ§©&ċÓ°kČč&
·©ĂĎð&Óď0ñĐòó.øđĄ{cþācÿĀ’“!µÇ 2
3 &§©ÿĀ’“!
Ç 3
4 &ĒºÿĀ’“ċWēĔ?.
(1)±øđĕĈø§©!¶
(2)ÐøđÂÊÿĀ’“!þ
Ç X&± X !4:;03
ïĖ.
      
      
2z24-25 "{l·ëė·ì#ž‚Ęę&ĚęUěĜĝ‰Š!ĞÓZğ4«Ġ?SĞÓ'
ā™ 25 4&ġ
Ģ 24 4ģ&‰ŠĤE*ăWÅ 2 4&ćĈ4KĥĦ¶āħ‰ŠĨ»“5 ™ 3 ĥ«”zĩËbĪĝīúĥ 3 ™
ĩĬĥ&‰ŠXĭ‚¶‰ŠĜ¡Ĩ»ğ4«&ğ4ĞÓ¬l
‰Šp&0 3∶0 Į 3∶1  ĥ!ĝīğ 3 4&Ħ
īğ 0 4¶0 3∶2  ĥ!ĝīğ 2 4&Ħīğ 1 4.đÏįÎīïw/üý‰Š&Çvİıę!ğ4$%&
IJij›Îī0Ĵ 6 ™‰Š’£
1
2
3
4
5
6
đ
25
21
27
27
23
25
į
18
25
25
25
25
17
ĵÍ»¯³&Ēđ&įā™!‰ŠWēĔ?.
(1)³đīā™Ĭĥ!¶
(2)¬ĶđÏįÎī‰Š 1 ħ&±đī!ğ4 X !4:;Z
ïĖ¶
(3)¬ĶđÏįÎīķĸ‰Š 2 ħ&ȉĹÎīğ4Wĺ! 1
4 !ĻzXļâ/±Ľľ‚.
      
      
1z2025·ĿŀŁł·bтÇńŅpĻņŇ&Ճň&ƒņҙʼnQ 2025 4 ŊŋY„…§©Ōq
ƒpĻ7ō¿ÿĀŠ.‰ŠŎÍŏŐő•ŒÏœŔŕÎcŖŗ.āĪøŠīúÿĀŐő•ŒŖŗ&ÿĀ’
“û&EďÿĀĒ*ăÿĀœŔŕŖŗ.āĪøŠīācŖŗąfÿĀÎÊ&·§bÊÿĀ’“&ÓĬĐ
òŘ 2000 ř&sŖŗâŚÿĀ
·§bÊÿĀśŜ&Ó*㧨ÊÿĀsŖŗ&·§¨ÊÿĀ’“&ÓĬ
ĐòŘ 1000 ř&ċÓ&âĬĐòŘ.ĵÍđøŠīPācŖŗp&§bÊÿĀ’“!Ç 2
3 &§bÊÿĀ
śŜŝ§¨ÊÿĀsŖŗ’“!Ç 3
4 ¶ÎcŖŗ'ċÿĀ’“WēĔ?.
(1)ÍŞ` A = “đøŠīÎcŖŗµÿĀ’“”&± 
P A ¶
(2)͉ŠXĭģ&đøŠīĬĐòŘ
Ç6789 X &± X !4:;¶
¨Ŗ4:!ş»Šš3ÂŢ
z1‚ş»Šš
①ºÊžBp!Ş`'WēĔ?!¶
②āʞBgËÎHXĶ
Ş`/ţŤa&/ţâŤa¶
③6789'G n ÊĔ?tnžBpŞ`Ťa!Ê
–
z2‚ÂŢ
¨Ŗ4:'ťCŸ½Ŧ&PāʞBpÕbŞ`Ťa!'WĘ!–
ŧŨ4:!ş»Šš`3ÂŢ
z1‚ş»Šš
①#ũ>Ū4Îū¶
②ŬUºū>Ū!c
¶
③¸pŸ ·ŭccÒ&#ũÕūcÒc
Y !4:–
z2‚ÂŢ
ŧŨ4:'âťCŸ½Ŧ&PāʞBpÕbŞ`Ťa!'âWĘ!–
ŮE¾ůŰÑXű
ŧŨ4:Z¨Ŗ4:!iÆ
z1‚ŧŨ4:ù/UěÑÒ!-9&Ų¨Ŗ4:âù/¶
z2‚ŧŨ4:'“âťC”Ÿ &PāʞBpÕbŞ`Ťa!'âWĘ!¶
Ų¨Ŗ4:'“ËťC”Ÿ zĔ?tn‚&PāʞBpÕbŞ`Ťa!'WĘ!–
      
      
(3)ĵÍÂŌ‰ŠŎË 36 ĪøŠī&ĒĴŌ‰Š’£&đøŠīĬĐòŘ
ųǺøŠīĬĐòŘ
!´µŴ´.ÕŵŶŷŸ×ŹqźòŘ&ž³Sù׏!òŘÑŻ.
2z24-25 "{¹·żŽ·€o‚6žņŇź!“ĤſƀƁ”éƂ&ǛƃƄ"pƅƆ Ƈa!ƈƉaö&
2025 řƊïè&ÕÖƋa„ýbħƌƍ÷Ǝ!Əĝ‰Š¶ƐņƋƑƒīÏ"baƑƒīZ"¨aƑ
ƒī¦’ÏĐ4ĞÓÇ
ĝīĥbħğ 3 4&´bħğ 1 4&Ħbħğ 0 4–ƐņƋƑƒī"baƑ
ƒīZ"¨aƑƒī!Îħ‰Š–Ąï‰Š’£&ņƋƑƒī"baƑƒī‰Š
ņƋƑƒī
ĥ!Ç 2
3 &´!Ç 1
6 &Ħ!Ç 1
6 ¶ƐņƋƑƒī"¨aƑƒī‰Š
ņƋƑƒīĥ!
Ç 1
3 &´!Ç 1
6 &Ħ!Ç
1
2 &ĒÎħ‰ŠXĶWēĔ?–
(1)±ņƋƑƒī"¨aƑƒī‰ŠĬĐğ4ŧðņƋƑƒī"baƑƒī‰ŠĬĐğ4!¶
(2)» X ƒ®ņƋƑƒīÎħ‰ŠĬĐğ4ƓZ&± X !4:;ïĖ–
      
      
题型三  随机变量与正态分布
1z2025·ƔƕƖƗ·bтÕaƘƙĻ¦ƚƛƜƙÕƂiƝƞƟƠ4:Ğơ&sƂiƝƞË A & B
cŕH&ĒGÎcŕH!HƢ
9ƣWĺ&Ð A HƝƞZ B HƝƞ!ƠƟzƤç
mm ‚4ÆÇ6789
X &Y &Sp X Ž¸<=4:
(37,9)
N
&Y Ž¸<=4:
(43,9)
N
.
(1)¸sƂi!Ɲƞp67ĨƥbƦ&±GƦƝƞ!ƠƟPiè[37,43]!¶
(2)ÐsƂiƝƞ!ƠƟÇ6789 Z &·»<=4:


2
0
0
,
N m s
mųƧƨ Z !4:&ÈĚz1‚p!X
Ķ&±ø
0
m Z
0
s !²zƩƪĢ 0.1‚¶
(3)Pz2‚!_`l&¸sƂi!Ɲƞp67Ĩƥ 3 Ʀ&ÐG 3 ƦƝƞpƠƟPiè[35.3,44.7]!c
Ç
W &±W !4:;3
ïĖz4:;ƫKƬƒġJĩď‚.ø#

·


2
~
,
X
N m s
&Ó
0.64
0.64
0.4 73
(
7
)
P
X
m
s
m
s
-
£
£
+
»
&
0
(
)
.6827
P
X
m
s
m
s £
£
+
»
-
& (
2
2 )
0.9546
P
X
m
s
m
s
-
£
£
+
»
.
      
      
2z24-25 "{¹·żŽ}ƭ·€o‚ m&6žƮƯÏưĈƱ7!ƲƳƴ3&ÝƵPƶņŇýƷKL›
Ĺ!ŤƸ.ÕPƶņŇ´łÇ›(ƹ»s´ło!"baoƺĶ&„ý›bÊݞ&¤¸
p67Ÿ+› 200 ¡a!’£&wTę!’£4’0l 6 ¦


40,50 &

50,60 &

60,70 &L&


90,100 &XĶ¬l!¯
4:ƒj®.
¦Æ


40,50


50,60


60,70


70,80


80,90


90,100
¯
20
30
40
60
30
20
(1)Lƹ»4¼Ÿ½!E¾¸Ą 3 ¦pŸ  9 ¿&Ś¸G 9 ¿p67Ÿ  4 ¿ƻ+S’£âƼ!ƽƾ&ž
±G 4 ¿pąĆË 2 ¿mƿĄ 2 ¦!.
(2)"ba!GÊ’£ Z zƤç
4‚ųƂŽ¸<=4:


2
,
N m s
&Sp m ųǽ´µ
 x &s
ųǽÂ!ǀƚÅ s&¤Ŭ±Đ
14.31
s =
.ĒGÊݞǁË 2 ǂ¡aøń.
zi‚ž³GǃaGÊ’£Piè

56.19,99.12 ,!zĘb¦p!
»s¦iè!pO²Ç
Ƒƒ‚¶
zii‚Ç›×DŽa!’£&s´łDžĸdžLJLjljNJP´ło!a·ŭou¯&NjÒLjljE1¬l
E1 1
ā¿µLjlj 25 Ļģou¯¶
E1 2
GÊݞp’£â"Q 56.19 4!aLjlj 40 Ļģ!ou¯&’£P

56.19,84.81 ,!
aLjlj 30 Ļģ!ou¯&’£"Q 84.81 4!aLjlj 10 Ļģ!ou¯.Ŧ
njHE1s´ł
Ljlj!ou¯ÑģƟǍfǎÈ
ƬǏľ.
ø#

Ó


0.6827
P
X
m
s
m
s
-
<
£
+
»
&


2
2
0.9545
P
X
m
s
m
s
-
<
£
+
»
.
      
      
z24-25 "{l·ê}·€o‚PՃ„ý!bʃŢA#žp&Ǜƻ+#žž!
Ëƺ@03žß!i4ǐ&sƒņƘǑ67Ÿ ›øńÂÊŢA#ž! 100 ¡a!
#ž’£&¤w
S¬lƒj®–
’£ X
[75&85‚
[85&95‚
[95&105‚
[105&115‚
[115&125]
¿
 Y
6
24
42
20
8
(1)ŬUÂÊŢAp!
ݞ’£


2
~
,
X
N m s
&Sp μ ųǽÂ!´µ
&
2
s ųǽÂEÅ
2s &·
sƒË 5 ǂ#a&ž³
’£ǒQ 90~120 4!¿
¶z0º¦!iè!pO²Ƒƒs¦! ²‚
(2)LǓ4¼Ÿ½!E¾¸’£P[75&85‚03[115&125]Ɠè!ap67Ÿ  7 ¿&Ś¸G 7 ¿p67
Ÿ  3 ¿üýžß45&ÐǔŸ ! 3 ¿p’£P[75&85‚Ɠè!¿
Ç X&± X !4:;03ïĖ E
zX‚–
ø#

·


2
~
,
X
N m s
&Ó


0.6826
P
X
m
s
m
s
-
<
<
+
=
&


2
2
0.9544
P
X
m
s
m
s
-
<
<
+
=
&


3
3
0.9974
P
X
m
s
m
s
-
<
<
+
=
–
      
      
2z2022·t|·Ńʼnvİ‚P“Ǖ{¥”ïè&ÝƵ!ǖǗ‘üĊ›“ƩƚǖǗ”€&Ģ 2020 ǘ&qƵ 830
cǗǙǚqźǛǗƥǜ&ǝû 4335 ǂǗǙ¿ǞqźǛǗ&G'ÝƵǛǗǟǠǡ¹!bǢ„–t|ƒǣî
ǚ‘ÇƵǤǗǙǚƓb&Q 2019 4 ŊǥƹǛǗƥǜ&ƾƂ«ǦŤƸǧǨǩƷ&'ǣîǛǗǟǠ!t/Ǫ
Ʊ–ǣîǚĞŸŤƸ›0"ĿŁǫÏǬǭÏǮǯîǰDZ¶pĿDzdzǴÏǵǶ¶ãĿǷǸĺÇ.!ǩƷǹ™&
ºūǧǨǺǩŕŬǻ’Ç›ǼƂǽǾ!ǿȀȁ–ȂS'ǣîǷǸ&ƾ“ĶȃpȄÏȅŲRȆ&ȇŢȈȉȊÏ
ȋȌĆȍ&Ȏȏşǐ&ȐfȑǞ&ƉȒȓȔ”Ųȕ¡–Ç›ȖȗȘǗ&șȚǛǗǟǠ’Ķ&ºțĈźȜ>Ƿ
ǸHƢÏȝȞÏŔȟÏȠȡĺºENJyȢĪȣ–ǣîǚHƢ!ÕŕHǷǸĶȤǓĶȥ XzƤç
mm‚
!Ļ4Ƈ&Sp


70,90
X Î
ÇbƇĶ&


90,110
X Î
ÇǧƇĶ&bƇĶǧƇĶȦÇȧŕ–LĨƥ›b
ȨÉŕHǷǸĶȤ&¸p67Ÿ  1000 cİ9Ķȥ&ĐĢ¯4:°E­¬l
(1)Ɛ¯4:°E­ďȩÇ&sŕHǷǸĶȤ!Ķȥ X Ž¸<=4:


2
,
N m s
&Sp μ ųǽ´µ
x &s ųǽÂǀƚÅ s&ŬU½Â!EÅ!ų²Ç 100–·¸GȨǷǸĶȤpÁ bc&± Ģ!Ķ
ȤÇȧŕ!zĘb¦p!
»s¦iè!pO²Ƒƒ‚
(2)GȨĨƥ!ǷǸǓ 2 cǧƇĶZ nz
2
n ³
&Ē
*
n
N
Î
‚cbƇĶÇbȪ!ĞǹüýȫȬ&ŚǻðŢAE
ďüĊƒħ–ŢAȭŢAģ¸āȪp67 KÎcĶȤüýAB&· Ģ!ÎcĶȤĺƇWĘ&ÓsȪǷ
ǸÐÇ“Ę”&ċÓsȪǷǸÐÇ“Ȯ”–
①ž»ȯ n !Ƒ
Jƒ®ŸA!ÕȪǷǸǔÐÇ“Ȯ”! p¶
②͟A! 5 ȪǷǸpǁË 3 ȪǔÐÇ“Ȯ”!Ç

f
p &±Ȱ

f
p !ǝ²&3 ǝ²ģ n !²–
      
      
ø#

·6789 X Ž¸<=4:


2
,
N m s
&Ó


0.6827
P
X
m
s
m
s
-
<
£
+
»
&


2
2
0.9545
P
X
m
s
m
s
-
<
£
+
»
&


3
3
0.9973
P
X
m
s
m
s
-
<
£
+
£
–
题型四  独立性检验
1
1z2025·ĿŀȱȲ·bтÕÖǛƻ÷ao
!ğȳ@&P"¨ Ƈ„ý›bÊ
Ëòފ&
>#ž’£ȧȴzĩ#ž’£âĻQ1304‚!aüý›òó.ÖǛȵȶ#ž$%&67Ÿ ›ź4#
ž’£&¤0Éǽ«‘›¬­j®!½Â¯4:°E­.ŬU§bĻ¦

90,100 !¯
Ç10.
(1)± a !²Z½Â-9¶
(2)³jËøŠa!´µ’£¶
(3)ĵÍPŸ !½Âp&ȷa‰ȸaf 20 ¿&ȸa!ĬòÇ12.5% &ȹƫl;2 2
´ ;ŋƒ&¤ȺĻ
      
      
²
0.01
a =
!Ĕ?@AB&Ȼȼȷaȸa!Ĭò$%'ċȽPÅȮǎ
òó
@Æ
Ĭò
ĕĬò
Y
ȷ
ȸ
Y
Ì







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
&


2
P
k
c ³
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
1z24-25 "{l·¹Ô·€o‚ÕȾȿĻ¦>"{ɀXĭ!ݞ’£üý67ƻ+&wjË#
!#aǓ'ċĘģ#4Ç AÏB Îū&¤¸p67Ÿ  100 ¡#a!’£&ä
¬lƒzƤç
¿‚

’£a4ū


50,60


60,70


70,80


80,90
A ūȷa
2
8
15
8
B ūȷa
3
10
20
4
      
      
A ūȸa
3
4
2
1
B ūȸa
10
6
4
0
(1)³sÖ"{oȷa¿
ȸa¿
Ɠ‰¶
(2)± A ū#aL´µ’£!³²zĘb¦p!
»s¦ièpO²Ƒƒ&XĶ©Ɂ¥ĊĢä
‚¶
(3)ɂ’£P

60,90 ȦÇ“Yǹ”&’£P

50,60 ȦÇ“âYǹ”&'ċË 95%!ɂȶȩÇsÖ#a!ÂÊ
’£YǹċZ@ÆËǎ
Ì
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b c
d
a
c b
d
c
-
=
+
+
+
+
&Sp


2
,
3.841
0.05
n
a
b
c
d P c
=
+
+ +
³
»
–
题型五   线性回归方程
1z24-25 "{l·Ƀŀ·ì#ž‚o´ÑɄÐɅK
Ɇɇ‘/“Ɉä&ƚƪ&qɉɊɋŤƸɌ&ń
ɍɎɏɋŤƸǹ™&žȢɐ÷"Ţ9ŤƸ”.ÕźȜP>ɋŤƸɌ¦ɑ›qoû&>Ęb‘Ļ¦p!
5 ¡ȭĨ ¬l#Ȍ«ǐ
①PÂǯǐɒ&¸źȜp\Ÿ 120 ¿&ā¿ 1 ɓ&>G 5 ¡ȭüýɔɓ¶
②PÂǯǐɒ&G 5 ¡ȭÂǯǐɕɖ!ɗȝIJĊ.
      
      
ÐÂǯǐɕɖ!ɗȝIJĊÇ y zƤç
ɘř‚&jĐɓ
Ç x &Lw 5 ¿!$%»
>

,x y Ĩ






19,75 , 20,76 , 34,90 , 25,86 , 22,78 .y Q x !Wə
Ç r &źȜĞĸ
·
0.96
r ³
&ÓȩÇÂÊ

Ȯɚ.
(1)Ľľ
ÂÊ
Ȯɚ¶
(2)ǻ+B&Âǯǐɕɖ!ɗȝIJĊǝĆ!ȭ!
ȽPȮɚ&wSɛɜû&±s‘Ļ¦ y Q x !ƶ@
CDEF.zə
ƩƪĢcç
‚
Ì
>Qb¦





1
1
2
2
,
,
,
,
,
,
n
n
x y
x
y
x
y
L
&CD°ƶEF
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
!ɝZɞɟ!ǝĻ¨ɠ¾³J
4ÆÇ
1
2
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
n
i
i
i
n
i
i
x y
nxy
b
a
y
bx
x
nx
=
=
-
=
=
-
-


¶Wə
1
2
2
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x y
nxy
r
x
nx
y
ny
=
=
=
-
=
æ
öæ
ö
-
-
ç
֍
÷
è
øè
ø



.
ø#

5
5
5
2
2
2
1
1
1
24,
3026,
5
176,
5
151
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
xy
=
=
=
=
=
-
=
-
=



&
5
1
9871, 146
12, 176
13
i
i
i
x y
=
=
»
»

.
2z24-25 "{¹·ĿŽ·ïɒ‚6žƵ,¿µɡLJŴ´!×"&ɢǾ!Ŕ÷ɣɤɥVâȼɦŅ&ńƓɣɧ(
ɨù±!ɦƟ&ɩĐɣɤōǭýƷŤƸɪɫŅɬ&lƒÇ2019 ~ 2023 pƵɣɤōǭƒħĞŃzƤç
æ
ɭř‚&Sp2019 ∼2023 >r!ƑɮȺÊÇ1
5
~
.
 àƑɮ x
1
2
3
4
5
pƵɣɤōǭƒħĞŃ y
4.1
4.4
4.8
5.5
6.3
(1)Ɛ¹ƒ
ďU&ď»Ʌ
ɯȰ
Ńɯ
x
y
ab
=
ʼnY y  x !ə&Èɏ? y Q x !DEFz a &b !²
ƩƪĢ0.01‚¶
      
      
(2)
ɰ®2023 ɱɲðÒŇ»ŕū!pƵɡLJpɱɲðŔ÷Ȗɳū!ɴ‰Ç 2
3 &»¯³&L
¸2023 ɱɲðÒŇ»ŕū!pƵɡLJp67Ÿ  4 ¿&ÐɱɲðŔ÷Ȗɳū!ɡLJ¿
Ç X &± X
!4:;3
ïĖ.
ø#

v
1
5
i
i
i
x v

=
1.278
e
0.108
e
1.602
25.107
3.590
1.114
Sp
ln
i
i
v
y
=
&
1
5
1
5
i
i
v
v

=
=
.
ø#J
>Qb¦





1
1
2
2
,
,
,
,
,
,
n
n
u v
u v
u v
L
&SCD°ƶ
ˆ
ˆ
ˆ
v
a
u
b
=
+
!ɝZɞɟ!ǝĻ¨ɠ³
J4ÆÇ
1
2
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u v
nuv
u
nu
b
=
=
-
=
-


&
ˆ
ˆa
v
u
b
=
-
.
1z24-25 "{¹·t|·€o‚b bǐ!“Ĥ 11”ɵȝö÷élɶɷ&ºƮŷ´łŤ:!
ɰ®&P
ɡLJŕ0ɸɹɋÏǤƮƀɺɻɼĺɵɡLJƀƁZö÷!ɽ÷l&ɡLJƒħɾĈńƳɿť&ɽ÷Wŷŕȝ
Ȟ”ȣɦƟ. ǻðƻƘ&ĐĢ 2019 Ģ 2024 “Ĥ 11”ö÷ǼʀÕƮŷ´łƶ¹ʁȝȞŻ y zƤç: æɭř‚
 àz§ x ‚! 6 ¦
zģè89 x ! ²ȺÊÇ1,2,
,6
×××
‚&>
üýʂ&ĐĢ¬lʃO­z­
1‚3bǃ9!². Sp
6
1
1
ln
6
,
i
i
i
i
t
t
x
t
=
=
= 
.
y
x
6
2
1
i
i
x
=
6
1
i
i
i
x y
=
t
6
2
1
i
i
t
=
1
n
i
i
i
t y
=
      
      
48.7
3.5
91
1204
1.1
9.4
388.1
4Æ»ÎHŃɯ
①y
bx
a
=
+
¶②
ln
y
b
x
a
=
+
üýʼnY&ĐĢWr!CDEF&¤üýʄÅ45&ĐĢ
¬­j®!ʄÅ­z­ 2‚zʄŲ = ʅȤ² - vݲ‚.
(1)pʆ&ĎðʄÅ­‰ĹŃɯ①&②!ʼnYƺĶ&rʇnjbcŃɯüýʼnYǎÈǏľƐ¶
(2)z1‚pjŃɯ&
zi‚±K y Q x !ǻBCDEFzə
ƩƪĢ 0.1‚¶
zⅱ‚·sƮŷ´łā ö÷Ǽʀƶ¹ʁȝȞŻ y Ǽʁɗȝ’Âu 3 à x ȽPƶ@ə: 
3
2.6
y
u
x
=
+
&
ÓP§ ö÷Ǽʁɗȝ’Â!vݲǝ?
ø#J: 
1
2
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
n
i
i
i
n
i
i
x y
nx y
b
a
y
bx
x
nx
=
=
-
×
=
=
-
-


¶ø#
:ln 7
1.95
»
.
      
      
2z2025·êëʈʉʊ·bт ÝƵɋĈʋʌʍǩƷɍƳŤƸ&ýƷ
ɰ®&ɋĈʋʌʍ!
9P
âȼɦń.lƒÇÕȲƒ! 5 ɋĈʋʌʍ!ɋɦ
9&Sp x Ç àƑ	& y zƤç
ǂʎ‚Ƒƒ
ɋɦɋĈʋʌʍ!
9.
 à
2020
2021
2022
2023
2024
 àƑ	 x
1
2
3
4
5
ɋɦɋĈʋʌʍ
/
y ǂʎ
1.2
1.8
2.5
3.2
3.8
(1)Ƭ½ÂWə
 r &Ȼȼ'ċď0»ƶ@CDŃɯʼnY y  x !ə&Ǽ


0.75,1
r Î
ģ&ď0ȩÇÎc
89ËeŅ!ƶ@W@¶ċÓ&ʏËeŅ!ƶ@W@.
(2)± y Q x !ǻBCDEF&¤ɳsȲƒ 2026 !ɋɦɋĈʋʌʍ!
9¶
ø#

43.6
6.603
»
.ø#J












1
1
2
2
2
1
1
1
ˆ
ˆ
,
,
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x
x
y
y
b
a
y
bx r
x
x
x
x
y
y
=
=
=
=
=
-
-
-
-
=
=
-
=
-
-
-





.
题型六  条件概率与全概率公式 
      
      
1z2025·ĿŽ·bтɋ"#
žßpŎ 3 ěf&āá4Ç 6 4&PāĻNJK!Ŗp&ËfŖ
ʐYŗ/±&qź>Đ 6 4&ź4>Đź44z¬ĶËÎcŖʐYŗ/±&>bcĐ 3 4¶
¬ĶË{cŖʐYŗ/±&>bcĐ 2 4¶ËdĮâ&Đ 0 4‚&Õ
ȾȿĻ¦Ƙƙf
ģŤL
67Ş`“fŖʇp&ËÎcŖʐYŗ/±”Z“fŖʇp&Ë{cŖʐYŗ/±”
!µÇ
1
2 –·a()ÕfģɈqʏËʑʒ&gĈĎð67ʇ!EJmɈ’‘)&Ēʇ©c
Ŗ!ďĈ@'WĘ!–
(1)ŬUÕË{cŖʐYŗ/±&ĻʓĎð67ʇŖ!EJmɈ’‘)&ĒgbcŖ‘)!
Ç
1
2 &ÎcŖ‘)!Ç 1
3 &{cŖ‘)!Ç 1
6 &ž±ĻʓsĐ 0 4!¶
(2)ĻʔP()ɈqʏËʑʒ!fģ&ËÎHƁʕ&b'“67ʇbcŖ‘)”&¨'“67ʇÎc
Ŗ‘)”&žƫKĻʔ»ÎHƁʕĐ4!4:;Z
ïĖ–
2z2025·©ʖ·bŃ‚Õ”ʗʘ67 › 200 ¡âĘʙʚ!ɔ”ʘ7&ƻ+Tęɔ”ûb ,!ʛʜ$
%&XĶ¬l
Ƥç
¿
ʙʚ
b ,'ċʛʜ
âá 10 
10 0¹
Y
'
10
5
15
ċ
90
95
185
      
      
Y
100
100
200
(1)ȺĻ²
0.1
a =
!Ĕ?@AB&45ƒp!
&ĈċÉɐȼʘ7ɔ”ûb ,'ċʛʜʘ7
!ʙʚËǎ
(2)”ʗʘ!
ɰ®&ā ɔ”!ɋʘ7ʛʜ!Ç p &ɔ”!ʝʘ7ʛʜ!µÇ 

q p
q
¹
–ĵ
Íɔ”ʘ7pɋʘ7!ɴ‰Ç


0
1
b
b
<
<
.67 b¡ɔ”ʘ7&ÐŞ`“G¡ʘ7P§i ʛʜ”Ç
iA &
Ş`“G¡ʘ7'ɋʘ7”Ç B .ŬU 





,
i
i
j
i
P A B
P A A B
P A B
=
=


i
j
P A A B 

i
j
¹
.
zi‚Ľľ





1
2
2
1
1
P A A B
P A A B P A B P B
=
¶ 
zii‚Ľľ
 



2
1
1
P A A
P A
>
&¤NJKsâĺJ!°ʞ(ɿ.
Ì







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
&
a
0.1
0.05
0.01
a
c
2.706
3.841
6.635
1z2025·Ŀŀ·Ńʼnvİ‚ŬU
,
A B Îcâʟľ!ʠʡpµȬË·ŭcĻ&ŢƂɈqWĘ!ÙĝZʢĝ&
¸ A ʠpʣKbcÙĝ!' 1
3 &¸ B ʠpʣKbcÙĝ!' p –Pāʤp&đĘúʇbcʠʡ
ʣbÊĝ¤ťC&įŚʇbcʠʡʣbÊĝ¤ťC&ÓsʤXĭ–ŬUPāʤpđ
,
A B Îʠ!µ
Ç
1
2 –¬Ķđ A ʠ&Óį B ʠ!Ç 4
5 ¶¬Ķđ B ʠ&Óį B !Ç 3
5 –
(1)·
2
3
p =
&±Pbʤpį¸ B ʠpʣKÙĝ!¶
(2)±PbʤpįʣKÙĝ!¶
(3)·đ&įÎçĘüý› 3 ʤʣĝ–įĘȩÇ& p ő&3 ʤʣĝûTʣK 2 cÙĝ!ő&ĚĘ
      
      
ɥT!ʞOĠǎÈǏľƐ–
2 z2024·Ƀŀʥʦ·{т11 4«ʧʨĝ‰ŠĞÓ¬l
Pb™‰Šp&āÎĝʩɹŤĝʪ&āñbĝĐ 1
4&úĐ 11 4ĒąĆʫú 2 4ĥ&s™‰ŠXĭ
Ǽՙ‰4ʬ’ 10∶10 û&āĝʩɹŤĝʪ&ʫú 2
4ĥ&s™‰ŠXĭLËđÏįοüýbħ¥™{ĥÏā™ 11 4«!ʧʨĝ‰Š&‰ŠìʭĄĎðʮ
ʯbʰŢƂµʱ!ʲʳmƪĸʴúŤĝĵÍđŤĝģđĐ4!Ç 2
3 &įŤĝģđĐ4!Ç
1
2 &º
ĝ!‰ŠXĶWēĔ?&Ēº™!‰ŠXĶʵWēĔ?–
(1)·ā™‰ŠđĬĥ!
2
3
p =
&±sħ‰ŠđĬĥ!.
(2)ŬU§b™ŗĄ‰4Ç 10∶10&±
zⅰ‚ŚʬÎcĝđɋɦ!Đ4 X !4:;Zµ²¶
zⅱ‚§b™‰ŠđĬĥ!
0p ¶
      
      
3z2024·¹Ôǣʶ·{тPɀɀXĭ!ʷʸʹŔx¹&pƵʺʻĝīƖʼ›ÄȧɫŖŗ&0 4 Ř 3 ʽ 2
ʾ!’£ʿuʹˀ–Pɸ«!ʺʻĝŠp&gËŤĝEñĐGbĝćď0Đ4&ĩ¬ĶŤĝEPÉCY!
ˁ˂pȟĝ&ÓĤEµâĐ4–ŝŤĝEȟ˃ÉCYû&lbCYȠÇ>EŤĝ–
(1)Pɸ«ʺʻĝŠp&pƵīÕŔ÷ȭābCY‰Šñĝ!µÇ 3
4 &ĒºCYWēĔ?–·§bCY
spƵīŔ÷ȭŤĝ&±§¨CY‰ŠËŔ÷ȭĐ4!¶
(2)ʺʻĝ‰Šp&úĬЧb4!īȭĴĴxǍńɴƍ¹!ȧɫ&NJK0lĵÍ
ĵÍ 1
ºCY‰ŠWēĔ?¶
ĵÍ 2
‰ŠĤEŔ÷ȭđZį!ȤȢWǼ&ĩāCY‰ŠpđĬĥ!µÇ
1
2 ¶
±§bCYŤĝPäħ‰ŠpúЧb4!&¤Ǐľɸ«'ċYǎ
题型七  概率统计与其他知识点结合
1z2025·©ʖ’Ă·¨Ń‚Õ)ÿĀŠĞÓ¬l
‰ŠǓʤȺÊüý&gË)ɈbʤćĈüĊlbʤ&·
      
      
˄ʼÎʤµ)d&ÓÿĀ˅ȗ¶ābʤə67ƂˆKběĎVĮˇV&ˆKĎV!Ç 1
3 &ˆK
ˇV!Ç 2
3 .ŬUÕƱ)>ĎVˇV!4ÆÇ 3 1
,
5 5 &Ēºʤ)<ƪċWēĔ?.
(1)±sƱPbʤ)p)>ŗ!¶
(2)ÐsƱP§ n ʤ)XĭģÿĀȺˈĕ˅ȗ!Ç
np &
zi‚±
3
4
,
p
p ¶
zii‚Ľľ
ȽPȤ
l &ɩĐ
;

1
n
n
p
p
l
+ -
Çĺ‰
;.
2z2025·ˉ}·Ńʼnvİ‚"{ÕˊÇˋ(a"#ɨȢ&ˊˌxDžĸPˍˊxƈ¹üý“ˎˏõÏːˑ¡”!
ȿȒ˜˒‰Š&Lwqˊa4Ç9¦&ā¦5 ¿&˓Ɖ!aɆ˔Ȼ.‰ŠĞÓ¬l:‰ŠŎ4ÇÎʤ&§
bʤ‰Šp9cĻ¦4{ħüý‰Š&āħ‰ŠË3cĻ¦øń&PĞĸ!ģè,ː>ˑ¡ǝf!Ļ¦Ĭĥ&
Ĭĥ!{cĻ¦üĊ§¨ʤ‰Š&§¨ʤüýbħ‰Š&KĬĥī˕.ŬUđÏįÏ˖3cĻ¦!aĈ
’“ː>ˑ¡!4ÆÇ 4
5 Ï 3
4 Ï 5
6 .
(1)L¸į¦pÁb¡aüýˑ˗žː&Ð5 ˘ˑ˗pː>!ˑ˗
Ç X &±6789 X !
ïĖ¶
(2)·¸đÏįÏ˖3cĻ¦pÁb¡aøńːˑ˜˒&±saː>ˑ˗!¶
(3)·§¨ʤ‰Šp˙Ï˚Φ¤;§b&ÓÍŏ0l˜˒Džĸǝ˅Ĭĥ!Ļ¦&˜˒ĞÓ¬l
¸˙Ï˚
      
      
Ļ¦pÁb¡Ƒƒ&¸ȬË3cʢĝZ 2 cÙĝ!âʟľ!˛ʡpËťCƂ67ʣKbcĝ&ʣKʢĝÐ1
4&ʣKÙĝÐ 2 4&00 4ìʭ4&ǁɇĬĐ104Į114ÓXĭʣĝ.·sƑƒĬĐ104&ÓsƑƒjP
Ļ¦ĬĐĥƹ&ċÓ\]b¦ĬĐĥƹ.·sƑƒmƿ˙¦&ž³˙¦Ĭĥ!.
1z2025·˜˝ż˞˟ˠ·bт“ˡˢĘÛ&ʹˀĘƍ”&2025 §ˣŌʹˤxP˞˟ˠ„…&ÂʊŞŎË6
cŖ&11c4Ŗ&64 cĻŖ&Ëmƿ34cƵǤZƂi&1200f¡Ŕ÷ȭøŠ&'bħ˥¿CȒȋ˦!ˤ
ǯÒŇ˧x&ʹˤx˨áXĭû&ÝÖ˩ˌ¦ɑaøńʹˤxË!UVފ.Ç˪óĘęğȳøń
ÉŖö÷&‰ŠĞĸ
)>bĐÎ4&)dbĐb4&Ʊâť˫ÁŨbÊ)7x.ŬUĻľˬ¡ø
ń‰Š&āěC)'ċ<ƪWēĔ?&ĒāÊ)>!âbĸWĺ.
(1)·Ą{ěž&Ļľāěž)>!µÇ p &
①Í
2
3
p =
&ÐĻľ)ɈĄ{ěĐ4Ç X &±6789 X !4:;Z
ïĖ¶
②·Ļľ)ɈĄ©ěĐ8 4!Ç 1
81 &±Ļľ)ɈĄ©ģąĆ)>{!!ǝĻ²¶
      
      
(2)·Ļľ)>āě!µÇ 1
3 &ƾÇĻľ)>§bĮĄÎĂ)d&µďĐĢÎ4&ȦÉģĻľ)
˭Đ4Ç 2 &ÐĻľ)˭Đ4Ç n !Ç
nP &±
;
nP
!ĎŖJ.
2z24-25 "{l·ˮ˯·€o‚LËbcŢƂµʱ!˰ʡ&Ǔ˱lƨĞÓ¸˲Ģ˳ȺÊÐ˴˵ʐ
ʮʯ˰
ʡ&O
Ç 1&2&3 ģ&Ð˴˵ʐ AA¶O
Ç 4 ģÐ˴˵ʐ B&O
Ç 5 ģÐ˴˵ʐ C&O
Ç 6 ģÐ˴
˵ʐ D–˶ʼɔʯ˰ʡ&Ǔ˱WĘ!ĞÓ˷˳Ð˴ AA&B&C&D !˵ʐ–2¬ʮʯ 5 Ê˰ʡĐĢ!O
Ⱥ
Ê' 5&6&2&3&4&ÓÐ˴!˵ʐÇ CDAAAAB&Ŏ 7 c˵ʐ&Sp¸˲˷˳§ 4 c˵ʐÇ A&§ 7 c˵
ʐÇ B–
(1)ʮʯ 3 Ê˰ʡ&¤Ð˴˵ʐ–Ð˵ʐp A !c
Ç X &±


E X ¶
(2)ʮʯ n Ê˰ʡ

*
nÎN
&¤Ð˴˵ʐ–Ч n c˵ʐÇ A !Ç
np –
zi‚±Ľ
1
1
2
n
n
p
p
+
ì
ü
+
í
ý
î
þ'ɚ
;¶
zii‚±

np
!Ą n ŖZ–
      
      
 
1–z24-25 "{¹·żŽǦí·ïɒ‚2024 5 Ŋ 22 ʁą 5 Ŋ 28 ʁ'§¨ŌqƵȲƒaö˸˹4ūÃÄˍ&
ÂÊÃÄˍ!.Ç“˺ýɋģ˻4ū‹Œý”Õp"b Ƈ„ý›bÊ“˸˹4ūUVފ”&Ǜ›(Â
Êފ’£$%&¸pŸ ›ź4a!’£ x zƤç
4&Đ4 <ä
&á4Ç 100 4‚‘ǽÂüý
&w’£üýäû&4Ç¥¦(50
60,60
70,70
80,80
90,90
100)
x
x
x
x
x
£
<
£
<
£
<
£
<
£
£
&Sp§¨
¦!¯
'§b¦¯
! 2 ˼&Èl˻ĕɈ’!¯4:°E­z¬­j®‚(Džl;Ŧ
      
      
(1)± ,a b !²&¤³GÊފ’£!pç
zĘb¦p!
»s¦iè!pO²‘Ƒƒ‚¶
(2)ÕʝƋPÉÊފ’£pŸ › 10 ¡a!4
1
2
3
10
,
,
,
,
x x x
x
L
&ŬUG 10 c4
!´µ
80
x =
&
ǀƚÅ
35
s =
&·ɛɜSp! 75 Z 85 Îc4
&±˓Ɖ 8 c4
!´µ
EÅ.
2–z2025·˽ŽŽ˾·bтÕŷħüýŸòö÷&ÍŏʣòȪ,ËÙĝ1c&ʢĝ 2 c&˜ĝ3c&Ļĝɜ
˿Ǩ]ʏËÁŨiÆ.Ğĸ
ʣĢÙĝÐ14&ʣĢʢĝÐ0 4&ʣĢ˜ĝÐ 1
- 4.Ÿò¿ʣ3cĝÇbʟò&
Ñ4ÐÇ X &·
0
X ³
&ÓĬò.
E1b
¸pbÊʣ1cĝ&Ð˴4
ûâťC.
E1¨
¸pbÊʣ1cĝ&Ð˴4
ûťC.
(1)·đ̀́
Ǔ˱E1bʣĝÐ4&±đ̀́
Ĭò!¶
(2)·į̀́
Ǔ˱E1bʣĝÐ4&±§¨ÊʣĢÙĝ_`l&į̀́
Ĭò!¶
(3)·˖̀́
Ǔ˱E1¨ʣĝÐ4&± X !4:;Z
ïĖ.
      
      
3–z24-25 "{l·êë̂
Ǥ̃
·ì#ž‚2024 6 Ŋ 5 ʁØpƵņŇˬǕ
Ť›ņŇź!“̅
ɳɇ̆
ʡ!̇̈
&Ŏɕ̉
ľ!ĕm”!̊
&SpǧÆŅƻ“̋̌
ƤÊɩ»Ʈʡǩŕ!ģèâǦŧð 15 4̍
&˭āʀ
âŧð 1 Ļģ”ĺ,-.Ç̎
Ȥ×DŽ̌̏̐
Ć uȢɣɧäÒŴ´&ÕÖğȳɐüȗ
YȖ̒
&éȤ“ľ̓
”F&ìƸ›uƽƾ!ƻ+0ƛËƺüývȖ.PŬu!ap67ƻ+› 100 ¿&ĘģPĕu!
ap67ƻ+› 100 ¿&ĐĢ¬l

Ʈʡǩŕ
u
ĕu̔
Ɵģèɩ»Ʈʡǩŕ
40
70
Ɵģèɩ»Ʈʡǩŕ
60
30
(1)ȺĻ²
0.001
a =
!
2
c Ĕ?@AB&ĈċȩÇ̕
uƟģèɩ»ƮʡǩŕËǎ
(2)»¯³&¸Ŭǻu!apĨ»67Ÿ½!EJK 1 ¡a&ƹ»“+Ǭ”̖̗
E1>
saüý̖̗
.ŬU“+Ǭ”̖̗
E1!̖̘

¬l
PŬu!ap&>̔
Ɵģèɩ»Ʈʡǩŕ
!a!̖̘
Ç 5
6 &>Ɵģèɩ»Ʈʡǩŕ!a!̖̘
Ç 3
4 &±suaǔ̖̘
!¶
(3)·Ǔ½Â
ƹ»4¼67Ÿ½!E¾¸uapŸ  5 ¿&Ś¸G 5 ¿pŸ  3 ¿üýu̙
<Ȥ
B&Ð X ƒ®G 3 ¿pƟģèɩ»Ʈʡǩŕ!¿
&± X !4:;
ïĖ.
ø#J






2
2
(
)
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
&Sp n
a
b
c
d
=
+
+ +
.
      
      
a
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
4–z24-25 "{l·ëė·€o‚ȋ¿ʙ̚
ư̊
'ʌʍƘŤʫ̜
!bct/E˷–ÕÖư̝̊
õźƘŤ
›bc̞
Uʒ%•Œ!ĻʌʍŃɯ&sŃɯĎð{cÄ̞
ōŎĘȻȼʒ€'ċËʒ•–P>sŃɯüýİ
žp&s̝
õźĘ̟̠
›80câĘ!ʒ€‘Çݞ½Â&
¬lƒ
Ä̞
ō 1
Ä̞
ō 2
Ä̞
ō 3
ݞ
XĶʅȤ
ʒ%
˕Œ
ȋ•Œ
ȋ¾VÆ
˕Œ
ȋ•Œ
ȋ¾VÆ
˕Œ
ȋ•Œ
ȋ¾VÆ
ȋ•Œ
4
15
1
1
15
4
8
12
0
˕Œ
40
10
10
45
5
10
45
10
5
ĵÍ»¯³&Ē{cÄ̞
ō>ʒ%!ȻȼWēĔ?–
(1)¸G 80 cʒ€p67Ÿ bcʒ€&±Ä̞
ō 1 >sʒ%Ȼȼ<ƪ!¶
(2)¸G 80 cʒ€p67Ÿ bc˕Œ!ʒ€üýݞ&Í X ÇÄ̞
ō 1 ZÄ̞
ō 2 Ȼȼ<ƪ!Ñʒ€
&
± X !4:;Z
ïĖ¶
(3)LËbʎĻʌʍĘģȬ̡
›0¹ 3 HÄ̞
ō–PĎðÕʒ€ģ&g/ 3 cÄ̞
ōpbcȻȼ˕ŒĮȋ
¾VÆ&ÓĻʌʍſƳ–̢
ţ'ċď0Ďð×"Ä̞
ō 3 !Ȼȼ<ƪ&ɩĐĻʌʍPȋ•Œ!ěʒ¹ſ
Ƴ!ĻQ
1
2 ǎzXļâ/±Ľľ‚
      
      
5–z24-25 "{¹·̣
}̤̥
·ïɒ‚ÇǍɇ!Ț̌
"#!Ňć‘»&ź4ɋ"#
žßĨ»›fGb
ɯ–ņŇź#žpƍĎðİ945&ɅKsɯ̧
›žß#O!̨̩
&ËƹQ×"žß!i4
ǐ&ʵËƹQ×"a!Đ4–f̪
4ĞÓ¬l
>Qf&ācĻNJK!©cŖp&ËÎ
ŖĮ{Ŗ'<ƪ!&á4 6 4–qź>Đ 6 4&ËdĮqâĐ 0 4&<ƪ)1ÇÎŖģ&> 1 c
Đ 3 4¶<ƪ)1Ç{Ŗģ&> 1 cĐ 2 4&> 2 cĐ 4 4–f<ƪ)1'ÎcŖ!Ç p&
<ƪ)1'{cŖ!Ç1
p
-
zSp 0
1
p
<
< ‚–
(1)PbÊŃʼn#žp&ađ>ÕcfɈqâx&Džĸ67ʇbcŖ&·
1
2
p =
&±ađsĐ
2 4!¶
(2)̫
>Õěf&ađɈqâx&ÉģTË{H)E1
Ⅰ
67bcŖ¶  Ⅱ
67ÎcŖ¶  Ⅲ
67{cŖ–
zi‚·
1
3
p =
&ĒađʇE1Ⅰ&±ÂĐ4!
ïĖ¶
zii‚0ÂĐ4!
ïĖÇDžƁȺ&p ! ²P̬
ţŠš,̭
ĔʇE1Ⅰǝɇ?
      
      
6–z2025 "{l·qƵ·ˇo‚Ļ̮
ƚƛPÕŷħ̯
bèŷ̰
ìŽȬ̱
&Ǜ(ƒħý$&Psŷħƻ
+› 20 ǤŽȬ̱
&ĐĢ›ıę!ğ XzƤç
2
m ‚Zʁµ̲́
9 YzƤç
濂!



,
(
1,2,
,20)
i
i
x y
i =
L
&¤ƬĐ





20
20
20
20
2
1
1
1
1
2400,
210,
42000,
6300
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
y
x
x
x
x
y
y
=
=
=
=
=
=
-
=
-
-
=




–
(1)± Y Q X !CD°ƶEF¶
(2)ŬUŽȬ̱
āʀ!ǻ̳
ƺ̴
(
0,
0)
W
k
y
mx k
m
=
+
>
>
&sŷħLË
2
60 ~150m !ŷ̰
K̯
&z1‚
!XĶüývİ&/ɩƤçğ!ǻ̳
ƺ̴
Z ǝ"&Ļ̮
rs̯
fğ!ŷ̰
ǎ
Ì
CD°ƶ
ˆ
ˆ
Y
bX
a
=
+
!ɝZɞɟ!ǝĻ¨ɠ³4ÆÇ





1
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
a
y
bx
x
x
=
=
-
-
=
=
-
-


–
7–z2025·êë”ĸ·bŃ‚Õ̵
Ǜ(ȭ£ƺ4
ġǀ$%ȭ@Æ!ə&67>s̵
ȷÏȸº
30 ¡ȭ!£ƺ4
ġǀ$%üýƻ+&äĐĢ¬l;ŋƒ
Ƥç
¿
£ƺ4
ġǀ$%
@Æ
ĕġǀ
ġǀ
Y
ȷ
20
10
30
ȸ
5
25
30
      
      
Y
25
35
60
(1)ǻƬ&jƻ+!ȷȭ£ƺ4
!´µ
1x Ç 26¶ȸȭ£ƺ4
!´µ
2x Ç 34&±G 60 ¿£ƺ
4
!´µ
 x .
(2)¹ƒ
&ȺĻ²
0.001
a =
!
2
c Ĕ?@AB&ĈċÉɐȼ£ƺ4
ġǀ$%@ÆËŋǎ
(3)s̵
Ç̶
óȭ&ĞĸāŊ£ƺ4
!§b¡òó 1 ɘř&ST¡Êȋòó.đÇs̵
ȭ&TP̵
ì
!§bcŊñĐòó!Ç 1
5 &¸§¨cŊìʭ&·¹cŊʏËñĐòó&ÓGcŊñĐòó!Ç
1
5 ¶·¹cŊñĐòó&ÓGcŊ̷
ñĐòó!Ç 2
5 &±đPĄÎcŊjĐòŘÑŻ X zƤç
ɘř‚
!4:;Z
ïĖ.
Ì
a
0.1
0.01
0.001
xa
2.706
6.635
10.828
ø#J





2
2
(
)
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
&Sp n
a
b
c
d
=
+
+ +
.
8–z2025·żŽ¹̸
·bт2024 7 Ŋ 26 ʁą 8 Ŋ 11 ʁP¾Ƶ̹̺
„ý›̻
ǯ̼
Ŕx–Ç›ƴ3̼
ŔU
V& M „…›bÊ̼
ŔUVފ&ފ4Ç̽
ŠDžŠ&̽
ŠĎðûćĈøńDžŠ–
(1)̽
Š¸ 6 ěpÁ 2 ‘)&2 µ)>ÓüĊDžŠ–ŬUG 6 ěpĻʔĈ)>Sp 4 ě&±Ļʔ
PŬǻ)>b!Ą×l&̷
ĕüĊDžŠ!¶
      
      
(2) M Ç˪óa̾̿
øŠ¤ Đ̀
£&Džĸ>üĊDžŠ!øŠaNJybĸ!òó–òóĞÓ¬
l
>QüĊDžŠ!ā¡á͂
˄ʼŸò 3 Ê&pò 1 Êòó 120 ř&pò 2 Êòó 180 ř&pò 3
Êòó 360 ř&· 3 ʵĕpò&Ógòó 60 ř&ĵĸāÊpò!µÇ
3
0
4
p
p
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø &ĒāÊ'ċp
òWēĔ?–
zⅠ‚Ðb¡üĊDžŠ!aǁɇpò 1 Ê!Ç

f
p &±

f
p !ȳ²¶
zⅡ‚ M 
əŎË 9 ¡aüĊ›DžŠ&·G 9 ¡aĬĐ!ÑòŘ!ïĖ²âĻQ 1120 ř&
ž±Éģ p ! ²Šš–
9–z2025·ˉ뷨тŬUÕŷ̱
KȞŷŕ A&45&ŤL̀́
>ŷŕ A !ù±9W>̓
ĸ&āˍ
,>ŷŕ A !âĘù±9zƤç
c‚!
¬l
> A !ù±9
0
1
2
3
 P
1
8
1
2
1
4
1
8
·0ŷŕ A !̈́
Ƚ‘ÇŹNJ9&ǛȠͅ
ǻɗ&sŷ̱
Džĸāˍɒ>ŷŕ A üý͆
OȽ͇

¬Ķŷŕ A Ă
ȞK›&ÓPˍɒ3ģĨɱ 2 cɋ!ŷŕ&g/ŷŕ A͈
Ë 1 cȽ͇
&^âĨɱɋ!ŷŕ.Ð
n
X Çsŷ̱
§
n ˍìʭģŷŕ A !ŹNJ9&ĵÍ
1
2
X =
.
(1)±
3
X !4:;¶
(2)Ð






1 ,
2
n
n
n
P X
P X
j =
=
=
uur
ǧ n ˍìʭģŹNJ9
n
X !˷9&6ž n !ɦ&·
1
n
n
j
j
+ =
uuur
uur
&Ó
n
j
uur
      
      
ɪ˷bcĸɚ=4:&ÐGcĸɚ=4:Çjr .
zi‚±ŷŕ A !ĸɚ=4:jr ¶
zii‚¸Ɵ͉
m͊
&±sŷ̱
Ƞͅ
ǻɗûŷŕ A ù±QŹNJ!.
10–z24-25 "{l·̣
}͋
ľ·€o‚̣
}ƞ͌
ǩƷ‘Ç̣
}qȢʬɖ͍͎
b̲
“͏
Ǩ͐
ŕ͑
”!tOǩ
ƷƓb､¸͓͒
ŤƸą͔͕
©Ǖf !ģè& Đ›˥¿͖
ŗ!’£.ŗĄ̣
}Ŭ’Çqĝȩ!{ǝşǦ͗̎
ƞHƢ!i̜
Ɠb&͗̎
ƞHƢğZǩ9çɢqĝ§b&q͘
ƞ͌
HƢğ̓
ĸP 190 ǂ͙
˲˳.
8 ̣
}͘
ƞ͌
HƢğ
3ʃO­¬­
(1)ǻƬĐlƒp
&ʃO­&PŃɯ①
y
bx
a
=
+
Ńɯ②
ln
y
c x
d
=
+
&z a b c d
, ,
,
µÇɚ
‚
p&ʇbcǍşY‘Ç̣
}͘
ƞ͌
HƢğ y Q àƑɮ x !CDEFūɯ&±K y Q x !CDEF¶
u
y
8
2
1
i
i
x
=
8
2
1
i
i
u
=


8
2
1
i
i
x
x
=
-



8
2
1
i
i
u
u
=
-

8
1
i
i
i
x y
=
8
1
i
i
i
u y
=
1.3
165.0
204
17.5
42
3.5
6448.3
1901.5
      
      
Sp


ln ,
ln
1,2,
,8
i
i
u
x u
x i
=
=
=
L
.
(2)ŔȟðFp&ǔĽ͗̎
ƞŢ9&ù>SȽöʀ
üýƘƙ.bŕH͗̎
ƞȽöʀ
Ç6789


*
N
X X Î
&
ĒǝfgĈȽö 

3
n n ³
ʀ&Ƙƙ¿ȭŤL&Ƚöʀ
Ç
1
k + !½ÂPȽöʀ
ŧðk !½Â͚
ɴ


*
20% 1
2,
N
k
n
k
£
£
-
Î
&Ƚöʀ
Ç 1 !½ÂPqÒ½Âpɴ10% .
①± 

P X
k
=
¶
②» n ƒ®sŕH͗̎
ƞȽöʀ
!
ïĖ


E X .
Ì





1
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
a
y
bx
x
x
=
=
-
-
=
=
-
-


.
bÏ()
1–z2024·ɋ"#͛
ß·"#ʅ‚Í m Ç<ä
&
;
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ 'ÅâÇ 0 !ĺÅ
;&·¸p͜͝
ÎŖ
ia Z


ja
i
j
<
û˓Ɖ!4m Ŗďǔ´µ4Çm ¦&Ēā¦! 4 c
ĂĈɎ’ĺÅ
;&ÓȦ
;
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ '

,i j -ď4
;–
(1)ƫKjË!

,i j &1
6
i
j
£ <
£
&ɩ
;
1
2
6
,
,...,
a a
a '

,i j -ď4
;¶
(2)Ǽ
3
m ³
ģ&Ľľ

;
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ '

2,13 - ď4
;¶
(3)¸1,2,...,4
2
m +
pÁ Îc
i Z 

j i
j
<
&Ð
;
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ '

,i j -ď4
;!Ç
m
P &Ľľ
1
8
m
P >
–
      
      
2–z2024·ɋƈǀⅡß·"#ʅ‚Õɔ͞
‰Š4ÇÎc€&ācøŠīƐΡīȭ¦’&‰ŠNjÒĞÓ
¬l
§b€ƐøŠīpb¡īȭɔ͞
3 Ê&· 3 ÊĂĕɔp&ÓsīǔČč&‰Š’£Ç 0 4¶·ą
ĆɔpbÊ&ÓsīüĊ§¨€.§¨€Ɛsī!\b¡īȭɔ͞
3 Ê&āÊɔ͞
ɔpĐ 5 4&ĕɔp
Đ 0 4.sī!‰Š’£Ç§¨€!Đ4ÑZ–ÕøŠīƐđÏįΡīȭ¦’&ÍđāÊɔp!Ç
p&įāÊɔp!Ç q&ºÊɔpċWēĔ?–
(1)·
0.4
p =
&
0.5
q =
&đøń§b€‰Š&±đÏįjPī!‰Š’£âĆQ 5 4!–
(2)ĵÍ 0
p
q
<
<
&
zi‚ÇɩĐđÏįjPī!‰Š’£Ç 15 4!ǝ&rsƐʴøń§b€‰Šǎ
zii‚ÇɩĐđÏįjPī!‰Š’£!
ïĖǝ&rsƐʴøń§b€‰Šǎ
      
      
3–z2024·qƵđß·"#ʅ‚Ր̵
üýaǩƶưĈDŽƇȠɖ&DŽƇȠɖû&¸s̵
đÏįÎcʍ
è!ǩŕp67Ÿ  150 `üýAB&
¬l
ȧƇ
ŕ
Yǹ
ŕ
âYǹ
ŕ
Ñ

đʍ
è
26
24
0
50
įʍ
è
70
28
2
100
Ñ
96
52
2
150
(1)ȹƫ¬l;ŋƒ
ȧƇ
ŕ̔
ȧƇ
ŕ
đʍ
è
įʍ
è
ĈċË95%!ɂȶȩÇđÏįÎʍèǩŕ!ȧƇŕȽPÅȮǎĈċË99%!ɂȶȩÇđ&įÎʍèǩŕ
!ȧƇŕȽPÅȮǎ
(2)ŬUDŽƇȠɖĄs̵
ǩŕ!ȧƇŕ
0.5
p =
&Í p ÇDŽƇȠɖûŸ ! n `ǩŕ!ȧƇŕ.¬Ķ
(1
)
1.65
p
p
p
p
n
-
>
+
&ÓȩÇs̵
ǩŕ!ȧƇŕ×"›&Ÿ ! 150 `ǩŕ!
&ĈċȩÇa
ǩƶưĈDŽƇȠɖû&s̵
ǩŕ!ȧƇŕ×"›ǎz 150
12.247
»
‚
      
      
Ì
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d
-
=
+
+
+
+


2
P K
k
³
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
4–z2023·ɋƈǀⅠß·"#ʅ‚đÏįοɔ͞
&āÊƐSpb¿ɔ͞
&ĞÓ¬l
·͟
pÓÉ¿˶ʼ
ɔ͞
&·ĕ͟
pÓɹÇ>Eɔ͞
–ȋļƓĄɔ͞
$%¬Ũ&đāÊɔ͞
!͟
pµÇ 0.6&įāÊɔ͞
!͟
pµÇ 0.8–ƐŸ͠
ƪĸ§ 1 Êɔ͞
!¿&§ 1 Êɔ͞
!¿'đÏį!ºÇ 0.5–
(1)±§ 2 Êɔ͞
!¿'į!¶
(2)±§i Êɔ͞
!¿'đ!¶
(3)ŬU
·6789
i
X Ž¸ÎO4:&Ē 



1
1
0
,
1,2,
,
i
i
i
P X
P X
q i
n
=
= -
=
=
=
×××
&Ó
1
1
n
n
i
i
i
i
E
X
q
=
=
æ
ö =
ç
÷
è
ø


–Ð
Ą n Êzĩ¸§ 1 ÊĢ§ n Êɔ͞
‚pđɔ͞
!Ê
ÇY &±

E Y –
      
      
5–z2023·ɋƈǀⅡß·"#ʅ‚ÕƘƙĻ¦ǻðƘƙŤLÕH͢͡
!̕͢
ĕ̕͢
!ÕŖͣ
Ʌǀ
ËľɰÅȮ&ǻð9ƻ+&ĐĢ¬l!̕͢
Zĕ̕͢
sɅǀ!¯4:°E­
  
ƹ»sɅǀ«ĸbcAİǀƚ&ù/ƪĸ͎ͤ
² c&wsɅǀQ c !¿ȻĸÇͥ
@&ĻQĮĺQ c !¿Ȼ
ĸÇͦ
@–ÉAİǀƚ!ͧͨ
'w̕͢
ȻĸÇͦ
@!&ÐÇ
( )
p c ¶ͩͨ
'wĕ̕͢
ȻĸÇͥ
@!&ÐÇ ( )
q c –ĵÍ
P¦,µʱ4:&0Ş`Ťa!¯‘ÇWrŞ`Ťa!–
(1)Ǽͧͨ
 
0.5
p c =ͪ
ģ&±͎ͤ
² c Zͩͨ
 
q c ¶
(2)ÍȰ



f c
p c
q c
=
+
&Ǽ


95,105
cÎ
ģ&±

f c !(5J&¤±

f c Piè

95,105 !ǝĻ²–
      
      
6–z2023·qƵįß·"#ʅ‚Õ̵
ljĹđįÎHͫ
>ͬͭ
ǩŕͮͯ
!ʂƺr&üý 10 ÊͰ>ž
B&āÊͰ>žB»ǭŢWĘ!Îcͬͭ
ǩŕ&67ƂSpbc»đͫ
ʂ&\bc»įͫ
ʂ&
İ9ʂû!ͬͭ
ǩŕ!ͮͯ
–đÏįÎHͫ
ʂû!ͬͭ
ǩŕ!ͮͯ
4ÆÐÇ
ix &


1,2,
,10
iy i =
×××
–žBXĶ¬l
žBͱ	i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10ͮͯ

ix
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548ͮͯ

iy
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
Ð


1,2,
,10
i
i
i
z
x
y i
=
-
=
×××
&Ð
1
2
10
,
,
,
z z
z
×××
!½Â´µ
Ç z &½ÂEÅÇ
2s –
(1)± z &
2s ¶
(2)Ȼȼđͫ
ʂû!ͬͭ
ǩŕ!ͮͯ
Ĺįͫ
ʂû!ͬͭ
ǩŕ!ͮͯ
'ċËɰͲ×"z¬Ķ
2
2 10
s
z ³
&ÓȩÇđͫ
ʂû!ͬͭ
ǩŕ!ͮͯ
Ĺįͫ
ʂû!ͬͭ
ǩŕ!ͮͯ
ËɰͲ×"&ċ
ÓâȩÇËɰͲ×"‚
7–z2023·qƵđß·"#ʅ‚bŖžBͳPƘƙʹ͵ƺr.ȤBE1¬l
 40 gĻʢͶ&67ƂwSp
20 g4ͰĢȤB¦&\] 20 g4ͰĢ>˱¦&ȤB¦!ĻʢͶͷǵP"͸ǐʹ͵͹ͺ&>˱¦!ĻʢͶͷ
      
      
ǵP<ɚ͹ͺ&b€ģèûāgĻʢͶÒt!ɦń9zƤç
g‚.
(1)Í X ƒ®Ʌĸ!ÎgĻʢͶp4ͰĢ>˱¦!g
&± X !4:;Z
ïĖ¶
(2)ȤBXĶ¬l
>˱¦!ĻʢͶÒt!ɦń9¸ĻĢĜͱÇ
15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1
32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2
ȤB¦!ĻʢͶÒt!ɦń9¸ĻĢĜͱÇ
7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2
19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5
zi‚± 40 gĻͶÒt!ɦń9!pç
 m&Ś4ÆνÂpĻQ m âĻQ!
!c
&Ɉ’¬l
;ŋƒ
m
<
m
³
>˱¦
ȤB¦
zii‚zi‚p!;ŋƒ&ĈċË 95%!ɂȶȩÇĻʢͶP"͸ǐʹ͵͹ͺp<ɚ͹ͺpÒt!ɦń9
ËÅȮ–
Ì





2
2
(
)
,
n ad
bc
K
a
b
c
d
a
c
b
d
-
=
+
+
+
+
0k
0.100
0.050
0.010


2
0
P K
k
³
2.706
3.841
6.635
      
      
8–z2022·qƵįß·"#ʅ‚ÕƂǻðf !͹ͺ̖
&ŬwͻĿȠɖ’›͏
Ŵ̐
Ŀ–dzbƕiÕ
Hȁͼ!Ñǭğ9&67 › 10 ͽGHȁͼ&İ9āͽȁ!ź;ɞğzƤç
2
m ‚Zǭğ9zƤç
3
m ‚&ĐĢ¬l

½Â	Ϳ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ñ
Z
ź;ɞğ
ix
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
ǭğ9
iy
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
¤ƬĐ
10
10
10
2
2
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1
0.038,
1.6158,
0.2474
x
y
x y
=
=
=



–
(1)³sƕiGHȁͼ´µbͽ!ź;ɞğ´µbͽ!ǭğ9¶
(2)±sƕiGHȁͼ!ź;ɞğǭğ9!½ÂWə
zƩƪĢ 0.01‚¶
(3)Lİ9›sƕijËGHȁͼ!ź;ɞğ&¤ĐĢjËGHȁͼ!ź;ɞğÑZÇ
2
186m –Ŭ
Uȁͼ!ǭğ9Sź;ɞğų’<‰–ƹ»0¹
NJKsƕiGHȁͼ!Ñǭğ9!³²–
Ì
Wə
i
i
i=1
2
2
i
i
i=1
i=1
(
, 1.896
1.377
)(
)
(
)
(
)
n
n
n
x
x
y
y
r
x
x
y
y
-
-
=
»
-
-



–
      
      
9–z2022·qƵđß·"#ʅ‚đÏįÎcÖüýÒ҉Š&‰ŠŎÍ{cŖŗ&ācŖŗĥEĐ 10 4&
ĦEĐ 0 4&ʏË´™–{cŖŗ‰ŠXĭû&ÑĐ4"!ÖĬĐ΀΁–ŬUđÖP{cŖŗpĬĥ
!4ÆÇ 0.5&0.4&0.8&ºŖŗ!‰ŠXĶWēĔ?–
(1)±đÖĬĐ΀΁!¶
(2)» X ƒ®įÖ!ÑĐ4&± X !4:;ïĖ–
10–z2022·ɋ"#qƵⅠß·"#ʅ‚b̗ͣ
˩īÇƘƙÕƂ!bHƂE@͢͡
ǼƂɢǾ!΂ao΃
z΂ao΃4ÇȡɇZâĉȡɇÎū‚!ə&PŬ̕
s͢͡
!͢
2p67ƻ+› 100 2zȦÇ͢
2¦‚&
ĘģPĕ̕
s͢͡
!¿΄p67ƻ+› 100 ¿zȦÇ>˱¦‚&ĐĢ¬l

âĉȡɇ
ȡɇ͢
2¦
40
60
>˱¦
10
90
(1)ĈċË 99%!ɂȶȩÇ̕
s͢͡
΄Òĕ̕
s͢͡
΄Ò!΂ao΃ËÅȮǎ
(2)¸sƂ!¿΄pÁb¿&A ƒ®Ş`“Ģ!¿΂ao΃âĉȡɇ”&B ƒ®Ş`“Ģ!¿̕
Ës͢͡
”–
(
|
)
(
|
)
P B A
P B A 
(
|
)
(
|
)
P B A
P B A !‰²'΂ao΃âĉȡɇ>̕
s͢͡
΅ʗFǐ!bŖǐ9Ʌǀ&ÐsɅǀÇ R–
zⅰ‚Ľľ
(
|
)
(
|
)
(
|
)
(
|
)
P A B
P A B
R
P A B
P A B
=
×
¶
zⅱ‚ƹ»sƻ+
&NJK
(
|
), (
|
)
P A B P A B !³²&¤ƹ»zⅰ‚!XĶNJK R !³²–
      
      
Ì
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d
-
=
+
+
+
+
&


2
P K
k
³
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
11–z2022·ɋ"#qƵⅡß·"#ʅ‚PÕƂiüý̲
ý͢
ƻ+&67ƻ+› 100 çÕH̕͢͡
! 
ʚ&ĐĢ¬l!½Â
!¯4:°E­
  
(1)³sƂiGH̕͢͡
!´µ ʚzĘb¦p!
»s¦iè!pO²ÇƑƒ‚¶
(2)³sƂibçGH̕͢͡
! ʚçQiè[20,70)!¶
(3)ŬUsƂiGH͢͡
!̕͢
Ç0.1% &sƂi ʚçQiè[40,50) !¿ǞɴsƂiÑ¿Ǟ!16% .¸s
ƂipÁb¿&·É¿! ʚçQiè[40,50) &±É¿̕
GH͢͡
!–z0½Â
p̕
! ʚ
çQºiè!¯‘Ç̕
! ʚçQsiè!&ƩƪĢ 0.0001‚.
      
      
12–z2021·ɋ"#qƵⅠß·"#ʅ‚ÕÖ¦ɑ“bɽbʒ”UVފ&Ë A&B ÎūŦ&āçøń‰
Š!ĘúPÎūŦpʇbū¤¸p67Ÿ bcŦC)&·C)dͩ
ÓsʉŠXĭ¶·C)
<ƪÓ¸\būŦpŚ67Ÿ bcŦC)&ȋļC)<ƪċ&sʉŠXĭ.A ūŦp!āc
ŦC)<ƪĐ 20 4&ċÓĐ 0 4¶B ūŦp!ācŦC)<ƪĐ 80 4&ċÓĐ 0 4&ŬUĻľĈ<
ƪC) A ūŦ!Ç 0.8&Ĉ<ƪC) B ūŦ!Ç 0.6&ĒĈ<ƪC)Ŧ!C)Êͱȋ
.
z1‚·ĻľúC) A ūŦ&Ð X ÇĻľ!˭Đ4&± X !4:;¶
z2‚Çɩ˭Đ4!ïĖǝ&ĻľrʇúC)njūŦǎ¤ǏľƐ.
      
      
13–z2021·ɋ"#qƵⅡß·"#ʅ‚bHa΄Òď0ǻðƿɤΆǶâȼaȽlm&ÍbcGHa
ǧ 0 Ƒ&ǻðbÊΆǶûǧ 1 Ƒ&ŚǻðbÊΆǶûǧ 2 Ƒ……&saāƑΆǶ!c
'Wē
Ĕ?!ĒËWĘ!4:;&Í X ƒ® 1 cacÒΆǶlbƑ!c
&
(
)
(
0,1,2,3)
i
P X
i
p i
=
=
=
–
z1‚ŬU
0
1
2
3
0.4,
0.3,
0.2,
0.1
p
p
p
p
=
=
=
=
&±
(
)
E X ¶
z2‚Í p ƒ®sHaǻðfƑΆǶûͤ
·Έ!&p 'Q x !EF
2
3
0
1
2
3
p
p x
p x
p x
x
+
+
+
=
!bcǝĻ<Ȥ&±Ľ
Ǽ
(
)
1
E X £ ģ&
1
p = &Ǽ
(
)
1
E X > ģ&
1
p < ¶
z3‚Ě!(Ǐľz2‚ŦXļ!ȤΉȯΊ–