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专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】
【人教版】
【题型1 利用切线长定理求周长】.......................................................................................................................1
【题型2 三角形内切圆中求角度】.......................................................................................................................2
【题型3 三角形内切圆中求面积】.......................................................................................................................4
【题型4 三角形内切圆中求线段长度】............................................................................................................... 5
【题型5 三角形内切圆中求半径】.......................................................................................................................5
【题型6 三角形内切圆中求最值】.......................................................................................................................6
【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】............................................................................................................... 7
【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】
（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
（2）三角形内切圆
【题型1 利用切线长定理求周长】
【例1】（2022 秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其
中的一个切点，
已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形（△AMN），则
剪下的△AMN 的周长为 ．
三角形内切圆
与三角形各边都
相切的圆叫做三
角形的内切圆
内切圆的圆心是
三角形三个内角
的角平分线的交
点，叫做三角形
的内心
三角形的内心到
三角形三边的距
离相等
A
B
C
I
【变式1-1】（2022 秋•莒南县期末）如图，PA、PB 切⊙O 于A、B 两点，CD 切⊙O 于点E，分别交PA、
PB 于点C、D．若PA、PB 的长是关于x 的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0 的两个根，求△PCD 的周长．
【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O 与△ABC 的三边相切于
点D、E、F，若⊙O 的半径为2，则△ABC 的周长为（ ）
A．14
B．20
C．24
D．30
【变式1-3】（2022 秋•崇川区月考）如图，P 是⊙O 外一点，PA、PB 分别和⊙O 相切于点A、B，C 是劣
弧^
AB上任意一点，过C 作⊙O 切线DE，交PA、PB 于点D、E，已知PA 的长为5cm，∠DOE＝65°，点
M、N 分别在PA、PB 的延长线上，MN 与⊙O 相切于点F，已知DN、EM 的长是方程x2﹣10x+k＝0 的两
根．
（1）求∠P 的度数；
（2）求△PDE 的周长；
（3）求四边形DEMN 的周长．
【题型2 三角形内切圆中求角度】
【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，⊙O 是它的内切圆，与AB，BC，CA 分别
切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝ ．
【变式2-1】（2022 秋•昌平区期末）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝
40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝ °，∠DEF＝ °．
【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△ABC 中，内切圆I 与AB，BC，CA 分别切于F，D，E，连
接BI，CI，再连接FD，ED，
（1）若∠A＝40°，求∠BIC 与∠FDE 的度数．
（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β 的关系，并证明你的结论．
【变式2-3】（2022 秋•邗江区期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，点M 是△ABC 内一
点，连接BM 交AD 于点N，已知∠AMB＝108°，若点M 是△CAN 的内心，则∠BAC 的度数为（ ）
A．36°
B．48°
C．60°
D．72°
【题型3 三角形内切圆中求面积】
【例3】（2022 秋•黄冈期中）如图，边长为1 的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，
E 为切点，F 点在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．
【变式3-1】（2022•武汉模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，E 是△ABC 的内心，
OE⊥EB．若AE＝2√2，则△ABE 的面积为（ ）
A．2√2
B．2
C．√2
D．1
【变式3-2】（2022 春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm．如果这条花边带
有100 个圆和100 个正三角形，则这条花边的面积为（ ）
A．150π
B．150√3
C．300√3
D．200
【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD 边长为4cm，以正方形的一边BC 为直径在正方
形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（
）cm2
A．12
B．24
C．8
D．6
【题型4 三角形内切圆中求线段长度】
【例4】（2022 秋•乌兰察布期末）如图，⊙O 分别切△ABC 的三条边AB、BC、CA 于点D、E、F、若AB
＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF 的长．
【变式4-1】（2022 秋•崇川区月考）如图，已知△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D、E、F，∠A＝
60°，CB＝6cm，△ABC 的周长为16cm，则DF 的长等于（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
【变式4-2】（2022 秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙O 是△ABC 的
内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则OD 的长度是 ．
【变式4-3】（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分别是
△ABC 和△ADC 的内切圆，点E、F 为切点，则EF 的长是 cm．
【题型5 三角形内切圆中求半径】
【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形ABCD 中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD 内切圆的半
径是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式5-1】（2022 秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O 是Rt△ABC
的内切圆，则⊙O 的半径为（ ）
A．1
B．√3
C．2
D．2√3
【变式5-2】（2022 秋•虎丘区校级期中）若四边形ABCD 有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积
为S，各边长分别为a，b，c，d，则该圆的直径为（ ）
A．a+b+c +d
S
B．S
a+c
C．c−d
S(a+b)
D．
2S
a+b+c +d
【变式5-3】（2022 秋•南丹县期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与AB，AC，BC 相切于点D，E，
F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O 的半径等于 ．
【题型6 三角形内切圆中求最值】
【例6】（2022 春•长兴县月考）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P 为BC 边上的中点，点Q 是
△ACD 的内切圆圆O 上的一个动点，点M 是CQ 的中点，则PM 的最大值是 ．
【变式6-1】（2022 秋•扬州月考）如图是一块△ABC 余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将
余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
【变式6-2】（2022•温州自主招生）设等边△ABC 的内切圆半径为2，圆心为I．若点P 满足PI＝1，则
△ABC 与△APC 的面积之比的最大值为 ．
【变式6-3】（2022 秋•滨湖区期末）已知点C 是⊙O 上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．
（1）如图1，若CD 平分∠ACB，求证：AC+BC＝CD；
（2）如图2，△ABC 内切圆半径为r．①用含r 的代数式表示AC+BC；②求r 的最大值．
【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】
【例7】（2022 秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4 的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为
R 和r，则R﹣r＝ ．
【变式7-1】（2022•鞍山模拟）如图，⊙O 内切于Rt△ABC，切点分别为D、E、F，∠C＝90°．已知
∠AOC＝120°，则∠OAC＝ °，∠B＝ °．已知AC＝4cm，BC＝3cm，则△ABC 的
外接圆的半径为 cm，内切圆的半径为 cm．
【变式7-2】（2022•游仙区模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I 是△ABC 的内切圆，
其半径为√3，则△BIC 的外接圆直径为 ．
【变式7-3】（2022 秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I 分别切
AC，BC，AB 于点D，E，F，求Rt△ABC 的内心I 与外心O 之间的距离．
