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专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】
【人教版】
【题型1 利用切线长定理求周长】.......................................................................................................................1
【题型2 三角形内切圆中求角度】.......................................................................................................................5
【题型3 三角形内切圆中求面积】.......................................................................................................................9
【题型4 三角形内切圆中求线段长度】............................................................................................................. 13
【题型5 三角形内切圆中求半径】.....................................................................................................................16
【题型6 三角形内切圆中求最值】.....................................................................................................................20
【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】............................................................................................................. 25
【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】
（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
（2）三角形内切圆
【题型1 利用切线长定理求周长】
【例1】（2022 秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其
中的一个切点，
已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形（△AMN），则
剪下的△AMN 的周长为
20
cm
．
三角形内切圆
与三角形各边都
相切的圆叫做三
角形的内切圆
内切圆的圆心是
三角形三个内角
的角平分线的交
点，叫做三角形
的内心
三角形的内心到
三角形三边的距
离相等
A
B
C
I
【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，AD＝
10cm，
∴设E、F 分别是⊙O 的切点，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．
故答案是：20cm．
【变式1-1】（2022 秋•莒南县期末）如图，PA、PB 切⊙O 于A、B 两点，CD 切⊙O 于点E，分别交PA、
PB 于点C、D．若PA、PB 的长是关于x 的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0 的两个根，求△PCD 的周长．
【分析】由PA、PB 切⊙O 于A、B 两点，CD 切⊙O 于点E，根据切线长定理，可得PA＝PB，又由
PA、PB 的长是关于x 的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0 的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA 与
PB 的长，又由CD 切⊙O 于点E，即可得△PCD 的周长等于PA+PB．
【解答】解：∵PA、PB 的长是关于x 的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0 的两个根，
∴PA+PB＝m，PA•PB＝m﹣1，
∵PA、PB 切⊙O 于A、B 两点，
∴PA＝PB= m
2 ，
即m
2 •m
2 =m﹣1，
即m2﹣4m+4＝0，
解得：m＝2，
∴PA＝PB＝1，
∵PA、PB 切⊙O 于A、B 两点，CD 切⊙O 于点E，
∴AD＝ED，BC＝EC，
∴△PCD 的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2．
【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O 与△ABC 的三边相切于
点D、E、F，若⊙O 的半径为2，则△ABC 的周长为（ ）
A．14
B．20
C．24
D．30
【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF 为正方形，则CE＝CF＝2，
BD＝BF＝3，在直角三角形ABC 中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，
∵⊙O 与Rt△ABC 的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF 为正方形，
∵⊙O 的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴在Rt△ABC 中，
∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得x＝10，
∴△ABC 的周长为12+5+13＝30．
故选：D．
【变式1-3】（2022 秋•崇川区月考）如图，P 是⊙O 外一点，PA、PB 分别和⊙O 相切于点A、B，C 是劣
弧^
AB上任意一点，过C 作⊙O 切线DE，交PA、PB 于点D、E，已知PA 的长为5cm，∠DOE＝65°，点
M、N 分别在PA、PB 的延长线上，MN 与⊙O 相切于点F，已知DN、EM 的长是方程x2﹣10x+k＝0 的两
根．
（1）求∠P 的度数；
（2）求△PDE 的周长；
（3）求四边形DEMN 的周长．
【分析】（1）只要证明∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形内角和定理即可解决问题；
（2）利用切线长定理即可解决问题；
（3）因为DN、EM 的长是方程x2﹣10x+k＝0 的两根．可得DN+EM＝10，再利用切线长定理即可解决
问题；
【解答】解：（1）连接OA、OB、OC．
∴PA、PB、DE 是⊙O 的切线，
∴PA⊥OA，OB⊥PB，∠DOA＝∠DOC，∠EOB＝∠EOC，
∵∠DOE＝65°，
∴∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．
（2）∵PA、PB、DE 是⊙O 的切线，
∴DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB＝5，
∴△PDE 的周长＝PD+DE+PE＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝10．
（3）∵DN、EM 的长是方程x2﹣10x+k＝0 的两根．
∴DN+EM＝10，
∴PN，PM，MN 是⊙O 的切线，
∴AN＝NF，MF＝MB，DA＝DC，EC＝EB，
∴四边形EMND 的周长＝EM+MN+DN+DE＝EM+BM+NA+DA+EB+DN＝2（DN+EM）＝20．
【题型2 三角形内切圆中求角度】
【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，⊙O 是它的内切圆，与AB，BC，CA 分别
切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝
130°
．
【分析】利用直角三角形性质求出∠ABC＝50°，再利用切线性质求出∠BDO＝∠BEO＝90°，再利用四
边形内角和为360°，即可求得答案．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∵⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，与AB，BC，CA 分别切于点D，E，F，
∴AB、BC 是⊙O 的切线，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC＝130°，
故答案为：130°．
【变式2-1】（2022 秋•昌平区期末）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝
40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝
110
°，∠DEF＝
70
°．
【分析】连接OD 和OF，根据内切圆的性质可得OB，OC 平分∠ABC，∠ACB，再根据三角形内角和
定理即可求出角BOC 的度数；根据切线的性质可得∠DOF 的度数，进而根据圆周角定理可得∠DEF 的
度数．
【解答】解：如图，连接OD 和OF，
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，
∴OB，OC 平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°−1
2（∠ABC+∠ACB）
＝180°−1
2 ×140°
＝110°，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠DEF= 1
2 ∠DOF＝70°．
故答案为：110，70．
【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△ABC 中，内切圆I 与AB，BC，CA 分别切于F，D，E，连
接BI，CI，再连接FD，ED，
（1）若∠A＝40°，求∠BIC 与∠FDE 的度数．
（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β 的关系，并证明你的结论．
【分析】（1 ）根据圆I 是△ABC 的内切圆求出∠IBC+∠ICB= 1
2（∠ABC+∠ACB ），求出
∠ABC+∠ACB 的度数，求出∠IBC+∠ICB 即可；连接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠FDE；
（2）由（1）得出∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB），∠FDE＝180°﹣2∠A，根据三角形的内角和定理
求出∠BIC＝90°+ 1
2∠A，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）∵圆I 是△ABC 的内切圆，
∴∠IBC= 1
2∠ABC，∠ICB= 1
2∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB= 1
2（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠IBC+∠ICB＝70°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝110°，
如图，连接IF、IE，
∵圆I 是△ABC 的内切圆，
∴∠IFA＝∠IEA＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠FIE＝360°﹣∠IFA﹣∠IEA﹣∠A＝140°，
∴∠EDF= 1
2∠EIF＝70°，
答：∠BIC＝110°，∠FDE＝70°；
（2）解：α＝180°﹣β，
证明：由圆周角定理得：∠FIE＝2∠FDE，
由（1）知：2∠FDE＝180°﹣∠A，
即∠A＝180°﹣2∠FDE，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
由（1）知：2∠FDE＝180°﹣∠A，
∴∠A＝180°﹣2∠FDE＝180°﹣2β，
∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°−1
2（∠ABC+∠ACB）
＝180°−1
2（180°﹣∠A）
＝90°+ 1
2∠A，
∴∠BIC＝α＝90°+ 1
2（180°﹣2β），
即α＝180°﹣β．
【变式2-3】（2022 秋•邗江区期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，点M 是△ABC 内一
点，连接BM 交AD 于点N，已知∠AMB＝108°，若点M 是△CAN 的内心，则∠BAC 的度数为（ ）
A．36°
B．48°
C．60°
D．72°
【分析】过点M 作ME⊥AD 于点E，根据已知条件可得△ABC 是等腰三角形，AD 是BC 边的中垂线，
证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M 是△CAN 的内心，可得点M 在∠NAC 和∠ANC 的角平分
线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝
2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组{
y −x =18°
2 y + x =72°，求解即可得结论．
【解答】解：如图，过点M 作ME⊥AD 于点E，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴△ABC 是等腰三角形，AD 是BC 边的中垂线，
∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠NBD＝∠NCD，
∵ME⊥AD，AD⊥BC，
∴ME∥BC，
∴∠NME＝∠NBD，
∵点M 是△CAN 的内心，
∴点M 在∠NAC 和∠ANC 的角平分线上，
∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，
设∠NAM＝x，∠NBD＝y，
∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，
∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，
∵∠AMB＝108°，
∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，
在△AEM 中，∠EAM+∠AME＝90°，
∴x+108°﹣y＝90°，
∴y﹣x＝18°，
在△ANM 中，∠NAM+∠ANM＝180°﹣108°，
∴x+2y＝72°，
{
y −x =18°
2 y + x =72°，
解得{
x =12°
y =30°，
∴∠BAC＝4x＝48°．
故选：B．
【题型3 三角形内切圆中求面积】
【例3】（2022 秋•黄冈期中）如图，边长为1 的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，
E 为切点，F 点在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．
【分析】设AF＝x，由切线长定理可得EF＝AF＝x，则FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用
勾股定理建立方程求出x 的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．
【解答】解：设AF＝x，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD 是圆的切线，
∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF 中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
解得x= 1
4 ，
∴DF＝1﹣x= 3
4 ，
∴S△CDF= 1
2 ×1× 3
4 = 3
8．
【变式3-1】（2022•武汉模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，E 是△ABC 的内心，
OE⊥EB．若AE＝2√2，则△ABE 的面积为（ ）
A．2√2
B．2
C．√2
D．1
【分析】延长BE 交⊙O 于点F，连接AF，OF，根据AB 是⊙O 的直径，可得∠AFB＝∠C＝90°，证明
△FEA 是等腰直角三角形，可得AF＝EF＝2，根据垂径定理可得EF＝BE＝2，进而可得△ABE 的面积．
【解答】解：如图，延长BE 交⊙O 于点F，连接AF，OF，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AFB＝∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵E 是△ABC 的内心，
∴∠EAB= 1
2 ∠CAB，∠EBA= 1
2 ∠CBA，
∴∠EAB+∠EBA= 1
2（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠FEA＝45°，
∴△FEA 是等腰直角三角形，
∴AE=√2AF=√2EF，
∵AE＝2√2，
∴AF＝EF＝2，
∵OE⊥EB，
∴EF＝BE＝2，
∴△ABE 的面积为：1
2BE•AF= 1
2 ×2×2＝2．
故选：B．
【变式3-2】（2022 春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm．如果这条花边带
有100 个圆和100 个正三角形，则这条花边的面积为（ ）
A．150π
B．150√3
C．300√3
D．200
【分析】画出图形，连接AD，OB，则AD 过O，求出∠OBD＝30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，
同法求出CD，求出BC 的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的面积．
【解答】解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，⊙O 切AB 于F，切
AC 于E，切BC 于D，
连接AD，OB，则AD 过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线
上），
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴∠OBC= 1
2∠ABC＝30°，
∵⊙O 切BC 于D，
∴∠ODB＝90°，
∵OD＝1，
∴OB＝2，
由勾股定理得：BD=√2
2−1
2=√3，
∴BC＝2√3，
∴S△ABC= 1
2BC•AD= 1
2 ×2√3×3＝3√3．
∴这条花边的面积＝100S△ABC＝300√3，
故选：C．
【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD 边长为4cm，以正方形的一边BC 为直径在正方
形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（
）cm2
A．12
B．24
C．8
D．6
【分析】由于AE 与圆O 切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC；设EF＝EC＝xcm．则
DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
然后在三角形BCE 中由勾股定理可以列出关于x 的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE 的
面积．
【解答】解：∵AE 与圆O 切于点F，
显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，
设EF＝EC＝xcm，
则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
在三角形ADE 中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，
∴x＝1cm，
∴CE＝1cm，
∴DE＝4﹣1＝3cm，
∴S△ADE＝AD•DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．
故选：D．
【题型4 三角形内切圆中求线段长度】
【例4】（2022 秋•乌兰察布期末）如图，⊙O 分别切△ABC 的三条边AB、BC、CA 于点D、E、F、若AB
＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF 的长．
【分析】由切线长定理，可知：AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，用未知数设AD 的长，然后表示出BD、
CF 的长，即可表示出BE、CE 的长，根据BE+CE＝7，可求出AD 的长进而求出BE、CF 的长．
【解答】解：假设AD＝x，
∵⊙O 分别切△ABC 的三条边AB、BC、CA 于点D、E、F；
∴根据切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，
∴AF＝x，
∵AB＝5，AC＝6，BC＝7，
∴BE＝BD＝AB﹣AD＝5﹣x，FC＝EC＝AC﹣AF＝6﹣x，
∴BC＝BE+EC＝5﹣x+6﹣x＝7，
解得：x＝2，
∴AD＝2，BE＝BD＝5﹣2＝3，CF＝AC﹣AF＝6﹣2＝4．
【变式4-1】（2022 秋•崇川区月考）如图，已知△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D、E、F，∠A＝
60°，CB＝6cm，△ABC 的周长为16cm，则DF 的长等于（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF，进而得出△ADF
是等边三角形，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D、E、F，CB＝6cm，△ABC 的周长为16cm，
∴BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF，
∵BE+EC＝BD+FC＝6，
∴AD＝AF= 1
2（AB+AC+BC﹣BC﹣BD﹣CF）= 1
2（16﹣6﹣6）＝2，
∵∠A＝60°，
∴△ADF 是等边三角形，
∴DF＝2．
故选：A．
【变式4-2】（2022 秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙O 是△ABC 的
内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则OD 的长度是 √5
2 ．
【分析】如图连接OE、OF、OQ，设⊙O 的半径是r，由勾股定理求出AB＝5，根据△ABC 的内切圆，
得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，推出四边形CFOE 是正方形，得到CE＝CF＝OF＝OE，根据3﹣
r+4﹣r＝5 求出r、AQ、OQ 的长求出AD、DQ 的长
【解答】解：如图连接OE、OF、OQ，设⊙O 的半径是r，
由勾股定理得：AB=√A C
2+ BC
2=5，
∵⊙O 是三角形ABC 的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，AE＝AQ，BF＝BQ，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，
∴四边形CFOE 是正方形，
∴CE＝CF＝OF＝OE，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
r＝1，AQ＝AE＝3﹣1＝2，OQ＝1，
∵D 是AB 的中点，
∴AD= 5
2，
∴DQ＝AD﹣AQ= 1
2，
∴OD2＝OQ2+DQ2，
∴OD=√OQ
2+ DQ
2= √5
2 ，
故答案为：√5
2 ．
【变式4-3】（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分别是
△ABC 和△ADC 的内切圆，点E、F 为切点，则EF 的长是
4
cm．
【分析】根据矩形的性质得到AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作
AB、BC 的垂线分别交AB、BC 于N、P，过O2作BC，CD、AD 的垂线分别交BC，CD、AD 于Q，G、
H，由∠B＝90°，推出四边形O1NBP 是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解
得r＝4，过O1作O1M⊥FO2于M，则O1M＝PQ＝8，QM＝BN＝4，同法可得DG＝4，根据EF＝AC﹣
AE﹣CF 计算即可．
【解答】解：∵矩形ABCD 中，AB＝12，BC＝16，
∴AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．
如图，过O1作AB、BC 的垂线分别交AB、BC 于N、P，
过O2作BC，CD、AD 的垂线分别交BC，CD、AD 于Q，G、H，
∵∠B＝90°，
∴四边形O1NBP 是正方形，
设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，
∴BP＝BN＝4，同法可得DG＝4，
∴AN＝AE＝CG＝CF＝8，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝20﹣16＝4
故答案为：4．
【题型5 三角形内切圆中求半径】
【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形ABCD 中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD 内切圆的半
径是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据矩形性质和勾股定理可得AC＝15，设△ACD 内切圆的圆心为O，△ACD 内切圆的半径为
r，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG 是正方形，然后根据切线长定理即可解决问题．
【解答】解：在矩形ABCD 中，∠B＝90°，AD＝BC＝9，AB＝12，
根据勾股定理，得
AC=√A B
2+ BC
2=√12
2+9
2=15，
设△ACD 内切圆的圆心为O，△ACD 内切圆的半径为r，
如图，连接OE，OF，OG，
得四边形DFOG 是正方形，
∴DF＝DG＝r，
∴AG＝AE＝AD﹣DG＝9﹣r，
CF＝CE＝CD﹣DF＝AB﹣DF＝12﹣r，
∵AE+CE＝AC，
∴9﹣r+12﹣r＝15，
解得r＝3．
∴△ACD 内切圆的半径是3．
故选：C．
【变式5-1】（2022 秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O 是Rt△ABC
的内切圆，则⊙O 的半径为（ ）
A．1
B．√3
C．2
D．2√3
【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC=√A B
2−BC
2=4，
如图，分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵⊙O 是△ABC 内切圆，D、E、F 为切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB 于D、E、F，OD＝OE＝OF，
∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC+S△AOB= 1
2BC•DO+ 1
2AC•OE+ 1
2AB•FO= 1
2（BC+AC+AB）•OD，
∵∠C＝90°，
∴1
2 ×AC•BC= 1
2（BC+AC+AB）•OD，
∴OD= 3×4
3+ 4+5 =1．
故选：A．
【变式5-2】（2022 秋•虎丘区校级期中）若四边形ABCD 有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积
为S，各边长分别为a，b，c，d，则该圆的直径为（ ）
A．a+b+c +d
S
B．S
a+c
C．c−d
S(a+b)
D．
2S
a+b+c +d
【分析】连接OA、OB、OC、OD．由S 四边形ABCD＝S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△AOD，由S 四边形ABCD= 1
2AB•r+ 1
2
BC•r+ 1
2CD•r+ 1
2AD•r= 1
2（a+b+c+d）•r＝S，即可推出r=
2S
a+b+c +d ．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD．
∵S 四边形ABCD＝S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△AOD
又∵S△OAB= 1
2AB•r，S△OBC= 1
2BC•r，S△OCD= 1
2CD•r，S△AOD= 1
2AD•r，
∴S 四边形ABCD= 1
2AB•r+ 1
2BC•r+ 1
2CD•r+ 1
2AD•r= 1
2（a+b+c+d）•r＝S，
∴r=
2S
a+b+c +d ．
故选：D．
【变式5-3】（2022 秋•南丹县期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与AB，AC，BC 相切于点D，E，
F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O 的半径等于
2
．
【分析】连结OD，OE，OF，设⊙O 半径为r，根据勾股定理可得AB＝10，证明四边形OECF 是正方
形，可得CF＝CE＝OF＝r，然后根据切线长定理可得AE＝AE＝AC﹣CE＝6﹣r，BF＝BD＝BC﹣CF＝
8﹣r，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O 半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=√A C
2+ BC
2=10，
∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB，BC，AC 分别相切于点D，F，E，
∴AC⊥OE，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴四边形OECF 是正方形，
∴CF＝CE＝OF＝r，
∴AE＝AE＝AC﹣CE＝6﹣r，BF＝BD＝BC﹣CF＝8﹣r，
∵AD+BD＝AB＝10，
∴6﹣r+8﹣r＝10，
∴r＝2．
∴⊙O 的半径等于2．
故答案为：2．
【题型6 三角形内切圆中求最值】
【例6】（2022 春•长兴县月考）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P 为BC 边上的中点，点Q 是
△ACD 的内切圆圆O 上的一个动点，点M 是CQ 的中点，则PM 的最大值是 √13+1
．
【分析】由矩形性质和勾股定理可得AC＝10，设△ADC 内切圆半径为r，由面积法可得r＝2，连接
BQ，易证PM 为△BCQ 的中位线，得出PM= 1
2BQ，当BQ 经过圆心O 时，BQ 最长，则此时PM 最大，
作OE⊥AD 与点E，OF⊥AB 与点F，则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，由勾
股定理可得BO=2√13，则BQ＝BO+OQ＝2√13+2，从而可得PM 的结果．
【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠D＝90°，CD＝AB＝8，
∴AC=√A D
2+C D
2=√6
2+8
2=10，
设△ADC 的内切圆半径为r，
则有1
2 r( AC + AD+ DC )= 1
2 ×6×8，
即1
2 r(10+6+8)=24，解得：r＝2．
连接BQ，
∵P 为BC 中点，M 为CQ 中点，
∴PM 为△BQC 的中位线，
∴PM= 1
2BQ，
当BQ 经过圆心O 时，BQ 最长，则此时PM 最大，
作OE⊥AD 与点E，OF⊥AB 与点F，
则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，
OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，
∴BO=√B F
2+O F
2=√6
2+ 4
2=2√13，
∴BQ＝BO+OQ＝2√13+2，
∴PM= 1
2BQ=√13+1．
故答案为：√13+1．
【变式6-1】（2022 秋•扬州月考）如图是一块△ABC 余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将
余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是
4 π cm
2 ．
．
【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：1
2r
（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为1
2•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角
形ABC 的面积，可得r，求得圆的面积．
【解答】解：如图1 所示，
S△ABC= 1
2•r•（AB+BC+AC）= 1
2r×42＝21r，
过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D，如图2，
设CD＝x，
由勾股定理得：在Rt△ABD 中，
AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，
在Rt△ACD 中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，
∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，
解得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC= 1
2BC×AD= 1
2 ×7×12＝42，
∴21r＝42，
∴r＝2，
该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2），
故答案为：4πcm2．
【变式6-2】（2022•温州自主招生）设等边△ABC 的内切圆半径为2，圆心为I．若点P 满足PI＝1，则
△ABC 与△APC 的面积之比的最大值为
6
．
【分析】P 满足PI＝1，则P 在以I 为圆心，以1 位半径的圆上，当P 是⊙O 和BE 的交点时，△ACP 的
面积最小，即△ABC 与△APC 的面积之比最大．此时PE＝2﹣1＝1，则△ABC 与△APC 的面积的比值
是BE 与PE 的比值，据此即可求解．
【解答】解：点P 满足PI＝1，则P 在以I 为圆心，以1 位半径的圆上．
作BE⊥AC，则BE 一定过点I，连接AI．
∵在直角△AIE 中，∠IAE= 1
2∠BAC= 1
2 ×60°＝30°，IE＝2，
∴AI＝2IE＝4，
∴BE＝IE+BI＝IE+AI＝2+4＝6．
当P 是⊙I 和BE 的交点时，△ACP 的面积最小，即△ABC 与△APC 的面积之比最大．此时PE＝2﹣1＝
1，
则△ABC 与△APC 的面积的比值是BE
PE = 6
1 =6．
故答案是：6．
【变式6-3】（2022 秋•滨湖区期末）已知点C 是⊙O 上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．
（1）如图1，若CD 平分∠ACB，求证：AC+BC＝CD；
（2）如图2，△ABC 内切圆半径为r．①用含r 的代数式表示AC+BC；②求r 的最大值．
【分析】（1）在CD 上截取CE＝BC，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到△BCE 为等边三角形，根据圆周角
定理得∠ABD＝∠ACD＝60°，则BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，所以∠1＝∠2，
于是可根据“AAS”判断△ACB≌△DEB，得到AC＝DE，由此得到CD＝CE+DE＝BC+AC；
（2）①作弦CD 平分∠ACB，设△ABC 的内心为P 点，作PQ⊥AB 于Q，PH⊥BC 于H，PF⊥AC 于
F，根据内心的性质得PF＝PQ＝PH＝r，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到∠CPF＝∠CPH＝30°，根据含30
度的直角三角形三边的关系得到CF= √3
3 PF= √3
3 r，CH= √3
3 PH= √3
3 r，然后根据切线长定理得到AF＝
AQ＝AC﹣CF＝AC−√3
3 r，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC−√3
3 r，而AB＝AQ+BQ，所以AC−√3
3 r+BC−√3
3 r
＝6，整理得AC+BC＝6+ 2√3
3
r；
②由于AC+BC＝CD 得到CD＝6+ 2√3
3
r，所以当CD 为直径时，r 最大；当CD 为直径，根据垂径定理
的推论得CD⊥AB，AM＝BM= 1
2AB＝3，AC＝BC，可计算出CD= √3
3 AM=√3，AC＝2CD＝2√3，所以
2√3+2√3=6+ 2√3
3
r，可解得r＝6﹣3√3．
【解答】（1）证明：在CD 上截取CE＝BC，如图1，
∵CD 平分∠ACB，∠ACB＝120゜，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴△BCE 为等边三角形，∠ABD＝∠ACD＝60°，
∴BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，
∴∠1＝∠2，
在△ACB 和△DEB 中
{
∠A =∠D
∠1=∠2
BC = BE
，
∴△ACB≌△DEB，
∴AC＝DE，
∴CD＝CE+DE＝BC+AC；
（2）解：①作弦CD 平分∠ACB，设△ABC 的内心为P 点，作PQ⊥AB 于Q，PH⊥BC 于H，PF⊥AC
于F，如图，
则PF＝PQ＝PH＝r，
∵CD 平分∠ACB，∠ACB＝120゜，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴∠CPF＝∠CPH＝30°，
∴CF= √3
3 PF= √3
3 r，CH= √3
3 PH= √3
3 r，
∴AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC−√3
3 r，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC−√3
3 r，
而AB＝AQ+BQ，
∴AC−√3
3 r+BC−√3
3 r＝6，
∴AC+BC＝6+ 2√3
3
r；
②∵AC+BC＝CD，
∴CD＝6+ 2√3
3
r，
∴当CD 为直径时，r 最大，
如图3，当CD 为直径，
∴CD⊥AB，垂足为M，
∴AM＝BM= 1
2AB＝3，AC＝BC，
∵∠ACD＝60°，
∴∠CAM＝30°，
∴CD= √3
3 AM=√3，
∴AC＝2CD＝2√3，
∴2√3+2√3=6+ 2√3
3
r，
∴r＝6﹣3√3，
即r 的最大值为6﹣3√3．
【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】
【例7】（2022 秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4 的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为
R 和r，则R﹣r＝
1.5
．
【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算．
【解答】解：因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，
所以R= 1
2 √3
2+ 4
2=2.5；
如图，
若Rt△ABC 的边AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB=√A C
2+ BC
2=5，
其内切圆⊙O 分别切AB、BC、AC 于D、E、F．
设OE＝OF＝OD＝r，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
即1
2AC•BC= 1
2AB•OD+ 1
2BC•OE+ 1
2AC•OF，
1
2 ×3×4= 1
2 ×5×r+ 1
2 ×4×r+ 1
2 ×3×r，
6= 1
2r（5+4+3），
6＝6r，
∴r＝1，
则R﹣r＝2.5﹣1＝1.5．
故答案为：1.5．
【变式7-1】（2022•鞍山模拟）如图，⊙O 内切于Rt△ABC，切点分别为D、E、F，∠C＝90°．已知
∠AOC＝120°，则∠OAC＝
15
°，∠B＝
60
°．已知AC＝4cm，BC＝3cm，则△ABC 的外接圆的
半径为 5
2 cm，内切圆的半径为
1
cm．
【分析】由三角形内心的性质得到OC 平分∠ACB，求得∠ACO= 1
2 ∠ACB＝45°，根据三角形的内角和
得到结论；根据勾股定理得到AB=√A C
2+ BC
2=√4
2+3
2=5，于是得到结论．
【解答】解：∵⊙O 内切于Rt△ABC，∠C＝90°，
∴OC 平分∠ACB，
∴∠ACO= 1
2 ∠ACB＝45°，
∵∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝180°﹣45°﹣120°＝15°，
∵AO 平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠OAC＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°；
∵AC＝4cm，BC＝3cm，∠C＝90°，
∴AB=√A C
2+ BC
2=√4
2+3
2=5，
∴△ABC 的外接圆的半径为5
2；
设内切圆的半径为r，
∴r= 3+ 4−5
2
=1，
故答案为：15，60，5
2，1．
【变式7-2】（2022•游仙区模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I 是△ABC 的内切圆，
其半径为√3，则△BIC 的外接圆直径为 14√3
3
．
【分析】设△BIC 的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB 于点D，在圆O 上取点F，连接FB，
FC，作OE⊥BC 于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得S△ABC= 1
2lr= 1
2 ×20
×√3= 1
2AB•CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I 是△ABC 内心，可得IB 平分
∠ABC，IC 平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾
股定理即可求出OB 的长．
【解答】解：如图，设△BIC 的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB 于点D，
在圆O 上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC 于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD= 1
2b，
CD= √3
2 b，
∴BD＝AB﹣AD＝c−1
2b，
∵△ABC 周长为l＝20，△ABC 的内切圆半径为r=√3，
∴S△ABC= 1
2lr= 1
2 ×20×√3= 1
2AB•CD，
∴20√3= √3
2 b•c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC 中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c−1
2b）2+（√3
2 b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I 是△ABC 内心，
∴IB 平分∠ABC，IC 平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE= 7
2，∠BOE＝60°，
∴OB= 7
2 ÷ √3
2 = 7√3
3
．
∴外接圆直径为14√3
3
．
故答案为：14√3
3
．
【变式7-3】（2022 秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I 分别切
AC，BC，AB 于点D，E，F，求Rt△ABC 的内心I 与外心O 之间的距离．
【分析】连接ID、IE、IF，如图，由AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，根据圆周角定理的推论和勾股定理得
到AB 为△ABC 的外接圆的直径，AB＝10，则外心O 为AB 的中点，BO= 1
2AB＝5，连接OI，设⊙I 的半
径为r，根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，易得四边形
IDCE 为正方形，则DC＝CE＝r，所以AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，即AF＝8﹣r，BF＝
6﹣r，利用AF+BF＝AB 得8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，所以BF＝4，则OF＝OB﹣BF＝1，
在Rt△IOF 中，根据勾股定理得IO=√5．
【解答】解：连接ID、IE、IF，如图，
∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，
∴AB 为△ABC 的外接圆的直径，AB=√A C
2+ BC
2=10，
∴外心O 为AB 的中点，
∴BO= 1
2AB＝5，
连接OI，如图，
设⊙I 的半径为r，
∵⊙I 分别切AC，BC，AB 于点D，E，F，
∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，
而∠C＝90°，
∴四边形IDCE 为正方形，
∴DC＝CE＝r，
∴AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，
∴AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，
而AF+BF＝AB，
∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，
∴BF＝6﹣r＝4，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣4＝1，
在Rt△IOF 中，IF＝2，OF＝1，
∴IO=√O F
2+ I F
2=√5，
即Rt△ABC 的内心I 与外心O 之间的距离为√5．
