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§1.1 集 合
课标要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相
等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使
用Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集
合A 为集合B 的子集，记作A ⊆ B (或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A
B(或B
A).
(3)相等：若A⊆B，且B ⊆ A ，则A=B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子
集.
3.集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{ x | x ∈
A ，或
x ∈
B }
A ∪
B
交集
{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
A ∩ B
补集
{ x | x ∈
U ，且
x ∉ A }
∁UA
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}.( × )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}.( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x=-1 或x=1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).( √ )
2.(2025·榆林模拟)设集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|(x+1)(x-3)≥0}，则A∩(∁RB)等于( )
A.{-2，-1，0}
B.{-1，-2}
C.{0，1，2}
D.{1，2}
答案 C
解析 因为∁RB={x|(x+1)(x-3)<0}={x|-1<x<3}，
所以A∩(∁RB)={0，1，2}.
3.已知集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x≤1}，则( )
A.A=B
B.A∩B=∅
C.B⊆A
D.A
B
答案 D
解析 因为集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x≤1}，所以A 中元素都属于B，且A≠B，所以A 是B 的真子集.
4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a，a∈R}，若M∩N=M，则实数a 的取值范围是 .
答案 (-∞，-1]
解析 因为M∩N=M，所以M⊆N，所以a≤-1.
1.掌握有限集子集个数的结论
若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有
(2n-2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B 时要树立分类讨论的思想，将集合A 是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
题型一 集合的含义与表示
例1 (1)(多选)下列各组中M，P 表示不同集合的是( )
A.M={3，-1}，P={(3，-1)}
B.M={(3，1)}，P={(1，3)}
C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R}
D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R}
答案 ABD
解析 选项A 中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；
选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C 中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P；
选项D 中，M 是二次函数y=x2-1，x∈R 的所有y 组成的集合，而集合P 是二次函数y=x2-1，x∈R 图象上所
有点组成的集合，故M≠P.
(2)已知集合M={1，a+3，a2+2}，且6∈M，则a 的值为 .
答案 2 或3
解析 由M={1，a+3，a2+2}，且6∈M，
得a+3=6 或a2+2=6，
解得a=3 或a=±2，
当a=3 时，M={1，6，11}，符合题意；
当a=2 时，M={1，5，6}，符合题意；
当a=-2 时，M={1，1，6}，不符合元素的互异性，舍去.
所以a 的值为2 或3.
思维升华 解决集合含义问题的关键点
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异
性相矛盾.
跟踪训练1 (1)(2025·遵义模拟)已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，若集合C={xy|x∈A，
y∈B}，则C 的元素之和为( )
A.9
B.12
C.16
D.18
答案 C
解析 因为0×1=0×2=0×3=0，1×1=1，1×2=2×1=2，1×3=3，2×2=4，2×3=6，
所以集合C={0，1，2，3，4，6}，集合C 的元素之和为0+1+2+3+4+6=16.
(2)已知m∈R，n∈R，若集合{m，n
m ，1}={m2，m+n，0}，则m2 025+n2 025的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案 B
解析 因为{m，n
m ，1}={m2，m+n，0}，m≠0，
所以{
n
m =0，
m=m+n，
m
2=1，
解得{
n=0，
m=1 或{
n=0，
m=-1，
当m=1 时，不满足集合元素的互异性，
故m=-1，n=0，m2 025+n2 025=(-1)2 025+02 025=-1.
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)(2025·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B 满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(
)
A.A=B
B.B⊆A
C.A∩(∁UB)=∅
D.(∁UA)∩B=∅
答案 C
解析 因为集合A，B 满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B，
对A，当A 为B 的真子集时，不成立；
对B，当A 为B 的真子集时，也不成立；
对C，A∩(∁UB)=∅，恒成立；
对D，当A 为B 的真子集时，不成立.
(2)(2025·扬州模拟)已知集合A={x|x
2-3 x ≤10}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}.若A∪B=A，则实数m 的取
值范围为( )
A.[3，+∞)
B.[2，3]
C.(-∞，3]
D.[2，+∞)
答案 C
解析 由题意，集合A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}，
∵A∪B=A，
∴B⊆A.
①若B=∅，则m+1>2m-1，即m<2；
②若B≠∅，则{
m+1≤2m-1，
-2≤m+1，
2m-1≤5，
解得2≤m≤3.
综上所述，m≤3.
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满
足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2 (1)(多选)已知I 为全集，若A∪B=A，则( )
A.A⊆B
B.B⊆A
C.∁IA⊆∁IB
D.∁IB⊆∁IA
答案 BC
解析 因为A∪B=A，所以B⊆A，所以∁IA⊆∁IB.
(2)(2025·洛阳模拟)已知全集为R，集合A={x|2<x<6}，B={x|a-4≤x≤a+4}，且A⊆∁RB，则实数a 的
取值范围是 .
答案 {a|a≤-2 或a≥10}
解析 由题可知B≠∅，
∁RB={x|x<a-4 或x>a+4}，
因为A⊆∁RB，所以6≤a-4 或2≥a+4，
解得a≥10 或a≤-2，
所以实数a 的取值范围是{a|a≤-2 或a≥10}.
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B 等于( )
A.{-1，0}
B.{2，3}
C.{-3，-1，0}
D.{-1，0，2}
答案 A
解析 因为A={x|-3√5<x<3√5}，
B={-3，-1，0，2，3}，
且1<3√5<2，-2<-3√5<-1，
所以A∩B={-1，0}.
(2)(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等
于( )
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k-1，k∈Z}
C.{x|x=3k-2，k∈Z}
D.∅
答案 A
解析 方法一 M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3 的倍数，
即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.
方法二 集合M∪N 表示被3 除余1 或2 的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3 整除的整数集.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (2024·佛山模拟)已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，若(∁R A)∪B=R，则m 的取值范围是(
)
A.(-∞，3)
B.(3，+∞)
C.(-∞，7)
D.(7，+∞)
答案 A
解析 方法一 由集合A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，可得∁RA={x|x<3 或x≥7}，
因为(∁R A)∪B=R，则满足m<3.
方法二 因为A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，
(∁RA)∪B=R，
所以A⊆B，所以m<3.
思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的
元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
跟踪训练3 (1)(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1<x≤3}，则下列判断正确的是( )
A.A∪B=B
B.(∁RB)∪A=R
C.A∩B={x|1<x≤2}
D.(∁RB)∪(∁RA)={x|x≤1 或x>2}
答案 CD
解析 由x2-3x+2≤0，即(x-2)(x-1)≤0，
解得1≤x≤2，
所以A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，
由B={x|1<x≤3}，
所以A∪B={x|1≤x≤3}，故A 错误；
A∩B={x|1<x≤2}，故C 正确；
又∁RB=(-∞，1]∪(3，+∞)，所以(∁RB)∪A=(-∞，2]∪(3，+∞)，故B 错误；
∁RA=(-∞，1)∪(2，+∞)，所以(∁RB)∪(∁RA)=(-∞，1]∪(2，+∞)，故D 正确.
(2)设集合A={x|x<2 或x≥4}，B={x|a≤x≤a+1}，若(∁RA)∩B=∅，则a 的取值范围是( )
A.a≤1 或a>4
B.a<1 或a≥4
C.a<1
D.a>4
答案 B
解析 由集合A={x|x<2 或x≥4}，得∁RA={x|2≤x<4}，又集合B={x|a≤x≤a+1}且(∁RA)∩B=∅，则a+1<2 或
a≥4，即a<1 或a≥4.
课时精练
(分值：74 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·南宁模拟)若集合A={x||x|≤2}，B={x|x2<4x}，则A∪B 等于( )
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|-2≤x≤4}
C.{x|-2≤x<4}
D.{x|0<x≤2}
答案 C
解析 A={x|-2≤x≤2}，x2<4x⇔x(x-4)<0⇔0<x<4，所以B={x|0<x<4}，
所以A∪B={x|-2≤x<4}.
2.(2024·怀化模拟)已知集合M={-1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，P=M∩N，则P 的真子集共有( )
A.3 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个
答案 C
解析 因为M={-1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，所以P=M∩N={1，2，4}，所以P 的真子集共有23-
1=7(个).
3.(2025·河北联考)已知集合A={1，2，3}，则集合B={(x，y)|x∈A，y∈A，|x-y|∈A}中所含元素的个数为(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 C
解析 因为A={1，2，3}，所以B={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}，B 中含6 个元素.
4.我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A)表示有限集合A 中元素的个数.例如，A={a，b，
c}，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C 三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)
+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).某校初一四班有46 人在寒假参加体育训练，
其中足球队25 人，排球队22 人，游泳队24 人，足球排球都参加的有12 人，足球游泳都参加的有9 人，
排球游泳都参加的有8 人，则三项都参加的人数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 C
解析 设集合A={x|x 是参加足球队的学生}，
集合B={x|x 是参加排球队的学生}，
集合C={x|x 是参加游泳队的学生}，
则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24，
card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9，
设三项都参加的有m 人，即card(A∩B∩C)=m，又card(A∪B∪C)=46，
所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)，
得46=25+22+24-12-8-9+m，解得m=4，
所以三项都参加的有4 人.
5.(2025·宜宾模拟)已知集合A={2a-1，a2，0}，B={1-a，a-5，9}，若A∩B={9}，则实数a 的值为( )
A.5 或-3 或3
B.5
C.3
D.-3
答案 D
解析 因为A={2a-1，a2，0}，B={1-a，a-5，9}且A∩B={9}，
所以9∈A.若2a-1=9，则a=5，
此时A={9，25，0}，B={-4，0，9}，不满足A∩B={9}，故舍去；
若a2=9，解得a=3 或a=-3，
当a=3 时，1-a=a-5，集合B 不满足集合元素的互异性，故舍去；
当a=-3 时，A={-7，9，0}，B={4，-8，9}，满足A∩B={9}，符合题意.
综上可得a=-3.
6.(2025·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a 等于( )
A.1
B.0
C.2
D.0 或1
答案 D
解析 当a=0 时，由ax2-2x+1=0 可得x=1
2，满足题意；
当a≠0 时，由ax2-2x+1=0 只有一个根需满足Δ=(-2)2-4a=0，解得a=1.
综上，实数a 的值为0 或1.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
7.已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m 的值可以为( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
答案 BCD
解析 当N=∅时，满足N⊆M，此时m=0；
当N≠∅时，m≠0，
解mx=1 可得，x= 1
m.
因为N⊆M，所以1
m=-1 或1
m=1.
当1
m=-1 时，m=-1；
当1
m=1 时，m=1.
综上所述，m=0 或m=-1 或m=1.
8.(2025·武汉模拟)图中阴影部分表示的集合是( )
A.M∩(∁UN)
B.N∩(∁UM)
C.M∩∁U(M∩N)
D.(∁UM)∩(∁UN)
答案 AC
解析 将全集U 分成如图所示的4 个区域，M=③+④，N=②+③，U=①+②+③+④，
对于A，∁UN=①+④，则M∩(∁UN)=④，故A 正确；
对于B，∁UM=①+②，则N∩(∁UM)=②，故B 错误；
对于C，M∩N=③，∁U(M∩N)=①+②+④，故M∩∁U(M∩N)=④，故C 正确；
对于D，(∁UM)∩(∁UN)=①，故D 错误.
9.对于集合A，B，定义A-B={x|x∈A，且x∉B}，下列命题正确的有( )
A.若A-B=A，则A∩B=∅
B.若A∪B=A，则A-B=∁AB
C.若A={x∈N*|-1≤x<5}，B={x|x≤2，或x>3}，则A-B={3}
D.若A={x|x≥0}，B={x|-3≤x≤3}，则B-A={x|-3≤x≤0}
答案 ABC
解析 因为A-B={x|x∈A，且x∉B}，所以若A-B=A，则A∩B=∅，故A 正确；
若A∪B=A，则B⊆A，则A-B=∁AB，故B 正确；
若A={x∈N*|-1≤x<5}={1，2，3，4}，B={x|x≤2，或x>3}，则A-B={3}，故C 正确；
若A={x|x≥0}，B={x|-3≤x≤3}，则B-A={x|-3≤x<0}，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
10.(2024·厦门模拟)设集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|y=2x+1}，则M∪(∁RN)= .
答案 (-∞，2]
解析 由题知N={y|y>1}，
所以∁RN={y|y≤1}，
故M∪(∁RN)=(-∞，2].
11.(2024·襄阳市第四中学模拟)已知集合A={x∈Z|
3
x -1 ∈Z}，则用列举法表示A= .
答案 {-2，0，2，4}
解析 由题意可得x-1 可为±1，±3，
即x 可为0，2，-2，4，即A={-2，0，2，4}.
12.(2024·南京模拟)已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3}，B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A，则实数a 的取值范围为
____________.
答案 {a|a≥5 或- 4<a≤- 5
2}
解析 因为A 为非空集合，则a-1<2a+3，
解得a>-4，∁RB={x|x<-2 或x>4}，
若A∩(∁RB)=A，则A⊆(∁RB)，
则2a+3≤-2 或a-1≥4，
解得a≤-5
2或a≥5，又a>-4，
综上所述，实数a 的取值范围为{a|a≥5 或- 4<a≤- 5
2}.
13 题6 分，14 题5 分，共11 分
13.(多选)设S 是实数集R 的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a 与b 可以相等，也可以不相等)，都
有a+b∈S 且a-b∈S，则称S 是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是( )
A.存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集
B.集合{x|x=3k，k∈Z}是“和谐集”
C.若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅
D.对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2=R
答案 ABC
解析 A 项中，根据题意S={0}是“和谐集”，又是有限集，故A 正确；B 项中，设x1=3k1，x2=3k2，k1，
k2∈Z，则x1+x2=3(k1+k2)∈S，x1-x2=3(k1-k2)∈S，所以集合{x|x=3k，k∈Z}是“和谐集”，故B 正确；C 项中，
根据已知条件，a，b 可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以S1∩S2≠∅，故C 正确；D 项中，取
S1={x|x=2k，k∈Z}，S2={x|x=3k，k∈Z}，S1，S2都是“和谐集”，但5 不属于S1，也不属于S2，所以S1∪S2
不是实数集，故D 错误.
14.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U 的子集可表示由0，1 组成的6 位字符串，如{1，3}表示的是从左
往右第1 个字符为1，第3 个字符为1，其余均为0 的6 位字符串101000，并规定空集表示的字符串为
000000.
(1)若N={2，3，6}，则∁UN 表示的6 位字符串为 ；
(2)若B={5，6}，集合A∪B 表示的字符串为011011，则满足条件的集合A 的个数为 .
答案 (1)100110 (2)4
解析 (1)因为U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}，
所以∁UN={1，4，5}，所以∁UN 表示的6 位字符串为100110.
(2)因为集合A∪B 表示的字符串为011011，
所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}，
所以集合A 可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，
即满足条件的集合A 的个数为4.
