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§1.1 集 合
分值：94 分
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·大同模拟)设集合A={x|-1<x≤4}，B={x|x2>4}，则A∩(∁RB)等于( )
A.{x|-1≤x<2}
B.{x|-1<x≤2}
C.{x|-2≤x≤2}
D.{x|-2<x<2}
2.设集合A={-1，0，1}，B={y|y=x2，x∈A}，则下列选项中正确的是( )
A.A B
B.A B
C.A=B
D.B=∅
3.(2024·怀化模拟)已知集合M={-1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，P=M∩N，则P 的真子集共有( )
A.3 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个
4.(2024·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a 等于( )
A.1
B.0
C.2
D.0 或1
5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知集合A={x∈N*|x2-5x-14<0}，B={x|log2(x-2)<2}.则图中阴影部分表示的集合
为( )
A.{3，4，5}
B.{1，2}
C.{3，4，5，6}
D.{1，2，6}
6.(2025·攀枝花模拟)已知集合A={1，a2}，B={1，4，a}，若A⊆B，则实数a 组成的集合为( )
A.{-2，-1，0，2}
B.{-2，2}
C.{-1，0，2}
D.{-2，0，2}
7.某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，
若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个
体育项目的教师人数为( )
A.15
B.20
C.25
D.35
8.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A 同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A 中元素
的个数，min(A)表示集合A 中最小的元素)，称集合A 为I 的一个“好子集”，则I 的所有“好子集”的个
数为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.已知A，B 是全集U 的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是( )
A.A∩B=∅
B.A⊆(A∪B)
C.(∁UA)∪A=U
D.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)
10.若集合M={x|x≥0}，N={x|(x-1)(x-2)<0}，则( )
A.M⊆N
B.M∪N=M
C.(∁RM)∩N=∅
D.M∪(∁RN)=R
11.有限集合S 中元素的个数记作card(S)，设A，B 都为有限集合，下列选项正确的是( )
A.A∩B=∅⇔card(A∪B)=card(A)+card(B)
B.A⊆B⇒card(A)≤card(B)
C.A⊆B⇐card(A)≤card(B)
D.A=B⇔card(A)=card(B)
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知集合A={m|1<m<4}，B={y|y=x3，x∈R}，则A∩B= .
13.(2025·南京模拟)已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3}，B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A，则实数a 的取值范围为
.
14.已知集合M={1，2，3，4，…，10}，A 是集合M 的非空真子集，把集合A 中的各元素之和记为S(A)，
则满足S(A)=8 的集合A 的个数为 ；S(A)的所有不同取值的个数为 .
15，17，18 题每小题5 分，16 题6 分，共21 分
15.设集合A 的最大元素为M，最小元素为m，记A 的特征值为XA=M-m，若集合中只有一个元素，规定其
特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且X A1+X A2+X A3+…+
X An=120，则n 的最大值为( )
A.14
B.15
C.16
D.18
16.(多选)设集合Ak={x|x=2nk+1，n∈Z}(k=1，2，3)，则下列结论正确的是( )
A.2 025∈A1∩A2
B.若a∈A2，且ab∈A3，则b∉A1
C.若a∈A2，b∈A3，则ab∈A1
D.若a∈A2，b∈A3，则3a+2b∈A2
17.戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空子集A 与B，且满足A∪B=Q，A∩B=∅，A 中的每一个
元素都小于B 中的每一个元素.请给出一组满足A 中无最大元素且B 中无最小元素的戴德金分割 .
18.设Sn={a|a=(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i=1，2，…，n(n∈N*，n≥2)}，定义a 的差分运算为D(a)=(|
a2-a1|，|a3-a2|，…，|an-an-1|)∈Sn-1.用Dm(a)表示对a 进行m(m∈N*，m≤n)次差分运算，显然，Dm(a)是一个(n-
m)维数组.称满足Dm(a)=(0，0，…，0)的最小正整数m 的值为a 的深度.若这样的正整数m 不存在，则称a
的深度为n.
(1)已知a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，则a 的深度为 .
(2)Sn中深度为d(d∈N*，d≤n)的数组个数为 .
答案精析
1.B 2.B
3.C [因为M={-1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，所以P=M∩N={1，2，4}，所以P 的真子集共有23-
1=7(个).]
4.D [当a=0 时，由ax2-2x+1=0 可得x=1
2，满足题意；
当a≠0 时，由ax2-2x+1=0 只有一个根需满足Δ=(-2)2-4a=0，
解得a=1.
综上，实数a 的值为0 或1.]
5.D [由题意知A={x∈N*|x2-5x-14<0}={x∈N*|-2<x<7}
={1，2，3，4，5，6}，
因为函数y=log2x 是增函数，
所以B={x|log2(x-2)<2}
={x|0<x-2<22}={x|2<x<6}，
所以A∩B={3，4，5}，
所以图中阴影部分表示的集合为{1，2，6}.]
6.D [由A⊆B，则有{
a
2= 4，
a≠1，
a≠4
或{
a
2=a，
a≠1，
a≠4，
解得a=2 或a=-2 或a=0，实数a 组成的集合为{-2，0，2}.]
7.B [设A={x|x 是会打乒乓球的教师}，B={x|x 是会打羽毛球的教师}，C={x|x 是会打篮球的教师}，
由题意得card(A)=30，card(B)=60，card(C)=20，card(A∪B∪C)=80，card(A∩B∩C)=5，
所以card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)，
所以card(A∩B)+card(B∩C)+card(A∩C)=30+60+20+5-80=35，
而card(A∩B)+card(B∩C)+card(A∩C)中，
含有3 次card(A∩B∩C)，
所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20.]
8.B [当card(A)=1，即集合A 中元素的个数为1 时，A 的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当card(A)=2，即集合A 中元素的个数为2 时，A 的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；
当card(A)=3，即集合A 中元素的个数为3 时，A 的可能情况为{3，5，7}，
综上所述，I 的所有“好子集”的个数为8.]
9.BCD [如图所示，A∩B≠∅，A 选项错误；A⊆(A∪B)，(∁UA)∪A=U，(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)，BCD 选
项正确.]
10.BCD [解一元二次不等式(x-1)(x-2)<0，
得1<x<2，所以N=(1，2)，
∁RN=(-∞，1]∪[2，+∞)，
由于M={x|x≥0}，结合补集的定义∁RM=(-∞，0)，
显然N⊆M，选项A 不正确；
同时可得M∪N=M，选项B 正确；
由于∁RM=(-∞，0)，且N=(1，2)，
可得(∁RM)∩N=∅，选项C 正确；
由于M={x|x≥0}，
且∁RN=(-∞，1]∪[2，+∞)，
可得M∪(∁RN)=R，选项D 正确.]
11.AB [对于A，A∩B=∅，说明集合A，B 没有相同元素，因此card(A∪B)=card(A)+card(B)，反之也成立，
故A 正确；
对于B，A⊆B，说明集合A 的元素都属于集合B，故card(A)≤card(B)，故B 正确；
对于C，card(A)≤card(B)，只能说明集合A 的元素个数不多于集合B 中元素个数，
不能说明集合A 的元素都属于集合B，故C 错误；
对于D，A=B，说明两集合元素相同，可得到card(A)=card(B)，
反之，两集合元素个数相同，但不能说明两集合元素相同，
故由card(A)=card(B)不能得到A=B，故D 错误.]
12.{m|1<m<4}
解析 因为B={y|y=x3，x∈R}=R，
因此，A∩B={m|1<m<4}.
13.{a|a≥5 或- 4<a≤- 5
2}
解析 因为A 为非空集合，则a-1<2a+3，解得a>-4，∁RB={x|x<-2 或x>4}，
若A∩(∁RB)=A，则A⊆(∁RB)，
则2a+3≤-2 或a-1≥4，
解得a≤-5
2或a≥5，又a>-4，
综上所述，实数a 的取值范围为{a|a≥5 或- 4<a≤- 5
2}.
14.6 54
解析 由题意，满足S(A)=8 的集合A 有{1，2，5}，{1，3，4}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，{8}，共6 个.
对于S(A)来说，由于它是集合A 中的各元素之和，同时A 又是集合M 的非空真子集，
因为1+2+3+…+10=55，
由题意，易知S(A)将取尽1 到54 的所有整数，
所以S(A)的所有不同取值的个数为54.
15.C [由题意，要想n 的值最大，则特征值要尽可能的小，可令X A1=0，X A2=1，X A3=2，…，X An=n-1，
则0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)
2
=120，解得n=16 或n=-15(舍去).]
16. ACD
[A 选项，A1={x|x=2n+1，n∈Z}，
A2={x|x=4n+1，n∈Z}，
由题意可得A1∩A2={x|x=4n+1，n∈Z}.
因为2 025=4×506+1，所以2 025∈A1∩A2，则A 正确；
B 选项，A3={x|x=6n+1，n∈Z}，
当a=5∈A2，b=11∈A1时，ab=55=6×9+1∈A3，则B 错误；
C，D 选项，由a∈A2，b∈A3，
可设a=4n1+1，b=6n2+1(n1，n2∈Z)，
则ab=24n1n2+4n1+6n2+1
=2(12n1n2+2n1+3n2)+1，
3a+2b=12n1+3+12n2+2=4(3n1+3n2+1)+1.
因为n1，n2∈Z，
所以12n1n2+2n1+3n2∈Z，3n1+3n2+1∈Z，
所以ab∈A1，3a+2b∈A2，则C，D 正确.]
17.A={x∈Q|x<π}，B={x∈Q|x≥π}(答案不唯一)
解析 以无理数分界写出一组即可，如A={x∈Q|x<π}，B={x∈Q|x≥π}(答案不唯一).
18. (1)4 (2)2d-1
解析 (1)因为a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，
则D(a)=(1，0，0，1，1，0，0)，
D2(a)=(1，0，1，0，1，0)，
D3(a)=(1，1，1，1，1)，
D4(a)=(0，0，0，0)，所以a 的深度为4.
(2)易知Sm中仅有一组(0，0，0，…，0)，
Sm+1中深度d=1 的数组仅1 组(1，1，1，…，1)，
Sm+2中深度d=2 的数组仅2 组，
Sm+3中深度d=3 的数组仅4 组，
…，
Sm+k中深度d=k 的数组仅2k-1组，
…，
所以Sn中深度为d 的数组仅有2d-1组.
