文档文本内容
第 01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................2
题型01 空间几何体的结构特征与直观图...........................................................................2
题型02 几何体的表面积与侧面积计算...............................................................................9
题型03 几何体的体积计算.................................................................................................16
题型04 球与多面体的切接问题 .................................................................................27
题型05 体积的最值与范围问题 ................................................................................39
题型06 截面、展开与实际应用问题 ...........................................................................49
重难·创新演练.....................................................................................................................................58
真题·实战演练.....................................................................................................................................70
模拟·基础演练考查重点：截面与球
题型 01 空间几何体的结构特征与直观图
一、单选题
1．（2026·安徽·模拟预测）用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱连续划线，要求笔尖不离开纸面（或
模型表面）、不重复经过任何一条棱，最终停止在起点或任意其他顶点的过程称为“1笔”．则遍历一个
正五棱柱的所有棱，至少需要（ ）
A．3笔 B．4笔 C．5笔 D．6笔
2．（2026·北京西城·二模）已知正方体W和平面 ，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面 的距离
相等”是“平面 将正方体W分成体积相等的两部分”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在正三棱台 中, 分别为棱 的中点， ，
四边形 为菱形，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集合
，则四棱锥的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥【新角度】6．（2026·四川广安·二模）下列几何体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容
器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为0.99m的球体
B．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
C．底面直径为0.8m，高为1.1m的圆锥体
D．所有棱长均为1.4m的四面体
【新思维】7．（2025·四川成都·三模）把一边不光滑的一条纸（A，B）卷成小筒，得到的是（1～4）中
的小筒，其中配对正确的是（ ）
A．A—4 B．A—2
C．B—3 D．B—1
三、填空题
8．（2026·上海·三模）若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留 ）
9．（2016·河南南阳·三模）如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
则原图形 的面积为________.
10．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形 的直观图为如图所示的
，已知 是边长为2的等边三角形，则顶点 到 轴的距离是__________.题型 02 几何体的表面积与侧面积计算
一、单选题
1．（2026·江西·模拟预测）陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），
其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 滚动，当圆锥在平面内转回到原
位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·海南海口·模拟预测）如图，圆柱体被一个不平行底面的平面截去一部分，尺寸如图则该几何体
的体积和侧面积分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2026·天津武清·模拟预测）已知圆锥 的高是底面半径的2倍，且圆锥 的底面半径、体积分别与
圆柱 的底面半径、体积相等，则圆锥 与圆柱 的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．4．（2026·江西·二模）已知一圆台的侧面积为 ，其内切球半径为4，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球 的球面
上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2026·河南开封·模拟预测）如图，已知圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确
的是（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形
C．圆锥的表面积为
D．圆锥的外接球的表面积为
7．（2026·江西赣州·二模）四面体 满足 ， ， ， ，则
（ ）
A．直线 与 的夹角为 B．四面体 外接球的表面积为
C． 的中点到直线 的距离为 D．四面体 内切球的半径为
三、填空题
8．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，则此圆锥的体积为___．
9．（2026·北京顺义·三模）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，
，平面 与平面 的夹角为 ，则该四棱锥的侧面积为______．
10．（2026·安徽·三模）在四棱锥 中，底面正方形 边长为 ， ，
，则四棱锥 的外接球的表面积为__________．
题型 03 几何体的体积计算
一、单选题
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为 和 ，侧棱长为 ，该正
四棱台的体积为（ ）
A．518 B． C．350 D．
2．（2026·山东·模拟预测）已知圆台上、下底面半径分别为1和3，其母线与底面所成角的正弦值为 ，
则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·江苏南通·模拟预测）在平面四边形 中， ， ， ，将
该四边形绕 所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·山西忻州·模拟预测）一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的
实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（ ）A． B． C． D．
5．（2026·山东日照·模拟预测）自驾旅游已成为很多家庭节假日休闲娱乐的首选.小明一家人自驾旅行途中，
看到一座特色建筑，小明根据实景绘制出该建筑的几何示意图，并且根据介绍标记了其中一些数据，如图
所示（单位：m），建筑上半部分的侧棱长都相等，下半部分是正棱台，则该建筑上半部分与下半部分体
积的比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
【新思维】6．（2026·安徽合肥·模拟预测）三棱锥 中， ， 且
， ， 与平面 所成角为 ，下列说法中正确的有（ ）
A．当 时
B．当 时三棱锥 的外接球半径为
C．三棱锥 的外接球半径为2时D．三棱锥 的外接球半径最小时，三棱锥 的体积为
7．（2026·江苏南京·模拟预测）已知正方体 ， ， 分别是面 ，面 的中
心.则下列结论正确的是（ ）.
A．
B． 平面
C． 与 是异面直线
D．平面 将正方体分成前后两部分的体积比为2：1
三、填空题
8．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在正四棱台 中， ，该正四棱台的侧面
积为 ，则该正四棱台的体积为____________．
9．（2026·河北邢台·三模）如图所示，已知直四棱柱 的底面为平行四边形，点 分别
为 , 的中点， 直线 与 交于点 ，则几何体 的体积与直四棱柱
的体积的比值为________.四、解答题
10．（2026·江苏无锡·三模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 为 的中点.
(1)证明： ；
(2)若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求
三棱锥 的体积.
题型 04 球与多面体的切接问题
一、单选题
1．（2026·安徽·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、
正四面体的三个面均相切.若 ，则该模型中一个小球的表面积为（ ）A． B． C． D．
2．（2026·吉林长春·二模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球 与圆台的两个底面和侧面
都相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，一个沙漏模型正好放进一个棱长为2的正方体中，使得沙漏底面与
正方体底面位于同一平面内，且其底面所在的圆是正方体底面的内切圆，则该沙漏的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱 内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若
，则圆柱 的表面积为（ ）A． B． C． D．
5．已知圆锥的轴截面为 为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为 ，若 ，则该
圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
【新思维】6．（2026·江西宜春·模拟预测）将 个半径为1的小球放入棱长为 的正方体形的容器内（容
器壁厚忽略不计），则（ ）
A．当 时，球心一定为正方体的中心
B．当 时，正方体的一个顶点到球心距离的最大值为
C．当 时， 的最小值为
D．当 时，4个球两两相切地粘在一起的组合体可在正方体内任意滚动，则 的最小值为
【新情境】7．勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的
《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非
常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一
样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围
成的几何体.如图所示，设正四面体 的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
B．勒洛四面体被平面 截得的截面面积是
C．勒洛四面体表面上交线 的长度为
D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2
三、填空题
8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为 的正四面体盒子中，则 的
最小值为__________．
9．（2026·四川成都·三模）已知圆台的底面半径分别为1和2，高为 ，底面圆周均在球 的球面上，则
球 的表面积为__________.
10．（2026·河北·二模）在母线与底面所成角为 的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，
且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为 的小球，使得它与三
个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则 _____．
【新情境】11．（2026·浙江·二模）如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为 ，碗内放了三颗汤
圆（视为半径均为 的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则
______．题型 05 体积的最值与范围问题
一、单选题
1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知球 的半径为 ，圆锥内接于球 ，则圆锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖南长沙·三模）已知一个实心圆锥几何体的体积为V₁，从中挖去一个体积为V₂的半球，且球
心在圆锥底面上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·北京·模拟预测）四面体 中， ， ， ．若该四面体某面的三角
形周长为18，则四面体 的体积最大值为（ ）
A．36 B． C． D．
【新思维】4．（2026·重庆北碚·模拟预测）在棱长为2的正四面体 中，动点 分别在棱
上，且二面角 的大小恒为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题5．（2026·山西大同·三模）在三棱锥 中， ， ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．三棱锥 的体积的最大值为
C．若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
D．若 ，则点 在平面 的投影是 的外心
三、填空题
6．（2026·海南海口·模拟预测）已知四棱锥 的底面 是平行四边形，过点 和 的中点
作平面 ，且平面 与侧棱 ， （不含端点）分别交于点 ， ，若四棱锥 的体积为
24，则四棱锥 体积的最小值为________．
7．（2026·江苏南通·模拟预测）半径为1的球可以整体放入一圆锥容器内（容器壁的厚度忽略不计），则
该容器体积的最小值为_____．
8．（2026·河北张家口·三模）将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，
再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________．
9．（2026·江西南昌·三模）如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的等边三角形 的中
心为 为圆 上的点， 分别是以 为底边的等腰三角形､沿虚线剪开后，
分别以 为折痕折起 ，使得 重合，得到三棱锥.当 的边长变化时，
所得三棱锥体积（单位： ）的最大值为_________.
10．（2026·青海西宁·二模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 的一条直径，若球的半径 则球与圆柱的体积之比为
_______；四面体 的体积的取值范围为_______.
题型 06 截面、展开与实际应用问题
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·一模）一个圆锥的高是 ，侧面积是 ，则该圆锥轴截面的周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知圆台 的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·山东泰安·三模）已知圆锥的底面半径为 ，其内切球的体积为 ，则圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．4
4．（24-25高一下·重庆酉阳·阶段检测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，
“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷
幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆
弧 ， 所在圆的半径分别是3和6，且 ，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）A．高为 B．体积为
C．表面积为14π D．轴截面面积为
5．（2025·陕西西安·二模）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的
体积为（ ）
A． B．2π C． D．7π
【新思维】6．（2024·广东广州·模拟预测）已知正方体 的边长为1，现有一个动平面 ，
且 平面 ，当平面 截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为 ，周长为 ，则
（ ）
A． 不为定值， 为定值 B． 为定值， 不为定值
C． 与 均为定值 D． 与 均不为定值
二、多选题
7．（2025·四川泸州·模拟预测）如图，已知正方体 的棱长为 分别为棱
的中点，则下列结论正确的是（ ）A．若 是正方体表面上的动点，且 ，则 长度的最大值为3
B．四面体 的体积为
C．平面 截正方体所得截面的面积为
D． 平面
【新思维】8．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在直三棱柱 中， ，则
（ ）
A．异面直线 与 所成的角为
B．若点 在线段 上运动，则 的最小值为
C．点 在侧面 上运动，点 在棱 上运动，若直线 是共面直线，则点 的轨迹长度
为
D．若 分别为 的中点，则平面 截三棱柱 所得截面的周长为
三、解答题
9．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是正方形，平面
平面ABCD， 是边长为 的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点．(1)证明：平面 平面PBC；
(2)若F为BC中点．
（ⅰ）求异面直线AF与PC的距离；
（ⅱ）求四棱锥 的外接球被 所在的平面截得的圆的面积．
重难·创新演练
设题创新:外接球、棱切球和内切球问题
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）球面上有 ， ， 三点， ， ，球心 到平面
的距离是 ，则球 的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（
）
A． B． C． D．
3．（2026·河北·三模）已知某圆锥的侧面展开图的面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角
的余弦值为（ ）A． B． C． D．
4．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图所示，经过正三棱柱底面一边 ，作与底面成 角的平面，已知
截面三角形 的面积为32，且点 是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·浙江·二模）已知三棱锥 的外接球 的半径为2，底面 是边长为3的正三角形，
，若球心 在三棱锥 的内部，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·福建·三模）在正三棱柱 中，D，E分别满足 ， ，点F在棱
上，若平面 将该三棱柱分割成体积相等的两部分，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2026·江西南昌·三模）已知正方体 的棱长为 ，若球 同时满足条件：①与平面
，平面 均相切，②与棱 相切（即与棱 仅有一个公共点），则球 的表面积的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·山西晋城·三模）如图，在底面为正方形的长方体 中， 为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足 ，若四面体 的体积的最小值为 ，则长方
体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
【新思维】9．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知正方体 的棱长为6， ， ， 分别
为 ， ， 的中点， 为正方形 内一点（包含边界）．下列说法正确的是（ ）
A．经过 ， ， 三点的截面形状为四边形
B．点 到经过 ， ， 三点的截面的距离为
C．存在点 ，使得点 和点 到平面 的距离相等
D．三棱柱 外接球的表面积为
三、填空题
10．（2026·四川泸州·三模）已知正四面体 的棱长为 ，点P为其外接球上的动点，则点P到该
正四面体 四个面的距离之和的最大值为__________．
11．（2026·福建·模拟预测）已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与
底面所成角的余弦值为________．四、解答题
12．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥 底面为菱形，点 ， 为棱 的三等分点，
点 是棱 中点.
(1)过 ， ， 三点的平面 与线段 交于点 ，求证： ；
(2)若 面 ， ，点 到平面 的距离为 ，求四棱锥 体积的最小值.
真题·实战演练高频考点：立体几何图形的表面积与体积
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， ，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
2．（2024·天津·高考真题）在如图五面体 中，棱 互相平行，且两两之间距离均为
1．若 ．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，
，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．4．（2023·天津·高考真题）在三棱锥 中，点M,N分别在棱PC,PB上，且 ， ，
则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， ，
，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
三、填空题
6．（2026·北京·高考真题）已知三棱锥 ， ， ， ，则
它的底面 的面积为________，体积为________．
7．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中
升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直
径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为______ ，升量器的高为
________ ．
8．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足 ，在空间内取不同两点（不
计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．9．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体 中，E，F分别为AB， 的中点，以EF为直
径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台 中， ，则该棱台
的体积为________．
11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面
边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
四、解答题
12．（2025·天津·高考真题）正方体 的棱长为4， 分别为 中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积．
