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第 04 讲 随机事件、频率与概率 (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（理））甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率
是 ，则乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得乙获胜的概率是 ，
故选：C
2．（2022·湖北·宜城市第一中学高二期中）一个人连续射击目标3次，则下列选项中与“至少有一次击
中”的对立事件是（ ）
A．3次均击中 B．恰有一次击中 C．恰有2次击中 D．3次均未击中
【答案】D
【详解】“至少有一次击中”的对立事件为：“没有一次击中”，即“3次均未击中”,
故选：D
3．（2022·湖北宜昌·高二期中）某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件
“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”（ ）
A．是对立事件 B．都是必然事件
C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是对立事件
【答案】C
【详解】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均为随机事件，故B错误.
事件“至多有1名男生”有两种情况：2名学生都是女生或2名学生一男一女.
“至多有1名女生” 有一种情况： 2名学生一男一女.
故两个事件不是对立事件、互斥事件，故AD错误，C正确，
故选：C.
4．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））在一个实验中，某种豚鼠被感染 病毒的概率均为40%，
现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出 之间整数值的随机数，指定
1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为（ ）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】B
【详解】20组随机数中，表示有两支被感染的有192，271，932，812，393，127，共有6组，
故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为 .
故选：B
5．（2022·全国·高二期中）将颜色分别为红、黄、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，
则互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．“甲分得红球”与“乙分得黄球”
B．“甲分得红球”与“乙分得红球”
C．“甲分得红球，乙分得蓝球”与“丙分得黄球”
D．“甲分得红球”与“乙分得红球或丙分得红球”
【答案】B
.【详解】颜色分别为红、黄、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，
基本事件为：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲红，乙蓝，丙黄”、“甲黄，乙红，丙蓝”、
“甲黄，乙蓝，丙红”、“甲蓝，乙红，丙黄”、“甲蓝，乙黄，丙红”，共 个，
A选项，“甲分得红球”包括：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲红，乙蓝，丙黄”，
“乙分得黄球”包括：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲蓝，乙红，丙黄”，
所以“甲分得红球”与“乙分得黄球”不是互斥事件，A选项错误.
B选项，“甲分得红球”包括：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲红，乙蓝，丙黄”，
“乙分得红球”： 甲黄，乙红，丙蓝”、“甲蓝，乙红，丙黄”，
所以“甲分得红球”与“乙分得红球” 互斥且不对立，B选项正确.
C选项，“甲分得红球，乙分得蓝球”包括：“甲红，乙蓝，丙黄”，
“丙分得黄球”包括：“甲红，乙蓝，丙黄”、“甲蓝，乙红，丙黄”，
所以“甲分得红球，乙分得蓝球”与“丙分得黄球” 不是互斥事件，C选项错误.
D选项，“甲分得红球”包括：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲红，乙蓝，丙黄”，
“乙分得红球或丙分得红球”包括：“甲黄，乙红，丙蓝”、“甲黄，乙蓝，丙红”、
“甲蓝，乙红，丙黄”、“甲蓝，乙黄，丙红”，
所以“甲分得红球”与“乙分得红球或丙分得红球”是对立事件，D选项错误.
故选：B
6．（2022·浙江·余姚中学高二期中）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地
摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说
法中正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件
C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件
【答案】B【详解】根据题意可知，事件 和事件 可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件 和事件 不相互独立，故B正确；
事件 的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件 与事件 为对立事件，故D错.
故选：B.
7．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了
800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55 B．0.55，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.55
【答案】B
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，
那么出现正面朝上的频率为 ,
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是 ,
故出现正面朝上的概率为 ,
故选︰B．
8．（2022·北京丰台·高二期中）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设 “甲元件故障”，
“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件 和 同时发生，即事件
发生.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·重庆市两江育才中学校高二阶段练习）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下
列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（ ）
A．至多有1个白球；都是红球 B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰好有1个白球；都是红球 D．至多有1个白球；全是白球
【答案】AB
【详解】解：对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件．故A正确；
对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，
所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件．故B正确；
对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，
所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件．故C错误；
对于D：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“全是白球”包含都是白球，
所以“至多有1个白球”与“全是白球”是互斥事件．故D错误．
故选：AB．
10．（2022·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一期末）有甲、乙两种报纸供市民订阅，记
事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不
订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是（ ）
A．E与G是互斥事件
B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．F与G不是互斥事件
D．G与I是互斥事件
【答案】BC
【详解】对于A选项， 、 事件有可能同时发生，不是互斥事件；
对于B选项， 与 不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；
对于C选项， 与 可以同时发生，不是互斥事件；
对于D选项， 与 也可以同时发生，不是互斥事件.
故选：BC.
11．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌
比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和全是男生
【答案】AD
【详解】A中两个事件是互斥事件,恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生,它与恰有2名女
生不可能同时发生，A是；
B中两个事件不是互斥事件,两个事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；
C中两个事件不是互斥事件,至少一名女生包含全是女生的情况，C不是；
D中两个事件是互斥事件,至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D是.
故选：AD
12．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从
中任取3张卡片，则下列判断正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
【答案】ABC
【详解】对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C
正确；
对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D不正确.
故选：ABC.
三、填空题
13．（2022·浙江·高二期中）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是
.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.
假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李明最终通过面试的概率为___________.
【答案】 ##0.875
【详解】设李明最终通过面试为事件 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
14．（2022·全国·高三专题练习）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却
习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随
机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘
侠”持反对态度的有________人．
【答案】6912
【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为 ，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态
度的有9600× ＝6912（人）．
故答案为：
15．（2022·全国·高二课时练习）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有
人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为_______
石．
【答案】168石【详解】试题分析：由题意，得这批米内夹谷约为 石．
16．（2022·全国·高一课时练习）某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,
投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:
落在桌面的数字 1 2 3 4 5
频 数 32 18 15 13 22
则落在桌面的数字不小于4的频率为_____.
【答案】0.35
【详解】落在桌面的数字不小于4,即4,5的频数为13+22=35.所以频率为 =0.35.
四、解答题
17．（2022·全国·高一课时练习）盒子里有 个红球， 个白球，现从中任取 个球．设事件 ： 个红球
和 个白球，事件 ： 个红球和 个白球，事件 ：至少有 个红球，事件 ：既有红球又有白球，则：
(1)事件 与事件 是什么关系？
(2)事件 与事件 是什么关系？
【答案】(1)
(2)
（1） 事件 可能的结果为： 个红球和 个白球或 个红球和 个白球， .
（2） 事件 可能的结果为： 个红球和 个白球、 个红球和 个白球和 个红球，
，则 .
18．（2022·北京大兴·高一期末）从 这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对
为第一次取到的数字， 为第二次取到的数字.设事件 “第一次取出的数字是1”， “第二次
取出的数字是2”.
(1)写出此试验的样本空间及 的值；
(2)判断 与 是否为互斥事件，并求 ；
(3)写出一个事件 ，使 成立.
【答案】(1)样本空间 ，
，
(2) 与 不是互斥事件，(3)
(1)样本空间
所以 .因为 ，所以 .从而 .因为
，所以 .从而 .
(2)因为 ，故 与 不是互斥事件.又 .所以 .
从而 .
(3) .
B能力提升
19．（2022·青海西宁·高一期末）甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.3，甲不输的概率为0.55，求：
(1)成平局的概率；
(2)乙不输的概率．
【答案】(1)0.25
(2)0.7
(1)
记甲获胜为事件A，平局为事件B，甲不输为事件C．
甲不输即为甲获胜或成平局，则C＝A+B
因为A与B互斥，
所以P（C）＝P（A+B）＝P（A）+P（B）
则P（B）＝P（C）－P（A）
＝0.55－0.3＝0.25
故成平局的概率为0.25；
(2)
因为甲获胜即乙输，所以甲获胜与乙不输互为对立事件，
则乙不输的概率P＝1－P（A）
＝1－0.3＝0.7．
20．（2022·贵州黔西·高一期末）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都
是0.6，若每位面试者都有三次机会，每次抽一道且不重复，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就
一直抽题到第三次为止.用 表示答对题目，用 表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独
立的.
(1)用树状图的方法列出所有可能的面试情况；
(2)求李明最终通过面试的概率.【答案】(1)树形图见解析
(2)
(1)解：依题意可得树状图如下所示：
(2)解：由树形图可知当李明连续答题三次，三次均答错，则李明不能通过测试，
设李明最终通过面试为事件 ，则 ；
