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§2.13 函数与方程的综合应用
重点解读 函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性
质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置.
题型一 由零点分布求值(范围)
命题点1 二次函数的零点分布
例1 (多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m 的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是( )
A.当x1>0 且x2>0 时，0<m<1
B.当x1<1 且x2>1 时，m<1
C.当-2<x1<0 且0<x2<4 时，m<-4
5
D.当x1<2 且x2>4 时，m<-4
5
命题点2 其他函数的零点分布
例2 已知定义在R 上的奇函数满足f(2-x)+f(x)=0，当x∈(0，1]时，f(x)=-log2x，若函数F(x)=f(x)-sin πx
在区间[-1，m]上有10 个零点，则m 的取值范围是( )
A.[3.5，4)
B.(3.5，4]
C.(5，5.5]
D.[5，5.5)
思维升华 对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式，决定函数与x 轴的交点个数；
(4)区间端点值.
跟踪训练1 (1)设方程x2-2ax-a=0 的两实根满足x1<x2<1，则实数a 的取值范围为( )
A.(- 1
3 ，1)
B.(-∞，- 1
3)∪(0，1)
C.(-∞，-1)∪(0，1
3)
D.(-1，1
3)
(2)已知函数f(x)={
4 x +6，x ≤0，
|ln x|，x>0，若g(x)=f(x)-m 恰有3 个零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是( )
A.(- 3
2 ，0)
B.(- 3
2 ，0]
C.(-∞，0]
D.(-∞，0)
题型二 复合函数的零点
命题点1 复合函数的零点个数判定
例3 (多选)已知函数f(x)={
x
2-kx +1，x ≤0，
lo g2 x，x>0，
下列关于函数y=f(f(x))+1 的零点个数的说法中，正确的
是( )
A.当k>1 时，有1 个零点
B.当k>1 时，有3 个零点
C.当k<0 时，有9 个零点
D.当k=-4 时，有7 个零点
命题点2 根据复合函数零点求参数
例4 (多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)={
- x
2- 4 x -2，x ≤0，
|ln x|，x>0，
若函数g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m 有5
个不同的零点，则实数m 的值可能是( )
A.-5
B.-6
C.-7
D.-8
思维升华 对于复合函数y=f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；
(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1，2，3，…，n)；
(3)确定直线u=ui(i=1，2，3，…，n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数
y=f(g(x))的零点个数为a1+a2+a3+…+an.
跟踪训练2 (1)若函数f(x)={
1+ ln x，x>0，
x
2+ 4 x +3，x ≤0，
则函数g(x)=f(f(x))的零点的个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
(2)函数f(x)={
ln(- x -1)，x<-1，
2 x +1，x ≥-1，
若函数g(x)=f(f(x))-a 有三个零点，则实数a 的取值范围是 .
答案精析
例1 ABD [对于A，由题意得{
x1+ x2=3-m>0，
x1 x2=m>0，
Δ=(m-3)
2- 4 m>0，
解得0<m<1，A 正确；
对于B，f(1)=2m-2<0，
解得m<1，B 正确；
对于C，{
f (-2)=10-m>0，
f (0)=m<0，
f (4)=5m+ 4>0，
解得-4
5 <m<0，C 错误；
对于D，{
f (2)=3m-2<0，
f (4)=5m+ 4<0，
解得m<-4
5 ，D 正确.]
例2 A [由f(2-x)+f(x)=0⇒f(x)=-f(2-x)=f(x-2)，得f(x)是一个周期为2 的奇函数，
当x∈(0，1]时，f(x)=-log2x，
因此f (
1
2)=-log21
2=1，f(1)=0，
所以f(0)=0，f (- 1
2)=-1，
f(-1)=0，
且g(x)=sin πx 的周期为T=2π
π =2，
且g(-1)=0，g(- 1
2)=-1，g(0)=0，g(
1
2)=1，g(1)=0，
求F(x)=f(x)-sin πx 的零点个数，
即求f(x)与g(x)图象的交点个数，
如图为f(x)与g(x)在区间[-1，1]的图象，
因为f(x)与g(x)均为周期为2 的周期函数，
因此交点也呈周期出现，
若在区间[-1，m]上有10 个零点，即两函数图象在[-1，m]上有10 个交点，
则第10 个交点坐标为(3.5，-1)，第11 个交点坐标为(4，0)，
因此3.5≤m<4.]
跟踪训练1 (1)C [设f(x)=x2-2ax-a，则其图象的对称轴方程为x=a，
由x1<x2<1 可得{
a<1，
f (1)=1-3a>0，
Δ= 4 a
2+ 4 a>0，
解得a<-1 或0<a<1
3.]
(2)B [不妨设x1<x2<x3，
由图可知，当0<m≤6 时，直线y=m 与函数f(x)的图象有三个交点，
且有-3
2<x1≤0，0<x2<1<x3，
由f(x2)=f(x3)，即|ln x2|=|ln x3|，
得ln x3=-ln x2，
所以ln x2+ln x3=ln(x2x3)=0，
即x2x3=1，
故x1x2x3=x1∈(- 3
2 ，0].]
例3 AD [由f(f(x))+1=0，
得f(f(x))=-1，
则函数y=f(f(x))+1 的零点个数即为方程f(f(x))=-1 解的个数，
设t=f(x)，则f(t)=-1，二次函数y=x2-kx+1 的图象开口向上，过点(0，1)，对称轴为直线x=k
2，
当k>1 时，y=x2-kx+1 在(-∞，0]上单调递减，且y≥1，
如图，
由f(t)=-1，得log2t=-1，解得t=1
2，
由f(x)=t，得log2x=1
2，解得x=√2，
因此当k>1 时，函数y=f(f(x))+1 的零点个数是1，A 正确，B 错误；
当k=-4 时，
f(x)={
x
2+ 4 x +1，x ≤0，
lo g2 x，x>0，
作出函数f(x)的图象，如图，
由图象知函数f(x)的值域为R，
令t=f(x)，则f(t)=-1 有3 个根，
当t>0 时，log2t=-1，解得t=1
2；
当t≤0 时，t2+4t+1=-1，解得t=-2±√2，
当t=1
2，即f(x)=1
2时，
若x>0，则log2x=1
2，解得x=√2，
若x≤0，则x2+4x+1=1
2，解得x=-2±√14
2 ，此时共有3 个解；
当t=-2+√2，即f(x)=-2+√2时，若x>0，则log2x=-2+√2有1 个解，
若x≤0，则x2+4x+1=-2+√2，即(x+2)2=1+√2有2 个解，此时共有3 个解；
当t=-2-√2，即f(x)=-2-√2时，若x>0，则log2x=-2-√2有1 个解，
若x≤0，则x2+4x+1=-2-√2，即(x+2)2=1-√2<0 无解，此时共有1 个解.
因此当k=-4 时，函数y=f(f(x))+1 的零点个数是7，D 正确，C 错误.]
例4 CD [令g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m=0，
即[f(x)-1][3f(x)-m]=0，
解得f(x)=1 或f(x)=m
3 ，
如图，画出函数f(x)的图象，
当f(x)=1 时，直线y=1 与y=f(x)的图象有4 个交点，
所以直线y=m
3 与y=f(x)的图象只能有1 个交点，
则m
3 <-2，得m<-6，
结合选项可知，m 的值可能是-7 或-8.]
跟踪训练2 (1)C [当x>0 时，
由1+ln x=0，得x=1
e ，
当x≤0 时，由x2+4x+3=0，
得x=-1 或x=-3，
所以f(x)的零点为-3，-1，1
e ，
令t=f(x)，则t∈R，f(t)=0 的根分别为t1=-3，t2=-1，t3=1
e ，
结合f(x)的图象可知，方程f(x)=t1，f(x)=t2，f(x)=t3的根的个数分别为1，2，3，故g(x)=f(f(x))的零点个数为
6.]
(2)[-1，+∞)
解析 设t=f(x)，则t∈R，
令g(x)=f(f(x))-a=0，则a=f(t).
在同一平面直角坐标系内作出直线y=a，y=f(t)的图象，如图所示.
①当a≥-1 时，直线y=a 与y=f(t)的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，
则t1<-1，t2≥-1.
当t1<-1 时，t1=f(x)有一个解；
当t2≥-1 时，t2=f(x)有两个解，
此时g(x)=f(f(x))-a 有三个零点，满足题意；
②当a<-1 时，直线y=a 与y=f(t)的图象有一个交点.
设交点的横坐标为t3，则t3<-1，
此时t3=f(x)有一个解，不满足题意，
综上所述，当a≥-1 时，函数g(x)=f(f(x))-a 有三个零点.
