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§2.5 函数性质的综合应用
分值：52 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知函数f(x)的定义域为R，f(-x)=f(x)，f(1-x)=-f(x)，若f (
1
5)=1
5 ，则f (
16
5 )等于( )
A.-1
5
B.1
5
C.16
5
D.-16
5
2.已知函数f(x)满足f(1-x)=f(x+3)，且f(x)在(0，2)上单调递增，则f(1)，f (
5
2)，f (
7
2)的大小关系是( )
A.f(1)<f (
5
2)<f (
7
2)
B.f (
7
2)<f(1)<f (
5
2)
C.f (
5
2)<f (
7
2)<f(1)
D.f (
7
2)<f (
5
2)<f(1)
3.(2025·襄阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x-1)-1 为奇函数，f(x+1)为偶函数，则f(2 023)等于( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
4.(2024·扬州模拟)定义在R 上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于y 轴对称，且函数y=f(x-2)+1 是奇函数，则
函数y=g(x)图象的对称中心为( )
A.(2，1)
B.(-2，-1)
C.(-2，1)
D.(2，-1)
5.(2024·北师大附中模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，若f(1-x)和g(x+2)都是
偶函数，则( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.g(x)是奇函数
D.g(x)是偶函数
6.(2025·济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，若∀a，b∈[0，+∞)，且a≠b，都有
af (a)-bf (b)
a-b
<0 成立，则不等式f (
1
t)-(2t2-t)f(2t-1)>0 的解集为( )
A.(-1，0)∪(
1
2 ，+∞)
B.(- 1
2 ，0)∪(1，+∞)
C.(-∞，-1)∪(
1
2 ，+∞)
D.(-∞，- 1
2)∪(1，+∞)
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.若定义域为R 的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，且对任意x1，x2∈[1，+∞)，且x1≠x2，都有f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(-1，0)对称
B.f(x)是R 上的增函数
C.f(x)+f(2-x)=2
D.关于x 的不等式f(x)<0 的解集为(-∞，1)
8.(2024·菏泽模拟)已知定义在R 上的函数y=f(2x+2)为奇函数，且对∀x∈R，都有f (x + 1
2)=f (
3
2 - x)，定
义在R 上的函数f'(x)为f(x)的导函数，则以下结论一定正确的是( )
A.f(x+2)为奇函数
B.f (
7
2)=f (
1
2)
C.f'(
1
2)=-f'(
3
2)
D.f'(x)为偶函数
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2024·杭州模拟)已知f(x)为定义在R 上的奇函数，且是最小正周期为T 的周期函数，则sin[
π
3 + f(
T
2)]的
值为 .
10.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1+3x)=f(1-3x)，且f(2x+4)关于点(-2，0)对称，当0≤x≤1 时，f(x)=2x-
a，则
2024
Σ
k =1
(k+1)f(k)= .
答案精析
1.A [由f(1-x)=-f(x)，
用1+x 代替x，
得f(-x)=-f(1+x)，
又f(-x)=f(x)，
所以f(1+x)=-f(x)，
得f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，
故f(x)的周期为2，
所以f (
16
5 )=f (2+ 6
5)=f (
6
5)=f (1+ 1
5)=-f (
1
5)=-1
5.]
2.B [由函数f(x)满足f(1-x)=f(x+3)，得函数f(x)的图象关于直线x=2 对称，显然f (
5
2)=f (
3
2)，f (
7
2)=f (
1
2)
，而1
2<1<3
2，f(x)在(0，2)上单调递增，
因此f (
1
2)<f(1)<f (
3
2)，
所以f (
7
2)<f(1)<f(
5
2).]
3.D [函数f(x)的定义域为R，
由f(x-1)-1 为奇函数，
得f(-x-1)-1=-[f(x-1)-1]，
即f(-x-1)=-f(x-1)+2，
由f(x+1)为偶函数，得f(-x+1)=f(x+1)，即f(-x-1)=f(x+3)，
因此f(x+3)=-f(x-1)+2，
即f(x+4)=-f(x)+2，
则f(x+8)=-f(x+4)+2=f(x)，
即函数f(x)的周期是8，
由f(-x-1)=-f(x-1)+2，
得f(-1)=1，
所以f(2 023)=f(253×8-1)=f(-1)=1.]
4.D [由题意得函数y=f(x-2)+1 是奇函数，则y=f(x)关于点(-2，-1)对称，另知函数y=f(x)和y=g(x)的图象关
于y 轴对称，故y=g(x)的图象关于点(2，-1)对称.]
5.D [由f(1-x)是偶函数，
得f(1-x)=f(1+x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x=1 对称；
由g(x+2)是偶函数，
得g(x+2)=g(-x+2)，
所以函数g(x)的图象关于直线x=2 对称，
又g(x)=f'(x)，
则f(x)关于点(2，f(2))对称，
所以(0，f(0))是函数f(x)图象的对称中心，
由于不确定f(0)的值，
所以无法判断函数f(x)的奇偶性，故排除选项A，B；
又g(x)=f'(x)，
由f(1-x)=f(1+x)，
得-f'(1-x)=f'(1+x)，
即-g(1-x)=g(1+x)，
得g(1+x)+g(1-x)=0，
所以函数g(x)的图象关于点(1，0)对称；
由-g(1-x)=g(1+x)，
得-g(-x)=g(2+x)，
即-g(-x)=g(2-x)，
所以-g(x)=g(2+x)，
即g(4+x)=-g(2+x)=g(x)，
所以函数g(x)的周期为4，
所以g(x)=g(4+x)=g(-x)，
所以函数g(x)为偶函数，故排除C，选择D.]
6.D [令g(x)=xf(x)，
由题意知g(x)在[0，+∞)上单调递减，
又f(x)为R 上的偶函数，所以g(x)为R 上的奇函数，所以g(x)在R 上单调递减，
①当t>0 时，原不等式等价于
1
t f (
1
t)>(2t-1)f(2t-1)，
即g(
1
t)>g(2t-1)，所以1
t <2t-1，
所以1<2t2-t，解得t>1；
②当t<0 时，原不等式等价于
1
t f(
1
t)<(2t-1)f(2t-1)，
即g(
1
t)<g(2t-1)，所以1
t >2t-1，
所以1<2t2-t，解得t<-1
2.
所以t<-1
2或t>1.]
7.BD [由定义域为R 的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，得f(-x+1)=-f(x+1)，因此函数f(x)关于点(1，0)对称，
由对任意x1，x2∈[1，+∞)，且x1≠x2，都有f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0，得f(x)在[1，+∞)上单调递增，由函数的对称
性知，f(x)在(-∞，1]上单调递增，又f(1)=0，因此f(x)是R 上的增函数，B 正确；
显然f(-1)<f(1)=0，则f(x)的图象不关于点(-1，0)对称，A 错误；
由f(x)关于点(1，0)对称，得f(x)+f(2-x)=0，C 错误；
显然f(1)=0，又f(x)在R 上单调递增，则由f(x)<0，得x<1，D 正确.]
8.ACD [因为f(2x+2)为奇函数，则f(-2x+2)=-f(2x+2)，可得f(-x+2)=-f(x+2)，所以f(x+2)为奇函数，故A 正
确；
又因为f (x + 1
2)=f (
3
2 - x)，可得f(x+1)=f(1-x)，则f(x)=f(2-x)=-f(x+2)，可得f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+4)]=f(x+4)，
所以f(x)是以4 为周期的周期函数，可得f (
7
2)=f (- 1
2)，但没有足够条件推出f (
1
2)=f (- 1
2)，故B 错误；
因为f(x+1)=f(1-x)，则f'(x+1)=-f'(1-x)，令x=-1
2，
则f '(
1
2)=-f '(
3
2)，故C 正确；
因为f(-x+2)=-f(x+2)，
则f'(-x+2)=f'(x+2)，可得f'(-x)=f'(x+4)，又因为f'(x)=f'(x+4)，则f'(-x)=f'(x)，所以f'(x)为偶函数，故D 正确.]
9.√3
2
解析 因为f(x)的最小正周期为T，
故f (
T
2)=f (
T
2 -T)=f (- T
2)，
又f(x)为奇函数，
故f (- T
2)=-f (
T
2)，
故f (
T
2)=-f (
T
2)，
即2f (
T
2)=0，
解得f (
T
2)=0，
故sin[
π
3 + f(
T
2)]=sin π
3 =√3
2 .
10.-1 012
解析 因为f(1+3x)=f(1-3x)，
令t=3x，则f(1+t)=f(1-t)，
所以函数f(x)的图象关于直线x=1 对称，
则f(2+x)=f(-x)，
因为函数f(2x+4)的图象关于点(-2，0)对称，
设g(x)=f(2x+4)，
则g(x)+g(-4-x)=0，
即f(2x+4)+f[2(-x-4)+4]=0，
即f(2x+4)+f(-2x-4)=0，
令s=2x+4，则f(s)+f(-s)=0，
故函数f(x)为奇函数，
所以f(2+x)=f(-x)=-f(x)，则f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，
故函数f(x)是周期为4 的周期函数，
则f(0)=0，当0≤x≤1 时，f(x)=2x-a，
则f(0)=20-a=0，可得a=1，
即当0≤x≤1 时，f(x)=2x-1，
所以f(1)=2-1=1，f(2)=f(0)=0，
f(3)=f(-1)=-f(1)=-1，f(4)=f(0)=0，
所以
2024
Σ
k ＝1
(k+1)f(k)=2f(1)+3f(2)+4f(3)+5f(4)+…+2 025f(2 024)
=2-4+6-8+…+2 022-2 024
=(2-4)+(6-8)+(10-12)+…+(2 022-2 024)
=-2×506=-1 012.
