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第 05 讲 函数的解析式求法
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合
B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数相等．
3．函数的表示法
解析法 图象法 列表法
就是把变量x，y之间的关系用一 就是把x，y之间的关系绘制成图 就是将变量x，y的取值列成表
个关系式y＝f(x)来表示，通过关 象，图象上每个点的坐标就是相 格，由表格直接反映出两者的关
系式可以由x的值求出y的值. 应的变量x，y的值. 系.
4.区间
设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定：
定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
{x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a,b)
{x|a<x≤b} 左开右闭区间
定义 区间 数轴表示
{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤a}
{x|x<a} (-∞,a)
R (-∞,+∞) 取遍数轴上所有值
5．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函
数．考点一 待定系数法求函数解析式
考点二 换元法求函数解析式
考点三 配凑法求函数解析式
考点四 构造方程组法求函数解析式
考点五 利用奇偶性求函数解析式
考点一：待定系数法求函数解析式
例1．已知幂函数 的图象过点 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 为奇函数 D． 为减函数
对点变式．已知 ，且 的图象如图所示，则 等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
考点二：换元法求函数解析式
例2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
对点变式．已知 ，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．例3．设 是定义域为R的单调函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
对点变式．已知定义在 上的函数 单调递减，且对任意 恒有 ，则函数
的零点为（ ）
A． B． C．2 D．4
考点三：配凑法求函数解析式
例4．已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
对点变式．已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点四：构造方程组法求函数解析式
例5．若函数 ；且 ，则 ______.
对点变式．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知 和 分别是定义在
上的偶函数和奇函数，若 ，则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
考点五：利用奇偶性求函数解析式例6．已知奇函数 ，当 时， ，则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
对点变式．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则函数 的解析式为_________．
例7．已知函数 （ 且 ）为偶函数，则实数a的值为__________．
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知函数 满足 ，若
， ，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，且 ，则 的最大值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．34．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A． B． 无最大值
C． 为偶函数 D．若 ，则
7．（2022春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C． 的定义域为
D． 的图像关于 对称
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．三、填空题
9．已知 为一次函数，且 ，则 的值为_______．
10．已知 ，则 __．
11．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 ______.
12．已知函数 为R上单调递减的奇函数，则实数a的值为 _____．
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数 的解析式．
(1)已知 ，则 的解析式为__________．
(2)已知 满足 ，求 的解析式．
(3)已知 ，对任意的实数x，y都有 ，求 的解析式．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ．
(1)求 的解析式；
(2)设函数 ，若对任意 ， 恒成立，求实数m的取值范围．
15．已知函数 是 上的偶函数，且当 时， .
(1)求 时函数 的解析式；
(2)求方程 的根.
16．已知函数 的图象如图示，在直线 的左侧是经过两点 的线段（包
括两个端点），在直线 的右侧是经过点 且解析式为 的曲线．(1)求函数 的解析式；
(2)求 的值；
