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专题 01 集合与常用逻辑用语
答案版
考点01 集合的含义与表示
题号 1 2 3
答案 C A B
考点02 集合间的基本关系
1．
2．2
考点03 集合的基本运算
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B D D C C D A
题号 11 12 13 14 15
答案 A A C B D
考点04 集合的新定义问题
【详解】（1）根据题目定义可知， 或 ，
若第一项为 ，显然 或 不符合题意（不在集合 中），所以下一项是 或 ；
（2）假设二者同时出现在 中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设 在 之前.
显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从 到 必定要向下一项走
奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在 中，所以从 到 必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在 中.（3）法1：若 中的所有元素构成K列，考虑K列中形如 的项，
这样的项共有 个，由题知其下一项为 ，共计16个，
而 ，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个 ，有12个 与之相对应，矛盾．
综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．
法2：假设全体元素构成一个K列，则 .
设 ， .
则 和 都包含 个元素，且 中元素的相邻项必定在 中.
如果存在至少两对相邻的项属于 ，那么属于 的项的数目一定多于属于 的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于 .
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如 和 ，
否则将导致属于 的项的个数比属于 的项的个数多2，此时 .
从而这个序列的前 项中，第奇数项属于 ，第偶数项属于 ；
这个序列的后 项中，第奇数项属于 ，第偶数项属于 .
如果不存在相邻的属于 的项，那么也可以看作上述表示在 或 的特殊情况.
这意味着必定存在 ，使得 .
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故 中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数
的点的数量一定分别是 和 （不一定对应）.
但容易验证， 和 都包含 个横纵坐标之和为奇数的点和 个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得 .
从而有 .
这就得到 .
再设 ， .
则同理有 .
这意味着 .
从而得到 ，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由M的全部元素组成的序列都不是K列．
【详解】（1）（1） ， ，则 不是 中的元素.
（2）法一：因为 ，则存在实数 使得 ，且 ，
当 时， ，其在 上严格单调递增，
当 时， ，其在 上也严格单调递增，
则 ，则 ，
令 ，解得 ，则 ，
则 .
法二：作出该函数图象，则由题意知直线 与该函数有两个交点，
由图知 ，假设交点分别为 ， ，联立方程组 得
（3）对任意 ，因为其是偶函数，
则 ，而 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ， ，则 ，
，则 ，
而 ， ，
则 ，则 ，
所以当 时， ，而 为偶函数，画出函数图象如下：
其中 ，但其对应的 值均未知.
首先说明 ，
若 ，则 ，易知此时 ，则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时，即使让 ，此时最多7个零点，
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有3个零点，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，
则最多在 之间取得6个零点，以及在 处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
【详解】（1）由定义得， .
（2）证明：
必要性：因为函数 是偶函数，所以对任意 ， ，
对任意 ，若 ，即 ，则 ，
所以 ，所以对任意 ， 是对称集.
充分性：若对任意 ， 是对称集，
因为对任意 ， ，所以 ，即 ①，
又 ，所以 ，即 ②.
由①②得，对任意 ， ，
所以函数 是偶函数.
综上，“函数 是偶函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”，得证.
（3）因为对于任意 ，都有 ，
所以若 ，则 ，即若 ，则 ，
所以 ，所以 在 上单调不减，
所以对任意 ， 恒成立.当 时，显然成立， ；
当 时， 恒成立，令 ， ，
所以 在 单调递减， 单调递增，所以 ；
当 时， 恒成立，此时
因为 在 上单调递减，当 时， ，
时， ，
所以 ；
综上， .
考点05 充分条件与必要条件
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A A C C B C B
题号 11 12 13 14 15
答案 C C B A C
考点06 全称量词与存在量词
题号 1
答案 B
