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专题02 数列通项与数列求和
题型1 由Sn 与an 关系求通项
1、关系：
，要注意验证
与
两种情况能否统一．
2、已知
与
的关系式，记为
，求它的通项公式
，一般有两种思路：
（1）消
：容易直接求
的情况，可利用阶差公式：
，消去
，转化等差或等
比数列直接求出
；
（2）消
：难以直接求
的情况，可利用阶差公式：
，消去
，得出
与
的递推关系式，先求出
，后，即可转化力“第1 种情形”，从而间接求出
．
在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求
，要
比直接求
麻烦；但也有时先直接求
，会比先求
麻烦得多．
1．（24-25 高三上·福建漳州·月考）已知数列
的前
项和为
，则
.
【答案】
【解析】因为数列
的前
项和为
，所以
，
1
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当
，
时，
，
又
，故
满足关系
，
所以
，
2．（25-26 高三上·云南昆明·月考）记
为数列
的前
项和，若
，
，则
【答案】243
【解析】
，当
时，有
.
当
时，有
.
故
，即
，
.
又因为
，则数列
是公比为，首项为的等比数列.
因此
.
当
时，
.
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，
在等比数列
中，
，
设公比为q，
，解得
，∴
，
当
时，
，解得：
，
∴
是以2 为首项，3 为公比的等比数列，
∴
.故选：A.
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列
的前
项和为
，已知
，则
（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，
则
，即
，
所以数列
是公差为4 的等差数列．
又
，则
．
所以
．故选：A.
题型2 累加法求通项公式
累加法适用于邻项差结构
．
利用
，将问题转化为基本数列求和，从而得
到所求数列的通项．
5．（25-26 高三上·四川广安·开学考试）数列
满足：
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，可得
，
利用累加法可得
,
化简得
，则
.故选：C.
6．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【答案】A
【解析】因为数列
满足
，
，
所以
，
所以
，
则
，
所以
，故选：A.
7．（2025·河北张家口·一模）已知数列
满足
，
且
，则
.
【答案】
【解析】由题得
，
当
时，
符合题意，
所以
，
8．（24-25 高三上·福建三明·月考）若数列
满足
，数列
的前
项和为
，则
.
【答案】
【解析】由
，则
,
当
时，上式相加得
，又
，
所以
，又
符合上式，
可知
，所以
，
所以
.
4
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题型3 累乘法求通项公式
累乘法适用于邻项商结构
利用
，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
9．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知
为数列
的前
项和，若
，
，则
的值
为（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
【答案】B
【解析】当
时，
，
由
，
由
，得
，
两式相减得，
，
所以
，故选：B
10．（24-25 高三上·广东梅县·期中）若数列
满足
，则
（ ）
A．2
B．6
C．12
D．20
【答案】D
【解析】由
得
，
，
.故选：D
11．（24-25 高三上·天津·月考）在数列
中，若
，则
（ ）
A．1012
B．1013
C．2023
D．2024
【答案】B
5
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【解析】因为
，所以
，所以
，
所以
是常数列，所以
，
又
，所以
．故选：B
12．（24-25 高三上·河南驻马店·月考）若数列
满足
，
，则
．
【答案】
【解析】因为
①，
所以
②，
②
①得，
，
所以有
，
所以
．
题型4 构造法求通项公式
（1）形如
，引入参数
，构造新的等比数列
；
（2）形如
，引入参数
，构造新的等比数列
；
（3）形如
，两边同除以
，构造新的数列
．
13．（2025·天津河北·二模）设
数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．3059
B．2056
C．1033
D．520
【答案】C
【解析】由题设
，则
，
所以
，则
6
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又
，则
，
所以
是首项、公比均为
的等比数列，则
，
所以
，则
.故选：C
14．（2025·河南·模拟预测）设
为数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．520
B．521
C．1033
D．1034
【答案】C
【解析】数列
中，
，当
时，
，
两式相减得
，即
，则
，
而
，解得
，
因此数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
则
，即
，
于是
，所以
．故选：C
15．（2025 高三·全国·专题练习）已知在数列
中，
，
，则通项
．
【答案】
【解析】利用待定系数法构造新数列，
，
又
，则
，
所以
．
令
，
是以
为首项，公比
的等比数列．
．即
，
．
当
时成立，所以
．
16．已知数列
的首项
，且
，则
的通项公式为 ．
【答案】
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【解析】因为
，所以
，所以
，
所以数列
是首项为1，公比为
的等比数列，
所以
，即
．
题型5 分组（并项）法求和
1、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组
求和法，分别求和后再相加减．
2、并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如
类型，可采用两项合并求解．
17．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）已知
是等差数列
的前
项和，
，数列
是公
比大于1 的等比数列，且
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
，
；(2)
.
【解析】（1）在等差数列
中，
，解得
，而
，
因此数列
的公差
，
；
设等比数列
的公比为
，由
，得
，解得
，
又
，则
，解得
，而
，因此
，
，
所以数列
和
的通项公式分别为
，
.
（2）由（1）得
，
所以
.
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18．（25-26 高三上·福建·开学考试）已知等差数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，若
，求
的值.
【答案】(1)
；(2)100 或97
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，
则
，解得
，
所以
的通项公式为
；
（2）
，
，
若
为偶数，则
，
若
为奇数，则
，
，若
为偶数，则
，解得
，
若
为奇数，则
，解得
，
综上，
或97
19．（25-26 高三上·浙江·开学考试）记
为正项数列
的前
项和，已知
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）
，当
时，
,
当
时
，
两式相减得
，得
，
因为
，所以
，
，
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为等差数列，
；
（2）
20．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0 的等差数列
中，已知
，
，
成等比数列，
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前2n 项和
．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，
因为
，所以
，即
，即
又因为
成等比数列，所以
，即
，即
，
联立方程组
，解得
，
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）知，
，
所以
，
因为
，即
，
可得
，
，
所以
，所以数列
的前2n 项的和为
．
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题型6 逆序相加法求和
如果一个数列
的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．求和时可以将正着写
与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和．
21．（24-25 高三下·四川容县·月考）已知函数
，数列
满足
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
对任意
都有
，
数列
满足
①
又
②
①
②得：
，
得
.故选：B.
22．（24-25 高三下·湖南长沙·月考）已知
，
，则
数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
则
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两式相加得
所以
，所以
.故选：A.
23．（24-25 高三上·广东·开学考试）若
，数列
的前
项和为
，
且
，
，则
（ ）
A．76
B．38
C．19
D．0
【答案】A
【解析】因为
，
所以
所以
的图象关于点
对称，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
，
，
所以
，
，
所以
，所以
，
所以
，
，
所以
.故选:A.
24．（24-25 高三上·山东济宁·月考）已知函数
是
上奇函数，若数列
的项满足：
（
）.则数列
的通项公式为：
.
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【答案】
【解析】因为函数
是
上奇函数，所以
，
所以
，
，
两式相加得：
即
.
题型7 裂项相消法求和
裂项相消的原则及规律
（1）裂项原则：一般时前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
25．（25-26 高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1 的正项数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】（1）因为
，
所以当
时，
，
是首项为1 的正项数列，则
，
又
满足上式，所以
.
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（2）由（1）可得，
，
所以
.
26．（24-25 高三下·云南·月考）设正项数列
的前
项和为
，满足
.
(1)求
；
(2)求证：数列
为等差数列；
(3)求数列
的前100 项的和
.
【答案】(1)
；(2)证明见解析；(3)10
【解析】（1）当
时，
，整理得
，
又
，所以
.
当
时，
即
，解得
，
又
，所以
.
（2）
，
，
上述两式相减，得
，
，
，
，
数列
为等差数列，首项为2，公差为4.
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（3））由（2）得：
，
，
，
，由求根公式得
，
，
，
.
27．（24-25 高三上·福建漳州·月考）已知数列
中，
为
的前
项和，
是首项为1，公差为1
的等差数列．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【解析】（1）由已知有
，所以
，解得
，
当
时，
，
又
满足上式，所以
．
（2）
，
所以
，
因为
，所以
，
由于
单调递减，所以
单调递增，
所以当
时，
最小，为
，故
．
28．（24-25 高三下·山西晋中·月考）已知数列
的前n 项和为
，
，
.
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(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题意，
，
又
，解得
，
，①
，②
②减①得
，
所以
，即
，
所以数列
为以
为首项，以3 为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
，
所以
，
当
时，
，
所以
，即
，
经检验，当
时，
满足上式，
所以
，
因为
，
所以
.
题型8 错位相减法求和
1、如果数列
是等差数列，
是等比数列，求数列
的前
项和时，常采用错位相减法．
2、写错位相减法求和时，应注意：在写出“
”与“
”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便
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于下一步准确地写出“
”的表达式．
3、万能公式：形如
的数列的前
项和为
，其中
，
，
．
29．（25-26 高三上·山东淄博·开学考试）数列
的前n 项和为
，已知
，数列
满足递推关系：
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求
的前n 项和．
【答案】(1)
；
；(2)
【解析】（1）已知
，当
时，
；
当
时，
；
验证
时，
，符合上式，
故数列
通项公式为
.
因为
，
所以
，等式两边同时加
可得
，
即
，所以
，
所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
数列
通项公式为
，所以
.
故数列
的通项公式为
.
（2）由（1）可知
，则
，
所以
，
记数列
的前
项和为
，
，①
上式乘以公比2 可得；
，②
由①
②可得：
，
即
，
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，
化简可得
，
即
.
30．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）设
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）当
时，
，解得
，
当
时，
，
，
两式相减可得：
，即
①
则
②，
②
①可得
，
由于
，所以数列
是首项为2，公差为4 的等差数列，
则
（2）设
，
所以
③
④，
③
④可得
,
化简可得：
31．（24-25 高三上·四川德阳·月考）已知数列
．令
，
(1)证明数列
是等差数列，并求出通项公式；
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(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析，
；(2)
【解析】（1）
，两端除以
，得
，即
，
由
，得
，所以数列
是以4 为首项，3 为公差的等差数列，
．
（2）
，
，①
，②
由①-②，得
，
．
32．（24-25 高三下·河南信阳·月考）已知数列
的前n 项和为
，
，
.
(1)求证：数列
是等差数列.
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求
.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：因为
，可得
，所以
，
两边同除以
，可得
，即
，
又因为
，可得
，所以数列
是首项为，公差为1 的等差数列.
（2）由（1）可得
，所以
，可得
，
所以
，
则
.
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两式相减，可得
，
所以
.
题型9 斐波那契数列
1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契
数列，又称黄金分割数列；表达式
，
，
．
①逐项罗列：，1，2，3、5，8，13，21，34，55，……；
②递推公式：
，
；
③通项公式：
（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范
例）．
2、求和问题
①前
项和：
；
②奇数项和：
；
③偶数项和：
．
3、平方和问题：
4、余数列周期性
①被2 除的余数列周期为3：1，1，0，……
②被3 的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，……
③被4 的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，……
5、裂项问题：
20
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33．（24-25 高三上·山东聊城·月考）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，
2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024 项中有（
）个奇数
A．1012
B．1348
C．1350
D．1352
【答案】C
【解析】对数列中的数归纳发现，每3 个数中前2 个都是奇数，后一个是偶数，
又
，故该数列前2024 项有
个奇数.故选：C
34．（2024·海南·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁
殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这
一数列以如下递推的方法定义：
，
，记此数列为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
，
，
，
则
.故选：C.
35．（24-25 高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列
为“斐波那契数列”，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．1
D．2
【答案】C
【解析】
“斐波那契数列”从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，
,
.
由题意得：
， 即
，
，
，
，
21
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，
即
即
.故选：C.
36．（24-25 高三上·安徽·月考）数列
：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该
数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为
“兔子数列”，
满足
，
（
，
），则
是斐波
那契数列的第 项.
【答案】2025
【解析】由题意知，
（
，
），
所以
（
，
），
所以
，
，……，
，
由累加法可得
，
则
，
所以
是斐波那契数列的第2025 项.
题型10 数列与不等式综合问题
数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的
单调性比较大小；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题；
（3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题大多要借助函数取证明，或者直接利用放缩法证
明．
37．（24-25 高三下·湖北襄阳·月考）已知数列
满足
，且
，则使不等式
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成立的
的最大值为（ ）
A．98
B．99
C．100
D．101
【答案】B
【解析】由
，
可得
，
易知
，两侧同时除
，可得
，整理得
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
则
，
故
，
故
，
易知
单调递增，
，所以
.故选：B
38．（24-25 高三下·上海·月考）已知数列
的前n 项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，问是否存在正整数m，使得
成立，并说明理由.
【答案】(1)
；(2)不存在，理由见解析.
【解析】（1）当
时，
，
当
时，
.
又注意到
，符合上式，则
；
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（2）即判断
是否成立，由（1）可得，
，
则
，则当
时，
；
时，
.
则
在
时，取最大值，则
，因
，
则不存在正整数m，使得
成立.
39．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）在数列
中，
，
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)设数列
的前
项和为
，若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由
，可得
，
即
，所以
，
又
，所以
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
则
.
（2）
，
，
因为
，所以
，所以
，
又
恒成立，即
恒成立，
，即
.
所以
的取值范围为
.
40．（25-26 高三上·江苏南京·月考）已知数列
满足
，且对任意正整数
有
，数列
满足
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(1)证明：数列
是等比数列；
(2)设
，数列
的前
项和
；
①求
；
②若不等式
对任意的正整数
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)①
；②
【解析】（1）证明：因为
，
所以
．
因为
，所以
．
又
，所以
，即证得
是首项为1，公比为2 的等比数列．
（2）①由（1）可得
，则
，
，
，
两式相减得：
，
即
，
所以
，则
．
②因为不等式
对任意的正整数
恒成立，
即
对任意的正整数
恒成立，
当
为偶数时，因为
在
为增函数，所以
；
当
为奇数时，
对任意的正整数
恒成立，所以
，解得
．
综上，实数
的取值范围为
．
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题型11 公共项与增减项问题
1、对于公共项问题，要注意两个等差数列的公共项是等差数列，且公差时两等差数列公差的最小公倍
数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比时两个等比数列公比的最小公倍数．
2、对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了
多少项（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项．
41．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）已知数列
的前
项和为
，且满足
，数列
为
公比大于0 的等比数列，且
．
(1)求
；
(2)若在
与
之间插入
个1，由此构成一个新的数列
，记
的前
项和
，求
的值．
【答案】(1)
，
；(2)55
【解析】（1）由题意，得
，
又
时，
，符合题意，所以
.
设数列
的公比为
，又
，
，
即
，解得
，所以
.
（2）根据题意，在
与
之间插入
个1，
即在1 和2 之间插入
个1；
在2 和3 之间插入
个1；
在3 和4 之间插入
个1；
在4 和5 之间插入
个1，
此时刚好有45 项，则
.
所以
的值为55.
42．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，
是的方向向量．数列
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满足：点
均在上，
．
(1)求
的通项公式；
(2)已知
是以4 为首项，2 为公差的等差数列，若
与
的公共项为
，
的值由小到大构成数列
，求
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）由直线过原点且方向向量为
可知的方程为
因此对任意正整数
，
即
因为
，所以
，
所以
，
是首项为2，公比为3 的等比数列，
所以
（2）因为数列
是以4 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
因为
，所以
，即
因为
,所以
,则
的值为
所以
，可得
43．（24-25 高三上·山东枣庄·月考）已知数列
满足
，公差不为0
的等差数列
满足
成等比数列，
(1)证明：数列
是等比数列．
(2)求
和
的通项公式．
(3)在
与
之间从
的第一项起依次插入
中的
项，构成新数列
，
求
中前60 项的和
．
【答案】(1)证明见解析；(2)
，
；(3)
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【解析】（1）数列
中，
，
则
，而
，
所以数列
是等比数列，其首项为
，公比为
；
（2）由（1）知，
，
，
所以数列
的通项公式为
.
设等差数列
的公差为
，
由
成等比数列，得
，
即
，则有
，
又
，即
，于是
，
所以数列
的通项公式为
；
（3）依题意，数列
中，
前有数列
中的前
项，
有数列
中的前
项，
因此数列
中，
前共有
项，
当
时，
，
当
时，
，
因此数列
的前
项中有数列
中的前
项，有数列
中的前
项，
所以
.
44．（2025·湖南·三模）已知数列
满足
，数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的通项公式；
(3)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
之间插入
项，从而构成一个新
数列
，设
的前
项和为
，求
.
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【答案】(1)
；(2)
；(3)12182
【解析】（1）由
可得
，又
，
所以
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
.
（2）方法一：由已知得
，所以
，
所以
，又
，
等式两边同时相乘，可得
，
得
，该式对
也成立.
故
.
方法二：由
可知
是常数列，
所以
，
即
.
（3）设在
的前100 项中，来自
的有
项.
若第100 项来自
，则应有
，
整理可得
，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100 项来自
，则应有
，整理可得
.
易知
在
时单调递增，
当
时，
，不满足题意，
当
时，
，满足题意，
故
，所以
的前100 项中有10 项来自
，有90 项来自
，
所以
.
题型12 数列的新定义问题
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1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模
型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和
方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的．
2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性
质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
45．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知
是
项正整数数列，令
，其中
.若对任意的
中均无相同的项，则称
数列
为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8 是否为“和差单值”数列.
(2)已知
，其中
为两两不同的正整数，问：
是否为“和差单值”数列？请
说明理由．
(3)证明：若
的最大值不超过
，则
一定不是“和差单值数列”.
【答案】(1)是“和差单值”数列；(2)
是“和差单值”数列，理由见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）对于
：8，4，2，1，2，4，8，
若
不是“和差单值”数列，
则存在
以及
，使得
，
则
．
1 为该数列中唯一奇数．
若
，则
，为奇数，矛盾
若
，则只能是
或
或
，
这里的
，枚举可得均不成立，
故
是“和差单值”数列.
（2）由（1）可得，若
不是“和差单值”数列，则存在
以及
，
使得
，即
，
设
中最小值为
，则
，
只能是
，
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由于
为偶数，而
,
故
为奇数，不可能为0，故矛盾，假设不成立，
是“和差单值”数列.
（3）数列
共有
项，且
恒成立，
取
，
由
，可知
，
又
，则
至多有
个不同的值，
故
中必有两个值相等，故
一定不是“和差单值”数列.
46．（24-25 高三下·河北沧州·月考）设
是整数数列，m 是某个取定的正整数，若
是
除以m
的余数，则称数列
是
关于m 的模数列，记作
．斐波那契数列
是常见的整数数列，
满足
．
(1)写出数列
的第3 项、第4 项和第5 项；
(2)斐波那契数列
有许多非常好用的性质，比如：
，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列
是周期为8 的周期数列；
（ii）求
的个位数字．
参考数据：
．
【答案】(1)
；(2)（i）证明见解析；（ii）4
【解析】（1）由递推关系得
，
所以
．
（2）（i）由题中给的性质，可得
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以数列
是周期为8 的周期数列．
（ii）因为要计算个位数字，所以考虑数列
的周期，
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由参考数据，猜想数列
的周期为60，证明如下：
因为
，又由参考数据易得
，
所以
，
所以数列
是周期为60 的周期数列．
因为
，
所以
，
所以
，
又因为该数列的个位数字是以60 为周期，所以
，
，
所以
，
所以
的个位数字为4．
47．（24-25 高三下·云南·月考）设数列
的前n 项和为
，由
，
，…，
组成的数列记为
，把新数列
称为原数列
的一阶和数列，设数列
的前n 项和为
，把数列
称为数
列
的二阶和数列，依此类推，可得数列
的p 阶和数列
，其中
．
(1)若
，求数列
的二阶和数列
的通项公式；
(2)若
．
①求数列
的三阶和数列
的通项公式；
②写出数列
的p 阶和数列
的通项公式（不用证明）．
【答案】(1)
；(2)①
；②
（
）
【解析】（1）因为
，根据定义知：
，
所以数列
的一阶和数列
的通项公式为
．
同理数列
的二阶和数列
的通项公式为：
．
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（2）①因为
，所以
．
设
，
，
．
而
，所以
，
又因为
，而
，…，
，
所以
．
，又因为
，
所以
，…，
，
所以数列
的三阶和数列
的通项公式为：
．
②观察数列
的一阶和数列的通项公式
，
二阶和数列的通项公式
，
三阶和数列的通项公式
，
猜想数列
的
阶和数列
的通项公式为
（
）
48．（24-25 高三下·浙江湖州·月考）1679 年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字
电路中以2 为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0 和1 来表示．现代的计算机和依赖
计算机的设备里都使用二进制．设正整数
，
，其中
，
，那么，十进制数
可以用二进制表示为
，记作
，此时，令
，数列
满足
．
(1)二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如
震卦“
”对应的二进制数为100．请写出巽卦“
”和兑卦“
”对应的十进制数．
(2)证明：
，
．
(3)是否存在正偶数
，使得对任意
，满足
．若存在，请写出符合
要求的
；若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)巽卦“
”对应的十进制为，兑卦“
”对应的十进制为
；(2)证明见解析
(3)不存在正偶数
，使得对任意
，满足
．理由见解析
【解析】（1）
巽卦“
”的二进制为
，故对应的十进制为
，
兑卦“
” 的二进制为
，故对应的十进制为
；
（2）由
，可得
，
故
，
所以
，
，
因为
，
所以
，
所以
，
.
（3）不存在正偶数
，使得对任意
，满足
．
反证法，假设存在正偶数
，使得对任意
，满足
．
当
时，
①，当
时，
②，
当
时，
③，
由（2）可知
，
，因此
④，
所以由⑤可得，对于正偶数
，
，
，
而
，
，所以
，
由①②③可知：
，
令正偶数，
，
则
则根据④可得：
，
若为偶数，由⑤得
，矛盾，
若为奇数，则
为偶数，由⑤可知：
，
综上所述，不存在正偶数
，使得对任意
，满足
．
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