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第 4 节 空间直线、平面的平行
考试要求 1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中
线面平行、面面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得
的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
【知识梳理】
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果平面外一条直线与此平面
a⊄α，b α，
判定定理 内的一条直线平行，那么该直
a∥b a∥α
线与此平面平行
⊂
⇒
一条直线和一个平面平行，如
a∥α，a β，α∩β
性质定理 果过该直线的平面与此平面相
＝b a∥b
交，那么该直线与交线平行
⊂
⇒
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面内的两条相交 a β，b β，a∩b
判定定理 直线与另一个平面平行，那 ＝P，a∥α，
么这两个平面平行 ⊂b∥α⊂α∥β
两个平面平行，则其中一个
⇒
性质 平面内的直线平行于另一个 α∥β，a α a∥β
平面
⊂ ⇒两个平面平行，如果另一个
α∥β，α∩γ＝a，
性质定理 平面与这两个平面相交，那
β∩γ＝b a∥b
么两条交线平行
⇒
[常用结论与微点提醒]
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(2)平行于同一平面的两个平面平行.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.
2.三种平行关系的转化
(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题过程中既要注
意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.
(2)在应用判定定理与性质定理时，一定要写全定理满足的条件，否则可能是假
命题.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
或在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，
故(3)错误.
2.(必修二P143T1改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线都不相交
答案 D
解析 因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线 a与平面α内
的任意一条直线都不相交.
3.(必修二P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH
为截面，则四边形EFGH的形状为____________.
答案 平行四边形
解析 因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
所以EF∥HG，
同理EH∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
4.考查下列两个命题：“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件就可以
使其构成真命题(其中l，m为直线，α为平面)，则此条件为________.
① l∥α；②⇒l∥α.
答⇒案
l⊄α
解析 ①由线面平行的判定定理知l⊄α；
②由线面平行的判定定理知l⊄α.
考点一 直线与平面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝
AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.
求证：BE∥平面PAD.
证明 法一 如图，取PD的中点F，连接EF，FA.由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE⊄平面PAD，
⊂
∴BE∥平面PAD.
法二 如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，
CD＝4，
∴＝＝，即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE⊄平面PAD，PH 平面PAD，
⊂
∴BE∥平面PAD.
法三 如图，取CD的中点H，连接BH，HE，∵E为PC的中点，
∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，PD 平面PAD，
⊂
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，
∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH⊄平面PAD，
⊂
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，
⊂
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD.
⊂
角度2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥 P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC
的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA⊄平面BMD，
⊂
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
PA 平面PAHG，
⊂
∴PA∥GH.
感悟提升 1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b α，a∥b a∥α).
⊂ ⇒
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊂ ⊄β ⇒，a∥α a∥β).
⇒
2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作
辅助平面确定交线.
训练1 如图所示，已知四边形 ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线
段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置
关系，并证明你的结论.
(1)证明 如图，记AC与BD的交点为O，
连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，且四边形 ACEF是矩形，所以 EM∥OA且
EM＝OA，
所以四边形AOEM是平行四边形，
所以AM∥OE，
又因为OE 平面BDE，AM⊄平面BDE，
⊂
所以AM∥平面BDE.
(2)解 l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
⊂所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
⊂
所以m∥AM，所以l∥m.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
例 3 (2024·潍坊质检)如图，在三棱柱 ABC－A B C 中，E，F，G 分别为棱
1 1 1
B C ，A B ，AB的中点.
1 1 1 1
(1)求证：平面A C G∥平面BEF；
1 1
(2)若平面A C G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.
1 1
证明 (1)∵E，F分别为B C ，A B 的中点，
1 1 1 1
∴EF∥A C .
1 1
∵A C 平面A C G，EF⊄平面A C G，
1 1 1 1 1 1
⊂
∴EF∥平面A C G.
1 1
又F，G分别为A B ，AB的中点，
1 1
∴A F＝BG，
1
又A F∥BG，∴四边形A GBF为平行四边形，
1 1
∴BF∥A G.
1∵A G 平面A C G，BF⊄平面A C G，
1 1 1 1 1
⊂
∴BF∥平面A C G，
1 1
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
⊂
∴平面A C G∥平面BEF.
1 1
(2)∵平面ABC∥平面A B C ，平面A C G∩平面A B C ＝A C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面A C G与平面ABC有公共点G，经过点G的直线交BC于H，
1 1
则A C ∥GH，得GH∥AC，
1 1
∵G为AB的中点，
∴H为BC的中点.
感悟提升 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面
⇒
平行(α∥β，β∥γ α∥γ).
训练2 如图所示，在三棱柱ABC－A B C 中，过BC的平面与上底面A B C 交于
⇒ 1 1 1 1 1 1
GH(GH与B C 不重合).
1 1
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A B 的中点，求证：平面EFA ∥平面BCHG.
1 1 1
证明 (1)∵在三棱柱ABC－A B C 中，
1 1 1∴平面ABC∥平面A B C ，
1 1 1
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A B C ＝HG，
1 1 1
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC 平面BCHG，
⊂
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A B ，AB的中点，A B 綉AB，
1 1 1 1
∴A G綉EB，
1
∴四边形A EBG是平行四边形，
1
∴A E∥GB.
1
∵A E⊄平面BCHG，GB 平面BCHG，
1
⊂
∴A E∥平面BCHG.
1
又∵A E∩EF＝E，A E，EF 平面EFA ，
1 1 1
⊂
∴平面EFA ∥平面BCHG.
1
考点三 平行关系的综合应用
例4 如图，在斜三棱柱ABC－A B C 中，D，D 分别为AC，A C 上的点.
1 1 1 1 1 1(1)当等于何值时，BC ∥平面AB D
1 1 1?
(2)若平面BC D∥平面AB D ，求的值.
1 1 1
解 (1)当＝1时，BC ∥平面AB D .
1 1 1
如图，连接A B交AB 于点O，连接OD .
1 1 1
由棱柱的性质知，四边形A ABB 为平行四边形，
1 1
∴点O为A B的中点.
1
在△A BC 中，O，D 分别为A B，A C 的中点，
1 1 1 1 1 1
∴OD ∥BC .
1 1
又OD 平面AB D ，BC ⊄平面AB D ，
1 1 1 1 1 1
⊂
∴BC ∥平面AB D .
1 1 1
∴当＝1时，BC ∥平面AB D .
1 1 1
(2)由已知，平面 BC D∥平面 AB D ，且平面 A BC ∩平面 BC D＝BC ，平面
1 1 1 1 1 1 1
A BC ∩平面AB D ＝OD .
1 1 1 1 1
因此BC ∥OD ，同理AD ∥DC .
1 1 1 1∴＝，＝.
又＝1，∴＝1，即＝1.
感悟提升 解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，
再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化
的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和
研究的重要思想方法.
训练3 (2024·重庆诊断)如图，在长方体ABCD－A B C D 中，AD＝DD ＝1，AB
1 1 1 1 1
＝，E，F，G 分别为 AB，BC，C D 的中点，点 P 在平面 ABCD 内，若直线
1 1
D P∥平面EFG，则线段D P长度的最小值是________.
1 1
答案
解析 如图，连接D A，AC，D C，
1 1
因为E，F，G分别为AB，BC，C D 的中点，
1 1
所以AC∥EF，
又EF⊄平面ACD ，AC 平面ACD ，
1 1
⊂
所以EF∥平面ACD ，易知EG∥AD ，
1 1所以同理可得EG∥平面ACD ，
1
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
⊂
所以平面ACD ∥平面EFG.
1
因为直线D P∥平面EFG，
1
所以点P在直线AC上.
在△ACD 中，AD ＝，AC＝2，CD ＝2，
1 1 1
所以S
△AD1C
＝××＝.
当D P⊥AC时，线段D P的长度最小，
1 1
所以线段D P长度的最小值为＝＝.
1
1.作截面应遵循的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的
直线都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.
2.作交线的方法有如下两种：(1)利用基本事实3作交线；(2)利用线面平行及面面
平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
例1 (2024·宁波质检)已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是
正方形，且PA＝AB，点E是PD的中点，点F是棱PC上的点且PF＝2FC，则
平面BEF截四棱锥P－ABCD所得的截面图形是( )
A.斜三角形
B.梯形
C.平行四边形
D.两组对边均不平行的四边形
答案 D解析 如图，延长EF和DC，
设其交点为G，连接BG，
延长DA并与直线BG交于点H，
连接HE交PA于点K，
连接KB，得四边形EFBK，
假设KE∥BF，易证BF∥平面PAD，
易知BC∥平面PAD，
易得平面PBC∥平面PAD，
与平面PBC与平面PAD有公共点P矛盾，
故假设不成立，因此KE与BF不平行，
同理可证KB与EF不平行，
因此四边形EFBK的两组对边均不平行，故选D.
例2 (2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD－A B C D 的棱长均为2，∠BAD＝
1 1 1 1
60°.以D 为球心，为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为__________.
1 1 1
答案
解析 如图，设B C 的中点为E，球面与棱BB ，CC 的交点分别为P，Q，
1 1 1 1连接DB，D B ，D P，D Q，D E，EP，EQ，
1 1 1 1 1
由∠BAD＝60°，AB＝AD，
知△ABD为等边三角形，
∴D B ＝DB＝2，
1 1
∴△D B C 为等边三角形，
1 1 1
则D E＝且D E⊥平面BCC B ，
1 1 1 1
∴E为球面截侧面BCC B 所得截面圆的圆心，
1 1
设截面圆的半径为r，
则r＝＝＝.
可得EP＝EQ＝，
∴球面与侧面BCC B 的交线为以E为圆心的圆弧PQ.
1 1
又D P＝，∴B P＝＝1，
1 1
同理C Q＝1，
1
∴P，Q分别为BB ，CC 的中点，
1 1
∴∠PEQ＝，知PQ的长为×＝.
训练 （1）如图，在正方体ABCD－A B C D 中，E是BC的中点，平面α经过
1 1 1 1直线BD且与直线C E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多
1
边形的面积为________.
答案
解析 如图，过点B作BM∥C E交B C 于点M，
1 1 1
过点M作BD的平行线，交C D 于点N，
1 1
连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，
由图可知M，N分别为B C ，C D 的中点，
1 1 1 1
故BD＝2，MN＝，且BM＝DN＝，
设等腰梯形MNDB的高为h，
则h＝＝，
∴梯形MNDB的面积为
×(＋2)×＝.
(2) (2023·南通模拟)已知在圆柱O O 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及
1 2
母线均相切.过直线O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆
1 2
柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球O的交线长为________.答案 π
解析 设球O的半径为r，则AB＝BC＝2r，
而S ＝AB·BC＝4r2＝8，
四边形ABCD
所以r＝.
如图，连接PO ，O P，作OH⊥O P于点H，易知O O ⊥AB.
2 1 2 1 2
因为P为CD的中点，
所以AP＝BP，
又O 为AB的中点，
2
所以O P⊥AB.
2
又O O ∩O P＝O ，O O ，O P 平面O O P，
1 2 2 2 1 2 2 1 2
⊂
所以AB⊥平面O O P，
1 2
又OH 平面O O P，所以AB⊥OH.
1 2
⊂
因为OH⊥O P，且AB∩O P＝O ，AB，O P 平面ABP，
2 2 2 2
⊂
所以OH⊥平面ABP.
因为O O ＝2r＝2，O P＝，O O ⊥O P，
1 2 1 1 2 1所以O P＝
2
＝＝，
所以sin∠O O P＝＝＝，
1 2
所以OH＝OO ×sin∠O O P
2 1 2
＝×＝.
易知平面PAB与球O的交线为一个圆，其半径为
r ＝＝＝，
1
交线长为l＝2πr ＝2π×＝π.
1
【A级 基础巩固】
1.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥
平面PBC，则( )
A.EF∥PA
B.EF∥PB
C.EF∥PC
D.以上均有可能
答案 B
解析 由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
2.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和
直线AC的位置关系是( )A.平行 B.相交
C.AC在此平面内 D.平行或相交
答案 A
解析 如图，把这三条线段放在正方体内，可得
AC∥EF，AC⊄平面EFG，
EF 平面EFG，
⊂
故AC∥平面EFG.
3.下列命题中正确的是( )
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，
两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，故D正确.
4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面 α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，
PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S ∶S 等于( )
△A′B′C′ △ABCA.2∶3 B.2∶5
C.4∶9 D.4∶25
答案 D
解析 ∵平面α∥平面ABC，
∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，
∴S ∶S ＝(PA′∶PA)2，
△A′B′C′ △ABC
又PA′∶AA′＝2∶3，
∴PA′∶PA＝2∶5，
∴S ∶S ＝4∶25.
△A′B′C′ △ABC
5.(2024·成都诊断)在正方体ABCD－A B C D 中，下列结论正确的是( )
1 1 1 1
①AD ∥BC ；
1 1
②平面AB D ∥平面BDC ；
1 1 1
③AD ∥DC ；
1 1
④AD ∥平面BDC .
1 1
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
答案 A
解析 对于①，在正方体ABCD－A B C D 中，
1 1 1 1因为AB∥C D ，且AB＝C D ，
1 1 1 1
所以四边形AD C B为平行四边形，
1 1
故AD ∥BC ，故①正确；
1 1
对于②，易证BD∥B D ，AB ∥DC ，BD 平面BDC ，B D ⊄平面BDC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
⊂
所以B D ∥平面BDC ，
1 1 1
同理可得AB ∥平面BDC ，
1 1
又AB ∩B D ＝B ，AB ，B D 平面AB D ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊂
故平面AB D ∥平面BDC ，故②正确；
1 1 1
对于③，由正方体ABCD－A B C D 易知，AD 与DC 异面，故③错误；
1 1 1 1 1 1
对于④，因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BDC ，BC 平面BDC ，
1 1 1 1 1 1
⊂
所以AD ∥平面BDC ，故④正确.故选A.
1 1
6.(2024·杭州质检)已知α，β是两个不重合的平面，则“α∥β”的充要条件是(
)
A.平面α内存在无数条直线与β平行
B.存在直线l与α，β所成的角相等
C.存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β
D.平面α内存在不共线的三个点到β的距离相等答案 C
解析 对于A，如果α∩β＝l，则在α内与l平行的直线有无数条，这无数条直
线都与平面β平行，但此时α不平行于β，故A错误；
对于B，如果α∩β＝m，在空间内必存在直线l⊄α，l⊄β，且l与m平行，此时l
也与两个平面平行，即直线l与α，β所成的角都等于0，故B错误；
对于C，如果α∥β，则一定存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β，
若γ∥α且γ∥β，则也一定有α∥β，
则“α∥β”的充要条件是“存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β”，故C正确；
对于D，当α∥β时，α内必存在不共线的三个点到β的距离相等，但当α∩β＝m
时，同样可以在α内找到不共线的三个点到β的距离相等，故D错误.故选C.
7.(2024·新乡模拟)在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱
的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是( )
答案 B解析 对于A，如图①，连接B N，
1
由正方体的性质可知BM∥B N，
1
又B N与平面CNQ相交，
1
所以直线BM与平面CNQ不平行，故A错误；
对于B，如图②，连接AC，AQ，
由正方体的性质可知NQ∥AC，
故平面CNQ即为平面ACNQ，而BM∥AQ，BM⊄平面CNQ，AQ 平面CNQ，
⊂
所以直线BM与平面CNQ平行，故B正确；
对于C，如图③，连接BQ，
由中位线定理及正三棱柱的性质可知NQ∥BC，故平面CNQ即为平面BCNQ，
则直线BM与平面CNQ相交于点B，故C错误；
对于D，假设直线BM与平面CNQ平行，如图④，过点M作CQ的平行线交A B 于点D，则D是线段A B 上靠近点B 的
1 1 1 1 1
四等分点，连接BD，
由MD∥CQ，MD⊄平面CNQ，CQ 平面CNQ，
⊂
可得MD∥平面CNQ，
又BM与平面CNQ平行，MD∩BM＝M，MD，BM 平面BDM，则平面BDM∥
⊂
平面CNQ，
而平面ABB A 与平面BDM、平面CNQ分别相交于BD，QN，
1 1
则BD与QN平行，显然BD与QN不平行，故假设错误，
所以直线BM与平面CNQ不平行，故D错误.故选B.
8.如图所示，在正四棱柱 ABCD－A B C D 中，E，F，G，H 分别是棱 CC ，
1 1 1 1 1
C D ，D D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，
1 1 1
则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B BDD .(注：请填上你认为正确
1 1
的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案 点M在线段FH上(或点M与点H重合)
解析 连接HN，FH，FN(图略)，
则FH∥DD ，HN∥BD，
1易证得FH∥平面B BDD ，HN∥平面B BDD ，
1 1 1 1
FH∩HN＝H，FH，HN 平面FHN，
⊂
∴平面FHN∥平面B BDD ，只需M∈FH，
1 1
则MN 平面FHN，∴MN∥平面B BDD .
1 1
⊂
9.如图，在正方体ABCD－A B C D 中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD
1 1 1 1
上.若EF∥平面AB C，则线段EF的长度等于________.
1
答案
解析 因为EF∥平面AB C，EF 平面ABCD，平面ABCD∩平面AB C＝AC，
1 1
⊂
所以EF∥AC，所以点F为DC的中点，
故EF＝AC＝.
10.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱
称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A B C 中，AB＝AC＝AA ＝2，M，
1 1 1 1
N分别是BB 和A C 的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A B C 所得截面图
1 1 1 1 1 1
形的面积为 .
答案
解析 延长AN，与CC 的延长线交于点P，
1则P∈平面BB C C，
1 1
连接PM，与B C 交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑
1 1
堵”ABC－A B C 所得截面图形，
1 1 1
由题意解三角形可得NE＝ME＝，
AM＝AN＝，MN＝，
∴△AMN中MN边上的高
h ＝＝，
1
△EMN中MN边上的高
h ＝＝.
2
∴AMN截“堑堵”ABC－A B C 所得截面图形的面积
1 1 1
S＝S ＋S ＝MN·(h ＋h )
△AMN △EMN 1 2
＝××＝.
11.如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，
PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
证明 (1)取PB中点G，连接FG，EG，
因为点F为PC的中点，
所以FG∥BC，且FG＝BC，
因为四边形ABCD为长方形，
所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，且DE＝FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，
因为DF平面PBE，GE 平面PBE，
⊂
所以DF∥平面PBE.
(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，
⊂
所以DF∥l.
12.如图，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 均为平行四边形，M，N，G 分别是
AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为
平行四边形，
所以O为AE的中点，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO 平面DMF，
⊂
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，又DE⊄平面MNG，NG 平面MNG，
⊂
所以DE∥平面MNG，
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD平面MNG，MN 平面MNG，
⊂
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
【B级 能力提升】
13.(多选)(2024·苏州质量评估)在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，
AB∥CD，则( )
A.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
B.平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行
C.平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行
D.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
答案 ACD
解析 设平面PBC∩平面PAD＝l，在平面PBC内存在无数条直线与l平行，且
不在平面PAD内，则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行，故A正确；
若l∥平面ABCD，l 平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，则l∥BC，
⊂同理，l∥AD，则BC∥AD，这与四边形ABCD为梯形矛盾，故B错误；
设平面PAB∩平面PCD＝m，
∵AB∥CD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴AB∥m，
又AB 平面ABCD，m平面ABCD，
⊂
∴m∥平面ABCD，故C正确；
假设平面PAD内存在一条直线a与BC平行，则BC∥平面PAD，
又BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，则BC∥AD，不符合题意，
⊂
∴平面PAD内任意一条直线都不与BC平行，故D正确.
14.如图，正方体ABCD－A B C D 中，M，N分别为AB，BC的中点.
1 1 1 1
(1)当点P在棱DD 上运动时，是否都有MN∥平面A C P，证明你的结论；
1 1 1
(2)若 P 是 DD 的中点，Q 是 BB 的四等分点，且 B Q＝3QB，求证：平面
1 1 1
MNQ∥平面A C P.
1 1
(1)解 当点P在棱DD 上运动时，都有MN∥平面A C P.
1 1 1证明如下：
连接AC，在正方形ABCD中，MN为△ABC的中位线，
可得MN∥AC，
由正方体的截面性质可得四边形 A ACC 为矩形，则 AC∥A C ，可得
1 1 1 1
MN∥A C ，
1 1
又MN平面A C P，A C 平面A C P，
1 1 1 1 1 1
⊂
则MN∥平面A C P.
1 1
(2)证明 取A A的中点F，连接PF，FB ，
1 1
取B B的中点E，连接AE，
1
由FP∥A D ，FP＝A D ，A D ∥B C ，A D ＝B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
可得FP∥B C ，FP＝B C ，
1 1 1 1
即四边形FPC B 为平行四边形，
1 1
可得FB ∥PC ，
1 1
由E为B B的中点，且B Q＝3QB，
1 1
可得Q为BE的中点，且MQ∥AE，
由AEB F为平行四边形，
1
可得AE∥FB ，即有MQ∥PC .
1 1又MQ平面A C P，PC 平面A C P，
1 1 1 1 1
⊂
则MQ∥平面A C P，
1 1
又MN∥平面A C P，MN∩MQ＝M，MN，MQ 平面MNQ，
1 1
⊂
则平面MNQ∥平面A C P.
1 1
