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专题06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：唯一零点求值问题................................................................................................................2
题型二：不动点与稳定点....................................................................................................................3
题型三：运用反函数思想妙解压轴题................................................................................................5
题型四：倍值函数................................................................................................................................7
题型五：最值函数................................................................................................................................9
题型六：嵌套函数..............................................................................................................................12
题型七：共零点问题..........................................................................................................................15
题型八：双参数比值型问题..............................................................................................................16
题型九：指数函数与对数函数的交点..............................................................................................18
题型十：曼哈顿距离问题..................................................................................................................21
题型十一：平口单峰函数..................................................................................................................24
题型十二：三次函数..........................................................................................................................26
题型十三：指对同构..........................................................................................................................27
题型十四：切线放缩与夹逼..............................................................................................................29
题型十五：整数解问题......................................................................................................................30
题型十六：导数中的“最短距离”问题..........................................................................................33
题型十七：等高线问题......................................................................................................................35
重难点突破：多变量问题..................................................................................................................38
02 重难创新练....................................................................................................................................41
1
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题型一：唯一零点求值问题
1．已知函数
有唯一零点，则
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】因为
，设
，则
，因为
，所以函数
为偶函数，若函数
有唯一零点，则
函数
有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当
时，
才满足题意，即
是函数
的唯一零点，所以
，解得
.故选：C.
2．已知函数
有唯一零点，则的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
所以
，故函数
关于直线
对称，
故由函数
存在唯一零点得零点只在
处取得即
，
2
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所以
，解得
.
故选：A.
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，若函数
有唯一零点，则正实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知条件可知
由函数奇偶性易知
令
，
为偶函数.
当
时，
，
单调递增，当
时，
单调递减，
仅有一个极小值点
图象右移一个单位，所以仅在处有极小值，
则函数只有一个零点，即
，
解得
，
故选：A
题型二：不动点与稳定点
4．设函数
，若曲线
上存在点
，使得
成
立，则实数a 的取值范围是 .
3
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【答案】
【解析】因为
在曲线
上，
，∴
.
由于
在定义域内是增函数，
所以若
，则
，与
矛盾，
若
，则
，与
矛盾，所以
，
则问题转化为
在
内有解，即方程
在
内有解，
得方程
在
内有解，令
，
则
，∴
时，
，
即
在
上单调递增，所以
.
故答案为：
5．已知函数
，若曲线
（为自然对数的底数）上存在点
使得
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】结合函数的解析式：
可得：
，
令y′=0，解得：x=0，
当x>0 时，y′>0，当x<0，y′<0，
则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，
则当x=0 时，取最大值，最大值为e，
∴y0的取值范围（0，e]，
4
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结合函数的解析式：
可得：
，
x∈（0，e），
，
则f（x）在（0，e）单调递增，
下面证明f（y0）=y0．
假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0．
同理假设f（y0）=c<y0，则不满足f（f（y0））=y0．
综上可得：f（y0）=y0．
令函数
．
设
，求导
，
当x∈（0，e），g′（x）>0，
g（x）在（0，e）单调递增，
当x=e 时取最大值，最大值为
，
当x→0 时，a→-∞，
∴a 的取值范围
.
6．（2024·河南·二模）已知函数
，若曲线
上存在点
使得
，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若曲线
上存在点
，故
，
设
，则
，即
都在
图象上，不难发现该两点关于
对称，故
有解
5
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有解，
令
，
，即
在
上单调递增，
所以
故答案为：
题型三：运用反函数思想妙解压轴题
7．若
满足
满足
则
等于 ．
【答案】
【解析】由题意
，故有
故
和
是直线
和曲线
、曲线
交点的横坐标.
根据函数
和函数
互为反函数，它们的图象关于直线
对称，
故曲线
和曲线
的图象交点关于直线
对称.
即点
和点
构成的线段的中点在直线
上，
即
，解得
，
故答案为：.
8．已知函数
，
，
的零点分别为a，b，c，则
．
【答案】3
【解析】如图，在平面直角坐标系中，作函数
，
，
的图象，它们的图象与函数
6
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的交点的横坐标就是
.
因为
，
互为反函数，其图象关于直线
对称，
与
垂直，所以
.
又
，所以
.
所以
.
故答案为：3
9．设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
的最小值为 .
【答案】
/
【解析】由
，得：
，
.
所以
与
互为反函数．
则它们的图象关于
对称．
要使
的距离最小，则线段
垂直直线
.
点
在曲线
上，点Q 在曲线
上，
设
，
.
又P，Q 的距离为P 或Q 中一个点到
的最短距离的两倍．
以Q 点为例，Q 点到直线
的最短距离
7
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所以当
，即
时，d 取得最小值
，
则
的最小值等于
.
故答案为：
题型四：倍值函数
10．已知
是定义在实数集R 上的奇函数，a 为非正的常数，且当
时，
若存在实数
，使得
的定义域与值域都为
，则实数a 的取值范围是
【答案】
【解析】
，
当
时，
为减函数，
是定义在实数集R 上的奇函数，所以
的图象关于原点对称，
时，
为减函数，
又由奇函数特性可知
所以
8
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可由图像易知函数
是实数集R 上的减函数，
由题可得
当
时，
，所以
无解；
当
时，
，所以
无解；
，
的定义域与值域都为
，
两式相加可知：
舍或
，
，
．
故答案为：
．
11．（2024·高三·黑龙江大庆·开学考试）定义区间
长度
为，已知函数
的定义域与值域都是
，则区间
取最大长度时的值为
.
9
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【答案】
【解析】因为
，所以
在
和(0,+∞)上都是单调递增函数，所以
或
因为值域是
，所以
即
为方程
两个不同的实根,
所以
或
长度为
所以当
时，
长度取最大值，
故答案为：3
12．定义在区间
长度为
，已知函数
（a∈R，a≠0）的定义域与值域
都是
，则区间
取最长长度时a 的值是 ．
【答案】7
【解析】函数
的定义域为
，显然
在
上单调递增，
依题意，
或
，因此
在
上单调递增，则有
，
于是得
是方程
的同号相异实根，即方程
的同号相异实根，
则
，解得
或
，且
，此时
同号，
，
当且仅当
，即
时取等号，
10
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所以区间
取最长长度时，a 的值是7.
故答案为：7
题型五：最值函数
13．设
，对任意实数x，记
，其中
．若
至
少有3 个零点，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设
，
，由
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
11
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所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
14．设
表示a，b，c 中最大的数．设.
，且
，则
的最
小值为 ．
【答案】
【解析】令
其中
，
所以
，
12
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若
，则
，故
，
令
，
因此
,故
,则
，
可知
的最小值为
，
故答案为：
15．（2024·贵州·三模）以
表示数集
中最大（小）的数.设
，已知
，则
.
【答案】
【解析】由
，得
，
设
，则
，
由
，
当且仅当
时，取等号，
所以
.
故答案为：
.
13
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题型六：嵌套函数
16．（2024·安徽安庆·三模）已知函数
有三个零点
，
，
，且
，其中
，
为自然对数的底数，则
的范围为
．
【答案】
【解析】由
，两边同时除以
变形为
，
有
设
即
，所以
令
，则
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，当
时，
其大致图像如下．
要使关于x 的方程
有三个不相等的实数解
，
，
，且
．
结合图像可得关于t 的方程
一定有两个不等的实数根，
且
，从而
．
，
，则
，
．
14
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所以
.
故答案为：
17．已知函数
，若函数
有4 个零点
，
，
，
，则
；若关于的方程
有个不相等的实数根，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，函数
，
根函数的图象变换，函数
的图象关于
对称，
根据二次函数的性质，可得函数
的图象关于
对称，
在坐标系中作出函数
的图象，如图所示，
函数
有4 个零点
，
，
，
，
可得
，所以
；
令
，则方程
可化为
，
15
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因为
有8 个不等的实数根，
则方程
必有4 个实数根，所以
，
所以
在
有2 个不同的实数根，
令
，可得其对称轴的方程为
，
则满足
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
；
.
18．若函数
有极值点
，且
，则关于的方程
的不同实根个数是 ．
【答案】3
【解析】
16
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因
，故由题设可知
有两解
，因此方程
有两个根
．如图，由于
，因此一定存在唯一的
使
得
，故方程
有三个实数根，故答案为．
题型七：共零点问题
19．已知函数
，
，若函数
在
上是
增函数，且
在定义域上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于函数
在
上是增函数，所以
恒成立，故
，即
，所以
.故
即
在
(0,+∞)上恒成立，等价于
①，或
②.
由①得
③，构造函数
，
，所以
在
上
，
递减，在
上
，
递增，最小值为
，所以③等价于
，解得
.
17
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由②得
④.由
解得
.根据
和
的单调性可知，当且仅当
时，④成
立.
综上所述，的取值范围是
.
故答案为
.
20．设函数
，若
恒成立，则
的最小值为 .
【答案】
/0.5
【解析】当
时，
；当
时，
，
当
时，
；当
时，
；
若
恒成立，则必须
，即
，
所以
，
所以当
，
时，
取到最小值
.
故答案为：
21．设函数
．若
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】当
时，
，此时要使
，还需
恒成立，即还需
，
当
时，
，此时要使
，还需
恒成立，即还需
，
综上所述，
，即
，
18
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所以
，所以
的最小值为
，等号成立当且仅当
.
故答案为：
.
题型八：双参数比值型问题
22．已知不等式
对任意
恒成立（其中e 为自然对数的底数，a，
）则
的最小值为
.
【答案】
【解析】令
，利用导数研究函数的单调性，求出其最小值，则最小值大于等于零，即可
得到
，则
，所以
，令
，
利用导数求出
的最小值即可得解；令
，则
恒成立，
所以
当
时，
，不符合题意，舍去；
当
时，由
，得
，当
时，
即
在
上单调递减，当
时，
即
在
上单调递增，
所以
的最小值为
，即
，
则
，
所以
，令
，
，则
，
所以当
时，
即
在
上单调递增，当
时，
即
在
上单调
19
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递减，故
，
故
故答案为：
23．已知
，若关于x 的不等式
对一切正实数x 恒成立，则当
取最小值时，实
数
的值为 .
【答案】
【解析】不等式
对一切正实数
恒成立，
即直线
恒在曲线
的上方．
当
最小，即直线
与
交点的纵坐标最小．
根据图象可知，
当
时，
,
所以当直线
与曲线
相切于点
时，
取最小值
.
因为
，所以
，所以
.
故答案为：
24．已知不等式
（
，且
）对任意实数
恒成立，则
的最大值
为 .
20
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【答案】
.
【解析】令f（x）＝x
3
﹣lnx+1﹣mlnx﹣n，
则f′（x）＝1﹣
（x＞0），
若m+3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0 时，f（x）→﹣∞，不合题意；
∴m+3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m+3，
当x∈（0，m+3）时，f′（x）＜0，当x∈（m+3，+∞）时，f′（x）＞0，
∴当x＝m+3 时，f（x）有最小值，则f（m+3）＝m+3
3
﹣ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，
即n
3≤
﹣
m+1﹣（m+3）ln（m+3），
≤
，
令g（x）＝
，
则g′（x）＝
．
当x∈（﹣3，﹣1）时，g′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，
∴当x＝﹣1 时，g（x）有最大值为﹣ln2．
即
的最大值为﹣ln2 ．
故答案为：
.
题型九：指数函数与对数函数的交点
25．函数
的零点为，函数
的零点为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，则
，
，即
，即
；
，
，则
，即
.
设
，则函数在
上单调递增，
，
21
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故
，即
，
，当
时，
不成立，故
，
等号不成立，故
，ACD 错误B 正确.
故选：B
26．设
,
分别是函数
和
的零点（其中
）,则
的取值范围是
（ ）
A．[2,+ ∞)
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法一:（图象法）根据题意可知
分别为
与
和
与
交点的横坐标,,再
根据同底数的指数对数函数互为反函数,有
.代入
,再根据区间
上单调递增,所
以
.
解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知
、
是方程
和
的根,又
,所以函数
在(0,+∞)上单调递增,所以
.代入
在区间
上单调递增,所以
.解:解法一:（图象法）
根据函数零点的定义可知函数
与
的图象交点为
,
同理可得函数
与
的图象交点为
.
22
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又因为函数
与
的图象关于直线
对称,
函数
的图象也关于直线
对称,
所以点
与点
关于直线
对称,所以
.
由
可知
,所以
在区间
上单调递增,
所以
.
故选:D
解法二:（定义法）
根据函数零点的定义可知
是方程
的根,
所以
也是函数
的零点.
同理可得
是方程
的根,即
,
所以
,所以
也是函数
的零点.
又
,所以函数
在(0,+∞)上单调递增,所以
.
由
可知
,所以
在区间
上单调递增,
所以
.
故选:D
27．数学家已经证明：指数函数
与对数函数
的图象当且仅当
时
23
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有两个不同的公共点.若对任意的
，都有
恒成立，则实数的取值范围是 .（注：
是自然对数的底数）
【答案】
【解析】由题意可得
在
的上方，由对数的性质和指数函数的单调性，可得的范围．“若对任
意的
，都有
恒成立”等价于“函数
恒在函数
的上方”，
所以
，即
．
故答案为：
，
．
题型十：曼哈顿距离问题
28．已知点
是单位圆
上的动点，点
是直线
上的动点，定义
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】过
作
轴，
轴的垂线，垂足及其他交点如图所示，
则
，
，
由于直线
的斜率是
，
当
都在第一象限时，
①
取x1＝x2∈[0，1]时等号成立，
24
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则y1＝
，y2＝6﹣2x2＝6﹣2x1，
则|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝
，
令x1＝cos （∈[0，
]），
则|y1﹣y2|＝6﹣2cos ﹣sin
＝6﹣
（
+
）≥6﹣
；
②
取y1＝y2∈[0，1] 时等号成立，
则x1＝
，x2＝3﹣
＝3﹣
.
则|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x1﹣x2|＝
，
令y1＝sin
（
∈[0，
]），
则|x1﹣x2|＝3﹣
﹣cos ＝3﹣
sin（+
）≥3
.
当
中至少有一个点不在第一象限时，明显
的取值会比
都在第一象限时大，
综上可得：|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的最小值是3
.
故选：A.
29．（2024·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，定义两点
与
之间的“直角距离”为
25
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．给出下列命题：
（1）若
，
，则
的最大值为
；
（2）若
是圆
上的任意两点，则
的最大值为
；
（3）若
，点
为直线
上的动点，则
的最小值为
．
其中为真命题的是
A．（1）（2）（3）
B．（2）
C．（3）
D．
（2）（3）
【答案】D
【解析】对于（1），
，
的最大值为
，故（1）不正确．
对于（2），要使
最大，必有
两点是圆上关于原点对称的两点，可设
，
则
．故（2）正确；
对于（3），设
，则
，去掉绝对值后可知当
时，
取得最小
值
，故（3）正确．故选D.
考点：信息题.
30．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两
点
的曼哈顿距离
，则下列结论正确的是（ ）
A．若点
，则
B．若点
，则在轴上存在点
，使得
26
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C．若点
，点
在直线
上，则
的最小值是5
D．若点
在圆
上，点
在直线
上，则
的值可能是4
【答案】D
【解析】A 选项，
，A 错误；
B 选项，设
，则
，
当且仅当
时，等号成立，
故在
轴上不存在点
，使得
，B 错误；
C 选项，点
在直线
上，设
，
则
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
故当
时，
取得最小值，最小值为
，C 错误；
D 选项，设
，此时
，
故
的值可能为4，D 正确.
故选：D
题型十一：平口单峰函数
31．已知函数
，当
，
时，设
的最大值为
，则
的
最小值为 ．
【解析】解：函数
，
27
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当
，
时，设
的最大值为
，
可得
，
，
，
可得
，
，
，
，
即
，
即有
，当且仅当
，
时取得等号，
则
的最小值为
，
故答案为：
．
32．已知函数
，当
，
时，
的最大值为
，则
的
最小值等于 ．
【解析】解：函数
，
，
即四分之一圆
，
，
上的点到直线
的最大距离为
，此时圆上点记作
，
如图所示，
28
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只有过
的中点且平行于直线的直线才能满足条件，
故当
，
时，
的最小值为
，
，
与
的
纵向距离，
即
的最小值为
．
故答案为：
．
解法二：
解：函数
，
当
，
时，
的最大值为
，
可得
，
，
，
可得
，
，
，
，
即
，
即有
，
则
的最小值为
，
故答案为：
．
33．已知函数
定义域为
，
，记
的最大值为
，则
的最小值为
A．4
B．3
C．2
D．
29
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【解析】解：函数
定义域为
，
，记
的最大值为
，
可得
，
（1）
，
（2）
，
可得
，
即为
，
可得
的最小值为2．
故选：
．
题型十二：三次函数
34．（2024·广东广州·一模）已知函数
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
=
，
故选：B.
35．已知函数
，若过点
可作曲线
的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】首先设过点
的切线方程
，切点
，利用导数的几何意义列式，转化为
有三个解，通过设函数
，问题转化为
与
有三个
30
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交点，求的取值范围.设过点
的直线为
，
，设切点为
，
则
，得
有三个解，
令
，
，
当
，得
或
，
，得
，
所以
在
，
单调递增，
单调递减，
又
，
，
有三个解，
得
，即
.
故选：D
题型十三：指对同构
36．（2024·高三·江西宜春·开学考试）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称
为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于
的方程
和关于b
的方程
可化为同构方程，则
的值为 ．
【答案】
【解析】对
两边取自然对数，得
①，
对
两边取自然对数，得
，即
②，
因为方程①②为两个同构方程，所以
，解得
，
设
且
，则
，
所以
在
上单调递增，故
的解只有一个，
31
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所以
，则
．
故答案为：
37．（2024·湖北·模拟预测）对于任意实数
，不等式
恒成立，则
的取值范围是
.
【答案】
【解析】不等式
恒成立等价于
即
，
即
，
由于
为增函数，
所以由
，得
，即
恒成立，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减
易得
，
所以
，所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
38．（2024·高三·重庆·开学考试）已知函数
，若关于
的不等式
恒成
立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得
，所以
，
32
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令
，则
，
易得
在
上单调递增，所以
，
即
在
恒成立，
令
，
则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
题型十四：切线放缩与夹逼
39．已知函数
，
（其中e 为自然对数的底数），若存在实数
，使得
成立，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
故
在
上是减函数，
上是增函数，
故当
时，
的最小值为
，
33
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又由
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，当且仅当两个不等式等号同时成立时，即
等号成立，
得
，
故选：B.
40．（2024·浙江·一模）若
是实数，
是自然对数的底数，
，则
．
【答案】
【解析】令
，则
．当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
故
，所以
，即
（当且仅当
时等号成立）．
令
，则
．
当
时，
，
单调递增；当
时，
单调递减．
故
，所以
，即
（当且仅当
时等号成立）．
所以
，又
，所以
，解得
，所以
．
故答案为:
.
34
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题型十五：整数解问题
41．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
，若不等式
的解集中有且仅有一个
整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】易知函数
的定义域为
，且
，
当
时，f
' (x)>0；当
时，f
' (x)<0，
所以
在
上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；
即
，
又当
趋近于
时，
趋近于
，当
趋近于
时，
且趋近于
；
作出函数
的图象如下图所示：
易知
恒过定点
，
由不等式
的解集中有且仅有一个整数可知
只有一个整数解；
令
，利用一次函数图象性质可知，
当
时，
在(0,+ ∞)上恒成立，不合题意；
35
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当
时，若
只有1 个整数解，因此整数必为1；
所以可得
，即
，解得
；
即实数
的取值范围是
.
故选：B
42．（2024·全国·模拟预测）当
时，
恒成立，则整数
的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【解析】由题意得，
在
上恒成立，
设
，
，所以
，
因为
，
令
，
，则
，所以
在
上单调递增，
因为
，
，所以
在
上仅有一个实数根，设为
，
所以
，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，所以
.
因为
，
，所以
，
将
代入可得
，
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，
，
36
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所以
，
当
时，
不成立，
又
，则整数
的最大值为
.
故选：B.
43．（2024·高三·江西·期末）若集合
中仅有2 个整数，则实数k 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原不等式等价于
，设
，
，
则
，令
，得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，f
' (x)<0，
单调递减.
又
，
时，
，
因此y = f (x)与y = g(x)的图象如图，
当
时，显然不满足题意；
当
时，当且仅当
，或
.
37
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由第一个不等式组，得
，即
，
由第二个不等式组，得
，该不等式组无解.
综上所述，
.
故选：A.
题型十六：导数中的“最短距离”问题
44．若对任意的实数，函数
在
上是增函数，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
在R 上是增函数，
∴
在R 上恒成立，
∴
，
，
令y=t−lnt，
，则
，
∴(0,1)上，y′<0，(1,+∞)上，y′>0，
∴t=1 时，ymin=1，
∴
的最小值为
，
38
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∴
.
故选：A.
45．设函数
，若关于
的不等式
有解，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点
，则
，
令
，
，
可知
的最小值即为
上的点
与
上的点
之间的距离平方的最小值，
若直线
与函数
的图象相切，设切点的横坐标为
，
因为
，可得
，解得：
，
则切点为
，且切点在
上，故
，
点
到直线
的距离为
，所以
，
又因为
有解，则
，
此时点P 在
上，也在直线
在点P 处的垂线即直线
上，
其中直线
在点P 处的垂线的斜率为
，
所以直线
在点P 处的垂线方程为：
即点
坐标满足
，解得
，即
.
39
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故选：C．
46．设函数
在区间
上存在零点，则
的最小值为（ ）
A．
B．e
C．
D．
【答案】D
【解析】设零点为t，则
，
因此
，
考虑函数
，其导函数
，
因此函数
在
上单调递减，从而
的最小值为
．
故选：D.
题型十七：等高线问题
47．已知函数
，若关于
的方程
有四个不同的实数解
、
、
、
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数
的图象如下图所示：
40
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若关于
的方程
有四个不同的实数解
、
、
、
，且
，
由
可得
或
，解得
或
，
所以，
，
由
得
，即
，所以，
，
由图可知，点
、
关于直线
对称，则
，
所以，
，其中
，
令函数
，其中
，则函数
在
上单调递增，
所以，
，即
，即
.
故选：D.
48．已知函数
，若方程
有三个不同的实数根
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
41
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【解析】方程
，显然
不为该方程的实数根，
设
，
即方程
有三个不同的实数根
，
即
有三个不同的实数根
，
当
时，
，则
，
由
，可得
；
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
从而作出
的大致图像.
由图可知当
时，直线
与函数的图象有3 个交点，
即方程
有三个不同的实数根.
由
，得
，
由
，得
，
所以
42
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所以
．
故选：A．
49．已知函数
，若存在实数
，
，
且
，使得
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出
的图象如图：
若存在实数
，且
，使得
因为
的图象关于直线
对称，
所以
,
所以
，
由图可知，
,
所以
设
，
，
所以
，
43
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易知
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所 以
在
上 单 调 递 增，
所以
.
故选：A
重难点突破：多变量问题
50．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
，当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知，当
时，不等式
恒成立
所以
恒成立，即
恒成立
设
，则可得
在(0,+∞)上是增函数
则
在(0,+∞)上恒成立，即
在(0,+ ∞)上恒成立
令
，则
44
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易知当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增
所以
，所以
，得
故选：D
51．已知函数
，其中
．若对于某个
，有且仅有3 个不同取值的
，使得关
于
的不等式
在
上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】显然
，否则
，于是
，即
，这与不等式的解集为
矛盾．
又易知
时，不等式
恒成立．于是仅需再分析
的情形．
易知
，由
知
或
，
所以
．所以原问题等价于关于
的方程
有两解，
设
，则
，
时，
，
递减，
时，
，
递增，
所以
，
时，
，
时，
，
所以由关于
的方程
有两解，得
，所以
．
故选：C．
52．对任意的实数
，都存在两个不同的实数
，使得
成立，则实数
的取值范
围为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
45
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【解析】
令
，则
，
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
，则
的取值范围为
故答案选
46
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1．（2024·高三·江西·期中）已知函数
有两个零点
，
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
有两个零点
，
，
所以
与
的两个交点横坐标分别为
，
，
结合图象知
，
，
，
，则
，
所以
，
则
，
令
，则
，
，
又
在区间
上单调递减，所以
，
所以
.
故选：
.
47
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2．（2024·高三·云南·阶段练习）若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【解析】因为
，故
，
而
为(0,+ ∞)上的增函数，故
即
，故
，
设
，则
，
当
时，
，故
在
上为减函数，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
，
故选：B.
3．（2024·山东威海·一模）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
则
是偶函数，
又
，当
时，
恒成立，
所以
，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
48
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又
，且
，即
，所以
，则
，所以选项B 正确，
当
时，
，所以选项A 和D 错误，
当
时，
，所以选项C 错误，
故选：B.
4．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数
是定义在R 上偶函数，当
时，
，
若函数
仅有4 个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
在
上单调递增，函数值集合为
，
当
时，
在
上单调递减，函数值集合为
，
又函数
是定义在R 上偶函数，其图象关于y 轴对称，作出函数
图象：
函数
仅有4 个零点，则函数
图象与直线
有4 个交点，
当
时，函数
图象与直线
有4 个交点，
49
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所以实数
的取值范围是
.
故选：A
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
，
，若
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，
，
∴
，
令
，
∴
在
上单调递增，
∴
，即
，
∴
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
∴
，
∴
的最小值为
，
故选：B.
6．（2024·高三·湖南·期中）已知函数
，若方程
恰有5 个不同的解，
50
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则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，
若
时，由
求导得，
，
故当
时，f
' (x)<0；当
时，f
' (x)>0，
所以
在(0,1)上单调递减，在(1,+ ∞)上单调递增，
故
在
处取得极小值，也是最小值，
，
当
时，
；当
时，
；
若
时，由
求导得，
，
因为
，故恒有f
' (x)>0，即
在
上单调递增，
且当
时，
，当
时，
，
即当
时，恒有
.
作出函数
的大致图象如图所示.
51
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又由
可得
或
，
由图知
有两个根，此时方程有2 个不同的解；
要使方程
恰有5 个不同的解，
需使
有3 个零点，由图知，需使
，
即
，解得
.
综上所述，实数a 的取值范围是
.
故选：B.
7．（2024·高三·上海黄浦·期末）设
，满足
的x 的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无数个
【答案】C
【解析】由
可得
，
即
，其中
，
所以原方程化为
，即
，
不妨令
，因为
，所以
，
52
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易知
时，
成立，即
满足题意；
又
的周期为
，且
，
所以在区间
上还有一个根，如图所示，
故选：C
8．（2024·高三·河南驻马店·期末）已知函数
，若关于x 的方程
有2 个
不同的实根
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】关于
的方程
有2 个不同的实根
直线
与
的图象有2 个不同的
交点，且交点横坐标异号；
在同一平面直角坐标系中画出
与
的图象，如图所示，
当
经过(0,2)时，且此时斜率为−2，由此逆时针旋转直线至靠近
轴都可满足要求，
由图可知
，即
，
故选：C.
53
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9．（2024·高三·四川成都·期中）已知
，若关于
的不等式
在
上
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
.
因为
，所以
在
上单调递增.
当
时，
；当
时，
.
因为
的图象开口向上，
，所以方程
有一正根一负根，
即函数
在
上有且仅有一个零点，且为异号零点.
由题意可得，
，则当
时，
；当
时，
，
所以
是方程
的根，则
，即
，且
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
故选：A.
10．（多选题）（2024·高三·辽宁沈阳·期中）已知函数
，则（ ）
54
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A．
B．若
，则
的极大值点为
C．若
至少有两个零点，则
D．
在区间
上单调递增
【答案】ACD
【解析】A 选项，
，
故
，A 正确；
B 选项，
，若
，当
或
时，
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
为极小值点，B 错误；
C 选项，
，当
时，
，故
在R 上单调递增，不会有两个零点，舍去；
当
时，由B 选项知，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
处取得极小值，在
取得极大值，
且当
趋向于
时，
趋向于
，当
趋向于
时，
趋向于
，
其中
，
，
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要想
至少有两个零点，则
，
解得
，C 正确；
D 选项，由C 选项知，当
时，
在R 上单调递增，满足在区间
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，
其中
，
故
，所以
在区间
上单调递增，
综上，
在区间
上单调递增，D 正确
故选：ACD
11．（多选题）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数
，若函数
有6 个不同的零点，且最小的零点为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．6 个零点之和是6
【答案】BD
【解析】由函数
的图象，经过
轴翻折变换，可得函数
的图象，
再向右平移1 个单位，可得
的图象，
最终经过
轴翻折变换，可得
的图象，如图所示，
则函数
的图象关于直线
对称，令
，
因为函数
最小的零点为
，且
，
故当
时，方程g(x)=0有4 个零点，
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所以要使函数有6 个不同的零点，且最小的零点为
，则
或
，
由
，可得
或
，
设
的四个根从小到大依次为
，
由函数y = f (x)的图象关于直线
对称，可得
，
所以
的所有零点之和是6，故D 正确；
关于的方程
的两个实数根为
和，
由韦达定理，得
，所以B 正确，A，C 错误.
故选：BD.
12．（多选题）（2024·四川内江·一模）给定函数
，
．分别用
、
表示
、
中的最小者、最大者，记为
,
．下列说法正
确的是（ ）
A．
B．当直线
与曲线
有三个不同交点时，
C．当
时，曲线
在点
处的切线与曲线
有且仅有一个交点
D．函数
的值域为
【答案】ACD
【解析】函数
、
的定义域均为
，且
，
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所以，
，
，
对于A 选项，当
时，
，则
，此时，
，
当
时，
，则
，此时，
，A 对；
对于B 选项，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与函数
的图象有三个交点，B 错；
对于C 选项，当
时，
，则
，
因为
，则
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，
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即
，
当
时，由
，
整理可得
，可得
（舍去），
当
时，由
可得
，
解得
或
（舍去），
综上所述，当
时，曲线
在点
处的切线与曲线
有且仅有一个交点，C 对；
对于D 选项，当
时，
，
当
时，
.
综上所述，函数
的值域为
，D 对.
故选：ACD.
13．（2024·高三·天津·期中）已知
，函数
若关于
的方程
恰有
2 个相异的实数解，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】当
时，由
，得
，
整理可得：
，
因为
不是方程的实数解，所以
，
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当
时，由
，得
，
整理可得：
，
因为
不是方程的实数解，所以
，
令
，
其中
，
由题意，关于
的方程
恰有2 个相异的实数解
函数
与函数
有两个不同的交点；
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数
的图象，
同时绘制函数
的图象，如图所示：
由
，解得
，由
，解得
，
由
，
，且
，结合图象可知：实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
14．（2024·高三·江西·期中）已知函数
，若存在实数
，
，
且
，
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使得
，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】根据题意作出函数y = f (x)的图象，如图所示，
令
，解得
或
，令
，解得
或
或
，
由题意可知：
与y = f (x)有三个交点，则
，
此时
，且
，
所以
，
令
，
则
恒成立，
所以
在
单增，
的最大值为
，
即
的最大值为
.
15．（2024·高三·上海·期中）已知
，
，且
，则
的取值范围是
.
【答案】
【解析】由已知
，
，
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则
，
所以
，
可视为方程
的两个解，且满足
，
即
，
可视为函数
的两个零点，且满足
，
则
，
解得
，即
，
则
，
故答案为：
.
16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点
可作三条直线与曲线
相切，则实数a 的取
值范围为 .
【答案】
【解析】由题意
，设点(x1,f (x1))为曲线
的切点，
则切线方程为
，整理得
，
将点
代入可得
.
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
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当
时，
，
单调递减.
又
，
，
当
时，方程
有3 个不同的实数根，
即当
时，有3 个不同的
满足方程
，
即过点
可作三条直线与曲线
相切.
故答案为：
.
17．（2024·山东·模拟预测）一条直线与函数
和
的图象分别相切于点
和点
，
则
的值为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
则
在点P(x1, y1)处的切线方程为
，即
；
在点Q(x2, y2)处的切线方程为：
，即
，
由已知
，得
，解得
，
所以
，因此
．
故答案为：
．
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