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专题09 导数常考题型全归纳
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题型01 导数与极值（含有参数的单调性分类讨论）.............................................................................................1
题型02 导数与最值（含恒成立和有解问题）.........................................................................................................4
题型03 导数与方程的根（含隐零点问题）.............................................................................................................6
题型04 极值点偏移问题..............................................................................................................................................9
题型05 导数与不等式................................................................................................................................................12
题型06 导数中其他双变量问题................................................................................................................................14
题型07 导数结合数列................................................................................................................................................16
题型01 导数与极值（含有参数的单调性分类讨论）
【解题规律·提分快招】
一、含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续
的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒
负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
【一般性技巧】
1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0 的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，
讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区
间．
2、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义
域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
3、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
二、函数的极值
1
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函数
在点
附近有定义，如果对
附近的所有点都有
，则称
是函数的一个极大
值，记作
．如果对
附近的所有点都有
，则称
是函数的一个极小值，记作
．极大值与极小值统称为极值，称
为极值点．
求可导函数
极值的一般步骤
（1）先确定函数
的定义域；
（2）求导数
；
（3）求方程
的根；
（4）检验
在方程
的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那
么函数
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值.
注①可导函数
在点
处取得极值的充要条件是：
是导函数的变号零点，即
，且在
左侧
与右侧，
的符号导号.
②
是
为极值点的既不充分也不必要条件，如
，
，但
不是极值点.另
外，极值点也可以是不可导的，如函数
，在极小值点
是不可导的，于是有如下结论：
为
可导函数
的极值点
；但
为
的极值点.
【典例训练】
一、解答题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，讨论
的单调性与极值.
2．（2024·河南开封·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)函数
；若方程
在
上存在实根，试比较
与
的大小．
3．（24-25 高三上·山西吕梁·期末）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
的极值；
(3)若
为函数
的极值点，则称
为函数
的“靓点”．证明：
上任意一点都有可能
成为
的“靓点”．
2
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4．（24-25 高三上·安徽淮北·阶段练习）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程．
(2)求函数
的极值；
(3)设函数
．证明：存在实数
，使得曲线
关于直线
对称．
5．（23-24 高三上·安徽六安·期末）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)设函数
有两个极值点
，求证：
.
6．（24-25 高三上·云南德宏·期末）已知函数
．
(1)若函数
在
处的切线与直线
垂直，求实数a；
(2)若函数
有极大值，且极大值不大于0，求实数a 的取值范围．
7．（2025 高三·全国·专题练习）设函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)已知函数
有两个极值点，求
的取值范围.
8．（2025·山西临汾·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
在
上的极值.
9．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
是函数
唯一的极值点，求实数a 的取值范围.
3
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题型02 导数与最值（含恒成立和有解问题）
【解题规律·提分快招】
一、函数的最值
函数
最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数
最小值为极小值与靠近极大值
的端点之间的最小者．
一般地，设
是定义在
上的函数，
在
内有导数，求函数
在
上
的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求
在
内的极值（极大值或极小值）；
（2）将
的各极值与
和
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是
对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
二、恒成立和有解问题
1、若函数
在区间D 上存在最小值
和最大值
，则
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
2、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为
，则
不等式
在区间D 上恒成立
．
不等式
在区间D 上恒成立
．
3、若函数
在区间Ｄ上存在最小值
和最大值
，即
，则对不等式有解问题
有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
4、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为
，则对不等式有解问题有以下结论：
4
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不等式
在区间D 上有解
不等式
在区间D 上有解
5、对于任意的
，总存在
，使得
；
6、对于任意的
，总存在
，使得
；
7、若存在
，对于任意的
，使得
；
8、若存在
，对于任意的
，使得
；
9、对于任意的
，
使得
；
10、对于任意的
，
使得
；
11、若存在
，总存在
，使得
12、若存在
，总存在
，使得
．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三下·四川内江·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求函数
在
的最小值
.
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
的图象的一条切线方程是
.
(1)求
；
(2)若关于
的不等式
有解，求
的取值范围.
3．（24-25 高三上·湖北·期中）已知
为函数
的极小值点.
(1)求的值；
(2)设函数
，若对
，
，使得
，求
的取值范围.
4．（24-25 高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数
，
的导函数为
，且
．
5
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(1)求
的最值；
(2)求证：
．
5．（24-25 高三上·浙江·阶段练习）已知函数
的最小值是0．
(1)求
；
(2)若实数
，
满足
，求
的最小值．
6．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
在
上恒成立，求整数
的最大值.
7．（24-25 高三下·北京·开学考试）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
是增函数，求实数a 的取值范围；
(3)若
，求
的最大值.
8．（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）已知
(1)讨论
的单调性;
(2)当
时，证明
对于任意的
成立.
（参考数据：
）
题型03 导数与方程的根（含隐零点问题）
【解题规律·提分快招】
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性
之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
6
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基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程
, 并结合
的单调性
得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数
的正负, 进而得到
的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程
适当变形, 整体代入
最值式子进行化简:
（1）要么消除
最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到
最值式的估计.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数
在闭区间
上连续，且
，那么在开区间
内至
少有函数
的一个零点，即至少有一点
，使得
.
三、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到
的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方
向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如
, 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
四、一般思路
针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函
数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域
或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的
特殊值来确定零点存在区间。
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三下·河南·开学考试）已知函数
(1)探究
在定义域内是否存在极值点；
(2)求
在定义域内的零点个数.
7
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2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的极值；
(3)求函数
的零点个数．
3．（24-25 高三下·山西·开学考试）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)记函数
，已知
只有1 个零点，求正整数
的最小值．
4．（24-25 高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，
，求实数
的取值范围;
(2)若函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式;
(3)判断函数
在
的零点个数，并说明理由.
5．（24-25 高三上·天津西青·期末）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求证：
有唯一极值点；
(3)若
有唯一零点
，求证：
.
6．（2025·云南曲靖·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个零点，求
的取值范围．
7．（24-25 高三下·湖南岳阳·开学考试）已知函数
，
为实数.
(1)当
时，求
与
的极值；
(2)是否存在
，使
与
均有2 个零点.若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由.
8
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题型04 极值点偏移问题
【解题规律·提分快招】
一、极值点偏移问题
1、极值点偏移定义
极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次
函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和
不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移
2、极值点偏移的原理
函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样
3、极值点偏移的图形定义
①左右对称，无偏移，如二次函数；若
，则
f x( )
x
x0=
x1+x2
2
x2
x1
②左陡右缓，极值点向左偏移；若
，则
f x( )
x
x2
x1+x2
2
x0
x1
③左缓右陡，极值点向右偏移；若
，则
f x( )
x1
x0
x1+x2
2
x2
x
二、极值点偏移的判断
9
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根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现
等条件而求证不等式成立的时候，
即可视为极值点偏移考察
三、答题模板（对称构造）
若已知函数
满足
，
为函数
的极值点，求证：
.
（1）讨论函数
的单调性并求出
的极值点
；
假设此处
在
上单调递减，在
上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]
（2）构造
；
注：此处根据题意需要还可以构造成
的形式.[来源:Zxxk.Com]
（3）通过求导
讨论
的单调性，判断出
在某段区间上的正负，并得出
与
的大小关系；
假设此处
在
上单调递增，那么我们便可得出
，从而得
到：
时，
.
（4）不妨设
，通过
的单调性，
，
与
的大小关系得出
结论；
接上述情况，由于
时，
且
，
，故
，又因为
，
且
在
上单调递减，从而得到
，从而
得证.
（5）若要证明
，还需进一步讨论
与
的大小，得出
所在的单调区间，从
而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为
，故
，
由于
在
上单调递减，故
.
10
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四、其他方法
1、比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的
比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即
，化为
单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2、对数均值不等式
两个正数
和
的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当
时，等号成立．
3、指数不等式
在对数均值不等式中，设
，
，则
，根据对数均值不等式有如下
关系：
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24 高三下·北京西城·期中）已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，
，则
．
2．（23-24 高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数
.
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(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
.
3．（24-25 高三上·江苏连云港·期末）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
.
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
．
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，判断
在区间
内的单调性；
(2)若
有三个零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间与极值；
(2)若
，求证：
．
题型05 导数与不等式
【解题规律·提分快招】
一、利用导数证明或判定不等式问题
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
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4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数
，
的导函数为
，且
．
(1)求
的最值；
(2)求证：
．
2．（24-25 高三下·全国·开学考试）已知函数
，
．
(1)比较
与
的大小；
(2)证明：
．
3．（24-25 高三下·四川乐山·期末）已知函数
，且曲线
在点
处的切线斜
率是
(1)求a 的值.
(2)证明：
(3)证明：
4．（2025 高三·全国·专题练习）设函数
，已知
是函数
的极值点．
(1)求
；
(2)设函数
．证明：
5．（2025·山东日照·一模）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若曲线
上的动点
到直线
距离的最小值为
（为自然对数的底
数）．
①求实数
的值；
②求证：
．
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6．（24-25 高三下·吉林长春·开学考试）已知函数
．
(1)讨论
的极值点个数；
(2)证明：
，
；
(3)若关于x 的方程
有两个不同实根
，
，求a 的取值范围，并证明：
．
7．（24-25 高三下·江苏镇江·开学考试）已知函数
，
(1)讨论
的单调性;
(2)若
恒成立，求a 的值;
(3)若
，求证：
题型06 导数中其他双变量问题
【解题规律·提分快招】
一、双变量不等式的处理策略
含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，
具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知
.
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
有两个极值点
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
2．（24-25 高三上·山西·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)已知
有两个极值点
，且
，
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）求
的最小值．
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3．（24-25 高三上·天津南开·期末）已知函数
.
(1)求曲线
在其零点处的切线方程；
(2)若方程
有两个解
，且
.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）若
恒成立，求实数
的取值范围.
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)若
是定义域上的增函数，求
的取值范围；
(2)当
时，证明：
；
(3)若函数
有两个极值点
，证明：
.
5．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数
，函数
．
(1)若没有任何一段区间使函数
与函数
同时单调递增或同时单调递减，求
的取值范围；
(2)若方程
有两个不同的解
．
①求
的取值范围；
②若
，证明：
.
6．（24-25 高三上·内蒙古·期末）在我们学习导数的过程中，对数、指数函数模型十分重要.已知若
，
与
在
上，则有
.现有
，回答下列问题：
(1)当
时，证明
；
(2)
上有
三点（
均不为
且
），满足
成等差数列
且
.
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（i）若不存在
三点，使
成等差数列，求
的取值范围；
（ii）若
，证明：
.
题型07 导数结合数列
【解题规律·提分快招】
导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变
量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等
式常由第一问根据特征式的特征而得到.
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·云南大理·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
，
.
2．（2025 高三下·全国·专题练习）已知实数
，函数
（e 为自然对数的底数）．
(1)求函数
的单调区间及最小值；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数a 的值；
(3)证明：
．
3．（24-25 高三下·安徽·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间与极值；
(2)若数列
满足
，记
为数列
的前
项和. 求证：
①当
时，
；
②当
时，
.
4．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知函数
.
16
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(1)讨论函数
极值点的个数；
(2)当
时，数列
满足：
.求证：
的前
项和满足
.
5．（24-25 高三下·江苏·开学考试）设函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
在
上为增函数，求a 的取值范围；
(3)证明：
.
一、解答题
1．（24-25 高三上·湖北武汉·期末）已知函数
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，
，求实数a 的取值范围．
2．（2024·四川成都·模拟预测）设
.
(1)当
时，求
的极小值；
(2)若
的极大值为4，求
的值.
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与
轴平行，求实数
的值；
(2)若函数
在
内存在极值，求实数
的取值范围.
4．（24-25 高三上·广西河池·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
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(2)当
时，设
为
的极值点，若
，求
的取值范围．
5．（24-25 高三上·河南漯河·期末）已知函数
．
(1)讨论函数
在区间
上的零点个数；
(2)证明：当
时，
6．（24-25 高三下·湖南·阶段练习）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，证明：当
时，
．
7．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)当
时，若
且
，比较
与
的大小，并说明理由
8．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数
.
(1)求
过原点的切线方程；
(2)求证：存在
，使得
在区间
内恒成立，且
在
内有解.
9．（2025·全国·模拟预测）已知函数
（
且
），当
时，
.
(1)求
；
(2)若
为
的极小值，求
的取值范围；
10．（24-25 高三上·湖南娄底·期末）已知函数
，
.
(1)证明：函数
与
的图象关于直线
对称；
(2)设
.
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（ⅰ）判断函数
的单调性；
（ⅱ）证明：
，
.
11．（24-25 高三上·河北·期末）已知函数
，
，
．
(1)若
，函数
在
上单调递减，求实数a 的取值范围；
(2)若
，
，求函数
在
上的零点个数．
12．（24-25 高三上·湖北襄阳·期末）设函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)已知函数
有两个极值点，求
的取值范围；
(3)若函数
在区间
上存在唯一零点，求实数
的取值范围．
13．（23-24 高三下·广东东莞·阶段练习）已知函数
的导函数为
，若
存在
两个不同的零点
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
.
14．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知曲线
( 为自然对数的底数)在点
处的
切线与直线
平行．
(1)求实数
的值；
(2)证明：除点
外，曲线
恒在的下方；
(3)若函数
有两个不同的零点
，求证：
．
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
有两个零点
，
，且
，求证：
．
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16．（23-24 高三下·江苏常州·阶段练习）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)求当
时，函数
在区间
上的最小值
；
(3)若函数
有两个不同的零点
.
①求实数a 的取值范围；
②证明：
.
17．（23-24 高三下·江苏·开学考试）已知函数
.
(1)若直线
与函数
的图象相切，求实数
的值；
(2)若函数
有两个极值点
和
，且
，证明：
.（为自然对数的底
数）
18．（24-25 高三上·江西赣州·期末）已知函数
(1)当
，
时，证明：
；
(2)若
，对
，不等式
恒成立，求
的最大值.
19．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
有两个极值点
，求证：
．
20．（2024·山东日照·一模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若方程
有三个不相等的实数根
，且
，证明：
．
21．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若函数
在
上有两个零点，求实数a 的取值范围；
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(2)证明：对任意的正整数n，不等式
都成立．
22．（24-25 高三上·山西·阶段练习）已知曲线
在点
处的切线交
轴于点
，曲线
在点
处的切线交
轴于点
，依此类推，曲线
在点
（
）
处的切线交
轴于点
，其中数列
称为函数
关于
的“切线数列”.
(1)若
，
是函数
关于
的“切线数列”，求
的值；
(2)若
，
是函数
关于
的“切线数列”，记
，求数列
的通项公式；
(3)若
（
），是否存在
（
），使得函数
关于
的“切线数列”
为周
期数列？若存在，求出所有满足条件的
；若不存在，请说明理由.
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