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专题09 导数及其应用（练习）
一、填空题
1．物体位移s 和时间t 满足函数关系
，则当
时，物体的瞬时速度为 ．
【答案】80
【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当
时，物体的瞬时速度.
【解析】因为
.
所以该物体
时，物体的瞬时速度为
.
故答案为：80
2．已知函数
，则
= .
【答案】
【分析】求出导函数，再代入求值.
【解析】由题意得：
，故
.
故答案为：
3．当
时，函数
取得最大值
，则
.
【答案】
/
【分析】根据
即可求解
，进而可求解.
【解析】由
，可得
，故
，
，所以
，
，
1
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故答案为：
4．设
(
)，若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为
．
【答案】
【分析】由奇函数定义求出
，再利用导数的几何意义求出切线方程即得.
【解析】函数
是奇函数，则
恒成
立，
而
不恒为0，因此
，
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
故答案为：
5．曲线
在
处的切线的倾斜角大小为 .
【答案】
【分析】先求出
，根据导数的几何意义即可求解.
【解析】由
，所以
，
所以
，即
处的切线的斜率为
，
故切线的倾斜角为
.
故答案为：
6．已知函数
，其中
，则曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求出
，即可得出切线方程.
2
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【解析】因为
，所以
，
则
，
，
所以所求切线的方程为
.
故答案为：
.
7．已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在等式
求导，再令
，可得出关于
的等式，解之即可.
【解析】在等式
两边求导得
，所以，
，解得
.
故选：C.
8．已知
，则
.
【答案】
【分析】先求出
，然后代入
中求解即可.
【解析】因为
，
所以
，
所以
，
故答案为：.
9．设函数
在
处导数存在，若
则
.
【答案】
3
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【分析】利用导数的定义可得出
的值.
【解析】由导数的定义可得
.
故答案为：
.
10．下列求导运算正确的是 .（填正确的序号）
①．
②．
③．
④．
【答案】③
【分析】根据导数的运算法则求导后判断．
【解析】
，①错；
，②错；
，③正确；
，④错．
故填：③．
11．下列求导计算正确的是 .（填正确的序号）
①．
②．
③．
④．
【答案】②
【分析】由导数的运算法则及复合函数的求导公式依次分析选项，综合可得答案．
【解析】对于①，
，①错误；
4
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对于②，
，②正确；
对于③，
，③错误；
对于④，
，④错误．
故填：②．
12．函数
的驻点为 ．
【答案】1
【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可.
【解析】函数
，求导得
，
由
，得
或
（舍去），所以函数的驻点为1.
故答案为：1.
13．已知
，
是
的导函数.则当
时，函数
的值域是 .
【答案】
【分析】根据求导公式及两角和正弦公式化简后，根据自变量范围求正弦函数值域即可.
【解析】因为
，所以
，
，
当
时，
，
所以
，
，
故答案为：
14．设
，若
，则x 的取值范围是 .
【答案】
5
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【分析】奇偶性定义判断
奇偶性，利用导数研究
的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围.
【解析】由
且
，易知：
为奇函数，
所以
，
又
，故
在
上递增，
所以
，可得
.
故答案为：
15．已知
是定义在R 上的奇函数，其导函数为
.当
时，
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数
，再利用函数
的奇偶性及单调性求解作答.
【解析】依题意，令
，因
是R 上的奇函数，则
，
即
是R 上的奇函数，又当
时，
，则
，
于是得函数
在
上单调递减，有函数
在R 上单调递减，
，
，因此
，解得
，
所以所求解集是
.
故答案为：
16．函数
，如果
为奇函数，则
的取值范围为
【答案】
【分析】求出
，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果.
6
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【解析】由
可得
，即函数
的定义域为
，
则
，
又因为函数
为奇函数，对任意的
，
，
对任意的实数
都满足条件，故实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
17．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长
是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．
【答案】
【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处
的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得
的最大值点，
从而得解.
【解析】结合图形，可知圆锥的体积为
，
又因为
，即
，
所以
，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以在
处
取得最大值，
7
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所以炸药包要埋在
深处.
故答案为：
.
18．已知函数f(x)＝
，若存在x∈
，使得f(x)<2，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】(－1,5)
【解析】由题意f(x)<2 可得－2<x3－ax<2，得到x2－
<a<x2＋
，即
分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式得到a 的范围.
【解析】解法1 当x [1,2]
∈
时，f(x)<2，等价于|x3－ax|<2，即－2<x3－ax<2，即x3－2<ax<x3＋2，得到x2－
<a<x2＋
，即
，
设
，因此
在
单调递增，
，
设
，因此
在
单调递增，
，
得到－1<a<5.
解法2 原问题可转化为先求：对任意x [1,2]
∈
，使得f(x)≥2 时，实数a 的取值范围．
则有x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥
.
（1）当a≥4 时，a≥x2＋
≥22＋
＝5，得到a≥5.
（2）当a≤1 时，x2－a≥
，有a≤x2－
≤1－
＝－1，得到a≤－1.
（3）当1<a<4 时，|a－x2|≥0，与
>0 矛盾．
那么有a≤－1 或a≥5，故原题答案为－1<a<5.
对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问
题(如解法1)；也可以转化为命题的否定即恒成立问题来处理(如解法2)．
【点睛】本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属
于较难题.
8
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19．记
，若存在实数
，满足
，使得函数
在区间
上
是严格增函数，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意推出
在区间
内有解，分离参数，构造函数
，结合函数单调性，
求出函数最值，即可求得答案.
【解析】由题意知
在区间
内有解，
即
，即
在区间
内有解，
设
，则该函数在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，故
在
上的最大值为
，
故
，即实数
的取值范围是
，
故答案为：
20．设
是绝对值不大于10 的整数，函数
满足
，则
的所有可
能取值组成的集合为 .
【答案】
【分析】分析条件得到三次方程的两个根，结合韦达定理得到参数间的关系，再利用给定条件得到
，代入求解即可.
【解析】首先，我们来证明一元三次方程
的韦达定理，
我们设一元三次方程
的三个根分别为
，
而
可化为
，
9
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也可以写成
，
将
展开，合并同类项，
得到
，
所以
，
，
，
所以一元三次方程
的韦达定理得证，
接着证明
是
的零点.
事实上，设
，则
，
其中
是整数，假设
，即
，
而
，
而
是整数且
是无理数，所以
，
故
，
必定是整数，
且整数相减的结果不可能在
，从而
，
因为
，
，
故
，而
，矛盾.
故
，即
，所以
.
设
的三个根为
，其中
，
则
，
，
得
，所以
.
10
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由
及
，
所以我们得到
，解得
，
也可得到
，解得
，
而
是绝对值不大于10 的整数，
得到
，所以
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：解题关键是确定方程的两个零点，然后用韦达定理得到所要求的参数之间的关系，
再得到取值集合即可．
二、单选题
21．没有驻点的函数有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用驻点的定义即可求解.
【解析】对于A，
，方程无解，选项A 正确；
对于B，
，方程无解，选项B 正确；
对于C，
，方程无解，选项C 正确；
对于D，
，解得
，选项D 错误.
故选：ABC．
22．已知函数
，其导函数
的图像如图所示，则下列对函数
表达不正确的是
（ ）
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A．在
处取极小值
B．在
处取极小值
C．在
上为减函数
D．在
上为增函数
【答案】A
【分析】根据图象可得
的符号，进而可得
的单调性和极值，逐项分析判断即可.
【解析】由导函数
的图像可知：当
或
时，
；当
或
时，
；
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故C、D 正确；
函数
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
故A 不正确，B 正确；
故选：A.
23．已知函数
的导函数
的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数
在区间(-3，3)内有三个零点
B．函数x =−1是函数
的一个极值点
C．曲线
在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零
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D．函数
在区间(-1，1)上是严格减函数
【答案】D
【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.
【解析】
在
单调递增，在
单调递减，故
在区间
内至多有两个零点，A 错误；
在
的左右两侧
，故
不是极值点，故B 错误;
根据
图像可知
，故
在点
处的切线斜率等于零，C 错误；
在(−1,1)恒成立，故
在区间
上是严格减函数，故D 正确.
故选：D
24．设
.函数
在
处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（ ）个.
①
；
②对任意的
，曲线
在点
处的切线一定与曲线
有两个公共点；
③若关于
的方程
有三个不同的根
，且这三个根构成等差数列，则
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】运用极值的概念和性质，求出
，代入判断①；函数解析式知道后，根据导数研究处函数单调
性，极值，对称性，进而画出图像，观察图像，数形结合判断②；根据图像和函数对称性，判断③即可．
【解析】求导，即
，由于函数y = f (x)在
处取得极大值3，则
，解得
，则
，则①正确；
由上面知道，
，
且
，解得
.
当
，f
′ (x)<0，y = f (x)单调递减；
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当
或者
，f
′ (x)>0，y = f (x)单调递增．
则当
时，y = f (x)由极大值
；
时，y = f (x)由极小值
；
且对称中心为
.画出函数图像．
由图像，可知对任意的
，曲线y = f (x)在点
处的切线一定与曲线y = f (x)有两个公共点，故
②正确；
若关于
的方程
有三个不同的根
，且这三个根构成等差数列，则
，根据函数对称性，知道
，
,则
，
.故③正确．
故选：D.
25．设正数
不全相等，
，函数
．关于说法
①对任意
都为偶函数，
②对任意
在
上严格单调递增，
以下判断正确的是（ ）
A．①、②都正确B．①正确、②错误
C．①错误、②正确
D．①、②都错误
【答案】A
【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数
，利用导数探讨单调性即可判断②.
【解析】函数
的定义域为R，而
，
对于①，
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，因此函数
是偶函数，①正确；
对于②，
，
当
时，令
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上递减，则
，因此
，
当
时，
，函数
在
上递增，则
，因此
，
从而函数
在
上递增，同理
在
上都递增，
于是
在
上严格单调增，②正确，
故选：A
【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函
数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②
或
是定义域上的恒等式．
三、解答题
26．已知
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
在
上的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）只需分别求得
即可得解.
（2）利用导数分析函数在给定区间上的单调性，比较极值与端点函数值的大小即可得解.
【解析】（1）
，故所求为
.
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（2）因为
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
而
，
所以
，
所以函数
在
上的最大值与最小值分别为
.
27．已知函数
.
(1)若
在
处的切线与直线
垂直，求实数m 的值；
(2)若
，求函数
的极值.
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值.
【分析】（1）求得
，得到
，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）由
，得到
，求得
，得出函数
的单调区间，结合极值点与极值的
定义，即可求解.
【解析】（1）解：由函数
，可得
，
可得
，即
在
处的切线的斜率为
，
因为
在
处的切线与直线
垂直，
可得
，解得
.
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（2）解：若
，可得
，所以
，其中
，
可得
，令
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，函数
取得极小值，极小值为
，无极大值.
28．已知函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
在
上严格增，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，即可求出函数在点处的切线方程；
（2）求导，由题意，转化为恒成立问题，利用分离参数法，求出函数最值，即可求出
的取值范围.
【解析】（1）
，
，
所以
，
，
即切线的斜率
，切点
，
所以切线方程为：
，即
，
故切线方程为
；
（2）因为函数
在
上严格增，
所以
在
恒成立，
所以
在
恒成立，
17
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即
在
恒成立，
所以
小于等于
的最小值，因为
，
所以
，
故
的取值范围为
.
29．某企业在2023 年全年内计划生产某种产品的数量为x 百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关
于x（百件）的一次函数，且
，
．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x 百件
时，每百件产品的销售收入
（万元）满足
．
(1)写出该企业今年生产这种产品的利润
（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；
(2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？
（参考数据：
，
，
，
）
【答案】(1)
(2)当产量为7 百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51 万元
【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解；
（2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数
的单调性以及最值.
【解析】（1）设
由
，可得
，解得
，
所以
，
依题意得，
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．
（2）由（1）得，
，
则
，
令
，得
，
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，有
，
答：当产量为7 百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51 万元．
30．函数
的定义域为
，如果存在
，使得
，称t 为
的一个不动点．函数
（
，为自然对数的底数），定义在R 上的函数
满足
，
且当
时，
．
(1)求证：
为奇函数；
(2)当a 变化时，求函数
不动点个数；
(3)若存在，
，且
为函数
的一个不动点，求a 的取值范围．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据
变形得到
，从而得到
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，证明出结论；
（2）由
得
，令
，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到
的解的情况，得到答案；
（3）由题目条件得到
在R 上单调递减，变形得到
，
即
，由函数单调性得到
，根据不动点得到
在
时有解，构造
，
，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a 的取值范围.
【解析】（1）
，故
，
其中
，则
，
其中
定义域为R，故
为奇函数，
（2）由
得
，令
，则
令
，解得
，令h
′ (x)<0，解得
，
所以
在
单调递减，在
上单调递增，
其中
，
故当
时，
无解，当
时，
有1 个解，
当
时，
有2 个解；
综上，当
时，函数
没有不动点；
20
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当
时，函数
有1 个不动点；
当
时，函数
有2 个不动点.
（3）当
时，
，故
，
所以
在
上单调递减，
根据奇函数的对称性，可得
在R 上单调递减，
因为存在
，即
，
则
，
故
，则
，即
，
因为
为函数
一个不动点，
所以
在
时有解，
令
，
，
因为当
时，
，
所以
在
上单调递减，且
趋向于
时，
趋向于
，
所以只需
，即
，
解得
，
故a 的取值范围是
.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式
一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
21
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件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个
函数图像确定条件.
22
