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补上一课 数列中的构造问题
题型分析 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘
法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的
数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解.
题型一 形如an＋1＝pan＋f(n)型
角度1 an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
例1 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，求数列{an}的通项公式.
解 设an＋1＋t＝3(an＋t)，
即an＋1＝3an＋2t，
又an＋1＝3an＋4，
根据对应项系数相等，解得t＝2，
故an＋1＋2＝3(an＋2).
令bn＝an＋2，则b1＝a1＋2＝3，
且＝＝3，
所以{bn}是3 为首项，3 为公比的等比数列，
所以bn＝3×3n－1＝3n，
即an＝3n－2.
角度2 an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)
例2 已知a1＝1，当n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，求{an}的通项公式.
解 设an＋pn＋q＝[an－1＋p(n－1)＋q]，
即an＝an－1－pn－p－q，
与原式比较，对应项系数相等得
解得
首项a1－4＋6＝3，
所以{an－4n＋6}是3 为首项，为公比的等比数列，
所以an－4n＋6＝3·，
所以an＝＋4n－6.
角度3 an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)
例3 已知数列{an}中a1＝，an＋1＝an＋，求{an}的通项公式.
解 法一 构造数列
an＋1＋λ＝，
化简成原式结构得an＋1＝an－λ，
对应项系数相等得λ＝－3，
设bn＝an－3，b1＝a1－3＝－，
所以数列{bn}是以－为首项，为公比的等比数列，则bn＝－，
所以an＝－.
法二 将an＋1＝an＋两边同乘2n＋1，
得2n＋1·an＋1＝(2n·an)＋1.
令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，又回到了构造一的方法，根据待定系数法，
得bn＋1－3＝(bn－3)，
所以数列{bn－3}是首项为
b1－3＝2×－3＝－，
公比为的等比数列，
所以bn－3＝－·，
即bn＝3－2·，
所以an＝＝－.
法三 将an＋1＝an＋两边分别除，得3n＋1an＋1＝3nan＋.
令bn＝3n·an，则bn＋1＝bn＋，
所以bn－bn－1＝，bn－1－bn－2＝，…，b2－b1＝.
将以上各式叠加，得
bn－b1＝＋…＋＋.
又b1＝3a1＝3×＝＝1＋，
所以bn＝1＋＋＋…＋＋
＝＝2·－2，
所以an＝＝－.
感悟提升 1.形如 an＋1＝αan＋β(α≠0，1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构
造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，使之成为等
差数列或等比数列.
2.递推公式an＋1＝αan＋β 的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0，1，β≠0，γ≠0，1)，
两边同时除以γn＋1后得到＝·＋，转化为bn＋1＝kbn＋(k≠0，1)的形式，通过构造
公比是k 的等比数列求解.
训练1 (1)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.
答案 2n＋1－n－1
解析 令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，
即an＋1＝2an＋xn＋y－x，
与原等式比较得，x＝y＝1，
所以＝2，
所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.
(2)(2024·河南名校联考)若数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝3n－1，则数列{an}的通
项公式an＝________.
答案 2n－1＋3n－1
解析 因为an＋1－2an＝3n－1，
即＝·＋1，
所以－3＝，
所以＝.
因为a1＝2，所以－3＝3，
故是以3 为首项，为公比的等比数列，
所以－3＝3×，
所以an＝2n－1＋3n－1.
题型二 相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)型
例4 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数
列{an}的通项公式an＝________.
答案
解析 法一 因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，
设bn＝an＋1＋an，
所以＝＝＝3，
又因为b1＝a2＋a1＝3，
所以{bn}是首项为3，公比为3 的等比数列.
所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，
从而＋·＝，
不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝，
故cn＋1－＝－，
即＝－，
又因为c1－＝－＝，
所以数列是首项为，公比为－的等比数列，
故cn－＝×＝－，
从而an＝.
法二 因为方程x2＝2x＋3 的两根为－1，3，
可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，
由a1＝1，a2＝2，
解得c1＝，c2＝，
所以an＝.
感悟提升 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0
的两个根，若1 是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1 不是方程的根，
则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.
训练2 若x＝1 是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满
足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案 3n－1
解析 f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，
∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，
即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，
∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3 的等比数列，
∴an＋1－an＝2×3n－1，
则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1
＝2×3n－2＋…＋2×30＋1
＝2×(3n－2＋3n－3＋…＋31＋30)＋1
＝2×＋1
＝3n－1－1＋1＝3n－1.
题型三 倒数为特殊数列(形如an＋1＝型)
例5 已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，则an＝________.
答案
解析 ∵＝3·＋1，
∴＋＝3，＋＝1，
∴是以1 为首项，3 为公比的等比数列，
∴＋＝3n－1，∴＝3n－1－，
∴an＝.
感悟提升 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q 型，求出
的表达式，再求an.
训练3 (2024·福州质检)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝，则an＝________.
答案
解析 取倒数，得＝＋2，即－＝2，
所以数列是首项为1，公差为2 的等差数列，且＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝.
【A 级 基础巩固】
1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为( )
A.15
B.23
C.32
D.42
答案 B
解析 因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以{an＋1}是以3 为首项，2 为公比的等比数列，
所以an＋1＝3·2n－1，
所以an＝3·2n－1－1，所以a4＝23.
2.在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式为( )
A.2n－3
B.2n－7
C.(2n－3)(2n－7)
D.2n－5
答案 C
解析 因为－2＝，
所以－＝2，又＝－1，
所以数列是以－1 为首项，公差为2 的等差数列，
所以＝－1＋2(n－1)＝2n－3，
所以an＝(2n－3)(2n－7).
3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于( )
A.64
B.56
C.32
D.24
答案 C
解析 由an＋1＝2an＋2n得－＝，
而＝，
∴数列是首项为，公差为 的等差数列，
∴＝＋(n－1)×＝，
∴an＝n·2n－1，∴a4＝4×24－1＝32.
4.已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝( )
A.47
B.48
C.49
D.410
答案 C
解析 由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，
得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，
即＝4(n≥3)，又a1＋a2＝4，
所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，
所以a9＋a10＝49.
5.在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an等于( )
A.2n－1
B.3n－1
C.23n－1
D.32n－1
答案 D
解析 由a1＝3，an＋1＝a 知an>0，
对an＋1＝a 两边取以3 为底的对数得，
log3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1 为首项，2 为公比的等比数列，
则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝32n－1.
6.设数列{an}的前n 项和为Sn，若Sn＝2an－2n＋1，则S10＝( )
A.211－23
B.210－19
C.3×210－23
D.3×29－19
答案 C
解析 当n＝1 时，S1＝a1＝2a1－2＋1，
解得a1＝1.
当n≥2 时，Sn－1＝2an－1－2n＋3，
所以an＝Sn－Sn－1
＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)，
即an＝2an－1＋2，
所以an＋2＝2(an－1＋2)，a1＋2＝3，
所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2 的等比数列，则an＋2＝3×2n－1，
从而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.
7.(2024·杭州质检)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝( )
A.80
B.100
C.120
D.143
答案 C
解析 因为an＋1＝an＋2＋1，
所以an＋1＋1＝()2＋2＋1，
即an＋1＋1＝(＋1)2，
等比两边开方可得＝＋1，
即－＝1，
所以数列{}是首项为＝2，公差为1 的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
所以an＝n2＋2n，
所以a10＝102＋20＝120.
8.(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A.为等差数列
B.{an}的通项公式为an＝
C.{an}为递减数列
D.的前n 项和Tn＝2n＋2－3n－4
答案 CD
解析 因为an＋1＝，
所以＝＝＋3，
所以＋3＝2，且＋3＝4≠0，
所以是以4 为首项，2 为公比的等比数列，即＋3＝4×2n－1，
所以＝2n＋1－3，可得an＝，故A，B 错误；
因为＝2n＋1－3 单调递增，
所以an＝单调递减，
即{an}为递减数列，故C 正确；
的前n 项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n
＝22×－3n＝2n＋2－3n－4.故D 正确.
9.(2024·东北三省三校联考)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则数列{an}的通项公
式为________.
答案 an＝
解析 因为a1＝，an＋1＝，
所以＝＝＋，
即－＝，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以＝＋(n－1)＝，
所以an＝.
10.(2024·四川名校联考)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an
＝________.
答案 2n－1
解析 由题知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
因为a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2 的等比数列，所以an＋1－an
＝2n，
当n≥2 时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2
＋1＝＝2n－1，
显然n＝1 时满足上式，所以an＝2n－1.
11.(2024·河南名校联考)已知数列{an}满足a1＝2，log43·an－＝log25·log53·
an＋1an，则a8＝________.
答案
解析 由log43·an－＝log25·log53·an＋1an可得log23·an－log2·an＋1＝log25··an＋1an，
即log23·an－log23·an＋1＝log23·an＋1an，
∴an－an＋1＝2anan＋1，
结合a1＝2 可知anan＋1≠0，
∴－＝2，
则是公差为2 的等差数列，＝，
故＝＋(n－1)·2＝2n－＝，
则an＝，故a8＝.
12.已知Sn是数列{an}的前n 项和，an＋1－3an＋2an－1＝1，a1＝1，a2＝4，则数列
{an}的通项公式an＝________.
答案 2n＋1－n－2
解析 因为an＋1－3an＋2an－1＝1，
所以an＋1－an＝2(an－an－1)＋1，
因此＝2，
因为a1＝1，a2＝4，所以a2－a1＋1＝4，
故数列{an＋1－an＋1}是首项为4，公比为2 的等比数列，所以an＋1－an＋1＝4·2n－
1＝2n＋1，
即an＋1－an＝2n＋1－1，
所以当n≥2 时，
a2－a1＝22－1，a3－a2＝23－1，
a4－a3＝24－1，…，an－an－1＝2n－1，
以上各式累加可得an－a1＝(22＋23＋…＋2n)－(n－1)＝－(n－1)＝2n＋1－4－(n－1)
＝2n＋1－n－3，
因为a1＝1，所以an＝2n＋1－n－2，n≥2；
又a1＝1 符合上式，
所以an＝2n＋1－n－2.
【B 级 能力提升】
13.(多选)已知数列{an}满足a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4，则下列结论正确的是(
)
A.a3＝
B.a3＝
C.{an＋n－8}是等比数列
D.{an＋2}不可能是等比数列
答案 ACD
解析 ∵a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4，
∴a2＝，a3＝，故A 正确，B 错误；
∵4an＋1＝3an－n＋4，
∴an＋1＝an－n＋1，
∴an＋1＋(n＋1)－8＝an－n＋1＋(n＋1)－8＝an＋n－6＝(an＋n－8)，
又∵a1＋1－8＝－6，
∴数列{an＋n－8}是首项为－6，公比为的等比数列，故C 正确；
∵a1＋2＝3，a2＋2＝，a3＋2＝，
显然(a2＋2)2≠(a1＋2)(a3＋2)，
∴{an＋2}不可能是等比数列，故D 正确.
14.(2024·武汉质检)将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为
1，2，3，…，2 025，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，
最后一行只有一个数M，则M 等于( )
A.2 025×22 022
B.2 026×22 023
C.2 025×22 023
D.2 026×22 024
答案 B
解析 记第n 行的第一个数为an，
则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，
a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，
∴＝＋1，即是以＝2 为首项，1 为公差的等差数列.
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝(n＋1)×2n－2，
又每行比上一行的数字少1 个，
∴最后一行为第2 025 行，
∴M＝a2 025＝2 026×22 023.
15.已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超过x
的最大整数(例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2)，则＋＋…＋＝________.
答案 2 025
解析 由题设，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，
a2－a1＝4，
故{an＋1－an}是首项为4，公差为2 的等差数列，
则an＋1－an＝2n＋2，
则an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1
＝an－a1＝2[(n－1)＋…＋1]＋2(n－1)
＝(n＋2)(n－1)，
所以an＝n(n＋1)，故＝1＋，
又n∈N*，
当n＝1 时，＝2，
当n≥2 时，＝1，
所以＋＋…＋＝2 025.
16.(2024·杭州质检)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，
给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－，则称
数列{xn}为牛顿数列.如果函数f(x)＝2x2－8，数列{xn}为牛顿数列，设an＝
ln ，且a1＝1，xn>2.数列{an}的前n 项和为Sn，则Sn＝________.
答案 2n－1
解析 ∵f(x)＝2x2－8，∴f′(x)＝4x，
又∵xn＋1＝xn－＝xn－＝，
∴xn＋1＋2＝，xn＋1－2＝，
∴＝，
又xn>2，
∴ln ＝ln＝2ln ，
又an＝ln ，且a1＝1，
∴an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为1，公比为2 的等比数列，
∴{an}的前n 项和Sn＝＝2n－1.
