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第11 周 简单几何体、空间中直线、平面的平行与垂直
一、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知
是三个不重合的平面，且
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
2．某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为
，则该圆台的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知各棱长都为1 的平行六面体
中，棱
、
、
两两的夹角均
为
，则异面直线
与
所成角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在半径为
的半球内放入一个正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四个顶点位于半球面上，
下底面与半球的大圆面重合，则正四棱柱体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共2 小题，每小题6 分，共12 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
5．设m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ）
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A．若
，
，
，则
B．
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
6．如图1，将三棱锥型礼盒
的打结点
解开，其平面展开图为矩形，如图2，其
中A，B，C，D 分别为矩形各边的中点，则在图1 中（ ）
A．
B．
C．
平面
D．三棱锥
外接球的表面积为
三、填空题：本题共2 小题，每小题5 分，共10 分.
7．已知圆锥
的轴截面
为正三角形，球
与圆锥
的底面和侧面都相切.设圆锥
的体积､表面积分别为
，球
的体积､表面积分别为
，则
.
8．在矩形
中，
，
，沿对角线
将矩形折成一个大小为
的二面角
，当点B 与点D 之间的距离为3 时
．
四、解答题：本题共2 小题,共28 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9．（本小题满分 13 分）
如图，在三棱柱
中，四边形
是菱形，四边形
是正方形，
，
，
，点
为
的中点.
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(1)求证：
平面
；
(2)求四面体
的体积.
10．（本小题满分 15 分）
如图，四棱锥
的底面
为矩形，
平面
，且
，
分别
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得平面
平面
，若存在，请找出该点，并给
出证明；若不存在，请说明理由.
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参考答案
1．C 【解析】若
，则
或与
相交，故A 错误；
若
，则
或
与
相交，故B 错误；
若
，则
，故C 正确；
若
，则
与
相交，不一定是垂直，故D 错误．
故选C．
2．A 【解析】设圆台的母线长为l，高为h，
因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，母线
，
因此圆台的高为
，
所以圆台的体积为
.
故选A.
3．C 【解析】在平行六面体
中，连接
，
，
则四边形
是平行四边形，
，于是
是异面直线
与
所成角或其
补角，
由
，棱
两两的夹角均为
，
得
都是正三角形，即
，则
，
所以异面直线
与
所成角为
.
故选C.
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4．D 【解析】显然正四棱柱上底面正方形为与半球底面平行的截面圆的内接正方形，
设正四棱柱的高为
，则正四棱柱上底面外接圆半径
，上底面边长为
，
因此正四棱柱体积
，显然
，
求导得
，当
时，
，当
时，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，所以正四棱柱体积的最大值为
.
故选
.
5．BCD 【解析】A. 若
，
，
，不能推出
或
，则不能推出
，故A 错误；
B.若
，
，则
，又
，所以
，故B 正确；
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C. 若
，
，则
，又
，所以
，故C 正确；
D. 若
，
，
，说明与
和
垂直的法向量互相垂直，则
，故D 正
确.
故选BCD.
6．ACD 【解析】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，
，所以
，则
，
又在
中，
，
，故
，
所以
，故
不垂直，故B 错误；
对于C，因为在
中，
，所以
，
又
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，故C 正确；
对于D，因为
，
所以三棱锥三组对棱相等，可以将其放入长方体中，
设外接球半径为
，则有
，解得
，所以外接球的表面
积为
，故D 正确，
故选ABD.
7．1 【解析】依题意，设正
的边长为2，则圆锥
的底面圆半径为1，高为
，
母线长为2，
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因此
，
，
球
半径即为正
的边心距
，因此
，
，
所以
.
8．
【解析】分别作
，
，垂足为
，
，则
．
由
，
可得
，所以
．
因为
，则
，
故
．
9．【解析】（1）连接
交
于
，连接
，
因为四边形
是正方形，所以
是
的中点，
又因为
为
的中点，所以
，
易知
平面
，
平面
，
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所以
平面
；
（2）因为四边形
是正方形，由题意可知
，
因为
平面
，
所以
平面
，则
平面
，
连接
，则
，
由题意可知
,
则
，
则
.
10．【解析】（1）证明：因为
平面
，
平面
，所以
，
矩形
中，
，
，
平面
，
所以
平面
；
（2）存在满足条件的点
，为
的中点．
证明：在
中，
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
．
又因为
分别是
的中点，而
，
，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形．
所以
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
．
又因为
，
平面
，
所以平面
平面
．
