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易混易错5 求数列通项公式时忽视检验（小题狂练）
一．单选题.
【忽视
的适用条件致误】
1．已知数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
的关系即可求解
，进而根据等比数列求和公式即可求解.
【详解】
令
可得：
，解得：
，
①，
②，由①-②可得：
，
,
故选：C
【易错指导】本题易忽视公式
的适用条件
而导致错误.利用此公
式求得
后，一定要验证
时是否满足所求出的
，若不满足，则要用分段
形式来表示.
【忽视对公比的范围的讨论致误 2024 福建福州第十八中学模考】
2．已知
是等比数列
的前n 项和，若存在
，满足
，
，则数
列
的公比为（ ）
A．0
B．2
C．-3
D．3
【答案】B
【分析】设等比数列
的公比为
，利用等比数列的求和公式，列出方程求得解得
，再利用等比数列的通项公式列出方程，求得
，进而求得公比
的值.
【详解】设等比数列
的公比为
，
若
，则
，与题中条件矛盾，故
，
因为
，解得
，
又因为
，解得
，即
，所以
.
故选：B.
【易错指导】不要忽视对公比的范围的讨论，决定后面能否利用等比数列的前
项和公式解决问题，注意等比数列的公比不为0，各项也都不为0.
【忽视对数列的首项的检验致误 原创】
3．已知数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2024
【答案】A
【分析】根据
与
的关系可得
的表达式，再据此求出
的表达式，最后将
代入表达式求出结果.
【详解】因为
，即
．
当
时，
，即
；
当
时，
，
所以
，
所以
，又
，
所以数列
是等比数列，且首项为
，公比为
，
所以
，所以
，
所以
．
故选：A．
【易错指导】不要忽视对数列的首项的检验，注意
的首项为
，不要
误以为是
【新定义·“P 性质” 2024 广东联考】
4．若数列
的各项均为正数，且
，都有
，则
称数列
具有“
性质”，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则数列
具有“
性质”
B．若
，则数列
具有“
性质”
C．具有“
性质”的数列
的前
项和为
D．具有“
性质”的数列
的前
项和为
【答案】C
【分析】对于C 选项，根据数学归纳法求出
，求出
和立方和即可判断C 选项，举出反
例即可判断A、B 和D 选项.
【详解】当
时，
，所以
，
因为
，解得
，当
时，
则
，因为
，
所以
，当
时，
，
所以
，猜想
，假设当
时
成立，
此时
，
现证明
，
当
时，左边为，右边为，
成立，当
时，左边为，右边为，
也成立，进一步假设当
时成立，
即
，则当
时，
左边变为
，
展开整理可得
，
与右边一致，故等式对任意
成立，
所以
时满足条件，当
时，
由递推关系
代入
和
得
，
即
，因为
，
所以
，所以
，
前
项和为
，且立方和为
，
满足
，所以C 正确；
取
，计算
时，
，立方和为
，故A 错误；
，当
时，
，
立方和为
，故B 错误；
选项D 前
项和为
，
当
时和为
，与
矛盾，故D 错误.
故选：C.
【易错指导】用第项减第
项求解数列通项公式时，一定不要忘记检验
时是否符合求出的通项公式则
．故选C．
【忽视对数列的首项的检验致误 原创]
5．已知数列
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先构造函数，再求导函数得出函数单调性即可计算求解.
【详解】记
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
．
又
，
所以当
时，
，
所以
，则
，数列
为递增数列．
，
故
，
所以
，
所以
．
故选：B．
【易错指导】注意用函数的思想来解决数列的单调性问题，从而找到数列的
“值域”，不要忘记验证数列的首项
【忽视递推公式
满足的条件而致误】
6．已知数列
，
为
的前n 项和，
，
，则
.
【答案】
【分析】利用
与
的关系式，结合等比数列的通项公式即可得解.
【详解】
，①
，
，②
①
②得
，
.
又
，所以
，
所以
是从第2 项开始的等比数列，则
，
所以
.
故答案为：
.
【易错指导】在由递推公式
求通项公式时，要注意
这个
条件是对数列中的所有项都满足递推公式，一旦出现
此时
这个条件是对数列中从第二项开始满足递推公式，在求通项公式的时候一
定要进行辨别.
【原创】
7．记数列
的前n 项积为
，设甲：
为等比数列，乙：
为等比数列，则
（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得
解.
【详解】若
为等比数列，设其公比为
，则
，
，
于是
，
，当
时，
不是常数，
此时数列
不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；
若
为等比数列，令首项为
，公比为
，则
，
，
于是当
时，
，而
，
当
时，
不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
【易错指导】
是在
时推得的，要使
是等比数列，则第一项也要
满足，不要忘记检验，即
，则当
时，不是等比数列
【忽视验证首项致误 2025 江苏淮安期中】
8．数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据
和
的关系得出
及
，
；再根据等比数列的定义及通
项公式得出
即可求解.
【详解】因为
，
，
所以当
时，
；当
时，
.
则
，
，即
，
，
所以数列从第2 项起，是以
为首项，4 为公比的等比数列，
则
，
综上可得：
.
于是
．
故选：A.
【易错指导】由
得到数列从第2 项起是以
为首项、4 为公比的等比
数列，而
不满足.
【忽视验证首项致误 2025 上辽宁期中】
9．数列
中，已知对任意自然数
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用
与
，求得
，进而得到
，再利用等比数列的
前
项和公式，即可求解.
【详解】因为
①，
当
时，
②，
-
①②得
，
，
又
，满足
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C.
【易错指导】根据条件，利用
与
，求得
，又验证
，满足
，所以
.
【忽视验证首项致误 2024 重庆九龙坡阶段练习】
10．数列
的前n 项和为
，且
，
，则数列
的前n 项和为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用
的关系求出
，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】数列
的前n 项和
，
当
时，
，而
满足上式，
因此
，
，
所以
.
故选：D
【忽视验证首项致误】
11．将正奇数按照如图排列，我们将
……，都称为“拐角数”，则下面是拐角
数的为（ ）
A．55
B．75
C．111
D．135
【答案】C
【分析】先根据题中规律，并采用累加法结合等差数列前n 项和公式求出拐弯数的通项公
式，即可求解.
【详解】不妨设第n（
）个“拐角数”为
，
不难发现
，
所以
，得
，
当
时，也符合上式，所以
，
所以第7 个“拐角数”是
，
第8 个“拐角数”是
，
第9 个“拐角数”是
，
第10 个“拐角数”是
，
第11 个“拐角数”是
，
第12 个“拐角数”是
.故C 对；
故选：C
【忽视验证首项致误】
12．已知首项为0 的数列
满足
，若
，则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】D
【分析】运用累加法求出通项公式，代入m，解方程即可.
【详解】因为
，故由累加法，
得
，
又因为
，所以
，
由题意可知
，
故
，解得
（负值舍去）.
故选：D.
二．多选题.
【忽视验证首项致误 2024 广东惠州模拟】
13．数列
的首项为1，且
，
是数列
的前n 项和，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据题意可得
，从而可得数列
是等比数列，从而可求得
数列
的通项，再根据分组求和法即可求出
，即可得出答案.
【详解】解：∵
，可得
，
又
∴数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故B 正确；
则
，∴
，故C 错误；
则
，故A 正确；
∴
，故D 错误.
故选：AB.
【忽视验证首项致误】
14．设
是数列
的前n 项和，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．数列
是等差数列
【答案】BCD
【分析】先由an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，判断出
是以－1 为首项，d＝－1 的等差数列，
即可判断D,进而求出
，再由
求出通项公式
.
【详解】∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得
.
∴
是以－1 为首项，d＝－1 的等差数列，
即
＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
S
∴
n＝－
.
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－
＋
＝
，
又a1＝－1 不符合上式，
∴
故A 错误，BCD 正确.
故选：BCD
【易错指导】当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－
＝
，要注意a1＝－
1 不适合上式，∴an＝
【函数验证首项致误 2025 上安徽阜阳期末】
15．已知数列
的前
项和为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
取得最小值时
或4
C．
D．
的最小值为
【答案】BC
【分析】给出
作为反例即可判断A，利用二次函数的性质即可判断B，利用裂项相消
法判断C，注意到
一定是有理数即可判断D.
【详解】对于A，由于
，故
对
不成立，故A
错误；
对于B，由二次函数性质知
的开口向上，且对称轴为
，故当
或
时，
取得最小值，故B 正确；
对于C，因为
，故对
有
.
所以
，同时有
.
故
，故C 正
确；
对于D，因为
一定是有理数，所以不可能以无理数
为最小值，故D
错误.
故选：BC.
【易错指导】给出
作为反例即可判断A，即不要忘记验证首项是否满足.
【忽视验证首项 原创】
16．数列
满足
，记数列
的前
项和为
，
则（ ）
A．
B．
C．数列
的前
项和为
D．
的最小值为
【答案】AD
【分析】根据
的关系式可得
，即A 正确，再由分组并项求和计算可得B 错
误，利用等差数列前
项和公式计算可得C 错误，由
判断出其符号即可得
D 正确.
【详解】对于A，由
，得
①，
当
时，
；当
时，
②，
由①－②，得
，解得
，
当
时也成立，所以
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，数列
的前
项和为
，故C 错误；
对于D，因为
，当
时，
，当
时，
，且
，
故当
或9 时，
的前
项和
取最小值，最小值为
，
故D 正确.
故选：AD.
【易错指导】在处理选项A 时，要注意验证当
时也成立，所以
，
故A 正确；
【忽视验证首项致误】
17．数列
的前
项和为
，若
，则有（ ）
A．
B．
为等比数列
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用
与
关系，推得
是等比数列，进而依次求得
和
，从而得解.
【详解】
，即
，
又
，
是首项为1，公比为的等比数列，
，故A 正确；
又
当
时，
当
时，不符合上式，
，故BC 错误；
当
时，
，故D 正确.
故选：AD.
【易错指导】在由
判定数列
是等比数列式，要注意验证首项
.
三．填空题.
【忽视验证首项致误 2025 上天津红桥阶段练习】
18．已知数列
的前
项和为
，且
，则数列的通项公式为
.
【答案】
【分析】利用前
项和与第
项的关系，分段求解即可.
【详解】当
时，
，而
不满足上式，所以数列的通项公式为
.
故答案为：
【注意符号的取舍 原创】
19．若等差数列
满足
，则n 的最大值为 ．
【答案】50
【分析】设
，等差数列的公差为
，不妨设
，则
，且
，即
，根据
，得到即有
，再根据等差数列的前n 项和公式，
求得
，从而得出
，即可求解.
【详解】由题意知：等差数列
满足
，
故等差数列不是常数列，且
中的项一定满足
或
，且项数为偶数，
设
，等差数列的公差为
，不妨设
，此时
，
，
则
，且
，即
，故
，
.
又
，则
，故
，即有
，
则
，
可得
，解得
，又
，
即有
的最大值为
，
的最大值为
.
故答案为：50
【易错指导】注意符号的取舍，不要弄错
【忽视验证首项致误 2024 曲靖一中质检】
20．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传
统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列
满足
，
，则
，数列
的前50 项和为 ．
【答案】 50 650
【分析】当
时，
，当
时，
，可推出
，利用累加法可得
，从而求得
即可求解
，根据
，即可求解
.
【详解】当
时，
①，当
时，
②，
由①②可得，
，
所以
，
累加可得，
，
所以
，
令
且为奇数)，
，当
时，
成立，
所以当
为奇数，
，
当
为奇数，
，
所以当
为偶数，
，
所以
故
；
根据
所以
的前
项的和
．
故答案为：
；
【易遗漏】此处求的是当为奇数时，数列
的通项公式，所以需要验证
是否满足
【忽视验证首项致误 2025 上湖南益阳阶段练习】
21．已知数列
的前
项和为
，且
，则数列
的通项公式是
.
【答案】
【分析】利用
和
的关系可得
，进而得到数列
为等比数列，首
项为3，公比为
，进而求解即可.
【详解】由
，
当
时，
，则
；
当
时，
，
则
，即
，
所以
，
则数列
为等比数列，首项为3，公比为
，
所以
，则
.
故答案为：
.
【易错指导】利用
和
的关系可得
时，要注意验证数列
，才能判定
为等比数列.
【忽视首项的验证 2025 上天津东丽阶段练习】
22．在数列
中，
，且
，则
【答案】
【分析】由
化简可证数列
为等差数列，即可得
，再利用公式
，可得
．
【详解】由
，
则
，
则数列
是以
为首项，1 为公差的等差数列，
即
，
所以
，
当
时，
，
，
当
时，
满足上式，
综上所述
，
故答案为：
．
【讨论公比是否为1 2025 上江苏泰州期中】
23．记
为等比数列
的前
项的和，若
，
，则
．
【答案】
【分析】根据题意结合等比数列的求和公式运算求解，注意讨论公比是否为1.
【详解】设等比数列
的公比为
，
若
，则
，这与已知
，
是矛盾的，
所以
，从而
，
，
将上面两个等式的两边分别相除，得
，解得
，
由
此可得
，因此
．
故答案为：
.
【易错指导】根据题意结合等比数列的求和公式运算求解时，要注意讨论公比
是否为1.
【忽视首项的验证】
24．已知数列
满足
，则
的通项公式为
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用
与
的关系求出通项公式.
【详解】数列
中，
，
当
时，
，
两式相减得
，解得
，而
，即
满足上式，
所以
的通项公式为
.
故答案为：
【忽视首项的验证】
25．已知数列
的前
项和为
，满足
，函数
定义域为R，
对任意
都有
，若
，则
的值为 .
【答案】
##0.5
【分析】利用
确定数列的递推关系，从而求得通项公式
，利用
可确定函数
是周期函数且得出周期，由二项展开式确定
除以4
所得余数，由
求得
，最后利用周期性得结论．
【详解】因为
，
当
时，
，
，
，则
，
所以
，
所以
是等比数列，公比为
，
，
所以
，
，则
，
所以
，即
是周期函数，且周期为4，
，则
，
，
上述展开式中，从第二项开始每一项都是8 的倍数，也是4 的倍数，
所以
，
故答案为：
．
【点睛】方法点睛：在已知数列的项与前
项和关系时，一般利用
确定
数列的前后项之间的关系，从而求得通项公式，解题时要注意
的情形是否对
也适
用．
【易错指导】在已知数列的项与前项和关系时，一般利用
确
定数列的前后项之间的关系，从而求得通项公式，解题时要注意
的情形是
否对
也适用．
1.试题特点分析：数列通项公式的求解，往往考查等差数列、等比数列的通项
公式、前n 项和与数列的项之间的关系的应用以及数列的性质与应用，题型以
选择与填空题为主，有时也会出现在解答题中，体现对学生数学抽象、数学运
算、逻辑推理等素养的考察.
2.解题方法阐述：求递推数列的通项的主要思路是通过转化思想，构造新的熟
知数列（对称、等比数列或常数列），使问题化陌生为熟悉.我们要根据不同的
递推关系式或条件，采取不同的变形手段，从而达到转化的目的.
3.解题经验分享：第一、熟悉常见的数列通项公式的类型和解决方法，明确解
题方向； 第二、熟悉等差数列、等比数列的通项公式的推导过程和公式的适用
条件.第三、注重细节，对一些容易忽视或遗漏的知识点（如：利用等比数列求
和公式求和时要先判断公比是否可能为1；利用
确定数列的前
后项之间的关系，从而求得通项公式，解题时要注意
的情形是否对
也
适用）要经常复习.
