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易混易错7 忽视圆锥曲线中的限制条件或隐含条件（小题
狂练）
一．单选题．
【忽视圆锥曲线定义中的限制条件 2025 上陕西榆林期中】
1．已知
、
是平面内两个不同的定点，则“
为定值”是“动点
的轨迹
是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若
，则
，此时，点
的轨迹是线段
的垂直平分
线，
所以，“
为定值”
“动点
的轨迹是双曲线”；
若动点
的轨迹是双曲线，则
为定值，
所以，“
为定值”
“动点
的轨迹是双曲线”.
因此，“
为定值”是“动点
的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
【忽略对椭圆焦点位置的讨论 2025 上江苏无锡期中】
2．求长轴长是短轴长的倍，且过点
的椭圆的标准方程（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【分析】分析可知，
，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，
求出
的值，即可得出椭圆的标准方程.
【详解】由题意可知，
，
若椭圆的焦点在
轴上，则椭圆的标准方程为
，
将点的坐标代入椭圆方程可得
，解得
，
此时，椭圆的标准方程为
；
若椭圆的焦点在
轴上，则椭圆的标准方程为
，
将点的坐标代入椭圆方程可得
，解得
，
此时，椭圆的标准方程为
.
综上所述，椭圆的标准方程为
或
.
故选：C.
【忽略离心率和渐近线斜率的关系 2025 上云南楚雄期末】
3．已知
，双曲线
的离心率为，若
，则点
与椭圆
的位置关系为（ ）
A．点
在椭圆
内
B．点
在椭圆
上
C．点
在椭圆
外
D．不确定
【答案】A
【分析】由双曲线的离心率公式可得
，代入
，得
，进而可得
，即可判断点
与椭圆的位置关系.
【详解】由题意可得
,因为
，
所以
,所以
,
所以
,则
，从而
，故点
在椭圆
内.
故选：A
【忽视椭圆方程中参数的范围 2024 辽宁部分学校二模】
4．已知方程
表示的曲线是椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于
且不能相等即可求解.
【详解】因为方程
表示的曲线是椭圆，
所以
，解得
且
，
所以实数k 的取值范围是
.
故选：D.
【不理解几何关系的隐含条件 2025 上河北承德阶段练习】
5．已知
，
是椭圆与双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，线
段
的垂直平分线经过点
．记椭圆的离心率为
，双曲线的离心率为
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，结合椭圆和双曲线的定义得到
，
的关系式，根
据
的取值范围，通过分析函数单调性可得到结果.
【详解】设椭圆的长轴长为
，双曲线的实轴长为
，它们的公共焦距为
，不妨设焦
点在
轴上，点
在第一象限．
点
在线段
的垂直平分线上，
．
由椭圆、双曲线的定义得：
，
，
，整理得
，
，即
，
，
,其中
.
令
则
.
∵当
时，
，∴
在
单调递增，
，∴
，即
.
故选：B.
【忽略轨迹特殊点的取舍 2025 上福建莆田期末】
6．在圆
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段
，D 为垂足，M 是线段
上
的点，且
，当点P 在圆上运动时，则点M 的轨迹方程是（ ）
A．
+
=1(y
)
B．
+
=1(y
)
C．
+
=1(y
)
D．
+
=1(y
)
【答案】A
【分析】设点
，
，则
，因点
在圆
上 ，利用相关点
法即可求得点M 的轨迹方程.
【详解】
如图，设点
，
，则
，
因点
在圆
上 ，则
（*），
又因
轴，且M 是线段
上的点，
，则
，
则得
，即
，
将其代入（*），即得
是点M 的轨迹方程.
故选：A.
【忽视点的位置的限制 教材溯源题】
7．抛物线
0）的焦点为F，0 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且
的面积为
，则抛物线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
点坐标，由
关系得
点坐标由
表示，
再由
的面积可解得
，从而得解.
【详解】设
由
可得：
又因为
所以
即
解得
或
（舍去），
所以
所以
解得
因为
所以
故选C.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，关键由线段的长度关系转化到点的坐标关系，属于
难度题.
【忽视双曲线定义中的限制条件 2024 江西抚州检测】
8．已知平面内两定点
，
，下列条件中满足动点
的轨迹为双曲线的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义即可求解.
【详解】解：由题意，因为
，
所以由双曲线的定义知，当
时，动点
的轨迹为双曲线，
故选：C.
【忽视点的特殊位置 原创】
9．在平面直角坐标系
中，
为坐标原点，
为任一动点．条件
：直线
与直线
相交于点
；条件
：动点
在抛物线
上．则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分别将条件
条件
转化为与实数对
相关的解析式，进而得到二者间的
逻辑关系.
【详解】条件
：直线
与直线
相交于点
，
则
，则
，整理得
条件
：动点
在抛物线
上，则
，
则
是
的充分不必要条件.
故选：A
【忽视点的坐标的限制 2024 吉林长春检测】
10．已知A､B 是椭圆
（
）长轴的两端点，P､Q 是椭圆上关于x 轴对称
的两点，直线AP，BQ 的斜率分别为
，
（
），若椭圆的离心率为
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】求出
的值，推导出
，所以当
时，
有最小值.
【详解】由已知可得
，
，
设点
，则
，且有
，可得
，
设点
、
，则
，因为
在椭圆上，所以
所以当
时，
的
最小值为：
.
故选：D.
【忽视两圆的相切条件 2024 安徽池州二模】
11．已知圆
和两点
为圆
所在平面内的动点，记
以
为直径的圆为圆
，以
为直径的圆为圆
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆
与圆
内切，则圆
与圆
内切
B．若圆
与圆
外切，则圆
与圆
外切
C．若
，且圆
与圆
内切，则点
的轨迹为椭圆
D．若
，且圆
与圆
外切，则点
的轨迹为双曲线
【答案】C
【分析】先证明当
时，若
，则圆
与圆
内切，圆
与圆
外切；若
，则圆
与圆
外切，圆
与圆
内切，从而A 和B 错误；然后当
时，
将条件变为
，从而根据椭圆定义知点
的轨迹为椭圆，C 正确；当
时，
将条件变为
，从而根据双曲线定义知点
的轨迹为双曲线的左支，D 错误.
【详解】我们分别记
的中点为
，显然
是
的中点，故
，
.
当
时，
在圆
内，此时，圆
和圆
不可能与圆
外切，而圆
与圆
内
切等价于
，
即
，即
，同理，圆与圆
内切也等价于
；
当
时，
在圆
外，故“圆
与圆
内切”和“圆
与圆
外切”分别等价于
和
，
即
和
，即
和
.
所以，此时“圆
与圆
内切”和“圆
与圆
外切”分别等价于
和
，同理，“圆
与圆
内切”和“圆
与圆
外切”分别等价于
和
.
下面考虑四个选项（我们没有考虑
的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有
选项的正确性）：
由于当
时，若
，则圆
与圆
内切，圆
与圆
外切；
若
，则圆
与圆
外切，圆
与圆
内切.
这分别构成A 选项和B 选项的反例，故A 和B 错误；
若
，则
，此时“圆
与圆
内切”和“圆
与圆
内切”都等价于
，
而根据椭圆定义，
对应的轨迹即为
，C 正确；
若
，则
，此时“圆
与圆
外切”等价于
，
而根据双曲线定义，
对应的轨迹为
，
仅仅是双曲线的半支，D 错误.
故选：C.
二．多选题．
【不能正确得到抛物线的标准方程 2025 上广西贵港开学考试】
12．已知点
到抛物线
准线的距离为4，则
的值可能为（ ）
A．8
B．
C．24
D．
【答案】AD
【分析】先由抛物线方程写出其准线方程，利用点到直线距离公式列出方程，解之即得.
【详解】因抛物线
的准线为
，
则点
到直线
的距离为：
，解得，
或
.
故选：AD.
【不能正确理解新定义 2025 上河南阶段练习】
13．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴
长与短半轴长的乘积.若椭圆
的面积为
，则该椭圆的离心率可能
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据“逼近法”可得
，由此可确定
所有可能的取值，由椭圆离心率
求得所有可能的取值.
【详解】根据题意有：
由“逼近法”原理可知
，
又因为
，所以
或
或
或
或
或
，
当
或
时，椭圆离心率
；
当
或
时，椭圆离心率
；
当
或
时，椭圆离心率
.
故选：ABD.
【忽视双曲线的焦点位置 2025 下广东揭阳开学考试】
14．以两条直线
为渐近线的双曲线的离心率可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据双曲线渐近线方程的定义，可得
，
的关系，再由离心率的计算公式可求
得.
【详解】根据渐近线方程
可得，双曲线的渐近线斜率为
.根据双曲线渐近
线方程的性质可得
或
.
①当
时，
，
∴
，则
②当
时，
，
∴
，则
.
故选：BD.
【忽视“直曲”相交交点的位置情况 2024 山东德州二模】
15．已知双曲线
的离心率为，过其右焦点
的直线与
交于
点
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．
的最小值为
C．若满足
的直线恰有一条，则
D．若满足
的直线恰有三条，则
【答案】ACD
【分析】由双曲线的性质和离心率可得A 正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦
长为通径
可得B 错误；若满足
的直线恰有一条可知直线与双曲线的两支分
别相交，可得
，可判断C 正确；若满足
的直线恰有三条，则
该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，可得
，可推导出D 正确.
【详解】A：当
时，因为
，所以
，故A 正确；
B：当过其右焦点
的直线与
交于左右两支时，
的最小值为
，（此时
为双
曲线的两顶点）
当过其右焦点
的直线与
交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为，
代入双曲线方程为
，解得
，此时弦长为
，
由于
不一定等于
，故B 错误；
C：若满足
的直线恰有一条，
由选项B 可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，
所以
，
此时
，故C 正确；
D：若满足
的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线
与双曲线的同一支相交，
所以
，所以
，
又
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
【忽视焦半径的范围 2024 贵阳一中模拟】
16．已知点P 为双曲线
上任意一点，
为其左、右焦点，O 为
坐标原点．过点P 向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是
（ ）
A．
为定值
B．O、P、M、N 四点一定共圆
C．
的最小值为
D．存在点P 满足P、M、
三点共线时，
P、N、
三点也共线
【答案】ABC
【分析】根据点到直线距离计算可判断A 选项，根据对角互补判断四点共圆判断B 选项，
应用平面向量的数量积运算结合双曲线的性质判断C 选项，根据双曲线对称性判断D 选项.
【详解】设
，点
到渐近线
的距离为
，
同理
，则
，
，即
，
（定值），故A 正确；
当M、N 均不与O 重合时，由
，
和
均为直角三角形，
故M，N 两点在以OP 为直径的圆上；
当M、N 有与O 重合时，也满足O、P、M、N 四点共圆．故B 正确；
由双曲线的对称性可知
，
其中
，
，
成立，故C 正确；
如图，
利用双曲线的对称性，不妨设直线
垂直一条渐近线，垂足为M；
直线
垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线
与直线
的交点始终落在y
轴上，故D 不正确．
故选：ABC．
【不能正确得到与抛物线焦点弦有关的几何性质 2025 上重庆开学考试】
17．已知
为坐标原点，
是抛物线
的焦点，
是
上两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由题意得
三点共线，即直线
是过焦点
的直线，设其倾斜角为
，
，由焦点弦公式计算可判断
；由焦半径公式
，
，可得
，可判断
；由
与
互补，结合诱导公式可得
，继而可判断
；由两点间的距离公式和弦长公式可得
，可得
，即可判断
.
【详解】由
可知，
三点共线，
所以直线
是过焦点
的直线，
设其倾斜角为
，
，
所以焦点弦
，故A 正确，
设直线
与
的夹角为
，
设
（
轴上方的焦半径），
（
轴下方的焦半径），
所以
，故B 正确，
，
故
，故C 正确，
所以
，
即不存在
，使
，故D 错误.
【点睛】焦点弦常用结论：
若抛物线
焦点弦
所在直线的倾斜角为
，
则
，
，
，
，
证明：设
，
，
又
，
，
解得
，
，
同理可得
，
注：
表示
轴上方的焦半径，
表示
轴下方的焦半径.
，
.
【忽视特殊位置的判定 2024 湖北模拟预测】
18．已知椭圆
的离心率为
，左，右焦点分别为
，
，过
且
倾斜角为
的直线与椭圆C 交于A，B 两点（点A 在第一象限），P 是椭圆C 上任意一点，
则（ ）
A．a，b 满足
B．
的最大值为
C．存在点P，使得
D．
【答案】ABD
【分析】A 选项，根据离心率得到
；B 选项，设
，
，故
，计算出
；C 选项，由椭圆定义及余弦定理，基本不
等式得到点P 在短轴端点时，
最大，且此时
，故C 错；D 选项，
法一：设出直线方程
，联立椭圆方程，求出
，得到结论；
法二：利用椭圆的第二定义进行求解.
【详解】A 选项，因为C 的离心率
，所以
，
，解得
，
故A 对；
B 选项，由题意得
，设
，则
，
，
因为
，
，所以
，
，
则
，
故B 对；
C 选项，设
，
，
，
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
由于
在
上单调递减，
当点P 在短轴端点时，
最大，且此时
，
故此时
，故C 错；
D 选项，法一：直线方程为
，即
，
与椭圆方程
联立得
，
因为
，所以
，
，故
，故D 对.
法二：据椭圆第二定义易知：
，
其中
，
即
，
解得
，同理可得
.
所以
成立，故D 对.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：
为椭圆上任意一点，
为椭圆的焦点，则
最大当且仅当
为短轴顶点；
为椭圆上任意一点，
为椭圆的长轴顶点，则
最大当且仅当
为短轴顶点；
为椭圆上任意一点，
为椭圆的焦点，若
，则椭圆的离心率的取值范围是
.
【忽视点
的位置 2025 辽宁模拟预测】
19．已知
，
分别为双曲线
：
的左、右焦点，点
在
的左
支上，且
与
交于另一点
，
为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点
的坐标为
，则
的离心率的取值范围为
B．若
，
，则
C．若
，
，则
的最小值为4
D．若
，
，则
恒为定值
【答案】ABD
【分析】对于A，由点
在渐近线
的下方得到
，推理即得离心率范围；
对于B，利用双曲线的定义和焦半径
的范围即得；对于C，根据点
在双曲线的左右
支分别求得最短弦长即可判断；对于D，根据点
是否与双曲线的左顶点重合，分别推理
计算
，利用双曲线定义和余弦定理即可证得.
【详解】对于A，因点
在
的一条渐近线
的下方，则
，即
，
故离心率
，故A 正确；
对于B，由
，
，得
，
由双曲线的定义可知
，则
，
于是
，
因为
，所以
，故B 正确；
对于C，因
，
，则
，
当
在
的右支上时，因为在过焦点且与双曲线的两支各有一个交点的弦中，
最短弦的弦长为实轴长
，故
；
当
在
的左支上时，因为在过焦点且与双曲线的左支有两个交点的弦中，
当
轴时，
最小，此时
，
，
故
的最小值为1，故C 错误；
对于D，由
，
，可知
，则
，
，
当点
为双曲线的左顶点时，
；
当点
不在双曲线的左顶点时，
因
，则
，
由余弦定理得
，
又
，所以
，
因
则
，即
.
综上，
恒为定值
，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查双曲线的定义，性质的应用，解题思路在于解决与焦点
有关的线段时，常考虑定义式或焦半径、焦点弦有关结论的应用，有时还要考虑双曲线的
渐近线，通经，以及三角形中正余弦定理的运用.
三．填空题．
【忽视焦点的位置 2025 上辽宁大连期中】
20．已知椭圆
和椭圆
的离心率分别为
和
，若
，则
．
【答案】或
.
【分析】根据离心率定义求椭圆
的离心率，结合条件确定椭圆
的离心率，讨论焦点位
置列方程求
.
【详解】设椭圆
的长半轴长为
，短半轴长为
，半焦距为
，
则
，
，
，
所以椭圆
的离心率
，又
，
所以
，
设椭圆
的长半轴长为
，短半轴长为
，半焦距为
，
则
，所以
，
所以
，
当椭圆
的焦点在
轴上时，
，所以
，
当椭圆
的焦点在
轴上时，
，所以
，
所以
或
.
故答案为：或
.
【忽视题目隐含条件 2024 安徽马鞍山质检】
21．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线与
的右支交于
，
两点，若
，则
．
【答案】
##
【分析】根据双曲线的定义表示出
，
，即可得到
，再由余弦定理计算可得.
【详解】依题意过点
的直线与
的右支交于
，
两点，
且
，
，
，
则
，
，
，
所以
，
可得
，
解得
或
（舍去）．
故答案为：
．
【忽视焦点位置 原创】
22．若双曲线
的实轴长为4，则
．
【答案】2 或
【分析】分类讨论确定双曲线的焦点位置，根据双曲线的定义与性质计算即可．
【详解】当
，即
时，
双曲线
的焦点在
轴上，则
，得
，
当
，即
时，
双曲线
的焦点在
轴上，则
，解得
，
所以
或
．
故答案为：2 或
.
【忽视特殊点取舍 原创】
23．已知点
是平面直角坐标系
上异于
的任意一点，过点
作直线
及
的平行线，分别交
轴于
两点，且
，则点
的轨迹方
程为 ．
【答案】
【分析】设出点P 的坐标，利用已知求出点M，点N 的坐标，根据已知建立等式关系，从
而可以求解.
【详解】根据题意，设点
的坐标为
，则过点
与直线
平行的直线为
，
令
，得点
的纵坐标
．同理，过点
与直线
平行的直线
为
，
令
，得点
的纵坐标
．
因为
，所以
，
所以
，化简得
，
由
得
，所以点
的轨迹方程为
．
故答案为：
【忽视注意横坐标的取值范围 新定义】
24．如图，我们把由半椭圆
和半椭圆
合成的曲线称作
“果圆”．
，
，
是相应半椭圆的焦点，则
的周长为 ，直线
与
“果圆”交于
，
两点，且
中点为
，点
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据各半椭圆方程可得
，
，
的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周
长；分别表示点
，
的坐标，利用中点公式表示
，消参即可得到点
，得轨迹方程.
【详解】由
，
，
是相应半椭圆的焦点，
可得
，
，
，
所以
，
，
，
故所求周长为
；
设
，
联立直线
与
，得
，
即点
，
联立直线
与
，得
，
即点
，且
不重合，即
，
又
为
中点，
所以
，
即
，
，整理可得
，
，
故答案为：
，
.
【忽视直线特殊位置 2024 哈尔滨九中调研】
25．已知抛物线C：
，O 为坐标原点，过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A，
B 两点（点A 在第一象限），且
，直线AO 交抛物线的准线于点C，△AOF 与
△ACB 的面积之比为4：9，则p 的值为 ．
【答案】4
【分析】首先证明
，求出
，则
，再利用证明的结论
，得到
，利用焦点弦公式求出
值即可.
【详解】设
，
，则
，
设直线
的方程为
，联立抛物线方程有
，
，
，
则
，直线
的方程为
，
令
，则
，则
，
则
得
，
∴
，∴
，
，又
，
则
，∴点
，
，解得
．
故答案为：4.
1．试题特点分析：圆锥曲线以选择题、填空题的形式考查圆锥曲线的定义、标准方程
及其性质，难度中等，要求考生依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，正确推理
得到结论．
2．解题方法阐述：首先要灵活掌握圆锥曲线的定义、标准方程及其性质．其次明确知
识联系与加工，探求题意中的条件与圆锥曲线之间的联系，寻找解决方法．
3．解题经验分享：第一、定义是解决圆锥曲线的基础，只有准确把握圆锥曲线的定义
内涵，才能简化解题过程． 第二、与已知知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解题
经验来处理新圆锥曲线．第三、保证运算的准确率．
