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§1.1 集 合
课标要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含
和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问
题，能使用Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A
为集合B 的子集，记作A ⊆ B (或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B
A).
(3)相等：若A⊆B，且B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{ x | x ∈
A ，或
x ∈
B }
A ∪
B
交集
{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
A ∩ B
补集
{ x | x ∈
U ，且
x ∉ A }
∁UA
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}.( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1 或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).( √ )
2.(2025·潍坊模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|－3<2x－1<3}，则A∩B 等于( )
A.{－2，1}
B.(－2，1)
C.{1}
D.(－1，2)
答案 C
解析 A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}，
B＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1<x<2}，
∴A∩B＝{1}.
3.(2024·长沙模拟)已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}，则( )
A.M＝N
B.M⊆N
C.N⊆M
D.M∩N＝∅
答案 C
解析 由题意集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，所以N⊆M.
4.已知集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|x≥a，a∈R}，若M∩N＝M，则实数a 的取值范围是 .
答案 (－∞，－1]
解析 因为M∩N＝M，所以M⊆N，所以a≤－1.
1.掌握有限集子集个数的结论
若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空子集有(2n－1)个，非空真子集有
(2n－2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB).
(2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B 时要树立分类讨论的思想，将集合A 是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
题型一 集合的含义与表示
例1 (1)(多选)下列各组中M，P 表示不同集合的是( )
A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
答案 ABD
解析 选项A 中，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；
选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C 中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，故M＝P；
选项D 中，M 是二次函数y＝x2－1，x∈R 的所有y 组成的集合，而集合P 是二次函数y＝x2－1，x∈R 图
象上所有点组成的集合，故M≠P.
(2)已知m∈R，n∈R，若集合{m，n
m ，1}＝{m2，m＋n，0}，则m2 025＋n2 025的值为( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
答案 B
解析 因为{m，n
m ，1}＝{m2，m＋n，0}，m≠0，
所以{
n
m ＝0,
m＝m＋n,
m
2＝1,
解得{
n＝0,
m＝1 或{
n＝0,
m＝-1,
当m＝1 时，不满足集合元素的互异性，
故m＝－1，n＝0，m2 025＋n2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1.
思维升华 解决集合含义问题的关键点
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异
性相矛盾.
跟踪训练1 (1)已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，则a 的值可能为( )
A.－1，3
B.－1
C.－1，3，8
D.－1，8
答案 D
解析 由题意，若a2－2a＋1＝4，解得a＝3 或a＝－1，若a－4＝4，解得a＝8，
当a＝－1 时，A＝{－1，4，－5}满足题意，
当a＝3 时，A＝{－1，4，－1}违背了集合中元素间的互异性，
当a＝8 时，A＝{－1，4，49}满足题意，
综上所述，a 的值可能为－1，8.
(2)(多选)非空集合A 具有如下性质：①若x，y∈A，则x
y ∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断中，
正确的有( )
A.－1∉A
B.2 024
2 025∈A
C.若x，y∈A，则xy∈A
D.若x，y∈A，则x－y∈A
答案 ABC
解析 对于A，假设－1∈A，则令x＝y＝－1，则x
y ＝1∈A，
令x＝－1，y＝1，则x＋y＝0∈A，
令x＝1，y＝0，不存在x
y ，即y≠0，矛盾，
∴－1∉A，故A 对；
对于B，由题知，1∈A，则1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2 024∈A，2 025∈A，
∴2 024
2 025∈A，故B 对；
对于C，∵1∈A，x∈A，∴1
x ∈A，
∵y∈A，1
x ∈A，∴
y
1
x
＝xy∈A，故C 对；
对于D，∵1∈A，2∈A，若x＝1，y＝2，则x－y＝－1∉A，故D 错.
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)(2025·青岛模拟)已知全集U＝R，集合A，B 满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是( )
A.A＝B
B.B⊆A
C.A∩(∁UB)＝∅
D.(∁UA)∩B＝∅
答案 C
解析 因为集合A，B 满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B，
对A，当A 为B 的真子集时，不成立；
对B，当A 为B 的真子集时，也不成立；
对C，A∩(∁UB)＝∅，恒成立；
对D，当A 为B 的真子集时，不成立.
(2)已知M＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，且A∩M＝A，则实数a 的取值范围为 .
答案 {a|a≤1}
解析 因为A∩M＝A，所以A⊆M，
又因为A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，
当A＝∅时，1－a>1＋a，解得a<0；
当A≠∅时，{
a≥0,
1-a≥-2,
1＋a≤2,
解得0≤a≤1，
综上，实数a 的取值范围是{a|a≤1}.
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满
足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2 (1)(多选)已知I 为全集，若A∪B＝A，则( )
A.A⊆B
B.B⊆A
C.∁IA⊆∁IB
D.∁IB⊆∁IA
答案 BC
解析 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以∁IA⊆∁IB.
(2)(多选)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N⊆M，则实数m 的值可以为( )
A.－2
B.－1
C.0
D.1
答案 BCD
解析 当N＝∅时，满足N⊆M，此时m＝0；
当N≠∅时，m≠0，
解mx＝1 可得，x＝1
m.
因为N⊆M，所以1
m＝－1 或1
m＝1.
当1
m＝－1 时，m＝－1；
当1
m＝1 时，m＝1.
综上所述，m＝0 或m＝－1 或m＝1.
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B 等于(
)
A.{－1，0}
B.{2，3}
C.{－3，－1，0}
D.{－1，0，2}
答案 A
解析 因为A＝{x|－3√5<x<3√5}，
B＝{－3，－1，0，2，3}，
且1<3√5<2，－2<－3√5<－1，
所以A∩B＝{－1，0}.
(2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)
等于( )
A.{x|x＝3k，k∈Z}
B.{x|x＝3k－1，k∈Z}
C.{x|x＝3k－2，k∈Z}
D.∅
答案 A
解析 方法一 M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3 的倍数，
即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}.
方法二 集合M∪N 表示被3 除余1 或2 的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3 整除的整数集.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (1)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a 的取值范围为( )
A.[0，1]
B.[0，1)
C.(0，1)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 因为B＝{x|x>a}，
所以∁RB＝{x|x≤a}，
又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，
又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，
解得0≤a≤1，即实数a 的取值范围为[0，1].
(2)(2025·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a 的取值范围
为( )
A.(1，＋∞)
B.[1，＋∞)
C.(－∞，1)
D.(－∞，1]
答案 B
解析 由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}，
∁RA＝{x|x≤－1 或x≥1}，
所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1.
思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的
元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
命题点3 集合的应用
容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，
将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去.
我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A 中元素的个数.例如，A＝{a，b，
c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C 三类，那么，card(A∪B∪C)＝
card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).
例5 某校初一(4)班有学生46 人，寒假参加体育训练，其中足球队25 人，排球队22 人，游泳队24 人，
足球、排球都参加的有12 人，足球、游泳都参加的有9 人，排球、游泳都参加的有8 人，则三项都参
加的人数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 C
解析 设集合A＝{x|x 是参加足球队的学生}，
集合B＝{x|x 是参加排球队的学生}，
集合C＝{x|x 是参加游泳队的学生}，
则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，
card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.
设三项都参加的有m 人，即card(A∩B∩C)＝m，card(A∪B∪C)＝46，
所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
即46＝25＋22＋24－12－8－9＋m，
解得m＝4，
故三项都参加的有4 人.
思维升华 在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含
关系的问题，确保计算结果的准确性.
跟踪训练3 (1)(2025·广东八校联考)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a 的取值范围
是( )
A.[1，＋∞)
B.[2，＋∞)
C.(－∞，1]
D.(－∞，2]
答案 B
解析 由A∩B＝A 知A⊆B，
又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.
(2)(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|1<x≤3}，则下列判断正确的是( )
A.A∪B＝B
B.(∁RB)∪A＝R
C.A∩B＝{x|1<x≤2}
D.(∁RB)∪(∁RA)＝{x|x≤1 或x>2}
答案 CD
解析 由x2－3x＋2≤0，即(x－2)(x－1)≤0，
解得1≤x≤2，
所以A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
由B＝{x|1<x≤3}，
所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，故A 错误；
A∩B＝{x|1<x≤2}，故C 正确；
又∁RB＝(－∞，1]∪(3，＋∞)，所以(∁RB)∪A＝(－∞，2]∪(3，＋∞)，故B 错误；
∁RA＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以(∁RB)∪(∁RA)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故D 正确.
(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203 人，物理179 人，化学165 人；
至少参加两科的：数学、物理143 人，数学、化学116 人，物理、化学97 人；三科都参加的有90 人.则
参加竞赛的学生总人数是 .
答案 281
解析 由题意，用A，B，C 分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，
则card(A)＝203，card(B)＝179，card(C)＝165，
card(A∩B)＝143，card(B∩C)＝97，card(A∩C)＝116，card(A∩B∩C)＝90，
因此card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)
－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.
所以参加竞赛的学生总人数是281.
集合中的创新问题
数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个热点，
此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解
问题、解决创新问题的能力.
典例 (1)(多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，a
b
∈P(除数b≠0)，则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是一个数域；数集F＝{a＋b√2|a，b∈Q}也是一个数
域.下列关于数域的命题中是真命题的为( )
A.0，1 是任意数域中的元素
B.若数集M，N 都是数域，则M∪N 是一个数域
C.存在无穷多个数域
D.若数集M，N 都是数域，则有理数集Q⊆M∩N
答案 ACD
解析 对于A 选项，由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个元素a≠0∈P，所以
有a－a＝0∈P，a
a＝1∈P，故A 正确；
对于B 选项，假设数域M＝{a＋b√2|a，b∈Q}，N＝{a＋b√3|a，b∈Q}，则当x＝√2∈M，y＝√3∈N 时，
x∈M∪N，y∈M∪N，x＋y＝√2＋√3∉M 且x＋y＝√2＋√3∉N，
故x＋y＝√2＋√3∉M∪N，故B 错误；
对于C 选项，可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z，
集合P＝{a＋b√Z|a，b∈Q}都是数域，这样就有无穷多个数域，故C 正确；
对于D 选项，在A 选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q⊆P.
因为0，1 是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0 或1 的和或差，
故所有整数都属于数域P，
又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q⊆P，
所以Q⊆M，Q⊆N，即Q⊆M∩N，故D 正确.
(2)(多选)(2024·泰州模拟)对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B 为集合A，B 的对
称差.例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是( )
A.若A，B⊆R 且A⊕B＝B，则A＝∅
B.若A，B⊆R 且A⊕B＝∅，则A＝B
C.若A，B⊆R 且A⊕B⊆A，则A⊆B
D.存在A，B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB
答案 AB
解析 对于A，因为A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，
所以A⊆B，且B 中的元素不能出现在A∩B 中，因此A＝∅，即A 正确；
对于B，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，
即A∪B 与A∩B 是相同的，所以A＝B，即B 正确；
对于C，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，
所以B⊆A，当A≠B 时，A⊆B 不成立，即C 错误；
对于D，由于(∁RA)⊕(∁RB)＝{x|x∈(∁RA)∪(∁RB)，x∉(∁RA)∩(∁RB)}
＝{x|x∈∁R(A∩B)，x∉∁R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，
而A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，故A⊕B＝(∁RA)⊕(∁RB)，即D 错误.
课时精练
[分值：94 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·大同模拟)设集合A＝{x|－1<x≤4}，B＝{x|x2>4}，则A∩(∁RB)等于( )
A.{x|－1≤x<2}
B.{x|－1<x≤2}
C.{x|－2≤x≤2}
D.{x|－2<x<2}
答案 B
解析 由题意可得∁RB＝{x|0≤x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤2}.
2.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则下列选项中正确的是( )
A.A B
B.A B
C.A＝B
D.B＝∅
答案 B
解析 由题意，在B＝{y|y＝x2，x∈A}中，A＝{－1，0，1}，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，∴B＝{0，1}，∴A
B.
3.(2024·怀化模拟)已知集合M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，P＝M∩N，则P 的真子集共有(
)
A.3 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个
答案 C
解析 因为M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，所以P＝M∩N＝{1，2，4}，所以P 的真子集共
有23－1＝7(个).
4.(2024·宝鸡模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a 等于( )
A.1
B.0
C.2
D.0 或1
答案 D
解析 当a＝0 时，由ax2－2x＋1＝0 可得x＝1
2，满足题意；
当a≠0 时，由ax2－2x＋1＝0 只有一个根需满足Δ＝(－2)2－4a＝0，解得a＝1.
综上，实数a 的值为0 或1.
5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知集合A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}，B＝{x|log2(x－2)<2}.则图中阴影部分表示
的集合为( )
A.{3，4，5}
B.{1，2}
C.{3，4，5，6}
D.{1，2，6}
答案 D
解析 由题意知A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}＝{x∈N*|－2<x<7}＝{1，2，3，4，5，6}，
因为函数y＝log2x 是增函数，
所以B＝{x|log2(x－2)<2}＝{x|0<x－2<22}＝{x|2<x<6}，
所以A∩B＝{3，4，5}，
所以图中阴影部分表示的集合为{1，2，6}.
6.(2025·攀枝花模拟)已知集合A＝{1，a2}，B＝{1，4，a}，若A⊆B，则实数a 组成的集合为( )
A.{－2，－1，0，2}
B.{－2，2}
C.{－1，0，2}
D.{－2，0，2}
答案 D
解析 由A⊆B，则有{
a
2＝4 ,
a≠1,
a≠4
或{
a
2＝a,
a≠1,
a≠4 ,
解得a＝2 或a＝－2 或a＝0，实数a 组成的集合为{－2，0，2}.
7.某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，
若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个
体育项目的教师人数为( )
A.15
B.20
C.25
D.35
答案 B
解析 设A＝{x|x 是会打乒乓球的教师}，B＝{x|x 是会打羽毛球的教师}，C＝{x|x 是会打篮球的教师}，
由题意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5，
所以card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
所以card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)＝30＋60＋20＋5－80＝35，
而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)中，含有3 次card(A∩B∩C)，
所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35－3×5＝20.
8.设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A 同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A 中元
素的个数，min(A)表示集合A 中最小的元素)，称集合A 为I 的一个“好子集”，则I 的所有“好子集”的
个数为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
答案 B
解析 当card(A)＝1，即集合A 中元素的个数为1 时，A 的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当card(A)＝2，即集合A 中元素的个数为2 时，A 的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；
当card(A)＝3，即集合A 中元素的个数为3 时，A 的可能情况为{3，5，7}，
综上所述，I 的所有“好子集”的个数为8.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.已知A，B 是全集U 的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是( )
A.A∩B＝∅
B.A⊆(A∪B)
C.(∁UA)∪A＝U
D.(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)
答案 BCD
解析 如图所示，A∩B≠∅，A 选项错误；A⊆(A∪B)，(∁UA)∪A＝U，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，BCD 选
项正确.
10.若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|(x－1)(x－2)<0}，则( )
A.M⊆N
B.M∪N＝M
C.(∁RM)∩N＝∅
D.M∪(∁RN)＝R
答案 BCD
解析 解一元二次不等式(x－1)(x－2)<0，
得1<x<2，所以N＝(1，2)，
∁RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
由于M＝{x|x≥0}，结合补集的定义∁RM＝(－∞，0)，
显然N⊆M，选项A 不正确；
同时可得M∪N＝M，选项B 正确；
由于∁RM＝(－∞，0)，且N＝(1，2)，
可得(∁RM)∩N＝∅，选项C 正确；
由于M＝{x|x≥0}，且∁RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
可得M∪(∁RN)＝R，选项D 正确.
11.有限集合S 中元素的个数记作card(S)，设A，B 都为有限集合，下列选项正确的是( )
A.A∩B＝∅⇔card(A∪B)＝card(A)＋card(B)
B.A⊆B⇒card(A)≤card(B)
C.A⊆B⇐card(A)≤card(B)
D.A＝B⇔card(A)＝card(B)
答案 AB
解析 对于A，A∩B＝∅，说明集合A，B 没有相同元素，
因此card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，反之也成立，故A 正确；
对于B，A⊆B，说明集合A 的元素都属于集合B，故card(A)≤card(B)，故B 正确；
对于C，card(A)≤card(B)，只能说明集合A 的元素个数不多于集合B 中元素个数，
不能说明集合A 的元素都属于集合B，故C 错误；
对于D，A＝B，说明两集合元素相同，可得到card(A)＝card(B)，
反之，两集合元素个数相同，但不能说明两集合元素相同，
故由card(A)＝card(B)不能得到A＝B，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知集合A＝{m|1<m<4}，B＝{y|y＝x3，x∈R}，则A∩B＝ .
答案 {m|1<m<4}
解析 因为B＝{y|y＝x3，x∈R}＝R，
因此，A∩B＝{m|1<m<4}.
13.(2025·南京模拟)已知非空集合A＝{x|a－1<x<2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}.A∩(∁RB)＝A，则实数a 的取值
范围为 .
答案 {a|a≥5 或- 4<a≤- 5
2}
解析 因为A 为非空集合，则a－1<2a＋3，
解得a>－4，∁RB＝{x|x<－2 或x>4}，
若A∩(∁RB)＝A，则A⊆(∁RB)，
则2a＋3≤－2 或a－1≥4，
解得a≤－5
2或a≥5，又a>－4，
综上所述，实数a 的取值范围为{a|a≥5 或- 4<a≤- 5
2}.
14.已知集合M＝{1，2，3，4，…，10}，A 是集合M 的非空真子集，把集合A 中的各元素之和记为S(A)，
则满足S(A)＝8 的集合A 的个数为 ；S(A)的所有不同取值的个数为 .
答案 6 54
解析 由题意，满足S(A)＝8 的集合A 有{1，2，5}，{1，3，4}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，{8}，共6 个.
对于S(A)来说，由于它是集合A 中的各元素之和，同时A 又是集合M 的非空真子集，
因为1＋2＋3＋…＋10＝55，
由题意，易知S(A)将取尽1 到54 的所有整数，
所以S(A)的所有不同取值的个数为54.
15，17，18 题每小题5 分，16 题6 分，共21 分
15.设集合A 的最大元素为M，最小元素为m，记A 的特征值为XA＝M－m，若集合中只有一个元素，规定
其特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且X A1＋X A2＋X A3
＋…＋X An＝120，则n 的最大值为( )
A.14
B.15
C.16
D.18
答案 C
解析 由题意，要想n 的值最大，则特征值要尽可能的小，可令X A1＝0，X A2＝1，X A3＝2，…，X An＝n－
1，则0＋1＋2＋…＋(n－1)＝n(n-1)
2
＝120，解得n＝16 或n＝－15(舍去).
16.(多选)设集合Ak={x|x=2nk+1，n∈Z}(k=1，2，3)，则下列结论正确的是( )
A.2 025∈A1∩A2
B.若a∈A2，且ab∈A3，则b∉A1
C.若a∈A2，b∈A3，则ab∈A1
D.若a∈A2，b∈A3，则3a+2b∈A2
答案 ACD
解析 A 选项，A1={x|x=2n+1，n∈Z}，
A2={x|x=4n+1，n∈Z}，
由题意可得A1∩A2={x|x=4n+1，n∈Z}.
因为2 025=4×506+1，所以2 025∈A1∩A2，则A 正确；
B 选项，A3={x|x=6n+1，n∈Z}，
当a=5∈A2，b=11∈A1时，ab=55=6×9+1∈A3，则B 错误；
C，D 选项，由a∈A2，b∈A3，
可设a=4n1+1，b=6n2+1(n1，n2∈Z)，
则ab=24n1n2+4n1+6n2+1
=2(12n1n2+2n1+3n2)+1，
3a+2b=12n1+3+12n2+2=4(3n1+3n2+1)+1.
因为n1，n2∈Z，
所以12n1n2+2n1+3n2∈Z，3n1+3n2+1∈Z，
所以ab∈A1，3a+2b∈A2，则C，D 正确.
17.戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空子集A 与B，且满足A∪B＝Q，A∩B＝∅，A 中的每一
个元素都小于B 中的每一个元素.请给出一组满足A 中无最大元素且B 中无最小元素的戴德金分割
.
答案 A＝{x∈Q|x<π}，B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一)
解析 以无理数分界写出一组即可，如A＝{x∈Q|x<π}，B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一).
18.设Sn={a|a=(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i=1，2，…，n(n∈N*，n≥2)}，定义a 的差分运算为D(a)=(|
a2-a1|，|a3-a2|，…，|an-an-1|)∈Sn-1.用Dm(a)表示对a 进行m(m∈N*，m≤n)次差分运算，显然，Dm(a)是一个(n-
m)维数组.称满足Dm(a)=(0，0，…，0)的最小正整数m 的值为a 的深度.若这样的正整数m 不存在，则称a
的深度为n.
(1)已知a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，则a 的深度为 .
(2)Sn中深度为d(d∈N*，d≤n)的数组个数为 .
答案 (1)4 (2)2d-1
解析 (1)因为a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，
则D(a)=(1，0，0，1，1，0，0)，
D2(a)=(1，0，1，0，1，0)，
D3(a)=(1，1，1，1，1)，
D4(a)=(0，0，0，0)，所以a 的深度为4.
(2)易知Sm中仅有一组(0，0，0，…，0)，
Sm+1中深度d=1 的数组仅1 组(1，1，1，…，1)，
Sm+2中深度d=2 的数组仅2 组，
Sm+3中深度d=3 的数组仅4 组，
…，
Sm+k中深度d=k 的数组仅2k-1组，
…，
所以Sn中深度为d 的数组仅有2d-1组.
