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§8.8 抛物线
课标要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶
点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线
的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
注意：定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于直线l 的一条直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
焦点
(
p
2 ，0)
(- p
2 ，0)
(0，p
2)
(0，- p
2)
准线
方程
x =-
p
2
x = p
2
y =-
p
2
y = p
2
对称轴
x 轴
y 轴
顶点
(0
，
0)
离心率
e=1
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.
( × )
(2)方程y=4x2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).
( × )
(3)标准方程y2=2px(p>0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离.
( √ )
(4)焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p>0)，也可以写成y=ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的
解析式是一致的.
( √ )
2.(多选)关于抛物线y2=-2x，下列说法正确的是
( )
A.开口向左
B.焦点坐标为(-1，0)
C.准线为x=1
D.对称轴为x 轴
答案 AD
解析 对于抛物线y2=-2x，开口向左，焦点坐标为(- 1
2 ，0)，准线方程为x=1
2，对称轴为x 轴，故AD 正
确.
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F 的抛物线C：y2=2px(p>0)上，若|PF|=15
2 ，则p 等于( )
A.3
B.6
C.9
D.12
答案 A
解析 抛物线C：y2=2px(p>0)，准线方程为x=- p
2 ，P(6，y0)，由抛物线的定义可知
|PF|=6+ p
2 =15
2 ，解得p=3.
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2=2px(p>0)过点A(2，2)，则点A 到抛物线准线的距离为 .
答案 5
2
解析 由题意22=2p×2，解得p=1，所以抛物线的准线方程为x=-1
2，故所求距离为2+1
2=5
2.
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB 是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 为坐标原点，则
(1)x1x2= p
2
4 ，y1y2=-p2；
(2)弦长|AB|=x1+x2+p= 2 p
sin
2α (α 为弦AB 的倾斜角)；
(3)
1
| FA | +
1
| FB| = 2
p；
(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；
(5)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2025·东北三省精准教学联考)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若抛物线上一点M 满
足|MF|=2，∠OFM=60°，则p 等于( )
A.3
B.4
C.6
D.8
答案 A
解析 如图，过点M 分别向x 轴和准线作垂线，垂足分别为A，N，
根据抛物线定义，
有|MF|=|MN|=2，
所以p=|MN|+|MF|·cos 60°=3.
(2)记抛物线E：y2=4x 的焦点为F，点A 在E 上，B(2，1)，则|AF|+|AB|的最小值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 B
解析 过点A 作准线x=-1 的垂线，垂足为D，则|AF|=|AD|，则|AF|+|AB|=|AD|+|AB|≥3，如图所示，所以|
AF|+|AB|的最小值为3.
延伸探究 本例(2)中，点B 坐标改为(2，3)，点A 到准线的距离为d，求|AB|+d 的最小值.
解 令x=2，y2=8<9，
故点B 在抛物线外部.
由抛物线定义，d=|AF|，
∴|AB|+d=|AB|+|AF|
≥|BF|=√10，如图所示，
当且仅当B，A，F 三点共线时等号成立，
∴|AB|+d 的最小值为√10.
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的
求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
跟踪训练1 (1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2=4x 上一点M 到焦点的距离是10，则M 到x 轴的距离是 (
)
A.4
B.6
C.7
D.9
答案 B
解析 抛物线y2=4x 的准线方程为x=-1，由抛物线定义可得xM+1=10，故xM=10-1=9，则|yM|=√4 xM=√4×9
=6，即M 到x 轴的距离为6.
(2)已知点P 为抛物线y2=-4x 上的动点，设点P 到直线l：x=1 的距离为d1，到直线x+y-4=0 的距离为
d2，则d1+d2的最小值是( )
A.5
2
B.5√2
2
C.2
D.√2
答案 B
解析 直线l：x=1 为抛物线y2=-4x 的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线
x+y-4=0 的垂线，如图所示，当点P 为所作直线与抛物线的交点时，d1+d2的值最小，为点F 到直线x+y-4=0
的距离.
∵F(-1，0)，
∴(d1+d2)min=|-1+0- 4|
√2
=5√2
2 .
题型二 抛物线的标准方程
例2 (1)若抛物线过点(3，-4)，则抛物线的标准方程为 .
答案 y2=16
3 x 或x2=-9
4 y
解析 ∵点(3，-4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).
把点(3，-4)的坐标分别代入y2=2px 和x2=-2p1y 中，得(-4)2=2p·3，32=-2p1·(-4)，
则2p=16
3 ，2p1=9
4 .
∴所求抛物线的标准方程为
y2=16
3 x 或x2=-9
4 y.
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2=-2px(p>0)，C2：y2=2px(p>0)构造了一个类
似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P 在抛物线C1上，过点P
作x 轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|=2|PQ|=8，则p 等于( )
A.4
B.6
C.8
D.12
答案 D
解析 方法一 如图，过点P 作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|=2|PQ|=8，
∴|OM|=2，则xP=-2，
又点P 在抛物线C1：y2=-2px(p>0)上，
∴y P
2=4p，
则|PM|=2√p，
在Rt△PMF1中，|MF1|= p
2 -2，
∵|PM|2+|M F1|
2=|P F1|
2，
∴(2√p)
2+(
p
2 -2)
2
=82，
∴p=12(p=-20 舍去).
方法二 设P(x0，y0)，则x0<0，
∵|PF1|=2|PQ|=8，
∴-x0+ p
2 =2(-2x0)=8，
∴x0=-2，p=12.
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2 (1)动点P 到点A(0，2)的距离比它到直线l：y=-4 的距离小2，则动点P 的轨迹方程为(
)
A.y2=4x
B.y2=8x
C.x2=4y
D.x2=8y
答案 D
解析 因为动点P 到点A(0，2)的距离比它到直线l：y=-4 的距离小2，所以动点P 到点A(0，2)的距离与它
到直线y=-2 的距离相等，根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A(0，2)为焦点，以直线y=-2 为准线的抛
物线，其标准方程为x2=8y.
(2)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上且位于第一象限，AB⊥l 于点
B，若|AF|=|BF|=4，则抛物线C 的标准方程为 .
答案 y2=4x
解析 ∵|AF|=|AB|且|AF|=|BF|=4，
∴△ABF 为等边三角形，∴∠ABF=60°，
设抛物线的准线与x 轴交于点E，∴∠FBE=30°，
∴|EF|=|BF|·sin 30°=4×1
2=2，即p=2，
∴抛物线C 的标准方程为y2=4x.
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)若抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是( )
A.p<1
B.p>1
C.p<2
D.p>2
答案 D
解析 设P 为抛物线上任意一点，则P 到焦点的距离等于到准线：x=- p
2 的距离，显然当P 为抛物线的顶点
时，P 到准线的距离取得最小值p
2 .∴p
2 >1，即p>2.
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=8x 过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则( )
A.焦点F 的坐标为(4，0)
B.|AB|=x1+x2+4
C.y1y2=-8
D.
1
| FA | +
1
| FB| =1
2
答案 BD
解析 由抛物线y2=8x，可得焦点为F(2，0)，故A 错误；
由抛物线的性质可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+4，故B 正确；
方法一 设直线AB 的方程为x=my+2，与抛物线的方程联立，可得y2-8my-16=0，Δ>0，
则y1+y2=8m，y1y2=-16，
1
| FA | +
1
| FB| =
1
x1+2+
1
x2+2
=
1
y1
2
8 +2+
1
y2
2
8 +2=
8
y1
2+16+
8
y2
2+16
=8 y1
2+8×16+8 y2
2+8×16
y1
2 y2
2+16 y1
2+16 y2
2+16
2
=
8( y1+ y2)
2-16 y1 y2+16
2
( y1 y2)
2+16( y1+ y2)
2-32 y1 y2+16
2
=
8×(8m)
2+16
2+16
2
16
2+16×(8m)
2+32×16+16
2
=1
2，故C 错误，D 正确.
方法二 因为p=4，所以y1y2=-p2=-16，
1
| FA | +
1
| FB| = 2
p=1
2，故C 错误，D 正确.
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对
称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练3 (1)(多选)对于抛物线1
8x2=y，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0，2)
B.开口向上，焦点为(0，1
16)
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y=-4
答案 AC
解析 由抛物线1
8x2=y，即x2=8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线
方程为y=-2.
(2)(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F 的直线l 与抛物线交于两个不同
的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 为坐标原点，设直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2，则( )
A.p=2
B.|AB|≥4
C.⃗OA·⃗OB=-4
D.k1k2=-4
答案 ABD
解析 因为抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，所以22=2p，解得p=2，故A 正确；
所以抛物线方程为y2=4x，则焦点为F(1，0)，
设直线l：x=my+1，联立{
y
2= 4 x ,
x =my +1,
消去x 整理得y2-4my-4=0，
则Δ=16m2+16>0，
所以y1+y2=4m，y1y2=-4，
则x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，
x1x2=(my1+1)(my2+1)
=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1，
所以|AB|=x1+x2+2=4m2+4≥4，故B 正确；
因为⃗OA=(x1，y1)，⃗OB=(x2，y2)，
所以⃗OA·⃗OB=x1x2+y1y2=-3，故C 错误；
由题意知，x1≠0 且x2≠0，所以k1k2=
y1
x1
·
y2
x2
=-4，故D 正确.
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.(2025·德州模拟)抛物线x=-2y2的焦点坐标为( )
A.(0，- 1
2)
B.(- 1
2 ，0)
C.(- 1
8 ，0)
D.(0，- 1
8)
答案 C
解析 由抛物线方程x=-2y2，可知抛物线标准方程为y2=-1
2x，
则p=1
4 ，故焦点坐标为(- 1
8 ，0).
2.(2024·重庆模拟)已知点P(x，y)满足√( x -1)
2+ y
2=|x+1|，则点P 的轨迹为( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
答案 C
解析 √( x -1)
2+ y
2表示点P(x，y)到点(1，0)的距离；|x+1|表示点P(x，y)到直线x=-1 的距离.因为
√( x -1)
2+ y
2=|x+1|，所以点P(x，y)到点(1，0)的距离等于点P(x，y)到直线x=-1 的距离，所以点P 的轨迹
为抛物线.
3.已知抛物线C：y2=8x 的焦点为F，准线为l，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若⃗FP=4⃗FQ
，则|QF|等于( )
A.7
2
B.5
2
C.3
D.2
答案 C
解析 过点Q 作QQ'⊥l 于点Q'，如图.
∵⃗FP=4⃗FQ，
∴|PQ|∶|PF|=3∶4，
又焦点F 到准线l 的距离为4，
∴|QF|=|QQ'|=3
4 ×4=3.
4.(2024·海口模拟)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线x=1 与抛物线E 交于A，B 两点，直线x=4
与E 交于C，D 两点，若A，B，C，D 四点构成的梯形的面积为18，则|FA|+|FB|+|FC|+|FD|等于( )
A.14
B.12
C.16
D.18
答案 A
解析 将x=1 代入y2=2px，得y=±√2 p，
将x=4 代入y2=2px，得y=±2√2 p，
所以|AB|+|CD|=2√2 p+4√2 p=6√2 p，
因为A，B，C，D 四点构成的梯形的面积为18，
所以1
2(|AB|+|CD|)×(4-1)=9√2 p=18，
解得p=2，则E 的准线方程为x=-1，
故由抛物线定义知|FA|+|FB|+|FC|+|FD|=(1+1)+(1+1)+(4+1)+(4+1)=14.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px 的焦点，M 是C 上的点，O 为坐标原点.则( )
A.p＝4
B.|MF|≥|OF|
C.以M 为圆心且过F 的圆与C 的准线相切
D.当∠OFM＝120°时，△OFM 的面积为2√3
答案 ABC
解析 由题意得p
2 ＝2，则p＝4，A 正确；
设M(x0，y0)，则|MF|＝x0＋p
2 ，|OF|＝p
2 ，
又因为x0≥0，所以|MF|≥|OF|，B 正确；
由抛物线的定义知M 到F 的距离与M 到C 的准线的距离相等，故以M 为圆心且过F 的圆与C 的准线相切，
C 正确；
当∠OFM＝120°时，设M 在第一象限，则x0>2，y0>0，
故kMF＝
y0
x0-2＝tan 60°＝√3，即x0＝y0
√3＋2，
又y0
2＝8x0，
所以√3 y0
2－8y0－16√3＝0，
解得y0＝4√3或y0＝－4√3
3
(舍去)，
所以S△OFM＝1
2|OF|×|y0|＝1
2×2×4√3＝4√3，D 错误.
6.(2024·茂名模拟)过抛物线C：y2=4x 的焦点F 作直线l 交C 于A，B 两点，则( )
A.|AB|的最小值为4
B.以AB 为直径的圆与C 的准线相切
C.若|AB|=5，则线段AB 中点的横坐标为2
D.
1
| AF | +
1
|BF | =1
答案 ABD
解析 结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得|AB|≥2p=4，故选项A 正确；
设AB 的中点为M，且A，B，M 在准线上的投影分别为A'，B'，M'，
由抛物线的定义可知|AA'|=|AF|，|BB'|=|BF|，
易知四边形ABB'A'为直角梯形，所以|MM'|=|A A
'|+|B B
'|
2
=| AF |+|BF |
2
=| AB|
2
，
故以AB 为直径的圆与C 的准线相切，故选项B 正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x1+ p
2 +x2+ p
2 =x1+x2+p=5，
所以x1+x2=3，所以线段AB 中点的横坐标为x1+ x2
2
=3
2，故选项C 错误；
由抛物线的焦点弦的性质知，
1
| AF | +
1
|BF | = 2
p=1，故选项D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2025·成都模拟)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x
2
16+ y
2
4 =1 的一个顶点，则p 的值为 .
答案 8
解析 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(
p
2 ，0)，且椭圆x
2
16+ y
2
4 =1 的右顶点为(4，0)，
由题意可得p
2 =4，解得p=8.
8.已知抛物线C：y2=2x，焦点为F，准线为l，过抛物线C 上一点P 作PQ⊥l 于点Q，若∠FPQ=2π
3 ，则|
PF|= .
答案 2
3
解析 如图，设|PF|=t，
∴|PQ|=t，
则△QPF 为等腰三角形，且∠QPF=2π
3 ，∴∠PQF=π
6 ，
由余弦定理得|QF|=√3t，
在Rt△QMF 中，∠MQF=π
3 ，|MF|=p=1，
∴|MF|=|QF|sin∠MQF=√3t×√3
2 =1，
解得t=2
3，∴|PF|=2
3.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)已知动点M 与点F(2，0)的距离与其到直线x=-2 的距离相等.
(1)求动点M 的轨迹方程；(5 分)
(2)求点M 与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M 的坐标.(8 分)
解 (1)由题意知动点M 到F(2，0)的距离与它到直线x=-2 的距离相等，所以动点M 的轨迹为以F(2，0)为
焦点，以直线x=-2 为准线的抛物线，因此动点M 的轨迹方程为y2=8x.
(2)设M(
m
2
8 ，m)，
由两点间的距离公式得
|MA|=√(
m
2
8 -6)
2
+m
2=√
m
4
64 - m
2
2 +36
=√
1
64 (m
2-16)
2+32，
当m2=16，即m=±4 时，|MA|min=4√2，
即当M 的坐标为(2，4)或(2，-4)时，点M 与点A 的距离最小，最小值为4√2.
10.(15 分)已知动圆过定点(4，0)，且在y 轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(6 分)
(2)已知P 为轨迹C 上的一动点，求点P 到直线y=x+4 和y 轴的距离之和的最小值.(9 分)
解 (1)设圆心C 的坐标为(x，y)，
则半径r=√( x - 4)
2+ y
2，
又动圆在y 轴上截得的弦长为8，
所以42+x2=(x-4)2+y2，化简得y2=8x，
即动圆圆心C 的轨迹方程为y2=8x.
(2)如图，设轨迹C 的焦点为F(2，0)，点P 到直线y=x+4 的距离为|PP1|，到y 轴的距离为|PP2|，点F 到直线
y=x+4 的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，可知|PP2|=|PF|-2，
所以|PP1|+|PP2|=|PP1|+|PF|-2，
由图可知|PP1|+|PF|的最小值为点F 到直线y=x+4 的距离，
所以(|PP1|+|PF|)min=|FF1|=
6
√1+1=3√2，
所以|PP1|+|PP2|的最小值为3√2-2.
即点P 到直线y=x+4 和y 轴的距离之和的最小值为3√2-2.
每小题5 分，共10 分
11.已知抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A，B，C 的横坐标成等差数列，P 为抛物线的焦点，则( )
A.A，B，C 的纵坐标成等差数列
B.A，B，C 到x 轴的距离成等差数列
C.A，B，C 到原点的距离成等差数列
D.A，B，C 到点P 的距离成等差数列
答案 D
解析 设点A，B，C 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，P(
p
2 ，0)，准线方程为x=- p
2 ，
因为抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A，B，C 的横坐标成等差数列，所以有2x2=x1+x3，于是有
2[x2-(- p
2)]=[x1-(- p
2)]+[x3-(- p
2)]，
根据抛物线定义可得2|BP|=|AP|+|CP|，显然选项D 正确；
当三点A，B，C 的坐标分别为(0，0)，(2，2√p)，(4，2√2 p)时，因为p>0，所以2×2√p=0+2√2 p不成立，
因此选项A 不正确；
因为A，B，C 到x 轴的距离分别为0，2√p，2√2 p，p>0，所以2×2√p=0+2√2 p不成立，因此选项B 不
正确；
因为|AO|=0，|BO|=√4 + 4 p，|CO|=√16+8 p，p>0，所以2×√4+ 4 p=0+√16+8 p不成立，因此选项C 不
正确.
12.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 的直线分别交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|
=3，则抛物线的方程为 .
答案 y2=3x
解析 如图，分别过点A，B 作准线的垂线，交准线于点E，D，准线与x 轴交于点G，
设|BF|=a，则|BC|=2a，由抛物线的定义得|BD|=a，故∠BCD=30°，∴在Rt△ACE 中，2|AE|=|AC|，
∵|AE|=|AF|=3，
∴|AC|=3+3a=6，解得a=1，
∵BD∥FG，∴1
p=2
3，∴p=3
2，
因此抛物线的方程为y2=3x.
