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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.4 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
【考情分析·探规律】
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1 事件的相互独立性
2024·全国甲卷、2023·全国甲卷
2022·全国新Ⅰ卷2022·全国甲卷
2021·全国甲卷
了解两个事件相互独立的含
义；理解随机事件的独立性和条件
概率的关系，会利用全概率公式计
算概率。
考点2 条件概率、全概率公式
2024·全国甲卷、2024·新课标Ⅱ卷
2024·天津、2024·新课标Ⅰ卷
2023·全国新Ⅰ卷、2023·北京
2023·天津、2023·全国甲卷
2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ
卷
2021·浙江、2021·全国甲卷
【知识梳理】
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A 与B，如果P(AB)＝P ( A ) P ( B ) 成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为
独立.
(2)性质：若事件A 与B 相互独立，那么A 与B，A与B
，A与B也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P( AB)
P( A) 为在事件A 发生的条
件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝n( AB)
n( A ) ；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P ( A ) P ( B | A ) .
(3)条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B 和C 是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P ( B | A ) ＋
P ( C | A ) .
③设B和B 互为对立事件，则P(B|A)＝1 －
P ( B | A ) .
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，
n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝
n
∑
i=1
P ( A i) P ( B | A i).
【名师点拨】
1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A 包含
的样本点数，n(AB)为事件AB 包含的样本点数.
2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率的求解问题，转化为了在不同情况下
发生的简单事件的概率的求和问题.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若事件A，B 互斥，则P(B|A)＝1.( )
(2)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率.( )
(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A).( )
(4)P(A)＝P(BA)＋P(BA).( )
2.若P(A|B)＝1
9，P(B)＝1
3，则P(AB)的值是( )
A. 1
27
B.1
3
C.1
9
D.1
4
3.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，则拨号不超过两次就拨对
号码的概率为( )
A.1
5
B.2
5
C.3
5
D. 9
20
4.甲箱中有3 个白球，2 个黑球，乙箱中有1 个白球，3 个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙
箱中任取一球，则从乙箱中取出白球的概率是 .
【必练核心题型】
题型一 相互独立事件
命题点1 事件相互独立性的判断
【典例】1.(2021·新高考全国Ⅰ)有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随
机取两次，每次取1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球
的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和
是7”，则( )
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
命题点2 相互独立事件的概率
【典例】2.小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，
a，1
2，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为1
4 ，则他三道题都答错的概率为(
)
A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.1
6
【拓展训练】
概率问题中的递推数列
在概率与统计的问题中，经常会出现概率统计与数列综合考查的问题，一般以压轴题的形式出现.主要有四
种类型：(1)an＝pan－1＋q 型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型.
【典例】(多选)甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的.从一个人
传球到另一个人称传球一次.若传球开始时甲持球，记传球n 次后球仍回到甲手里的概率为Pn，则下列结论
正确的是( )
A.P2＝1
2
B.P4＝5
8
C.Pn＝1
2(1－Pn－1)
D.Pn＝1
3 －1
3(−1
2)
n−1
【变式训练】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且
两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A.两人都中靶的概率为0.12
B.两人都不中靶的概率为0.42
C.恰有一人中靶的概率为0.46
D.至少有一人中靶的概率为0.74
题型二 条件概率
命题点1 条件概率
【典例】1.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4×100 米接力赛跑.记事件A 为“甲同学不跑第一棒”，
事件B 为“乙同学跑第二棒”，则P(B|A)的值为( )
A.1
9
B.4
9
C.1
3
D.2
9
命题点2 条件概率性质的应用
【典例】2.(多选)下列结论中错误的是( )
A.P(B|A)＝P(A|B)
B.P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
C.P(AB)＝P(B|A)P(A)
D.P(B|A)P(A)≥P(A)＋P(B)
【变式训练】
变式1.为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识
竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5 道党史题中(有3 道选择题和2 道填空题)，不放回地依次
随机抽取2 道题作答，设事件A 为“第一次抽到选择题”，事件B 为“第二次抽到选择题”，则P(B|A)
等于( )
A.3
5
B. 3
10
C.3
4
D.1
2
变式2.(多选)一个箱子中装有大小、形状均相同的8 个小球，其中白球5 个、黑球3 个，现在从箱子中
不放回地取两次球，第一次先从箱子中随机取出1 个球，第二次再从箱子中随机取出2 个球，分别用
A，B 表示事件“第一次取出白球”“第一次取出黑球”；分别用C，D 表示事件“第二次取出的两球
都为黑球”“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是( )
A.P(C|B)＝1
21
B.P(D|A)＝3
7
C.P(B)＝3
8
D.P(BC)＝1
56
题型三 全概率公式的应用
【典例】1.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表
明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”
被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被
保险人在一年内发生事故的概率是( )
A.0.155
B.0.175
C.0.016
D.0.096
【典例】2.设5 支枪中有2 支未校正，3 支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正
过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为 .
【变式训练】(多选)湖南张家界是国家5A 级景区，有许多好看的景点.李先生和张先生预选该景区
的玻璃栈道和凤凰古城游玩，他们第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3 和0.7，如果他
们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.3；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻
璃栈道的概率为0.6.设A1＝“第一天去玻璃栈道”，A2＝“第二天去玻璃栈道”，B1＝“第一天去凤凰
古城”，B2＝“第二天去凤凰古城”，则( )
A.P(A2|A1)＝0.3
B.P(A2|B1)＝0.3
C.P(A2)＝0.51
D.P(B2)＝0.49
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不
受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为3
4 ，在实验操作中结果为优秀的概率为2
3，则该同学在这次
测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )
A. 7
12
B.1
2
C. 5
12
D.1
3
2.某车队派出两辆车参加比赛，假设这两辆车在比赛中不出现故障的概率均为p，则比赛结束时两辆车不
同时出现故障的概率为( )
A.p2
B.2p－p2
C.1－p2
D.p－2p2
3.以事件A，B 分别表示“某城市的甲、乙两个区在一年内出现停水”，若P(B)＝0.30，P(A|B)＝0.15，则
两个区一年内都出现过停水的概率为( )
A.0.6
B.0.65
C.0.45
D.0.045
4.某公司的两名同事计划从大理古城、丽江古城、洱海、玉龙雪山、泸沽湖这5 个著名旅游景点中随机选
择一个游玩.则在两人中至少有一人选择大理古城的条件下，两人选择的景点不同的概率为( )
A.5
8
B.8
9
C.7
8
D.6
7
5.已知P(A)＝1
4 ，P(B|A)＝1
3，P(B|A)＝1
2，则P(B)等于( )
A. 5
12
B.5
8
C.3
8
D.1
4
6.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理
的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A.0.8
B.0.6
C.0.5
D.0.3
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.随机事件A，B 满足P(A)＝1
2，P(B)＝1
3，P(A|B)＝1
2，下列说法正确的是( )
A.事件A与事件B 相互独立
B.P(A∪B)＝1
6
C.P(AB)＝1
6
D.P(B)＝P(AB)
8.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4 个一等品，3 个二等品和3 个三等品，乙盒中有5 个一等品，2 个二
等品和3 个三等品.先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以A1，A2和A3表示由甲盒取出的产品是
一等品、二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B 表示由乙盒取出的产品是一等品的事
件.则下列结论中正确的是( )
A.P(B|A1)＝6
11
B.P(B)＝27
55
C.事件B 与事件A1相互独立
D.P(A1|B)＝4
9
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.某公司研发6G 项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题
的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为 .
10.已知一道解答题有两小问，每小问5 分，共10 分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做
不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概
率，则此题得满分的概率是 ；得0 分的概率是 .
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)甲、乙、丙3 名同学各自独立去做某道题，已知甲能解出该题的概率为2
3，乙能解出而丙不能解
出该题的概率为1
8，甲、丙都能解出该题的概率为1
2.
(1)求乙、丙各自解出该题的概率；(6 分)
(2)求甲、乙、丙3 人中至少有1 人解出该题的概率.(7 分)
12.(14 分)人工智能是用于研究模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21 世纪最重要的尖端科技之一，
其理论和技术日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后
通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，
我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中
甲袋中有9 个红球和1 个白球，乙袋中有2 个红球和8 个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子
中等可能地摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或
乙袋的概率均为1
2(先验概率).
(1)求首次试验结束的概率；(4 分)
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率；(4 分)
②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋
子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.(6
分)
【尖子拔高训练】13 题5 分，14 题6 分，共11 分
13.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手
机超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的
概率为( )
A.1
2
B.3
8
C.5
8
D.3
4
14.(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立.发送0 时，收到1 的概率为
α(0<α<1)，收到0 的概率为1－α；发送1 时，收到0 的概率为β(0<β<1)，收到1 的概率为1－β.考虑两种传
输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1 次；三次传输是指每个信号重复发送3 次.收
到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现
次数多的即为译码(【典例】如，若依次收到1，0，1，则译码为1)( )
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1 的概率为(1－α)(1－β)2
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为β(1－β)2
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D.当0<α<0.5 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的概率
