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2018 年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题4 分，共40 分）
1．（4.00 分）（2018•遂宁）﹣2×（﹣5）的值是（ ）
A．﹣7 B．7C．﹣10 D．10
2．（4.00 分）（2018•遂宁）下列等式成立的是（ ）
A．x2+3x2=3x4
B．0.00028=2.8×10
3
﹣
C．（a3b2）3=a9b6 D．（﹣a+b）（﹣a
b
﹣）=b2
a
﹣
2
3．（4.00 分）（2018•遂宁）二元一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4.00 分）（2018•遂宁）下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．六边形的内角和是540°
5．（4.00 分）（2018•遂宁）如图，5 个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则
这个几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4.00 分）（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后
所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．4π
B．8π
C．12π D．16π
第1页（共30页）
7．（4.00 分）（2018•遂宁）已知一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=
（m≠0）的图象如图所示，则当y 1＞y2时，自变量x 满足的条件是（ ）
A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3
8．（4.00 分）（2018•遂宁）如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D，
连接BE，若AB=2
，CD=1，则BE 的长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．（4.00 分）（2018•遂宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以
下结论同时成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
第2页（共30页）
10．（4.00 分）（2018•遂宁）已知如图，在正方形ABCD 中，AD=4，E，F 分别是CD，
BC 上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与
△ABG 重合，连接EF，过点B 作BM∥AG，交AF 于点M，则以下结论：
①DE+BF=EF，②BF=
，③AF=
，④S△MBF=
中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、细心填一填（本大题共5 小题，每小题4 分，满分20 分，请把答案填在答題卷
相应题号的横线上）
11．（4.00 分）（2018•遂宁）分解因式3a2
3b
﹣
2= ．
12．（4.00 分）（2018•遂宁）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位
数是 ．
13．（4.00 分）（2018•遂宁）已知反比例函数y= （k≠0）的图象过点（﹣1，2），则
当x＞0 时，y 随x 的增大而 ．
14．（4.00 分）（2018•遂宁）A，B 两市相距200 千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B
市到A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15 千米/小时，且甲车比乙
车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程
．
15．
（4.00 分）
（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2
4x
﹣
+c（a≠0）与反比例函数y=
的图象相交于点B，且B 点的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C（0，6），A 是抛
物线y=ax2
4x
﹣
+c 的顶点，P 点是x 轴上一动点，当PA+PB 最小时，P 点的坐标为
．
第3页（共30页）
三、计算题（本大题共15 分，请认真读题）
16．（7.00 分）（2018•遂宁）计算：（
）﹣1+（
﹣1）0+2sin45°+|
2
﹣|．
17．（8.00 分）（2018•遂宁）先化简，再求值
•
+
．（其中x=1，
y=2）
四、解答题（本题共75 分，请认真读题）
18．（8.00 分）（2018•遂宁）如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 上的点，且
DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF 是菱形．
19．（8.00 分）（2018•遂宁）已知关于x 的一元二次方程x2
2x
﹣
+a=0 的两实数根
x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a 的取值范围．
20．（9.00 分）（2018•遂宁）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b
（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象交于第二、四象限A、B 两点，过点A 作
AD⊥x 轴于D，AD=4，sin∠AOD=
，且点B 的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函效的解析式；
第4页（共30页）
（2）E 是y 轴上一点，且△AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点坐
标．
21．（10.00 分）（2018•遂宁）如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA 切⊙O 于点
A，连接PO 并延长，与⊙O 交于C、D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于
点N，连接AC、CM．
（1）求证：CM2=MN•MA；
（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．
22．（8.00 分）（2018•遂宁）请阅读以下材料：已知向量=（x1，y1），=（x2，y2）满足
下列条件：
①| |=
，=
②⊗=| |×| |cosα（角α 的取值范围是0°＜α＜90°）；
③⊗=x1x2+y1y2
利用上述所给条件解答问题：
如：已知=（1，
），=（﹣
，3），求角α 的大小；
解：∵| |=
=
=2，
=
=
=
=2
第5页（共30页）
∴⊗=| |×| |cosα=2×2
cosα=4
cosα
又∵⊗=x1x2+y1y2=l×（﹣
）+
×3=2
∴4
cosα=2
∴cosα=
，∴α=60°
∴角α 的值为60°．
请仿照以上解答过程，完成下列问题：
已知=（1，0），=（1，﹣1），求角α 的大小．
23．
（10.00 分）
（2018•遂宁）学习习近平总书记关于生态文明建设重要井话，牢固
树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师
为了了解本班学生3 月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结
果分为了三类：A 好，B：中，C：差．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；
（3）张老师在班上随机抽取了4 名学生，其中A 类1 人，B 类2 人，C 类1 人，若再
从这4 人中随加抽取2 人，请用画对状图或列表法求出全是B 类学生的概率．
24．
（10.00 分）
（2018•遂宁）如图，某测量小组为了测量山BC 的高度，在地面A 处
测得山顶B 的仰角45°，然后沿着坡度为=1：
的坡面AD 走了200 米达到D 处，
此时在D 处测得山顶B 的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．
第6页（共30页）
25．（12.00 分）（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+
x+4 的对称轴是直线x=3，
且与x 轴相交于A，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点．
（1）求抛物线的解折式和A、B 两点的坐标；
（2）若点P 是抛物线上B、C 两点之间的一个动点（不与B、C 重合），则是否存在一
点P，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明
理由；
（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N，当
MN=3 时，求M 点的坐标．
第7页（共30页）
2018 年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题4 分，共40 分）
1．（4.00 分）（2018•遂宁）﹣2×（﹣5）的值是（ ）
A．﹣7 B．7C．﹣10 D．10
【分析】根据有理数乘法法则计算可得．
【解答】解：（﹣2）×（﹣5）=+2×5=10，
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数乘法法则：两数相
乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
2．（4.00 分）（2018•遂宁）下列等式成立的是（ ）
A．x2+3x2=3x4
B．0.00028=2.8×10
3
﹣
C．（a3b2）3=a9b6 D．（﹣a+b）（﹣a
b
﹣）=b2
a
﹣
2
【分析】直接利用平方差公式以及科学记数法、积的乘方运算法则分别计算得出
答案．
【解答】解：A、x2+3x2=3x2，故此选项错误；
B、0.00028=2.8×10
4
﹣，故此选项错误；
C、（a3b2）3=a9b6，正确；
D、（﹣a+b）（﹣a
b
﹣）=a2
b
﹣
2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平方差公式以及科学记数法、积的乘方运算，正确掌握运
算法则是解题关键．
3．（4.00 分）（2018•遂宁）二元一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
第8页（共30页）
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：
，
①+②得：3x=6，
解得：x=2，
把x=2 代入①得：y=0，
则方程组的解为
，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
4．（4.00 分）（2018•遂宁）下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．六边形的内角和是540°
【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理．
【解答】解：A、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边
及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；
B、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
C、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；
D、六边形的内角和是720°，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角
和定理，正确把握相关性质是解题关键．
5．（4.00 分）（2018•遂宁）如图，5 个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则
这个几何体的主视图是（ ）
第9页（共30页）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6．（4.00 分）（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后
所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．4π
B．8π
C．12π D．16π
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形
的面积公式计算．
【解答】解：该扇形的面积=
=12π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等
于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．（4.00 分）（2018•遂宁）已知一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=
（m≠0）的图象如图所示，则当y1＞y2 时，自变量x 满足的条件是（ ）
第10页（共30页）
A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3
【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自
变量的范围即可．
【解答】解：当1＜x＜3 时，y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函
数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交
点，方程组无解，则两者无交点．
8．（4.00 分）（2018•遂宁）如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D，
连接BE，若AB=2
，CD=1，则BE 的长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定
理计算即可．
【解答】解：∵半径OC 垂直于弦AB，
∴AD=DB=
AB=
，
在Rt△AOD 中，OA2=（OC
CD
﹣
）2+AD2，即OA2=（OA
1
﹣）2+（
）2，
解得，OA=4
∴OD=OC
CD=3
﹣
，
第11页（共30页）
∵AO=OE，AD=DB，
∴BE=2OD=6，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并
且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
9．（4.00 分）（2018•遂宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以
下结论同时成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴在直线x=1 的右侧
得到b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，利用抛物线与y 轴交点在x 轴下方得到c＜0，也
可判断abc＞0，利用抛物线与x 轴有2 个交点可判断b2
4ac
﹣
＞0，利用x=1 可判
断a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线x=1 的右侧，
∴x=﹣
＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，
∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方，
第12页（共30页）
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x 轴有2 个交点，
∴△=b2
4ac
﹣
＞0，
∵x=1 时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开
口方向和大小．当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；一次
项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y
轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物
线与y 轴交于（0，c）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b2
4ac
﹣
＞0 时，抛
物线与x 轴有2 个交点；△=b2
4ac=0
﹣
时，抛物线与x 轴有1 个交点；△=b2
4ac
﹣
＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
10．（4.00 分）（2018•遂宁）已知如图，在正方形ABCD 中，AD=4，E，F 分别是CD，
BC 上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与
△ABG 重合，连接EF，过点B 作BM∥AG，交AF 于点M，则以下结论：
①DE+BF=EF，②BF=
，③AF=
，④S△MBF=
中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的
性质求出△BMF 的面积即可．
【解答】解：∵AG=AE，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG，
第13页（共30页）
∴EF=FG，
∵DE=BG，
∴EF=FG=BG+FB=DE+BF，故①正确，
∵BC=CD=AD=4，EC=1，
∴DE=3，设BF=x，则EF=x+3，CF=4
x
﹣，
在Rt△ECF 中，（x+3）2=（4
x
﹣）2+12，
解得x=
，
∴BF=
，AF=
=
，故②正确，③错误，
∵BM∥AG，
∴△FBM∽△FGA，
∴
=（
）2，
∴S△FBM=
，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形
解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、细心填一填（本大题共5 小题，每小题4 分，满分20 分，请把答案填在答題卷
相应题号的横线上）
11．（4.00 分）（2018•遂宁）分解因式3a2
3b
﹣
2=
3 （
a + b ）（
a
b
﹣
）
．
【分析】提公因式3，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】解：3a2
3b
﹣
2
=3（a2
b
﹣
2）
=3（a+b）（a
b
﹣）．
故答案是：3（a+b）（a
b
﹣）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式
首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到
第14页（共30页）
不能分解为止．
12．（4.00 分）（2018•遂宁）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位
数是
9
．
【分析】根据这组数据是从大到小排列的，求出最中间的两个数的平均数即可．
【解答】解：将数据从小到大重新排列为：6、8、8、10、12、15，
所以这组数据的中位数为
=9，
故答案为：9．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排
列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可．
13．（4.00 分）（2018•遂宁）已知反比例函数y= （k≠0）的图象过点（﹣1，2），则
当x＞0 时，y 随x 的增大而 增大 ．
【分析】把（﹣1，2）代入解析式得出k 的值，再利用反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：把（﹣1，2）代入解析式y=
，可得：k=
2
﹣，
因为k=
2
﹣＜0，
所以当x＞0 时，y 随x 的增大而增大，
故答案为：增大
【点评】此题考查了反比例函数y= （k≠0），的性质：①当k＞0 时，图象分别位于
第一、三象限；当k＜0 时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0 时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k＜0 时，在同一个象限，y
随x 的增大而增大．
14．（4.00 分）（2018•遂宁）A，B 两市相距200 千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B
市到A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15 千米/小时，且甲车比乙
车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程
第15页（共30页）
﹣
=
．
【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【解答】解：设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣
=
．
故答案为：
﹣
=
．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间
是解题关键．
15．
（4.00 分）
（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2
4x
﹣
+c（a≠0）与反比例函数y=
的图象相交于点B，且B 点的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C（0，6），A 是抛
物线y=ax2
4x
﹣
+c 的顶点，P 点是x 轴上一动点，当PA+PB 最小时，P 点的坐标为
（
，
0 ）
．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B 的坐标，从而可以求得二次函
数解析式，然后求出点A 的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B 的函
数解析式，进而求得与x 轴的交点，从而可以解答本题．
【解答】解：作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B，则A′B 与x 轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2
4x
﹣
+c（a≠0）与反比例函数y=
的图象相交于点B，且B 点的横坐
标为3，抛物线与y 轴交于点C（0，6），
∴点B（3，3），
第16页（共30页）
∴
，
解得，
，
∴y=x2
4x
﹣
+6=（x
2
﹣）2+2，
∴点A 的坐标为（2，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣2），
设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y=mx+n，
，得
，
∴直线A′B 的函数解析式为y=5x
12
﹣
，
令y=0，则0=5x
12
﹣
得x=
，
故答案为：（
，0）．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图
象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题
需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、计算题（本大题共15 分，请认真读题）
16．（7.00 分）（2018•遂宁）计算：（
）﹣1+（
﹣1）0+2sin45°+|
2
﹣|．
【分析】接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、
绝对值的性质分别化简得出答案．
第17页（共30页）
【解答】解：原式=3+1+2×
+2﹣
=4+
+2﹣
=6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（8.00 分）（2018•遂宁）先化简，再求值
•
+
．（其中x=1，
y=2）
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当x=1，y=2 时，
原式=
•
+
=
+
=
=
3
﹣
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于
基础题型．
四、解答题（本题共75 分，请认真读题）
18．（8.00 分）（2018•遂宁）如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 上的点，且
DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF 是菱形．
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
第18页（共30页）
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BF，
∴AE=CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF 是菱形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（8.00 分）（2018•遂宁）已知关于x 的一元二次方程x2
2x
﹣
+a=0 的两实数根
x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a 的取值范围．
【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a 的不等式，可求得a 的取
值范围，再由根与系数的关系可用a 表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得
到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围．
【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2
4
﹣×1×a=4
4a
﹣
≥0，
解得：a≤1，
由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，
∵x1x2+x1+x2＞0，
∴a+2＞0，
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a≤1．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别
式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键
20．（9.00 分）（2018•遂宁）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b
（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象交于第二、四象限A、B 两点，过点A 作
AD⊥x 轴于D，AD=4，sin∠AOD=
，且点B 的坐标为（n，﹣2）．
第19页（共30页）
（1）求一次函数与反比例函效的解析式；
（2）E 是y 轴上一点，且△AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点坐
标．
【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO 的长，利用勾股定理求出
OD 的长，确定出A 坐标，进而求出m 的值确定出反比例解析式，把B 的坐标代入
反比例解析式求出n 的值，确定出B 坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式
即可；
（2）分类讨论：当AO 为等腰三角形腰与底时，求出点E 坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b 与反比例函数y=
图象交于A 与B，且AD⊥x
轴，
∴∠ADO=90°，
在Rt△ADO 中，AD=4，sin∠AOD=
，
∴
=
，即AO=5，
根据勾股定理得：DO=
=3，
∴A（﹣3，4），
代入反比例解析式得：m=
12
﹣
，即y=﹣
，
把B 坐标代入得：n=6，即B（6，﹣2），
代入一次函数解析式得：
，
解得：
，即y=﹣
x+2；
第20页（共30页）
（2）当OE3=OE2=AO=5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）；
当OA=AE1=5 时，得到OE1=2AD=8，即E1（0，8）；
当AE4=OE4时，由A（﹣3，4），O（0，0），得到直线AO 解析式为y=﹣
x，中点坐标
为（﹣1.5，2），
∴AO 垂直平分线方程为y
2=
﹣
（x+
），
令x=0，得到y=
，即E4（0，
），
综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，
）时，△AOE 是等腰三角形．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是
解本题的关键．
21．（10.00 分）（2018•遂宁）如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA 切⊙O 于点
A，连接PO 并延长，与⊙O 交于C、D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于
点N，连接AC、CM．
（1）求证：CM2=MN•MA；
（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．
【分析】（1）由
=
知∠CAM=∠DCM，根据∠CMA=∠NMC 证△AMC∽△CMN
第21页（共30页）
即可得；
（2）连接OA、DM，由Rt△PAO 中∠P=30°知OA=
PO=
（PC+CO），据此求得
OA=OC=2，再证△CMD 是等腰直角三角形得CM 的长．
【解答】解：（1）∵⊙O 中，M 点是半圆CD 的中点，
∴
=
，
∴∠CAM=∠DCM，
又∵∠CMA=∠NMC，
∴△AMC∽△CMN，
∴
=
，即CM2=MN•MA；
（2）连接OA、DM，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
又∵∠P=30°，
∴OA=
PO=
（PC+CO），
设⊙O 的半径为r，
∵PC=2，
∴r=
（2+r），
解得：r=2，
又∵CD 是直径，
∴∠CMD=90°，
∵CM=DM，
第22页（共30页）
∴△CMD 是等腰直角三角形，
∴在Rt△CMD 中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，即2CM2=（2r）2=16，
则CM2=8，
∴CM=2
．
【点评】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角
定理、相似三角形的判定和性质等知识点．
22．（8.00 分）（2018•遂宁）请阅读以下材料：已知向量=（x1，y1），=（x2，y2）满足
下列条件：
①| |=
，=
②⊗=| |×| |cosα（角α 的取值范围是0°＜α＜90°）；
③⊗=x1x2+y1y2
利用上述所给条件解答问题：
如：已知=（1，
），=（﹣
，3），求角α 的大小；
解：∵| |=
=
=2，
=
=
=
=2
∴⊗=| |×| |cosα=2×2
cosα=4
cosα
又∵⊗=x1x2+y1y2=l×（﹣
）+
×3=2
∴4
cosα=2
∴cosα=
，∴α=60°
∴角α 的值为60°．
请仿照以上解答过程，完成下列问题：
已知=（1，0），=（1，﹣1），求角α 的大小．
第23页（共30页）
【分析】模仿例题，根据关于cosα 的方程即可解决问题．
【解答】解：∵| |=
=
=1，
=
=
=
，
∴⊗=| |×| |cosα=
cosα
又∵⊗=x1x2+y1y2=l×1+0×（﹣1）=1
∴
cosα=1
∴cosα=
，
∴α=45°
【点评】本题考查平面向量、坐标与图形的性质、解直角三角形等知识，解题的关
键是理解题意，学会模仿例题解决问题，属于中考常考题型．
23．
（10.00 分）
（2018•遂宁）学习习近平总书记关于生态文明建设重要井话，牢固
树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师
为了了解本班学生3 月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结
果分为了三类：A 好，B：中，C：差．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；
（3）张老师在班上随机抽取了4 名学生，其中A 类1 人，B 类2 人，C 类1 人，若再
从这4 人中随加抽取2 人，请用画对状图或列表法求出全是B 类学生的概率．
【分析】（1）由A 类人数及其所占百分比可得总人数；
第24页（共30页）
（2）总人数减去A、B 的人数求得C 类人数，再分别用B、C 的人数除以总人数可得
对应百分比，据此即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）全班学生总人数为10÷25%=40（人）；
（2）∵C 类人数为40﹣（10+24）=6，
∴C 类所占百分比为
×100%=15%，B 类百分比为
×100%=60%，
补全图形如下：
（3）列表如下：
A B B C
A
B
A
B
A
C
A
B A
B
B
B
C
B
B A
B
B
B
C
B
C A
C
B
C
B
C
由表可知，共有12 种等可能结果，其中全是B 类的有2 种情况，
所以全是B 类学生的概率为
=
．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知
识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．
（10.00 分）
（2018•遂宁）如图，某测量小组为了测量山BC 的高度，在地面A 处
第25页（共30页）
测得山顶B 的仰角45°，然后沿着坡度为=1：
的坡面AD 走了200 米达到D 处，
此时在D 处测得山顶B 的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．
【分析】作DF⊥AC 于F．解直角三角形分别求出BE、EC 即可解决问题；
【解答】解：作DF⊥AC 于F．
∵DF：AF=1：
，AD=200 米，
∴tan∠DAF=
，
∴∠DAF=30°，
∴DF=
AD=
×200=100，
∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，
∴四边形DECF 是矩形，
∴EC=BF=100（米），
∵∠BAC=45°，BC⊥AC，
∴∠ABC=45°，
∵∠BDE=60°，DE⊥BC，
∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°
60°=30°
﹣
，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°
30°=15°
﹣
，∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°
30°=15°
﹣
，
第26页（共30页）
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=BD=200 米，
在Rt△BDE 中，sin∠BDE=
，
∴BE=BD•sin∠BDE=200×
=100
，
∴BC=BE+EC=100+100
（米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（12.00 分）（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+
x+4 的对称轴是直线x=3，
且与x 轴相交于A，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点．
（1）求抛物线的解折式和A、B 两点的坐标；
（2）若点P 是抛物线上B、C 两点之间的一个动点（不与B、C 重合），则是否存在一
点P，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明
理由；
（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N，当
MN=3 时，求M 点的坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值，
进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点
A、B 的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，由点B、C 的坐标，利
第27页（共30页）
用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，假设存在，设点P 的坐标为（x，﹣
x2+
x+4），过点P 作PD∥y 轴，交直线BC 于点D，则点D 的坐标为（x，﹣
x+4），PD=
﹣
x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x 的函数关系式，再利用二
次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设点M 的坐标为（m，﹣
m2+
m+4），则点N 的坐标为（m，﹣
m+4），进而
可得出MN=|﹣
m2+2m|，结合MN=3 即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二
次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+
x+4 的对称轴是直线x=3，
∴﹣
=3，解得：a=﹣
，
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x+4．
当y=0 时，﹣
x2+
x+4=0，
解得：x1=
2
﹣，x2=8，
∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．
（2）当x=0 时，y=﹣
x2+
x+4=4，
∴点C 的坐标为（0，4）．
设直线BC 的解析式为y=kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，
，解得：
，
∴直线BC 的解析式为y=﹣
x+4．
第28页（共30页）
假设存在，设点P 的坐标为（x，﹣
x2+
x+4），过点P 作PD∥y 轴，交直线BC 于点
D，则点D 的坐标为（x，﹣
x+4），如图所示．
∴PD=﹣
x2+
x+4﹣（﹣
x+4）=﹣
x2+2x，
∴S△PBC=
PD•OB=
×8•（﹣
x2+2x）=
x
﹣2+8x=﹣（x
4
﹣）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x=4 时，△PBC 的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC 的面积最大，最大面积是16．
（3）设点M 的坐标为（m，﹣
m2+
m+4），则点N 的坐标为（m，﹣
m+4），
∴MN=|﹣
m2+
m+4﹣（﹣
m+4）|=|﹣
m2+2m|．
又∵MN=3，
∴|﹣
m2+2m|=3．
当0＜m＜8 时，有﹣
m2+2m
3=0
﹣
，
解得：m1=2，m2=6，
∴点P 的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0 或m＞8 时，有﹣
m2+2m+3=0，
解得：m3=4
2
﹣
，m4=4+2
，
∴点P 的坐标为（4
2
﹣
，
﹣1）或（4+2
，﹣
﹣1）．
综上所述：M 点的坐标为（4
2
﹣
，
﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2
，﹣
﹣
1）．
第29页（共30页）
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法
求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质
求出a 的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x 的函数关系式；（3）根据
MN 的长度，找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程．
第30页（共30页）
