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调和点列与调和线束 【知识拓展】 一、调和点列 1.调和点列概念：一般地，若(λ>0 且λ≠1)，则A，C，B，D 四点构成“调和点 列”，A，B 叫基点，C，D 叫内、外分点. 2.调和点列性质：若A，C，B，D 为调和点列，即＝，则 (1)调和性：＋＝ [证明如下： ＝，得＝， 得＝， 得－1＝1－，得＋＝2， 得＋＝.] (2)共轭性：若A，C，B，D 成调和点列，则D，B，C，A 也成调和点列，即＋ ＝成立. (3)等比性：①＝＝λ. ②记线段AB 的中点为M，则有|MA|2＝|MB|2＝|MC||MD| [证明如下：＝， 得＝， 得＝， 由等比定理得 ＝， 得＝， 得|MA|2＝|MB|2＝|MC||MD|.] ③记线段CD 的中点为N，则有|NC|2＝|ND|2＝|NA||NB|. 3.极点、极线与调和点列 设P 是圆锥曲线E 的一个极点，它对应的极线为l，过点P 任引一条直线交E 于 点A，B，交l 于点Q，若点A 位于P，Q 之间，则有 (1)调和性：＋＝； (2)共轭性：＋＝. (3)等比性：①点Q，P 是线段AB 的内、外分点，＝＝λ. ②若E 为椭圆或双曲线，当直线AB 经过曲线中点O 时，|OP|·|OQ|＝|OA|2＝|OB|2. 二、调和线束 1.若A，C，B，D 构成调和点列，O 为直线AB 外任意一点，则四直线OA， OC，OB，OD 为调和线束；若另一直线截此调和线束，则截得的四点A′，C′， B′，D′仍构成调和点列. 2.如果调和线束的四直线a，b，c，d 被一条平行于直线d 的直线s 所截，交点顺 次为A，B，C(如图)，则C 为线段AB 的中点. 3.斜率分别为k1，k2，k3的三条直线l1，l2，l3交于点P，过P 作x 轴的垂线l4，则 k1，k2，k3成等差数列的充要条件为l1，l2，l3，l4成调和线束. [证明如下： 不妨设k1，k2，k3均为正数，其它情况同理可证. 如图，设l1，l2，l3，l4与x 轴分别交于A，B，C，D 四点，则2k2＝k1＋k3⇔＝＋ ⇔＝⇔A，B，C，D 成调和点列⇔l1，l2，l3，l4成调和线束.] 4.椭圆C：＋＝1，P 的坐标是(x0，0)，Q 点在P 关于椭圆的极线x＝上.过P 作直 线交椭圆于点A，B.则直线AQ，PQ，BQ 的斜率成等差数列. [证明如下： 作出以下辅助线： 作QR⊥x 轴于R，设AB 与CD 交于点P，可知M，P，N，R 成调和点列，于是 有＋＝， 所以kAQ＋kBQ＝kMQ＋kNQ＝＋＝＝2kPQ， 即直线AQ，PQ，BQ 的斜率成等差数列.] (该结论对于抛物线，双曲线同样适用.特别地，当Q 点在x 轴上时，就是等角线， 此时PQ 斜率为0，PQ 平分∠AQB.) 【类型突破】 类型一 调和点列 例1 已知椭圆C：＋＝1，过点P(4，1)的动直线l 于C 相交于不同两点A，B， 在线段AB 上取点Q，满足|AP||QB|＝|AQ||PB|，证明：点Q 总在某定直线上. 证明 借助调和点列分析如下：由|AP||QB|＝|AQ||PB|可得＝， 证明P、Q 关于椭圆调和共轭，点Q 在点P 对应的极线上，此极线方程为＋＝ 1， 即2x＋y－2＝0. 故点Q 总在直线2x＋y－2＝0 上.(常规证明过程略) 规律方法 借助二次曲线的极点、极线和调和点列的性质，可快速解决定点、定 线问题. 训练1 已知椭圆C：＋＝1.过点P(6，0)的动直线l 与椭圆C 交于不同的点A，B 时，在线段AB 上取点Q，使得AP·BQ＋AQ·BP＝0，问点Q 是否总在某条定直线 上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 解 ∵AP·BQ＝－|AP|·|BQ|，AQ·BP＝|AQ|·|BP|， ∴－|AP|·|BQ|＋|AQ|·|BP|＝0， 即＝，即＝， P，Q 关于椭圆调和共轭，点Q 在点P 对应的极线上， 此极线方程为＋＝1， 即x＝，故点Q 总在定直线x＝上. 类型二 调和线束 例2 (2024·杭州调研改编)已知椭圆E：＋＝1，设过点P(1，－2)的直线交E 于 M，N 两点，点A(0，－2)，B 是椭圆上的两点，过点M 且平行于x 轴的直线与 线段AB 交于点T，点H 满足MT＝TH，证明：直线HN 过定点. 证明 借助调和线束分析如下： 直线AB 方程为y＝x－2， 所以点P 与直线AB 恰好是一对极点极线. 连接AP，AM，如图，AM，AN，AB，AP 为调和线束. 又因为MH∥AP，T 为HM 的中点，即直线HN 过定点A.(常规方法，具体证明 略) 规律方法 借助二次曲线的极点、极线与调和线束能快速得出结果. 训练2 已知椭圆E：＋y2＝1，点A(0，1)，过点P(－2，1)作斜率为k 的直线与 椭圆E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与x 轴交于点M，N，当|MN|＝ 2 时，求k 的值. 解 借助调和线束分析如下：连接AD，点P 对应的极线为AD，因此线束AC， AB，AD，AP 为调和线束. 又因为AP 平行x 轴，所以点D 为线段MN 的中点. ∵|MN|＝2，D(－2，0)，则N(－1，0)，AN：＋＝1，即AC：y＝x＋1， 由 得C， 故k＝＝－4.(常规解析法略) 【精准强化练】 1.已知抛物线C：x2＝2y 与直线l：y＝kx－1 没有公共点，设点P 为定直线l 上的 动点，过P 作抛物线C 的两条切线，其中A、B 为切点. (1)证明：直线AB 恒过定点Q； (2)若点P 与(1)中的定点Q 的连线交抛物线C 于M、N 两点，证明：P，M，Q， N 成调和点列. 证明 (1)设A(x1，y1)，则x＝2y1. 运用判别式法或导数法求得抛物线在A 点处的切线方程为y＋y1＝x1x. 设P(x0，kx0－1)，则代入得kx0－1＋y1＝x0x1. 设B(x2，y2)，同理有kx0－1＋y2＝x0x2. 于是，两切点连线AB 的方程为 kx0－1＋y＝x0x， 化成直线系方程为x0(x－k)－(y－1)＝0. 由此令解得 因为直线l 的斜率k 为定值，所以直线AB 恒过定点Q(k，1). (2)直线PQ 的方程为y－1＝(x－k)，与抛物线方程x2＝2y 联立，消去y 可得x2－x ＋＝0. 设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则x3＋x4＝， x3x4＝.要证P，M，Q，N 成调和点列，即证＝，即＝，只需证明： ＝⇐2x3x4＋2kx0＝(k＋x0)(x3＋x4)⇐2[(2k2－2)x0－2k]＋2kx0(x0－k)＝(k＋x0)(2kx0－ 4)⇐0＝0. 因为此等式显然正确，故原等式正确.证毕. 2.如图，过直线l：5x－7y－70＝0 上的点P 作椭圆＋＝1 的切线PM 和PN，切点 分别为M，N，连接MN. (1)当点P 在直线l 上运动时，求证：直线MN 恒过定点Q； (2)当MN∥l 时，求证：定点Q 平分线段MN. 证明 (1)法一 (借助极点、极线分析)P 点对应的极线为MN，由于P 在定直线l 上， ∴MN 过定点Q(x0，y0)，且点Q 对应的极线为l， 由 ∴得 直线MN 恒过定点Q. 法二 (借助调和线束分析)∵MN∥l，由调和线束知Q 平分线段MN. 常规解答如下： 证明：(1)设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2). 则椭圆过点M，N 的切线方程分别为 ＋＝1，＋＝1. ∵两切线都过点P，则有 ＋＝1，＋＝1. 这表明M，N 均在直线＋＝1 上，① 式①就是直线MN 的方程，y0＝x0－10. 代入①消去y0得 x＋y－1＝0，② 变形可得x0－＝0，对一切x0∈R 恒成立， 故有∴ 故直线MN 恒过定点Q. (2)当MN∥l 时，由式②知＝≠，解得x0＝， 代入②得MN 的方程为5x－7y－＝0，③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得 x2－x－＝0. 由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点Q 的横坐标，即x＝＝ －＝， 代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点Q(，－)的纵坐标， 即y＝×－＝＝－， 这就是说，点Q 平分线段MN.
