专题03 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题
题型
考情分析
考向预测
1．复合函数的单调性
2．复合函数的最值
3．复合函数的奇偶性、对称性
4．函数f(f(x))的零点问题
5．函数f(g(x))的零点问题
6．函数a[f(x)]2+bf(x)+c的零点问题
2024 年新高考卷Ⅰ：第18 题（2）
考查了复合函数的对称性
2023 年新高考卷Ⅰ：第4 题考查了
复合函数的单调性中的参数问题
2023 年新高考卷Ⅱ：第4 题考查了
复合函数的奇偶性
复合函数的单调性及
其参数问题、指对复
合函数中的奇偶性、
对称性问题
题型1 复合函数的单调性
1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：
x
g
f
y
，令：
x
g
t
，则
x
g
f
y
转化为
x
g
t
t
f
y
,
其中t 叫作中间变
量.
x
g
叫作内层函数，
t
f
y
叫作外层函数.
2、求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数
x
g
f
y
分解成
x
g
t
t
f
y
,
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
))
(
(
x
g
f
y
在
)
,
(
b
a
上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
)
(x
g
t
)
(t
f
y
))
(
(
x
g
f
y
增
增
增
增
减
减
1．函数
2
1
2
y
x
x
-
的单调递减区间是（ ）
A．(
,1)
-¥
B．(
,0)
-¥
C．(1,
)
+¥
D．(2,
)
+¥
2．（2024·湖北·二模）已知函数
5
log
2
x
f
x
a
-
在
1,+¥ 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
1,+¥
B．
ln 2,+¥
C．
2,+¥
D．
2,+¥
3．（24-25 高三上·山西大同·期末）已知实数
0
a >
，且满足不等式
3
3
log
3
2
log
4
1
a
a
+
>
+
，若
x
y
a
a
x
y
-
<
-
，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．
0
x
y
+
>
B．
1
x
y
+
>
C．
0
x
y
-
>
D．
1
-
>
x
y
4．（25-26 高三上·河北·月考）已知函数
2
( )
e
(
)
x
mx
f x
m
-
+
ÎR ，则“
2
m £
”是“
( )
f x 在区间(1,
)
+¥ 上单调递
减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（多选题）（2025·青海·模拟预测）在下列区间中，函数
2
sin
f x
x
单调递增的是（ ）
A．
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
3π
π, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．3π ,2π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
6．（多选题）下列函数是奇函数，且满足对任意.
1
2
1
2
,
0,
x x
x
x
Î
+¥
¹
都有
2
1
2
1
0
x
x
f x
f x
é
ù
-
-
>
ë
û
的是（ ）
A．
1
2
log
f x
x
B．
e
e
2
x
x
f x
-
-
C．
1 2
2
1
x
x
f x
-
+
D．
2
lg
1
f x
x
x
+
+
7．（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）函数
2
lg
2lg
f x
x
x
-
的单调递增区间是_______．
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
3
2
2
1
1
3
5
2
1
,
1
3
2
6
2
,
1
a
x
x
ax
a
x
x
f x
x x
+
+
ì
-
+
+
-
£
ï
í
ï
+
>
î
，若对任意
1
2
x
x
<
，都有
1
2
1
2
f x
f x
x
x
-
<
-
，则实数a 的取值范围是______．
题型2 复合函数的最值
复合函数的值域求解
①指数型复合函数值域的求法
（1）形如
(
)
x
y
f a
（
0
>
a
，且
1
¹
a
）的函数求值域：令
x
a
t ，将求原函数的值域转化为求
( )
f t 的值
域，但要注意“新元t ”的范围．
（2）形如
f x
y
a
（
0
>
a
，且
1
¹
a
）的函数求值域：令
f x
m
，先求出
f x
m
的值域，再利用y
的单调性求出
f x
y
a
的值域．
②对数型复合函数值域的求法
（1）形如
(log
)
a
y
f
x （
0
>
a
，且
1
¹
a
）的函数求值域：令log
a x
t ，先求出log
a x
t 的值域M ，再
y
f t 在M 上的单调性，再求出
y
f t 的值域．
（2）形如
log
a
y
f x （
0
>
a
，且
1
¹
a
）的函数的值域：令
f x
m
，先求出
f x
m
的值域，再利
log
a
y
m 的单调性求出
log
a
y
f x 的值域．
1．（25-26 高三上·甘肃白银·月考）已知函数
2
1
x
f x
x
+
，则
f x 在区间
1,3 上的最大值、最小值分别
为（ ）
A．最大值为1，最小值为1
4
B．最大值为9
4 ，最小值为
1
2
C．最大值为1，最小值为1
3
D．最大值为9
4 ，最小值为1
3
2．函数
log
1
log
1
2(
0,
1)
a
a
f
x
x
x
a
a
+
-
-
+
>
¹
.
max
min
( )
( )
f x
f x
+
（ ）
A．4
B．4 或1
4
C．2 或
1
2
D．2
3．已知函数
1 3
1 3
x
x
f x
-
+
，函数
2
2
2
log
2log
g x
x
x
a
-
+
，若任意的
1x ÎR ，均存在
2
1,8
x Î
，使得
1
2
f x
g x
£
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
4,+¥
B．
2,+¥
C．
2,
-
+¥
D．
4,
-
+¥
4．（25-26 高三上·安徽·月考）当
π ,
6
x
a
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，函数
1
cos
cos
f x
x
m
x
+
-
的最小值为
3 ，最大值为
2 3 ，则cosa （ ）
A．5 3
12
B．
3
3
C．
3
4
D．
3
6
5．（25-26 高三上·北京·月考）若对
m
"
ÎR ，
,a b
$
ÎR ，使得
f a
f b
f m
a
b
-
-
成立，则称函数
f x
满足性质Ω ，下列函数不满足性质Ω 的是（ ）
A．
2
3
f x
x
x
-
B．
1
2
1
f x
x
+
C．
sin 2
1
f x
x
-
D．
1
e x
f x
- +
6．（2024 高三·全国·专题练习）下列函数
2
1
2
3
4
2
1
1
1
1
sin
e
ln
sin
e
ln
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
+
+
+
+
，
，
，
中，函数值域与函数
1
f x
x
x
+
的值域完全相同的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．已知
2
1
log
,
0
f x
a
a
x
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
，若存在
1 ,1
2
t
é
ù
Î ê
ú
ë
û ，使得函数
y
f x
在区间
,
2
t t +
上的最大值与最小
值的差不大于1，则实数a 的取值范围为（ ）
A．1
4 ,
é
ö
+ ¥÷
êë
ø
B．
1 ,
3
¥
é
ö
+
÷
êë
ø
C．1 ,
2
é
ö
+ ¥÷
êë
ø
D．
3 ,
4
¥
é
ö
+
÷
êë
ø
8．函数
2
5
6
f x
x
x
-
+
+
在区间
1,5 的最大值为______.
9．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知
2
10
2cos2
sin 2
x
f
x
x
-
且
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
f x 的最小值为______．
10．已知函数
2
2
log
log
2
8
x
f x
x
×
，函数
1
4
2
3
x
x
g x
+
-
-
.
(1)求函数
f x 的值域；
(2)若不等式
0
f x
g a
-
£
对任意实数
1,2
aÎ
恒成立，试求实数x 的取值范围.
题型3 复合函数的奇偶性、对称性
常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
1
( )
(
)
0
1
x
x
a
f x
m
x
a
+
¹
-
(
) 或函数
1
( )
(
)
1
x
x
a
f x
m a
-
+
．
②函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a-
±
-
．
③函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
+
+
-
-
或函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
-
-
+
+
④函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
+ +
或函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
+ -
．
注意：关于①式，可以写成函数
2
( )
(
0)
1
x
m
f x
m
x
a
+
¹
-
或函数
2
( )
(
)
1
x
m
f x
m
m
R
a
-
Î
+
．
偶函数：①函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a-
±
+
．
②函数
( )
log (
1)
2
mx
a
mx
f x
a
+
-
．
③函数
(|
|)
f
x
类型的一切函数．
④常数函数
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数
( )
y
f x
在
0
x
处有意义，则有
(0)
0
f
；
偶函数
( )
y
f x
必满足
( )
(|
|)
f x
f
x
.
（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
（3）若函数
( )
f x 的定义域关于原点对称，则函数
( )
f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
1
( )
[ ( )
(
)]
2
g x
f x
f
x
+
-
，
1
( )
[ ( )
(
)]
2
h x
f x
f
x
-
-
，则
( )
( )
( )
f x
g x
h x
+
.
（4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
( )
( ),
( )
( ),
( )
( ),
( )
( )
f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
+
-
´
¸
.
对于运算函数有如下结论：奇± 奇=奇；偶± 偶=偶；奇± 偶=非奇非偶；
奇( )
´ ¸ 奇=偶；奇( )
´ ¸ 偶=奇；偶( )
´ ¸ 偶=偶.
（5）复合函数
[ ( )]
y
f g x
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
1．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·期中）若函数
ln
1
ln
y
x
a
x
-
+
-
的图象关于直线
3
x
对称，则实数a
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（2026 高三·全国·专题练习）设函数
1
2
e
1
x
f x
-
- ，则
f x 的图象（ ）
A．关于
0, 1
-
对称
B．关于
0,0 对称
C．关于直线
1
x 对称
D．关于
1, 1
-
对称
3．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数
2
ln e
1 ,
0
( )
,
0
x
x
f x
x x
ì
+
³
ï
í
<
ïî
，( )
( )
(
)
g x
f x
f
x
+
-
，则( )
g x （ ）
A．是偶函数，且在(0,
)
+¥ 单调递增
B．是偶函数，且在(0,
)
+¥ 单调递减
C．是奇函数，且在(0,
)
+¥ 单调递增
D．是奇函数，且在(0,
)
+¥ 单调递减
4．（2026·河北保定·一模）已知函数
1
( )
2
1
x
f x
x
-
+
在区间[
, ]
k k
-
上的值域为[ , ]
m n ，则m
n
+
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
5．（2026·重庆·一模）已知函数
2
2
2
x
x
f x
+
-
+
，若关于m 的不等式
1
2
1
0
f m
f
m
-
-
+
<
成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
, 2
0,
-¥ -
È
+¥
B．
4
, 2
,
3
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
è
ø
U
C．
2
, 2
,
3
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
è
ø
U
D．
2
, 2
,
3
æ
ö
-¥ -
-
+¥
ç
÷
è
ø
U
6．已知函数
2
2
1
( )
log
1
2
1
x
f x
x
x
+
+
-
+
，若正实数a，b 满足
(2 )
(
1)
1
f
a
f b
+
-
，则1
6
3
1
a
b
+
+
的最小
值为（ ）
A．9
4
B．3
C．9
2
D．6
7．（多选题）（2027 高三·全国·专题练习）对于函数
lg
2
1
f x
x
-
+
，下列说法正确的是（ ）
A．
2
f x +
是偶函数
B．
2
f x +
是奇函数
C．
f x 在区间
,2
-¥
上单调递减，在区间
2,+¥ 上单调递增
D．
f x 没有最小值
8．（多选题）（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.
sin2
2sin
f
x
x
x x
+
ÎR 的说法正确的是（ ）
A．
f x 为奇函数
B．
π
2
x
是
f x 图象的一条对称轴
C．
f x 为周期函数，且最小正周期为π D．
f x 的值域为
3 3 3 3
2
2
,
é
ù
-
ê
ú
ê
ú
ë
û
9．（25-26 高三上·安徽·月考）已知函数
1
0
1
1
x
x
a
f x
ax
a
a
-
-
<
<
+
，则关于x 的不等式
2
2
3
0
f x
f
x
+
+
-
>
的解集是__________．
10．已知函数
3
ln
1
0,
2
x
f x
ax
b x
a
b
x
+
+
+
¹
Î
+
R ，
2
f x
f
x
+
- -
______；
2
1
2024
2025
2026
2027
f
f
f
f
b
a
+
+
-
+
-
-
+
的最小值是______．
11．（25-26 高三上·河南濮阳·月考）已知函数
3
e
e
x a
x
f x
x
b
-
-
-
-
-
存在对称中心，求
2
4
a
b
-
的最小值
________
题型4 函数f(f(x))的零点问题
1．（2025·山东临沂·三模）已知函数
2
ln ,
0
2
,
0
x x
f x
x
ax x
>
ì
í-
+
£
î
，若函数
y
f
f x
有8 个零点，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
1
a >
B．
0
a <
C．1
0
a
- <
<
D．
1
a < -
2．（25-26 高三上·吉林四平·月考）已知函数
2
4
,
0
ln
2,
0
x
x
f x
x
x
ì -
£
ï
í
+
>
ïî
，若函数
g x
f
f x
t
- 恰有5 个零
点，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
2
2,e ùû
B．
ln2
2,4
+
C．
ln2
2,2ln2
2
+
+
D．
2, 4
3．（多选题）设函数
2
2
1
2
1,
0
2
log
,
0
x
x
x
f x
x
x
ì-
+
+
³
ï
í
ï
-
<
î
，若函数
y
f
f x
af x
-
恰有4 个不同的零点
1
x ，
2x ，
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
33
1
8
4
x
x
x
x
-
£
+
+
+
£ -
，则实数a 可以是（ ）
A．2
3
B．5
6
C．7
6
D．4
3
4．（25-26 高三下·天津红桥·开学考试）已知函数
1
2
2 ,
0
log
,
0
x
a
x
f x
x
x
ì ×
£
ï
í
>
ïî
，若关于x 的方程
0
f
f x
é
ù
ë
û
有
且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是________.
5．（2026·河北·一模）已知函数
1
f x
x
a x
-
+ ，当方程
f
f x
f x
的实数根的个数最多时，a 的
取值范围是________.
题型5 函数f(g(x))的零点问题
对于嵌套型复合函数
[ ( )]
y
f g x
=
的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数
( )
u
g x
=
和外层函数
( )
y
f u
=
；
（2）确定外层函数
( )
y
f u
=
的零点
(
1,2,3,.
.
.
. )
i
u
u i
n
=
=
；
（3）确定直线
(
1,2,3,.
.
.
. )
i
u
u i
n
=
=
与内层函数
( )
u
g x
=
图象的交点个数分别为，
1
2
3
,
,
.......,
n
a a a
a 则函数
[ ( )]
y
f g x
=
的零点个数为
1
2
3.......
n
a
a
a
a
+
+
+
.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
1．已知函数
3
4 ,
0
log
,
0
x
x
f x
x
x
x
ì +
>
ï
í
ï
-
<
î
，
2
g x
x
ax
b
+
+
，其中,a b 均为实数．若方程
0
é
ù
ë
û
g
f x
有且仅有
5 个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ）
A．972
-
B．486
-
C．324
-
D．162
-
2．已知函数
1 ,
0
2,
0
x
x
f x
x
x
x
ì +
>
ï
í
ï +
£
î
，
2
2
1
g x
x
x
-
-
+ ，若方程
0
f g x
a
-
有四个不同的实数根，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
5
2, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
5
2, 2
é
ö
÷
êë
ø
C．
2,+¥
D．
2,+¥
3．（25-26 高三上·重庆南岸·月考）已知
ex
f x
，
3
2,
0
3eln
,
0
x
x
x
g x
x x
x
ì-
+
£
ï
í
>
ïî
，若函数
y
f g x
ag x
a
-
-
恰有4 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
3e
1, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
2e
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
e
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
2
3
e
e
,
3
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
4．已知函数
2
3
1,
0
2
,
0
x
x
f x
x
x x
ì
-
³
í-
-
<
î
，若关于x 的不等式
2
0
f x
f x
t
-
-
<
有且只有一个整数解，则实
数t 的取值范围为___________．
5．已知函数
f x 是定义在
0,+¥ 的单调函数，且对于任意的
0,
xÎ
+¥ ，都有
2
f
f
x
x
é
ù
-
ë
û
，若关
于x 的方程
2
f x
x
k
+
+
恰有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围为__________.
题型6 函数a[f(x)]2+bf(x)+c的零点问题
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
y
f x
是定义域为R 的偶函数．当
0
x ³
时，
16
1
,0
2
2
log
,
2
x
x
f x
x x
ìæ
ö
£
<
ïç
÷
íè
ø
ï
³
î
，若关于x 的方程
2
0
,
f x
a f x
b
a b
é
ù +
×
+
Î
ë
û
R 有且只有7 个不同实数根，则
a
b
+
的值是（ ）
A．2
-
B．1
-
C．0
D．1
2．（25-26 高三上·山东聊城·期末）已知函数
2
4
3,
0,
ln
,
0,
x
x
x
f x
x x
ì-
-
-
£
ï
í
>
ïî
，若函数
2
6
2
3
h x
f x
m
f x
m
-
+
+
é
ù
ë
û
有6 个不同的零点，则实数m 的范围是（ ）
A．
9,0
3,
-
+¥
U
B．
6,0
3,
-
+¥
U
C．
9,0
2,+
-
¥
U
D．
3,0
1,
-
+¥
U
3．已知函数
ln ,
0
( )
e
2,
0
x
x x
f x
x
-
ì
>
í
+
£
î
，若有另一函数
2
( )
( )
2 ( ) 1 2
g x
af
x
f x
a
-
+ -
有且仅有5 个不同零点，则
常数a 的取值范围为（ ）
A．1 5
,
2 7
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．2 3
,
3 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．1 5
[ , ]
2 7
4．（多选题）已知函数
1 2 ,
0,
2
1,
0,
x
x
x
f x
x
ì -
£
í
-
>
î
若方程
2
1
3
0
3
f x
k
f x
k
æ
ö
é
ù -
+
+
ç
÷
ë
û
è
ø
有三个不等的实根，则
整数k 的可能取值是（ ）
A．8
-
B．4
-
C．8
D．16
5．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数
π
sin
0 ,
0,π
3
f x
x
x
w
w
æ
ö
+
>
Î
ç
÷
è
ø
，关于x 的方程
2
2
2
3
3
0
f
x
f
x
-
+
+
有6 个不同的实数根，则w 的取值范围为_______________.
6．设函数
1
2
1,
0
ln ,
0
x
x
f x
x x
+
ì
+
£
ï
í
>
ïî
，若关于x 的函数
2
2
4
g x
f
x
a
f x
-
-
+
恰好有6 个零点，则实数a
的取值范围是__________.
1．（2025·江西·一模）函数
2
2
log
2
f x
x
x
-
的单调递增区间为（ ）
A．
1,+¥
B．
1
2,
é +
+¥
ë
C．
2,+¥
D．
1
3,
+
+¥
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知
π ,π
6
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，则函数
sin
1
2
x
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
的最大值是（ ）
A．
1
2
B．1
C．2
D．2
3．（2025·江西·二模）若函数
2025 x a
f x
-
∣
∣在区间
2026,+¥ 上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
2026,+¥
B．
0,2026
C．
,2026
-¥
D．
,2026
-¥
4．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，若函数
g x
f x f
x
-
，则
g x 的解析
式不可能是（ ）
A．
2
1
g x
x
-
B．
e
e
2
x
x
g x
-
+
+
C．
2
ln
1
g x
x
x
+ +
D．
cos
g x
x
5．（25-26 高三上·湖北·期中）已知函数
4
e
e
x
x
f x
-
-
，则（ ）
A．
( )
f x 的图象关于直线
2
x - 对称
B．
( )
f x 的图象关于点( 2,0)
-
对称
C．
( )
f x 的图象关于点(2,0) 对称
D．
( )
f x 的图象关于直线
2
x
对称
6．（2026·湖南永州·二模）已知函数
2
4
ln e
e
x
f x
x
+
-
，若
1
2
x
x
>
且
1
2
f x
f x
>
，则（ ）
A．
1
2
4
x
x
+
<
B．
1
2
4
x
x
+
>
C．
1
2
8
x
x
+
<
D．
1
2
8
x
x
+
>
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
3
1 ,
0
3,
0
x
x
f x
x
x
x
ì +
>
ï
í
ï
+
£
î
，则函数
2
2
2
F x
f
x
x
a a
+
-
>
的零点
个数不可能为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
8．已知函数
3
1
( )
lg
2
1
x
f x
x
x
+
+
+
-
，则关于x 的不等式
( )
(2
1)
4
f x
f
x
+
-
<
的解集为（ ）
A．
1
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．1 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
D．
1
, 3
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
9．（25-26 高三上·湖南衡阳·月考）已知函数
ln ,
0
e
2,
0
x
x
x
f x
x
-
ì
>
í
+
£
î
，若有另一函数
2
( )
( )
2 ( ) 1 2
g x
af
x
f x
a
-
+ -
有且仅有3 个不同零点，则常数a 的取值范围为（ ）
A．1 5
,
2 7
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．2 3
,
3 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．2 3
,
3 4
æ
ù
ç
ú
è
û
D．1 5
,
2 7
æ
ù
ç
ú
è
û
10．（25-26 高三上·福建泉州·期中）函数
2 ,
0
e
π
sin
, π
0
6
x
x x
f x
x
x
w
ì
>
ïï
í
æ
ö
ï
+
- £
£
ç
÷
ï
è
ø
î
，若
2
2
3
1
0
f
x
f x
-
+
恰有
6 个不同实数解，则正实数w 的范围为（ ）
A．
10
2, 3
æ
ù
ç
ú
è
û
B．
10
2, 3
é
ö÷
êë
ø
C．10 ,4
3
æ
ù
ç
ú
è
û
D．10 ,4
3
é
ö
÷
êë
ø
11．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
2
1 log
2 ,
1,
1
4 ,
1
a x
x
f x
x
a x
ì +
-
£
ï
í
-
+
>
ïî
（
0
a >
，且
1
a ¹ ）在R 上为单调
函数，则
2
f
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
12．已知函数
2
2
2 ,
0
4
3,
0
x
x x
f x
x
x
x
ì-
-
£
í
-
+
>
î
，
e ,
0
ln
,
0
x x
g x
x x
ì
£
ï
í
>
ïî
，若关于x 的方程
2
1
0
g f x
m g f x
m
é
ù -
+
+
ë
û
有19 个不等实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
1
0, e
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．1 ,1
e
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
0,e
D．
1,c
13．已知函数
ln
x
f x
x
，若函数
2
2
[
]
3
e
2 e
g x
f x
af x
a
+
-
-
恰有3 个不同的零点，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
e ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．
1 ,0
2e
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
C．
1
,
e
æ
ö
-¥ -
ç
÷
è
ø
D．
, e
-¥ -
14．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数
2
2
1,
0,
ln ,
0,
x
x
x
f x
x
x
ì
+
+
£
í
>
î
若函数
2e
e
1
f x
f x
g x
a
-
+ 恰有3
个零点，则a 的取值范围为（ ）
A．
1
e
,
e
¥
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
B．
1
2,e
e
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
C．
1
e
,
e
é
ö
+
+¥÷
êë
ø
D．
1
2,e
e
é
ö
+
÷
êë
ø
15．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
3
( )
cos(
)
f x
x
x
+
，则（ ）
A．
( )
f x 为偶函数
B．
( )
f x 的值域为[ 1,1]
-
C．不存在aÎR ，使得
( )
(
)
f a
f
a
-
-
D．
( )
f x 在区间[0,1]上单调递减
16．（多选题）已知函数
2 2
e
x
x
f x
-
，则（ ）
A．
f x 为偶函数
B．
f x 的单调递增区间为
1,0 , 1,
-
+¥
C．当0
1
x
<
< 时，
2
f x
f x
>
D．
f x 的最小值为1
e
17．（多选题）定义在R 上的函数
sin
sin
2
1
2
1
x
x
f x
-
+ ，则（ ）
A．函数
( )
f x 是奇函数
B．函数
( )
f x 的值域为
1 1
3 3
é
ù
-
ê
ú
ë
û
，
C．函数
( )
f x 关于直线
π
x
对称
D．函数
( )
f x 在π 3π
2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
，
上单调递减
18．（多选题）（25-26 高三下·浙江·开学考试）已知函数
sin cos
f x
x
，
cos sin
g x
x
，则下列
说法正确的是（ ）
A．
f x 与
g x 的值域相同
B．
f x 与
g x 的奇偶性相同
C．
f x 与
g x 有相同的零点
D．
f x 与
g x 在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上的单调性相同
19．（多选题）已知函数
2
2 ,
0
4 ,
0
x x
f x
x
x x
ì
³
í-
-
<
î
，若方程
2
0
f
x
tf x
-
有四个实数根
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则（ ）
A．
1
4
x -
B．1
4
t
£ <
C．
4
0
2
x
£
<
D．
1
2
3
4
6
8
x
x
x
x
£
+
+
+
<
20．（多选题）（25-26 高三上·湖北恩施·开学考试）已知函数
e ,
0
( )
ln
1,
0
x x
f x
x
x
ì
£
í
+
>
î
，方程
( ( ))
f f x
m
有
三个不同的实根
1
x ，
2x ，
3x ，则（ ）
A．方程
( )
f x
m
有两个不同的实根
B．
[1,e]
mÎ
C．
1
m - 是方程
( ( ))
f f x
m
的一个根
D．
1
2
3
1
e
e
x
x
x
+
+
<
+
21．（多选题）已知函数
2
4 ,
0,
log
1
,
0,
x
x
f x
x
x
x
ì +
>
ï
í
ï
-
<
î
，
2
g x
x
ax
b
+
+
，若方程
0
g f x
有且仅有5 个
不相等的整数解，则下列说法正确的是（ ）
A．
9
a
B．
20
b
C．最大的整数解是4
D．最小的整数解是31
-
22．（2026·广东茂名·一模）已知函数
2
2
log
1
1
f x
x
æ
ö
-
ç
÷
+
è
ø
，则不等式
2
1
2
0
f a
f
a
+
+
-
<
的解集为
_______．
23．已知
0
a >
，且
1
a ¹ ，若
1
2
e
1,
1
log
3
1 ,
1
x
a
x
f x
x
ax
x
-
ì
-
£
ï
í
-
+
>
ïî
是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是
__________.
24．若函数
a
f x
x
x
+
在区间
2
1,π
上存在最小值，则实数a 的取值范围是_______．
25．（25-26 高三上·安徽·期末）若函数
2
1 ln
b
x
f x
x
x
æ
ö
ç
÷
è
-
ø
-
的图象关于点
,0
a
对称，则a
b
+
________．
26．（25-26 高三下·北京·月考）已知函数
2
6
5,
0
,
0
1
x
x
x
f x
x
x
x
ì
+
+
£
ï
í
>
ï
+
î
，则函数
y
f x
的零点为______；若
函数
y
f
f x
a
é
ù
-
ë
û 有3 个零点，则实数a 的取值范围为________．
27．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数
1
ln
2
3
x
f x
x
+
-
，
3
1
3
3
x
x
g x
-
+
，则
1
3
f x £
的解集为
________；
y
f x
与
y
g x
图象的交点横坐标之和为________.
28．（25-26 高三上·天津西青·期末）已知函数
2
3 ,
0
3
6 ,
0
x
x
f x
x
x x
ì
+
£
í-
+
>
î
，若关于x 的方程
2
1
0
3
f
x
bf x
-
+
有8 个相异的实根，则实数b 的取值范围为______________.
29．已知定义在
1,+¥ 上的单调函数
f x 满足
1
1
f
f x
x
x
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
，若方程
2
0
f x
a
ax
a
-
+
-
有2 个
不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______．
30．已知函数
2
2
log
,
0
2 ,
0
x x
f x
x
x x
ì
>
í-
-
£
î
，若关于x 的方程
f x
a
（aÎR ）恰有四个不同的解，记为
ix
（
1,2,3,4
i
），设
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则
1
2
3
4
x
x
x x
+
+
______；若关于x 的方程
f
f x
a
至少有7 个不
同的解，则a 的取值范围是______.
