专题03 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题
题型
考情分析
考向预测
1．复合函数的单调性
2．复合函数的最值
3．复合函数的奇偶性、对称性
4．函数f(f(x))的零点问题
5．函数f(g(x))的零点问题
6．函数a[f(x)]2+bf(x)+c的零点问题
2024 年新高考卷Ⅰ：第18 题（2）
考查了复合函数的对称性
2023 年新高考卷Ⅰ：第4 题考查了
复合函数的单调性中的参数问题
2023 年新高考卷Ⅱ：第4 题考查了
复合函数的奇偶性
复合函数的单调性及
其参数问题、指对复
合函数中的奇偶性、
对称性问题
题型1 复合函数的单调性
1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：
x
g
f
y
，令：
x
g
t
，则
x
g
f
y
转化为
x
g
t
t
f
y
,
其中t 叫作中间变
量.
x
g
叫作内层函数，
t
f
y
叫作外层函数.
2、求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数
x
g
f
y
分解成
x
g
t
t
f
y
,
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
))
(
(
x
g
f
y
在
)
,
(
b
a
上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
)
(x
g
t
)
(t
f
y
))
(
(
x
g
f
y
增
增
增
增
减
减
1．函数
2
1
2
y
x
x
-
的单调递减区间是（ ）
A．(
,1)
-¥
B．(
,0)
-¥
C．(1,
)
+¥
D．(2,
)
+¥
【答案】D
【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果.
【详解】要使函数
2
1
2
y
x
x
-
有意义，则
2
2
0
x
x
-
>
，
即(
2)
0
x x -
>
，解得
0
x <
或
2
x >
，
\函数定义域为(
,0)
(2,
)
-¥
+¥
U
.
令
2
2
t
x
x
-
，则
1 (
0)
y
t
t
>
，
1
y
t
在(0,
)
+¥ 上单调递减，
2
2
t
x
x
-
对称轴为
1
x ，开口向上，
在(
,0)
-¥
上单调递减，在(2,
)
+¥ 上单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则，可知
2
1
2
y
x
x
-
的单调递减区间是(2,
)
+¥ .
故选：D.
2．（2024·湖北·二模）已知函数
5
log
2
x
f
x
a
-
在
1,+¥ 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
1,+¥
B．
ln 2,+¥
C．
2,+¥
D．
2,+¥
【答案】C
【分析】先由题设条件证明
2
a >
，再验证
2
a >
时条件满足即可.
【详解】若
5
log
2
x
f x
a
-
在
1,+¥ 上单调递增，
则必然在
1
x 处有定义，所以
1
2
0
a -
>
，即
2
a >
；
若
2
a >
，则当
1
x ³ 时
2
2
0
x
a
a
-
³
-
>
，所以
f x 在
1,+¥ 上有定义，
再由
1
a > 知
2
x
a -
在R 上单调递增，所以
f x 在
1,+¥ 上单调递增.
故选：C.
3．（24-25 高三上·山西大同·期末）已知实数
0
a >
，且满足不等式
3
3
log
3
2
log
4
1
a
a
+
>
+
，若
x
y
a
a
x
y
-
<
-
，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．
0
x
y
+
>
B．
1
x
y
+
>
C．
0
x
y
-
>
D．
1
-
>
x
y
【答案】C
【分析】先根据对数函数的单调性得出0
1
a
<
< ，再构造函数结合函数单调性求解即可.
【详解】因为
0
a >
，又函数
3
log
y
x
单调递增，所以3
2
4
1
a
a
+
>
+ ，即0
1
a
<
< ，
对于不等式
x
y
a
a
x
y
-
<
-
，移项整理得
x
y
a
x
a
y
-
<
-
，
构造函数
x
h x
a
x
-
，由于
h x 单调递减，所以x
y
>
，即
0
x
y
-
>
，
故选:C.
4．（25-26 高三上·河北·月考）已知函数
2
( )
e
(
)
x
mx
f x
m
-
+
ÎR ，则“
2
m £
”是“
( )
f x 在区间(1,
)
+¥ 上单调递
减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性及指数函数的单调性可得
2
y
x
mx
-
+
在区间(1,
)
+¥ 上单调递减，然后利
用二次函数的单调性列不等式求解m 的范围，最后判断充分性与必要性即可.
【详解】因为函数
ex
y
在定义域上单调递增且
2
( )
e
(
)
x
mx
f x
m
-
+
ÎR 在区间(1,
)
+¥ 上单调递减，
由复合函数的单调性知函数
2
y
x
mx
-
+
在区间(1,
)
+¥ 上单调递减，
因为
2
y
x
mx
-
+
的开口向下且对称轴为
2
m
x
，
所以
1
2
2
m
m
£ Þ
£
，故“
2
m £
”是“
( )
f x 在区间(1,
)
+¥ 上单调递减”的充要条件.
故选：C
5．（多选题）（2025·青海·模拟预测）在下列区间中，函数
2
sin
f x
x
单调递增的是（ ）
A．
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
3π
π, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．3π ,2π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】BC
【分析】根据反比例函数、正弦函数单调性，结合复合函数单调性的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】令
sin
u
x
，则
2
y
u
在
1,0
-
，
0,1 上单调递减；
对于A，
sin
u
x
Q
在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，
2
sin
y
x
\
在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，A 错误；
对于B，
sin
u
x
Q
在π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减，
2
sin
y
x
\
在π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递增，B 正确；
对于C，
sin
u
x
Q
在
3π
π, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减，
2
sin
y
x
\
在
3π
π, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递增，C 正确；
对于D，
sin
u
x
Q
在3π ,2π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，
2
sin
y
x
\
在3π ,2π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，D 错误.
故选：BC.
6．（多选题）下列函数是奇函数，且满足对任意.
1
2
1
2
,
0,
x x
x
x
Î
+¥
¹
都有
2
1
2
1
0
x
x
f x
f x
é
ù
-
-
>
ë
û
的是（ ）
A．
1
2
log
f x
x
B．
e
e
2
x
x
f x
-
-
C．
1 2
2
1
x
x
f x
-
+
D．
2
lg
1
f x
x
x
+
+
【答案】BD
【分析】依题意，
f x 是在
0, ¥
+
上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可.
【详解】对任意
1
2
1
2
,
0,
x x
x
x
¥
Î
+
¹
，都有
2
1
2
1
0
x
x
f x
f x
é
ù
-
-
>
ë
û
，
则
f x 在
0, ¥
+
上单调递增；
所以
f x 是在
0, ¥
+
上单调递增的奇函数.
对于A，函数
1
2
log
f x
x
定义域为
0, ¥
+
，
f x 不是奇函数，A 错误；
对于B，
e x
y
-
-
与
ex
y
在R 上都为增函数，故
f x 在R 上为增函数，
e
e
2
x
x
f
x
f x
- -
-
-
，所以
e
e
2
x
x
f x
-
-
是在
0, ¥
+
上单调递增的奇函数，B 正确；
对于C，
1 2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
f x
-
- +
+
+ ，易知
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，C 错误；
对于D，函数
2
lg
1
f x
x
x
+
+
定义域为R，
函数
2
1
y
x
x
+
+
在
0, ¥
+
上是增函数，函数
lg
y
u
在定义域内是增函数，
所以
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
2
2
2
1
lg
(
)
1
lg
lg
1
1
f
x
x
x
x
x
f x
x
x
æ
ö
-
- +
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
f x 是奇函数，D 正确.
故选：BD.
7．（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）函数
2
lg
2lg
f x
x
x
-
的单调递增区间是_______．
【答案】
10,+¥ (或
10, ¥
+
)
【分析】根据对数函数，二次函数的单调性结合复合函数的单调性同增异减原则即得.
【详解】函数
f x 的定义域为
0,+¥ ，
令
lg
t
x
在定义域上为增函数，则
2
2
2
1
1
y
t
t
t
-
-
- 在
1,+¥ 上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当
lg
t
x
³1，即
10
x ³
时，函数
f x 单调递增，
即函数
f x 单调递增区间为
10,+¥ ．
故答案为：
10,+¥ (或
10,+¥ )
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
3
2
2
1
1
3
5
2
1
,
1
3
2
6
2
,
1
a
x
x
ax
a
x
x
f x
x x
+
+
ì
-
+
+
-
£
ï
í
ï
+
>
î
，若对任意
1
2
x
x
<
，都有
1
2
1
2
f x
f x
x
x
-
<
-
，则实数a 的取值范围是______．
【答案】
0,1
【分析】由题意转化为函数( )
( )
g x
f x
x
- 在R 上单调递增，根据分段函数的单调性，需满足各段单调递增
及两段在
1
x 分界点处函数值的大小关系求解即可.
【详解】由对任意
1
2
1
2
1
2
,
x
x
f x
f x
x
x
<
-
<
-
，得
1
1
f x
x
-
<
2
2
f x
x
-
，
设( )
( )
g x
f x
x
- ，则
1
2
g x
g x
<
对于
1
2
x
x
<
恒成立，所以( )
g x 在R 上单调递增．
由题意知
3
2
2
1
1
3
5
2
,
1
3
2
6
2
,
1
a
x
x
ax
ax
x
g x
x
+
+
ì
-
+
-
£
ï
í
ï
>
î
当
1
x £ 时，
3
2
1
3
5
( )
2
3
2
6
g x
x
ax
ax
-
+
-
单调递增，
即
2
( )
3
2
0
g x
x
ax
a
¢
-
+
³
在
(
,1]
x Î -¥
上恒成立，得
3
1,
2
3
0
2
a
a
g
ì
<
ïïí
æ
ö
ï
³
ç
÷
è
ø
î
¢
ï
或
3
1,
2
1
0,
a
g
ì
¢
³
ïí
ï
³
î
解得
2
0
3
a
£
<
或2
1
3
a
£
£ ，即0
1
a
£
£ ．
当
1
x > 时，
2 (
1)
( )
2
a
x
g x
+
+
单调递增，由复合函数的单调性知
2
(
1)
y
a
x
+
+
在(1,
)
+¥ 上单调递增，即
1
0
a + >
，得
1
> -
a
．
当0
1
a
£
£ 时，
2
)
3
(
1
1
3
5
1
1
2
8,
2
0
3
6
2
2
2
2
a
a
a
a
a
+
+
+ ³
-
-
-
+
£
，
所以
2 (
1)
1
3
5
2
2
3
2
6
a
a
a
+
+ >
-
+
-
恒成立，满足题意.
综上，a 的取值范围为
0,1 ．
故答案为：
0,1
题型2 复合函数的最值
复合函数的值域求解
①指数型复合函数值域的求法
（1）形如
(
)
x
y
f a
（
0
>
a
，且
1
¹
a
）的函数求值域：令
x
a
t ，将求原函数的值域转化为求
( )
f t 的值
域，但要注意“新元t ”的范围．
（2）形如
f x
y
a
（
0
>
a
，且
1
¹
a
）的函数求值域：令
f x
m
，先求出
f x
m
的值域，再利用y
的单调性求出
f x
y
a
的值域．
②对数型复合函数值域的求法
（1）形如
(log
)
a
y
f
x （
0
>
a
，且
1
¹
a
）的函数求值域：令log
a x
t ，先求出log
a x
t 的值域M ，再
y
f t 在M 上的单调性，再求出
y
f t 的值域．
（2）形如
log
a
y
f x （
0
>
a
，且
1
¹
a
）的函数的值域：令
f x
m
，先求出
f x
m
的值域，再利
log
a
y
m 的单调性求出
log
a
y
f x 的值域．
1．（25-26 高三上·甘肃白银·月考）已知函数
2
1
x
f x
x
+
，则
f x 在区间
1,3 上的最大值、最小值分别
为（ ）
A．最大值为1，最小值为1
4
B．最大值为9
4 ，最小值为
1
2
C．最大值为1，最小值为1
3
D．最大值为9
4 ，最小值为1
3
【答案】B
【分析】令
1
2,4
t
x
+ Î
，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可.
【详解】函数
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
x
x
x
f x
x
x
x
x
+
-
+
+
+ +
-
+
+
+
，
令
1
2,4
t
x
+ Î
，则
1
2
f x
g t
t
t
+
-
，
由对勾函数的性质得，函数
g t 在
2,4 上单调递增，
故当
2
t
，即
1
x 时，
min
1
2
f
x
，当
4
t
，即
3
x
时，
max
9
4
f x
．
故选：B．
2．函数
log
1
log
1
2(
0,
1)
a
a
f
x
x
x
a
a
+
-
-
+
>
¹
.
max
min
( )
( )
f x
f x
+
（ ）
A．4
B．4 或1
4
C．2 或
1
2
D．2
【答案】A
【分析】构造奇函数
g x ，由
2
f x
g x
+
结合函数
g x 的奇函数特性即可得解.
【详解】由
1
0
1
1
1
0
x
x
x
+ >
ì
Þ - <
<
í -
>
î
，
所以
log
1
log
1
a
a
g x
x
x
+
-
-
定义域为
11,
-
，关于原点对称，
又因为
log
1
log
log
1
log
1
1
a
a
a
a
g
x
x
x
x
x
g x
-
- +
-
-
-
+
-
-
-
é
ù
ë
-
û
é
ù
ë
û
，
所以函数
g x 为奇函数，
所以
g x 的最大值和最小值互为反函数，即
max
min
( )
( )
0
g x
g x
+
，
所以
max
min
max
min
( )
( )
( )
2
( )
2
4
f x
f x
g x
g x
+
+
+
+
.
故选：A.
3．已知函数
1 3
1 3
x
x
f x
-
+
，函数
2
2
2
log
2log
g x
x
x
a
-
+
，若任意的
1x ÎR ，均存在
2
1,8
x Î
，使得
1
2
f x
g x
£
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
4,+¥
B．
2,+¥
C．
2,
-
+¥
D．
4,
-
+¥
【答案】C
【分析】分别计算出
f x 在R 上的值域及
g x 在
1,8 上的值域，则可得
max
max
f x
g x
£
，计算即可得
解.
【详解】
1 3
3
1
2
2
1
1 3
1 3
1 3
x
x
x
x
x
f x
-
-
- +
-
+
+
+
，
由
3
0,
x
y
Î
+¥ ，则
2
1
1,1
1 3x
f x
- Î -
+
，
当
1,8
xÎ
时，则
2
log
0,3
xÎ
，
则
2
2
log
1
1
1,
3
g x
x
a
a
a
-
+
- Î
-
+
，
由任意的
1x ÎR ，均存在
2
1,8
x Î
，使得
1
2
f x
g x
£
，
则有1
3
a
£
+
，即
2
a ³ - .
故选：C.
4．（25-26 高三上·安徽·月考）当
π ,
6
x
a
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，函数
1
cos
cos
f x
x
m
x
+
-
的最小值为
3 ，最大值为
2 3 ，则cosa （ ）
A．5 3
12
B．
3
3
C．
3
4
D．
3
6
【答案】D
【分析】根据函数的定义域可得π
π
6
2
a
<
<
，结合复合函数单调性分别确定函数
cos
y
x
与函数
1
y
x
x
+
的
单调性，从而得
f x 在
π ,
6
x
a
é
ù
Îê
ú
ë
û 上的单调性，从而得最值，于是求得cosa 的值.
【详解】因为cos
0
a ¹
，所以函数
f x 在π
2 处无定义，所以π
π
6
2
a
<
<
，
又函数
cos
y
x
在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，且cos
(0,1)
xÎ
，且函数
1
y
x
x
+
在
0,1 上单调递减，
所以
f x 在π ,
6 a
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以
min
π
3
2
3
6
2
3
f x
f
m
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
，解得
3
6
m
，
再由
max
1
3
cos
2 3
cos
6
f x
f a
a
a
+
-
，得
1
3
cos
2 3
cos
6
a
a
+
+
，
由π
π
6
2
a
<
<
，可解得
3
cos
6
a
．
故选：D.
5．（25-26 高三上·北京·月考）若对
m
"
ÎR ，
,a b
$
ÎR ，使得
f a
f b
f m
a
b
-
-
成立，则称函数
f x
满足性质Ω ，下列函数不满足性质Ω 的是（ ）
A．
2
3
f x
x
x
-
B．
1
2
1
f x
x
+
C．
sin 2
1
f x
x
-
D．
1
e x
f x
- +
【答案】D
【分析】将问题转化为判断各选项中的函数的值域是否是其导函数值域的子集，由此依次求解各选项中函
数和其导函数的值域即可.
【详解】若对
m
"
ÎR ，
,a b
$
ÎR ，使得
f a
f b
f m
a
b
-
-
成立，则
f x 的值域是
f
x
¢
值域的子集；
对于A，由二次函数性质知：
2
3
f x
x
x
-
的值域为
9 ,
4
é
ö
-
+¥÷
êë
ø ；
2
3
f
x
x
¢
-
Q
，
f
x
¢
\
的值域为R ，则
9 ,
4
é
ö
-
+¥ Í
÷
êë
ø
R ，A 满足性质W ；
对于B，
1
( )
0,1
2 |
| 1
f x
x
Î
+
，且
1
,
0
2
1
1
,
0
2
1
x
x
f x
x
x
ì
³
ïï
+
í
ï
<
ï-
+
î
，
当
0
x ³
时，
2
2
2,0
2
1
f
x
x
-
¢
Î -
+
，
当
0
x <
时，
2
2
0,2
2
1
f
x
x
¢
Î
-
+
，
显然
f x 的值域是
f
x
¢
值域的子集，B 满足性质W ；
对于C，由正弦型函数性质可知：
sin 2
1
1,1
f x
x
-
Î -
，
2cos 2
1
f
x
x
¢
-
Q
，
f
x
¢
\
的值域为
2 2
- ,
，
显然
f x 的值域是
f
x
¢
值域的子集，C 满足性质W ；
对于D，
1
x
- + ÎR
Q
，
1
e x
f x
- +
\
的值域为
0, ¥
+
；
1
e x
f
x
- +
¢
-
Q
，
f
x
¢
\
的值域为
,0
-¥
；
则
f x 的值域不是
f
x
¢
值域的子集，D 不满足性质W ；
故选：D
6．（2024 高三·全国·专题练习）下列函数
2
1
2
3
4
2
1
1
1
1
sin
e
ln
sin
e
ln
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
+
+
+
+
，
，
，
中，函数值域与函数
1
f x
x
x
+
的值域完全相同的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】利用对勾函数的性质，求各函数的值域，比较即可得解.
【详解】对勾函数
1
y
x
x
+
，
2
2
2
1
1
1
x
y
x
x
-
¢ -
，
当定义域为
0, ¥
+
时，
0
¢ <
y
有0
1
x
<
< ；
0
¢ >
y
有
1
x > ，
∴对勾函数
1
y
x
x
+
在
01，上单调递减，在
1, ¥
+
上单调递增，
1
x 时，函数有最小值2，x 趋近于0 与x 趋近于+¥ 时，函数值趋近于+¥ ．
函数
1
f x
x
x
+
定义域为
0, ¥
+
，则
0
x >
，由对勾函数的性质可得，
当
1
x 时
1
f x
x
x
+
有最小值2，则函数
1
f x
x
x
+
的值域为
2, ¥
+
．
（i）函数
2
1
2
1
sin
sin
f
x
x
x
+
中，有
sin
0
x
\
¹
，由对勾函数的性质可得，
当
2
sin
1
x 时
2
1
2
1
sin
sin
f
x
x
x
+
有最小值2，则函数
2
1
2
1
sin
sin
f
x
x
x
+
的值域为
2, ¥
+
．
（ii）
3
1
e
e
x
x
f
x
+
，有e
0
x >
，由对勾函数的性质可得，当e
1
x 时
3
1
e
e
x
x
f
x
+
有最小值2，
则函数
3
1
e
e
x
x
f
x
+
的值域为
2, ¥
+
．
（iii）
2
1
f
x
x
x
+
，当
0
x <
时，
2
0
f
x <
，
2f
x 的值域与函数
1
f x
x
x
+
的值域不相同．
（iv）
4
1
ln
ln
f
x
x
x
+
，当0
1
x
<
< 时，
4
0
f
x <
，
4f
x 的值域与函数
1
f x
x
x
+
的值域不相同．
综上所述，
2
1
3
2
1
1
sin
sin
x
x
f
x
x
f
x
e
x
e
+
+
，
的值域与函数
1
f x
x
x
+
的值域完全相同．
故选：B．
7．已知
2
1
log
,
0
f x
a
a
x
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
，若存在
1 ,1
2
t
é
ù
Î ê
ú
ë
û ，使得函数
y
f x
在区间
,
2
t t +
上的最大值与最小
值的差不大于1，则实数a 的取值范围为（ ）
A．1
4 ,
é
ö
+ ¥÷
êë
ø
B．
1 ,
3
¥
é
ö
+
÷
êë
ø
C．1 ,
2
é
ö
+ ¥÷
êë
ø
D．
3 ,
4
¥
é
ö
+
÷
êë
ø
【答案】B
【分析】利用对数型复合函数的单调性分析得
( )
f x 的单调性，从而得到
( )
f x 在
,
2
t t +
上的最值，由条件
得到关于a 的不等式，解之即可得解.
【详解】函数
2
1
log
,
0
f x
a
a
x
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
的定义域为
1
,
(0,
)
a
¥
¥
æ
ö
-
-
È
+
ç
÷
è
ø
，
因为函数
1
y
a
x
+
在(0,
)
+¥ 上单调递减，
2
log
y
x
在(0,
)
+¥ 上单调递增，
所以
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递减，又
1 ,1
2
t
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
所以
( )
f x 在区间
,
2
t t +
上单调递减，其最大值与最小值分别为
( )
f t ，
(
2)
f t +
，
则
2
2
1
1
( )
(
2)
log
log
1
2
f t
f t
a
a
t
t
æ
ö
æ
ö
-
+
+
-
+
£
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
，
即
2
2
1
1
log
1 log
2
a
a
t
t
æ
ö
æ
ö
+
£ +
+
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø ，则
2
2
1
1
log
log 2
2
a
a
t
t
æ
ö
æ
ö
+
£
+
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø ，
得1
1
2
2
a
a
t
t
æ
ö
+
£
+
ç
÷
+
è
ø ，整理得
2
(2
1)
2
0
at
a
t
+
+
-
³
，
令
2
( )
(2
1)
2
0
h t
at
a
t
a
+
+
-
>
，则其图象开口向上，对称轴为
2
1
0
2
a
t
a
+
-
<
，
所以( )
h t 在
1 ,1
2
t
é
ù
Îê
ú
ë
û 上单调递增，
因为存在
1 ,1
2
t
é
ù
Îê
ú
ë
û ，使得函数
y
f x
在区间
,
2
t t +
上的最大值与最小值的差不大于1，
所以存在
1 ,1
2
t
é
ù
Îê
ú
ë
û ，使得( )
0
h t ³
成立，即1
0
h
³
，
则
21
(2
1) 1 2
0
a
a
´
+
+
´ -
³
，解得
1
3
a ³
，
所以a 的取值范围为1 ,
3
¥
é
ö
+
÷
êë
ø .
故选：B.
8．函数
2
5
6
f x
x
x
-
+
+
在区间
1,5 的最大值为______.
【答案】7
2 /3.5
【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可
【详解】（1）由
2
2
5
6
0
5
6
0
1
6
x
x
x
x
x
-
+
+
³
Þ
-
-
£
Þ - £
£
，
所以
f x 的定义域
1,6
-
令
2
2
5
49
5
6
2
4
x
x
x
u x
æ
ö
-
+
+
-
-
+
ç
÷
è
ø
，开口向下，对称轴
5
2
x
，
根据复合函数的单调性可知，
f x 的单调递增区间是
5
1, 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û ；单调递减区间是5 ,6
2
é
ù
ê
ú
ë
û
f x 在区间
1,5 的最大值为
5
7
2
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø
故答案为：7
2
9．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知
2
10
2cos2
sin 2
x
f
x
x
-
且
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
f x 的最小值为______．
【答案】5
2 6
+
/ 2 6
5
+
【分析】由同角三角函数基本关系化简函数解析式，再利用换元法求函数最值即可.
【详解】
π
0,
,
2
0,π
2
x
x
æ
ö
Î
\
Î
ç
÷
è
ø
Q
，则cos2
( 1,1)
xÎ -
，
2
2
10
2cos2
10
2cos2
sin 2
1 cos 2
x
x
f x
x
x
-
-
-
，
令10
2cos2
,
(8,12)
x
t t
-
Î
，
则
2
2
4
4
( )
96
20
96
10
20
1
2
t
t
g t
t
t
t
t
t
-
+
-
æ
ö
-
æ
ö
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
由
2
2
20
96
(
10)
4
t
t
t
-
+
-
-
-
+
，
(8,12)
t Î
，
知
2
20
96
(0,4]
t
t
-
+
-
Î
，即
2
4
( )
0
20
96
t
g t
t
t
>
-
+
-
恒成立，
又由
96
96
2
8 6
t
t
t
t
+
³
×
，即当且仅当
96
t
t
时等号成立，
由4 6
(8,12)
Î
，故当
4 6
t
时等号取到，
所以
4
4
( )
5
2 6
96
8 6
20
20
g t
t
t
³
+
æ
ö
-
+
-
+
+
ç
÷
è
ø
，
当
4 6
t
，即cos2
5
2 6
x
-
时，
( )
f x 取最小值，且最小值为5
2 6
+
.
故答案为：5
2 6
+
.
10．已知函数
2
2
log
log
2
8
x
f x
x
×
，函数
1
4
2
3
x
x
g x
+
-
-
.
(1)求函数
f x 的值域；
(2)若不等式
0
f x
g a
-
£
对任意实数
1,2
aÎ
恒成立，试求实数x 的取值范围.
【答案】(1)
4,
-
+¥
(2)
1,4
【分析】（1）根据对数的运算法则将函数变形为关于
2
log x 的二次函数后即可求值域；
（2）把2a 看作一个整体，函数
g a 为关于2a 的二次函数（可用换元法），结合二次函数性质求得
g a 的
最小值，然后解不等式
min
( )
f x
g a
£
即可.
【详解】（1）
2
2
2
2
log
log
2
log
3
log
1
8
x
f x
x
x
x
×
-
+
2
2
2
log
2log
3
-
-
x
x
2
2
log
1
4
-
-
x
.
2
2
2
log
,
log
1
4
4
x
f x
x
Î
\
-
-
³ -
R
Q
，即
f x 的值域为
4,
-
+¥ .
（2）由题知：不等式
f x
g a
£
对任意实数
1,2
aÎ
恒成立，
min
( )
f x
g a
\
£
.
2
2
1
4
2
3
2
2 2
3
2
1
4
a
a
a
a
a
g a
+
-
-
- ´
-
-
-
，令
2a
t
，
1,2 ,
2,4
a
t
é
ù
Î
\ Î
ë
û
Q
.
设
2
(
1)
4,
2,4
h t
t
t
-
-
Î
，
由二次函数的单调性可知：当
2
t
时，
h t 取得最小值3
- ，即
min
( )
3
g a
- ，
3
f x
\
£ - ，即
2
2
log
1
4
3
x -
-
£ - ，
2
1
log
1 1
x
\- £
- £ ，
即
2
0
log
2
x
£
£
，解得1
4
x
£
£
，
\实数x 的取值范围为
1,4 .
题型3 复合函数的奇偶性、对称性
常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
1
( )
(
)
0
1
x
x
a
f x
m
x
a
+
¹
-
(
) 或函数
1
( )
(
)
1
x
x
a
f x
m a
-
+
．
②函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a-
±
-
．
③函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
+
+
-
-
或函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
-
-
+
+
④函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
+ +
或函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
+ -
．
注意：关于①式，可以写成函数
2
( )
(
0)
1
x
m
f x
m
x
a
+
¹
-
或函数
2
( )
(
)
1
x
m
f x
m
m
R
a
-
Î
+
．
偶函数：①函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a-
±
+
．
②函数
( )
log (
1)
2
mx
a
mx
f x
a
+
-
．
③函数
(|
|)
f
x
类型的一切函数．
④常数函数
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数
( )
y
f x
在
0
x
处有意义，则有
(0)
0
f
；
偶函数
( )
y
f x
必满足
( )
(|
|)
f x
f
x
.
（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
（3）若函数
( )
f x 的定义域关于原点对称，则函数
( )
f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
1
( )
[ ( )
(
)]
2
g x
f x
f
x
+
-
，
1
( )
[ ( )
(
)]
2
h x
f x
f
x
-
-
，则
( )
( )
( )
f x
g x
h x
+
.
（4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
( )
( ),
( )
( ),
( )
( ),
( )
( )
f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
+
-
´
¸
.
对于运算函数有如下结论：奇± 奇=奇；偶± 偶=偶；奇± 偶=非奇非偶；
奇( )
´ ¸ 奇=偶；奇( )
´ ¸ 偶=奇；偶( )
´ ¸ 偶=偶.
（5）复合函数
[ ( )]
y
f g x
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
1．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·期中）若函数
ln
1
ln
y
x
a
x
-
+
-
的图象关于直线
3
x
对称，则实数a
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】由对称性知函数定义域关于点
3,0 对称，即可得解.
【详解】设
ln
1
ln
f x
x
a
x
-
+
-
，
因为函数
ln
1
ln
f x
x
a
x
-
+
-
，
所以
1
0
0
x
a
x
- >
ì
í -
>
î
，解得1
x
a
<
<
，即函数定义域为
1,a ，
因为函数
ln
1
ln
y
x
a
x
-
+
-
的图象关于直线
3
x
对称，
所以1
3
2
a
+
，解得
5
a
，
此时
ln
1
ln 5
f x
x
x
-
+
-
，
6
ln 5
ln
1
f
x
x
x
f x
-
-
+
-
,
f x 的图象关于直线
3
x
对称，故
5
a
符合.
故选：C
2．（2026 高三·全国·专题练习）设函数
1
2
e
1
x
f x
-
- ，则
f x 的图象（ ）
A．关于
0, 1
-
对称
B．关于
0,0 对称
C．关于直线
1
x 对称
D．关于
1, 1
-
对称
【答案】D
【分析】A 根据
2
2
2
f
f
+
-
¹ - 判断；B 根据
0
0
f
¹
判断；C 根据
0
2
f
f
¹
判断；D 根据
1
1
2
f
x
f
x
-
+
+
- 判断.
【详解】对于A，因为
3
2
2
2
2
2
e 1
e
1
f
f
-
+
-
+
¹ -
-
-
，
所以
f x 的图像不关于
0, 1
-
对称，故A 错误；
对于B，因为
1
2
0
0
e
1
f
-
¹
-
，所以
f x 的图像不关于
0,0 对称，故B 错误；
对于C，因为
1
2
2
0
2
e
1
e 1
f
f
-
¹
-
- ，
所以
f x 的图像不关于直线
1
x 对称，故C 错误；
对于D，因为
1
1
1
1
2
2
2
2
2e
2
1
1
e
1
e
1
e
1
e
1
1 e
e
1
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
- -
+ -
-
-
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
2 e
1
2
1 e
x
x
-
-
-
，
所以
f x 的图像关于
1, 1
-
对称，故D 正确.
答案：D
3．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数
2
ln e
1 ,
0
( )
,
0
x
x
f x
x x
ì
+
³
ï
í
<
ïî
，( )
( )
(
)
g x
f x
f
x
+
-
，则( )
g x （ ）
A．是偶函数，且在(0,
)
+¥ 单调递增
B．是偶函数，且在(0,
)
+¥ 单调递减
C．是奇函数，且在(0,
)
+¥ 单调递增
D．是奇函数，且在(0,
)
+¥ 单调递减
【答案】A
【分析】利用奇偶性的定义求解( )
g x 的奇偶性，求出( )
g x 在
0
x >
范围内的表达式，利用导数法得到( )
g x
在
0
x >
范围内的单调性.
【详解】
2
ln e
1 ,
0
( )
,
0
x
x
f x
x x
ì
+
³
ï
í
<
ïî
Q
，
( )
( )
(
)
g x
f x
f
x
\
+
-
的定义域为R ，
(
)
(
)
( )
( )
g
x
f
x
f x
g x
-
-
+
Q
，
( )
g x
\
是偶函数，
当
0
x >
时，
2
( )
ln e
1
x
f x
+
，
当
0
x
- <
时，
(
)
f
x
x
-
- ，
2
( )
( )
(
)
ln e
1
x
g x
f x
f
x
x
\
+
-
+
-
，
2
2
2
2
2e
e
( )
1
1
e
1
e
1
x
x
x
x
g x
¢
\
-
-
+
+ ，
0
x
Q
>
，
2
2
2
0
1,
1
,
e
e
e
0
1
x
x
x
\
>
+
>
>
-
，
2
2
e
0
e
1
1
x
x
-
\
>
+
，
( )
0
g x
¢
\
>
，
( )
g x
\
在
0, ¥
+
上是单调递增函数.
4．（2026·河北保定·一模）已知函数
1
( )
2
1
x
f x
x
-
+
在区间[
, ]
k k
-
上的值域为[ , ]
m n ，则m
n
+
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】依题意构造函数
1
( )
( )
2
g x
f x
-
，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数
( )
f x 的图象
关于点
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意，
1
( )
2
1
x
f x
x
-
+
，
,
x
k k
Î -
,
令函数
1
1
1
2
(2
1)
1
2
( )
( )
2
2
1
2
2(2
1)
2(2
1)
x
x
x
x
x
g x
f x
x
x
x
-
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
，
则
1
2
1
2
2
1
1
2
(
)
( )
0
2(2
1)
2(2
1)
2(2
1)
2(2
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
g
x
g x
x
x
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
-
+
+
+
+
+
，
所以( )
g x 为奇函数，图象关于(0,0) 对称，故
( )
f x 的图象关于点
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
因函数
( )
f x 在对称区间[
, ]
k k
-
上的值域为[ , ]
m n ，故
1
2
1
2
m
n
+
´
．
5．（2026·重庆·一模）已知函数
2
2
2
x
x
f x
+
-
+
，若关于m 的不等式
1
2
1
0
f m
f
m
-
-
+
<
成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
, 2
0,
-¥ -
È
+¥
B．
4
, 2
,
3
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
è
ø
U
C．
2
, 2
,
3
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
è
ø
U
D．
2
, 2
,
3
æ
ö
-¥ -
-
+¥
ç
÷
è
ø
U
【答案】D
【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可.
【详解】
2
1
2
2
4 2
2
x
x
x
x
f x
+
-
+
´
+
Q
，即
1
4 2
2
x
x
f x
´
+
，
1
ln 2 4 2
2
x
x
f
x
æ
ö
\
´
¢
-
ç
÷
è
ø ，
令
0
f
x
¢
，解得：
1
x - ，
当
1
x > - 时，4
2
2
1
x
x
´
>
，
1
ln 2 4 2
0
2
x
x
f
x
æ
ö
´
-
>
ç
÷
è
ø
¢
，则
f x 在区间
1, ¥
- +
单调递增；
当
1
x < - 时，4
2
2
1
x
x
´
<
1
ln 2 4 2
0
2
x
x
f
x
æ
ö
´
-
<
ç
÷
è
ø
¢
，
f x 在区间
, 1
¥
-
-
单调递减；
2
2
2
x
x
f x
+
-
+
Q
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
f
x
- - +
+
-
+
\
- -
+
+
即
2
f
x
f x
- -
，
f x
\
关于
1
x - 对称，
1
2
1
0
1
2
1
f m
f
m
f m
f
m
-
-
+
<
Þ
-
<
+
Q
，
1 1
2
1 1
m
m
\
- +
<
+ +
，即
2
2
m
m
<
+
，
两边平方得
2
3
8
4
0
m
m
+
+
>
，
解得
2
, 2
,
3
¥
¥
æ
ö
-
-
È -
+
ç
÷
è
ø ，
则实数m 的取值范围是
2
, 2
,
3
¥
¥
æ
ö
-
-
È -
+
ç
÷
è
ø .
6．已知函数
2
2
1
( )
log
1
2
1
x
f x
x
x
+
+
-
+
，若正实数a，b 满足
(2 )
(
1)
1
f
a
f b
+
-
，则1
6
3
1
a
b
+
+
的最小
值为（ ）
A．9
4
B．3
C．9
2
D．6
【答案】D
【分析】由题意可得
( )
(
)
1
f x
f
x
+
-
，根据复合函数单调性可得函数
f x 在R 上单调递减，进而可得
2
1
a
b
+
，再利用基本不等式求解即得.
【详解】由
2
2
1
( )
log
1
2
1
x
f x
x
x
+
+
-
+
，可知定义域为R ，
又
2
2
1
1
1
x
x
x
x
+ -
+ +
，即
2
2
1
1
1
x
x
x
x
+ -
+ +
，
则
2
2
2
2
1
2
(
)
log
1
log
1
2
1
1
2
x
x
x
f
x
x
x
x
x
-
-
+
+ +
-
+ -
+
+
，
所以
( )
(
)
1
f x
f
x
+
-
，
因为
2
1
t
x
x
+ -
在(
,0]
-¥
单调递减，
2
log
y
t
在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知，
2
2
log
1
y
x
x
+ -
在(
,0]
-¥
单调递减，
显然
1
2
1
x
y
+ 在R 上单调递减，所以函数
2
2
1
( )
log
1
2
1
x
f x
x
x
+
+
-
+
在(
,0]
-¥
单调递减．
令
2
2
log
1
g x
x
x
+ -
，
因为
1
2
2
2
2
2
2
log
1
log
1
log
1
g
x
x
x
x
x
x
x
g x
-
é
ù
-
-
+ +
+ +
+ -
-
ê
ú
ë
û
，
所以函数
g x 是定义在R 上的奇函数，故函数
2
2
log
1
y
x
x
+ -
在
0,+¥ 也单调递减，
所以函数
2
2
1
( )
log
1
2
1
x
f x
x
x
+
+
-
+
在定义域R 上单调递减．
正实数a，b 满足
(2 )
(
1)
1
(2 )
( 2 )
f
a
f b
f
a
f
a
+
-
+
-
，所以
(
1)
( 2 )
f b
f
a
-
-
故
1
2
b
a
- -
，即2
1
a
b
+
，所以6
3
1
4
a
b
+
+
，
1
6
1 1
6
(6
3
1)
3
1
4
3
1
a
b
a
b
a
b
æ
ö
\
+
+
+
+
ç
÷
+
+
è
ø
1
3
1
36
12
4
3
1
b
a
a
b
+
æ
ö
+
+
ç
÷
+
è
ø
1
3
1
36
12
2
6,
4
3
1
b
a
a
b
æ
ö
+
³
+
´
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
当且仅当
1
1
,
3
3
a
b
时，取等号，即1
6
3
1
a
b
+
+
的最小值为6．
7．（多选题）（2027 高三·全国·专题练习）对于函数
lg
2
1
f x
x
-
+
，下列说法正确的是（ ）
A．
2
f x +
是偶函数
B．
2
f x +
是奇函数
C．
f x 在区间
,2
-¥
上单调递减，在区间
2,+¥ 上单调递增
D．
f x 没有最小值
【答案】AC
【分析】先化简
2
f x +
判断奇偶性，再分析内层函数单调性结合对数函数单调性判断
f x 的单调区间与
最值．
【详解】
2
lg
1
f x
x
+
+
为偶函数，A 正确，B 错误；
作出
f x 的图象如图所示，可知
f x 在
,2
¥
-
上单调递减，在
2, ¥
+
上单调递增；
由图象可知函数存在最小值0，C 正确，D 错误．
故选：AC．
8．（多选题）（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.
sin2
2sin
f
x
x
x x
+
ÎR 的说法正确的是（ ）
A．
f x 为奇函数
B．
π
2
x
是
f x 图象的一条对称轴
C．
f x 为周期函数，且最小正周期为π D．
f x 的值域为
3 3 3 3
2
2
,
é
ù
-
ê
ú
ê
ú
ë
û
【答案】AD
【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D.
【详解】对于A，
sin
2
2sin
sin2
2sin
sin2
2sin
f
x
x
x
x
x
x
x
f x
-
-
+
-
-
-
-
+
-
，
f x
\
为奇函
数，故A 正确.
对于B，
π
π
π
sin 2
2sin
sin 2
2cos
2
2
2
f
x
x
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
π
π
π
sin 2
2sin
sin 2
2cos
2
2
2
f
x
x
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
π
π
2
2
f
x
f
x
æ
ö
æ
ö
\
+
¹
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
π
2
x
\
不是
f x 图象的一条对称轴，故B 错误；
对于C，
π
sin 2
π
2sin
π
sin 2
2sin
f x
x
x
x
x
é
ù
+
+
+
+
-
ë
û
，
π
f x
f x
\
¹
+
，
π
\
不是
f x 的周
期，故C 错误，
对于D，
2
2
2cos2
2cos
2 2cos
1
2cos
4cos
2cos
2
f
x
x
x
x
x
x
x
¢
+
-
+
+
-
，
令
0
f
x
¢
，即
2
4cos
2cos
2
0
x
x
+
-
，解得
1
cos
2
x
或cos
1
x - ，
当cos
1
x - 时，sin
0
x
，
0
f x
，
当
1
cos
2
x
时，
3
sin
2
x ±
，
2sin cos
2sin
3sin
f x
x
x
x
x
+
，故函数极值为
3
3 3
3
2
2
æ
ö
´ ±
±
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
f x
\
的值域为
3 3 3 3
,
2
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
，故D 正确.
9．（25-26 高三上·安徽·月考）已知函数
1
0
1
1
x
x
a
f x
ax
a
a
-
-
<
<
+
，则关于x 的不等式
2
2
3
0
f x
f
x
+
+
-
>
的解集是__________．
【答案】
1,2
【分析】根据奇函数的定义，可得
f x 为奇函数，根据指数函数，一次函数的单调性，分析可得
f x 的
单调性，根据条件，整理可得
2
2
3
x
x
+
<
，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】因为
1
0
1
1
x
x
a
f x
ax
a
a
-
-
<
<
+
，定义域为R，
所以
1
1
1
1
1
( )
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
a
f
x
a
x
ax
ax
ax
f x
a
a
a
a
-
-
-
æ
ö
-
-
-
-
-
-
+
+
-
-
-
ç
÷
+
+
+
è
ø
+
，
所以
f x 为奇函数，
又
1
2
1
1
1
x
x
x
a
f x
ax
ax
a
a
-
-
-
-
+
+
，
因为0
1
a
<
< ，所以
x
y
a
在R 上单调递减，则
2
1
x
y
a
+ 在R 上单调递增，
又y
ax
-
在R 上单调递减，所以
2
1
1
x
f x
ax
a
-
-
+
在R 上单调递减，
因为
2
2
3
0
f x
f
x
+
+
-
>
，
所以
2
2
3
3
f x
f
x
f
x
+
> -
-
，则
2
2
3
x
x
+
<
，
即
2
3
2
0
x
x
-
+
<
，解得1
2
x
<
<
，即解集为
1,2 .
故答案为：
1,2
10．已知函数
3
ln
1
0,
2
x
f x
ax
b x
a
b
x
+
+
+
¹
Î
+
R ，
2
f x
f
x
+
- -
______；
2
1
2024
2025
2026
2027
f
f
f
f
b
a
+
+
-
+
-
-
+
的最小值是______．
【答案】
2a
-
4
【分析】求得
2
f
x
- -
，直接运算可得
2
2
f x
f
x
a
+
- -
-
，所以
1
1
2024
2025
2026
2027
4
f
f
f
f
a
a
a
+
+
-
+
-
-
-
-
，由基本不等式求得其最小值，结合
2
b 的最小值
为0 ，可得
2
1
2024
2025
2026
2027
f
f
f
f
b
a
+
+
-
+
-
-
+
的最小值.
【详解】由
0
2
x
x >
+
，得
2
0
x x +
>
，解得
2
x < - ，或
0
x >
.
所以函数
3
ln
1
0,
2
x
f x
ax
b x
a
b
x
+
+
+
¹
Î
+
R 的定义域为
, 2
0,
-¥ -
È
+¥ .
3
3
2
2
2
ln
2
2 1
ln
2
1
x
x
f
x
a
x
b
x
ax
a
b x
x
x
- -
+
- -
+
- -
+
- -
+
-
-
-
+
-
.
所以
2
2
ln
·
2
2
2
x
x
f x
f
x
a
a
x
x
+
æ
ö
+
- -
-
-
ç
÷
+
è
ø
.
所以
2024
2026
2024
2024
2
2
f
f
f
f
a
+
-
+
-
-
-
，
2025
2027
2025
2025
2
2
f
f
f
f
a
+
-
+
-
-
-
.
所以
2024
2025
2026
2027
2024
2026
2025
2027
4
f
f
f
f
f
f
f
f
a
é
ù
é
ù
+
+
-
+
-
+
-
+
+
-
-
ë
û
ë
û
.
因为4a 与1
a 同号，
所以
1
1
1
1
2024
2025
2026
2027
4
4
2 4
·
4
f
f
f
f
a
a
a
a
a
a
a
+
+
-
+
-
-
-
-
+
³
，
当且仅当
1
4a
a
，即
1
2
a
，即
1
2
a ±
时，等号成立.
因为
2
0
b ³
，所以当且仅当
1 ,
0
2
a
b
±
时，
2
1
2024
2025
2026
2027
f
f
f
f
b
a
+
+
-
+
-
-
+
取得最小值，最小值是4 .
故答案为：①2a
-
；②4 .
11．（25-26 高三上·河南濮阳·月考）已知函数
3
e
e
x a
x
f x
x
b
-
-
-
-
-
存在对称中心，求
2
4
a
b
-
的最小值
________
【答案】1
-
【分析】设函数
f x 存在对称中心
,
m n ，由
2
2
f x
f
m
x
n
+
-
列式可得
2
2
a
b
m
，
0
n
，进而结
合二次函数的性质求解即可.
【详解】设函数
f x 存在对称中心
,
m n ，
由
2
2
f x
f
m
x
n
+
-
，
则
3
3
2
2
e
e
2
2
e
e
m x
x a
x
m x a
n
x
b
m
x
b
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
-
+
-
，
即
2
2
2
2
3
2
2
3
e
e
e
e
6
6
12
12
8
12
6
2
2
x a
x
m
m a x
x
b
m x
m
mb x
m
m b
mb
b
n
-
-
- -
-
-
+
-
+
-
+
-
-
+
-
+
，
即
2
2
2
2
3
2
2
3
e
e
e
e
e
1
6
6
12
12
8
12
6
2
2
x
a
m
x
m a
b
m x
m
mb x
m
m b
mb
b
n
-
-
-
-
-
+
-
+
-
+
-
-
+
-
+
则
2
2
2
3
2
2
3
e
e
e
1
6
6
0
12
12
0
8
12
6
2
2
a
m
m a
b
m
m
mb
m
m b
mb
b
n
-
-
-
ì
ï
ïï
-
í
ï
-
ï
ï-
+
-
+
î
，
2
3
2
2
3
2
2
0
6
6
0
12
12
0
8
12
6
2
2
a
m
m
a
b
m
m
mb
m
m b
mb
b
n
ì
ï
-
ïï
-
í
ï
-
ï
-
+
-
+
ïî
解得
2
2
a
b
m
，
0
n
，
则
2
2
2
4
2
1
1
a
b
a
a
a
-
-
-
- ，
所以
1
a 时，
2
4
a
b
-
取得最小值1
- .
故答案为：1
- .
题型4 函数f(f(x))的零点问题
1．（2025·山东临沂·三模）已知函数
2
ln ,
0
2
,
0
x x
f x
x
ax x
>
ì
í-
+
£
î
，若函数
y
f
f x
有8 个零点，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
1
a >
B．
0
a <
C．1
0
a
- <
<
D．
1
a < -
【答案】D
【分析】根据题意对实数a 进行讨论，分
0
a ³
，
0
a <
，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求
解.
【详解】⑴ 当
0
a ³
，
0
x £
时，
2
2
f x
x
ax
-
+
，对称轴为
0
x
a
³
，
所以
f x 在
0
¥
- ，单调递增，函数图象如下：
令
f x
t
，
0
y
f
f x
f t
，解得
0
t
或
1
t ，
即
0
f x
t
或
1
f x
t
，根据图象
0
f x
t
有2 个解，
1
f x
t
有1 个解，
所以此时
y
f
f x
有3 个零点，不符合题意；
当
0
a <
，
0
x £
时，
2
2
f x
x
ax
-
+
，对称轴为
0
x
a
<
，
所以
f x 在
,a
¥
-
单调递增，在
,0
a
单调递减，函数图像如下：
令
f x
t
，
0
y
f
f x
f t
，解得
2
t
a
或
0
t
或
1
t ，
根据图象
2
0
f x
t
a
<
有2 个解，
0
f x
t
有3 个解，
又
y
f
f x
有8 个零点，所以
1
f x
t
要有3 个解，
即
2
0
1
a
f a
a
<
ì
í
>
î
，解得
1
a < - ，
故选：D.
2．（25-26 高三上·吉林四平·月考）已知函数
2
4
,
0
ln
2,
0
x
x
f x
x
x
ì -
£
ï
í
+
>
ïî
，若函数
g x
f
f x
t
- 恰有5 个零
点，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
2
2,e ùû
B．
ln2
2,4
+
C．
ln2
2,2ln2
2
+
+
D．
2, 4
【答案】C
【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.
【详解】由
g x
f
f x
t
- 恰有5 个零点，
则关于x 的方程
f
f x
t
恰有5 个相异实根，
令
f x
m
，问题转化为满足
f x
m
f m
t
ì
ïí
ïî
的x 恰有5 个不同的解.
作出函数
f x 的图象，如图所示，
由图易得：当
2
t <
时，关于m 的方程
f m
t
仅有一个实根
0
m ，且
0
0
m <
，
此时
0
f x
m
仅有1 个实根，不合题意；
当
2
t
时，
f m
t
仅有两个相异实根
2,1
-
，
而
2,
1
f x
f x
-
各仅有1 个实根，不合题意；
当2
4
t
< £
时，
f m
t
仅有3 个实根
1
2
3
,
,
m m m ，
且
2
1
2
3
0
1
e ,
1,2
i
m
m
m
f x
m i
£
<
< <
£
各仅有1 个实根，
且两实根均小于
3
-
，则
3
f x
m
有三个实根，必有
3
2
4
m
<
£
，
所以
ln2
2
2
4
2ln2
2
f
t
f
+
< £
+
.
又2
4
t
< £
，所以ln2
2
2ln2
2
t
+
< £
+
，此时的5 个实根互不相等，
即
g x 恰有5 个零点；
当
4
t >
时，
f m
t
仅有2 个相异实根
4
5
,
m m ，且
2
4
5
2
1
0
,
e
e
m
m
<
<
>
，
此时
4
f x
m
仅有1 个实根，
5
f x
m
有2 个实根，不合题意.
所以实数t 的取值范围为
ln2
2,2ln2
2
+
+
.
故选：C
3．（多选题）设函数
2
2
1
2
1,
0
2
log
,
0
x
x
x
f x
x
x
ì-
+
+
³
ï
í
ï
-
<
î
，若函数
y
f
f x
af x
-
恰有4 个不同的零点
1
x ，
2x ，
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
33
1
8
4
x
x
x
x
-
£
+
+
+
£ -
，则实数a 可以是（ ）
A．2
3
B．5
6
C．7
6
D．4
3
【答案】CD
【分析】令
t
f x
，则
f t
at
，由选项可知实数a 均满足
3
0
2
a
<
<
，可得
0
f x
t
，分类讨论
5
0
6
a
<
£
和5
3
6
2
a
<
<
两种情况，结合图象分析交点以及零点的性质，进而求解即可.
【详解】作出函数
y
f x
的图象，如图所示，
令
0
y
f
f x
af x
-
，即
f
f x
af x
，
令
t
f x
，则
f t
at
，
由选项可知实数a 均满足
3
0
2
a
<
<
，则
y
f t
与y
at
有且仅有一个交点0t ，即
0
f x
t
.
且
2
3
G
，
5
3
2
G
，即
2
3
2
2
G
，
3
5
3
6
G
.
对于选项AB：若
5
0
6
a
<
£
，则
0
3
f x
t
³
，
可知
y
f x
与
0
y
t
至多有3 个交点，不合题意，故AB 错误；
对于选项CD：若5
3
6
2
a
<
<
，则
0
2,3
f x
t
Î
，
可知
y
f x
与
0
y
t
有4 个交点，
不妨设
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则
1
2
1
1
4,
4
8
8
x
x
< -
-
<
< -
- <
，
3
4
4
x
x
+
，
因为
1
2
f x
f x
，即
2
1
2
2
log
log
x
x
-
-
，
可得
2
1
2
2
2
1
2
log
log
log
0
x
x
x x
-
+
-
，则
1
2
1
x x ，即
1
2
1
x
x
，
可得
1
2
3
4
1
1
1
4
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
，
1
8
4
x
- <
< - ，
令
1
4
g x
x
x
+
+
，可知
g x 在
8, 4
-
-
内单调递增，
且
33
8
8
g -
-
，
1
4
4
g -
-
，可得
g x 在
8, 4
-
-
内的值域为
33
1
,
8
4
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，
即
1
2
3
4
33
1
8
4
x
x
x
x
-
<
+
+
+
< -
，符合题意，故CD 正确；
故选：CD.
4．（25-26 高三下·天津红桥·开学考试）已知函数
1
2
2 ,
0
log
,
0
x
a
x
f x
x
x
ì ×
£
ï
í
>
ïî
，若关于x 的方程
0
f
f x
é
ù
ë
û
有
且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是________.
【答案】(
,0)
(0,1)
-¥
U
【分析】根据
0
x >
时的解析式，结合条件，可得
1
2
x
为符合条件的解，则
0
x £
时，
( )
1
f x 没有实数
解，分别讨论
0
a <
、
0
a
和
0
a >
三种情况，根据指数函数的单调性，分析即可得答案.
【详解】令
( )
t
f x
， 由
0
f
f x
é
ù
ë
û
有且仅有一个实数解，得
( )
0
f t
有且仅有一个实数解，
当
0
t >
时，令
1
2
( )
log
0
f t
t
，解得
1
t ，
所以
( )
1
t
f x
有且仅有一个实数解，
当
0
x >
时，令
( )
1
f x ，解得
1
2
x
，为一个确定的解，符合题意，
所以当
0
x £
时，
( )
1
f x 没有实数解，
当
0
a <
时，
( )
2
0
x
f x
a
×
<
，符合题意；
当
0
a
时，
( )
0
f x
，在(
,0]
-¥
上恒成立，
所以
( )
(0)
0
f
f x
f t
f
é
ù
ë
û
在(
,0]
-¥
上有无数个解，不符合题意；
当
0
a >
时，
( )
2x
f x
a
×
单调递增，只需
(0)
1
f
a
< 即可，
综上，实数a 的取值范围是(
,0)
(0,1)
-¥
U
.
5．（2026·河北·一模）已知函数
1
f x
x
a x
-
+ ，当方程
f
f x
f x
的实数根的个数最多时，a 的
取值范围是________.
【答案】1
2
a
£
<
或
2
a >
.
【分析】令
t
f x
，考虑方程
f t
t
的解，根据题设条件可得
0
a >
，且
2
1
1
0
x
a x
a
-
+ -
有两个不同
的解，结合换元法和根分布可求a 的取值范围.
【详解】令
t
f x
，考虑方程
f t
t
的解即
1
t
a t
t
-
+ ，即
1
a t ，
若
0
a £
，此时
1
a t 无解，故
f t
t
无解，
故
f
f x
f x
的实数根的个数为零.
若
0
a >
，则
f t
t
的解为
2
1
t
a
，
下面考虑
2
1
1
x
a x
a
-
+
的解即方程
2
1
1
0
x
a x
a
-
+ -
的解，
若
f
f x
f x
的实数根的个数最多，则
2
1
1
0
x
a x
a
-
+ -
有两个不同的解，
令s
x
，故
2
2
1
1
0
s
as
a
-
+ -
在
0,+¥ 上有两个不同的解，
故
2
2
2
0
1
1
0
1
4 1
0
a
a
a
a
ì
ï >
ï
ï -
³
í
ï
ï
æ
ö
-
-
>
ï
ç
÷
è
ø
î
，故1
2
a
£
<
或
2
a >
.
题型5 函数f(g(x))的零点问题
对于嵌套型复合函数
[ ( )]
y
f g x
=
的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数
( )
u
g x
=
和外层函数
( )
y
f u
=
；
（2）确定外层函数
( )
y
f u
=
的零点
(
1,2,3,.
.
.
. )
i
u
u i
n
=
=
；
（3）确定直线
(
1,2,3,.
.
.
. )
i
u
u i
n
=
=
与内层函数
( )
u
g x
=
图象的交点个数分别为，
1
2
3
,
,
.......,
n
a a a
a 则函数
[ ( )]
y
f g x
=
的零点个数为
1
2
3.......
n
a
a
a
a
+
+
+
.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
1．已知函数
3
4 ,
0
log
,
0
x
x
f x
x
x
x
ì +
>
ï
í
ï
-
<
î
，
2
g x
x
ax
b
+
+
，其中,a b 均为实数．若方程
0
é
ù
ë
û
g
f x
有且仅有
5 个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ）
A．972
-
B．486
-
C．324
-
D．162
-
【答案】A
【分析】画出
f x 的图象，令
f x
t
，根据函数图象可得
0
g t
有两个不等实根
1
2
1
2
,
t t
t
t
<
，且
1
f x
t
有两个整数根，
2
f x
t
有三个整数根，数形结合得到1
4
t
，此时两个整数根分别为2 和81
-
，
数形结合得到
2
f x
t
三个整数根中，必有一个小于2，只有
1
x 满足要求，故2
5
t
，求出五个整数根分
别为243
-
，81
-
，1，2，4，即可得到答案.
【详解】令
f x
t
，则
2
0
g t
t
at
b
+
+
，
根据
f x 的图象可知，要满足题意必须
0
g t
有两个不等实根
1
2
1
2
,
t t
t
t
<
，
且
1
f x
t
有两个整数根，
2
f x
t
有三个整数根，
结合图象，当
1
y
t
与
4
y
x
x
+
相切时满足要求，
4
y
x
x
+
Q
在
0 2,
上单调递减，在
2,+¥ 上单调递增，
故当
2
x
时，
4
y
x
x
+
取得最小值，最小值为
4
2
4
2
y
+
，故1
4
t
，
又
3
log
y
x
-
，
0
x <
，其在定义域内单调递减，令
3
log
4
x
-
，解得
81
x -
，
故
1
4
f x
t
时，有两个整数根，分别为2 和81
-
，
由图象可知，
2
f x
t
的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有
1
x 满足要求，
此时
1
1
4
5
f
+
，故2
5
t
，令
4
5
x
x
+
，解得另一个根为4，
又
3
log
5
x
-
，解得
243
x -
，
故五个整数根分别为243
-
，81
-
，1，2，4，
所以最大整数解和最小整数解之积为243 4
972
-
´
-
．
故选：A．
2．已知函数
1 ,
0
2,
0
x
x
f x
x
x
x
ì +
>
ï
í
ï +
£
î
，
2
2
1
g x
x
x
-
-
+ ，若方程
0
f g x
a
-
有四个不同的实数根，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
5
2, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
5
2, 2
é
ö
÷
êë
ø
C．
2,+¥
D．
2,+¥
【答案】B
【分析】作出
( ), ( )
f x g x 图象，问题转化为
( )
f t
a
必须有两个小于2 的不同根，数形结合得解.
【详解】令( )
g x
t
，则
( )
f t
a
，如图，
由图像可知，
( )
f t
a
和( )
g x
t
均最多有2 个不同的根，
所以要使得
0
f g x
a
-
有四个不同的解，则
( )
f t
a
必须有两个小于2 的不同根，由
( )
y
f x
的图像可
得实数a 的取值范围是
5
2, 2
é
ö
÷
êë
ø.
故选：B
3．（25-26 高三上·重庆南岸·月考）已知
ex
f x
，
3
2,
0
3eln
,
0
x
x
x
g x
x x
x
ì-
+
£
ï
í
>
ïî
，若函数
y
f g x
ag x
a
-
-
恰有4 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
3e
1, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
2e
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
e
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
2
3
e
e
,
3
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】A
【分析】利用导数研究函数
g x 的单调性，进而作出函数
g x 的图像，令
t
g x
，要使得函数
y
f g x
ag x
a
-
-
恰有4 个零点，则关于t 的方程
e
1
t
a t
+
要有两个根1
2
,
t t ，不妨设
1
2
0
3,
3
t
t
<
<
>
或2
0
t <
，即
e
1
t
a
t
+
，令
e
1
t
h t
t
+ ，利用导数研究单调性，进而作出
h t 的图像，利用数形结合即可求
解.
【详解】由题意有：当
0
x £
时，
3
2
g x
x
x
-
+
，由
2
3
2
0
g
x
x
x
¢
-
+
<
，所以
g x 在
,0
-¥
单调递
减，
当
0
x >
时，
3eln x
g x
x
，所以
2
3e 1 ln x
g
x
x
¢
-
，
由
0
0
e,
0
e
g
x
x
g
x
x
>
Þ
<
<
Þ
¢
¢
，所以
g x 在
0,e 单调递增，在
e, ¥
+
单调递减，
作出
g x 的图像：
令
t
g x
，由
0
f g x
ag x
a
-
-
有
0
e
1
t
f t
at
a
a t
-
-
Þ
+
，
由图可知，要使得函数
y
f g x
ag x
a
-
-
恰有4 个零点，
则关于t 的方程
e
1
t
a t
+
要有两个根1
2
,
t t ，不妨设
1
2
0
3,
3
t
t
<
<
>
或2
0
t <
，
由
e
1
t
a t
+
有
e
1
t
a
t
+
，令
e
1
t
h t
t
+ ，所以
2
e
1
t
t
h t
t
¢
+
，
当
0
t >
时，
0
h t
¢
>
，当1
0
t
- < <
或
1
t < - 时，
0
h t
¢
<
，
所以
h t 在
0, ¥
+
单调递增，在
, 1 ,
1,0
¥
-
-
-
单调递减，
所以
3e
0
1,
3
4
h
h
，
作出
h t 的图像：
由图可知：当
3e
1
4
a
<
<
时，直线y
a
与
h t 的图像的两个交点的横坐标1
2
,
t t 满足
1
2
0
3,
3
t
t
<
<
>
或2
0
t <
，
所以实数a 的取值范围为
3e
1, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
故选：A.
4．已知函数
2
3
1,
0
2
,
0
x
x
f x
x
x x
ì
-
³
í-
-
<
î
，若关于x 的不等式
2
0
f x
f x
t
-
-
<
有且只有一个整数解，则实
数t 的取值范围为___________．
【答案】
1,0
8,26
-
È
【分析】根据二次不等式的解法，求出函数值域的范围，根据分段函数性质，对函数值进行分类讨论，列
出不等式，求出参数范围即可.
【详解】函数
3
1
x
y
- 在
0,+¥ 上单调递增，
函数
2
2
y
x
x
-
-
在
1
,
4
æ
ö
-¥ -
ç
÷
è
ø上单调递增，在
1 ,0
4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上单调递减，
且
1
1
f -
- ，
0
0
f
，
1
1
2
4
f æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
1
2
f
，
2
8
f
，
3
26
f
，
2
0
f x
f x
t
-
-
<
有且只有一个整数解可知解集非空，则
2
t ¹
，因为
1
2
f
，
可知当
2
t >
时，即
2
f x
t
<
< ，即
1
f
f x
t
<
< ，x 有且只有一个整数解则只有
2
3
f
t
f
< £
时才能
成立，即8
26
t
< £
，此时整数解为
2
x
；
当
2
t <
时，即
2
t
f x
<
<
，即
1
t
f x
f
<
<
，x 有且只有一个整数解则只有
1
0
f
t
-
£ <
时才能成立，
即1
0
t
- £ <
，此时整数解为
0
x
，
综上．t 的取值范围为
1,0
8,26
-
È
．
5．已知函数
f x 是定义在
0,+¥ 的单调函数，且对于任意的
0,
xÎ
+¥ ，都有
2
f
f
x
x
é
ù
-
ë
û
，若关
于x 的方程
2
f x
x
k
+
+
恰有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围为__________.
【答案】
13
3, 4
é
ö
÷
êë
ø
【分析】根据题意，设
t
f x
x
-
，得到
f x
x
t
+ ，结合
2
f t
，求得
1
f x
x
+ ，把方程转
化为
2
y
x
x
+
-
和
1
y
k
- 有两个交点，设
2
m
x
+
，得到
2
2
g m
m
m
-
+
+
，结合二次函数的性
质，得到max
9
4
g m
和
0
2
g
，即可求解.
【详解】因为函数
f x 是
0, ¥
+
的单调函数，且对于任意的
0,
xÎ
+¥ ，都有
2
f
f x
x
é
ù
-
ë
û
，
所以
f x
x
-
为定值，设
t
f x
x
-
，可得
f x
x
t
+ ，
又由
2
f t
可得
2
t
t
+
，即
2
2
0
t
t
+
-
，解得
1
t 或
2
t - （舍去），
所以
1
t ，故
1
f x
x
+ ，
方程
2
f x
x
k
+
+
即
2
1
x
x
k
+
+
+
，即
2
1
x
x
k
+
+ -
，
依题意，关于x 的方程
2
1
x
x
k
+
-
- 恰有两个实数根，则函数
2
y
x
x
+
-
和
1
y
k
- 有两个交点，
设
2
m
x
+
，则
2
2
x
m
+
，即
2
2
x
m
-
且
0
m ³
，
则函数
2
y
x
x
+
-
即
2
2,
0
g m
m
m
m
-
+
+
³
，该函数的对称轴为直线
1
2
m
，
当
1
[0, ]
2
mÎ
时，函数
g m 单调递增；当
1
[ ,
)
2
mÎ
+¥ 时，函数
g m 单调递减，
所以max
1
9
( )
2
4
g m
g
，且
0
2
g
，当x ® +¥ 时，
g m
¥
® -
，
要使得方程
2
f x
x
k
+
+
恰有两个不等的实数根，可得
9
2
1
4
k
£
- <
，解得
13
3
4
k
£
<
，
即实数k 的取值范围为
13
3, 4
é
ö
÷
êë
ø .
故答案为：
13
3, 4
é
ö
÷
êë
ø .
题型6 函数a[f(x)]2+bf(x)+c的零点问题
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
y
f x
是定义域为R 的偶函数．当
0
x ³
时，
16
1
,0
2
2
log
,
2
x
x
f x
x x
ìæ
ö
£
<
ïç
÷
íè
ø
ï
³
î
，若关于x 的方程
2
0
,
f x
a f x
b
a b
é
ù +
×
+
Î
ë
û
R 有且只有7 个不同实数根，则
a
b
+
的值是（ ）
A．2
-
B．1
-
C．0
D．1
【答案】B
【分析】由题可得出函数
y
f x
的相关性质并作出图像，令
f x
t
，方程转化为
2
0
t
at
b
+
+
，根据原
方程解得个数可确定转化后方程根的分布情况，由根的分布即可解题.
【详解】函数
f x 的性质，
f x 在
, 2
-¥ -
和［0，2］上是减函数，
在
2,0
-
和
2,+¥ 上是增函数，
0
x
时，函数取极大值1时，
2
x ± ，函数取极小值1
4 ，当
16
x ³
时，
1
f
x ³ ，
因此方程
2
0
f x
af x
b
é
ù +
+
ë
û
有且只有7 个不同实数根，
设
f x
t
则方程
2
0
t
at
b
+
+
必有两个根1
2
,
t t ，
其中1
2
1
1,
,1
4
t
t
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，由此可得1
0
a
b
+
+
= ，所以
1
a
b
+
- .
故选：B．
2．（25-26 高三上·山东聊城·期末）已知函数
2
4
3,
0,
ln
,
0,
x
x
x
f x
x x
ì-
-
-
£
ï
í
>
ïî
，若函数
2
6
2
3
h x
f x
m
f x
m
-
+
+
é
ù
ë
û
有6 个不同的零点，则实数m 的范围是（ ）
A．
9,0
3,
-
+¥
U
B．
6,0
3,
-
+¥
U
C．
9,0
2,+
-
¥
U
D．
3,0
1,
-
+¥
U
【答案】A
【分析】根据解析式画出
f x 的草图，将问题化为
y
f x
的图像与直线
1
2
y
和
3
m
y
，共有6 个交
点，数形结合有
y
f x
的图像与直线
3
m
y
有2 个交点，从而得解.
【详解】画出函数
f x 的图像如图所示，
函数
2
6
2
3
h x
f x
m
f x
m
é
ù
-
+
+
ë
û
有6 个零点，
等价于
2
6
2
3
0
f x
m
f x
m
é
ù -
+
+
ë
û
有6 个解，
即
1
2
f x
或
3
m
f x
共有6 个解，
等价于
y
f x
的图像与直线
1
2
y
和直线
3
m
y
，共有6 个交点，
由图得
y
f x
的图像与直线
1
2
y
有4 个交点，
所以
y
f x
的图像与直线
3
m
y
有2 个交点，
所以3
0
3
m
- £
<
或
1
3
m > ，解得9
0
m
- £
<
或
3
m >
，
即实数m 的取值范围是
9,0
3, ¥
-
È
+
.
故选：A.
3．已知函数
ln ,
0
( )
e
2,
0
x
x x
f x
x
-
ì
>
í
+
£
î
，若有另一函数
2
( )
( )
2 ( ) 1 2
g x
af
x
f x
a
-
+ -
有且仅有5 个不同零点，则
常数a 的取值范围为（ ）
A．1 5
,
2 7
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．2 3
,
3 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．1 5
[ , ]
2 7
【答案】C
【分析】先分析函数
( )
f x 的图象和性质，再令
( )
f x
t
，得当0
3
t
< <
时，方程
( )
f x
t
有两个不同的根；当
3
t ³
时，方程
( )
f x
t
有三个不同的根；再将函数( )
g x 有5 个零点转化为函数
2
( )
2
1 2
g t
at
t
a
-
+ -
有2 个
零点，且一个零点在(0,3) ，另一个零点在[3,
)
+¥ ，再由二次函数的零点分布可得结果.
【详解】由函数
ln ,
0
( )
e
2,
0
x
x x
f x
x
-
ì
>
í
+
£
î
，
当
0
x £
时，
1
( )
e
2
2
e
x
x
f x
-
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
，所以函数
( )
f x 在(
,0]
-¥
上单调递减；
当0
1
x
<
< 时，
( )
ln
f x
x
-
，所以函数
( )
f x 在( 0, 1) 上单调递减；
当
1
x ³ 时，
( )
ln
f x
x
，所以函数
( )
f x 在[1,
)
+¥ 上单调递增；函数图象如下：
令
( )
f x
t
，由函数
( )
f x 的图象及性质可知，
当0
3
t
< <
时，方程
( )
f x
t
有两个不同的根；当
3
t ³
时，方程
( )
f x
t
有三个不同的根；
函数
2
( )
( )
2 ( ) 1 2
g x
af
x
f x
a
-
+ -
有且仅有5 个不同零点，
就等价于函数
2
( )
2
1 2
g t
at
t
a
-
+ -
有2 个零点，且一个零点在(0,3) ，另一个零点在[3,
)
+¥ .
当
0
a
时，( )
2
1
g t
t
-
+ 只有一个零点，不符合题意；
所以
0
a ¹
，此时二次函数
2
( )
2
1 2
g t
at
t
a
-
+ -
，且
2
( 2)
4 (1 2 )
Δ
a
a
-
-
-
2
8
4
4
a
a
-
+
2
1
7
8(
)
0
4
2
a
-
+
>
恒
成立.
当
0
a >
时，对称轴
1
0
x
a
>
，
0
(0)
1 2
0
(3)
7
5
0
a
g
a
g
a
>
ì
ï
-
>
í
ï
-
£
î
，
0
1
2
5
7
a
a
a
ì
ï >
ïï <
í
ï
ï £
ïî
，解得
1
0
2
a
<
<
；
当
0
a <
时，此时对称轴
1
0
x
a
<
，二次函数
2
( )
2
1 2
g t
at
t
a
-
+ -
在(0,
)
+¥ 上至多有一个根，故不符合题
意.
综上可知，常数a 的取值范围为
1
(0, )
2 .
故选：C.
4．（多选题）已知函数
1 2 ,
0,
2
1,
0,
x
x
x
f x
x
ì -
£
í
-
>
î
若方程
2
1
3
0
3
f x
k
f x
k
æ
ö
é
ù -
+
+
ç
÷
ë
û
è
ø
有三个不等的实根，则
整数k 的可能取值是（ ）
A．8
-
B．4
-
C．8
D．16
【答案】CD
【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可.
【详解】如图，作出函数
f x 的大致图象，
由
2
1
3
0
3
f x
k
f x
k
æ
ö
é
ù -
+
+
ç
÷
ë
û
è
ø
，可得
1
3
0
3
f x
f x
k
é
ù é
ù
-
×
-
ë
û
ê
ú
ë
û
.
由图可知，
1
3
y
与
( )
y
f x
有且两个不同的交点，
即方程
1
3
f x
有两个不等的实根，
而方程
2
1
3
0
3
f x
k
f x
k
æ
ö
é
ù -
+
+
ç
÷
ë
û
è
ø
有三个不等的实根
得到方程
3
f x
k
有且只有一个实根，
即
3
y
k
与
( )
y
f x
有且只有一个交点，
故3
0
k
或3
1
k ³ ，解得
0
k
或
1
3
k ³
.
故选：CD.
5．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数
π
sin
0 ,
0,π
3
f x
x
x
w
w
æ
ö
+
>
Î
ç
÷
è
ø
，关于x 的方程
2
2
2
3
3
0
f
x
f
x
-
+
+
有6 个不同的实数根，则w 的取值范围为_______________.
【答案】7 ,4
3
æ
ù
ç
ú
è
û
【分析】问题化为
π
π
π
[
,
π
)
3
3
3
x
w
w
+
Î
+
上
3
( )
2
f x
有4 个不同实根，且
( )
1
f x 有2 个不同实根，结合正
弦函数的图象得8π
π
13π
π
3
3
3
w
<
+
£
，即可得.
【详解】
2
2
2
3
3
[2 ( )
3][ ( ) 1]
0
f
x
f x
f x
f x
-
+
+
-
-
共有6 个不同的实根，
由
π
π
π
[
,
π
)
3
3
3
x
w
w
+
Î
+
，则
3
( )
2
f x
有4 个不同实根，且
( )
1
f x 有2 个不同实根，
根据正弦函数的图象知8π
π
13π
π
3
3
3
w
<
+
£
，可得7
4
3
w
<
£
.
故答案为：7 ,4
3
æ
ù
ç
ú
è
û
6．设函数
1
2
1,
0
ln ,
0
x
x
f x
x x
+
ì
+
£
ï
í
>
ïî
，若关于x 的函数
2
2
4
g x
f
x
a
f x
-
-
+
恰好有6 个零点，则实数a
的取值范围是__________.
【答案】
19
6, 3
æ
ù
ç
ú
è
û
【分析】先画出
f x 的图像，设
t
f x
，由关于x 的函数
2
2
4
g x
f
x
a
f x
-
-
+
恰好有6 个零
点，得到
2
( )
2
4
h t
t
a
t
-
-
+
有两个不同的根1
2
,
t t ，则1t 对应
1
x 的值有3个，2t 对应
2x 的值有3个，故
1
1
3
t
<
£
，
2
1
3
t
<
£
，数形结合列不等式组可求实数a 的取值范围.
【详解】
1
2
1,
0
ln ,
0
x
x
f x
x x
+
ì
+
£
ï
í
>
ïî
的图像为：
设
t
f x
，
则
2
2
4
g x
f
x
a
f x
-
-
+
转化为
2
( )
2
4
h t
t
a
t
-
-
+
，
Q关于x 的函数
2
2
4
g x
f
x
a
f x
-
-
+
恰好有6 个零点，
2
( )
2
4
h t
t
a
t
\
-
-
+
有两个不同的根1
2
,
t t ，
且
1
1
2
2
,
t
f x
t
f x
，则1t 对应
1
x 的值有3个，2t 对应
2x 的值有3个，
1
1
3
t
\ <
£
，
2
1
3
t
<
£
，
(1)
0
(3)
0
2
1<
3
2
Δ
0
h
h
a
>
ì
ï
³
ïï
\í
-
<
ï
ï
>
ïî
，
2
2
2
1
2
4
0
3
3
2
4
0
2
1<
3
2
2
16
0
a
a
a
a
ì
-
-
+
>
ï
-
-
+
>
ïï
\
-
í
<
ï
ï
-
-
>
ïî
，
19
6
3
a
\ <
£
，
\实数a 的取值范围是
19
(6,
]
3 .
故答案为：
19
(6,
]
3 .
1．（2025·江西·一模）函数
2
2
log
2
f x
x
x
-
的单调递增区间为（ ）
A．
1,+¥
B．
1
2,
é +
+¥
ë
C．
2,+¥
D．
1
3,
+
+¥
【答案】B
【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】由
2
2
log
2
0
x
x
-
³
且
2
2
0
x
x
-
>
，得
2
2
1
x
x
-
³ ，即
1
2
x £ -
或
1
2
x ³ +
，
所以函数
2
2
log
2
f x
x
x
-
的定义域为
,1
2
1
2,
ù
é
-¥
-
+
+¥
û
ë
U
，
因为
2
2
2
1
1
y
x
x
x
-
-
- 在
,1
2
¥
ù
-
-
û 上单调递减，在
1
2, ¥
é +
+
ë
上单调递增，
又函数
2
log
y
x
为增函数，
所以函数
2
2
log
2
y
x
x
-
在
,1
2
¥
ù
-
-
û 上单调递减，在
1
2, ¥
é +
+
ë
上单调递增，
又函数y
x
为增函数，
所以函数
2
2
log
2
f x
x
x
-
的单调递增区间为
1
2,
é +
+¥
ë
.
故选：B.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知
π ,π
6
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，则函数
sin
1
2
x
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
的最大值是（ ）
A．
1
2
B．1
C．2
D．2
【答案】C
【分析】令
sin
u
x
，
1
2
u
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，利用基本初等函数的单调性及复合函数的单调性，求出
sin
1
2
x
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
的单调
区间，即可求解.
【详解】令
sin
u
x
，
1
2
u
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，易知
1
2
u
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
是减函数，
因为
π ,π
6
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，又
sin
u
x
在
π π
,
6 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
上单调递增，在π ,π
2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减，
所以
sin
1
2
x
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
在区间
π π
,
6 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
上单调递减，在区间π ,π
2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，
又当
π
6
x -
时，
1
2
1
2
2
y
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
，当
π
x
时，
0
1
1
2
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
则函数
sin
1
2
x
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
的最大值是2 ，
故选：C.
3．（2025·江西·二模）若函数
2025 x a
f x
-
∣
∣在区间
2026,+¥ 上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
2026,+¥
B．
0,2026
C．
,2026
-¥
D．
,2026
-¥
【答案】D
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数
2025 x a
f x
-
∣
∣在区间
2026,+¥ 上单调递增，且
2025x
y
单调递增，
可得y
x
a
-
在区间
2026,+¥ 上单调递增，所以
2026
a £
.
故选:D.
4．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，若函数
g x
f x f
x
-
，则
g x 的解析
式不可能是（ ）
A．
2
1
g x
x
-
B．
e
e
2
x
x
g x
-
+
+
C．
2
ln
1
g x
x
x
+ +
D．
cos
g x
x
【答案】C
【详解】
f x 的定义域为R ，则
g x
f x f
x
-
的定义域为R ，
g
x
f
x f x
g x
-
-
，故
g x 为偶函数；
选项A：
g x 的定义域为R ，是偶函数，
构造
1
f x
x
+
，则
1
f
x
x
-
-
，
2
1
1
1
f x f
x
x
x
x
g x
-
+
-
-
，
满足条件，故A 可能；
选项B：
e
e
2
x
x
g x
-
+
+
的定义域为R ，是偶函数，
构造
2
2
e
e
x
x
f x
æ
ö
-ç
÷
è
ø
+
，则
2
2
2
e
e
e
2
e
x
x
x
x
f x f
x
æ
ö
-ç
÷
-
è
ø
æ
ö
-
+
ç
÷
ç
÷
è
+
+
ø
，
满足条件，故B 可能；
选项C：
2
ln
1
g x
x
x
+ +
的定义域为R ，
2
2
2
1
ln
1
ln
ln
1
1
g
x
x
x
x
x
g x
x
x
æ
ö
-
+ -
-
+ +
-
ç
÷
+ +
è
ø
，
故
g x 是奇函数，故C 不可能；
选项D：
cos
g x
x
是定义域为R 的偶函数，
构造
cos
sin
2
2
x
x
f x
+
，则
cos
sin
2
2
x
x
f
x
-
-
，
2
2
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
f x f
x
x
g x
æ
öæ
ö
-
+
-
-
ç
֍
÷
è
øè
ø
，
满足条件，故D 可能．
5．（25-26 高三上·湖北·期中）已知函数
4
e
e
x
x
f x
-
-
，则（ ）
A．
( )
f x 的图象关于直线
2
x - 对称
B．
( )
f x 的图象关于点( 2,0)
-
对称
C．
( )
f x 的图象关于点(2,0) 对称
D．
( )
f x 的图象关于直线
2
x
对称
【答案】C
【分析】根据对称性定义计算判断各个选项．
【详解】对于A 选项，若
( )
f x 的图象关于直线
2
x - 对称，则
( 2
)
( 2
)
f
x
f
x
- +
- -
，而
2
6
( 2
)
e
e
x
x
f
x
- +
-
- +
-
，
2
6
( 2
)
e
e
x
x
f
x
- -
+
- -
-
，二者不相等，故A 错误；
对于B 选项，若
( )
f x 的图象关于点( 2,0)
-
对称，则
( 2
)
( 2
)
0
f
x
f
x
- +
+
- -
，
而
2
6
2
6
( 2
)
( 2
)
e
e
e
e
0
x
x
x
x
f
x
f
x
- +
-
- -
+
- +
+
- -
-
+
-
¹
，故B 错误”
而
4
4
4
4
4
e
e
e
e
x
x
x
x
f
x
f x
-
-
-
-
-
-
-
-
，
所以
( )
f x 的图象关于点(2,0) 对称，C 选项正确，D 选项错误．
故选：C．
6．（2026·湖南永州·二模）已知函数
2
4
ln e
e
x
f x
x
+
-
，若
1
2
x
x
>
且
1
2
f x
f x
>
，则（ ）
A．
1
2
4
x
x
+
<
B．
1
2
4
x
x
+
>
C．
1
2
8
x
x
+
<
D．
1
2
8
x
x
+
>
【答案】B
【分析】先将函数变形为
4
ln e
e
x
x
f x
-
+
，由
4
f
x
f x
-
得函数
f x 的图象关于直线
2
x
对称，
再判断
f x 单调性，由
1
2
f x
f x
>
，得
1
2
2
2
x
x
-
>
-
，两边平方后化简即可.
【详解】函数
2
4
ln e
e
x
f x
x
+
-
的定义域为R ，
且
2
4
2
4
2
4
4
e
e
ln e
e
ln e
e
ln e
ln
ln e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
f x
x
-
+
+
-
+
-
+
，
因为
4
4
ln e
e
x
x
f
x
f x
-
-
+
，所以函数
f x 的图象关于直线
2
x
对称，
令
ex
t
在R 上单调递增，函数
4e
0
u
t
t
t
+
>
在
2
0,e
t Î
上单调递减，在
2e ,
t
¥
Î
+
上单调递增，
所以
2
2e
u ³
，当且仅当
2e
t
，即
2
x
时等号成立，
函数
ln
y
u
在
0,
u
¥
Î
+
上单调递增，
由复合函数单调性知，
f x 在
,2
¥
-
上单调递减，在
2, ¥
+
上单调递增；
因为
1
2
f x
f x
>
，所以
1
2
2
2
x
x
-
>
-
，
两边平方得
2
2
1
1
2
2
4
4
4
4
x
x
x
x
-
+
>
-
+
，即
1
2
1
2
4
0
x
x
x
x
-
+
-
>
，
又
1
2
x
x
>
，所以
1
2
4
0
x
x
+
-
>
，即
1
2
4
x
x
+
>
.
故选：B.
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
3
1 ,
0
3,
0
x
x
f x
x
x
x
ì +
>
ï
í
ï
+
£
î
，则函数
2
2
2
F x
f
x
x
a a
+
-
>
的零点
个数不可能为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】A
【分析】令
0
F x
得
2
2
2
f
x
x
a a
+
>
，令
2
2
t
x
x
+
，则
2
f t
a a
>
，画出
f t 的图象，分
2,3
aÎ
和
3
a >
两种情况，结合
f t
a
的解的个数和各个解的范围，以及
2
2
t
x
x
+
的图象，求出零点个
数，得到答案
【详解】令
0
F x
得
2
2
2
f
x
x
a a
+
>
，
令
2
2
t
x
x
+
，则
2
f t
a a
>
，
其中
3
1,
0
3,
0
t
t
f t
t
t
t
ì +
>
ï
í
ï
+
£
î
，
当
0
t >
时，
2
2
2
1
1
1
t
f
t
t
t
-
-
¢
，
当
1
t > 时，
0
f
t
¢
>
，当0
1
t
< < 时，
0
f
t
¢
<
，
故
1
f t
t
t
+
在
0,1
t Î
上单调递减，在
1
t
¥
Î
+
，
上单调递增，
且
1
2
f
，
当
0
t £
时，
3
3
f t
t
+ 为单调递增函数，
0
3
f
，
令
1
3(
0)
t
t
t
+
>
得
3
5
2
t
±
，令
3
3
2
t +
得
1
t - ，
故当
2,3
aÎ
时，
f t
a
有三个解，
分别为
1
1,0
t Î -
，2
3
5 ,1
2
t
é
ö
-
Î
÷
ê
÷
ë
ø
，3
3
5
1,
2
t
æ
ù
+
Îç
ú
çè
û
，
其中
2
2
1
1
2
2
4
8
t
x
x
x
æ
ö
+
+
-
ç
÷
è
ø
，画出图象如下：
令
1
f x
t
，若1
1
1,
8
t
æ
ö
Î - -
ç
÷
è
ø ，则
1
f x
t
有0 个零点，
若1
1
8
t -
，则
1
f x
t
有1 个零点，
若1
1 ,0
8
t
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，则
1
f x
t
有两个零点，
观察图象，
2
f x
t
与
3
f x
t
均有两个零点，
综上，
2
2
2
F x
f
x
x
a a
+
-
>
的零点个数可能为2
2
4
+
，
可能为2
2 1
5
+
+
，可能为2
2
2
6
+
+
，
当
3
a >
时，
f t
a
有2 个解，分别为2
3
5
0,
2
t
æ
ö
-
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，3
3
5 ,
2
t
¥
æ
ö
+
Î
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
观察图象，
2
f x
t
与
3
f x
t
均有两个零点，
此时
2
2
F x
f
x
x
a
+
-
共有4 个零点，
综上，不可能为3 个零点.
故选：A
8．已知函数
3
1
( )
lg
2
1
x
f x
x
x
+
+
+
-
，则关于x 的不等式
( )
(2
1)
4
f x
f
x
+
-
<
的解集为（ ）
A．
1
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．1 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
D．
1
, 3
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
【答案】A
【分析】根据题意，设
3
1
lg1
x
g x
x
x
+
+
-
分析函数
g x 的奇偶性以及单调性，据此可得
( )
(2
1)
4
f x
f
x
+
-
<
转化为( )
(1
2 )
g x
g
x
<
-
，进而解
1 2
1
1
1 1 2
1
x
x
x
x
< -
ì
ï- <
<
í
ï- < -
<
î
可得x 的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，函数
3
1
( )
lg
2
1
x
f x
x
x
+
+
+
-
设
3
1
lg1
x
g x
x
x
+
+
-
，则有1
0
1
x
x
+
>
-
，解可得1
1
x
- <
< ，
即函数
g x 的定义域为
1,1
-
，关于原点对称，
又由
3
3
3
1
1
1
lg
lg
lg
1
1
1
x
x
x
g
x
x
x
x
g x
x
x
x
-
+
+
æ
ö
-
-
+
-
-
-
+
-
ç
÷
+
-
-
è
ø
，即函数
g x 为奇函数，
设
1
1
x
t
x
+
-
，则
lg
y
t
，
1
2
1
1
1
x
t
x
x
+
-
-
-
-
，在
1,1
-
上为增函数，而
lg
y
t
在
0, ¥
+
上为增函数，
故
1
lg1
x
y
x
+
-
在区间
1,1
-
上为增函数，
又
3
y
x
为增函数，所以
3
1
lg1
x
g x
x
x
+
+
-
在区间
1,1
-
上为增函数，
不等式
2
1
4
f x
f
x
+
-
<
即为
2
2
1
2
4
g x
g
x
+
+
-
+
<
，
也即
2
1
1 2
g x
g
x
g x
g
x
< -
-
Þ
<
-
，
所以
1 2
1
1
1 1 2
1
x
x
x
x
< -
ì
ï- <
<
í
ï- < -
<
î
，解得
1
0
3
x
<
<
.
故选：A.
9．（25-26 高三上·湖南衡阳·月考）已知函数
ln ,
0
e
2,
0
x
x
x
f x
x
-
ì
>
í
+
£
î
，若有另一函数
2
( )
( )
2 ( ) 1 2
g x
af
x
f x
a
-
+ -
有且仅有3 个不同零点，则常数a 的取值范围为（ ）
A．1 5
,
2 7
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．2 3
,
3 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．2 3
,
3 4
æ
ù
ç
ú
è
û
D．1 5
,
2 7
æ
ù
ç
ú
è
û
【答案】D
【分析】利用分段函数的图象，来分析二次方程根的分布，最后利用根的分布可列参数满足的不等式，并
进行求解即可.
【详解】作出函数
ln ,
0
e
2,
0
x
x
x
f x
x
-
ì
>
í
+
£
î
的图象：
函数
2
( )
( )
2 ( ) 1 2
g x
af
x
f x
a
-
+ -
的零点等价于方程
2( )
2 ( ) 1 2
0
af
x
f x
a
-
+ -
，
当
0
a
时，此时方程化为2 ( ) 1
0
f x
-
+
可得
1
2
f x
，
由
1
2
f x
，结合图象，可得方程仅有2 个解，此时不满足题意；故
0
a ¹
；
当
1
2
a
时，此时方程化为
2
1
( )
2 ( )
0
2 f
x
f x
-
可得
0
f x
或
4
f x
，
由
0
f x
可得方程有一个解为
1
x ，
由
4
f x
，结合图象，可得方程有3个解，此时不满足题意；故
1
2
a ¹
；
所以要使得函数有且仅有3 个不同零点，则满足
3
f x ³
，
由于
2
2
1
7
Δ
4
4
1 2
4 2
1
4 2
0
4
8
a
a
a
a
a
é
ù
æ
ö
-
-
-
+
-
+
>
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
所以二次方程
2
2
1
2
0
at
t
a
-
+ -
的根仅有一个满足
3
t ³
，另一个根
0
t <
，
则满足
0
9
6 1 2
0
1 2
0
a
a
a
a
>
ì
ï
-
+ -
£
í
ï -
<
î
或
0
9
6 1 2
0
1 2
0
a
a
a
a
<
ì
ï
-
+ -
³
í
ï -
>
î
，解得1
5
2
7
a
<
£
，
综上a 的取值范围为1 5
,
2 7
æ
ù
ç
ú
è
û ，
故选：D
10．（25-26 高三上·福建泉州·期中）函数
2 ,
0
e
π
sin
, π
0
6
x
x x
f x
x
x
w
ì
>
ïï
í
æ
ö
ï
+
- £
£
ç
÷
ï
è
ø
î
，若
2
2
3
1
0
f
x
f x
-
+
恰有
6 个不同实数解，则正实数w 的范围为（ ）
A．
10
2, 3
æ
ù
ç
ú
è
û
B．
10
2, 3
é
ö÷
êë
ø
C．10 ,4
3
æ
ù
ç
ú
è
û
D．10 ,4
3
é
ö
÷
êë
ø
【答案】B
【分析】把问题转化为
y
f x
与
1
y 或
1
2
y
的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求
出参数取值范围即可.
【详解】由题意可知
2
2
3
1
0
f
x
f x
-
+
的实数解可以转化为
1
f x 或
1
2
f x
的实数解，
即
y
f x
与
1
y 或
1
2
y
的图象交点的横坐标，
当
0
x >
时，
2
ex
x
f x
，则
2 1
ex
x
f
x
¢
-
，
所以
0,1
xÎ
时，
0
f
x
¢
>
，所以
f x 在
0,1 上单调递增，
当
1,+
x
¥
Î
时，
0
f
x
¢
<
，可得
f x 在
1,+¥ 上单调递减，
所以当
1
x = 时，
f x 取得极大值，也是最大值，且
max
1
2
1
2
e
f x
<
< ；
作出函数的大致图象如下图所示：
所以当
0
x >
时，由图可知
y
f x
与
1
y 无交点，即方程
1
f x 无解；
y
f x
与
1
2
y
有两个不同的交点，即
1
2
f x
有两个实数解；
当π
0
x
- ≤≤时，
π
π
π
π
6
6
6
x
w
w
-
+
£
+
£
，
令
π
6
t
x
w
+
，则
π π
π
,
6 6
t
w
é
ù
Î -
+
ê
ú
ë
û ，则
π π
sin ,
π
,
6 6
y
t t
w
é
ù
Î -
+
ê
ú
ë
û ，
作出大致图象如下图所示：
因为当
0
x >
时，
y
f x
与
1
2
y
有两个不同的交点，
所以
sin
y
t
与
1
y 及
1
2
y
共有四个交点，
所以
19π
π
11π
π
6
6
6
w
-
< -
+
£ -
，解得
10
2
3
w
£
<
，
即可得正实数w 的取值范围
10
2, 3
é
ö
÷
êë
ø .
故选：B
11．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
2
1 log
2 ,
1,
1
4 ,
1
a x
x
f x
x
a x
ì +
-
£
ï
í
-
+
>
ïî
（
0
a >
，且
1
a ¹ ）在R 上为单调
函数，则
2
f
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】B
【分析】由
f x 在
1
x £ 时的单调性，结合复合函数单调性，求出a 的取值范围，进而求得
2
f
的最小值.
【详解】因为
2
1
4
f x
x
a
-
+
的对称轴为直线
1
x ，且开口向上，
所以当
1
x > 时，
f x 单调递增，
又且
f x 在R 上为单调函数，所以
1 log
2
a
f x
x
+
-
在
1
x £ 时单调递增．
因为函数
2
t
x
-
在
1
x £ 时单调递减，所以
loga
y
t
在
1
t ³ 单调递减；
所以
0
1
1 log
2 1
4 ,
a
a
a
<
<
ì
í +
-
£
î
解得1
1
4
a
£
< ，又
2
1
4
f
a
+
，
则2
1
4
5
£ +
<
a
，所以
2
2
5
f
£
<
，
故
2
f
的最小值为2．
故选：B.
12．已知函数
2
2
2 ,
0
4
3,
0
x
x x
f x
x
x
x
ì-
-
£
í
-
+
>
î
，
e ,
0
ln
,
0
x x
g x
x x
ì
£
ï
í
>
ïî
，若关于x 的方程
2
1
0
g f x
m g f x
m
é
ù -
+
+
ë
û
有19 个不等实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
1
0, e
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．1 ,1
e
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
0,e
D．
1,c
【答案】B
【分析】化简题目所给方程，对m 进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得m 的取值范
围.
【详解】原方程可化为
1
0
g f x
g f x
m
é
ù é
ù
-
-
ë
û ë
û
，
而
1
g x 的解为
0
x
或
e
x或
1
e
x
，若
1
g f x
，则
0
f x
或1
e 或e，
由图象可知此时有10 个实数解．当
0
m <
时，显然
g f x
m
无解，
当
0
m
时，
1
f x ，此时有3 个实数解，不合题意．
当
1
m > 时，显然
f x 有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然
1
m ¹ ．
当
1
e
m
时，
f x 有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意．
当
1
0, e
m
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
f x 有三解，此时对于满足
0
f x <
的解，易知其满足
1
f x < - ，
故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当
1 ,1
e
m
æ
ö
Îç
÷
è
ø时，
注意到
e
0.01
3
f
<
<
，且
1
ln
1
e
f x >
- ，
故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意.
故选：B
13．已知函数
ln
x
f x
x
，若函数
2
2
[
]
3
e
2 e
g x
f x
af x
a
+
-
-
恰有3 个不同的零点，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
e ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．
1 ,0
2e
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
C．
1
,
e
æ
ö
-¥ -
ç
÷
è
ø
D．
, e
-¥ -
【答案】A
【分析】可先求出函数
( )
f x 的单调性与极值，再令
( )
t
f x
，将函数( )
g x 的零点问题转化为关于t 的方程
的根的问题，最后结合函数图象求解实数a 的取值范围．
【详解】已知
( )
ln
x
f x
x
，其定义域为(0,1)
(1,
)
È
+¥ ，
则
2
2
1
ln
ln
1
( )
(ln )
(ln )
x
x
x
x
f
x
x
x
- ×
-
¢
，
令
( )
0
f
x
¢
，即
2
ln
1
0
(ln )
x
x
-
，则ln
1
0
x -
，解得
e
x．
当0
<1
x
<
或1< <e
x
时，ln
<
1 0
x -
，
( )<0
f
x
¢
，
( )
f x 单调递减；
当
e
x> 时，ln
>
1 0
x -
，
( )>0
f
x
¢
，
( )
f x 单调递增．
所以
( )
f x 在
e
x处取得极小值，也是最小值，
e
e
e
lne
f
．
令
( )
t
f x
，则
2
2
3
e
2 e
g t
t
at
a
+
-
-
，
函数( )
g x 恰有3个不同的零点，
即方程
2
2
3
e
2 e
0
t
at
a
+
-
-
(e 不是方程的根)有两个不同的实数根1t ，2t ，
且其中一个根为1
0
t <
，另一个根2>e
t
．
则
2
0
e
2 e<0
e
e<0
g
a
g
a
ì
-
-
ïí
ïî
，解得
e
0
2
a
-
<
<
.
实数a 的取值范围是
e ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
故选：A．
14．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数
2
2
1,
0,
ln ,
0,
x
x
x
f x
x
x
ì
+
+
£
í
>
î
若函数
2e
e
1
f x
f x
g x
a
-
+ 恰有3
个零点，则a 的取值范围为（ ）
A．
1
e
,
e
¥
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
B．
1
2,e
e
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
C．
1
e
,
e
é
ö
+
+¥÷
êë
ø
D．
1
2,e
e
é
ö
+
÷
êë
ø
【答案】A
【分析】先分析函数
f x 的单调性，换元简化( )
g x ，分析
0
g x
的根对零点的影响，进行分类讨论得
到结果；
【详解】对于函数
2
2
1,
0,
ln ,
0,
x
x
x
f x
x
x
ì
+
+
£
í
>
î
根据二次函数和对数函数可知
R
f x Î
，
f x 在
, 1
¥
-
-
上单调递减，在
1,0
-
和
0, ¥
+
上单调递增，
令
( )
e f x
t
，则
0
t >
，
2
1
g x
t
at
-
+ ，
函数
2e
e
1
f x
f x
g x
a
-
+ 恰有3 个零点等价于方程
2
1
0(
0)
t
at
t
-
+
>
的正根对应的
f x 的解的个数之和
为3.
当( )
g x 有两个相等的正根时，
2
4
0
a
D
-
，即
2
a
，
2
a - （舍），方程解得
1
t ，
( )
0
f x
，分段函数计算可得
1, 1
x
- ，此时
g x 有两个零点，不符合题意；
当( )
g x 有两个不相等的正根
1
2
1
2
,
t t
t
t
<
时，
2
Δ
4
0
,
2
0
2
a
a
a
ì
-
>
ï
Þ
>
í
>
ïî
，
所以①当
1
0,1
t Î
时，
1
ln
0
f x
t
<
，方程
2
1
1
1
ln
ln
0
x
t
t
+
<
无实数解，且
1
1
ln
ln
ln
0
x
t
t
<
，解得
1
x
t
；
②当
2
1,
t
¥
Î
+
时，
2
ln
0
f x
t
>
，由于
2
ln
f x
t
，
可知
0
x >
时，
2
ln
ln
0
x
t
>
，因为lnx 在
0, ¥
+
上单调递增，所以有1 个解，
2
x
t
；
0
x £
时，
2
2
1
ln
0
x
t
+
>
，可知有2 个解，
g x 恰有3 个零点，要求
1
ln
f x
t
和
2
ln
f x
t
的解的总个数为3 个.
通过图象分析可知要求
2
ln
1
t > ，即2
e
t >
. 2t 是方程
2
1
0
t
at
-
+
的较大的根，由2
e
t >
，可得
1
e+ e
a >
综上，a 的取值范围为
1
e
,
e
¥
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø.
故选：A.
15．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
3
( )
cos(
)
f x
x
x
+
，则（ ）
A．
( )
f x 为偶函数
B．
( )
f x 的值域为[ 1,1]
-
C．不存在aÎR ，使得
( )
(
)
f a
f
a
-
-
D．
( )
f x 在区间[0,1]上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义判断A；换元并利用余弦函数值域判断B；举例说明判断C；利
用复合函数单调性判断D.
【详解】对于A，函数
3
( )
cos(
)
f x
x
x
+
的定义域为R，
3
(
)
cos[(
)
(
)]
f
x
x
x
-
-
+ -
3
3
cos[ (
)]
cos(
)
( )
x
x
x
x
f x
-
+
+
，因此
( )
f x 为偶函数，A 正确；
对于B，令
3
t
x
x
+
，函数
3
t
x
x
+
是R 上增函数，值域为R，函数
cos
y
t
的值域为[ 1,1]
-
，
因此
( )
f x 的值域为[ 1,1]
-
，B 正确；
对于C，由选项B 知，存在唯一a 使得
3
π
2
a
a
+
，则
3
π
(
)
(
)
2
a
a
-
+ -
-
，
且
( )
0,
(
)
0
f a
f
a
-
，因此存在aÎR ，使得
( )
(
)
f a
f
a
-
-
，C 错误；
对于D，函数
3
t
x
x
+
在[0,1]上单调递增，
[0,2]
[0,π]
t Î
Í
，
而函数
cos
y
t
在[0,π]上单调递减，因此
( )
f x 在区间[0,1]上单调递减，D 正确.
故选：ABD
16．（多选题）已知函数
2 2
e
x
x
f x
-
，则（ ）
A．
f x 为偶函数
B．
f x 的单调递增区间为
1,0 , 1,
-
+¥
C．当0
1
x
<
< 时，
2
f x
f x
>
D．
f x 的最小值为1
e
【答案】ABD
【分析】确定函数定义域，利用定义判断奇偶性，结合复合函数单调性的分析方式逐项判断即可．
【详解】解：
2 2
e
x
x
f x
-
定义域为R ，
2
2
2
2
e
e
x
x
x
x
f x
f
x
-
- -
-
-
，则
f x 为偶函数，故A 正确；
当
0
x ³
时，
2 2
ex
x
f x
-
，令
2
2
u
x
x
-
，
eu
y
Q
为增函数，
2
2
u
x
x
-
在
0,1 单调递减，在
1,+¥ 单调递增，
0
x
\
³
时，
f x 的单调递增区间为
1,+¥ ，
又
f x 为偶函数，
则函数
f x 在
, 1
¥
-
-
和
0,1 单调递减，在
1,0
-
和
1,+¥ 单调递增，
所以
f x 的单调递增区间为
1,0 , 1,
-
+¥ ，故B 正确；
当0
1
x
<
< 时，
2
x
x
>
，且函数
f x 在
0,1 单调递减，
2
f x
f x
\
<
，故C 错误；
Q函数
f x 在
, 1
¥
-
-
和
0,1 单调递减，在
1,0
-
和
1,+¥ 单调递增，
\
min
1
1
1
e
f x
f
f
-
，故D 正确．
17．（多选题）定义在R 上的函数
sin
sin
2
1
2
1
x
x
f x
-
+ ，则（ ）
A．函数
( )
f x 是奇函数
B．函数
( )
f x 的值域为
1 1
3 3
é
ù
-
ê
ú
ë
û
，
C．函数
( )
f x 关于直线
π
x
对称
D．函数
( )
f x 在π 3π
2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
，
上单调递减
【答案】ABD
【分析】对于A，由奇函数的定义即可判断；对于B，利用换元法，结合函数的单调性即可得解；对于
C，验证
(2π
)
f
x
-
与
( )
f x 的关系即可判断；对于D，利用复合函数的单调性即可得解.
【详解】对于A：
( )
f x 的定义域为R ，关于原点对称，
且
sin(
)
sin
sin
sin
sin
sin(
)
sin
sin
sin
sin
2
1
2
1
(2
1)2
1 2
( )
2
1
2
1
(2
1)2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f x
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
，
故函数
( )
f x 是奇函数，故A 正确；
对于B：令sin
,
[ 1,1]
x
t t
Î -
，则
( )
f x 可转化为关于t 的函数
2
1
2
( )
1
,
[ 1,1]
2
1
2
1
t
t
t
h t
t
-
-
Î -
+
+
，
易知
2t
y
在R 上单调递增，因此易知
2
2
1
t
y -
+ 在R 上单调递增，
因此
2
( )
1
2
1
t
h t -
+ 在
[ 1,1]
t Î -
上单调递增，又因为
1
1
( 1)
, (1)
3
3
h
h
-
-
，
因此( )
h t 的值域为
1 1
[
, ]
3 3
-
，即
( )
f x 的值域为
1 1
[
, ]
3 3
-
，故B 正确；
对于C：
sin(2π
)
sin
sin
sin
sin
sin(2π
)
sin
sin
sin
sin
2
1
2
1
(2
1)2
1 2
2π
( )
2
1
2
1
(2
1)2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f x
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
，
即
0
(2π
)
( )
f
x
f x
-
+
，
即函数
( )
f x 关于(π,0) 中心对称，不关于直线
π
x
对称，故C 错误；
对于D：由B 可知，令sin
,
[ 1,1]
x
t t
Î -
，则
( )
f x 可转化为关于t 的函数
2
( )
1
,
[ 1,1]
2
1
t
h t
t
-
Î -
+
，且( )
h t 在
[ 1,1]
-
上单调递增，
又因为
sin
y
x
在π 3π
2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
，
上的值域为[ 1,1]
-
，且在该区间上单调递减，
根据复合函数单调性遵循“同增异减”，因此函数
( )
f x 在π 3π
2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
，
上单调递减，故D 正确.
故选：ABD.
18．（多选题）（25-26 高三下·浙江·开学考试）已知函数
sin cos
f x
x
，
cos sin
g x
x
，则下列
说法正确的是（ ）
A．
f x 与
g x 的值域相同
B．
f x 与
g x 的奇偶性相同
C．
f x 与
g x 有相同的零点
D．
f x 与
g x 在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上的单调性相同
【答案】BD
【详解】对于A 选项，cos
[ 1,1]
xÎ -
，sin
[ 1,1]
xÎ -
，
于是
( )
f x 的值域为[ sin1,sin1]
-
，( )
g x 的值域为[cos1,1] ，故A 选项不正确；
对于B 选项，
(
)
sin cos(
)
(
)
sin(cos )
( )
x
f
f
x
x
x
-
-
，所以
( )
f x 为偶函数，
(
)
cos(sin(
))
cos( sin )
cos(sin )
( )
g
x
x
x
x
g x
-
-
-
，所以( )
g x 为偶函数，故B 选项正确；
对于C 选项，由于( )
g x 的值域为[cos1,1] ，所以( )
g x 没有零点，
令
( )
0
f x
，得cos
0
x
，所以
2
x
k
p
+ p ，k ÎZ ．故C 选项不正确；
对于D 选项，因为
cos
t
x
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减，
sin
y
t
在[0,1]上单调递增，
由复合函数的单调性可知
( )
sin(cos )
f x
x
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 单调递减，
因为
sin
t
x
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，
cos
y
t
在[0,1]上单调递减，
由复合函数的单调性可知( )
cos(sin )
g x
x
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 单调递减，故D 选项正确．
19．（多选题）已知函数
2
2 ,
0
4 ,
0
x x
f x
x
x x
ì
³
í-
-
<
î
，若方程
2
0
f
x
tf x
-
有四个实数根
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则（ ）
A．
1
4
x -
B．1
4
t
£ <
C．
4
0
2
x
£
<
D．
1
2
3
4
6
8
x
x
x
x
£
+
+
+
<
【答案】ABC
【分析】由题意有
0
f x
f x
t
é
ù
-
ë
û
，得
0
f x
或
f x
t
，由
0
f x
解得
1
4
x - ，即
f x
t
有3
个不等的实根，作出
f x 的函数图像，利用数形结合即可求解.
【详解】由
2
0
f
x
tf x
-
，所以
0
f x
f x
t
é
ù
-
ë
û
，所以
0
f x
或
f x
t
，
由
0
f x
有，
2
0
4
0
x
x
x
<
ì
í-
-
î
，解得
4
x - ，即
1
4
x - ，故A 正确；
所以
f x
t
有3 个不等的实根，
作出
f x 的函数图像：
由图可知：1
4
t
£ <
，故B 正确；
4
0
2
x
£
<
，故C 正确；由
2
3
2 2
4
x
x
+
- ´
- ，
2
3
4
2
0
x
x
x
< - <
<
<
，所以
1
2
3
4
2
3
4
4
4
8
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
-
-
+
+
，
由
4
0
2
x
£
<
，所以
1
2
3
4
4
8
8
10
x
x
x
x
x
£
+
+
+
+
<
，故D 错误，
故选：ABC.
20．（多选题）（25-26 高三上·湖北恩施·开学考试）已知函数
e ,
0
( )
ln
1,
0
x x
f x
x
x
ì
£
í
+
>
î
，方程
( ( ))
f f x
m
有
三个不同的实根
1
x ，
2x ，
3x ，则（ ）
A．方程
( )
f x
m
有两个不同的实根
B．
[1,e]
mÎ
C．
1
m - 是方程
( ( ))
f f x
m
的一个根
D．
1
2
3
1
e
e
x
x
x
+
+
<
+
【答案】ACD
【分析】画出函数的图象，结合图像可得
f t
m
有两个不同的解1
2
,
t t 且1
0
t £
，
2
0
1
t
<
£ ，从而可判断A
的正误，同样结合图形求出m 的范围后可判断B 的正误，将
1
m - 代入计算后可判断C 的正误，根据方程
的解的传递性可用m 表示
1
2
3
x
x
x
+
+
后根据单调性可求范围，从而可判断D 的正误.
【详解】令
( )
t
f x
，考虑
f t
m
的解.
f t 的图象如图所示：
对于A，因为
f
f x
m
é
ù
ë
û
有3 个不同的解，故
f t
m
有两个不同的解1
2
,
t t ，
且1
0
t £
，
2
0
1
t
<
£ ，故A 正确.
对于B，由A 的分析可得0
1
m
<
£ ，故B 错误.
对于C，由A 的分析结合图象可得：
1
2
e
ln
1
t
m
t
+ 有两个不同的解，
故
2
1
ln
0
m
t
-
£
且
1
1
e
1
0
t
m -
- £
，故
1
1
1
e
1
ln e
m
m
f
f m
f
m
-
-
-
+
，
故
1
m - 是方程
( ( ))
f f x
m
的一个根，故C 正确.
对于D，由A 的分析可得
2
f x
t
有两个不同的解，不妨设为
1
2
,
x x ，
1
f x
t
有唯一解，不妨设为
3x ，
则
1
2
2
e
ln
1
x
x
t
+
，
3
1
ln
1
x
t
+
，故
2
1
1
1
1
2
2
3
ln ,
e
,
e
t
t
x
t
x
x
-
-
，
故
2
1
1
1
1
2
3
2
ln
e
e
t
t
x
x
x
t
-
-
+
+
+
+
，
而
1
2
e
ln
1
t
m
t
+ 即
1
1
2
ln
,
em
t
m t
-
，
所以
1
1
e
1
ln
1
e
1
1
2
3
1 e
e
1 e
e
m
m
m
m
x
x
x
m
m
-
-
-
-
-
+
+
- +
+
- +
+
，
记
1
e
1
1 e
e
( )
m
g
m
m
m
- -
- +
+
，则
1
e
1
1
1
1 e
e
0
( )
e
m
m
g m
- -
-
¢
´
+
+
>
，
故
g m 在(0,1]上单调递增，故
1
1
( )
(1)
e
1
e
e
g m
g
-
-
£
+ <
+ ，D 正确.
故选：ACD.
21．（多选题）已知函数
2
4 ,
0,
log
1
,
0,
x
x
f x
x
x
x
ì +
>
ï
í
ï
-
<
î
，
2
g x
x
ax
b
+
+
，若方程
0
g f x
有且仅有5 个
不相等的整数解，则下列说法正确的是（ ）
A．
9
a
B．
20
b
C．最大的整数解是4
D．最小的整数解是31
-
【答案】BCD
【分析】作出函数
f x 的大致图象，令
f x
t
，由方程
0
g f x
有且仅有5 个不相等的整数解，转
换成
0
g t
有两个不等根
1
2
1
2
,
t t
t
t
<
，且
1
f x
t
有两个整数根，
2
f x
t
有三个整数根，即可求解.
【详解】因为当
0
x >
时，
4
4
2
4
x
x
x
x
+
³
×
，当且仅当
2
x
时取等号，
当
0
x <
时，
2
log
1
y
x
-
，
因为
1
y
x
-
在
,0
¥
-
单调递减，而
2
log
y
x
单调递增，
所以
2
log
1
y
x
-
在定义域内单调递减，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数
f x 的大致图象，如下：
令
f x
t
，则
0
g f x
，即
0
g t
，根据
f x 的图象可知，
要满足题意必须
0
g t
有两个不等根
1
2
1
2
,
t t
t
t
<
，且
1
f x
t
有两个整数根，
2
f x
t
有三个整数根，
当且仅当
1
4
f x
t
时，有两个整数根
2
x
或
15
x -
．
要满足
2
f x
t
有三个整数根，结合图象知必有一根大于0 小于2，
显然只有
1
x 符合题意，当
1
x 时，
1
5
f
，则2
5
t
．
即
2
0
g t
t
at
b
+
+
的两个不相等的根为4 和5，所以
9
a - ，
20
b
．故A 错误，B 正确．
解方程
4
5
x
x
+
得
4
x
或
1
x ，解方程
2
log
1
5
x
-
得
31
x -
，
此时五个整数根从小到大依次是31
-
，15
-
，1，2 ，4 ，故C，D 正确．
故选：BCD．
22．（2026·广东茂名·一模）已知函数
2
2
log
1
1
f x
x
æ
ö
-
ç
÷
+
è
ø
，则不等式
2
1
2
0
f a
f
a
+
+
-
<
的解集为
_______．
【答案】
1 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【分析】判断函数
f x 的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“ f ”即可求解.
【详解】函数
2
2
2
1
log
1
log
1
1
x
f x
x
x
-
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø ，
令1
0
1
x
x
-
>
+
，解得1
1
x
- <
< ，故函数
f x 的定义域为
1,1
-
，
2
1
log
1
x
f
x
f x
x
+
æ
ö
-
-
ç
÷
-
è
ø
，
故函数
f x 是奇函数.
而函数
2
1
1
u
x
-
+
在
1,1
-
上单调递减，
函数
2
log
y
u
在
0, ¥
+
上单调递增，
因此函数
f x 在
1,1
-
上单调递减.
不等式
2
2
2
1
2
0
1
2
2
f a
f
a
f a
f
a
f
a
+
+
-
<
Û
+
< -
-
2
2
1
1 1
1
2
1
2
1
a
a
a
a
- <
+ <
ì
ï
Þ - < -
<
í
ï
<
+
î
2
0
2
2
2
2
1
1
2
a
a
a
ì- <
<
ï
ïï
Þ -
<
<
í
ï
ï-
<
<
ïî
1
0
2
a
Þ -
<
<
，
所以所求不等式的解集为
1 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
故答案为:
1 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø .
23．已知
0
a >
，且
1
a ¹ ，若
1
2
e
1,
1
log
3
1 ,
1
x
a
x
f x
x
ax
x
-
ì
-
£
ï
í
-
+
>
ïî
是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是
__________.
【答案】
1,3
【分析】首先保证各段单调，再保证衔接点处函数值满足单调.
【详解】当
1
x £ 时，
1
e
1
x
f x
-
- ，
因为e
1
> ，所以
1
e
1
x
f x
-
- 在
,1
-¥
上单调递增，
又
f x 是R 上的单调函数，当
1
x > 时，
2
log
3
1
a
f x
x
ax
-
+
，
所以
2
log
3
1
a
f x
x
ax
-
+
在
1, ¥
+
上单调递增，且
1 1
e
1
log
3
1
a
a
- - £
-
+
.
由
2
log
3
1
a
f x
x
ax
-
+
在
1, ¥
+
上单调递增可知
（1）因为函数
2
3
1
u x
x
ax
-
+ 的图象开口向上，
所以需要
u x 在
1, ¥
+
上单调递增，且1
3
1
0
u
a
-
+ ³
，
即
1
2 3
4
0
a
a
-
ì-
£
ï
´
í
ï -
³
î
，解得
4
a £
；
（2）需要
loga
g u
u
在定义域上单调递增，所以
1
a > .
由上知，1
4
a
<
£
.
由
1 1
e
1
log
3
1
a
a
- - £
-
+
得
log
4
0
a
a
-
³
，
结合
1
a > 得4
1
a
-
³ ，解得
3
a £
.
综上，1
3
a
<
£ ，即实数a 的取值范围是
1,3 .
24．若函数
a
f x
x
x
+
在区间
2
1,π
上存在最小值，则实数a 的取值范围是_______．
【答案】
2
2
π , 1
1,π
-
-
È
【分析】分
0
a
，
0
a >
与
0
a <
三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数a 的取值范围.
【详解】当
0
a
时，
f x
x
在
2
1,π
单调递增，所以无最小值，不满足题意；
当
0
a >
时，令
0
x
t t
>
，则
a
f x
t
t
+
，根据双钩函数的性质可知
f x 在
0,a 上单调递减，在
,a
¥
+
上单调递增，在x
a
处取得最小值，所以要想
f x 在
2
1,π
上有最小值，只需满足
2
1
π
a
<
<
即
可；
当
0
a <
时，令
0
a
x
x
+
³
，解得x
a
³ - ，
0
a
x
x
+
<
，解得0
x
a
<
< - ，
所以
,
,0
a
x
x
a
x
f x
a
x
x
a
x
ì
+
³ -
ïï
í æ
ö
ï-
+
<
< -
ç
÷
ï è
ø
î
，
因为
x 单调递增，a
x 单调递增，所以
a
x
x
+
单调递增，
a
x
x
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
单调递减，
即函数
f x 在
,a
¥
-
+
上单调递增，在
0, a
-
上单调递减，且在x
a
- 处连续，
所以
f x 在x
a
- 出取得最小值，
所以要想
f x 在
2
1,π
有最小值，只需满足
2
2
1
π
π
1
a
a
< - <
Þ -
<
< - 即可；
综上所述：满足题意的a 的取值范围是
2
2
π , 1
1,π
-
-
È
.
故答案为：
2
2
π , 1
1,π
-
-
È
25．（25-26 高三上·安徽·期末）若函数
2
1 ln
b
x
f x
x
x
æ
ö
ç
÷
è
-
ø
-
的图象关于点
,0
a
对称，则a
b
+
________．
【答案】2
【分析】由题意得到
2
0
f x
f
a
x
+
-
，代入解析式即可求解.
【详解】由
2
0
f x
f
a
x
+
-
可得:
2
2
2
|
1|ln
| 2
1
|ln
0
2
b
x
b
a
x
x
a
x
x
a
x
-
-
+
æ
ö
æ
ö
-
+
- -
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
，
即
1
2
2
2
|
1|ln
| 2
1
|ln
2
b
x
b
a
x
x
a
x
x
a
x
-
é
ù
-
-
+
æ
ö
æ
ö
-
- -
ê
ú
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
恒成立，
得到|
1| | 2
1
|
x
a
x
-
- -
恒成立，即
1
a ，
即
2
2
2
1 ln
ln
0
2
b
x
b
x
x
x
x
-
-
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
è
ø
è
ø
ë
û
，恒成立，
因为
1
x -
在定义域内不恒为0，
所以2
2
2
1
2
b
x
b
x
x
x
-
-
+
æ
öæ
ö
ç
֍
÷
-
è
øè
ø
，
即
2
2
2
2
b
x
b
x
x
x
-
-
+
-
恒成立，
展开可得
2
0
b
b
-
，即
1
b 或
0
b
，
当
0
b
时，
1 ln
x
f
x
x
x
æ
ö
ç
÷
è
-
ø
-
定义域为空集，舍去，
所以
1
b ，所以
2
a
b
+
．
故答案为：2
26．（25-26 高三下·北京·月考）已知函数
2
6
5,
0
,
0
1
x
x
x
f x
x
x
x
ì
+
+
£
ï
í
>
ï
+
î
，则函数
y
f x
的零点为______；若
函数
y
f
f x
a
é
ù
-
ë
û 有3 个零点，则实数a 的取值范围为________．
【答案】
5
- 或1
-
6
10
a
<
£
或
1
a
【详解】当
0
x £
时，由
0
f x
得
2
6
5
0
x
x
+
+
，解得
5
x - 或1
- ，
当
0
x >
时，由
0
f x
得
0
1
x
x
+
，解得
0
x
（舍），
作出
f x 的图象如图，由
0
y
f
f x
a
é
ù
-
ë
û
得
5
f x
a
-
- 或
1
f x
a
-
- ，
即
5
f x
a
- 或
1
f x
a
- ，
当
5
4
a -
< - ，即
1
a < 时，
5
f x
a
- 无实根，此时
1
0
a - <
，
1
f x
a
- 最多两个实根，与题意不符；
当
5
4
a -
- ，即
1
a 时，
5
f x
a
- 有一个实根，
1
f x
a
- 有两个实根，符合题意；
当4
5
0
a
- <
-
£
，即1
5
a
<
£
时，
5
f x
a
- 有两个实根，此时0
1
4
a
<
- £
，
1
f x
a
- 至少有两个实
根，不符合题意；
当0
5
1
a
<
-
< ，即5
6
a
<
<
时，
5
f x
a
- 有三个实根，
1
f x
a
- 至少有一个实根，不符合题意；
当
5
1
a -
，即
6
a
时，
5
f x
a
- 有两个实根，此时
1
5
a - ，
1
f x
a
- 有4 个实根，不符合题意；
当1
5
5
a
<
-
<
，即6
10
a
£
<
时，
5
f x
a
- 有两个实根，此时5
1
9
a
<
- <
，
1
f x
a
- 有一个实根，符
合题意；
当
5
5
a -
，即
10
a
时，
5
f x
a
- 有两个零点，
1
f x
a
- 有一个零点，符合题意；
当
5
5
a -
>
，即
10
a >
时，
5
f x
a
- 有一个零点,
1
f x
a
- 有一个零点，不符合题意；
综上所述，
y
f
f x
a
é
ù
-
ë
û 有3 个零点时，6
10
a
<
£
或
1
a .
27．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数
1
ln
2
3
x
f x
x
+
-
，
3
1
3
3
x
x
g x
-
+
，则
1
3
f x £
的解集为
________；
y
f x
与
y
g x
图象的交点横坐标之和为________.
【答案】
,0
¥
-
2
【分析】先将
f x 代入不等式，再根据对数函数的性质求解不等式；先分析函数
f x 和
g x 的对称性，
再根据对称性求出交点横坐标之和.
【详解】由题意得，
1
1
ln
2
3
3
x
x
+
£
-
，即ln
0
ln1
2
x
x
£
-
，又
ln
y
x
在
0, ¥
+
单调递增，
0
1
2
x
x
<
£
-
，解得
0
x <
，故
1
3
f x £
的解集为
,0
¥
-
.
1
ln
2
3
x
f x
x
+
-
，则
1
1
1
1
1
1
1
ln
1
ln
ln
1
3
1
3
1
3
x
x
x
f x
f
x
x
x
x
+
-
-
+
+
-
+
+
-
- -
+
，
，
1
1
1
1
2
1
1
ln
+ln
1
3
1
3
3
x
x
f x
f
x
x
x
+
-
\
+
+
-
+
+
-
+
，
故函数
f x 的图象关于点
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
3
1
3
3
x
x
g x
-
+
，则
1
1
1
1
3
1
3
1
1
1
3
3
3
3
x
x
x
x
g x
g
x
+
-
+
-
-
-
+
-
+
+
，
，
1
1
1
1
1
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
3
1
1
3
3
3
3
3
3 3
1
3 3
1
3 1 3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g x
g
x
+
-
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
\
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
2 3
1
3
1 3
3
2
3
3 3
1
3 3
1
x
x
x
x
x
+
+
- + -
+
+
，
故函数
g x 的图象关于点
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
Q两个函数的图象都关于点
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
\两个函数的图象交点也关于点
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
因为
1
2
1
ln
ln
1
2
3
2
3
x
f x
x
x
æ
ö
+
+
+
ç
÷
-
-
è
ø
，可知单调减区间为
,0 , 2,
-¥
+¥ ，图象关于点
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
0
x <
时
1
3
f x <
，
2
x >
时
1
3
f x >
，
函数
3
1
4
1
3
3
3
3
x
x
x
g x
-
-
+
+
，可知函数单调增区间为
,
-¥ +¥ ，值域为
1 ,1
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø且图象关于点
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
可画出两个函数的大致图象，两个函数的图象有两个交点且关于点
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
所以交点横坐标之和为2 .
故答案为：
,0
¥
-
；2
28．（25-26 高三上·天津西青·期末）已知函数
2
3 ,
0
3
6 ,
0
x
x
f x
x
x x
ì
+
£
í-
+
>
î
，若关于x 的方程
2
1
0
3
f
x
bf x
-
+
有8 个相异的实根，则实数b 的取值范围为______________.
【答案】2 3 28
,
3
9
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
【分析】通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解参
数范围.
【详解】
f x 的图象如图所示：
令
f x
t
，若关于x 的方程
2
1
0
3
f
x
bf x
-
+
有8 个相异的实根，
则
2
1
0
3
t
bt
-
+
在
0,3 上有两个不等的实根.
令
2
1
3
g t
t
bt
-
+
，则
Δ
0
0
3
2
0
0
3
0
b
g
g
>
ì
ï
ï <
<
ïí
ï
>
ï
>
ïî
，
即
2
4
0
3
0
3
2
1
0
3
1
9
3
0
3
b
b
b
ì
-
>
ï
ï
ï <
<
ï
í
ï
>
ï
ï
ï -
+
>
î
，解得2 3
28
3
9
b
<
<
，
实数b 的取值范围为2 3 28
,
3
9
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
故答案为：2 3 28
,
3
9
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
29．已知定义在
1,+¥ 上的单调函数
f x 满足
1
1
f
f x
x
x
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
，若方程
2
0
f x
a
ax
a
-
+
-
有2 个
不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______．
【答案】
1
2
2
a >
+
【分析】由单调性求出
( )
f x 解析式，
2
0
f x
a
ax
a
-
+
-
转化为
y
f x
与
2
g x
a
a x
-
-
图像有两个
交点，数形结合求a 的取值范围即可.
【详解】由题意设
1
f x
x
c
x
-
+
，则
1
( )
1
f c
c
c
c
-
+
，
因为函数y
c
，y
c
，
1
y
c
-
在
0, ¥
+
上单调递增，
所以函数
1
y
c
c
c
-
+ 在
0, ¥
+
上单调递增，
当
1
c 时，
1
1
c
c
c
-
+
，
所以
1
c ，
则
1
1
f x
x
x
-
+ ，
设
2
g x
a
ax
a
-
-
，则
y
f x
与
y
g x
的图象有2 个交点．
因为
f x 在
1,+¥ 单调递增且
1
1
f
，
所以当
0
a £
时，( )
0
g x £
，则不会有两个交点；
当
0
a >
时，
g x 在
1,2 单调递增，在
2,+¥ 单调递减，且1
0
g
，可得
1
2
2
2
2
g
a
f
>
+
，
所以
1
2
2
a >
+
．
故答案为：
1
2
2
a >
+
.
30．已知函数
2
2
log
,
0
2 ,
0
x x
f x
x
x x
ì
>
í-
-
£
î
，若关于x 的方程
f x
a
（aÎR ）恰有四个不同的解，记为
ix
（
1,2,3,4
i
），设
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则
1
2
3
4
x
x
x x
+
+
______；若关于x 的方程
f
f x
a
至少有7 个不
同的解，则a 的取值范围是______.
【答案】
1
-
0
1
a
£
£
【分析】画出分段函数
f x 的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出
1
2
3
4
x
x
x x
+
，
，再结合函数
图象分类讨论求解a 的范围即可．
【详解】作出函数
f x 的图象，如图所示，
当
0
x >
时，由
2
3
2
4
log
log
x
x
可得
2
3
2
4
log
log
x
x
-
，
即
2
4
2
3
2
3
4
log
log
log
0
x
x
x x
+
，故
3 4 1
x x .
由图知，
1,
x a 和
2,
x a 关于
1
x - 轴对称得
1
2
2
x
x
+
- ，
所以
1
2
3
4
2 1
1
x
x
x x
+
+
- + - .
令
f x
t
，则
f t
a
，
若关于x 的方程
f
f x
a
至少有7 个不同的解，
当
0
a <
时，
f t
a
有1 个解，
2
t < - ，而
f x
t
，有1 个解，故原方程有1 个解；
当
0
a
时，
0
f t
有3 个解1
2
3
, ,
t t t ，假设1
2
3
t
t
t
<
<
，则1
2
3
2
0
1
,
,
t
t
t
-
，
故
1
2
f x
t
- 有1 个解，
2
0
f x
t
有3 个解，
3
1
f x
t
有3 个解，
所以原方程共有7 个解；
当0
1
a
<
< 时，
f t
a
有4 个解1
2
3
4
, , ,
t t t t ，假设1
2
3
4
t
t
t
t
<
<
<
，
则
1
2
3
4
2, 1 ,
1,0 ,
0,1 ,
1,2
t
t
t
t
Î -
-
Î -
Î
Î
，
故
1
f x
t
有1 个解，
2
f x
t
有1 个解，
3
f x
t
有4 个解，
4
f x
t
有2 个解，原方程共有8 个解；
当
1
a 时，
1
f t 有3 个解1
2
3
, ,
t t t ，假设1
2
3
t
t
t
<
<
，
则1
1
t - ，2
1
2
t
，3
2
t
，故
1
1
f x
t
- 有1 个解，
2
1
2
f x
t
有4 个解，
3
2
f x
t
有2 个解，原
方程共有7 个解；
当
1
a > 时，
f t
a
有2 个解，假设1
2
t
t
<
，则
1
2
0,1 ,
2,
t
t
¥
Î
Î
+
，
故
1
f x
t
有4 个解，
2
f x
t
有2 个解，共有6 个解，
综上所述，关于x 的方程
f
f x
a
至少有7 个不同的解时0
1
a
£
£ ，
故答案为：1
- ；0
1
a
£
£ .
