曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
8.3 直线、平面垂直的判定与性质
五年高考
考点 直线、平面垂直的判定与性质
1.(2022全国乙,理7,文9,5分,综合性)在正方体ABCD-A B C D 中,E,F分别为AB,BC的
1 1 1 1
中点,则( )
A.平面B
1
EF⊥平面BDD
1
B.平面B
1
EF⊥平面A
1
BD
C.平面B
1
EF∥平面A
1
AC
D.平面B
1
EF∥平面A
1
C
1
D
答案 A
2.(2014广东,7,5分,基础性)若空间中四条两两不同的直线l
1
,l
2
,l
3
,l
4
,满足l 1⊥l
2
,l 2⊥l
3
,l 3⊥l
4
,则
下列结论一定正确的是( )
A.l 1⊥l
4
B.l 1∥l
4
C.l 与l 既不垂直也不平行
1 4
D.l 与l 的位置关系不确定
1 4
答案 D
3.(2021浙江,6,4分,基础性)如图,已知正方体ABCD-A B C D ,M,N分别是A D,D B的中
1 1 1 1 1 1
点,则( )
A.直线A
1
D与直线D
1
B垂直,直线MN∥平面ABCD
B.直线A
1
D与直线D
1
B平行,直线MN⊥平面BDD
1
B
1
C.直线A
1
D与直线D
1
B相交,直线MN∥平面ABCD
D.直线A
1
D与直线D
1
B异面,直线MN⊥平面BDD
1
B
1
答案 A
4.(2019课标Ⅲ,文8,理8,5分,综合性)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角
形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 B
5.(2019北京,文13,理12,5分,基础性)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个
论断:
①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:
.
答案 若l⊥m,l⊥α,则m∥α(答案不唯一)
6.(2021新高考Ⅰ,20,12分,综合性)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面
BCD,AB=AD,O为BD的中点.
(1)证明:OA⊥CD;
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大
小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.
解析 (1)证明:在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD,又∵平面ABD⊥平面
BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD,又CD⊂平面
BCD,∴AO⊥CD.
(2)在△ABD中,过E作EN∥AO交BD于N,
则由AO⊥平面BCD得EN⊥平面BCD,∴EN⊥BC,
∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.
在△BCD中,过N作NM∥CD交BC于M,则NM⊥BC.
连接EM,∵BC⊥EN,BC⊥NM,EN∩NM=N,
∴BC⊥平面EMN,∴EM⊥BC,
∴∠EMN为二面角E-BC-D的平面角,又知二面角E-BC-D的大小为45°,
∴∠EMN=45°,∴△EMN为等腰直角三角形,
又由DE=2EA得DN=2NO,∴MN=
2 2 1
CD= =EN=ND,∴AO=OD=1,∴V A−BCD= S
△BCD
·AO=
3 3 3
1 1 √3 √3
× ×1×√3×1= .故三棱锥A−BCD的 体 积 为.
3 2 6 6
7.(2021全国乙文,18,12分,综合性)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面
ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.
(1)证明:平面PAM⊥平面PBD;
(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 (1)证明:由于PD⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,则PD⊥AM,又
PB⊥AM,PB∩PD=P,PB、PD⊂平面PBD,所以AM⊥平面PBD,因为AM⊂平面PAM,所以平
面PAM⊥平面PBD.
(2)由(1)知AM⊥平面PBD,因为BD⊂平面PBD,所以AM⊥BD,所以∠MAB+∠ABD=90°,因
为四边形ABCD为矩形,所以∠DAB=∠ABM,所以∠MAB+∠AMB=90°,所以
∠ABD=∠AMB,则△DAB∽△ABM,则
DA AB
= ,又AB=DC=1,M为 BC的 中,∴点AD=√2,
AB BM
1 1 √2
∴S =AB·AD=√2,∴V四棱锥P−ABCD= S ·PD= ×√2×1= .
矩形ABCD 3 矩形ABCD 3 3
8.(2019课标Ⅱ文,17,12分,综合性)如图,长方体ABCD-A B C D 的底面ABCD是正方形,
1 1 1 1
点E在棱AA
1
上,BE⊥EC
1
.
(1)证明:BE⊥平面EB
1
C
1
;
(2)若AE=A E,AB=3,求四棱锥E-BB C C的体积.
1 1 1
解析 (1)证明:由已知得B
1
C 1⊥平面ABB
1
A
1
,BE⊂平面ABB
1
A
1
,故B
1
C 1⊥BE.又BE⊥EC
1
,所
以BE⊥平面EB
1
C
1
.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(2)由(1)知∠BEB
1
=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A
1
B
1
E,所以∠AEB=∠A
1
EB
1
=45°,故
AE=AB=3,AA
1
=2AE=6.作EF⊥BB
1
,垂足为F,则EF⊥平面BB
1
C
1
C,且EF=AB=3.所以,四棱
1
锥E-BB C C的体积V= ×3×6×3=18.
1 1
3
三年模拟
A组 考点基础题组
考点 直线、平面垂直的判定与性质
1.(2022广东湛江二模,4)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且α∩β=m,则
“m⊥n”是“n⊥β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.(2022福建龙岩一模,4)已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面α,β,γ,给出下列四个命
题,错误的命题是( )
A.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b
B.若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b
C.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则a⊥α
D.若α∥β,a∥α,则a∥β
答案 D
3. (多选)(2022长沙雅礼中学第七次月考,11)如图,已知长方体ABCD-A B C D 中,四边
1 1 1 1
形ABCD为正方形,AB=2,AA =√2,E,F分别为AB,BC的中点,则( )
1
A.A
1
E⊥DF
B.点A 、E、F、C 四点共面
1 1
C.直线C D与平面BB C C所成角的正切值为√2
1 1 1
√2
D.三棱锥E-C DF的体积为
1
2
答案 BCD
4.(多选)(2022福建4月百校联合测评,11)已知三棱锥P-ABC外接球的球心为O,外接球
的半径为4,AB=AC=4,PB=PC,BC=m(m为正数),则下列命题是真命题的是( )
32+16√2
A.若m=4√2,则三棱锥P−ABC的体积的最大值为
3
B.若P,O,A不共线,则平面POA⊥平面ABC曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
C.存在唯一一点P,使得OP⊥平面ABC
D.m的最大值为4√2
答案 AB
5.(2020湘赣皖十五校第二次联考,3)棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中,P为正方体表
1 1 1 1
面上的一个动点,且总有PC⊥BD
1
,则动点P的轨迹所围成的图形的面积为( )
√3
A.√3B.3√2C. D.1
2
答案 C
6.(2021重庆一模,16)在四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AA 1⊥平面
ABCD,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=AA
1
=2,以CD的中点O为球心,OD
1
的长为半径的球
O截侧面ABB A 所得图形的面积为 .
1 1
答案 π
B组 综合应用题组
时间:40分钟 分值50分
一、单项选择题(每小题5分,共15分)
1.(2022重庆一中3月月考,2)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列
结论正确的是( )
A.若α∥β,m∥α,则m∥β
B.若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n
C.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β
D.若m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β
答案 B
2. (2022黑龙江哈尔滨三中二模,11)如图,直四棱柱ABCD-A B C D 的底面是边长为3
1 1 1 1
1 1
的正方形,侧棱长为4,E,F分别在AB,BC上,且⃗AE= ⃗AB,⃗CF= ⃗CB,过D ,E,F的平面记
1
3 3
为α,则下列说法中正确的个数是( )
2√10
①D F与平面ABCD所成角的正切值为 ;
1
5
②平面α截直四棱柱ABCD-A B C D 所得截面的形状为四边形;
1 1 1 1
③平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为3∶1;
④平面α截直四棱柱ABCD-A B C D 所得截面的面积为7√3.
1 1 1 1
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
3.(2021江苏南通期末,3)已知直线m⊂平面α,则直线l⊥平面α是直线l⊥m的( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
答案 B
二、多项选择题(每小题5分,共10分)
4.(2022湖北八市联考,11)我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥,称作直角三
棱锥.在直角三棱锥S-ABC中,侧棱SA、SB、SC两两垂直,设SA=a,SB=b,SC=c,点S在
底面ABC的射影为点D,三条侧棱SA、SB、SC与底面所成的角分别为α、β、γ,下列结
论正确的有( )
A.D为△ABC的外心
B.△ABC为锐角三角形
C.若a>b>c,则α<β<γ
D.sin2α+sin2β+sin2γ=1
答案 BCD
5.(2022湖南三湘名校联盟联考,12)在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,平面ACC
1
A 1⊥平面
ABC,A A=A C.E,F分别是线段AC,A B 上的点.下列结论成立的是( )
1 1 1 1
A.若AA
1
=AC,则存在唯一直线EF,使得EF⊥A
1
C
2√3
B.若AA =AC,则存在唯一线段EF,使得四边形ACC A 的面积为 EF2
1 1 1
3
C.若AB⊥BC,则存在无数条直线EF,使得EF⊥BC
D.若AB⊥BC,则存在线段EF,使得四边形BB
1
C
1
C的面积为BC·EF
答案 BCD
三、填空题(每小题5分,共10分)
6.(2022山东枣庄一模,14)如图,等腰Rt△PAD与矩形ABCD所在平面垂直,且
PA=PD=AB=2,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为 .
答案 12π
7.(2022海南文昌中学4月段考,16)已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,点M,N分别
1 1 1 1
是棱BC,C D 的中点,点P在平面A B C D 内,点Q在线段A N上,若PM=√5,则PQ长度
1 1 1 1 1 1 1
的最小值为 .曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3√5
答案 -1
5
四、解答题(共15分)
8.(2022重庆第七次质检,20)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,△PAD是正三角
形,DC∥AB,DA=DC=2AB=4.
(1)求证:平面PBC⊥平面PCD;
(2)求平面PAC与平面PBD所成二面角的正弦值.
解析 (1)证明:取PC的中点E,PD的中点F,连接BE,AF,EF,∵△PAD是正三角形,
∴AF⊥PD.
∵AB⊥平面PAD,DC∥AB,AF⊂平面PAD,
∴AF⊥DC,又PD∩DC=D,∴AF⊥平面PDC.
1
∵E,F分别是PC,PD的中点,∴EF∥DC,EF= DC,
2
1
又AB∥DC,AB= DC,∴AB∥EF,AB=EF,
2
∴四边形EFAB为平行四边形,∴BE∥AF,
∴BE⊥平面PCD,∵BE⊂平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O,取BC的中点M,连接OM,OP,易知OP,OA,OM两两垂直,以O为原点,
分别以⃗OA,⃗OM,
⃗OP的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(−2,4,0),D(−2,0,0),P(0,0,2√3
),则 ), ).
⃗PA=(2,0,−2√3 ⃗PC=(−2,4,−2√3
{⃗PA·n =0, { 2x -2√3z =0,
设平面PAC的法向量为n 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ),由 1 得 1 1
⃗PC·n =0, -2x +4 y -2√3z =0,
1 1 1 1
令x =√3,则y1=√3,z1=1,则n1=(√3,√3,1).
1
易知 ), ).
⃗PB=(2,2,−2√3 ⃗PD=(−2,0,−2√3
