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湘教版选必一课本原题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知
为抛物线
：
的焦点，过
作两条互相垂直的直线，
，直线与
交
于
､
两点，直线
与
交于
､
两点，则
的最小值为 .
二、解答题-问答题
2．设某地的街道把城市分割成矩形方格，称每个方格为一个块，小张从家里出发上班，向
东要走
块，向北要走
块，问小张上班的最短路径有多少种？
3．（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）利用（1）中的切线方程求
的近似值.
4．已知过原点的动直线与圆
相交于不同的两点
，
．
（1）求圆
的圆心坐标；
（2）求线段
的中点
的轨迹
的方程；
（3）是否存在实数
，使得直线
与曲线
只有一个交点？若存在，求出
的
取值范围；若不存在，说明理由．
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5．如图，已知圆O：
和点
，由圆O 外一点P 向圆O 引切线
，Q 为切
点，且有
.
（1）求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么样的几何图形?
（2）求
的最小值；
（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.
6．已知F 为抛物线
的焦点，过F 作两条互相垂直的直线，
，直线与C 交
于A，B 两点，直线
与C 交于D，E 两点，求
的最小值.
三、解答题-作图题
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7．对数函数与指数函数的图象与性质．
(1)求对数曲线
过点
的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象．
(2)观察（1）中的图象，你发现切线在切点
附近非常接近曲线吗？当
很小时，你
能得出近似公式吗？试用此近似公式计算
以及
的近似值．
(3)再观察（1）中的图象，你可以发现切线
行在曲线
上方，即对所有的
，不等式
恒成立．试通过理论推导证明这个不等式．（提示：求函数
的最小值．）
(4)对数曲线：
关于直线
的轴对称图形
是什么函数的图象？对数曲线的
切线的轴对称图形是曲线
的切线吗？试写出它的方程，并判断该切线是在曲线
的上方还是下方．你能得出什么不等式？
(5)为什么对数曲线
在点
处的切线的斜率
“正好”等于1？
因为当
时，
斜率
．
又因为当
，
，因此
．若将对数的底数取
，则切线的斜率
．
试仿此求出曲线
在点
处的切线方程．形式上复杂吗？
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知
为抛物线
：
的焦点，过
作两条互相垂直的直线，
，直线与
交
于
､
两点，直线
与
交于
､
两点，则
的最小值为 .
【答案】36
【解析】设直线的方程为
，联立方程组，分别求得
和
，结合基本不等式，即可求得
的最小值，得到答案.
【详解】由题，抛物线
的焦点
，准线方程为
，
设直线的方程为
，
，
联立方程组
，则
，
设
，
，可得
，
由抛物线的定义可得
，
由
，可将上式中的
换为
，可得
，
则
，
当且仅当
，上式取得等号，
则
的最小值为36.
故答案为：36.
【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：
1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，
看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；
2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点
到焦点
的距离：
或
.
二、解答题-问答题
2．设某地的街道把城市分割成矩形方格，称每个方格为一个块，小张从家里出发上班，向
东要走
块，向北要走
块，问小张上班的最短路径有多少种？
【答案】
【分析】依题意小张从家里出发上班一共要走
块，其中向东要走
块，向北要走
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块，利用组合数公式计算可得.
【详解】依题意要使路径最短，则只能向东或向北走，不能向西且不能向南走，
则小张从家里出发上班一共要走
块，其中向东要走
块，向北要走
块，
所以小张上班的最短路径有
种.
3．（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）利用（1）中的切线方程求
的近似值.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）直接利用导数求解；
（2）化简
即得解.
【详解】解：（1）由题得
，所以切线的斜率
，
所以切线方程为
.
所以切线方程为
.
（2）由题得
，
所以
.
4．已知过原点的动直线与圆
相交于不同的两点
，
．
（1）求圆
的圆心坐标；
（2）求线段
的中点
的轨迹
的方程；
（3）是否存在实数
，使得直线
与曲线
只有一个交点？若存在，求出
的
取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）存在，
或
．
【分析】（1）通过将圆
的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程
为y=kx，通过联立直线与圆
的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公
式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆
的方
程，利用根的判别式△=0 及轨迹
的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论
【详解】（1）由
得
，
∴ 圆
的圆心坐标为
；
（2）设
，当x=3 时，符合题意；
当x 不等于3 时，
∵ 点
为弦
中点即
，
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∴
即
，
∴ 线段
的中点
的轨迹的方程为
；
（3）由（2）知点
的轨迹是以
为圆心
为半径的部分圆弧
（如下图所
示，不包括两端点），且
，
，又直线
：
过定点
，
当直线
与圆
相切时，由
得
，又
，结合上图可知当
时，直线
：
与曲线
只有一个交点．
考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程
5．如图，已知圆O：
和点
，由圆O 外一点P 向圆O 引切线
，Q 为切
点，且有
.
（1）求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么样的几何图形?
（2）求
的最小值；
（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.
【答案】（1）
，轨迹是斜率为
，在y 轴上的截距为
的直线，（2）
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（3）
【解析】(1)设点P
,根据
,列式化简即可得解;
(2)由
可知,
的最小值即为点A 到直线
的距离;
(3)结合圆的性质可知,
与直线
垂直,且圆
与圆
相切时,半径最小,据此求
解即可.
【详解】(1)设点P 的坐标为
,
,
,
由题意有
,整理为:
,
故点P 的轨迹方程为
,
点P 的轨迹是斜率为
,在y 轴上的截距为
的直线;
(2)由
和(1)可知,
的最小值即为点A 到直线
的距离,
故其最小值为
;
(3)由圆的性质可知,当直线
与直线
垂直时,
以此时的点P 为圆心,且与圆O 相外切的圆即为所求,
此时
的方程为
,
联立方程
,解得
,即
,
又点O 到直线
的距离为
,可得所求圆的半径为
,
故所求圆的标准方程为
.
【点睛】本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,综合运用了直线与圆的各项性质,需
要学生有一定的分析和计算能力,属于中档题.
6．已知F 为抛物线
的焦点，过F 作两条互相垂直的直线，
，直线与C 交
于A，B 两点，直线
与C 交于D，E 两点，求
的最小值.
【答案】16
【分析】设直线方程，由两直线垂直可得
方程，联立与抛物线方程可得根与系数关系
式，利用弦长公式可得
表达式，同理可得
的表达式，结合基本不等式即可求得答
案.
【详解】由题意知抛物线
的焦点为
，焦准距
，
过F 作两条互相垂直的直线，
，直线与C 交于A，B 两点，直线
与C 交于D，E 两
点，
则，
的斜率都存在且不为0，
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故设
，则直线
，设
，
联立
，则
，
，
则
，同理
，
故
，
同理可得
,
故
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故
的最小值为16.
三、解答题-作图题
7．对数函数与指数函数的图象与性质．
(1)求对数曲线
过点
的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象．
(2)观察（1）中的图象，你发现切线在切点
附近非常接近曲线吗？当
很小时，你
能得出近似公式吗？试用此近似公式计算
以及
的近似值．
(3)再观察（1）中的图象，你可以发现切线
行在曲线
上方，即对所有的
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，不等式
恒成立．试通过理论推导证明这个不等式．（提示：求函数
的最小值．）
(4)对数曲线：
关于直线
的轴对称图形
是什么函数的图象？对数曲线的
切线的轴对称图形是曲线
的切线吗？试写出它的方程，并判断该切线是在曲线
的上方还是下方．你能得出什么不等式？
(5)为什么对数曲线
在点
处的切线的斜率
“正好”等于1？
因为当
时，
斜率
．
又因为当
，
，因此
．若将对数的底数取
，则切线的斜率
．
试仿此求出曲线
在点
处的切线方程．形式上复杂吗？
【答案】(1)
，图象见详解
(2)
，
，
(3)证明见详解
(4)结论见详解；当
时，
(5)
；不复杂
【分析】（1）利用导数求得切线斜率，根据直线方程运算即可得解.
（2）结合图象，根据导数的几何意义可得结论和近似公式，利用公式运算即可得解.
（3）利用导数研究函数单调性，确定函数的大致图象，求得函数最小值即可得证.
（4）利用导数求得切线方程，根据图象的对称性可得结论，观察图象的位置关系即可得
解.
（5）利用条件中的求解过程换底求得切线斜率，根据直线方程运算即可得解.
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
，
∴由导数的几何意义知曲线
在点
处的切线斜率为
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
对数曲线和所求切线的图象如下图：
（2）解：观察（1）中的图象，可以发现切线在切点
附近非常接近曲线.
即有，当
很小时，
.
∴
；
.
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（3）证明：设
，
则
，由
可得：
.
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
；
由（1）中的图象知当
时，
.
∴函数
大致图像如下图：
∴
是函数
的最小值.
∴当
时，
，即有
.
∴对所有的
，不等式
恒成立．
（4）解：∵由
可解得：
，
∴对数曲线
关于直线
的轴对称图形
是指数函数
的图象.
对数曲线的切线
的轴对称图形是
，即
.
点
关于直线
的轴对称点是
，该点在指数曲线
上.
∵
，
.
∴
，
，
∴由导数的几何意义知曲线
在点
处的切线斜率为
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
∴对数曲线的切线
的轴对称图形是是曲线
的切线.
如下图
曲线
的切线
在曲线
的下方，由此可得出：
对所有的
，不等式
恒成立．
（5）解：当
时，
斜率
．
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又因为当
，
，因此
．
将对数的底数取
，则切线的斜率
．
∴曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
切线方程在形式上不复杂，但求解过程比利用导数求切线斜率的求解过程复杂.
