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立体几何小题
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】表面积与体积的计算
【题型二】最短路径问题
【题型三】立体几何新定义
【题型四】截面问题
【题型五】交线与轨迹问题
【题型六】“球”的切接问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：动点导致的体积，角度变化
：立体几何小题几乎年年考。
通常考点有，多面体，旋转体表面积、体积的考察；与内切球，外切球的方式考察；截面问题，轨迹问题，
动点问题形式考察
：
1.锻炼自己的空间想象能力
2.熟悉各种解题模型
3.会对多面体的各个截面讨论
【题型一】表面积与体积的计算
【例1】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为
，则该圆锥的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分
水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为
，将半径为
的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满
水杯，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥
的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】若圆锥的轴截面是一个边长为
的等边三角形，则它的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1 和4，母线长为5，则该圆台的（ ）
A．高为4
B．母线与底面所成角为
C．侧面积为
D．体积为
【题型二】最短路径问题
【例1】如图圆柱的底面周长是
，圆柱的高为
，
为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆
柱的侧面从下底面点
处爬到上底面点
处，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】圆锥顶点
，底面半径为1，母线
的中点为
，一只蚂蚁从底面圆周上的点
绕圆锥
侧面一周到达
的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【变式1】如图，在正四棱锥
中，
，
，一小虫从顶点A 出发，沿该棱锥的侧面
爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ．
【变式2】已知圆台上下底面的圆心分别为
，
，母线
（点
位于上底面），且满足
，
圆
的周长为
，一只蚂蚁从点
出发沿着圆台的侧面爬行一周到
的中点
，则蚂蚁爬行的最短路程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型三】立体几何新定义
【例1】从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几
何体可以“一笔画”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】如果拉伸两个端头，下列绳子会打结的是？ .
创新题主要是在原概念、原公式、原定理、原法则、原运算等的基础上，给出新概念、新公式、新定理、
新法则、新运算等，然后此基础上去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对
新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难
题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
【变式1】给定两个不共线的空间向量
与
，定义叉乘运算
，规定：①
为同时与
垂直的向
量；②
三个向量构成右手系（如图1）；③
．如图2，在长方体中
中，
，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在一张纸上写着一个词，把纸对半折下，使能够看到词的下半部分.从纸的另一面你能看到什么?
描述一下.
【变式3】在《线性代数》中定义：对于一组向量
，
，
存在一组不全为0 的实数
，
，
使得：
成立，那么则称
，
，
线性相关，只有当
时，才能
使
成立，那么就称
，
，
线性无关.若
为一组不共面的空间向量，
则以下向量组线性无关的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【题型四】截面问题
【例1】如下图所示，在正方体
中，如果点E 是
的中点，那么过点
、B、E 的截面
图形为（ ）
A．三角形
B．矩形
C．正方形
D．菱形
【例2】已知一正方体木块
的棱长为4，点
在棱
上，且
.现过
三点作一
截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】如图，正方体
的棱长为4，
，
，过B，P，Q 三点的平面
截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图，正方体
的棱长为2，点E，F 分别是
，
的中点，过点
，E，F
的平面截该正方体所得的截面多边形记为
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】如图，正方体
的棱长为1，P 为
的中点，Q 为线段
上的动点，过点A、
P、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当
时，S 为四边形；
②当
时，S 为等腰梯形；
③当
时，S 的面积为
；
④当
时，S 与
的交点R 满足
.以上结论正确的个数是（）
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型五】交线与轨迹问题
【例1】如图，三棱柱
中，
，
，
，
，
为
中点，
为
上
一点，
，
，
为侧面
上一点，且
平面
，则点
的轨迹的长度
为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【例2】在三棱锥
中，底面
是等边三角形，侧面
是等腰直角三角形，
，
是平面
内一点，且
，若
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】在棱长为1 的正方体
中，点Q 为侧面
内一动点（含边界），若
，则点Q 的轨迹长度为 ．
【题型六】“球”的切接问题
【例1】已知球
与正三棱柱
的各个面均相切，记平面
截球
所得截面的面积为
，球
的表面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知菱形
的边长为
，以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，
且平面
平面
.若点
都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
，
，
，
是半径为15 的球的球面上四点，
，
，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．384
B．1152
C．
D．
易错点：动点问题导致的体积，角度，距离的变化
解题技巧：1.对各个题型进行总结。
2.在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。
例1.（多选）如图，在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，
是棱
上的动点
（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．若
是棱
的中点，则过
的平面截正方体
所得的截面图形的周长为
C．若
是棱
的中点，则点
到平面
的距离为
D．若
与平面
所成的角为
，则
变式1．（多选）在长方体
中，已知
，点P 是线段
上的动点．
则下列说法正确对的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则点P 到平面
的距离是
C．若
，则直线AP 与直线
所成角的范围是
D．若
，分别经过
且平分三棱锥
体积的截面面积依次为
，则
变式2．（多选）若正方体
的棱长为1，
为棱
的中点，点
满足
，
其中
，则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积为
B．若
平面
，则动点
的轨迹长度为
C．至少存在一个
点，使
平面
D．若直线
与平面
所成角的正切值为2，则点
轨迹的长度为
