文档文本内容
立体几何小题
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】表面积与体积的计算
【题型二】最短路径问题
【题型三】立体几何新定义
【题型四】截面问题
【题型五】交线与轨迹问题
【题型六】“球”的切接问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：动点导致的体积，角度变化
：立体几何小题几乎年年考。
通常考点有，多面体，旋转体表面积、体积的考察；与内切球，外切球的方式考察；截面问题，轨迹问题，
动点问题形式考察
：
1.锻炼自己的空间想象能力
2.熟悉各种解题模型
3.会对多面体的各个截面讨论
【题型一】表面积与体积的计算
【例1】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为
，则该圆锥的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系
，再结合
和
即可计算.
【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为
，则外接球表面积为
，则
，
即
，
设圆锥的高为
，圆锥的底面圆半径为
，则
，
由
，解得
，
则此圆锥的表面积为
.
故选：B
【例2】如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分
水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为
，将半径为
的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满
水杯，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据小球的体积和原来水中的体积之和为整个圆台的体积，结合圆台体积的计算公式，列出方程，
即可求得结果.
【详解】圆台水杯上底面圆半径为
，下底面半径为
，
当杯底水平放置时，液面半径为
，
为方便理解，画出圆台的轴截面图如下所示：
因为此时杯中水的高度为
，故
为
；
整个水杯盛满水时的体积为：
，
未放置小球前水的体积为：
，
又小球体积为
；
故
，即
，解得
.
故选：D.
【例3】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥
的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得
，求得
，进而由
可求得圆锥
的高.
【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为
，
设扇形半径为
，则有
，解得
，因此圆锥的母线长为
，
所以圆锥的高
.
故选：D
【变式1】若圆锥的轴截面是一个边长为
的等边三角形，则它的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由条件确定圆锥的底面半径和高，在利用圆锥的体积公式求结论.
【详解】因为圆锥的轴截面是一个边长为
的等边三角形，
所以圆锥的底面半径
，高
，
所以圆锥的体积
.
故选：A.
【变式2】（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1 和4，母线长为5，则该圆台的（ ）
A．高为4
B．母线与底面所成角为
C．侧面积为
D．体积为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形、侧面积及体积公式逐项求解判断.
【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别
，腰长
，
对于A，圆台的高等于圆台轴截面等腰梯形的高
，A 正确；
对于B，母线与底面所成角等于圆台轴截面等腰梯形的底角
，
，B 错误；
对于C，圆台的侧面积
，C 正确；
对于D，圆台的体积
，D 正确.
故选：ACD
【题型二】最短路径问题
【例1】如图圆柱的底面周长是
，圆柱的高为
，
为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆
柱的侧面从下底面点
处爬到上底面点
处，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】把圆柱沿母线AC 剪开后展开，点
展开后的对应点为
，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬
行的最短路径为
，利用勾股定理计算出
即可．
【详解】
把圆柱沿母线AC 剪开后展开，点
展开后的对应点为
，
则蚂蚁爬行的最短路径为
，
如图，由题意可知
，
，
在
，
，
所以它爬行的最短路程为
，
故选：C
【例2】圆锥顶点
，底面半径为1，母线
的中点为
，一只蚂蚁从底面圆周上的点
绕圆锥
侧面一周到达
的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将圆锥侧面沿母线
剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段
，过
作
的垂线，
垂足为
，求出
的长即可.
【详解】将圆锥侧面沿母线
剪开并展开成扇形，
则该扇形半径
，弧长为
，圆心角
，
最短路线即为扇形中的线段
，
,
过
作
的垂线，垂足为
，当蚂蚁从
点爬行到点
过程中，它与点
的距离越来越小，
于是
为上坡路段，当蚂蚁从点
爬行到点
的过程中，它与点
的距离越来越大，
于是
为下坡路段，下坡路段长
.
故选：B
【变式1】如图，在正四棱锥
中，
，
，一小虫从顶点A 出发，沿该棱锥的侧面
爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ．
【答案】2
【分析】画出正四棱锥
的侧面展开图，得到A，M，N，E 共线时，小虫走过的路线最短，最长
最短距离.
【详解】画出正四棱锥
的侧面展开图，如图所示．
当A，M，N，E 共线时，小虫走过的路线最短，最短为
的长．
因为
，
，所以
，
则
是边长为2 的等边三角形，则
，即小虫走过的最短路线的长为2．
故答案为：2.
【变式2】已知圆台上下底面的圆心分别为
，
，母线
（点
位于上底面），且满足
，
圆
的周长为
，一只蚂蚁从点
出发沿着圆台的侧面爬行一周到
的中点
，则蚂蚁爬行的最短路程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先求出底面圆
的半径
，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线
剪开，展成平面图
形，延长
、
交于点
，连接
，设
，利用弧长公式及
求出
与
，再在
中利用余弦定理求出
即可.
【详解】因为圆
的周长为
，则底面圆
的半径
，
又
，所以上底面半径为
，
将圆台的侧面沿着母线
剪开，展成平面图形，延长
、
交于点
，连接
，如图，
显然弧
的长为
，弧
的长为
，设
，则
，
，
则
，又
，即
，所以
，则
，
，
在
中由余弦定理
，
所以蚂蚁爬行的最短路程为
.
故选：A
【题型三】立体几何新定义
【例1】从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几
何体可以“一笔画”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一笔画的要求，先找到都是偶点的图形，一定可以一笔画，再验证奇点的图形是否符合一笔
画的条件.
【详解】从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，所以C 选项正
确;
从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点
才可以一笔画，
而ABD 选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画.
故选：C
【例2】如果拉伸两个端头，下列绳子会打结的是？ .
【答案】
【分析】通过想象每根绳子在拉伸两个端头时的变化过程，来确定哪些绳子会形成结，直接判断即可.
【详解】绳子1 的判断：当拉伸绳子1 的两个端头时，由于绳子自身的缠绕方式，在拉伸过程中会形成一
个结，可以想象将两个端头慢慢拉开，绳子中间的缠绕部分会收紧形成结；
绳子2 的判断：同样，对于绳子2，其缠绕方式使得在拉伸两个端头时，中间部分会因为绳子的交叉缠绕
而形成一个结；
绳子3 的判断：绳子3 在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况，因为其缠绕方
式并没有形成闭环式的交叉；
绳子4 的判断：绳子4 拉伸时也能顺利拉直，不会形成结，其交叉部分在拉伸过程中会自然解开；
根据对每根绳子拉伸过程的想象和判断，会打结的绳子是
，
故答案为：
.
创新题主要是在原概念、原公式、原定理、原法则、原运算等的基础上，给出新概念、新公式、新定理、
新法则、新运算等，然后此基础上去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对
新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难
题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
【变式1】给定两个不共线的空间向量
与
，定义叉乘运算
，规定：①
为同时与
垂直的向
量；②
三个向量构成右手系（如图1）；③
．如图2，在长方体中
中，
，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算
长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D.
【详解】对于A，
同时与
垂直，
，
且
构成右手系，即
成立，A 正确；
对于B，
，则
，B 错误；
对于C，
，
与
共线，且方向相同，
与
共线，且方向相同，
与
共线，且方向相同，
则
与
共线，且方向相同，
因此
，C 正确；
对于D,
，
，
因此
，D 正确．
故选：B
【变式2】在一张纸上写着一个词，把纸对半折下，使能够看到词的下半部分.从纸的另一面你能看到什么?
描述一下.
【答案】答案见解析
【分析】想象各张纸的上半部分折过去然后旋转过来，即从另一面看过来的图象即可．
【详解】由题意各纸张从另一面看的图形为：
1 为
2 为
3 为
4 为
【变式3】在《线性代数》中定义：对于一组向量
，
，
存在一组不全为0 的实数
，
，
使得：
成立，那么则称
，
，
线性相关，只有当
时，才能
使
成立，那么就称
，
，
线性无关.若
为一组不共面的空间向量，
则以下向量组线性无关的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【分析】根据向量组线性相关，无关的定义列出等式，解方程组即可判断.
【详解】因为
为一组不共面的空间向量，则
不能用
，
线性表示，
即只有当
时，
.
对于A：设
，
整理得：
，
所以有
，取
，
所以
，
，
线性相关，故A 错误；
对于B：设
，
整理得：
，
所以有
，取
，
所以
，
，
线性相关，故B 错误；
对于C：设
，
整理得：
，
所以有
，取
，
所以
，
，
线性相关，故C 错误；
对于D：设
，
整理得：
，
所以有
，解得
，
所以
，
，
线性无关，故D 正确.
故选：D
【题型四】截面问题
【例1】如下图所示，在正方体
中，如果点E 是
的中点，那么过点
、B、E 的截面
图形为（ ）
A．三角形
B．矩形
C．正方形
D．菱形
【答案】D
【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.
【详解】分别取
的中点
，连接
，
如图
即为过点
、B、E 截正方体所得的截面图形，
由题意可知：
且
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又因为
且
，
且
，
所以
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
,
所以
，同理
，所以四边形
为平行四边形，
又因为
，所以平行四边形
为菱形，
故选：
.
【例2】已知一正方体木块
的棱长为4，点
在棱
上，且
.现过
三点作一
截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】如图，在
上取一点
，使得
，连接
，则四边形
为平行四边形，即平行
四边形
为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出
，即可
求解.
【详解】
如图，在
上取一点
，使得
，连接
，
因为
且
，所以四边形
为平行四边形，
所以
与
相交于
且
为
的中点，
又
在
上，所以
与
相交于
，且O 平分
，
，
所以四点
四点共面且四边形
为平行四边形，
所以过
三点的截面是平行四边形
，
，
，
，
故截面面积为
.
故选：A.
【变式1】如图，正方体
的棱长为4，
，
，过B，P，Q 三点的平面
截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】延长
交
于点
，则
，推出
，
，
，
四点共面，再计算
即可得
出答案．
【详解】延长
交
于点
，则
，
即
为
的中点，
连接
，取
中点
，连接
，则
，
所以
，
，
，
四点共面，故梯形
即为截面图形，
，
，
，
记
边上的高为，
则
解得
所以
．
故选：D．
【变式2】如图，正方体
的棱长为2，点E，F 分别是
，
的中点，过点
，E，F
的平面截该正方体所得的截面多边形记为
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，得到五边形
即为截面
，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面
周长.
【详解】延长
，与直线
相交于
，
连接
与
分别交于点
，连接
，
则五边形
即为截面
，
正方体的棱长为2，点
分别是
的中点，
所以
，
由
得，
，
，
所以
分别为靠近
的三等分点，故
，
所以由勾股定理得
，
，
，
所以
的周长为
.
故选：C.
【变式3】如图，正方体
的棱长为1，P 为
的中点，Q 为线段
上的动点，过点A、
P、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当
时，S 为四边形；
②当
时，S 为等腰梯形；
③当
时，S 的面积为
；
④当
时，S 与
的交点R 满足
.以上结论正确的个数是（）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A 作PQ 的平行线即可得到截面.
【详解】①当
时，如图（1），是四边形，故①正确；
②当
时，如图（2），是等腰梯形，故②正确；
③当
时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为
所以
，③正确.
④当
时，如下图，延长
至
，使
，连接
交
于，连接
交
于
，连接
，则
，由
，可得
，所以
，故④正确；
故选：D
【题型五】交线与轨迹问题
【例1】如图，三棱柱
中，
，
，
，
，
为
中点，
为
上
一点，
，
，
为侧面
上一点，且
平面
，则点
的轨迹的长度
为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】在
上取点
，使得
，在
上取点
，使得
，则
、
，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面
平面
，则点M 的轨
迹为线段
，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】由题意知，
，在
上取点
，使得
，
则
且
，所以四边形
为平行四边形，
故
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
在
上取点
，使得
，
有
，所以
，则
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
，则点M 的轨迹为线段
.
在
中，
，由余弦定理，
得
，
即点M 的轨迹长度为
.
故选：B
【例2】在三棱锥
中，底面
是等边三角形，侧面
是等腰直角三角形，
，
是平面
内一点，且
，若
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取
的中点
，连接
，作
交
的延长线于点
，利用线面垂直的判定得到
平面
，进而得出
，再结合余弦定理和同角三角函数的基本关系可得点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，最后结合圆的周长计算公式即可求解.
【详解】如图，取
的中点
，连接
，易得
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
，所以
，
，
，
在
中，
，由余弦定理得
，
作
交
的延长线于点
，则
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
，所以
，
在
中，
，则
，
所以点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
则点
的轨迹长度为
，
故选：C，
【变式1】在棱长为1 的正方体
中，点Q 为侧面
内一动点（含边界），若
，则点Q 的轨迹长度为 ．
【答案】
/
【分析】根据题设描述确定Q 的轨迹，即可求其长度.
【详解】由题意，
在面
的轨迹是以
为圆心，半径为
的四分之一圆弧，
所以轨迹长度为
.
故答案为：
【变式2】已知正方体
棱长为，点
在正方体内部运动（包括表面），且
平面
，则动点
的轨迹所形成区域的面积为 ．
【答案】
/
【分析】利用截面
平面
，判断出动点
的轨迹在
三角形及其内部，即求
的
面积即可得到结果.
【详解】因为平面
平面
，
所以点
是该正方体表面及其内部的一动点，且
平面
，
所以点
的轨迹是
三角形及其内部，
所以
的面积为
.
故答案为：
．
【题型六】“球”的切接问题
【例1】已知球
与正三棱柱
的各个面均相切，记平面
截球
所得截面的面积为
，球
的表面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】因为球与正三棱柱各面均相切，所以正三棱柱高是球直径，底面正三角形内切圆半径是球半径，
由此确定正三棱柱底面边长. 求球心到平面距离时，找到相关点连线，利用正三棱柱上下底面中心与高的
关系得到
，再在直角三角形中求
，进而得出球心到平面距离. 根据勾股定理求截面圆半径，
再用圆面积公式得截面圆面积. 用球表面积公式求球表面积，最后算两者面积比值.
【详解】如图，设球
的半径为
球
与正三棱柱
的各个面均相切
正三棱柱
的高为
，底面边长为
.
设正三棱柱
上，下底面的中心分别是
是
的中点，连接
交
于
，
则
到平面
的距离
.又
.
所得截面圆半径
，
故选：A.
【例2】已知菱形
的边长为
，以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，
且平面
平面
.若点
都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先把平面
平面
，转化为
，再利用等边三角形的性质，确定
和
的外接圆的圆心
的位置，从而得到四边形
为正方形，进一步得到
，再求出
的外接圆半径
，在包含球半径
的
中求解即可.
【详解】如图所示，取
的中点
，连接
，
由题意可知
和
均为全等的等边三角形，
所以
，且
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，所以
.
设
为球心，
为
的外心，
为
的外心，
则
平面
，
平面
，且
，
所以四边形
为正方形，即
.
又因为
的外接圆半径
，
所以在
中，
，即
，
所以球的表面积为
.
故选：B.
【变式1】已知
，
，
，
是半径为15 的球的球面上四点，
，
，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．384
B．1152
C．
D．
【答案】B
【分析】利用直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，再利用过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心，
就可以构成勾股定理求距离，从而可求得最大体积.
【详解】因为
，
，所以
为
的外接圆的直径，即半径
，
由过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心可知，
球心到平面
的距离
，
又直角
面积
，
当且仅当
时取等号，
而点
到平面
的距离的最大值为
，
所以三棱锥
体积的最大值为
．
故选:B．
易错点：动点问题导致的体积，角度，距离的变化
解题技巧：1.对各个题型进行总结。
2.在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。
例1.（多选）如图，在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，
是棱
上的动点
（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．若
是棱
的中点，则过
的平面截正方体
所得的截面图形的周长为
C．若
是棱
的中点，则点
到平面
的距离为
D．若
与平面
所成的角为
，则
【答案】ACD
【分析】对于A 选项，
，由题
面
，所以不论
在棱
上如何运动，锥体的
底和高都不会发生变化；对于B 选项，作出过
的平面截正方体所得截面，再求出相关线段的长
即可；对于C 选项，运用等体积法计算即可；对于D 选项，以
为坐标原点，建立坐标系，用向量法求出
设面
的法向量，代入线面角公式即可求范围.
【详解】对于A 选项，
，因为
，可得
面
，
所以不论
在棱
上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化，
即
为定值，故A 选项正确；
对于B 选项，四边形
为过
的平面截正方体所得截面，
因为平面
平面
，且面
平面
，
面
面
，
有
，又因为
为中点，所以
为四等分点，
则
，故B 选项错误；
对于C，当
是棱
的中点时，
，
，
.
由余弦定理
，则
.
所以
.
，又
.
设点
到平面
的距离为，根据
，即
，解得
，所以选
项C 正确.
对于D 选项，以
为坐标原点，建立坐标系如图，
则
，
，
，设
，
，所以
，
，
，设面
的法向量为
，则
，令
，解得
，所以
，当
时，
，当
时，
，
当且仅当
时等号成立，因此
，故D 选项正确；
故选：ACD.
变式1．（多选）在长方体
中，已知
，点P 是线段
上的动点．
则下列说法正确对的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则点P 到平面
的距离是
C．若
，则直线AP 与直线
所成角的范围是
D．若
，分别经过
且平分三棱锥
体积的截面面积依次为
，则
【答案】ABD
【分析】由
，即
为正方体，根据正方体的结构特征及线面垂直的判定及性质判断
A；通过证明
面
，得到点P 到平面
的距离，即为
到面
的距离
，再求出
到
面
的距离为，结合
判断B；注意直线AP 与直线
所成角，即为直线AP 与直线
所
成角，利用
与
重合时
判断C；根据长方体的性质有
，
，
，结合
即可判断D.
【详解】若
，即
为正方体，
由
，又
面
，
面
，则
，
又
都在面
内，故
面
，
面
，
所以
，同理可证
，又
都在面
内，
所以
面
，而
面
，则
，A 对；
由正方体的结构特征易知，
为平行四边形，则
，
面
，
面
，则
面
，而
，
所以点P 到平面
的距离，即为
到面
的距离
，
若
到面
的距离为，则
，可得
，
所以
，B 对；
由
，则直线AP 与直线
所成角，即为直线AP 与直线
所成角，
当
与
重合时，由
面
，
面
，即
，
此时
，即直线AP 与直线
所成角为
，不在
内，C 错；
由经过
且平分三棱锥
体积的截面分别为
、
、
，
所以
，
，
，
又
，显然
，D 对；
故选：ABD
变式2．（多选）若正方体
的棱长为1，
为棱
的中点，点
满足
，
其中
，则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积为
B．若
平面
，则动点
的轨迹长度为
C．至少存在一个
点，使
平面
D．若直线
与平面
所成角的正切值为2，则点
轨迹的长度为
【答案】ABD
【分析】对于A，由正方体几何性质可得面面平行，利用三棱锥的体积公式，可得答案；
对于B，在正方体中延拓平面，由正方体几何性质可得面面平行，根据题意可得答案；
对于C，利用空间向量的基本定理，表示出相关直线的方向向量，根据数量积运算，可得答案；
对于D，由正方体几何性质可得线面垂直，可得线面角，根据锐角三角函数的定义，结合圆的定义，可得
答案.
【详解】对于A，由题意可作图如下：
由点
满足
，其中
，则点
平面
，
由平面
平面
，则点
到平面
的距离
，
所以三棱锥
的体积
，故A 正确；
对于B，分别取
的中点为
，连接
，如下图：
在正方体
中，
分别为
的中点，
易知
，
，
，
因为
，所以
共面，即
平面
，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可得
平面
，又因为
，且
平面
，
所以平面
平面
，由图可知平面
平面
，
由A 可知
平面
，当
时，
平面
，则
平面
，
所以
为动点
的轨迹，易知
，故B 正确；
对于C，由题意可作图如下：
设
，以其为一组基底，易知
，
则
，
，
，
，
假设
平面
，则
，
，
可得
，解得
，显然不符合题意，故C 错误；
对于D，由题意作图如下：
在正方体
中，易知
平面
，
则
为直线
与平面
所成角，
在
中，
，可得
，解得
，
所以
的轨迹为以
为圆心，以
为半径的
圆弧，可得其长度为
.故D 正确.
故选：ABD.
