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2025 年高考押题预测卷
数学（新高考Ⅰ卷01）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由已知集合
，所以
.
故选：C
2．复数z 满足
，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】
，复数z 在复平面内对应的点为
，位于第一象限.
故选：A.
3．已知向量
，
.若
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，解得
.
故选：D.
4．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
.
由
.
由
.
所以
.
故选：B
5．如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是
的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的
上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截
得左边几何体的截面面积为
，截得半球的截面面积为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小关系不确定
【答案】B
【解析】设截面与圆柱底面的距离为，
该平面截半球所得圆面的半径为
，圆的面积为
，
由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为，
所以，圆环的面积为
，故
，
故选：B.
6．已知
是公差不为0 的等差数列，其前
项和为
，则“
，
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若
，这意味着
是数列
中的最小值.
因为
是公差不为
的等差数列，所以该数列的前
项和
是关于
的二次函数（且二次项系数不为
），其图象是一条抛物线.
当
是最小值时，说明从第
项开始数列的项变为正数，即
，且
.
所以由“
”可以推出“
”，充分性成立.
若
，仅知道第项是非正的，但无法确定
就是
的最小值.
例如，
，
就不是最小值，即不能推出
，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：C
7．若函数
的两个零点分别为
和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，其中
，
由
，得
，而
，
因此
，即
，则
即
，
所以
.
故选：A.
8．已知
是定义在
上的增函数，且存在函数
使得
，若
，
分别是方程
和
的根，则
（ ）
A．4
B．3 C．2
D．1
【答案】B
【解析】
是
的根，
，即
，①
是
的根，
，即
，
存在函数
使得
，
，②
是定义在
上的增函数，
在
上单调递增，
由①②可得，
，
又
，即
，
，即
.
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．口袋中有大小相同的7 个红球、2 个蓝球和1 个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机
变量
，则
的数学期望
C．若随机变量
，当
不变时，
越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D．对标有不同编号的6 件正品和4 件次品的产品进行检测，从中任取2 件，已知其中一件为正品，则
另一件也为正品的概率是
.
【答案】ABD
【解析】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于
1，故A 正确；
对于B，随机变量
服从几何分布，所以
，其中
，
即
，故B 正确；
对于C，根据正态分布参数的意义，
越大表示随机变量的分布越分散，
则该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，故C 错误；
对于D，取出两件中至少有一件正品的概率
,
取出两件都是正品的概率
，由条件概率的意义可知，
从中任取2 件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是
，
故D 正确.
故选：ABD．
10．若实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由平方不等式可得：
，代入
，
则
，取等号条件是
，故A 正确；B 错误；
令
，
则
，
由于存在
满足上式成立，则
，
即
，故D 正确，C 错误；
故选：AD.
11．如图，在直三棱柱的两条棱上分别取点
，使得
，且直线
与直线
之间的距离均为2，分别过直线
作垂直
于该三棱柱底面的截面，得到n 个四棱柱，若该三棱柱的高为1，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．第j 个四棱柱的体积为
D．前j 个四棱柱的体积之和为
【答案】BCD
【解析】由题意可得
是首项为
，公差为
的等差数列，
所以
，故A 错误；
又
，故B 正确；
对于C 选项，第
个四棱柱的体积为
，故C 正确；
对于D 选项，由第
个四棱柱的体积为
可知，四棱柱的体积是首项为
，公差
为
的等差数列，
所以前j 个四棱柱的体积之和为
，故D 正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．有4 辆车停放在5 个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻
停放，则共有 种不同的停放方法.
【答案】12
【解析】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放.
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有
种排法，与余下的两辆车全排有
种排法，
所以共有
种不同的停放方法.
故答案为：12.
13．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的
轴．如图，抛物线
的焦点为
，由点
发出的光线经点
反射后经过点
，若点
在
上，且
，
，
，则
．
【答案】
【解析】如图，在
中，
，所以
，
所以
，
又因为
轴，所以
，因此
，
故直线
的方程为
，联立
，得
，
设
，
，则
，由抛物线的定义知
，
而
，所以
，在
中，
，
，
由余弦定理，得
，
解得
．
故答案为：
.
14．函数
的定义域为
，若满足：①
在
上是单调函数，
②存在
使得
在
上的值域为
,那么函数
为“优美函数”.若函数
是“优美函数”，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当
时，内层函数
为减函数，外层函数
为增函数，
由复合函数法可知，函数
在定义域上为增函数；
当
时，内层函数
为增函数，外层函数
为增函数，
由复合函数法可知，函数
在定义域上为增函数.
综上所述，函数
在定义域上为增函数，
根据题意，存在存在
使得
在
上的值域为
,
则
，
所以，关于
的方程
至少有两解，即
，可得
，
令
，
，
由题意可知，函数
有两个不等的正零点
、
，
所以，
，解得
.
因此，实数的取值范围是
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
在
中，内角A、B、C 所对的边分别为a、b、C．已知
．
(1)求角C；
(2)若
，点D 在边AB 上，CD 为
的平分线，且
，求边长a 的值．
【答案】(1)
；
(2)4
【解析】（1）
，由正弦定理得
，
又
，
所以
，即
，
因为
，所以
，故
，即
，
又
，所以
；（6 分）
（2）由（1）知，
，
又CD 为
的平分线，故
，
其中
，由三角形面积公式得
，
，
又
，
显然
，即
，
解得
.（13 分）
16．（15 分）
如图，在四棱锥
中，三角形
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，E 为PD 的中点.
(1)证明：
平面PAB；
(2)若
，求直线CE 与平面PBC 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）取PA 中点为F，连接EF，FB，则
，
且
，从而四边形
为平行四边形.
则
，又
平面PAB，
平面PAB，则
平面PAB；（6 分）
（2）如图取AD 中点为O，连接OP，OB.
因三角形
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
，
则
.因
，
，
则四边形
为平行四边形，则
，
，结合
，
则
，
，结合
，则
为等边三角形，
得
.又
，
，则
，故
.
又
，
平面ADCB，则
.（9 分）
故如图建立以O 为坐标原点的空间直角坐标系.
则
，
因E 为PD 的中点，则
.
从而
，
，
.（11 分）
设平面PBC 法向量为
，则
，
取
，设直线CE 与平面PBC 的夹角为
，
则
，从而
.（15 分）
17．（15 分）
为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的
实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75 人进行调查，得到
如下
列联表：
成绩有进步
成绩没有进步
合计
参加周六到校自主自习
55
20
75
未参加周六到校自主自习
30
45
75
合计
85
65
150
(1)依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联?
(2)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10 人.若从
这10 人中随机抽取2 人，记
为成绩有进步的学生人数，求
的分布列及数学期望.
附：
，
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联；
(2)分布列见解析，数学期望为
【解析】（1）经计算得
.（4 分）
所以有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联.（5 分）
（2）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4 人，成绩没有进步同学抽取6 人
的所有可能取值是的所有可能取值为0，1，2，（6 分）
，
，
，
的分布列为：（12 分）
0
1
2
所以
的期望为：
.（15 分）
18．（17 分）
已知椭圆
的离心率
，过点
的动直线与椭圆相交于两点，当直线与
轴
垂直时，直线被椭圆
截得的线段长为3.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
交于
，
两点，
是椭圆
上一动点（不同于
，
），记
，
，
分别为
直线
，
，
的斜率，且满足
，求点
的坐标（用
表示）；
(3)过左焦点
的直线交椭圆于
，
两点，是否存在实数
，使
恒成立？若存在，求
此时
的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
或
，其中
.
(3)存在，3
【解析】（1）解：由题意，可得点
在椭圆
上，且椭圆的离心率
，
所以
，解得
，所以椭圆
的方程为
.（4 分）
（2）解：设点
，因为点
在椭圆上，所以
，即
.
同理，设点
，则
，且
，
又因为直线
过原点，所以
关于原点对称，所以点
，
所以
，可得
，（6 分）
联立方程组
，整理得
，
解得
或
，
用
代替上述坐标中的
，
可得
或
，其中
.（9 分）
（3）解：由（1）知，左焦点
，
当直线
斜率为零时，不妨设
，
，
则
，
，可得
，
，
存在
，使
成立；
当直线
的斜率不为零时，设直线方程为
，且
，
，
联立方程组
，整理得
，（11 分）
可得
，所以
，
，
则
，
，
因为
，
，
所以
，所以
，
又因为
，
所以当
时，
最小，最小值为3，
综上，存在
，使
恒成立，此时
的最小值为3.（17 分）
19．（17 分）
若函数
和
同时满足下列条件：①对任意
，都有
成立；②存在
，
使得
，则称函数
为
的“
函数”，其中
称为“
点”.
(1)已知图像为一条直线的函数
是
的“
函数”，请求出所有的“
点”；
(2)设函数
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
；函数
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
.试证明：“函数
为
的‘
函数’”的一个充分必要条
件是“
”；
(3)记
（为自然对数的底数），
，若
为
的“
函数”，
且“
点”
，求实数
的最大值.
【答案】(1)
；
(2)证明过程见解析
(3)
【解析】（1）取
，
，
此时
，
，
故函数
是
的“
函数”，“
点”为
；（4 分）
（2）
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
，
故
，设
，
函数
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
，
故
，设
，
显然对任意
，
成立，①成立，
充分性，若
，
不妨设
，此时
，②成立，
故②成立，所以函数
为
的‘
函数’，充分性成立；（7 分）
必要性，若函数
为
的‘
函数’，
则存在
，使得
，
由于对任意
，
成立，故
，
故
，所以
，充分性成立；
故“函数
为
的‘
函数’”的一个充分必要条件是“
”；（10 分）
（3）
定义域为R，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
且当
时，
恒成立，
又
，取
，
，
满足
且
，
为
的“
函数”，此时
，
当
时，取
，
故当
为
在
处的切线方程时，才满足要求，
，故切线方程为
，
令
得
，
由于
，设
，
，
所以
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
所以
，
当
时，结合图象，可知
单调递减且下凸，
对任意的
，无法做到
恒成立，
综上，实数
的最大值为
.（17 分）
