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2025 年高考押题预测卷
数学（新高考II 卷01）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
1.【答案】B
【分析】利用复数模的公式求模，再利用模的性质
计算即可
【详解】因为
，所以
.
故选：B.
2．已知
，则
是
的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
2.【答案】B
【分析】由特殊值可判断充分性，由指数函数的单调性可判断必要性.
【详解】当
时，满足
，显然
不成立，故充分性不成立，
若
，由指数函数
的单调性可知，
，则
，故必要性成立，
故
是
的必要非充分条件，
故选：B
3．设向量
，
是非零向量，且
，向量
在向量
上的投影向量为
，若
，
则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
3.【答案】A
【分析】由已知结合投影向量的意义可得
，再利用数量积的运算律求出
的值.
【详解】由向量
在向量
上的投影向量为
，得
，则
，
由
，
所以
.
故选：A
4．植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度
具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度
（单位：
）与氮元素吸收量
（单位：
天）的相关数据，如下表所示：
9.9
12.1
14.8
18.2
19.9
21.8
25.1
27.7
30.4
32.1
0.30
0.34
0.42
0.50
0.55
0.60
0.71
0.74
0.78
0.86
根据表中数据可得
及线性回归方程为
，则（ ）
A．
B．变量
与
的相关系数
C．在一定范围内，小麦的根长度每增加
，它一天的氮元素吸收量平均增加
D．若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变
4.【答案】C
【分析】根据样本中心在方程上可求解A，进而可判断B，根据回归方程的含义即可求解CD.
【详解】由线性回归方程过样本中心点
知，
，故A 错误；
小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系，故相关系数
，故B 错误；
由线性回归方程
可得，在一定范围内，小麦的根长度每增加
，它一天的氮元素吸收量平
均增加
，故C 正确；
若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，回归方程可能发生改变，故D 错误.
故选：C.
5．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为
，用一个平面
去截该圆锥面，随着圆锥的轴和
所成角
的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，
曲线的离心率为
，比如，当
时，
，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，
高为
的圆锥
中，
是底面圆
上互相垂直的直径，
是母线
上一点，
，平面
截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.【答案】C
【分析】由题意可得
，利用平面向量的线性运算求得
，进而在
中，利用正
弦定理可求得
，可得结论.
【详解】由题意得
，则
，
所以
，在
中，
，
连接
，则
，
所以
，又由勾股定理得
.
又
，所以
，所以
，
在
中，由正弦定理得，
，即
，
所以平面
截该圆锥面所得的曲线的离心率为
.
故选：C.
6．若
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
6.【答案】D
【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求
，再证明
为奇函数，由此可得函数
为奇函数，结合正弦函数性质可求
，由此可得
，再求结论即可.
【详解】因为
是偶函数，所以它的定义域关于原点对称，
所以不等式
的解集关于原点对称，
所以不等式
的解集关于原点对称，
所以方程
的根互为相反数，
所以
，此时定义域为
，
设
，则函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，所以
，
所以
，所以函数
为奇函数，又
是偶函数，
所以
恒成立，
所以
是奇函数，于是
此时
，于是
或
，
故选：D．
7．如图，在三棱台
中，
底面
，
，
与底面
所成的角为
，
，
，则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.【答案】D
【分析】先根据棱台的性质求棱台的棱长，再结合锥体体积公式求解即可.
【详解】因为
底面
，
平面
，所以平面
底面
.
所以
即为
与底面
所成的角，为
.
因为
，所以
.
根据棱台的概念，可知：
，且
，所以
.
因为
，所以
为直角三角形，所以
.
所以
.
故选：D
8．已知
，若
在
上恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.【答案】B
【分析】函数不等式恒成立问题转化为方程根的问题，以及利用韦达定理和对数运算性质得到相关等式，
最后通过求函数最值来求解
的最大值.
【详解】因为
恒成立，所以
和
有两个相同正根
.对于方
程
，两边同乘
得
.
由一元二次方程性质，有两个不同正根，则
，且
，
.
由
可得
，
可得
.
根据对数运算法则
，所以
，即
.
令
，对
求导，
.
令
，即
，解得
.
当
时，
，
递增；
当
时，
，
递减.
所以
在
处取最大值，
.
综上，
的最大值为
.
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．将函数
图象上每个点的横坐标伸长为原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数
的
图象，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象关于直线
对称
9.【答案】ACD
【分析】求出变换之后的
解析式，依次代入选项判断可得结果.
【详解】依题意可得
，
因为
，故A 正确；
，故B 错误；
由
，可知点
为对称中心，由
，可知在
处取最小值，故C，D 均正确.
故选：ACD
10．已知抛物线C：
的焦点为F，直线与C 交于点A，B（A 在第一象限），以AB 为直径的圆E
与C 的准线相切于点D．若
，则下列说法正确的是（ ）
A．A，B，F 三点共线
B．l 的斜率为
C．
D．圆E 的半径是4
10.【答案】ACD
【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合抛物线的定义逐项分析判断得解.
【详解】连接DE，则DE 为圆E 的半径，过A 作准线的垂线，垂足为S，过B 作准线的垂线，垂足为T，
连接
，如图，
对于A，
，则A，B，F 三点共线，A 正确；
对于B，由AB 为直径，得
，而
，则
，
而
为等腰三角形，则
，
，于是
，
即直线l 的倾斜角为60°，其斜率为
，B 错误；
对于C，点
，直线AB 的方程为
，由
得
，
解得
，
，则
，
，即
，C 正确；
对于D，由
，
，得
，则圆E 的直径是8，其半径为4，D 正确．
故选：ACD
11．已知函数
，则下列命题中正确的是（ ）
A．0 是
的极小值点
B．当
时，
C．若
，则
D．若
存在极大值点
，且
，其中
，则
11.【答案】ACD
【分析】讨论a 的取值情况，利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断A；当
时，利用导数
得到函数的单调性，判断
，
的大小关系，进而判断B；根据题意推得
，在
根据对称性计算即可判定C；若
存在极大值点，则
，即
，因为
，化简等式，
即可判断
【详解】由题意可得
，
令
，当
时，得
或
，
对于A，当
时，令
，解得
或
，则
在
和
上单调递增，
令
，解得
，则
在
上单调递减，
所以
在
处取得极小值
，
同理，当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值
；
当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值
，故A 正确；
对于B，当
时，
在
上单调递减，
又
，
，所以
，故B 错误；
对于C，若
，则
，则
.
所以
，
，则
，
故C 选项正确.
对于D，若
存在极大值点，则
，即
，
因为
，所以
，
所以
，
，
即
，
又
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知数列
为等差数列，
为其前
项和，满足
，
，则
的值为 .
12.【答案】3
【分析】设出等差数列的公差，根据求和公式建立方程组，求得首项与公差，利用通项，可得答案.
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，
化简可得
，解得
，
所以
.
故答案为：.
13．已知
，则
．
13.【答案】
/
【分析】由切化弦结合三角恒等变换和拆角可得.
【详解】由
可得
，
，
，
，
，
.
故答案为：
.
14．将杨辉三角中的每一个数
都换成
，就得到一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三
角形，从莱布尼茨三角形可看出
，令
，则
.
14.【答案】
【分析】分析可得
，利用裂项相消法可求得
.
【详解】因为
，
所以，
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
在
中，
.
(1)求角A 的大小；
(2)若D 为边AB 上一点，
，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，再利用三角函数公式求解角
；
（2）通过设未知数，利用余弦定理求出边长，最后根据三角形面积公式求出三角形面积．
【详解】（1）解：由正弦定理可知
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，则
，故
，即
.
（2）设
，则
.
因为
，所以
，
，即
.
在
中，
，
即
，解得
，所以
，
.
的面积为
.
16．（15 分）
已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值点；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
是函数
的极小值点；
(2)
.
【分析】（1）利用导数求出函数的极值点.
（2）分离参数并构造
，再利用导数求出最大值即可.
【详解】（1）当
时，函数
的定义域为
，求导得
，
由
，得
，当
时，
；当
时，
，
所以
是函数
的极小值点.
（2）当
时，不等式
，
设
，依题意，
，
，
求导得
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，则
，
所以实数
的取值范围是
.
17．（15 分）
如图1，在
中，
，
，
、
两点分别在
、
上，使
.现将
沿
折起得到四棱锥
，在图2 中
.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出
，
，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）解法一：以点
为原点，
、
、
的方向分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，利用空间
向量法可求得平面
与平面
所成角的正切值；
解法二：过
在平面
内作
，垂足为点
，过点
在平面
内作
，垂足为点
，
连接
，推导出
为平面
与平面
所成的角，求出
、
的长，即可得出平面
与平
面
所成角的正切值.
【详解】（1）在图1 的
中，
，
所以，
，且
，
，
因为
，所以，
，则
，
，
在
中，
，
，
，则
，
在图2 的
中，
，
，
，
满足
，所以，
，
因为
，
，
，
、
平面
，所以，
平面
.
（2）解法一：因为
平面
，
，
以点
为原点，
、
、
的方向分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
，
，
设平面
一个的法向量
，则
，
取
，可得
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，则
，
设平面
与平面
所成角为
，
则
，
所以，
，
.
因此，平面
与平面
所成角的正切值为
；
解法二：过
在平面
内作
，垂足为点
，
过点
在平面
内作
，垂足为点
，连接
，
由（1）知
平面
，因为
平面
，则
，
因为
，
，
、
平面
，所以，
平面
，
因为
平面
，所以，
，
因为
，
，
、
平面
，所以，
平面
，
因为
平面
，则
，
所以，
为平面
与平面
所成的角，设
.
在
中，
，
，
，
，
所以，
，
，
在
中，
，
，
，
，
所以，
，则
，
在
中，
，
所以，平面
与平面
所成角的正切值为
.
18．（17 分）
为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中
国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛．该挑战赛共分
关，规则如下：
两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被
淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n 关都挑
战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为
，
乙每一关挑战成功的概率均为
，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互
不影响．
(1)已知甲先上场，
，
，
，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X 为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求
；
(2)如果n 关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，
并说明理由.
【答案】(1)①
；②
(2)甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由见解析
【分析】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为
.根据甲每关不成功概率是
，即可求解；
②
的可能取值为
，，
，根据甲每关不成功概率是
，乙每关不成功概率是
，再结合独立事
件乘法公式求出对应概率，即可求解；
（2）设甲先出场成功概率为
，乙先出场成功概率为
.把
和
展开成式子，对应部分相等，可得
，即甲、乙先出场成功概率一样.
【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为
，
则
.
②依题可知，
的可能取值为
，，
，
则由①知
，
，
，
∴
的分布列为
∴
.
（2）设甲先出场成功概率为
，乙先出场成功概率为
.
则
，
，
，
，
.
因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同.
19．（17 分）
已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5 倍，
为双曲线
的右焦点，过
的直线与双曲线
的右支交于
，
两点，过点
，
分别作平行于
轴
的直线，与直线
分别交于
，
两点，直线
与
轴的交点为
.
(1)求双曲线
的离心率；
(2)证明：数列
是以
为公比的等比数列；
(3)定义：无穷等比递减数列
的所有项和
，其中
为
的首项，
为
的公比，且
.
设直线
与直线
的交点为
，
的面积记为
，求数列
的所有项和的最小值（结果
用
或
表示）.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）利用给定条件，求出渐近线方程，进而求出离心率.
（2）由（1）求出双曲线方程，设出直线
的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线
与
轴交点坐标，结合已知推理得证.
（3）利用（2）求出
的坐标，求出
的面积，求出数列
的所有项和的函数关系，再求出其最
小值即可.
【详解】（1）设双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，另一条渐近线的倾斜角为
，
依题意，
，解得
，
，
则双曲线
的渐近线方程为
，即
，
所以双曲线
的离心率为
（2）由（1）知，
，双曲线
的方程为
，
设
，
，则
，
，
过
的直线
斜率不为0，设直线
的方程为
，
由
消去
并整理得
，
，
则
，
，
，
直线
的斜率
，直线
的方程为
，
令
，则
，因此直线
恒过定点
，
又直线
与
轴的交点为
，于是
，即
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
（3）由对称性知，直线
也恒过定点
，则
，
，
因此
，
，
则
是以
为首项，
为公比的等比数列，数列
的所有项和
，设
，则
，
由过
的直线与双曲线
的右支交于
两点，得
，即
，
则
，又函数
在
上单调递减，
则
，
，
所以数列
的所有项和的最小值为
.
