文档文本内容
第 02 讲 用样本估计总体
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：百分位数的估计..........................................................................3
高频考点二：总体集中趋势的估计（样本的数字特征）.................................4
高频考点三：总体集中趋势的估计（频率分布直方图中的数字特征）..........5
高频考点四：总体离散程度的估计...................................................................8
第一部分：基础知识
知识点一：总体百分位数的估计
（1）第 百分位数的定义
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这
个值,且至少有 的数据大于或等于这个值.
（2）计算一组 个数据的第 百分位数的步骤：
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算 .
第3步,若 不是整数,而大于 的比邻整数为 ,则第 百分位数为第 项数据;若 是整数,则第 百分位
数为第 项与第 项数据的平均数.
知识点二：样本的数字特征
（1）众数一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.
（2）中位数
一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或
最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.
（3）平均数
一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据 ， ， ， 的平均数为
（4）标准差与方差
如 果 有 个 数 据 ， ， ， 那 么 平 均 数 ， 标 准 差 为 ：
，方差：
知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值
(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数;
(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的;
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横
坐标之和.
知识点四：平均数，方差的线性关系：
数据 平均数 方差
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅱ卷））某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水
稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产 [900， [950， [1000， [1050， [1100， [1150，
量 950） 1000） 1050） 1100） 1150） 1200）
频数 6 12 18 30 24 10根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
2．（2023·全国·高考真题（新课标Ⅰ卷））有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，
则（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：百分位数的估计
典型例题
例题1．（23-24高一下·新疆·期末）已知小王4次月考的数学成绩分别为125，116，120，131，则这些成
绩的第75百分位数是（ ）
A．122.5 B．125 C．128 D．131
例题2．（23-24高一下·天津南开·期末）一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百
分位数与第60百分位数的差为3，则 （ ）．
A．58或64 B．58 C．59或64 D．59
例题3．（24-25高三上·四川·开学考试）已知一组数据： 的平均数为6，则该组数据的第40百分
位数为 .
练透核心考点
1．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩
两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
A．36 B．41 C．46 D．512．（2024高三上·江苏南京·学业考试）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段
中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数
据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（ ）
A．79 B．80 C．81 D．82
3．（2024高一·全国·专题练习）某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是
，设该组数据的平均数为 ，第 百分位数为 ，则有（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
高频考点二：总体集中趋势的估计（样本的数字特征）
典型例题
例题1．（23-24高二下·湖南·期末）某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春
秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优
秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ）
A．诗经组中位数为3，众数为2
B．论语组平均数为3，方差为1
C．春秋组平均数为3，众数为2
D．礼记组中位数为3，极差为4
例题2．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子 次，分别记录每次骰子
出现的点数 根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数 的是（ ）
A．甲：平均数为 ，中位数为 B．乙：中位数为 ，众数为
C．丙：平均数为 ，方差为 D．丁：中位数为 ，方差为
例题3．（多选）（2025·广东·模拟预测）已知样本数据 ，则这组数据的（ ）
A．众数为 B．平均数为
C．上四分位数为 D．方差为
例题4．（23-24高一下·云南·期末）1992年，公安部发出通知，将每年的11月9日定为“119消防宣传
日”.通过消防宣传日的设立，旨在提醒全民关注消防安全，学习消防知识，提高自救互救能力，减少火灾
事故的发生.某高中学校为增强学生的消防安全意识，组织本校高一､高二共800名学生参加“消防安全，
在我心中”的知识竞赛，现从每个年级分别随机抽取10名学生的竞赛成绩如下：
高一： 90 85 82 85 97 83 88 95 90 85
高二： 83 90 97 88 95 85 95 85 80 82
(1)请根据以上20个数据，估计此次参赛学生成绩的第60百分位数､众数和平均数；(2)若规定95分及以上为一等奖，从一等奖的学生中任选2人作为宣讲代表，则这2人中至少有1人来自高
一年级的概率是多少？
练透核心考点
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是
10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和
为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．32
2．（2024高二下·湖南·学业考试）样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（ ）
A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5
3．（多选）（24-25高三上·江西·阶段练习）某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，
22，78，32，26，20，22，则（ ）
A．众数是22
B．前4个数据的方差比最后4个数据的方差大
C．平均数是30
D．80百分位数是28
高频考点三：总体集中趋势的估计（频率分布直方图中的数字特征）
典型例题
例题1．（23-24高二下·浙江舟山·期末）某高中为了调查学生对手机的使用情况，从全校学生中随机抽取
100名学生进行问卷调查，他们一周内使用手机的时间（小时）频率分布直方图如下图所示，则参与调查
的学生每周平均使用手机的时间约为 小时.（同一组数据用该组数据的中点值作代表）例题2．（2024·四川成都·模拟预测）某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取
个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中
位数为 .（结果保留整数）
例题3．（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种
物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示，则该物质含量的众数的估计值为 ，平均
数的估计值为 .
例题4．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100
名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方
图．
(1)估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；
(2)估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
(3)估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．练透核心考点
1．（23-24高一下·山东·阶段练习）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成
绩（均为整数）的频率分布直方图，如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为 、中位数约为
．（结果不能整除的精确到0.1）
2．（23-24高一下·陕西商洛·期末）某校随机调查了100名学生，记录他们在某一天各自体育锻炼时间的
数据，得到的频率分布直方图如图所示，则这100名学生这一天每人的体育锻炼时间的中位数是
.(精确到0.01)
3．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）某校组织高二学生参加了历史学科的学业水平考试，某班成绩的
频率分布直方图如下图所示，则 ，并估计该班学生此次考试成绩的众数为 .4．（23-24高一·江苏·课后作业）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五
组，绘制成如图所示的频率直方图，已知图中从左到右的第一､二､三､四､五小组的频率分别是0.30，
0.40，0.15，0.10，0.05.
则估计高一参赛学生的成绩的众数､中位数分别为 .
高频考点四：总体离散程度的估计
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南长沙·期末）已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差
为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为
.例题2．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红
楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为
不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100)，并作出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值.
(2)求样本数据的第62百分位数.
(3)已知样本数据落在[50,60)的平均数是52，方差是6；落在[60,70)的平均数是64，方差是3.求这两组数
据的总平均数 和总方差 .
例题3．（21-22高一下·江苏南京·期末）某市为了解人们对冬奥会的认知程度，举办了一次冬奥会知识竞
赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了 人，按年龄分成5组，得到如图所
示的频率分布直方图，已知第一组有6人．
(1)求 ；
(2)求抽取的 人的年龄的中位数（结果四舍五入保留整数）；
(3)从年龄在 和 的参赛者中各选取5名参加知识竞赛，分别代表相应年龄组的成绩，年龄组
的成绩为93，96，97，94，90，年龄组 的成绩为93，98，94，95，90.
①分别求两组成绩的平均数和方差；
②以上述数据为依据，评价两个年龄组对冬奥会的认知程度，并谈谈你的感想．例题4．（23-24高一下·北京大兴·期末）某学校为了解本校历史选科，物理选科学生的学业水平模拟测试
数学成绩情况，从历史选科的学生中随机抽取 人的成绩得到样本甲，从物理选科的学生中随机抽取60人
的成绩得到样本乙，分别得到如下频率分布直方图：
已知样本甲中数据在 的有20个．
(1)求 和样本甲的频率分布直方图中 的值；
(2)试估计该校历史选科的学生本次模拟测试数学成绩的中位数；
(3)设该校历史与物理选科的学生本次模拟测试数学成绩的平均值分别为 ， 方差分别为 ， ，试估
计 与 ， 与 的大小（只需写出结论）．
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川眉山·期末）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅
读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12
的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均
数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的
样本方差为 .
2．（24-25高三上·全国·单元测试）某网络公司为了提升服务质量，从会员库中随机抽取n名会员进行线
上问卷调查，将会员的评分（满分10分）从低到高分为四个等级：
会员评
分
满意等
不满意 一般 满意 非常满意
级
并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在 的会员数为40人．(1)求样本容量n及频率分布直方图中的t值．
(2)若该公司以抽取的样本为参考，每组数据以该组评分的区间中点值为代表进行评估：
（ⅰ）若会员满意度评分的均值x低于8分，则需要提升公司产品的体验感，否则全力开发新产品．根据
所学的统计知识，判断该公司应采用的运营策略，并说明理由．
（ⅱ）记会员评分的样本标准差为s，试估计会员总体在区间 的人数的百分比．（参考数据：
）
3．（23-24高一下·青海海南·期末）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如
下（单位：分）：
甲组：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85
(1)试分别计算两组数据的极差和方差；
(2)试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？4．（23-24高一下·广东东莞·期末）某快捷超市计划通过停车收费推动快速购物进而提升顾客流量，在制
定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了100个停车时间的数据（单位： ），
按 分成5组，其频率分布直方图如下.
(1)如果该超市计划奖励 的快速购物顾客不收取其停车费，那么应该允许免费停车多长时间？
(2)记，其中为样本平均数，为样本标准差.如果该超市计划对停车时长超过的客户征收更高的停车费，求
（精确到个位）.（注：假设频率分布直方图中每组数据在组内均匀分布，参考数据：）
