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2025 春新版九下数学 | 期中必会题型
【网格问题】重难专练（2025 新课改）
【一】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均
为1，点A，B，C 都在格点上，连接AB、AC，则sin∠
BAC 的值为（ B ）
A．1/2 B．√5/5 C．2√5/5 D．√5/2
【分析】
利用勾股定理的逆定理先判定△ABC 为直角三角形，
再利用正弦的定义可求结论．
解：连接BC，
∵AC2＝42+22＝20，
AB2＝32+42＝25，
BC2＝12+22＝5，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴∠ACB＝90°．
∴sin∠BAC=BC/AB=√5/5．
【二】如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是
1，△ABC 的顶点都在交点处，则∠ABC 的正弦值为
（ D ）
A．1/2 B．6√5/5 C．3/5 D．3√10/10
【分析】
利用网格求出AC 和AB 的长，根据等腰三角形的性质
可得AD⊥BC，最后根据三角函数的意义求解即可．
解：如图，取BC 的中点D，连接AD，
由网格可得，
AC＝AB=√4²+2²=2√5，
∴AD⊥BC，
Rt△ABD 中，
∵AD=√3²+3²=3√2，
∴sin∠ABC=AD/AB=3√2/2√5=3√10/10．
【三】如图是由边长相同的小正方形组成的网格，
A，B，P，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段
AB ，PQ 相交于点M ，则图中cos ∠QMB 的值是
（ A ）
A．√5/5
B．2√5/5
C．√2/2
D．√10/5
【分析】
根据题意，作CQ∥AB，然后利用勾股定理可以得到
PC、CQ、PQ 的长，再根据勾股定理的逆定理可以判
断△PCQ的形状，从而可以求得cos∠PQC的值，然后
根据平行线的性质，可以得到∠QMB＝∠PQC，从而
可以得到cos∠QMB 的值．
解：作CQ∥AB，连接PC，如右图所示，
设每个小正方形的边长为1，
则CQ=√2²+2²=2√2，
PQ=√6²+2²=2√10，
PC=√4²+4²=4√2，
∴CQ2+PC2＝（2√2）2+（4√2）2
＝8+32＝40＝（2√10）2＝PQ2，
∴△PCQ 是直角三角形，∠PCQ＝90°，
∴cos∠PQC=CQ/PQ=2√2/2√10=√5/5,
∵AB∥CQ，
∴∠QMB＝∠PQC，
∴cos∠QMB 的值是√5/5，
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【四】如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，求
∠BAC 的余弦值．
【分析】
先作辅助线BD⊥AC 于点D，AE⊥CB 交CB 的延长线于
点E，然后根据等积法即可求得BD 的长，即可求得相
应的角的三角函数值．
解：作BD⊥AC 于点D，作AE⊥CB 交CB 的延长线于
点E，
由图可得，BC＝2，AE＝3，AC＝3√2，AB=√1²+3²=
√10，
∵S△ABCBC•AE/2=AC•BD/2，
∴2•3/2=3√2BD/2,
解得，BD=√2，
∴AD=√AB²-BD²=√10²-2²=2√2,
∴cos∠BAC=AD/AB=2√2/√10=2√5/5.
