文档文本内容
§2.12 函数模型的应用
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知a，b，c，d 四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x 的函数关系分别是
f1(x)=x2，f2(x)=x
1
2，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是( )
A.a
B.b
C.c
D.d
2.一组实验数据及对应散点图如图所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )
x
10
20
29
41
50
58
70
y
1
2
3.8
7.4
11
15
21.8
A.y=Alogax+p
B.y=A·ax+p
C.y=ax2+bx+c
D.y=kx+b
3.(2024·西安模拟)某病毒检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中
成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，DNA 的
数量Xn与扩增次数n 满足lgXn=nlg(1+p)+lgX0，其中X0为DNA 的初始数量，p 为扩增效率.已知某被测标本
DNA 扩增16 次后，数量变为原来的10 000 倍，则扩增效率p 约为(参考数据：100.25≈1.778，10-0.25≈ 0.562)(
)
A.22.2%
B.43.8%
C.56.2%
D.77.8%
4.(2025·宜宾模拟)根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型y=
N
1+(
N
y0
-1)e
- px ，其中y(单
位：万辆)为第x 年年底新能源汽车的保有量，p 为年增长率，N 为饱和度，y0为初始值.若2023 年年底该市
新能源汽车的保有量是20 万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1 300 万辆，那么
2033 年年底该市新能源汽车的保有量约为(结果四舍五入保留整数，参考数据：ln 0.887≈-0.12，ln
0.30≈-1.2) ( )
A.65 万辆
B.64 万辆
C.63 万辆
D.62 万辆
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.已知函数y1=x2，y2=2x，y3=x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是( )
A.在[0，+∞)上，随着x 的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2
B.在[0，+∞)上，随着x 的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度一直快于y3
D.当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度有时快于y2
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正
常，排气4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4 分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验
知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R 为常数，
e 是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确
的是( )
A.a=128
B.R=1
4 ln 2
C.排气12 分钟后浓度为16 ppm
D.排气32 分钟后，人可以安全进入车库
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600 元，则不享受任何折扣
优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600 元，则超过600 元的部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下
表累计计算.
可以享受折扣优惠金额
折扣优惠率
不超过500 元的部分
5%
超过500 元的部分
10%
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30 元，则他实际所付金额为 元.
8.已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型y=k0·e1.4e-0.125t(k0>0，当t=0 时表示2023 年年初的种群数
量).自2023 年年初起，经过n 年后(n∈N*)，当该物种的种群数量不足2023 年年初的10%时，n 的最小值为
.(参考数据：ln 10≈2.3)
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)(2024·南京统考)某企业为响应国家“节约用水”的号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自
来水的使用量.经测算，该企业拟安装一种使用寿命为4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：
万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费
C(单位：万元)与设备占地面积x 之间的函数关系为C(x)= 20
x +5(x>0).该企业的净水设备购置费与安装后4 年
需缴水费之和为y(单位：万元).
(1)要使y 不超过7.2 万元，求设备占地面积x 的取值范围；(6 分)
(2)设备占地面积x 为多少时，y 的值最小？(7 分)
10.(14 分)研究表明：在一节40 分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x(单位：分钟)之间的变化
曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数
y=log0.8(x+a)+80 图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68 时，称学生处于“欠佳听课状态”.
(1)求函数y=f(x)的解析式；(7 分)
(2)在一节40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8-12≈14.6，精确到1
分钟)(7 分)
11 题6 分，12 题5 分，共11 分
11.(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
Lp=20×lg p
p0
，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压.不同声源的声压级如表所示：
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60~90
混合动力汽车
10
50~60
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A.p1≥p2
B.p2>10p3
C.p3=100p0
D.p1≤100p2
12.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式k=Ae
- Ea
RT 中的参量Ea提出的，是通过实验数据求得，又叫
实验活化能，公式中的k 为反应速率常数，R 为摩尔气体常量，T 为热力学温度(单位为开尔文，简称开)，
A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10 开，反应速率常数k 变为原来的2 倍，则当温度
从300 开上升到400 开时，估计Ea
R 的值为 .(结果精确到百位，参考数据：ln 2≈0.7)
答案精析
1.D [在运动时间足够长时，指数函数f4(x)＝2x的增长速度大于二次函数f1(x)＝x2的增长速度，大于幂函数
f2(x)＝x
1
2的增长速度，大于对数函数f3(x)＝log2x 的增长速度，所以运动在最前面的物体一定是d.]
2.C [由散点图中各点的变化趋势：非线性、且在第一象限内单调递增，对于Δxi＝xi＋1－xi，Δyi＝yi＋1－
yi，i∈{1，2，3，4，5，6}，由题意可得
x
10
20
29
41
50
58
Δ yi
Δ xi
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.57
可知(x，Δ yi
Δ xi)近似于线性，所以适合二次函数模型.]
3.D [由题意知，lg(10 000X0)
＝16lg(1＋p)＋lg X0，
即lg 104＋lg X0＝16lg(1＋p)＋lg X0，
即4＝16lg(1＋p)，
所以lg(1＋p)＝1
4 ＝0.25，
则1＋p＝100.25≈1.778，
解得p≈0.778＝77.8%.]
4.B [根据题中所给模型，代入有关数据，
则2033 年年底该市新能源汽车的保有量为
y＝
1 300
1＋(
1 300
20
-1)e
-0.12×10＝
1 300
1＋64 e
-1.2，
因为ln 0.30≈－1.2，
所以e－1.2≈0.30，
所以y＝
1 300
1＋64 e
-1.2≈
1 300
1＋64×0.30≈64，
所以2033 年年底该市新能源汽车的保有量约为64 万辆.]
5.BD [在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x 的图象，如图所示.
对于A，B，在[0，＋∞)上，随着x 的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1，故A 错误，B 正确；
对于C，当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度不是一直快于y3的，故C 错误；
对于D，当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度有时快于y2，故D 正确.]
6.ACD [设f(t)＝aeRt，
由题意得{
ae
4 R＝64 ,
ae
8 R＝32,
解得{
a＝128,
R＝- 1
4 ln 2,
A 正确，B 错误；
此时f(t)＝128(e
R)
t＝27·(2
- 1
4 )
t＝2
7- t
4，所以f(12)＝24
＝16(ppm)，C 正确；
当f(t)≤0.5 时，
2
7- t
4≤0.5＝2－1，得7－t
4 ≤－1，所以t≥32，所以排气32 分钟后，人可以安全进入车库，D 正确.]
7.1 120
解析 设顾客选购物品的总金额为x 元， 获得的折扣优惠金额为y 元，
则当x＝1 100 时，y＝(1 100－600)×5%＝25<30，
所以x>1 100，y＝500×0.05＋(x－1 100)×0.1＝25＋0.1x－110＝0.1x－85＝30，
解得x＝1 150，所以他实际所付金额为1 150－30＝1 120(元).
8.19
解析 由题意可知2023 年年初的种群数量为t＝0 时的函数值k0·e1.4e，故令y＝k0·e1.4e－0.125t<10%·k0·e1.4e，
即e－0.125t< 1
10，则0.125t>ln 10，
∴t> ln10
0.125＝8ln 10≈8×2.3＝18.4，
由于n∈N*，故n 的最小值为19.
9.解 (1)由题意得
y＝0.2x＋80
x＋5(x>0).
要满足题意，则y≤7.2，
即0.2x＋80
x＋5≤7.2，解得11≤x≤20.
即设备占地面积x 的取值范围为[11，20].
(2)y＝0.2x＋80
x＋5＝x＋5
5
＋
80
x＋5－1
≥2√
x＋5
5
·
80
x＋5－1＝2√16－1＝7，
当且仅当x＋5
5
＝
80
x＋5，
即x＝15 时，等号成立.
所以设备占地面积为15 平方米时，y 的值最小.
10.解 (1)当x∈[0，16]时，
设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)，
因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80，
所以b＝－1
4 ，
所以f(x)＝－1
4 (x－12)2＋84；
当x∈[16，40]时，
f(x)＝log0.8(x＋a)＋80，
由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80，解得a＝－15，
所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80，
综上，f(x)＝{
- 1
4 ( x -12)
2＋84 , x∈[0,16],
lo g0.8( x -15)＋80, x∈[16,40].
(2)当x∈[0，16]时，
令f(x)＝－1
4 (x－12)2＋84≤68，
即(x－12)2≥64，解得x≤4 或x≥20(舍去)，
所以x∈[0，4]；
当x∈[16，40]时，令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68，得x≥15＋0.8－12≈29.6，所以x∈[30，40]，
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟).
11.ACD [因为Lp＝20×lg p
p0
随着p 的增大而增大，
且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，
所以Lp1≥Lp2，
所以p1≥p2，故A 正确；
由Lp＝20×lg p
p0
，得p＝p010
Lp
20，
因为Lp3＝40，
所以p3＝p010
40
20＝100p0，
故C 正确；
假设p2>10p3，
则p010
Lp2
20>10p010
Lp3
20，
所以10
Lp2
20 -
Lp3
20>10，
所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，
故B 不正确；
因为
100 p2
p1
＝100 p010
Lp2
20
p010
Lp1
20
＝10
Lp2
20 -
Lp1
20 ＋2≥1，
所以p1≤100p2，故D 正确.]
12.8 400
解析 根据题意，温度每增加10 开，反应速率常数k 变为原来的2 倍，则当温度从300 开上升到400 开时，
反应速率常数k 变为300 开时的210倍，由k＝Ae
- Ea
RT ，
当T＝300 开时，k1＝Ae
-
Ea
300 R，
当T＝400 开时，k2＝Ae
-
Ea
400 R，
所以
k2
k1
＝A e
-
Ea
400 R
A e
-
Ea
300 R
＝210，
即e
Ea
300 R -
Ea
400 R＝210，e
Ea
1 200 R＝210，
Ea
1 200 R ＝10ln 2，
Ea
R ＝12 000ln 2≈12 000×0.7＝8 400.
