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§8.8 抛物线
课标要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶
点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线
的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
注意：定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于直线l 的一条直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
(
p
2 ，0)
(- p
2 ，0)
(0，p
2)
(0，- p
2)
准线方程
x ＝－
p
2
x ＝
p
2
y ＝－
p
2
y ＝
p
2
对称轴
x 轴
y 轴
顶点
(0
，
0)
离心率
e＝1
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.( × )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).( × )
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离.( √ )
(4)焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数
的解析式是一致的.( √ )
2.(多选)关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是( )
A.开口向左
B.焦点坐标为(－1，0)
C.准线为x＝1
D.对称轴为x 轴
答案 AD
解析 对于抛物线y2＝－2x，开口向左，焦点坐标为(- 1
2 ，0)，准线方程为x＝1
2，对称轴为x 轴，故AD
正确.
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F 的抛物线C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝15
2 ，则p 等于( )
A.3
B.6
C.9
D.12
答案 A
解析 抛物线C：y2＝2px(p>0)，准线方程为x＝－p
2 ，P(6，y0)，由抛物线的定义可知
|PF|＝6＋p
2 ＝15
2 ，解得p＝3.
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2＝2px(p>0)过点A(2，2)，则点A 到抛物线准线的距离为 .
答案 5
2
解析 由题意22＝2p×2，解得p＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－1
2，故所求距离为2＋1
2 ＝5
2.
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB 是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 为坐标原点，则
(1)x1x2＝p
2
4 ，y1y2＝－p2；
(2)
1
| FA | ＋
1
| FB| ＝2
p；
(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切；
(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)若抛物线x2＝8y 上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2 倍，则y0等于( )
A.1
2
B.1
C.3
2
D.2
答案 D
解析 已知抛物线的方程为x2＝8y，
可得p＝4，
所以焦点为F(0，2)，准线为l：y＝－2.
抛物线上一点A(x0，y0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，
即|AF|＝y0＋2，
又因为A 到x 轴的距离为y0，
由已知得y0＋2＝2y0，解得y0＝2.
(2)(多选)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px 的焦点,M 是C 上的点,O 为坐标原点.则( )
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M 为圆心且过F 的圆与C 的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM 的面积为2√3
答案 ABC
解析 由题意得p
2 =2,则p=4,A 正确;
设M(x0,y0),则|MF|=x0+ p
2 ,|OF|= p
2 ,
又因为x0≥0,所以|MF|≥|OF|,B 正确;
由抛物线的定义知M 到F 的距离与M 到C 的准线的距离相等,故以M 为圆心且过F 的圆与C 的准线相切,C
正确;
当∠OFM=120°时,设M 在第一象限,则x0>2,y0>0,故kMF=
y0
x0-2=tan 60°=√3,即x0= y0
√3+2,
又y0
2=8x0,所以√3 y0
2-8y0-16√3=0,
解得y0=4√3或y0=-4√3
3
(舍去),
所以S△OFM=1
2|OF|×|y0|=1
2×2×4√3=4√3,D 错误.
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的
求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
跟踪训练1 (1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2＝4x 上一点M 到焦点的距离是10，则M 到x 轴的距离是(
)
A.4
B.6
C.7
D.9
答案 B
解析 抛物线y2＝4x 的准线方程为x＝－1，由抛物线定义可得xM＋1＝10，故xM＝10－1＝9，则|yM|＝
√4 xM ＝√4×9＝6，即M 到x 轴的距离为6.
(2)已知点P 为抛物线y2＝－4x 上的动点，设点P 到直线l：x＝1 的距离为d1，到直线x＋y－4＝0 的距
离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A.5
2
B.5√2
2
C.2
D.√2
答案 B
解析 直线l：x＝1 为抛物线y2＝－4x 的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作
直线x＋y－4＝0 的垂线，
如图所示，当点P 为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，为点F 到直线x＋y－4＝0 的距离.
∵F(－1，0)，
∴(d1＋d2)min＝|-1＋0- 4|
√2
＝5√2
2 .
题型二 抛物线的标准方程
例2 (1)若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为 .
答案 y2＝16
3 x 或x2＝－9
4 y
解析 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px 和x2＝－2p1y 中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
则2p＝16
3 ，2p1＝9
4 .
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝16
3 x 或x2＝－9
4 y.
(2)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A 在E 上，AB 垂直l 于点B，BF
交y 轴于点C，若|AF|＝2|BC|＝4，则抛物线的标准方程为 .
答案 y2＝4x
解析 由题意知C 为BF 的中点，
因为|AF|＝|AB|，所以AC 与BF 垂直，
因为|AF|＝2|BC|＝4，所以∠CAF＝30°，
所以∠BAF＝60°，
方法一 则△ABF 为等边三角形，设AB 交y 轴于点D，如图，
在Rt△BCD 中，易得|BD|＝1，即p
2 ＝1，p＝2，
故抛物线的标准方程为y2＝4x.
方法二 A(
p
2 ＋2，2√3)，
代入E：y2＝2px(p>0)可得12＝2p(
p
2 ＋2)，
化简得p2＋4p－12＝0，
由于p>0，所以p＝2(p＝－6 舍去).
故抛物线的标准方程为y2＝4x.
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2 (1)抛物线C 的焦点F 关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C 的方程为( )
A.x2＝6y
B.x2＝12y
C.x2＝18y
D.x2＝36y
答案 B
解析 由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，
则抛物线的焦点为(0，p
2)，则准线为y＝－p
2 ，
所以
p
2 ＋(-9)
2
＝－p
2 ，解得p＝6，
所以抛物线C 的方程为x2＝12y.
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)构造了一
个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P 在抛物线C1上，过
点P 作x 轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，则p 等于( )
A.4
B.6
C.8
D.12
答案 D
解析 方法一 如图，过点P 作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴|OM|＝2，则xP＝－2，
又点P 在抛物线C1：y2＝－2px(p>0)上，
∴y P
2＝4p，
则|PM|＝2√p，
在Rt△PMF1中，|MF1|＝p
2 －2，
∵|PM|2＋|M F1|
2＝|P F1|
2，
∴(2√p)
2＋(
p
2 -2)
2
＝82，
∴p＝12(p＝－20 舍去).
方法二 设P(x0，y0)，则x0<0，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴－x0＋p
2 ＝2(－2x0)＝8，
∴x0＝－2，p＝12.
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)(多选)对于抛物线1
8x2＝y，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0，2)
B.开口向上，焦点为(0，1
16)
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y＝－4
答案 AC
解析 由抛物线1
8x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准
线方程为y＝－2.
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x 过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则( )
A.焦点F 的坐标为(4，0)
B.|AB|＝x1＋x2＋4
C.y1y2＝－8
D.
1
| FA | ＋
1
| FB| ＝1
2
答案 BD
解析 由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A 错误；
由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B 正确；
方法一 设直线AB 的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
1
| FA | ＋
1
| FB| ＝
1
x1＋2 ＋
1
x2＋2
＝
1
y1
2
8 ＋2
＋
1
y2
2
8 ＋2
＝
8
y1
2＋16
＋
8
y2
2＋16
＝
8 y1
2＋8×16＋8 y2
2＋8×16
y1
2 y2
2＋16 y1
2＋16 y2
2＋16
2
＝
8( y1＋y2)
2-16 y1 y2＋16
2
( y1 y2)
2＋16( y1＋y2)
2-32 y1 y2＋16
2
＝
8×(8m)
2＋16
2＋16
2
16
2＋16×(8m)
2＋32×16＋16
2
＝1
2，故C 错误，D 正确.
方法二 因为p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，
1
| FA | ＋
1
| FB| ＝2
p ＝1
2，故C 错误，D 正确.
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对
称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练3 (1)(2024·重庆模拟)A，B 是抛物线y2＝2px(p>0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且
△OAB(O 为坐标原点)的重心恰为F，若|AF|＝5，则p 等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(
p
2 ，0)，
因为△OAB 的重心恰为F，则{
x1＋x2＋0
3
＝p
2 ,
y1＋y2＋0
3
＝0,
解得{
x1＋x2＝3 p
2 ,
y1＝- y2,
由y1＝－y2可知A，B 关于x 轴对称，即x1＝x2，
则x1＋x2＝2x1＝3 p
2 ，即x1＝3 p
4 ，
又因为|AF|＝x1＋p
2 ＝5 p
4 ＝5，解得p＝4.
(2)(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F 的直线l 与抛物线交于两个不同
的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 为坐标原点，设直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2，则( )
A.p＝2
B.|AB|≥4
C.⃗OA·⃗OB＝－4
D.k1k2＝－4
答案 ABD
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A 正确；
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点为F(1，0)，
设直线l：x＝my＋1，联立{
y
2＝4 x ,
x＝my ＋1,
消去x 整理得y2－4my－4＝0，
则Δ＝16m2＋16>0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)
＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B 正确；
因为⃗OA＝(x1，y1)，⃗OB＝(x2，y2)，
所以⃗OA·⃗OB＝x1x2＋y1y2＝－3，故C 错误；
由题意知，x1≠0 且x2≠0，所以k1k2＝y1
x1
· y2
x2
＝－4，故D 正确.
课时精练
[分值：100 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3 的抛物线的标准方程为( )
A.x2＝±3y
B.y2＝±6x
C.x2＝±12y
D.y2＝±12x
答案 C
解析 设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，
依题意知p
2 ＝3，∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
2.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P(x0，8)是C 上一点，且P 到F 的距离与P 到C 的对称轴的距
离之差为2，则p 等于( )
A.1
2
B.1
C.2 或4
D.4 或36
答案 D
解析 因为P(x0，8)是C 上一点，
所以x0
2＝16p，所以|x0|＝4√p，
由抛物线的定义可得P 到F 的距离为8＋p
2 ，
点P 到C 的对称轴的距离为|x0|，
则8＋p
2 －4√p＝2，解得p＝4 或p＝36.
3.已知抛物线C：y2＝8x 的焦点为F，准线为l，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若⃗FP＝4⃗
FQ，则|QF|等于( )
A.7
2
B.5
2
C.3
D.2
答案 C
解析 过点Q 作QQ'⊥l 于点Q'，如图.
∵⃗FP＝4⃗FQ，
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦点F 到准线l 的距离为4，
∴|QF|＝|QQ'|＝3
4 ×4＝3.
4.在平面直角坐标系Oxy 中，抛物线C：y2＝8x，P 为x 轴正半轴上一点，线段OP 的垂直平分线l 交C 于
A，B 两点，若∠OAP＝60°，则四边形OAPB 的周长为( )
A.64
B.64√3
C.64√3
3
D.64
3
答案 D
解析 根据抛物线的对称性以及AB 为线段OP 的垂直平分线，
可得四边形OAPB 为菱形，
又∠OAP＝60°，可得∠AOP＝60°，
故可设A(a，√3a)(a>0)，
代入抛物线方程可得(√3a)
2＝8a，解得a＝8
3，
故|OA|＝2a＝16
3 ，
故四边形OAPB 的周长为4×16
3 ＝64
3 .
5.已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 垂直于x 轴，且与抛物线C 交于P，Q 两点，点E 在x 轴
上，且|EF|＝2.若kOP·kEQ＝－2(O 为坐标原点)，则C 的准线方程为( )
A.x＝－1
B.x＝－1
2
C.x＝－2
D.x＝－3
2
答案 A
解析 由抛物线的方程y2＝2px(p>0)，
得F(
p
2 ，0)，
由抛物线的对称性，
不妨设P(
p
2 ，p)，Q(
p
2 ，- p)，
当点E 的坐标为(
p
2 ＋2，0)时，
kOP＝
p-0
p
2 -0＝2，kEQ＝
- p-0
p
2 - p
2 -2
＝p
2 ，
因为kOP·kEQ＝－2，
所以2× p
2 ＝－2，
则p＝－2(不符合题意，舍去)；
当点E 的坐标为(
p
2 -2，0)时，
kEQ＝
0-(- p)
p
2 -2- p
2
＝－p
2 ，
因为kOP·kEQ＝－2，所以2×(- p
2)＝－2，
则p＝2，所以抛物线C 的准线方程为x＝－1.
6.已知x 轴上一定点A(a，0)(a>0)，和抛物线y2＝2px(p>0)上的一动点M，若|AM|≥a 恒成立，则实数a 的取
值范围为( )
A.(0，p
2]
B.(0，p]
C.(0，3 p
2 ]
D.(0，2p]
答案 B
解析 设M(x0，y0)(x0≥0)，则y0
2＝2px0，
所以|AM|＝√( x0-a)
2＋y0
2
＝√( x0-a)
2＋2 p x0
＝√x0
2-(2a-2 p)x0＋a
2，
因为|AM|≥a 恒成立，
所以x0
2－(2a－2p)x0＋a2≥a2恒成立，
所以x0
2－(2a－2p)x0≥0 恒成立，
当x0＝0 时，显然恒成立，
当x0>0 时，x0≥2a－2p 恒成立，
所以2a－2p≤0，则a≤p，
又a>0，所以0<a≤p，
即实数a 的取值范围为(0，p].
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(5，y0)在抛物线上，且|PF|＝6，过点P 作PQ⊥x 轴于点Q，则
( )
A.p＝2
B.抛物线的准线为直线y＝－1
C.y0＝2√5
D.△FPQ 的面积为4√5
答案 AD
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为直线x＝－p
2 ，
过点P 向准线作垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|＝5＋p
2 ＝6，解得p＝2，则抛物线的方
程为y2＝4x，准线为直线x＝－1，故A 正确，B 错误；
将x＝5 代入抛物线方程，解得y0＝±2√5，故C 错误；
焦点F(1，0)，点P(5，±2√5)，即|PQ|＝2√5，所以S△FPQ＝1
2×2√5×(5－1)＝4√5，故D 正确.
8.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，经过点A，
B，M 作抛物线的准线l 的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN 交抛物线于点Q，连接
QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是( )
A.|MN|＝1
2|AB|
B.FN⊥AB
C.Q 是线段MN 的一个三等分点
D.∠QFM＝∠QMF
答案 ABD
解析 如图，由抛物线的定义，
得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，
又|MN|＝| AC |＋|BD|
2
，
则|MN|＝| AF |＋|BF |
2
＝1
2|AB|，A 正确；
由|MN|＝1
2|AB|，|AM|＝|MB|，
得|MN|＝|AM|，所以∠MAN＝∠MNA.
而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN，
所以△ANC≌△ANF，
可知∠ACN＝∠AFN＝90°，
所以FN⊥AB，B 正确；
在Rt△MNF 中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，D 正确；
由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，所以|QN|＝|QM|，即Q 是MN 的中点，C 不正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.抛物线x2＝1
ay 的准线方程是y＝2，则实数a 的值为 .
答案 －1
8
解析 由题意－1
4 a＝2，解得a＝－1
8.
10.已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C 的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|
＋|PF|的最小值为41，则p 的值等于 .
答案 42 或22
解析 当点M(20，40)位于抛物线内时，如图①，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D 三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
由最小值为41，得20＋p
2 ＝41，解得p＝42；
当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当M，P，F 三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小为|MF|.
由最小值为41，得√40
2＋(20- p
2)
2
＝41，
解得p＝22 或p＝58.
当p＝58 时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去.
综上，p＝42 或p＝22.
① ②
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知动点M 与点F(2，0)的距离与其到直线x＝－2 的距离相等.
(1)求动点M 的轨迹方程；(5 分)
(2)求点M 与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M 的坐标.(8 分)
解 (1)由题意知动点M 到F(2，0)的距离与它到直线x＝－2 的距离相等，所以动点M 的轨迹为以F(2，0)
为焦点，以直线x＝－2 为准线的抛物线，
因此动点M 的轨迹方程为y2＝8x.
(2)设M(
m
2
8 ，m)，
由两点间的距离公式得
|MA|＝√(
m
2
8 -6)
2
＋m
2＝√
m
4
64 - m
2
2 ＋36
＝√
1
64 (m
2-16)
2＋32，
当m2＝16，即m＝±4 时，|MA|min＝4√2，
即当M 的坐标为(2，4)或(2，－4)时，点M 与点A 的距离最小，最小值为4√2.
12.(15 分)已知动圆过定点(4，0)，且在y 轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(6 分)
(2)已知P 为轨迹C 上的一动点，求点P 到直线y＝x＋4 和y 轴的距离之和的最小值.(9 分)
解 (1)设圆心C 的坐标为(x，y)，
则半径r＝√( x - 4)
2＋y
2，
又动圆在y 轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，
即动圆圆心C 的轨迹方程为y2＝8x.
(2)如图，设轨迹C 的焦点为F(2，0)，点P 到直线y＝x＋4 的距离为|PP1|，到y 轴的距离为|PP2|，点F 到直
线y＝x＋4 的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F 到直线y＝x＋4 的距离，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝
6
√1＋1＝3√2，
所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3√2－2.
即点P 到直线y＝x＋4 和y 轴的距离之和的最小值为3√2－2.
每小题5 分，共20 分
13.已知抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C 的横坐标成等差数列，P 为抛物线的焦点，则( )
A.A，B，C 的纵坐标成等差数列
B.A，B，C 到x 轴的距离成等差数列
C.A，B，C 到原点的距离成等差数列
D.A，B，C 到点P 的距离成等差数列
答案 D
解析 设点A，B，C 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，P(
p
2 ，0)，准线方程为x＝－p
2 ，
因为抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C 的横坐标成等差数列，所以有2x2＝x1＋x3，于是有
2[x2-(- p
2)]＝[x1-(- p
2)]＋[x3-(- p
2)]，
根据抛物线定义可得2|BP|＝|AP|＋|CP|，显然选项D 正确；
当三点A，B，C 的坐标分别为(0，0)，(2，2√p)，(4，2√2 p)时，因为p>0，所以2×2√p＝0＋2√2 p不成
立，因此选项A 不正确；
因为A，B，C 到x 轴的距离分别为0，2√p，2√2 p，p>0，所以2×2√p＝0＋2√2 p不成立，因此选项B
不正确；
因为|AO|＝0，|BO|＝√4＋4 p，|CO|＝√16＋8 p，p>0，所以2×√4＋4 p＝0＋√16＋8 p不成立，因此
选项C 不正确.
14.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y，y∈[0，10]，在凹槽内放入一个清洁
钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A.1
2
B.1
C.2
D.5
2
答案 B
解析 作截面，如图所示，设清洁钢球截面圆的圆心为(0，y0)(y0>0)，若清洁钢球能触及凹槽的最底部，则
清洁钢球的半径r＝y0，
又抛物线x2＝2y，y∈[0，10]上的点(x，y)到圆心距离的平方为
d2＝x2＋( y - y0)
2＝2y＋( y - y0)
2
＝y2＋2(1－y0)y＋y0
2，y∈[0，10]，
若d2的最小值在y＝0 时取到，则清洁钢球触及凹槽的最底部，
故二次函数f(y)＝y2＋2(1－y0)y＋y0
2图象的对称轴方程应满足－1＋y0≤0，
所以y0≤1，所以0<r≤1，
从而清洁钢球的半径r 的取值范围为(0，1]，
所以清洁钢球的最大半径为1.
15.设抛物线C：x2＝2y 的焦点为F，过抛物线C 上的点P 作C 的切线交x 轴于点M，若∠FPM＝30°，则|
FP|等于 ( )
A.2
3
B.2
C.√2
D.√3
答案 B
解析 由已知得F(0，1
2)，
设P(x0，y0)，x0≠0，y0≠0，则x0
2＝2y0，
由x2＝2y，即y＝1
2x2，则y'＝x，
所以过点P 的抛物线C 的切线的斜率为x0，
则切线方程为y－y0＝x0(x－x0)，
当y＝0 时，x＝x0
2- y0
x0
＝y0
x0
，
即M 点的坐标为(
y0
x0
，0)，
则|PM|＝√(x0- y0
x0)
2
＋( y0-0)
2＝√
y0
2 ＋y0
2，
|FM|＝√(
y0
x0
-0)
2
＋(0- 1
2)
2
＝√
y0
2 ＋1
4 ，
|FP|＝y0＋1
2，
又∠FPM＝30°，
则在△FPM 中，由余弦定理得，
|FM|2＝|FP|2＋|PM|2－2|FP||PM|cos∠FPM，
则y0
2 ＋1
4 ＝( y0＋1
2)
2
＋y0
2 ＋y0
2－2( y0＋1
2)
×√
y0
2 ＋y0
2×√3
2 ，
整理得2y0
2＋y0－√3( y0＋1
2)×√
y0
2 ＋y0
2＝0，
解得y0＝3
2，
所以|FP|＝3
2 ＋1
2＝2.
16.已知抛物线y＝1
4 x2和y＝－1
16x2＋5 所围成的封闭曲线E 如图所示，点M，N 在曲线E 上，定点A(0，
a)，则下列说法中不正确的是 ( )
A.任意a∈(0，5)，都存在点M，N，使得|AM|＝|AN|
B.任意a∈(0，5)，都存在点M，N，满足这对点关于点A 对称
C.存在a∈(0，5)，当点M，N 运动时，使得|AM|＋|AN|≤10
D.任意a∈(0，5)，恰有三对不同的点M，N，满足每对点M，N 关于点A 对称
答案 D
解析 抛物线y＝1
4 x2和y＝－1
16x2＋5 的对称轴都为y 轴，因此封闭曲线E 关于y 轴对称，
对于A，任意a∈(0，5)，在曲线E 上取关于y 轴对称的两点M，N，而点A(0，a)在y 轴上，有|AM|＝|
AN|，A 正确；
对于B，对任意a∈(0，5)，过点A 且垂直于y 轴的直线与曲线E 的交点M，N 关于点A 对称，B 正确；
对于C，联立y＝1
4 x2与y＝－1
16x2＋5，
解得{
x＝- 4 ,
y ＝4 或{
x＝4 ,
y ＝4 ,
取a＝1，即A(0，1)，抛物线y＝1
4 x2，
即x2＝4y，焦点为(0，1)，准线方程为y＝－1，
当点M(t，s)在y＝1
4 x2(0≤y≤4)上运动时，0≤s≤4，|AM|＝s＋1∈[1，5].
抛物线y＝－1
16x2＋5 的图象可由抛物线y＝－1
16x2的图象向上平移5 个单位长度而得到，
抛物线y＝－1
16x2，
即x2＝－16y，焦点为(0，－4)，准线方程为y＝4，
则抛物线y＝－1
16x2＋5 的焦点为(0，1)，准线方程为y＝9，
当点M(t，s)在y＝－1
16x2＋5(4≤y≤5)上运动时，4≤s≤5，|AM|＝9－s∈[4，5]，
因此当点M，N 运动时，1≤|AM|≤5，1≤|AN|≤5，恒有|AM|＋|AN|≤10，C 正确；
对于D，取a＝1，即A(0，1)，直线y＝1 与抛物线y＝1
4 x2的两个交点关于点A 对称，
在此抛物线上关于点A 对称的两点就只有一对，在抛物线y＝－1
16x2＋5 上不存在两点关于点A 对称，
另外关于点A 对称的两点分别在y＝1
4 x2和y＝－1
16x2＋5 上时，不妨令M(u，1
4 u
2)，
此点关于点A 对称的点N(-u，2- 1
4 u
2)必在y＝－1
16x2＋5 上，而方程2－1
4 u2＝－1
16u2＋5，
即3
16u2＝－3 无解，则此时不存在关于点A 对称的两点分别在两条抛物线上，D 错误.
