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1．设函数
.已知
，
，且
的最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．某城市一年中12 个月的月平均气温
（单位
）与月份
的关系可近
似地用三角函数
来表示，已知月平均气温最高值为28
，最
低值为18
，则
（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
3．若函数
两零点间的最小距离为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．记函数
的最小正周期为T．若
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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5．生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河流中的生
物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物
种类数没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知正数a，b，c 满足
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若
，
，，满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知实数
满足：
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
2
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A．1
B．2
C．
D．
10．如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，
，
，
，
，
，则点P 到平面ABCD 的距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．
11．等边
的边长为2，D，E 分别为AB，AC 的中点，将
沿DE 折起，使点A
到达点
的位置.若平面
平面BCED，则线段
的长为（ ）.
A．
B．
C．
D．
12．已知三棱锥
的三条侧棱
、
、
两两互相垂直，
是
的垂心.若
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
3
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13．已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．若
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．设
，
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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17．已知
是平面直角坐标系中的点集.设
是
中两点间距离的最大值，是
表示的图形的面积，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
18．若
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．已知实数x，y 满足线性约束条件
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知函数
为定义在R 上的减函数，函数
的图像关于点
对称，
满足不等式
，则当
时，
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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参考答案：
1．B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：
为
的最小值点，
为
的最大值点，
则
，即
，
且
，所以
.
故选：B.
2．A
【分析】根据正弦函数的最值列式可得结果.
【详解】依题意可得
，解得
.
故选：A
3．A
【分析】先求出周期，即可求出
.
【详解】因为函数
两零点间的最小距离为
，
所以
，所以
，所以
，解得：
.
故选：A
4．C
【分析】由最小正周期
可得
，再由
即可得
，即可求得
.
【详解】根据最小正周期
，可得
，解得
；
又
，即
是函数
的一条对称轴，
1
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所以
，解得
.
又
，当
时，
.
故选：C
5．D
【分析】根据题意分析可得
，消去即可求解.
【详解】由题意得
，则
，即
，所
以
.
故选：D.
6．D
【分析】利用指数和对数的运算规则和指数函数、对数函数与幂函数的性质，比较大小.
【详解】
，
,故A 错误；
，
，故BC 错误，D 正确．
故选：D.
7．A
【详解】因为
，则
，故
，故
；又
，故
.综
上，
.
【题型】指数与对数互化
【难度】B
【核心素养】数学运算
2
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8．A
【分析】首先可得
，再设
，即可得到
，再结合指数函数的性质得到
，同理得到
、
，再根据
函数的单调性得到
，即可判断.
【详解】因为
，即
，所以
，
设
，
，
设
是单调递增函数，所以
，所以
，即
，
又
是单调递减函数，且
，所以
，
设
设
是单调递增函数，所以
，所以
，即
又
是单调递减函数，且
，
，
所以
，
同理，由
得
，
3
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又
是单调递减函数，且
，
，
所以
，
由
，
所以
且
是单调递减函数，所以
.
综上可得
故选：A
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是合理的构造函数，结合指数函数的性质判断.
9．D
【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面
平面
，可知
平面
，利用等体积法求点到面的距离.
【详解】如图，底面
为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设
，
分别取
的中点
，连接
，
则
，且
，
平面
，
可知
平面
，且
平面
，
所以平面
平面
，
过
作
的垂线，垂足为
，即
，
由平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
由题意可得：
，则
，即
，
4
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则
，可得
，
所以四棱锥的高为
.
当相对的棱长相等时，不妨设
，
，
因为
，此时不能形成三角形
，与题意不符，这样情况不存在.
故选：D.
10．B
【分析】根据题意由勾股定理可得
，可证
平面PAB，即平面
平面
ABCD，根据面面垂直的性质作
平面ABCD，结合图形运算求解．
【详解】在
中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得
．
因为PC＝2，BC＝1，
，
所以
，即
．
因为∠ABC＝90°，所以
，
又
，所以
平面PAB．
因为
平面ABCD，所以平面
平面ABCD．
在平面PAB 内，过点P 作
，交BA 的延长线于点E，如图所示，
因为平面
平面ABCD＝AB，
，
所以
平面ABCD．
因为在
中，PA＝1，∠PAE＝60°，
所以
，所以点P 到平面ABCD 的距离为
．
故选：B．
11．C
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【分析】由面面垂直可得线面垂直，利用勾股定理求解.
【详解】如图，易知
是边长为1 的等边三角形，过
作DE 的垂线，垂足为H，
由平面
平面BCED，交线为
，
,
则
平面BCED，且H 为线段DE 的中点，
，
连接BH，则
，取BC 的中点F，则
，且
，
所以
，
所以
.
故选：C
12．B
【分析】先证明两个线面垂直“
平面
”和“
平面
”，进而得到
，得到等式
，并将其转化为关系式
，求解即可.
【详解】连接
，并延长
交
于点
，连接
，
连接
，
由于三条侧棱
、
、
两两互相垂直，易得
平面
，
又因为
平面
，
平面
，所以
，
，
因为
是
的垂心，所以
，
因为
，
，且
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，且
平面
，
所以
，同理可得
，
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因为
，
，且
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
即
，
所以
，
由
平面
，易得
，
所以
，
所以
.
故选：B.
13．B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即
可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
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可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
14．B
【分析】先求得
，然后根据对数函数、基本不等式等知识确定正确答案.
【详解】依题意，
，
，
，
则
，A 选项错误.
，B 选项正确.
，即
，D 选项错误.
，C 选项错误.
故选：B
15．D
【分析】若
，则易得
，则可以根据指数的性质：
及
，对四个答案逐一进行分析，易得答案.
【详解】由
，得
，
，
，AC 正确；
又
，
，
又
，所以
，B 正确；
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，
，D 错误.
故选：D
16．A
【分析】构造函数
，分离常数法判断函数单调性，根据单调性即可判断选项
A、B；由
，
，即可判断选项C；结合基本不等式即可判断选
项D.
【详解】构造函数
，则
，
因为函数
在R 上为单调递增函数， 所以
在R 上为单调递减函数，
所以
，所以
，
，故选项A 正确，选项B 错误；
因为
，
，所以
，故选项C 错误；
因为
，当且仅当
时取等号，由题意可知
，故
，故选
项D 错误.
故选：A
17．C
【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域
，结合图形
分析求解即可.
【详解】对任意给定
，则
，且
，
可知
，即
，
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再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域
，
如图阴影部分所示，其中
，
可知任意两点间距离最大值
；
阴影部分面积
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，
做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有
明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图
形中的相关结论求解．
18．D
【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数
满足
，作出可行域如图：
由
可得
，
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即的几何意义为
的截距的
，
则该直线截距取最大值时，有最小值，
此时直线
过点
，
联立
，解得
，即
，
则
.
故选：D.
19．C
【分析】作出可行域，再把
看作为动点
与定点
的两点
的斜率,利用数形结合
思想可得到答案.
【详解】画出约束条件
表示的可行域如图，设可行域内点
，
记点
，把
看作为动点
与定点
的两点
的斜率，
由方程组
，解得：
，即点
，
同理解得点
，
所以
，
，
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由图结合正切函数的单调性可知：
，
故选：C．
20．D
【分析】根据函数
的图象关于点
对称，可知函数是奇函数，再利用在
上
的减函数，转化为具体的不等式，故可解.
【详解】
由已知函数
的图象关于点
对称，
把
向左移一个单位就得到
，对称中心也向左移一个单位变成
，
所以
有对称中心
，
为定义在R 上的奇函数，
由
，得
，
因为
是在
上的减函数，
，即
，
又
，
平面区域如图所示．
由图求得
，
．令
，则
与阴影区域有交点即可，
的几何意义为直线
与阴影部分有交点时的截距，所以的最小值为过A 点时，
此时截距最小，代入A 点求得
，
当直线截距最大时与圆相切，
，此时
或
(舍)，
则的取值范围为
．
12
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故选：D.
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