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高考重点考点解读与针对性训练
第四章 抛体运动
考点26 平抛运动的临界极值问题
【考点解读】
1.常见的“临界术语”
（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，
表明题述的过程中存在临界点。
（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。
2.平抛运动临界、极值问题的分析方法
（1）确定研究对象的运动性质；
（2）根据题意确定临界状态；
（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
【高考真题】
【典例1】.（2024·浙江1 月选考8 题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到
水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶
底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（ ）
A. D
4
❑√
g
h
B. D
2
❑√
g
2h
C.（❑√2+1）D
2
❑√
g
2h
D.（❑√2＋1）D❑√
g
2h
答案 C
解析： 设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0❑√
2h
g
，落到桶底A 点时x＋D
2 ＝v0
❑√
2×2h
g
，解得v0＝（❑√2+1）D
2
❑√
g
2h
，故选C。
【典例2】. （2022 年高考河北卷）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以
为圆
心、
和
为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出
水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和
外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用
、
、
和
、
、
表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷
水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，
，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D. 若
，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
【参考答案】BD
【命题意图】本题考查平抛运动规律及其相关知识点。
【名师解析】根据平抛运动的规律，
，
解得
可知若h1=h2，则 v1:v2 =R1:R2
若v1=v2，则
，选项A 错误，B 正确；
若
，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1=v2，出水口的截面积相同，可知单位时
间喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，
可知得到的水量较多，选项C 错误；设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，若
，
则喷水管转动一周的时间相等，因h 相等，则水落地的时间相等，则
相等；在圆周
上单位时间内单位长度的水量为
相等，即一周中每个花盆中的水量相同，选项D 正确。
【典例3】. （2023 高考湖北卷）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆
形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B 在桌面边缘，B 与半径为R 的固
定光滑圆弧轨道
在同一竖直平面内，过C 点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小
物块以某一水平初速度由A 点切入挡板内侧，从B 点飞出桌面后，在C 点沿圆弧切线方向
进入轨道
内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为
，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D 点的速度大小；
（2）B 和D 两点的高度差；
（3）小物块在A 点的初速度大小。
【参考答案】（1）
；（2）0；（3）
【名师解析】（1）由mg=m
，解得：
（2）小物块由C 到D，由机械能守恒定律，
+mgR（1+cos60°）=
解得
将小球在C 点沿圆弧切线方向进入轨道的速度沿水平方向和竖直方向分解，则有
，
联立解得：h=1.5R
（3）由
解得
对小物块从A 运动到B 的过程，由动能定理，μmgπ·2R=
-
解得
【典例4】.[2023 新课标]将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地
飞向远方，俗称“打水漂”.要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速
度方向与水面的夹角不能大于θ.为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h
处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速
度大小为g）
答案
❑√2 gh
t anθ
解析 由题意可知石子接触水面前的运动可理想化为平抛运动，从距水面高度为h 处水平
抛出扁平石子，落到水面时其竖直方向的速度为vy＝❑√2gh
要使扁平石子落水时的速度方向与水面的夹角不大于θ，则v y
v0
≤tanθ
解得v0≥
❑√2 gh
t anθ
即抛出速度的最小值为vmin＝
❑√2 gh
t anθ .
【针对性训练】
1 .如图，小球从A 点斜向上抛出，恰好垂直撞到竖直墙壁的B 点，
已知小球在A 点速度大小为2❑√3m/s，与水平方向成60°角.g 取10m/s
2
，不计空气阻力，下列说法正确的是（ C ）
A.小球上升的最大高度为0.6m
B.小球在最高点时的速度大小为3m/s
C.小球从A 运动到B 的时间为0.3s
D.A、B 间的水平距离为1.6m
答案 C
解析 将小球在A 点的速度沿水平和竖直方向进行分解，则小球在水平方向做速度为vAx＝
vA cos 60°＝❑√3 m/s 的匀速直线运动，在竖直方向做初速度为vAy＝vA sin 60°＝3 m/s 的竖
直上抛运动，小球恰好垂直撞到竖直墙壁的B 点，可知其竖直方向的末速度为零，则小球
上升的最大高度为H＝v Ay
2
2g
＝0.45 m，故A 错误.小球在最高点B 时的速度为其水平方向的速
度，即vB＝vAx＝❑√3 m/s，故B 错误.小球从A 运动到B 的时间可以由竖直方向的分运动求
得，即t＝v Ay
g
＝0.3 s，故C 正确.A、B 间的水平距离可由水平方向的匀速直线运动求得，即
x＝vAxt＝3 ❑√3
10 m，故D 错误.
2.[ 2023 昆明一中、银川一中联考/多选]如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为1
4 圆弧
bc，半径为R，O 为圆心，若在O 点以大小不同的初速度v0沿Oc 方向水平抛出小球，小球
落在坑内.空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ BD ）
A.小球落在圆弧面上的最小速度为❑√2gR
B.小球落在圆弧面上的最小速度为❑√
❑√3 gR
C.小球的运动时间与v0大小无关
D.无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上
答案 BD
解析 小球做平抛运动有h＝1
2gt2、x＝v0t，且h2＋x2＝R2，而落点的速度v＝❑√(>)
2＋v0
2，
解得v＝❑√
3
4 g
2t
2＋R
2
t
2 ，显然当3
4 g2t2＝R
2
t
2 时速度有最小值，代入可得最小值为v＝
❑√
❑√3 gR，B 正确，A 错误；v0越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，
C 错误；由于小球落点的速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若
球垂直撞击在圆弧面上，落点的速度方向需沿半径，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞
击在圆弧面上，D 正确.
3. 如图所示，蜘蛛在水平地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB 与地面之间
的夹角为45°，A 点到地面的距离为1m，已知重力加速度g 取10m/s2，空
气阻力不计.若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8m 的C 点以水平速度v0跳出，要
到达蛛丝AB，水平速度v0至少为（ B ）
A.1m/s
B.2m/s
C.2.5m/s
D.❑√5m/s
答案 B
解析 水平速度v0最小时，设经过时间t 蜘蛛到达蛛丝，由题意有v0t＝1
2gt2＋0.2 m，v0＝
vy＝gt，解得t＝0.2 s，v0＝2 m/s，故B 正确.
4 .如图所示，排球比赛中，某运动员在距网水平距离为4.8m、距地面3.2m 高处将排球沿
垂直网的方向以16m/s 的速度水平击出.已知网高为2.24m，排球场地长为18m，重力加速
度g 取10m/s2，可将排球视为质点，下列判断正确的是（ B ）
A.球不能过网
B.球落在对方场地内
C.球落在对方场地端线上
D.球落在对方场地端线之外
答案 B
解析 设击球位置离地高度为h1，网高为h2，运动员击球时离网的水平距离为x1，排球场
地长为L，若排球的击出速度为v1时刚好过网，则根据平抛运动规律有h1－h2＝1
2gt1
2，v1＝
x1
t1
，由以上两式代入数据解得v1≈11 m/s，由于排球的初速度v＝16 m/s＞v1，因此排球可
以过网，故A 错误；排球以v＝16 m/s 的速度水平飞出做平抛运动的水平位移为x＝vt＝v
❑√
2h1
g
＝12.8 m＜L
2 ＋x1，因此排球将落到对方场地内，故B 正确，C、D 错误.
5. 如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d＝0.4 m，某人在距离墙
壁L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速
度v 水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，重力加速
度取g＝10 m/s2，则可以实现上述要求的速度大小是（ ）
A.2 m/s
B.4 m/s
C.8 m/s
D.10 m/s
答案：B
解析：小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v 最大。此时有L＝
vmaxt1，h＝1
2gt1
2，代入数据解得vmax＝7 m/s，小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时
速度v 最小，则有L＋d＝vmint2，H＋h＝1
2gt2
2，代入数据解得vmin＝3 m/s，故v 的取值范围
是3 m/s≤v≤7 m/s，故B 正确，A、C、D 错误。
6. 某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m 高的水平桌子
上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力
作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（ ）
A.0
B.0.1 m
C.0.2 m
D.0.3 m
答案：C
解析：设最高点距离水平地面的高度为H，右端出口距离地面距离为h，小球从最高点到右
端出口，根据机械能守恒定律，有mg（H－h）＝1
2mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运
动，有x＝vt，h＝1
2gt2，联立解得x＝2❑√（H －h）h，根据数学知识知，当H－h＝h 时，
x 最大，即h＝1 m 时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝
0.2 m，故C 正确。
7. 如图所示，水平面上固定一半径为5m 的四分之一圆弧轨道，O 为轨道的圆心，圆弧轨
道与水平面相切于B 点.在圆心O 右侧同一水平线上的某点水
平向左抛出一个小球，小球可视为质点，恰好垂直击中轨道上
的C 点，C 点到水平面的高度为2m，取g＝10m/s2，则小球抛
出时的速度大小为（ C ）
A.3 ❑√5
2
m/s
B.4 ❑√5
3
m/s
C.8 ❑√15
3
m/s
D.4 ❑√15
3
m/s
答案 C
解析 作出小球的运动轨迹，将小球在C 点的速度沿水平和竖直方向进行分解，如图所示，
小球在竖直方向做自由落体运动，则竖直分速度vy＝❑√2ghCD＝2❑√15 m/s，小球垂直击中
C 点，速度的反向延长线过圆心，根据几何关系有 sin θ
＝hCD
R ＝3
5，可得tan θ＝3
4 ，小球抛出时的速度v0＝
v y
tanθ ＝8 ❑√15
3
m/s，故C 正确.
8.如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO'距桌面的高度为h，发射器
O'A 部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A 点以初速度v0 水平发射出去，其中
❑√2gh≤v0≤2❑√2gh，设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻
力不计。若使该发球器绕转轴OO'在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长
时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S 是（ ）
A.2πh2
B.3πh2
C.4πh2
D.8πh2
答案 C
解析： 根据平抛运动规律h＝1
2gt2，解得t＝❑√
2h
g
，以最小速度v1＝❑√2gh发射的乒乓球，
水平位移最小，为x1＝v1t＝❑√2 gh×❑√
2h
g
＝2h，对应的与桌面相碰区域的1
4 圆半径为r1＝h
＋x1＝3h，以最大速度v2＝2❑√2gh发射的乒乓球，水平位移最大，为x2＝v2t＝2❑√2 gh×
❑√
2h
g
＝4h，对应的与桌面相碰区域的1
4 圆半径为r2＝h＋x2＝5h，乒乓球第一次与桌面相碰
区域的最大面积S＝1
4 π[（5h）2－（3h）2]＝4πh2，故C 正确。
9.（2025·云南昆明模拟）如图所示，从高H＝5 m 处的A 点先后水平抛出两个小球1 和
2。球1 与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上的竖直挡板落在水平地面上的E 点，
已知碰撞前后的水平分速度不变、竖直分速度等大反向。球2 的初速度v0＝3 m/s，也恰好
越过挡板落在E 点，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是（
）
A.小球2 的水平射程为5 m
B.小球1 平抛运动的初速度为1.5 m/s
C.抛出点A 与竖直挡板顶端D 点的高度差h＝5
3 m
D.抛出点A 与竖直挡板顶端D 点的高度差h＝1.25 m
答案 D
解析： 根据H＝1
2gt2，x＝v0t，小球2 的水平射程为x＝3 m，A 错误；两球均落到E 点，
根据对称性可知，小球1 和2 运动总时间之比为t1∶t2＝3∶1，小球1 落至C 点的水平位移
为x1＝x
3 ＝1 m，小球1 平抛运动的初速度为v1＝x1
t
，得v1＝1 m/s，B 错误；球2 运动至
挡板顶端D 与球1 从挡板顶端D 运动至最高点的时间相同，则对应的水平方向位移之和为
v0❑√
2h
g
＋v1❑√
2h
g
＝2 m，得抛出点A 与竖直挡板顶端D 点的高度差为h＝1.25 m，故C 错
误，D 正确。
10.（2025·湖北荆州期末）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速
度v0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，B 到斜面
底边的竖直高度为H，则下列说法中正确的是（ ）
A.若小球以最小位移到达斜面，则t＝2v0 tanθ
g
B.若小球以最小位移到达斜面，则v0＝❑√
gH
2
sin θ
C.若小球能击中斜面中点，则t＝2v0
g tanθ
D.若小球垂直击中斜面，则t＝v0 tanθ
g
答案 B
解析： 过抛出点作斜面的垂线CD，如图所示，当小球落在斜面上的D 点时，位移最小，
设运动的时间为t，则水平方向，有x＝v0t，竖直方向，有y＝1
2gt2，根据几何关系有x
y ＝
tan θ，则有
v0t
1
2 gt
2＝tan θ，解得t＝2v0
g tanθ
，故A 错误；由A 选项可知v0＝x❑√
g
2 y
，由几
何关系可得此时竖直方向位移y＝Hcos θ·cos θ＝Hcos2 θ，水平方向位移x＝Hcos θsin θ，
由以上可知v0＝❑√
gH
2
sin θ，故B 正确； 若小球能击中斜面中点，小球下落的高度设为
h，水平位移设为x1，则由几何关系可得tan θ＝h
x1
＝
1
2 gt1
2
v0t1
＝gt1
2v0
，解得t1＝2v0 tanθ
g
，
故C 错误；小球垂直击中斜面时速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝v0
gt
，解得t＝
v0
g tanθ ，故D 错误。
11.（2025·湖北武汉模拟）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，小球从斜面上
M 点的正上方0.2 m 处由静止下落，在M 点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N 点。已知小
球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变，
方向相反，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻
力，则小球从M 点运动至N 点所用的时间为（ ）
A.0.2 s
B.0.3 s
C.0.4 s
D.0.5 s
答案 C
解析： 由自由落体运动公式v2＝2gh，得小球到M 点的速度大小为v＝2 m/s，以沿斜面
方向为x 轴，以垂直于斜面方向为y 轴建立坐标系，如图所示。则vy'＝vy＝vcos 37°＝1.6
m/s，vx＝vsin 37°＝1.2 m/s，将重力加速度分解为ay＝gcos 37°＝8 m/s2，ax＝gsin
37°＝6 m/s2，小球从M 点落到斜面上的N 点，由运动学公式y＝vy't－1
2ayt2＝0，代入数
据解得t＝0.4 s，故选C。
12.（2025·河北邢台二中模拟）如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙（厚度不计）高h＝
3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m。为使小球从屋顶水平飞
出落在围墙外的空地上，重力加速度g 取10 m/s2，求：
（1）小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
（2）小球落在空地上的最小速度。
答案：（1）5 m/s≤v0≤13 m/s （2）5❑√5 m/s
解析：（1）设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小球的水平位移
L＋x＝v01t1
小球的竖直位移H＝ 1
2gt1
2
联立解得v01＝13 m/s
设小球恰好越过围墙边缘时的水平初速度为v02，则小球的水平位移L＝v02t2
小球的竖直位移H－h＝ 1
2gt2
2
解得v02＝5 m/s
故小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s。
（2）小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的
边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向有v y
2＝2gH
又vmin＝ ❑√v02
2＋v y
2
解得vmin＝5 ❑√5 m/s。
13.[2024 江西赣州大余中学校考]如图所示，某同学在游戏中模拟直升机投弹后炸弹在空中
的运动情况，直升机在距离水平地面一定高度处，以速度v0＝50m/s 水平向右匀速飞行，
某时刻在空中O 点释放一颗质量为m 的炸弹，炸弹下落t1＝2.5s 后到达虚线PQ 上的A 点，
虚线PQ 与水平地面间的区域有水平横风，能给炸弹水平向
左的恒力F＝4
3 mg，炸弹进入横风区域后会经过速度最小的
B 点（未画出），最后恰好竖直向下砸向地面.炸弹下落过程
中，除了考虑重力和水平风力外，不考虑空气阻力，重力加
速度g 取10m/s2.求：
（1）OA 间的距离；
（2）炸弹在空中运动的时间；
（3）炸弹在B 点的速度大小和方向.
答案 （1）128.8m （2）6.25s （3）见解析
解析 （1）炸弹进入横风区域前做平抛运动，有x＝v0t1，y＝1
2gt1
2
则OA 间的距离为xOA＝❑√x
2＋y
2＝128.8m
（2）依题意，恰好竖直向下砸向地面，可得0＝v0－axt2
又4
3 mg＝max
联立解得t2＝3.75s
炸弹在空中运动的时间为t＝t1＋t2＝6.25s
（3）炸弹进入横风区后，水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，有v
＝❑√（v0－axt ）
2＋（v y 0＋gt）
2
其中vy0＝gt1
联立解得当t＝1.5s 时，炸弹速度有最小值为vmin＝50m/s
设炸弹速度与水平夹角为θ，则有tanθ＝v y 0＋gt
v0－axt ＝4
3
易知θ＝53°
则有炸弹在B 点的速度大小为50m/s，方向与水平方向成53°角.
14. (山东青岛2025 年高三年级第三次适应性检测) 如图所示，半径为R 的光滑球固定在水
平面上的A 点，球上B 点与球心O 等高，C 点位于A 点正上方，水平面上距A 点x 处的P 点
与O、A 在同一竖直面内。在POA 面内将小球从P 点以某一速度抛出，要使小球能够到达
球的右侧，下列说法正确的是（ ）
A. 小球抛出的最小速度为
B. 若小球恰好从C 点掠过球面，则抛出的最小速度为
C. 若
，小球恰好从C 点掠过球面，则抛出速度大小为
D. 小球抛出后可从圆弧B 点以上任一点切入球面，沿球面到达右侧
【答案】ABC
【解析】．当小球与球面相切，且恰好到达C 点时，速度最小，根据动能定理有
解得
，故A 正确；
若小球恰好从C 点掠过球面，则在C 点有
根据动能定理有
解得此时抛出的最小速度为
，故B 正确；
若
，小球恰好从C 点掠过球面，则最高点的速度为
设小球与斜面相切时，切点与圆心连线与竖直方向的夹角为
，则
根据斜抛运动规律可知
、
则抛出速度大小为
，故C 正确；
小球抛出后可从圆弧B 点以上任一点切入球面，若小球所受合力不足以提供向心力，则小
球不能沿球面到达右侧，故D 错误；
15. (山东德州2025 年5 月冲刺模拟)如图甲所示，“天鲲号”不仅是我国疏浚装备制造技
术的巅峰之作，更是综合国力提升的重要象征。不计空气阻力，“天鲲号”在吹沙填海工
程中喷出泥沙的运动可视为斜上抛运动，以排泥管口为坐标原点，建立图乙所示坐标系。
排泥管口的仰角为
，距海面的高度h，泥沙喷出的初速度大小为
，在排泥过程中“天
鲲号”始终保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A. 喷出的泥沙相对于海平面的最大高度为
B. 泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为
C. 喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为
D. 调整仰角
，泥沙在海面落点
坐标的最大值为
【答案】AC
【解析】．喷出的泥沙做斜抛运动，抛出时在竖直方向的分速度为
竖直方向做竖直上抛，由运动学知识可知喷出的泥沙相对于海平面的最大高度为
, A 正确；
B．泥沙上升过程由运动学知识有
下落过程在竖直方向做自由落体运动，由运动学知识有
则泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为
联立解得泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为
B 错误；
C．喷出的泥沙在水平方向做匀速直线运动，由运动学公式有
竖直方向做竖直上抛运动，由运动学知识有
联立解得喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为
, C 正确；
泥沙在水平方向做匀速直线运动，由运动学知识有
其中
联立解得落在海面上时的水平位移为
可知当
时水平位移有最大值，最大位移为
, D 错
误。
16.[2024 江西赣州模拟]某同学在水平地面上方高h 处以一定大小的速度v0抛出一小球，当
其速度方向不同时，落地点与抛出点的水平距离即射程大小也不同，若不计空气阻力，则
最大射程为（ D ）
A.
❑√2v0
2
g
B.v0
2+2 gh
g
C.h＋v0
2
g
D.v0
❑√v0
2+2 gh
g
答案 D
解析 解法1：三角函数公式＋判别式
设小球被抛出时速度v0与水平方向夹角为θ，则
x＝v0cosθ·t
h＝－v0sinθ·t＋1
2gt2
由于sin2θ＋cos2θ＝1，因此有（x
v0t ）2＋（
1
2 gt
2－h
v0t
）2＝1，整理得
1
4 g2t4－（gh＋v0
2）t2＋h2＋x2＝0
要使x 最大，t 应有唯一解，即
Δ＝（gh＋v0
2）2－4×1
4 g2×（h2＋xm
2 ）＝0
解得xm＝v0
g
❑√v0
2+2 gh.D 正确.
解法2：位移矢量图＋配方
将小球的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自
由落体运动，其位移矢量图如图所示.由几何知识可知x2＝（v0t）2
－（1
2gt2－h）2＝－1
4 g2t4＋（gh＋v0
2）t2－h2＝
－1
4 g2[t2－2（gh＋v0
2）
g
2
]2＋v0
2（2gh＋v0
2）
g
2
当t2＝2（gh＋v0
2）
g
2
，即t＝
❑√2（gh＋v0
2）
g
时，有最大射程xm＝v0
❑√v0
2+2gh
g
.D 正确.
解法3：速度矢量三角形＋数形结合
设小球落地时速度v 与水平地面夹角为α，则v 与初速度v0、竖直分速度gt 构成速度矢量三
角形，如图所示.
三角形“面积”S△＝1
2×gt×v0cosθ＝1
2×v×v0sin（α＋θ）
根据机械能守恒定律有1
2mv2＝1
2mv0
2＋mgh
又x＝v0cosθ·t
以上各式联立得gx＝v0
❑√v0
2+2ghsin（α＋θ）
即x＝v0
❑√v0
2+2 gh
g
sin（α＋θ）
由此可知，当α＋θ＝90°时，有最大射程xm＝v0
❑√v0
2+2gh
g
.D 正确.
