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高考重点考点解读与针对性训练
第六章 万有引力与宇宙航行
考点37 宇宙速度
【考点解读】
考点1 第一宇宙速度
1.定义：第一宇宙速度是在地面附近发射飞行器，使飞行器成为绕地球运动的人造地球卫
星的最小 发射 速度，也是飞行器环绕地球运动的最大 环绕 速度。此时它的运行周
期最短，Tmin＝2π❑√
R
g
＝5 075 s≈85 min。
2.大小：地球第一宇宙速度大小为 7.9 km/s。
3.第一宇宙速度的计算方法
（1）由Gmm地
R
2
＝mv
2
R
，解得v＝ ❑√
G m地
R
；
（2）由mg＝mv
2
R
，解得v＝ ❑√gR 。
考点2 第二宇宙速度和第三宇宙速度
1.第二宇宙速度
在地面附近 发射飞行器，使飞行器挣脱 地球 引力束缚，永远离开地球的最小发射
速度，其数值为 11.2 km/s。
2.第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱 太阳 引力束缚，飞到太阳系外的最小发射速度
其数值为 16.7 km/s。
考点 3 卫星的发射速度与运动轨道的关系
1.v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
2.7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
3.11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
4.v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
宇宙速度网络图
【高考真题】
【典例1】.（2024·湖南高考7 题）2024 年5 月3 日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转
移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登
陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过
返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球
表面重力加速度约为地球表面的1
6 ，月球半径约为地球半径的1
4 。关于返回舱在该绕月轨
道上的运动，下列说法正确的是（ ）
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的❑√
2
3
倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的❑√
3
2
倍
答案 BD
解析： 地球的第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力提供向心力
得GMm
R
2
＝mv
2
R
，结合mg＝GMm
R
2
得第一宇宙速度v＝❑√gR，又g 月＝1
6 g 地，R 月＝1
4 R 地，
可知返回舱相对月球的速度小于地球的第一宇宙速度，选项A 错误，B 正确；根据万有引
力提供向心力得，在近地（月）轨道上有GMm
R
2
＝m4 π
2
T
2 R，又GM＝gR2，得T＝❑√
4 π
2 R
g
，可得T 月
T 地
＝❑√
R月
R地
·❑√
g地
g月
＝❑√
3
2
，可知选项C 错误，D 正确。
【典例2】（2021 高考江苏卷）我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红
一号”到“北斗”不断创造奇迹.“北斗”第49 颗卫星的发射迈出组网的关键一步.该卫星绕
地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角.该
卫星（ B ）
A.运动速度大于第一宇宙速度
B.运动速度小于第一宇宙速度
C.轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D.轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
答案 B
解析 第一宇宙速度是最大的环绕速度，因此该卫星的运动速度小于第一宇宙速度，A 错
误，B 正确；卫星环绕地球做圆周运动时，万有引力提供其做圆周运动的向心力，由G
Mm
r
2 ＝m4 π
2
T
2 r 得r＝3√
GM T
2
4 π
2 ，由于该卫星的运动周期等于地球的自转周期，所以该卫星
的轨道半径等于同步卫星的轨道半径，C、D 错误.
【典例3】.[2023 高考湖南卷]根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用
下，不断聚集可能形成恒星.恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8
倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20 倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩
成黑洞.设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快.不考
虑恒星与其他物体的相互作用.已知逃逸速度为第一宇宙速度的❑√2倍，中子星密度大于白
矮星.根据万有引力理论，下列说法正确的是（ B ）
A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
答案 B
解析 恒星自转 ⃗
万有引力F 万有两个效果
{
自转效果：F向
重力效果：mg
从赤道到两极
F 向↓，mg↑，A 错
两极
g 极＝
GM
R
2 R↓，g 极↑，B 对
第一宇宙速度
v＝
❑√
GM
R
v↑，C 错
逃逸速度v'＝
❑√2v＝
❑√
2GM
R
v'＝（
32
3 πG3M2ρ）
1
6D 错
【典例4】.[2021 高考湖南/多选]2021 年4 月29 日，中国空间站天和核心舱发射升空，准
确进入预定轨道.根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022 年完成
空间站在轨建造.核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径
的1
16 ，下列说法正确的是（ AC ）
A.核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的（16
17 ）2倍
B.核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/s
C.核心舱在轨道上飞行的周期小于24h
D.后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
答案 AC
解析 核心舱在地面处到地心的距离r1＝R，在轨道处到地心的距离r2＝R＋1
16R＝17
16 R，
根据万有引力定律有F＝G Mm
r
2 ，则在轨道处受到的万有引力大小与在地面时受到的万有引
力大小之比为
F2
F1
＝
r1
2
r2
2＝(16
17 )2，A 正确；由G Mm
r
2 ＝mv
2
r 得v＝❑√
GM
r
，核心舱做圆周运动
的轨道半径大于地球半径，因此其在轨道上飞行的速度小于地球的第一宇宙速度，即小于
7.9 km/s，B 错误；由于G Mm
r
2 ＝m4 π
2
T
2 r，可得T＝2π❑√
r
3
GM
，核心舱做圆周运动的轨道半
径小于地球同步卫星做圆周运动的轨道半径，故其在轨道上飞行的周期小于地球同步卫星
的周期，故C 正确；由G Mm
r
2 ＝mv
2
r
得r＝GM
v
2 ，核心舱加挂实验舱后，虽然空间站质量变
大，但其运行速度大小未变，故轨道半径不变，D 错误.
【典例5】.[2023 高考北京卷]2022 年10 月9 日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成
功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破.“夸父一
号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为
720km，运行一圈所用时间约为100 分钟.如图所示，
为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随
地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太
阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”.
下列说法正确的是（ A ）
A.“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B.“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s
C.“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D.由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
答案 A
解析 “夸父一号”的运行轨道平面始终与太阳保持固定的取向，由几何关系可知，其转
动的角度与地球绕太阳公转的角度一致，地球绕行太阳一周转动360°，运行周期约为365
天，则“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动角度约为1°，A 对；“夸父一号”绕地
球做圆周运动时，万有引力提供向心力，即G Mm
r
2 ＝mv
2
r
，可知v＝❑√
GM
r
，地球的第一宇
宙速度为卫星轨道半径等于地球半径R 时的速度，而“夸父一号”的运行轨道半径r 大于
R，则其运行速度小于7.9km/s，B 错；地球表面的重力加速度满足G Mm
R
2 ＝mg，解得g＝
GM
R
2 ，“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度满足GMm
r
2
＝ma，解得a＝GM
r
2 ，又
“夸父一号”的运行轨道半径r 大于R，则其向心加速度小于地球表面的重力加速度，C 错；
“夸父一号”绕行的中心天体为地球，地球绕行的中心天体为太阳，中心天体不同，开普
勒第三定律不适用，D 错.
【典例6】.[宇宙速度/2022 海南/多选]火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第
一宇宙速度比和表面的重力加速度比分别是（ BC ）
A. g火
g地
＝a
b
B.v火
v地
＝❑√
a
b
C.g火
g地
＝a
b
2
D.v火
v地
＝❑√
b
a
答案 BC
解析 第一宇宙速度是贴近星球表面卫星的运行速度，根据万有引力提供卫星做圆周运动
的向心力有GMm
R
2
＝m v
2
R
，得星球的第一宇宙速度v＝❑√
GM
R
，所以v火
v地
＝❑√
a
b
，星球表面
重力与万有引力相等有GMm
R
2
＝mg，可得星球表面的重力加速度g＝GM
R
2 ，所以g火
g地
＝a
b
2，
故B、C 正确，A、D 错误.
【针对性训练】
1.（2025·湖北武汉联考）中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行
七个多月，于2021 年2 月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕
火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10 倍，地球半径约为火星半径的2 倍，
下列说法正确的是（ ）
A.若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B.“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C.火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶❑√5
D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案：C
解析：卫星在行星表面附近绕行的速度等于该行星的第一宇宙速度，由G Mm
R
2 ＝mv
2
R
可得
v＝❑√
GM
R
，则第一宇宙速度之比v 火∶v 地＝1∶❑√5，在火星上发射一颗绕火星运动的近地
卫星，其速度至少需要v 火＝7.9
❑√5 km/s，故A 错误，C 正确；“天问一号”探测器挣脱了
地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B 错误；g 地＝G M 地
R
2 ，g 火＝G
M 火
R火
2，联立可得g 地＞g 火，故D 错误。
2.（2025·湖北黄冈三模）2024 年2 月29 日中国在西昌卫星发射中心成功发射了高轨卫星
01 星，标志着中国互联网的效率与质量将进一步提升。已知高轨卫星01 星与地球中心的
连线在时间t 内转过的弧度为θ，扫过的面积为S，地球的半径为R，引力常量为G，则（
）
A.高轨卫星01 星可以静止在咸宁的正上方
B.地球的质量为2S ❑√2Sθ
Gt
2
C.地球表面的重力加速度为
S
3
θ R
2t
2
D.地球的第一宇宙速度为❑√
S
3
θR t
2
答案：B
解析：高轨卫星01 星绕地心做匀速圆周运动，轨道平面必过地心，在赤道正上方，因此不
可能静止在咸宁的正上方，故A 错误；根据万有引力提供向心力，有G Mm
r
2 ＝mrω2，又S
＝πr2 θ
2π ，ω＝θ
t ，联立解得地球的质量M＝2S ❑√2Sθ
Gt
2
，故B 正确；在地表处，有G Mm
R
2
＝mg，将M 值代入，得地球表面的重力加速度g＝2S ❑√2Sθ
t
2 R
2
，故C 错误；贴近地球表面，
由万有引力提供向心力，可得G Mm
R
2 ＝mv1
2
R
，将M 值代入，得地球的第一宇宙速度为v1＝
❑√
2S ❑√2Sθ
t
2 R
，故D 错误。
3. 地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s，已知月球质量约为地球质量的1
81，地球半
径约为月球半径的4 倍，下列说法正确的是（ ）
A.在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B.月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s
C.月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D.“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大
答案 C
解析： 根据第一宇宙速度公式v＝❑√
GM
R
，可得月球与地球的第一宇宙速度之比为v月
v地
＝
❑√
M 月R地
M 地R月
＝❑√
4
81＝2
9，月球的第一宇宙速度约为v 月＝2
9v 地＝2
9×8 km/s≈1.8 km/s，在
月球上发射卫星的最小速度约为1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s，
“近月卫星”的线速度为1.8 km/s，小于“近地卫星”的线速度，故A、B、D 错误， C
正确。
4. 2023 年9 月21 日15 时45 分“天宫课堂”第四课开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱
杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空科普授课.已知朱杨柱的质量为m，地球半径为R，
空间站的轨道半径为r，地球表面的重力加速度为g，若将空间站绕地球的运动近似看成匀
速圆周运动，则朱杨柱（ B ）
A.处于完全失重状态，不再受到地球的引力
B.受到地球的引力大小为mg R
2
r
2
C.绕地球运动的线速度大于地球的第一宇宙速度
D.可以圆满完成小球在水中所受浮力大小的测定实验
答案 B
解析 朱杨柱在空间站内虽然处于完全失重状态，但依然受到地球的引力，A 错误；朱杨
柱在地球表面附近时，有G Mm
R
2 ＝mg，朱杨柱在空间站内时，有F 引＝G Mm
r
2 ，联立解得F
引＝mg R
2
r
2
，B 正确；由于没有脱离地球引力束缚，所以绕地球运动的线速度小于地球的第
一宇宙速度，C 错误；由于空间站内的物体处于完全失重状态，所以浮力消失，无法完成
浮力大小的测定实验，D 错误.
5. 嫦娥五号返回器从月球归来初入大气层时的速度可以接近第二宇宙速度，为避免高速带
来的高温过载风险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术.如图所示，返回器从a 点第一
次进入大气层，调整返回器姿态，使其经b 点升高，再从c 点“跳”出大气层，在太空中
潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高度为h 的d 点后，再次从e 点进入大气层返回地球.
假设返回器从c 点到e 点的过程为无动力飞行.已知地球表面重力加速度为g，地球的半径
为R，引力常量为G.结合以上信息，下列说法正确的是（ C ）
A.从a 点到c 点的过程中，返回器机械能守恒
B.在d 点，返回器的速度大于第一宇宙速度
C.在d 点，返回器的加速度大小为
g R
2
（R＋h）
2
D.在e 点返回器处于超重状态
答案 C
解析 嫦娥五号返回器从a 点到c 点的过程中，空气阻力做功，机械能不守恒，A 错误；嫦
娥五号返回器经过d 点后做近心运动，有G
Mm
( R＋h)
2＞m
v
2
( R＋h)，即v＜❑√
GM
R＋h
，又因
为第一宇宙速度为v1＝❑√
GM
R
，故v＜v1，B 错误；在d 点，由牛顿第二定律有G
Mm
( R＋h)
2
＝ma，又GM＝gR2，联立可得a＝
g R
2
( R＋h)
2，C 正确；在e 点返回器加速度有向下的分量，
故返回器处于失重状态，D 错误.
6.[2022 山东]“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星.如图
所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平
面接近垂直.卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A 点正
上方，恰好绕地球运行n 圈.已知地球半径为R，自转周期为T，地球
表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（ C
）
A.（g R
2T
2
2n
2π
2 ）
1
3－R
B.（g R
2T
2
2n
2π
2 ）
1
3
C.（g R
2T
2
4 n
2π
2 ）
1
3－R
D.（g R
2T
2
4 n
2π
2 ）
1
3
答案 C
解析 依题意可知卫星的绕行周期T0＝T
n ，对卫星根据牛顿第二定律可得G
Mm
( R＋h)
2＝
m(R＋h)·4 π
2
T 0
2 ，根据黄金代换式gR2＝GM，联立解得h＝(g R
2T
2
4 n
2π
2 )
1
3－R，C 正确.
7.[2020 浙江]如图所示，卫星a、b、c 沿圆形轨道绕地球运行.a
是极地轨道卫星，在地球两极上空约1000km 处运行；b 是低轨
道卫星，距地球表面高度与a 相等；c 是地球同步卫星，则（
C ）
A.a、b 的周期比c 的大
B.a、b 的向心力一定相等
C.a、b 的速度大小相等
D.a、b 的向心加速度比c 的小
答案 C
解析 卫星环绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力，由公式G
Mm
r
2 ＝m4 π
2
T
2 r 得T＝2π❑√
r
3
GM
，则a、b 的周期比c 的小，A 错误；由于a、b 的质量关系
未知，则a、b 的向心力大小无法确定，B 错误；由公式G Mm
r
2 ＝mv
2
r
得v＝❑√
GM
r
，a、b
的速度大小相等，C 正确；由公式G Mm
r
2 ＝ma 得a＝G M
r
2 ，a、b 的向心加速度比c 的向心
加速度大，D 错误.
8.[2022 辽宁/多选]如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动，
在地面上容易测得地球－水星连线与地球－太阳连线夹角α，地球－金星
连线与地球－太阳连线夹角β.两角最大值分别为αm、βm，则（ BC ）
A.水星的公转周期比金星的大
B.水星的公转向心加速度比金星的大
C.水星与金星的公转轨道半径之比为sinαm：sinβm
D.水星与金星的公转线速度之比为❑√sin αm：❑√sin βm
答案 BC
解析 行星环绕太阳做圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力，由公式G Mm
r
2 ＝
m4 π
2
T
2 r 得T＝2π❑√
r
3
GM
，由题图可知金星的轨道半径大于水星的轨道半径，因此金星的公
转周期大于水星的公转周期，A 错误；又由公式G Mm
r
2 ＝ma 得a＝G M
r
2 ，所以水星的向心
加速度大于金星的向心加速度，B 正确；由题意可知当地球与行星的连线与行星的运行轨
道相切时，该连线与地球和太阳连线的夹角最大，如图所示，假设地球的轨道半径为r，
由图可知水星和金星的轨道半径分别为r 水＝rsinαm、r 金＝rsinβm，则r 水∶r 金＝
sinαm∶sinβm，C 正确；由公式G Mm
r
2 ＝mv
2
r
得v＝❑√
GM
r
，解得v 水∶v 金＝❑√sin βm∶
❑√sin αm，D 错误.
9.[2022 上海]木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动.它们的周期分别为42h28min 和
85h14min，它们的轨道半径分别为r1和r2，线速度分别为v1和v2，则（ D ）
A.r1＜r2，v1＜v2
B.r1＞r2，v1＜v2
C.r1＞r2，v1＞v2
D.r1＜r2，v1＞v2
答案 D
解析
光速解法 根据“高轨低速大周期”的规律可快速判断出D 正确.
10. 在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；
当发射速度达到❑√2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球.已知地球、火星两星球的质量比
约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有（ BD ）
A.探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C.探测器脱离两星球所需要的发射速度相等
D.探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
答案 BD
解析 由G Mm
R
2 ＝mv
2
R
得v＝❑√
GM
R
，❑√2v＝❑√
2GM
R
，可知探测器脱离星球所需要的发射
速度与探测器的质量无关，A 错误；由F＝G Mm
R
2 及地球与火星的质量之比、半径之比可
知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B 正确；由❑√2v＝❑√
2GM
R
可知，探
测器脱离两星球所需的发射速度不相等，C 错误；探测器在脱离两星球的过程中，万有引
力做负功，势能逐渐增大，D 正确.
11 .[2024 安徽安庆模拟/多选]我国首次执行火星探测任务的“天问一号”探测器已于2021
年2 月10 日成功环绕火星飞行.已知火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的3
2，火星的半
径为地球半径的1
2，火星的质量为地球质量的1
9，探测器在一定高度绕火星做匀速圆周运
动的运行周期为T，火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可视为
均匀球体，则（ BCD ）
A.火星的平均密度为3 π
GT
2
B.火星的公转周期和地球的公转周期之比为3 ❑√6
4
C.火星第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为
❑√2
3
D.火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为4
9
答案 BCD
解析 探测器绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G M 火m
r探
2
＝m4 π
2
T
2 r 探，火
星的体积V 火＝4
3 πR火
3 ，火星的平均密度ρ＝M 火
V 火
，联立可得ρ＝3 π r探
3
GT
2 R火
3 ，A 错误；根据
开普勒第三定律得T 火
T 地
＝❑√
r火
3
r地
3 ＝3 ❑√6
4
，B 正确；由G Mm
R
2 ＝m v
2
R 可得星球的第一宇宙速度
v＝❑√
GM
R
，则v火
v地
＝❑√
M 火R地
R火M 地
＝
❑√2
3 ，C 正确；由黄金代换式GM＝gR2可得星球表面的重
力加速度g＝GM
R
2 ，则g火
g地
＝M 火R地
2
R火
2 M 地
＝4
9 ，D 正确.
12 .[2024 湖南湘潭一中月考]卫星是人类的“千里眼”“顺风耳”，如图所示三颗静止通
信卫星就能实现全球通信，已知卫星之间的距离均为L，地球自转的周期为T，地球的第一
宇宙速度为v0，引力常量为G，下列说法正确的是（ B ）
A.三颗通信卫星受到的万有引力大小相等
B.其中一颗质量为m 的通信卫星的动能为2π
2m L
2
3T
2
C.地球的质量为4 π
2 L
3
9GT
2
D.地球的第一宇宙速度与通信卫星的线速度之比为
❑√3T v0
π L
答案 B
解析 由于三颗通信卫星的质量不一定相等，故所受到的万有引力大小不一定相等，选项
A 错误；卫星的线速度为v＝2π r
T
，动能为Ek＝1
2mv2，由几何关系可得卫星的轨道半径为r
＝
L
2sin60°＝
❑√3
3 L，解得Ek＝2π
2m L
2
3T
2
，选项B 正确；由GMm
r
2
＝m4 π
2
T
2 r 解得M＝
4 ❑√3 π
2 L
3
9GT
2
，C 错误；地球的第一宇宙速度为v0，通信卫星的线速度为v＝2π r
T
＝2❑√3 π L
3T
，比较可得v0
v ＝
❑√3T v0
2π L
，D 错误.
13.[多选]我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星，可为中低轨道卫星提供数据通信，
“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b 与地球的位置关系如图所示，O 为地心，
地球相对卫星a、b 的张角分别为θ1和θ2（θ2在图中未标出），卫星a 的轨道半径是卫星b
的轨道半径的9 倍，且卫星a、b 均绕地球同向运行，已知
卫星a 的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b
会进入卫星a 的通信盲区，卫星间的通信信号视为沿直线传
播，信号传输时间可忽略，下列说法正确的是（ BC ）
A.卫星a、b 的线速度之比为1：9
B.卫星b 的周期为T
27
C.卫星b 每次在盲区运行的时间为θ1＋θ2
52π
T
D.卫星b 每次在盲区运行的时间为θ1＋θ2
54 π
T
答案 BC
解析 设卫星a、b 的轨道半径分别为r1和r2，地球半径为R，
根据G Mm
r
2 ＝mv
2
r
，解得v＝❑√
GM
r
，由r1＝9r2可知卫星a、b
的线速度之比为1：3，A 错误.由G Mm
r
2 ＝m4 π
2
T
2 r，解得T＝
2π❑√
r
3
GM
，结合r1＝9r2，则卫星b 的周期为T
27 ，B 正确.如图
所示，A、B 两点是卫星a 在图示位置时与卫星b 的通信盲区的两个边缘位置，由几何关系
可得∠AOB＝θ1＋θ2，则有(
2π
T
27 －2π
T )t＝∠AOB＝θ1＋θ2，解得卫星b 每次在盲区运行的
时间为t＝θ1＋θ2
52π
T，C 正确，D 错误.
14.[2023 广东]如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P 绕恒星Q 做匀速圆周运动.由于P 的
遮挡，探测器探测到Q 的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P 的公转周
期相同.已知Q 的质量为M，引力常量为G.关于P 的公转，下列说法正确的是（ B ）
图（a）
图（b）
A.周期为2t1－t0
B.半径为3√
GM （t1－t0）
2
4 π
2
C.角速度的大小为
π
t1－t0
D.加速度的大小为
3√
2π GM
t1－t0
答案 B
解析
{
G Mm
r
2 ＝m 4 π
2
T
2 r →r ＝
3√
GM （t1－t0）
2
4 π
2
，B 对
ω＝2π
T ＝
2π
t1－t0
，C 错
a＝4 π
2
T
2 r ＝
4 π
2
（t1－t0）
2
3√
GM （t1－t0）
2
4 π
2
，D 错
15.[2024 浙江金华高三校联考]A、B 两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运
动，如图甲所示.两卫星之间的距离Δr 随时间周期性变化，如图乙所示.仅考虑地球对卫星
的引力，下列说法正确的是（ D ）
A.A、B 的轨道半径之比为1：3
B.A、B 的线速度之比为1：2
C.A 的运动周期大于B 的运动周期
D.A、B 的向心加速度之比为4：1
答案 D
解析 由题图知rB－rA＝2r、rA＋rB＝6r，解得rA＝2r、rB＝4r，所以A、B 的轨道半径之比为
1：2；设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径和线速度分别为r、v，由G Mm
r
2
＝mv
2
r
得v＝❑√
GM
r
，则A、B 的线速度之比为❑√2：1，选项A、B 错误.由开普勒第三定律
可知，A 的运动周期小于B 的运动周期，选项C 错误.由a＝GM
r
2
可得aA
aB
＝4
1
，选项D 正确.
